01.Incertidumbre.pdf

Axiomática

1. Comparabilidad: Todas las alternativas en el conjunto de alternativas son comparables

x

;

y

o

y

;

x

o

x

∼

y

o ambas. 2. Transitividad: Si

x

;

y y

,

;

z

⇒

x

;

z

z

i

x

_

3. Independencia fuerte: las loterías pueden ser asociadas a un valor cierto

Si

x

∼

y

⇒

L

(

x z

, ,

α

)

∼

L y

( , , )

z

α

4. Continuidad o mensurabilidad:

Si

x

;

y

≥

o

x y

≥

;

z

⇒ ∃

α

única

/

y

∼

L x

(

, ,

z

α

)

5. Ranking: las loterías pueden ordenarse cardinalmente

Si

x y

≥ ≥

z

∧

x u z

≥ ≥ ⇒

si ∼

L x

∼

1 2

si

α

α

y

u

⇒

>

⇒

;

y

(

, ,

z

α

₁

)

u

∧

L x z

(

, ,

α

₂

)

Implicancias:

1. 2.

+ ⇒

preferencias racionales

1. 2. 4.

+ +

⇒ ∃

( )

U

•

[

]

1

1. 2. 3. 4. 5.

E

( )

_i

( )

i

U

α

U

=

+ + + + ⇒ ∃

• =

∑

×

donde es la función

de utilidad de Von Neumann-Morgenstern (VN-M)

( )

E U



_

•

6. Supuesto adicional: No saciedad, los agentes prefieren tener más riqueza:U

'( ) 0

• >

Conclusión: la función de utilidad vN-M reemplaza un ranking ordinal de proyectos inciertos por un ranking cardinal de proyectos ciertos.

Violaciones de la axiomática:

1. Paradoja de Allais

2. Paradoja de los Votantes de Arrow (no transitividad)

Toma de decisiones bajo incertidumbre

Diferentes objetos de elección:

a) Entorno de Markowitz: Media-Varianza b) State preferences theory

c) Consumo intertemporal

w

₁: estado malo Lotería:

L w

(

₁

,

w p

₂

,

)

2 estados de la naturaleza

w

₂: estado bueno

: probabilidad de pérdida

p

i

p

contrato definido por

i

w

Si la función de “utilidad esperada” cumple axiomática de VN-M, entonces:

Expected Utility of Wealth:

E U w

_



( )

_

 = ×

p U w

( )

₁

+ −

(1

p

)

×

U w

(

₂

)

Expected Value of Wealth:

E w

( )

=

w

= ×

p w

₁

+ −

(1

p

)

×

w

₂

Se define (localmente):

Aversión al Riesgo (Desigualdad de Jensen):

E U w



_

( )



_

<

U E w



_

( )







Neutralidad al Riesgo:

E U w



_

( )



_

=

U E w



_

( )

Amante del Riesgo:

E U



_

( )

w



_

>

U E w



_

( )

Ejemplo:

(

)

(

)

1

2

: 100,1;0.5

: 50,51;0.5

L

L

Inversor Averso elige

L

y el Amante ya que lo seduce más la utilidad que le genera ganar que la desutilidad que le genera perder.

2

L

1

Aversión al Riesgo

¿Cuál es la actitud frente al riesgo del agente representativo observado empíricamente?

•

•

U(W) U(W) U(W)

W W W

Teoría de las finanzas: aversión al riesgo “local”

( )

U W

W

1

W W2

W

( )

U W

Kahneman y Tversky (1979): revolución teórica Behavioral Economics agentes aversos al riesgo a la hora de las ganancias, propensos al riesgo a la hora de las pérdidas.

Ejemplo micro: apostador en el casino

Ejemplo macro: default argentino inversores “timbearon” en Brasil para recuperar pérdidas.

W1 WEC

w

W2

2 ( )

U w

1

( ) U w

( )

U w

[

( )

]

E U w

A

B C

M

π

( )

( )

1

(1

)

(

2

E U w



_

 = ×

_

p U w

+ −

p

×

U w

)

: combinación lineal de U w

( )

: línea recta

Aversión al Riesgo:

U w

( )

> 

E U w



( )



_

utilidad esperada del juego

¿Cómo serían las funciones de utilidad de un agente neutral al riesgo?

0

w

=

w

⇒

juego justo

⇒

neutralidad actuarial

⇒

¿Acepta un inversor averso al riesgo un juego (lotería) justo? ¿Por qué?

CE

w

: mínimo nivel de riqueza que un inversor averso al riesgo está dispuesto a aceptar para no ir al casino? : máxima prima de riesgo que está dispuesto a aceptar para no ir al casino.

M

π

⇒

Mundo real: imposible no ir al casino los aversos al riesgo deben enfrentar al riesgo:

Riesgo de incendio de una casa

⇒

π

_M riesgo “asegurable”, “no evitable”

•

Activos financieros securities

dinero ¿Riesgos?

Averso al riesgo

≠

Risk Panic Attack: el averso al riesgo obtiene más utilidad en A que en C

⇒

dependerá de su decisión: cantidad de riesgo que acepte tomar.

0 CE

:

w

−

w

costo del juego máximo monto de riqueza que un inversor averso al riesgo pagaría por no jugar.

en juego justo costo del juego

=

π

_M

⇔

w

₀

=

w

:

M

w w

C

π = −

_E monto de riqueza que un agente averso al riesgo aceptaría “dejar de ganar” por no entrar al juego (w es la esperanza matemática de la riqueza)

Ejemplo:

U(W)=ln w 3,4=U($30)

2,3=U[E(W)] 1,97=E[U(W)]

1,61=U($5)

5 7,17 10 30 W

( ) ln( )

U W = W

(5,30,0.8)

L

( ) .8($5) .2($30) $10

E W

=

+

=

[

( )

]

2.3

U E W =

[

( )

]

.8 ($5) .2 ($30)

E U W

=

U

+

U

[

( )

]

.8(1.61) .2(3.40) 1.97

Juego Injusto: a favor del apostador

( )

U W 2

( )

U W

1

( )

U W

[ ( )]

E U W

W 1

W WEC W2 W

0 W

0

( )

U W

Costo del juego:

w

₀

−

w

_CE

<

0

Ejemplo numérico con Función logarítmica de Utilidad

w

₀

=

$10

L

(

20,110;0.10

)

w

=

$101

w

_CE

=

$92.76

Risk Premium = $ 101 - $ 92.76 = $ 8.24

Costo del juego = $ 10 - $ 92.76= $ - 82.76

Primas de Riesgo

Supuestos: a) juego justo

b) variaciones pequeñas de

w

₀ (juego pequeño

→

σ

2)

_:

z

juego, variable aleatoria

neutral actuarialmente

E z

( )

=

0

( )

(

)

(

)

( )

N

( )

0 0 0

,

(1)

CE

E U w

U w

E U w

z

U w

E z

π

w z



 =











₊



₌



₊

₋







_

_





Polinomio de Taylor:

(

) ( )

'

( )

''

( )

2

...

2!

f a

h

f a h

+

=

f a

+

f a

× +

h

×

+

Aplicando al lado izquierdo de la ecuación (1):

( )

( )

( )

2 0 0 0 valor cierto

''

'

...

2!

U w

z

E U w





+

U w

× +

z

×

+













( )

( )

( )

N

( )

( )

2

0 0 0

0

1

'

''

...

2

U w

+

U w

×

E z

+ ×

U w

×

E z

+

Siendo que:

E z

( )

por lo que la anterior expresión resulta en:

N

2

2

0

z

E z

σ







₋



₌









( )

0

( )

0 2

1

''

2

z

El lado derecho de (1) resulta:

(

)

( )

( ) ( )

( ) ( )

0 2

0 0 0

valor despreciable

''

'

2!

U w

U w

−

π

=

U w

+

U w

× −

π

+

× −

π

(3)

Igualando

(2)

y

(3):

( )

( )

( )

( ) (

2

0 0 0 0

1

''

'

2

z

U w

+ ×

U w

×

σ

=

U w

+

U w

× −

π

)

( )

( ) (

2

0 0

1

''

'

2

×

U w

×

σ

z

=

U w

×

−

π

)

Finalmente se obtiene la prima de Pratt-Arrow:

( )

( )

0

2 0

''

1

2

'

PA z

U w

U w

π

= − ×

σ

×

π

= −

=

π

_{⇔ }





_





juego justo

M

w w

CE PA

pequeño

N

( )

( )

(

)

π

= − ×

σ

×

⇒

π

=

σ

0 2 2 0 0

''

1

,

2

'

PA _z PA _z

contrato preferencias

U w

f

w

U w

( )

( )

π

>

⇒ >

<

0

0

'

0 supuesto de no saciedad

0

''

0 aversión al riesgo

U w

U w

Prima de Pratt-Arrow como medida de magnitud de aversión al riesgo:

Absolute Risk Aversion = ARA:

( )

( )

−

0

>

0

''

0

'

U w

U w

> ⇔

0

ARA

concavidad

: utilidad marginal decreciente de la riqueza.

U(W)

A

B C

W

Inversor A más averso

⇔

la velocidad a la cual decrece la pendiente es mayor

Si

∂

> ⇒

∂

0

ARA

w

un agente invierte menor monto de dinero en activos de riesgo cuanto mayor es su riqueza.

Si

∂

> ⇒

∂

0

RRA

w

un agente invierte una menor proporción de dinero en activos de riesgo cuanto mayor es su riqueza.

Si

∂

= ⇒

∂

0

ARA

w

aversión independiente de la riqueza: “juega el mismo billete de lotería sea pobre o rico”

Friend y Blume→ Supuesto de comportamiento función de utilidad →

Ejemplo:

u W

( )

= −

W

−1/ 2

•

u W

( )

1 1

₂

₃

0

W

′

=

>

_⇒

_{No saciedad}

•

u W

( )

3 1

₄

₅

0

W

3 1

0

2

ARA

W

=

>

3

0

2

RRA

= >

•

3 1

0

2

dARA

dW

= −

W

<

⇒

ARA decreciente

•

dRRA

_dW

=

0

⇒

RRA constante

Tarea:

Ordenar según aversión al riesgo en forma creciente.

1.

U W

( )

= −

e

−AW

2.

U W

( )

= −

W

−1

3.

U W

( ) ln(

=

W

+

α

)