Presentación de la unidad
• Las figuras geométricas que se estudian en esta unidad ya son co- nocidas por los estudiantes, por lo que podemos proceder a un tratamiento sistemático en el que se estudien sus elementos, ca- racterísticas y propiedades más importantes, sus desarrollos pla- nos y áreas. El teorema de Pitágoras y la semejanza de triángulos son herramientas de las que se hará uso a lo largo de la unidad.
• Es interesante que el alumnado aprenda a reconocer estas figu- ras en su entorno (cajas, edificios, adornos…) y a catalogar en cada caso el tipo de cuerpo geométrico que es, aunque frecuen- temente será el resultado de componer dos o más de ellos.
• Podríamos agrupar los contenidos en dos tratamientos con ca- racterísticas distintas:
I. Estudio descriptivo de los poliedros y cuerpos de revolución.
II. Cálculo de las áreas de estas figuras mediante el desarrollo plano de aquellas que lo tengan.
Conocimientos mínimos
• Identificación de los distintos tipos de poliedros y cuerpos de revolución, y descripción de sus características.
• Cálculo de las áreas de prismas, pirámides, cilindros, conos y es- feras.
• Desarrollo en el plano de un poliedro sencillo, un cilindro o un cono.
Complementos importantes
• Comprensión de la obtención de las fórmulas para el cálculo de las áreas de los distintos cuerpos geométricos.
• Comprender por qué solo hay cinco tipos de poliedros regu- lares.
• Cálculo del área de un tronco de pirámide o tronco de cono te- niendo que aplicar relaciones de semejanza para obtener algu- nas de sus medidas a partir de las otras.
Esquema de la unidad
CUERPOS GEOMÉTRICOS
11 Cuerpos geométricos
pueden ser
los más conocidos son
TRONCO DE PIRÁMIDE
TRONCO DE TRONCO al cortarlo
por un plano paralelo a la base se obtiene
al cortarlo por un plano
paralelo a la base se obtiene
su superficie es su superficie es
A
TOTAL= A
LAT+ A
BASEA
TOTAL= πrg + πr
2A
TOTAL= A
LAT+ 2 A
BASEal cortarlos por planos se obtienen
SECCIONES PLANAS
CUERPOS DE REVOLUCIÓN
ESFERA CILINDRO
los más conocidos son
POLIEDROS OTROS
POLIEDROS REGULARES
que son PRISMA
TETRAEDRO CUBO OCTAEDRO DODECAEDRO
ICOSAEDRO su superficie es
PIRÁMIDE
su superficie es su superficie es
A
TOTAL= 2πrh + 2πr
2A
TOTAL= 4πR
2CONO
• Comprensión de la identidad entre el área de una esfera y la del cilindro circunscrito, así como la de una zona o un casquete y la porción correspondiente de cilindro circunscrito y obtención, a partir de esas relaciones, de las áreas de esfera, zona y casquete.
Como vías de profundización e investigación se propone:
• Deducción de las fórmulas para el cálculo de las áreas de los po- liedros, cilindros, conos y troncos.
• Construcción de poliedros, cilindros, conos y troncos represen- tando, previamente, su desarrollo en un papel o en una cartulina.
• Investigación de propiedades de las secciones de poliedros y cuerpos de revolución cortando con un cúter figuras de polies- pán o plastilina o dibujando sobre figuras hechas de cartulina.
Anticipación de tareas
• Recordar los nombres y los elementos de los principales polie- dros y cuerpos de revolución.
• Buscar objetos cotidianos con forma de cuerpo geométrico para que los clasifiquen.
• Preparar cartulinas, tijeras, pegamento... para construir los desa- rrollos planos y con ellos montar los cuerpos geométricos.
Adaptación curricular
En la parte de “Recursos fotocopiables” se ofrece una adaptación curricular de esta unidad 11 del libro del alumnado, para cuya ela- boración se han tenido en cuenta los conocimientos mínimos que aquí se proponen.
La lectura inicial servirá para reforzar la comprensión lectora y para ejercitar los dos aspectos que justifican el estudio de las matemáti- cas: el práctico y el intelectual.
Los contenidos, si se adaptan a esos mínimos exigibles, o bien no han sufrido cambio alguno, o bien se han modificado ligeramente para adecuarlos al posible nivel de los estudiantes a quienes va dirigido. Lo mismo cabe decir de los ejercicios prácticos que se proponen.
Si algún contenido supera los mínimos, o bien se ha suprimido, o bien se ha adaptado para ajustarlo a los requisitos exigidos.
Finalmente, los ejercicios y los problemas con los que finaliza la unidad se han reducido en cantidad y se han modificado o bajado de nivel hasta adaptarse a lo convenido. Lo mismo cabe decir de la autoevaluación.
APRENDIZAJE COOPERATIVO PENSAMIENTO COMPRENSIVO PENSAMIENTO CRÍTICO INTERDISCIPLINARIEDAD Pág. 215. Actividad sugerida en esta P.D. Pág. 217. Ejercicios resueltos Pág. 215. Actividad 2
(*)Pág. 227. Etimología
(*)Pág. 217. Piensa y practica
(*)y actividad sugerida en esta P.D.
Pág. 219. Piensa y practica
(*)Pág. 216. Actividad 1, apartados a) y b)
Págs. 223 y 224. Piensa y practica
(*)Pág. 220. Ejercicio resuelto
(*)Pág. 221. Actividad sugerida en esta P.D.
Pág. 225. Actividad sugerida en esta P.D. Pág. 228. Ejercicio resuelto
(*)Pág. 230. Actividad 2
(*)Pág. 227. Piensa y practica
(*)Pág. 231. Ejercicio resuelto
(*)Pág. 232. Piensa y practica* y actividad sugerida en esta P.D.
Pág. 233. Actividades 3
(*)y 7
(*)Pág. 234. Actividad 20
(*)TIC EMPRENDIMIENTO RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Pág. 214. Actividad sugerida en esta P.D. Pág. 215. Actividad 1
(*)y actividad suge- rida en esta P.D.
Todos los problemas propuestos en el L.A. están encuadrados en este apartado.
Aquí se señalan algunos que tienen especial interés.
Pág. 216. Actividad 1, apartado c) Pág. 219. Actividad sugerida en esta P.D.
Pág. 226. Actividad 4
(*)Pág. 235. Actividad “Aprende a resolver problemas”
(*)Pág. 234. Actividad sugerida en esta P.D. Págs. 235, 236 y 237. Actividades “Resuelve problemas” y “Problemas +”
Pág. 237. Actividad 42
(*)Pág. 238. Actividad “Las copas equidistantes”
Pág. 238. Actividades “Experimenta y
disfruta”
(*)Pág. 239. Actividad “Entrénate resolviendo problemas”
(*)En la siguiente tabla se recoge una relación de actividades para atender y trabajar el aprendizaje cooperativo, el pensa- miento comprensivo, el pensamiento crítico, la interdisciplinariedad, el emprendimiento y la resolución de problemas.
Unas están propuestas en el libro del alumnado (L.A.), y aquí se hace referencia a ellas indicando la página y la actividad, y otras, como se indica, se sugieren en esta Propuesta Didáctica (P.D.).
Una selección de estas sugerencias están marcadas en el libro del alumnado con un icono; aquí se han marcado con (*) .
11 Cuerpos geométricos H
erramientas para construir prismas y pirámides Observa cómo se construyen prismas con dos pentágonos iguales de cartón o madera fina y cinco trozos de hilo de la misma longi- tud. Ensámblalos en los polígonos como ves en la figura.Al tensar los hilos, puedes construir un prisma recto si los dos pentágonos quedan uno encima de otro o un prisma oblicuo si desplazas uno de ellos.
Con un solo pentágono y con esos mismos hilos, atándolos entre sí, se forma una pirámide.
1 Construye tú, o describe cómo se haría, y dibuja el resultado final en cada caso.
• Un tronco de pirámide • Una pirámide triangular. • Dos pirámides cuadrangulares pegadas
pentagonal. por las bases. Se llama octaedro.
E
xperimenta y descubre cuerpos geométricosGira una moneda sobre una mesa como se hace en la foto y verás cómo se forma una esfera.
Sujeta un rectángulo de cartulina en un palillo. Sos- teniendo el palillo entre los dedos y soplando en el lateral el rectángulo gira alrededor del eje. Se ve un cilindro.
Si haces lo mismo con un triángulo, obtienes un cono.
2 Dibuja el cuerpo geométrico que se genera al hacer girar, en cada caso, la cartulina alrededor del palillo.
Los cuerpos geométricos más sencillos eran conocidos y manejados por las antiguas civilizaciones.
E
l mundo griego recogió estos conocimientos y los enri- queció teóricamente.Platón, filósofo griego, fundador de La Academia de Atenas en el siglo iv a. C., prestó gran atención a los poliedros regu- lares (sólidos platónicos), les atribuyó propiedades místicas y los relacionó con la composición del universo.
Posteriormente, Euclides y Arquímedes dieron un enfoque matemáticamente más serio a estas figuras.
P
ara el cálculo de áreas y volúmenes, los egipcios poseían procedimientos a los que, probablemente, llegaron de forma experimental. Unos producían resul- tados exactos, y otros, aproximados, aunque ellos no distinguían entre unos y otros, y les daban a todos la misma validez.Al iniciar la unidad
• Las primitivas civilizaciones manejaron las figuras geométricas (descripción y asignación de áreas y volúmenes) de forma más o menos precisa. Los es- tudiantes pueden imaginar cómo podrían designar las áreas de estas figu- ras sin disponer de una nomenclatura algebraica adecuada.
• Al igual que Pitágoras y Tales, los alumnos y las alumnas deben ir conocien- do otros grandes pensadores de la Antigüedad y su relación con el conoci- miento geométrico y la evolución de la geometría, como Euclides, Platón y Arquímedes.
Cuestiones para detectar ideas previas
• Manejar con soltura las unidades lineales y de superficie del Sistema Métrico Decimal.
• Conocer las fórmulas para calcular áreas y perímetros de figuras planas y saber aplicarlas.
• Conocer algunos poliedros y cuerpos de revolución.
• Aplicar el teorema de Pitágoras en figuras espaciales.
TIC
Se sugiere la siguiente actividad:
Buscar en Internet las propiedades místicas y las relaciones que atribuyó Platón a los cinco poliedros regulares.
Aprendizaje cooperativo
Realizar, por grupos, las construcciones que aparecen en la página 215.
Cada miembro del grupo se compromete a aportar alguno de los materia- les necesarios y se encarga del montaje de una de las figuras y de explicar sus características. Así todos se hacen responsables e imprescindibles.
Emprendimiento
Se sugiere la siguiente actividad:
Construir, como en el ejemplo, figuras planas variadas y pegarlas en un palillo para que al girarlo rápidamente se vea el correspondiente cuerpo de revolución.
Soluciones de las actividades
1 • Se ensamblan las cuerdas en los vértices correspondientes de am- bas figuras, la grande y la pequeña, y se tensan luego.
• Se atan las tres cuerdas juntas por un extremo. El otro extremo de cada una se ensambla a cada uno de los vértices del triángulo.
• Se atan los extremos de cuatro cuerdas por un lado y de las otras cuatro por otro lado. Los otros ocho extremos se ensamblan de dos en dos en cada vértice del cuadrado.
2
Cilindro con
un cono en cada base.
Media esfera.
Dos conos unidos por la
base.
Tronco
de cono.
Sugerencias
• Una vez descritos los distintos elementos de los prismas, pasamos a cla- sificarlos según un criterio ya clásico como es el de los polígonos de las bases.
• El desarrollo en el plano de los prismas rectos permite descubrir que se trata de un rectángulo con dos bases poligonales iguales.
• Una buena actividad de ampliación podría ser el identificar prismas a partir de algunas descripciones como las siguientes:
– Su desarrollo plano está formado por dos hexágonos regulares y seis rectángulos.
– Es el único prisma regular que tiene todas las caras iguales.
• El desarrollo de un prisma permite deducir fácilmente la fórmula para calcular su área. No es necesario ni aconsejable que los estudiantes ten- gan que aprender memorísticamente fórmulas que no comprendan. A partir del desarrollo plano de varios prismas, se pretende que adviertan que el área lateral siempre es un rectángulo y que su área se calcula multiplicando la base (perímetro de una de las bases) por la altura (altu- ra del prisma). Después, verán que con calcular el área de una de las bases y multiplicar por dos ya tienen el área total.
• La visión espacial se puede trabajar muy bien proponiendo a los estu- diantes que efectúen algunos de los desarrollos en el plano. No será necesario que los dibujen perfectamente: bastará con que pongan to- das las caras en la disposición adecuada e identifiquen qué aristas de- ben tener la misma longitud.
Aprendizaje cooperativo
Estas actividades y, en general, todas las que tienen por objetivo la fija- ción de los contenidos recién aprendidos, se pueden resolver individual- mente y después corregir en pequeño grupo, contrastando las soluciones y resolviendo entre ellos y ellas las discrepancias. Solo en caso de bloqueo recurrirán al docente.
Refuerzo y Ampliación
Se recomiendan:
• Del cuaderno n.º 4 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:
Refuerzo: Ejercicios 1 y 2 de la pág. 20.
Ampliación: Ejercicios 3, 4 y 5 de la pág. 21.
• Del fotocopiable TRATAMIENTO DE LA DIVERSIDAD:
Refuerzo: Ejercicios 1 y 3 de la ficha A.
Ampliación: Ejercicio 5 de la ficha A. Ejercicios 1 y 2 de la ficha B.
Soluciones de “Piensa y practica”
1 a) A: Triangular, regular. B: Cuadrangular, no regular.
C: Pentagonal, no regular. D: Hexagonal, regular.
b) Son regulares el A y el D.
c)
2 A
total= 1 364 cm
23 A
total= 600 cm
24 A
total= 192 cm
2d = 13 cm 5 Altura = 8 cm
A
total= 552 cm
211 UNIDAD
217 216
Un prisma es un poliedro limitado por dos polígonos iguales y paralelos llamados bases y varios paralelogramos llamados caras laterales.
• La altura de un prisma es la distancia entre las bases.
• Los prismas se clasifican según los polígonos de sus bases:
TRIANGULAR CUADRANGULAR PENTAGONAL HEXAGONAL
• Un prisma recto cuya base es un rectángulo se llama ortoedro. El ortoedro de dimensiones iguales es el cubo.
a a
a ORTOEDRO CUBO
a b
c
• Los prismas rectos cuyas bases son polígonos regulares se denominan prismas regulares.
• Si cortamos un prisma recto a lo largo de algunas de sus aristas, lo abrimos y ponemos las caras sobre un plano, se obtiene su desarrollo plano.
1 Prismas
1. Observa los siguientes prismas:
A B C D
a) ¿Qué tipo de prisma es cada uno?
b) Indica cuáles son regulares.
c) Dibuja el desarrollo plano del prisma A.
Piensa y practica PRISMA RECTO PRISMA OBLICUO
Caras laterales Bases Altura
Etimología
Prisma. Viene del griego. Significa
“lo que ha sido serrado”, porque las caras laterales del prisma están como serradas.
Superficie de un prisma
El desarrollo lateral de un prisma recto es un rectángulo. La longitud de su base es el perímetro de la base del prisma, y su altura, la altura del prisma.
área lateral = perímetro de la base · altura área total = área lateral + 2 · área de la base Practica el cálculo de la superficie de un
prisma.
En la web
Ejercicios resueltos 1. Calcular el área total del si-
guiente ortoedro:
10 cm 5 cm
7 cm
Las áreas de las tres caras del ortoedro son, respectivamente:
10 · 5 = 50 cm2 10 · 7 = 70 cm2 5 · 7 = 35 cm2 Como son tres parejas de caras iguales:
Atotal = 2 · (50 + 70 + 35) = 2 · 155 = 310 cm2
En general, el área de un ortoedro de dimensiones a × b × c es:
A = 2(ab + ac + bc) 2. Hallar el área total y la lon-
gitud de la diagonal (d) de este ortoedro:
d 3 cm
6 cm 2 cm
(d' )2 = 32 + 22 = 13 d 2 = 62 + (d' )2 = = 36 + 13 = 49 d = 49 = 7 cm
6 6
6 3
3 2
2 2
2
3 2 3 2
d
d d'
d' d'
Atotal = 2(6 · 3 + 6 · 2 + 2 · 3) = 72 cm2
En general, la longitud de la diagonal de un ortoedro de dimensiones a × b × c es:
d = a2+b2+c2 3. Las bases de un prisma recto
son rombos cuyas diagonales miden 8 cm y 6 cm. La altu- ra del prisma es 10 cm. Ha- llar su área total.
8 10 cm
l l
l l l
6 3 4
Lado de la base: l = 42+ = 5 cm32 A
A 8 6 242
4 5 10 200
· cm
· · cm
2 2 BASE
LAT
= =
= =
4
Atotal = Alat + 2Abase = 200 + 2 · 24 = 248 cm22. La altura de un prisma recto es de 20 cm. Sus bases son trapecios rectángulos tales que las bases del trape- cio miden 11 cm y 16 cm, y la altura, 12 cm. Halla el área total del prisma.
3. Halla el área total de un cubo de 10 cm de arista.
4. Las dimensiones de un ortoedro son 4 cm, 3 cm y 12 cm. Halla el área total y la longitud de la diagonal.
5. La base de un ortoedro es un rectángulo de lados 9 cm y 12 cm. La diagonal del ortoedro mide 17 cm.
Calcula la altura del ortoedro y su área total.
Piensa y practica Prisma: definiciones y desarrollo.
En la web
11 UNIDAD
219 218
2 Pirámides
Una pirámide es un poliedro que tiene por base un polígono cualquiera y por caras laterales, triángulos con un vértice común, que se llama vértice de la pirámide.
• La altura de la pirámide es la distancia del vértice al plano de la base.
• Una pirámide es regular cuando la base es un polígono regular y el vértice se proyecta sobre el centro de ese polígono.
• En una pirámide regular, todas las aristas laterales son iguales y las caras late- rales son triángulos isósceles iguales. La altura de cada uno de ellos se llama apotema de la pirámide.
La apotema de una pirámide regular es la hipotenusa de un triángulo rec- tángulo cuyos catetos son la altura de la pirámide y la apotema del polígo- no de la base.
La arista lateral de una pirámide re- gular es la hipotenusa de un trián- gulo rectángulo cuyos catetos son la altura de la pirámide y el radio de la base.
apotema de la pirámide altura
apotema de la base
arista lateral de la pirámide altura
radio de la base
• Las pirámides se clasifican según los polígonos de sus bases:
TRIANGULAR CUADRANGULAR PENTAGONAL HEXAGONAL
• Si cortamos a lo largo de algunas aristas de una pirámide regular, la abrimos y extendemos sus caras sobre el plano, obtenemos su desarrollo plano:
Etimología
Pirámide. Viene del griego pyros,
“fuego”, por ser piramidal la forma de la llama. Y también por tener esta forma las piras (cosas apiladas para ser quemadas).
Nota histórica
Las pirámides de Egipto fueron cons- truidas como sepulcros de los farao- nes hace varios miles de años.
Son regulares y cuadrangulares. La mayor de ellas, la de Keops, tiene 146 m de altura y el lado de su base mide 230 m.
vértice caras laterales
base
Superficie de una pirámide
El área lateral de una pirámide regular es la suma de las áreas de los n triángulos iguales (n es el número de lados de la base):
Alat = n · 21 l a = 21 (nl ) · a = · a 2 perímetro de la base
Puesto que la base es un polígono regular, su área es · 'a 2
per metroí . Por tanto:
Atotal = Alat + Abase = ·a · 'a
2 2
perímetro de la base +perímetro de la base Practica el cálculo de la superficie de una
pirámide regular.
En la web
Ejercicios resueltos 1. Hallar la superficie lateral
de la pirámide de Keops des- crita en la página anterior.
h = 146 m l = 230 m a' = 230 : 2 =
= 115 m h
a' a l
Empecemos por calcular la apotema, a:
a = h2+( )a'2= 1462+1152= 34 541 ≈ 186 m
Alat = ·a ( · ) ·
2 4 230 1862
perímetro de la base = ≈ 85 560 m2 Solución: La superficie lateral de la pirámide de Keops es de 85 560 m2, aproxi-
madamente.
2. Calcular las superficies late- ral y total de una pirámide hexagonal regular de 13 cm de altura sabiendo que el ra- dio de su base mide 6 cm.
Necesitamos calcular la apotema de la pirámide, a; para ello, tenemos que hallar la apotema de la base, a'. Recuerda que en un hexágono regular el radio es igual al lado. Por tanto:
a' = 62–32= 36 9– = 27 cm a = ` j272+132= 27 169+ = 196 = 14 cm Alat = ( · ) ·6 6 14 = 252 cm2 2
Atotal = 252 + ( · ) ·6 62 27 ≈ 346 cm2
6 3
a’
a’
13 a a
l l l l
a'l
1. Halla el área total de una pi- rámide regular cuya base es un cuadrado de 10 cm de la- do y cuya altura es de 12 cm.
10 cm
12 cm
2. La base de una pirámide regu- lar es un pentágono de 16 dm de lado y 11 dm de apotema.
La altura de la pirámide es de 26,4 dm. Halla su área total.
Piensa y practica
26,4 dm 11 dm
16 dm Pirámide: definiciones y desarro-
llo.
En la web
Sugerencias
• El planteamiento de este apartado es similar al realizado para los pris- mas: descripción del concepto de pirámide y de sus elementos.
• Se debe dar un tratamiento especial a la altura de la pirámide, pues los estudiantes suelen confundirla con la altura de una cara.
• Algunos envases tienen forma de pirámide. Para ver el desarrollo de una pirámide, nada mejor que traer a clase alguno de esos envases y cortar con un cúter a lo largo de una de las aristas laterales. Con mate- riales como, por ejemplo, Polydron también se pueden formar fácilmen- te pirámides y realizar actividades de paso del espacio al plano, y vice- versa.
• En la página de la derecha, partiendo del desarrollo de una pirámide, pretendemos que el alumnado deduzca la fórmula o ley general para calcular las áreas lateral y total de cualquier otra pirámide.
Resolución de problemas
Para este apartado, y todos los que presentan modelos resueltos, se su- giere que los alumnos y las alumnas aborden el problema con sus propios recursos, después comparen sus procesos con los que presenta el texto y, por último, verbalicen las dificultades y valoren tanto los métodos por ellos empleados, como los ofrecidos en la página.
Refuerzo y Ampliación
Se recomiendan:
• Del cuaderno n.º 4 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:
Refuerzo: Ejercicio 1 de la pág. 22.
Ampliación: Ejercicio 2 de la pág. 23.
• Del fotocopiable TRATAMIENTO DE LA DIVERSIDAD:
Refuerzo: Ejercicio 4 de la ficha A.
Soluciones de “Piensa y practica”
1 A
total= 360 cm
22 A
total= 1 584 dm
2ANOTACIONES
11 UNIDAD
221 220
3 Troncos de pirámide
Si cortamos una pirámide por un plano paralelo al de la base, el cuerpo com- prendido entre los dos planos se llama tronco de pirámide.
Un tronco de pirámide tiene dos bases que son polígonos semejantes. La distan- cia entre ellas es la altura del tronco.
Si la pirámide es regular, el tronco de la pirámide correspondiente también es regular. Sus caras laterales son trapecios isósceles iguales. La altura de cada uno de ellos se denomina apotema del tronco de pirámide.
Área de un tronco de pirámide regular
Su área lateral es la suma de las áreas de los n trapecios.
Su área total es la suma de su área lateral y las áreas de las dos bases.
l
l l
l l
l l l
l l
l' l' l'
l'
a a
Alat = nl l a nl nl a+2' = +2 ' =suma de los perímetros de las bases2 · apotema Atotal = Alat + Abase mayor + Abase menor
1. Halla el área lateral de un tronco de pirámide hexagonal regular cuyas dimensiones son las del
dibujo. 38 cm
20 cm 41 cm
2. Una pirámide regular de base cuadrada de 10 cm de lado y arista lateral de 13 cm es cortada por un plano a mitad de su altu- ra. Halla el área total del tronco de pirámide resultante. 10 cm
6,5 cm 6,5 cm Piensa y practica
Practica el cálculo de la superficie de un tronco de pirámide.
En la web
4 Poliedros regulares
Un poliedro se llama regular cuando cumple estas dos condiciones:
• Sus caras son polígonos regulares idénticos.
• En cada vértice del poliedro concurre el mismo número de caras.
Tipos de poliedros regulares
Veamos qué poliedros regulares se pueden construir con cada polígono:
TETRAEDRO (4 caras) 3 TRIÁNGULOS en cada vértice
OCTAEDRO (8 caras) 4 TRIÁNGULOS
ICOSAEDRO (20 caras) 5 TRIÁNGULOS
No se puede formar un poliedro con más de cinco triángulos en cada vértice.
3 cuadrados en cada vértice
CUBO (6 caras)
3 pentágonos en cada vértice
DODECAEDRO (12 caras) No se pueden formar poliedros con más de tres cuadrados o pentágonos, ni con polígonos de más de cinco lados. Por tanto, solo hay cinco tipos de poliedros regulares.
Fíjate bien 6 triángulos
No se puede construir un poliedro regular con seis triángulos en cada vértice.
Etimología
Poliedro. En griego, poli, “muchos”
y edro, “cara”.
Icosaedro. En griego, eikós, “veinte”.
1. Considerando la suma de los ángulos que coinciden en cada vértice, justifica por qué no se puede cons- truir un poliedro en los siguientes casos:
a) Con 6 triángulos equiláteros en cada vértice.
b) Con 4 cuadrados en cada vértice.
c) Con 4 pentágonos regulares en cada vértice.
d) Con hexágonos regulares o polígonos regulares de más lados.
Piensa y practica
Ejercicio resuelto Hallar el área lateral del si- guiente tronco de pirámide cuadrangular regular:
3 m 4 m
2 m
Empezamos calculando la apotema (altura de la cara lateral):
a = 32–12 = 2,83 m 3 m
1 m a
Por tanto, el área lateral es: Alat = · ·
4 2 4 42+ · 2,83 = 33,96 m2
Desarrollo de todos los poliedros regulares.
En la web
Sugerencias
• Los troncos de pirámide presentan un desarrollo formado por trapecios isósceles.
• Con la ayuda del teorema de Pitágoras, los estudiantes tendrán que cal- cular el área de uno de ellos y luego multiplicarán por el número de tra- pecios para averiguar el área lateral. Para generalizar esto se puede re- ducir a la semisuma de los perímetros de las bases por la apotema.
Refuerzo y Ampliación
Se recomiendan:
• Del cuaderno n.º 4 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:
Refuerzo: Ejercicio 3 de la pág. 23.
• Del fotocopiable TRATAMIENTO DE LA DIVERSIDAD:
Ampliación: Ejercicios 4 y 5 de la ficha B.
Soluciones de “Piensa y practica”
1 A
lat= 6 960 cm
22 A
total= 305 cm
2Sugerencias
• Los poliedros regulares solo deben cumplir dos condiciones. Es conve- niente enseñar al alumnado poliedros que cumplen una de ellas, pero no la otra y viceversa.
• Como ampliación se les pueden mostrar los poliedros semirregulares.
• En la explicación de esta página queda bastante claro el por qué solo hay cinco poliedros regulares. El ejercicio de aplicación directa ayuda a asimilar esta explicación.
Pensamiento crítico
Se puede pedir a los alumnos y a las alumnas que resuelvan la actividad 1 apoyándose en la manipulación de colecciones de polígonos regulares, construidos en plástico o cartón.
Refuerzo y Ampliación
Se recomiendan:
• Del cuaderno n.º 4 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:
Refuerzo: Ejercicio 1 de la pág. 24.
Ampliación: Ejercicio 4 de la pág. 25.
Soluciones de “Piensa y practica”
1 a) Sumarían 360° y eso es plano, no se puede torcer.
b) También suman 360°, y es plano.
c) Miden 432° y eso es más que un plano. Se superpondrían.
d) Con tres hexágonos suman 360°, es un plano; y con solo dos no se puede formar. Los poliedros regulares de más lados tienen ángulos mayores que 360° y, por tanto, no podemos, puesto que se super- pondrían.
ANOTACIONES
11 UNIDAD
223 222
Desarrollos de los poliedros regulares
■tetraedro
■hexaedro
■octaedro
■dodecaedro
■icosaedro
2. Halla el área de:
a) Un triángulo equilátero de lado 2 cm.
b) Un cuadrado de lado 2 cm.
c) Un pentágono regular de lado 2 cm y apotema 1,38 cm.
3. Halla el área de:
a) Un tetraedro. b) Un cubo.
c) Un octaedro. d) Un dodecaedro.
e) Un icosaedro.
Todos ellos tienen 2 cm de arista.
Piensa y practica
Sugerencias
• Un mejor conocimiento de los poliedros se puede conseguir a partir de sus desarrollos.
• El corte por las aristas y la semiapertura ayudan a ver cómo se pasa del cuerpo geométrico al desarrollo plano. Pero lo más eficaz e ilustrativo es que el alumnado realice por sí mismo estas transformaciones.
Soluciones de “Piensa y practica”
1 a) A = 1,73 cm
2b) A = 4 cm
2c) A = 6,9 cm
22 a) A = 6,9 cm
2b) A = 24 cm
2c) A = 13,84 cm
2d) A = 82,8 cm
2e) A = 34,6 cm
2ANOTACIONES
ANOTACIONES
11 UNIDAD
225 224
5 Secciones planas de poliedros
Es muy interesante el estudio de las secciones que un plano puede producir en diversos cuerpos geométricos. Veamos algunos ejemplos:
• Si cortamos un tetraedro regular por planos paralelos a una de sus caras, obtenemos triángulos equiláteros.
• Si inclinamos un poco el plano, el triángulo del corte ya no será equi- látero.
• ¿Y si cortamos un tetraedro por un plano paralelo a una arista? El cor- te es un rectángulo. ¿Podría ser un cuadrado?
• Si inclinamos el plano, ¿podría ser un trapecio?
• Si un plano hace un corte próximo al vértice de un dodecaedro, se ob- tiene un triángulo.
Un corte paralelo a una cara produ- ce un pentágono.
Reflexiona
¿Será posible obtener un decágono al cortar un dodecaedro regular?
Veamos algunos de los muchos cortes que se pueden realizar en el cubo.
• Truncando un vértice se obtienen cortes triangulares:
• Cortando a lo largo de una arista, obtenemos cuadriláteros:
• Incluso se pueden cortar las seis caras consiguiendo un hexágono o un pentá- gono:
3. Cortando un cubo de esta forma se obtiene un hexágono regular.
a) ¿Cuánto mide el lado? ¿Y la apotema?
b) Calcula su área.
c) ¿Qué volumen tiene cada una de las partes en que queda dividido?
4. Cortando un tetraedro regular de este modo, se obtiene un cua- drado. No es nada difícil calcular su área. ¿Sabrías calcular el área total de cada uno de los dos cuer- pos que quedan?
5. Este otro corte es un trapecio.
¿Cuánto mide la base pequeña?
¿Por qué la base mayor es el do- ble que la menor?
Si su altura es 1,66 cm, ¿cuál es su área? ¿Cuál es el área del rec- tángulo verde?
6. Al cortar un dodecaedro por un plano, ¿es posible obtener un rec- tángulo? ¿Y un cuadrado?
Un plano corta al dodecaedro en dos trozos iguales pasando por dos
aristas opuestas. ¿Qué polígono es la sección obtenida?
Piensa y practica
1 cm1 cm
1 cm 1 cm
1 cm 1 cm
1 cm
1. Indica por dónde hay que cortar este octaedro regular para obtener:
a) Un cuadrado.
b) El cuadrado más grande posible.
c) Un trapecio.
d) Un hexágono.
e) Un pentágono.
2. Observa el icosaedro regular y contesta:
a) Si un plano corta a las cinco aristas que salen de un vértice, ¿qué figura se obtiene?
b) Si cortamos por un pla- no paralelo a una cara y próximo a ella, ¿qué obte- nemos?
c) ¿Se podría obtener un de- cágono regular a partir de un corte?
Piensa y practica
Sugerencias
• El corte de un plano con un poliedro abre un gran abanico de posibles actividades que ayudan a mejorar la visión espacial de los alumnos y de las alumnas.
• Estos contenidos no requieren conocimientos, por lo que estudiantes de niveles más bajos con buena visión espacial son capaces de resolver ejercicios planteados en este epígrafe.
• Es de gran ayuda construir poliedros de plastilina y cortarlos con una superficie plana, como un cúter, para mejorar la claridad de las explica- ciones y resolver algunas actividades.
• Conviene tener en cuenta que muchos de los ejercicios y dudas que pueden ser planteados en este epígrafe tienen más de una única solu- ción.
Refuerzo y Ampliación
Se recomiendan:
• Del cuaderno n.º 4 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:
Refuerzo: Ejercicio 2 de la pág. 24. Ejercicio 3 de la pág. 25.
Aprendizaje cooperativo
Si el profesor o la profesora considera oportuno orientar las actividades hacia el aprendizaje cooperativo, se sugiere la siguiente metodología:
• Los estudiantes se distribuyen en parejas o en tríos.
• Se les proporciona un poliedro (regular o no) y se les pide que hagan un estudio pormenorizado del tipo de figuras planas que se pueden obte- ner. Pueden ayudarse con plastilina o poliespán.
• Si no saben resolver las dudas o no se ponen de acuerdo, actuará el profesorado.
Soluciones de “Piensa y practica”
1 a) Por un plano perpendicular a su diagonal.
b) Por un plano perpendicular a la diagonal en la mitad de la misma, esto es, por el centro del octaedro.
c) El plano del apartado b) lo inclinamos tomando como eje sobre el que gira una de las aristas del cuadrado.
d) Por un plano que pase por el centro del octaedro y sea paralelo a una de las caras.
e) El plano pasaría por un vértice y dos puntos de aristas que no con- curren en ese vértice.
2 a) Un pentágono.
b) Un polígono de nueve lados.
c) Obtendríamos un decágono regular si cortásemos por un plano ho- rizontal, estando el icosaedro apoyado sobre un vértice, a mitad de la altura de la diagonal que une ese vértice con el opuesto a él.
3 a) El lado mide 1,41 cm y la apotema 1,22 cm.
b) A = 5,16 cm
2c) El volumen de cada parte será de 4 cm
3.
4 Los dos cuerpos que quedan son iguales y sus caras son dos triángu- los equiláteros de arista 1 cm, el cuadrado de 1 cm de lado y dos tra- pecios de bases 1 cm y 2 cm y altura 2 3 cm.
Por tanto, la suma de estas áreas es:
2 1·
2 2 3
2 1 2 2
2 3 1 2 3 1
· + · + · + = ^ + h cm
2, que es el área de cada uno de los dos cuerpos que quedan.
5 La base pequeña mide 1 cm. La base mayor es el doble que la menor ya
que el triángulo que determina en la cara del tetraedro sobre la que se
apoya, es equilátero de arista 2 cm. El área del rectángulo verde es 2 cm
2.
6 Un hexágono.
11 UNIDAD
227 226
6 Cilindros
Haciendo girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados, se genera un ci- lindro recto. Es, pues, un cuerpo de revolución.
Las bases de un cilindro recto son círculos. La distancia entre las bases se llama altura.
Superficie de un cilindro recto
Al cortar un cilindro como ves, se obtiene su desarrollo plano:
h h
2πr r
r r
Se aprecia que la pared lateral del cilindro es un rectángulo cuya base es igual al perímetro del círculo, 2πr, y cuya altura, h, es la del cilindro. Por tanto:
área lateral = 2πr · h
área total = área lateral + área de las dos bases = 2πrh + 2πr2 Etimología
Cilindro. Del griego kulindo, que significa “enrollado”, pues el cilindro tiene forma de rollo o cosa enrollada.
Ejercicio resuelto Hallar el área lateral y el área total de
este cilindro: 5 dm
3 dm Alat = 2π · 3 · 5 = 30π = 94,2 dm2
Atotal = 94,2 + 2π · 32 = 94,2 + 56,52 = 150,72 dm2
7 Conos
Haciendo girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de los catetos, se obtiene un cono recto. Es, pues, un cuerpo de revolución.
La altura es la distancia del vértice a la base. El segmento g (hipotenusa del triángulo rectángulo) recibe el nombre de generatriz.
Superficie de un cono recto
2πr 2πr g g
r h g
r
El desarrollo de la superficie lateral de un cono recto es un sector circular de radio g. ¿Qué porción de círculo tiene ese sector? Vamos a averiguarlo:
• La circunferencia completa tiene una longitud de 2πg.
• El sector tiene una longitud de 2πr.
superficie del círculo longitud de la circunferencia
superficie del sector longitud del arco
=
π
π π 8 π
π π g
g
Ar A r gg
2 2
2 2 · 2
= = 2 = πrg
Por tanto:
área lateral = πrg
área total = área lateral + área de la base = πrg + πr 2 h, r y g cumplen la relación:
g2 = h2 + r2
g h g
r r
2πr g A
1. Dibuja en tu cuaderno los cilindros que se generan al hacer girar este rec- tángulo alrededor de:
a) CD b) BD
A B
C D
2. ¿Qué cantidad de chapa se necesita para construir un depósito cilíndrico cerrado de 0,6 m de radio de la base y 1,8 m de altura?
3. Se han de impermeabilizar el suelo y las paredes inte- riores de un aljibe cilíndrico abierto por arriba. El ra- dio de su base mide 4 m, y la altura, 5 m. Si cuesta 18 € impermeabilizar 1 m2, ¿cuál es el coste de toda la obra?
4. Dibuja el desarrollo de un cilindro recto cuya base tiene 2 cm de radio y cuya altura es de 8 cm.
5. Toma algunas medidas y decide cuál de los siguientes desarrollos corresponde a un cilindro.
Piensa y practica
Etimología
Cono. Viene del latín, y significa piña. Te extraña, ¿verdad? Sin embar- go, te resultará menos raro si recuer- das que los pinos son coníferas (que producen conos).
1. Calcula el área lateral y el área total de este cono, sabiendo que:
MO = 84 cm MN = 85 cm
N M
O
2. Dibuja los conos que se obtienen al hacer girar este triángulo rectángulo:
a) Alrededor de AC.
b) Alrededor de BC.
Calcula el área total de ambos.
A
C B
16 cm 30 cm Piensa y practica
Cilindro: definiciones y desarrollo.
En la web
Cono: definiciones y desarrollo.
En la web
Sugerencias
• La superficie cilíndrica es generada por una recta que gira alrededor de otra paralela. Para generar un cilindro, se hace girar un rectángulo alre- dedor de uno de sus lados.
• Un cilindro también puede obtenerse trasladando un círculo a lo largo de su eje. Un montón de monedas “materializa” muy bien esta idea.
• En los cilindros rectos el eje es perpendicular al plano del círculo, mien- tras que en los oblicuos no lo es. La mejor manera de hacerse una idea de un cilindro oblicuo es una barra de fiambre cortada en la charcutería:
dos cortes rectos y paralelos que no sean perpendiculares al eje.
• Para deducir la fórmula que nos permite calcular el área de un cilindro, basta con efectuar a este un corte recto y paralelo al eje. Al desplegarse se observa que, como en el caso de los prismas, se trata de un rectán- gulo y donde aparecían las bases ahora tenemos los círculos.
• Estimamos que es interesante asimilar la idea de cilindro con la de pris- ma para que los estudiantes vean que el procedimiento para el cálculo de áreas es idéntico. Por otra parte, si consideramos al círculo como un polígono de infinitos lados, el cilindro sería un prisma con muchísimas caras.
• Una vez deducida el área del cilindro como se ha hecho, el docente puede considerar dar un paso más y pedir a los estudiantes que, sacan- do factor común, de 2πrh + 2πr
2pasen a 2πr · (h + r ).
Refuerzo y Ampliación
Se recomiendan:
• Del cuaderno n.º 4 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:
Refuerzo: Ejercicios 1 y 2 de la pág. 26.
Ejercicio 3 de la pág. 27.
Ampliación: Ejercicios 4, 5 y 6 de la pág. 27.
Soluciones de “Piensa y practica”
1 a) b)
2 Se necesitan 9,0432 m
2. 3 El coste será de 3 165,12 €.
4
12,56 cm 2 cm
8 cm
5 El primero.
ANOTACIONES
11 UNIDAD
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6 Cilindros
Haciendo girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados, se genera un ci- lindro recto. Es, pues, un cuerpo de revolución.
Las bases de un cilindro recto son círculos. La distancia entre las bases se llama altura.
Superficie de un cilindro recto
Al cortar un cilindro como ves, se obtiene su desarrollo plano:
h h
2πr r
r r
Se aprecia que la pared lateral del cilindro es un rectángulo cuya base es igual al perímetro del círculo, 2πr, y cuya altura, h, es la del cilindro. Por tanto:
área lateral = 2πr · h
área total = área lateral + área de las dos bases = 2πrh + 2πr2 Etimología
Cilindro. Del griego kulindo, que significa “enrollado”, pues el cilindro tiene forma de rollo o cosa enrollada.
Ejercicio resuelto Hallar el área lateral y el área total de
este cilindro: 5 dm
3 dm Alat = 2π · 3 · 5 = 30π = 94,2 dm2
Atotal = 94,2 + 2π · 32 = 94,2 + 56,52 = 150,72 dm2
7 Conos
Haciendo girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de los catetos, se obtiene un cono recto. Es, pues, un cuerpo de revolución.
La altura es la distancia del vértice a la base. El segmento g (hipotenusa del triángulo rectángulo) recibe el nombre de generatriz.
Superficie de un cono recto
2πr 2πr g g
r h g
r
El desarrollo de la superficie lateral de un cono recto es un sector circular de radio g. ¿Qué porción de círculo tiene ese sector? Vamos a averiguarlo:
• La circunferencia completa tiene una longitud de 2πg.
• El sector tiene una longitud de 2πr.
superficie del círculo longitud de la circunferencia
superficie del sector longitud del arco
=
π
π π 8 π
π π g
g
Ar A r gg
2 2
2 2 · 2
= = 2 = πrg
Por tanto:
área lateral = πrg
área total = área lateral + área de la base = πrg + πr 2 h, r y g cumplen la relación:
g2 = h2 + r2
g h g
r r
2πr g A
1. Dibuja en tu cuaderno los cilindros que se generan al hacer girar este rec- tángulo alrededor de:
a) CD b) BD
A B
C D
2. ¿Qué cantidad de chapa se necesita para construir un depósito cilíndrico cerrado de 0,6 m de radio de la base y 1,8 m de altura?
3. Se han de impermeabilizar el suelo y las paredes inte- riores de un aljibe cilíndrico abierto por arriba. El ra- dio de su base mide 4 m, y la altura, 5 m. Si cuesta 18 € impermeabilizar 1 m2, ¿cuál es el coste de toda la obra?
4. Dibuja el desarrollo de un cilindro recto cuya base tiene 2 cm de radio y cuya altura es de 8 cm.
5. Toma algunas medidas y decide cuál de los siguientes desarrollos corresponde a un cilindro.
Piensa y practica
Etimología
Cono. Viene del latín, y significa piña. Te extraña, ¿verdad? Sin embar- go, te resultará menos raro si recuer- das que los pinos son coníferas (que producen conos).
1. Calcula el área lateral y el área total de este cono, sabiendo que:
MO = 84 cm MN = 85 cm
N M
O
2. Dibuja los conos que se obtienen al hacer girar este triángulo rectángulo:
a) Alrededor de AC.
b) Alrededor de BC.
Calcula el área total de ambos.
A
C B
16 cm 30 cm Piensa y practica
Cilindro: definiciones y desarrollo.
En la web
Cono: definiciones y desarrollo.
En la web
Sugerencias
• Continuando con el argumento esgrimido para explicar la generación de superficies cilíndricas, la superficie cónica se genera por una recta que gi- ra alrededor de un eje al cual corta. Haciendo un triángulo rectángulo en cartulina y girándolo alrededor de un cateto se formará un cono.
• Subrayar que al cortar una superficie cónica por un plano no perpendi- cular al eje se obtiene un cono oblicuo cuya base es una elipse.
• Para deducir la fórmula que nos permite calcular el área del cono, corta- mos un cono y lo desplegamos sobre la mesa. Lo que se ve es un sector circular más el círculo de la base. Utilizando los conceptos que el alum- nado ya debe poseer sobre proporcionalidad y simplificación de expre- siones algebraicas se llega a la fórmula.
• Otro procedimiento para deducir la fórmula sería el siguiente: el sector circular se puede descomponer en muchos sectores más pequeños, to- dos iguales, de forma que el área de uno de ellos será como el área de un triángulo cuya base sea la longitud del sector y su altura el radio.
Como la longitud del sector es igual a la longitud de la base, esto es, 2πr, y el radio es la generatriz del cono, se puede establecer:
longitud del sector · radio del sector π π
A r g rg
2 2
2 ·
= = =
Refuerzo y Ampliación
Se recomiendan:
• Del cuaderno n.º 4 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:
Refuerzo: Ejercicio 1 de la pág. 28. Ejercicio 2 de la pág. 29.
Ampliación: Ejercicios 3, 4 y 5 de la pág. 29.
• Del fotocopiable TRATAMIENTO DE LA DIVERSIDAD:
Refuerzo: Ejercicio 2 de la ficha A.
Soluciones de “Piensa y practica”
1 A
lat= π · 13 · 85 = 3 469,7 cm
2A
total= 3 469,7 + 530,66 = 4 000,36 cm
22 a)
A
lat= 30 · π · 34 = 3 202,8 cm
2A
total= 3 202,8 + 2 826 = 6 028,8 cm
2b)
A
lat= 16 · π · 34 = 1 708,16 cm
2A
total= 1 708,16 + 803,84 = 2 512 cm
230 cm
30 cm 34 cm
34 cm 16 cm
16 cm 16 cm
30 cm
30 cm 34 cm
34 cm 16 cm
16 cm 16 cm
ANOTACIONES
Sugerencias
• Resulta conveniente presentar a los estudiantes las dos formas de obte- ner un tronco de cono:
– Cortando un cono por un plano paralelo a la base.
– Girando un trapecio rectángulo alrededor de la altura.
– También podría hacerse con un trapecio isósceles girando alrededor de su eje de simetría.
• Puede hacerse la experiencia de cortar cucuruchos de papel con un cúter para obtener distintos troncos de cono.
• Para obtener las dimensiones de un tronco de cono, recurrimos a una aplicación de la semejanza de triángulos: como se ve en el dibujo, se trata de dos triángulos rectángulos en posición de Tales.
Es bueno que los alumnos y las alumnas sientan que los conocimientos aprendidos en un momento dado sirven para la obtención de medidas y cálculos posteriores.
Esto les ayudará a ver las matemáticas como una disciplina en la que se entremezclan sus diferentes partes y en la que los conocimientos más sencillos son imprescindibles para adquirir los más complejos.
• La forma más sencilla para calcular el área de un tronco de cono es la de restar al área del cono grande la del pequeño que se quita de la parte superior. Después de hacerlo así, puede pedirse a los estudiantes que comprueben que se obtiene el mismo resultado aplicando la fórmula:
A
lat= π(r + r’)g
• Consideramos que la demostración de la fórmula entraña cierta dificul- tad y, por lo tanto, puede pedirse como trabajo de ampliación para aquellos de mayor capacidad.
11 UNIDAD
229 228
8 Troncos de cono
Si cortamos un cono por un plano paralelo al plano de la base, el cuerpo geométrico comprendido entre los dos planos se llama tronco de cono.
El tronco de cono es un cuerpo de revolución que se genera haciendo girar un trapecio rectángulo alrededor de su altura.
El triángulo formado por g, h y r – r' es rectángulo. Por tanto:
g 2 = h 2 + (r – r' )2
g g
r r – r'
h r' r'
r r'
Tiene dos bases circulares. La altura es la distancia entre las bases, y la genera- triz es el segmento que ha generado la superficie lateral.
1. El cono cuya base tiene un radio de 12 cm y cuya altura es de 16 cm es cortado por un plano perpendi- cular a su eje que pasa a 4 cm de la base.
Halla las dimensiones, el área lateral y el área total del tronco de cono que se forma.
2. Halla la superficie de una fla- nera abierta por arriba, con las siguientes medidas: radio de las bases, 10 cm y 15 cm; genera- triz, 13 cm.
Piensa y practica
Superficie de un tronco de cono
r 2πr
2πr' g
g
r r' r'
r' r'
El cálculo del área lateral de un tronco de cono puede hacerse restando las áreas laterales de dos conos, como se procedió en el ejercicio resuelto de la página an- terior. Sin embargo, existe una fórmula muy sencilla con la que se puede calcular con gran comodidad:
área lateral = π(r + r' )g área total = π(r + r' )g + πr 2 + πr' 2
La demostración de estas fórmulas es difícil para este curso y no nos detendremos en ella.
Ejercicio resuelto Hallar, aplicando las fórmulas, el área del tronco de cono que se ha visto en el ejercicio resuelto de la página anterior.
15 cm 10 cm
12 cm 13 cm
Tendremos en cuenta que:
• r = 15 cm
• r' = 10 cm
• g = 13 cm Entonces:
Alat = π(r + r' )g = π(15 + 10) · 13 = 325π ≈ 1 021 cm2 Atot = π(r + r' )g + πr 2 + πr' 2 = 1 021 + π · 152 + π · 102 ≈ 2 042 cm2 Practica el cálculo de la superficie de un
tronco de cono.
En la web
3. En nuestro jardín tenemos 32 macetones con for- ma de tronco de cono. Los radios de sus bases mi- den 14 cm y 20 cm, respectivamente, y su genera- triz, 38 cm. Calcula cuánto cuesta pintarlos (solo la parte exterior) a razón de 40 € por metro cuadrado.
4. Observa este tronco de co- no cuyas bases tienen radios de 17 cm y 22 cm, y cuya altura es de 12 cm.
22 cm 17 cm 12 cm
a) Halla su generatriz.
b) Calcula su área lateral.
c) Halla el área total.
Piensa y practica
Ejercicio resuelto Un cono, cuya base tiene 15 cm de radio y cuya altura es de 36 cm, es cortado por un plano que pasa a 12 cm de su base.
Calcular las dimensiones y el área lateral del tronco de cono resultante.
12 cm 15 cm
36 cm
Calculamos la generatriz del cono por el teorema de Pitágoras:
362+152= 1521 = 39 cm
Las medidas del tronco de cono se obtienen por semejanza de triángulos:
·
' 8 '
r r
24 3615
24 1536
= = = 10 cm
' 8 '
g g
24=3639 =2436·39 = 26 cm g = 39 cm – 26 cm = 13 cm r = 15
36 12 24
39 g g' r'
El área lateral del tronco de cono es el área lateral del cono de altura 36 cm menos la del cono de altura 24 cm:
Alat = π · 15 · 39 – π · 10 · 26 = 325π ≈ 1 021 cm2
Refuerzo y Ampliación
Se recomiendan:
• Del cuaderno n.º 4 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:
Refuerzo: Ejercicio 6 de la pág. 30.
Ampliación: Ejercicio 7 de la pág. 30.
• Del fotocopiable TRATAMIENTO DE LA DIVERSIDAD:
Ampliación: Ejercicio 3 de la ficha B.
Soluciones de “Piensa y practica”
1 r’ = 9 cm; A
lat= 329,7 cm
2; A
TOTAL= 1 036,2 cm
22 A
total= 1 334,5 cm
23 Costará aproximadamente 520 €.
4 a) g = 13 cm
b) A
lat= 1 591,98 cm
2c) A
total= 4 019,2 cm
2ANOTACIONES
Sugerencias
• Haciendo girar un semicírculo (o un círculo completo) alrededor de su diámetro se obtiene la esfera.
• La esfera, al contrario de lo que ocurre con el resto de cuerpos de revo- lución, no puede desarrollarse en el plano, es decir, nunca podríamos aplanar la superficie de una esfera. Los alumnos y las alumnas podrán comprobar este hecho cortando una pelota de tenis ya usada.
• Arquímedes, en su libro Sobre el círculo y la esfera, nos dice que el área de una esfera es cuatro veces el área de su círculo máximo.
• Como muy bien sabe el profesorado, la deducción o la demostración de la fórmula para el cálculo de la superficie de la esfera está muy lejos del nivel de comprensión propio de los estudiantes de esta edad.
Nosotros hemos optado por señalar mediante una imagen que la su- perficie esférica es igual a la del cilindro que la envuelve y, a partir de ahí, deducir muy sencillamente la fórmula. Esta interesante relación también nos permite deducir las fórmulas para calcular superficies de casquetes y zonas esféricos.
Refuerzo y Ampliación
• Del cuaderno n.º 4 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:
Refuerzo: Ejercicios 1 y 3 de la pág. 31.
Ampliación: Ejercicios 2 y 4 de la pág. 31.
• Del fotocopiable TRATAMIENTO DE LA DIVERSIDAD:
Refuerzo: Ejercicio 6 de la ficha A.
Soluciones de “Piensa y practica”
1 Zonas polares 8 502,4 cm
2; Zonas templadas 8 2 512 cm
2Zona cálida 8 2 009,6 cm
22 Se ha manchado de verde 2 072,4 cm
2de balón.
11 UNIDAD
231 230
9 Esferas
La esfera se genera haciendo girar un semicírculo alrededor de su diámetro.
Es, pues, un cuerpo de revolución.
La esfera queda determinada por su radio, R.
Superficie de la esfera
La superficie de la esfera se llama superficie esférica. Solo se puede desarrollar so- bre el plano aproximadamente. Sin embargo, sí podemos medir su área mediante una sencilla fórmula.
Imaginemos la esfera envuelta por un cilindro que se ajusta por completo a ella. Pues bien, el área de la esfera es igual que el área lateral de ese cilindro.
Alateral del cilindro = 2πR · 2R = 4πR 2 R 2R R
R
El área de la superficie esférica de radio R es A = 4πR 2.
Esta relación entre la esfera y el cilindro que la envuelve es muy interesante, porque vale también para proporciones de esfera limitadas por planos paralelos.
CASQUETE ESFÉRICO
ZONA ESFÉRICA h
h
Área del casquete esférico = Área lateral de la porción de cilindro correspondiente = 2πR h
Área de la zona esférica = Área late- ral de la porción de cilindro corres- pondiente = 2πR h
Etimología
En griego, sfaira significa “pelota”.
Observa
¿Qué superficie tiene la parte colorea- da de rojo?
Radio de la esfera = 9 m 4 m
A = 2π · 9 · 4 ≈ 226 m2
Practica el cálculo de superficies de figuras esféricas.
En la web
10 Secciones de esferas, cilindros y conos
• El corte de un plano con una esfera es, siempre, un círculo. Resulta interesante relacionar su ra- dio, r, con el radio de la esfera, R, y con la dis- tancia del plano de corte al centro de la esfera.
r
d R
• Un plano perpendicular al eje de un cilindro corta a este en una circunferencia igual a su base.
Sin embargo, si el corte es algo inclinado, el re- sultado es una hermosa curva llamada elipse, más o menos alargada según la inclinación del plano.
eje mayor
eje menor
Compruébalo echando algo de agua en un vaso e inclinándolo. Verás toda una familia de elipses tanto más alargadas cuanto más inclinas el vaso.
Ejercicio resuelto Un vaso cilíndrico de 7 cm de diámetro y 12 cm de altura con agua se inclina hasta que el agua llega al borde.
Por la otra parte, el agua que- da a 3 cm del fondo del vaso.
¿Cuánto miden los dos ejes de la elipse que forma la superficie del agua?
Hacemos un esquema del vaso de agua y obser- vamos que el eje mayor de la elipse corresponde a la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos conocemos. Lo calculamos:
x = 92+ = 11,4 cm72 11,4 cm
9 cm 7 cm
12 cm
7 cm 3 cm x
Solución: El eje menor tiene una longitud igual al diámetro del vaso, 7 cm, y el eje mayor
mide 11,4 cm. 11,4 cm
9 cm 7 cm
12 cm
7 cm 3 cm x
R
1. En una esfera terrestre escolar de 20 cm de radio están seña- ladas las zonas climáticas. Sabe- mos que cada casquete polar tie- ne 2 cm de altura, y cada zona templada, 10 cm de altura.
POLAR TEMPLADA
CÁLIDA
TEMPLADA POLAR
Halla la superficie de cada zona climática.
2. Se ha caído un balón de fútbol en un barreño lleno de pintura verde. Sa-
bemos que la superficie del balón es de 6 079 cm2. Si se ha hundido unos 15 cm en la pintura, ¿qué proporción de balón se ha manchado de verde?
Toma el valor de π como 3,14.
Piensa y practica
Ejercicio resuelto Una esfera de 13 cm de radio es cortada por un plano que determina en ella una circunfe- rencia de 12 cm de radio. Cal- cular la distancia del centro de la esfera al plano.
La distancia es uno de los catetos de un triángulo rec- tángulo del que conocemos el otro cateto y la hipote- nusa. La calculamos:
d = 132–122= 169 144– = 25 = 5 cm Solución: El plano dista 5 cm del centro de la esfera.
13
d 12
