Cap´ıtulo 1
Matrices.
1.1. Conceptos B´asicos
Definici´on 1.1. Una matriz sobre el cuerpo de los n´umeros reales es un ordenamiento rectangular de n´umeros denotado por:
A =
2 6 6 6 4
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... ... ...
am1 am2 · · · amn 3 7 7 7 5
donde aij 2R, i = 1;2; : : : ; m y j = 1;2; : : : ; n.
La i-´esima fila de A es(ai1 ai2 : : : ain)con1i m. Mientras que la j-´esima columna de A es: 0
B B B @
aij
a2j
... amj
1 C C C A
con1j n. Por ´ultimo el elemento aij se denomina la entrada ij de la matriz A. Considerando lo anterioe podemos
denotar la matriz A por:
A = [aij]
Si una matriz A posee m filas y n columnas, diremos que A es una matriz de orden m por n, lo cual es denotado como m ⇥n. Si m =n, diremos que la matriz A es cuadrada de orden n y que los elementos a11; a22; : : : ; ann, forman la
diagonal principal de la matriz A.
El conjunto Mn⇥m(K)denotara el conjunto de todas las matrices de orden n ⇥m sobre el cuerpoK. Cuando m =n
n´umeros reales o con el cuerpo de los n´umeros complejos salvo que se especifique lo contrario.
Definici´on 1.2. Diremos que dos matrices A = [aij]y B = [bij]son iguales si y solamente si ellas son de igual orden y
aij =bij para todo i, para todo j.
Ejemplo 1.1. Observe que en cada caso los pares de matrices dados son diferentes.
a)
2
4 12 31
0 0
3 56=
1 3
2 1 , ya que las matrices en cuesti´on son de orden distinto, mientras la primera matriz es de orden 3x2 la segunda matriz es de orden 2x2.
b)
1 1 0
2 3 4 6=
0 1 0
2 2 4 , ya que los elementos a11y b11son diferentes.
Ejemplo 1.2. Determinemos si existen a; b; c y d , de manera que en cada caso la igualdad sea v´alida.
a)
a2+ 2a 1
b 2 =
3 1
1 +a 2 , en M2(R).
Soluci´on: Observe que
a2+ 2a 1
b 2 =
3 1
1 +a 2 si y solamente si:
(1) a2+ 2a = 3
(2) b = 1 +a
As´ı de la ecuaci´on (1) se tiene que a = 1±ip2, de donde podemos deducir que la igualdad no es v´alida en M2(R).
b)
c2 c + 1 d
c+ 2d 1 =
3 2c
6 1 , en M2(R).
Soluci´on: Observe que:
c2 c + 1 d
c+ 2d 1 =
3 2c
6 1 si y solamente si:
(1) c2 c+ 1 = 3
(2) d = 2c
(3) c+ 2d = 1
Asi de las ecuaciones (2) y (3) obtenemos que c = 5
c)
a2+ 2a+b 1
a+b+c 2 =
a2+ 1 2c
b 2d , en M2(R).
Soluci´on: Observe que
a2+ 2a+b 1
a+b+c 2 =
a2+ 1 2c
b 2d , en M2(R)si y solamente si:
(1) a2+ 2a+b = a2+ 1
(2) a+b+c = b
(3) 1 = 2c
(4) 2 = d
As´ı de las ecuaciones (1), (2), (3) y (4) se tiene que:
a = 1
2; b = 0; c = 1
2; d = 2:
1.2. Matrices Especiales
Definici´on 1.3. Definimos la matriz nula o matriz cero de orden n ⇥m, por la matriz que posee todas sus entradas cero, la cual denotaremos por:
0m⇥n = 0:
Ejemplo 1.3.
a) 02 =
0 0
0 0 b) 03⇥4 =
2
4 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0
3 5
Definici´on 1.4. Sea A = [aij]2Mn(R), diremos que A es una matriz diagonal si y s´olamente si las entradas aij = 0
para todo i 6=j. Ejemplo 1.4.
a) A =
0 0
0 1 b) B =
2 6 6 4
1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4
3 7 7 5
Definici´on 1.5. La Matriz Identidad o Matriz Unitaria de orden n es la matriz diagonal de orden n tal que las entradas aii = 1. La matriz identidad se denotar´a por In.
a. Triangular Superior si las antradas aij = 0;8i ¿ j.
b. Triangular Inferior si las entradas aij = 0;8i ¡ j.
Ejemplo 1.5. Observe que:
a. A =
2
4 1 2 30 0 0 0 0 3
3
5es una matriz triangular superior.
b. B =
2
4 1 0 00 0 0 0 0 3
3
5es una matriz triangular inferior.
1.3. Operaciones entre Matrices.
Agregar Introducci´on:
Definici´on 1.7. (Adici´on de matrices) Sean A = [aij]; B = [bij]2Mn⇥m(R). Definimos la suma entre A y B por:
A +B = [aij] + [bij] = (cij) = (aij +bij)
Observe que la suma de matrices esta definida solamente para matrices de mismo orden.
Ejemplo 1.6. Observe que si A =
1 2 3
0 1 2 ; B =
1 21 3
2 1 4 , entonces se tiene que:
A +B =
1 2 3
0 1 2 +
1 21 3
2 1 4 =
2 23 0
2 12 6
Teorema 1.1. (Mn⇥n(R);+)es un grupo abeliano, es decir la suma es asociativa, conmutativa, existe elemento neutro
y existe elemento inverso.
Demostraci´on. Analicemos las propiedades de grupo.
1. Asociatividad. Sean A = [aij]; B = [bij]; C = [cij]2Mn⇥n(R), entonces:
A+ (B+C) = [aij] + ([bij] + [cij]) = [aij] + ([bij +cij])
= [aij + (bij +cij)] = [(aij +bij) +cij]
= ([aij +bij)] + [cij]
= [(aij] + [bij]) + [cij] = (A+B) +C
2. Existenacia de elemento neutro. Observe que0n⇥m es el neutro aditvo.
3. Inverso aditivo. Dada A = [aij]2Mn⇥n(R), es facil observar que A = [ aij]es el inverso aditivo de A.
4. Conmutavidad. Sean A = [aij]; B = [bij]2Mn⇥n(R), entonces:
A +B = [aij] + [bij]
= [aij +bij]
= [bij +aij]
= [bij] + [aij]
=B+A
Por lo tanto la adici´on de matrices es conmutativa.
As´ı de 1, 2, 3 y 4 se tiene que(Mn⇥n(R);+)es un grupo abeliano.⇤
Definici´on 1.8. (Ponderaci´on de una matriz por un escalar) Sean A = [aij] 2 Mn⇥m(R)y k 2 Rdefinimos el
producto de un escalar k por la matriz A por:
k ·A =k[aij] = (kaij)
Ejemplo 1.7. Observe que si A =
1 2 3
0 1 2 y k = 2entonces:
2A = ( 2)
1 2 3
0 1 2 =
2 4 6
0 2 4
Definici´on 1.9. (Multiplicaci´on de matrices) Sean A = [aij] 2 Mm⇥n(R)y B = [bij] 2 Mn⇥p(R). Definimos el
producto de las matricres A y B por:
AB = [aij]m⇥n[bij]n⇥p = [acj]m⇥p
donde:
cij = n X
k=1
Ejemplo 1.8. Sean A =
1 2 1
3 1 4 ; B =
2
4 24 53
2 1
3
5, entonces:
AB =
1 2 1
3 1 4
2
4 24 53
2 1
3 5=
4 2
6 16 :
Observaciones.
1. El producto de matrices posee dividores de cero, es decir si AB = 0esto no implica necesariamente que A = 0
o B = 0.
2. El producto de matrices no es conmutativo.
Ejemplo 1.9. Consideremos A =
2
4 1 0 01 0 0 0 0 0
3 5; B =
2
4 0 0 01 0 0 0 0 0
3
5entonces:
AB =
2
4 1 0 01 0 0 0 0 0
3 5
2
4 0 0 01 0 0 0 0 0
3 5=
2
4 0 0 00 0 0 0 0 0
3 5
por otro lado:
BA =
2
4 0 0 01 0 0 0 0 0
3 5
2
4 1 0 01 0 0 0 0 0
3 5=
2
4 0 0 01 0 0 0 0 0
3 5
Por lo tanto AB 6=BA:
Definici´on 1.10. Si A es una matriz cuadrada de orden n y k 2N, definimos las potencias de la matriz A por:
A0 = I
n
Ak = AAk 1:
Ejemplo 1.10. Dada A =
1 0
1 1 , determinemos A
3.
Soluci´on: Observe que:
A2 =
1 0 1 1
1 0
1 1 =
1 0 2 1
A3 = AA2 =
1 0 1 1
1 0
2 1 =
Ejemplo 1.11. Demuestre que para todo natural n se tiene que:
An =
2
4 p0 1 0p 1
0 0 p
3 5 n
=
2 4 p
n npn 1 n(n 1) 2 pn 2
0 pn npn 1
0 0 pn
3 5
Soluci´on: Demostremos la afirmaci´on dada usando el principio de Inducci´on Matem´atica.
1. Claramente la igualdad es valida para n = 1.
2. Hip´otesis de inducci´on. Supogamos que para n =k se tiene que la igualada es v´alida, es decir:
Ak =
2
4 p0 1 0p 1
0 0 p
3 5 k
=
2 4 p
k kpk 1 k(k 1) 2 p
k 2
0 pk kpk 1
0 0 pk
3 5:
3. Por demostrar que para n =k + 1la afirmaci´on es v´alida. En efecto:
Ak+1 =
2
4 p0 1 0p 1
0 0 p
3 5
2 4 p
k kpk 1 k(k 1) 2 pk 2
0 pk kpk 1
0 0 pk
3 5
=
2 4 p
k+1 (k + 1)pk k +pk 1+ k(k 1) 2 pk 1
0 pk+1 (k + 1)pk
0 0 pk+1
3 5
=
2 4 p
k+1 (k + 1)pk k(k+1) 2 pk 1
0 pk+1 (k + 1)pk
0 0 pk+1
3 5
As´ı de 1, 2 y 3 podemos deducir que para todo n 2Nse tiene que:
An =
2
4 p0 1 0p 1
0 0 p
3 5 n
=
2 4 p
n npn 1 n(n 1) 2 p
n 2
0 pn npn 1
0 0 pn
3 5
Definici´on 1.12. Sea A = [aij]2Mn(R). Diremos que A es una Matriz Nilpotente si y solamente existe k 2Ntal
que si Ak = 0.
Definici´on 1.13. Sea A = [aij]2Mn(R). Diremos que A es una Matriz Involutiva si y solamente si A2 =In.
Ejemplo 1.12. Consideremos las matrices A =
1 0
0 0 ; B =
2
4 00 1 00 0
0 1 0
3 5; C =
1 1
0 1 . Observe que:
a. La matriz A =
1 0
0 0 es Idempotente. En efecto:
A2 =
1 0 0 0
1 0
0 0 =
1 0
0 0 =A:
b. La matriz B =
2
4 00 1 00 0
0 1 0
3
5es Nilpotente de orden dos. En efecto.
B2 =
2
4 00 1 00 0
0 1 0
3 5
2
4 00 1 00 0
0 1 0
3 5=
2
4 0 0 00 0 0 0 0 0
3 5
c. La matriz C =
1 1
0 1 es Involutiva. En efecto:
CC =
1 1
0 1
1 1
0 1 =C =
1 0 0 1
Ejemplo 1.13. Analicemos el valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones:
a. Para todo n´umero natural n se tiene que:
x 1
0 x
n
=
xn nxn 1
0 xn
Soluci´on: Analicemos la afirmaci´on via el principio de inducci´on matem´atica:
b) Hipotesis de Induci´on. Supongamos que la afirmaci´on es v´alida n =k , es decir:
x 1
0 x
k
=
xk kxk 1
0 xk
c) Por demostremos que si n =k + 1entonces:
x 1
0 x
k+1
=
xk+1 (k + 1)xk
0 xk+1
En efecto:
x 1
0 x
k+1
=
x 1
0 x
x 1
0 x
k
=
x 1
0 x
xk kxk 1
0 xk =
xk+1 (k + 1)xk
0 xk+1
As´ı de lo anterior tenemos que la afirmaci´on dada es v´alida.
b. Si A; B 2Mn(R)son matrices idempotentes que conmutan entonces:
(A +B)4 =A+B+ 14AB:
Soluci´on: Sabemos que A2 =B2 =I y AB =BA por lo tanto:
(A +B)4 = (A+B)2(A+B)2
= (A2+AB+BA+B2)(A2+AB+BA+B2)
= (A2+ 2AB+B2)2 = (A + 2AB+B)2
= (A+B+ 2AB)2 = (A+B)2+ 2(A +B)2AB+ 2(2AB)2
=A+B+ 2AB+ 4AB+ 4AB2+ 4A2B2
=A+B+ 14AB:
As´ı de lo anterior podemos deducir que la afirmaci´on dada es v´alida.
Definici´on 1.14. Sea A = [aij] 2 Mm⇥n(R), definimos la matriz traspuesta deA por la matriz At = [bij] 2
Mn⇥m(R), donde
bij =aji:
Ejemplo 1.14. Sean A =
1 3 4
5 6 10 y B =
2
4 13 150 57
2 1 10
3
5, entonces:
At =
2
4 13 56
4 10
3 5=A
Bt =
2
4 10 153 21
5 7 10
3 5= B
por lo tanto A es una matriz sim´etrica, mientra B es una matriz antisim´etrica. Teorema 1.2. Sean A; B 2Mm⇥n(R)y k 2R. Entonces:
a. (At)t =A:
b. (kA) = kAt:
c. (A+B)t =At +Bt.
d. Si el producto AB existe, entonces(AB)t =BtAt:
Definici´on 1.15. Sea A = [aij]2Mn(R). Definimos la traza de A por
tr(A) =
n X
k=1
akk
Teorema 1.3. Sean A; B 2Mn(R)y k 2R. Entonces
a. tr(kA) =k ·tr(A):
b. tr(A+B) = tr(A) + tr(B):
c. tr(AB) = tr(A)tr(B).
d. Si el producto AB existe, entonces(AB)t =BtAt:
Definici´on 1.16. Sea A 2Mn(R)diremos que A es una Matriz Sim´etrica si y solamente si At =A.
Definici´on 1.17. Sea A 2Mn(R)diremos que A es una Matriz Antisim´etrica si y solamente si At = A.
Ejemplo 1.15.
a. Si A =
2
4 12 26 36
3 6 33
3
5entonces At =
2
4 12 26 36
3 6 33
3
b. Si A =
2
4 02 2 30 6
3 6 0
3
5entoncesAt =
2
4 02 20 36
3 6 0
3
5 = A, por lo tanto A es una matriz
anti-sim´etrica.
Proposici´on 1.1. Dada A 2 Mn(R)existe una descomposici´on ´unica de como la suma de una matriz sim´etrica con
una matriz antisim´etrica.
Demostraci´on. Sea A 2Mm(R), consideremos AS = 1
2(A+A
t)y A A = 1
2(A A
t). Observe que:
AS +AA = 1
2(A+A
t) + 1
2(A A
t) = 1
2(A +A
t+A At) =A:
Por otro lado tenemos que:
(AS)t = 1
2(A+A
t)t = 1
2(A
t + (At)t) = 1
2(A
t +A) =A S
(AA)t = 1
2(A A
t)t = 1
2(A
t (At)t) = 1
2(A
t A) = A S
Asi de lo anterior podemos deducir que AS es una matriz sim´etrica y AA es una matriz antisim´etrica.
Por lo tanto de lo anterior podemos deducir que si A 2Mn(R)entonces existen AS; AA 2Mn(R)tales que:
1. A =AS +AA
2. AS es una matriz sim´etrica.
3. AA es una matriz antisim´etrica.
Por ´ultimo solo falta demostrar la unicidad. Supongamos que:
A =S +H
donde S es una matriz sim´etrica y H es una matriz Antisim´etrica, entonces:
A =S +H
At =St +Ht =S H )
S = 1
2(A +A
t)
^H = 1
2(A A
t)
de lo anterior hemos prbado la unicidad con lo cual concluye la demostraci´on.⇤
Observaciones. Si una matriz es antisim´etrica los elementos de su diagonal est´an obligados a ser ceros. En efecto, si:
[aij]t = [aij])aij = aji )Aii = aii )aii = 0
Ejemplo 1.16. Sea A = 2 4 1 9 8 9 4 9 4 9 4 9 7 9 8 9 1 9 4 9 3
5, A es una matriz ortogonal. En efecto:
AAt =
2 4 1 9 8 9 4 9 4 9 4 9 7 9 8 9 1 9 4 9 3 5 2 4 1 9 4 9 8 9 8 9 4 9 1 9 4 9 7 9 4 9 3 5=I3
AtA =
2 4 1 9 4 9 8 9 8 9 4 9 1 9 4 9 7 9 4 9 3 5 2 4 1 9 8 9 4 9 4 9 4 9 7 9 8 9 1 9 4 9 3 5=I3
Por lo tanto la matriz A es Ortogonal.
Ejemplo 1.17. Sea A =
2 4 a 2 3 2 3 2 3 1 3 b
c b 1
3
3
5determinemos si existen a; b; c 2Rpara que la matriz A sea ortogonal.
Soluci´on: Observe que si la matriz A es ortogonal entonces se debe tener que:
AAt =I
es decir:
A =
2 4 a
2+8 9 2a 3 + 2 9 + 2b
3 ac+ 2b 3 + 2 9 2a 3 + 2 9 + 2b 3 5 9 +b
2 2c
3 + 2b
3
ac+ 23b +29 23c +23b c2+b2+1 9
3 5=
2
4 1 0 00 1 0 0 0 1
3 5
As´ı, lo anterior obtenemos el sistema cuadr´atico:
a2+8 9 = 1 5
9 +b 2 = 1
c2+b2+1 9 = 1 2a
3 + 2 9 +
2b
3 = 0
ac+ 23b +29 = 0
2c
3 + 2b
3 = 0
del sistema podemos deducir que a = 1
3; b = 2 3 y c =
2 3.
Definici´on 1.19. Sea A 2Mn(R), diremos que A es una Matriz Normal si y solamente si AAt =AtA.
Observaci´on. Note que si A es una matriz sim´etrica, antisim´etrica u ortogonal entonces obviamente A es una matriz normal. Sin embargo no todas las matrices normales son de los tipos de matrices ya mencionados.
Ejemplo 1.18. A =
6 3
AAt = 6 3
3 6
6 3
3 6 =
45 0
0 45 por otro lado
AtA = 6 3
3 6
6 3
3 6 =
45 0
0 45 por lo tanto la matriz A es normal.
