ex08 mod5

(1)

Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o bien realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B.

c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma.

d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora científica (no programable, sin pantalla gráfica y sin capaci-dad para almacenar, transmitir o recibir datos), pero todos los procesos conducen-t e s a l a o b conducen-t e n c i ó n d e r e s u l conducen-t a d o s d e b e n e s conducen-t a r s u f i c i e n conducen-t e m e n conducen-t e justificados.

Opción A

Opción B UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MATEMÁTICAS II

MODELO 62 DE EXAMEN

EJERCICIO 1. Sea f : [0, 2π_]_÷_ú_{la función definida por} _{f x}_{( )}=

e

x

(

_sen_x+_cos_x

)

_. (a) [1´25 PUNTOS]. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. (b) [1´25 PUNTOS]. Calcula los puntos de inflexión de la gráfica de f.

EJERCICIO 2. [2´5 PUNTOS]. Sea f : ú÷ú y g : ú÷ú las funciones definidas por

( )

f x( )=x2 y g x( )=a con a>0

Se sabe que el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f y g es 4/3. Calcula el valor de la constante a.

EJERCICIO 3. [2´5 PUNTOS]. Sea I la matriz identidad deorden3 y A=

− − − −



  



  

0 1 2

1 0 2

1 1 3

.

calcula, si existe, el valor de k para el cual (A-kI)2_{es la matriz nula.}

EJERCICIO 4. Sesabe quelosplanosdeecuaciones x+2y bz+ =1, 2x+ +y bz=0, se cortan en una recta r.

3x+3y−2z=1

(a) [1´25 PUNTOS]. Calcula el valor de b

(b) [1´25 PUNTOS]. Halla unas ecuaciones paramétricas de r.

EJERCICIO 1. Sea f : ú÷ú la función definida por f x( )=_₆x x₋_x _sisi x_x_>≤2₂

(a) [0´75 PUNTOS]. Esboza la gráfica de f. (b) [1 PUNTO]. Estudia la derivabilidad de f.

(2)

SOLUCIONES Opción A EJERCICIO 2. [2´5 PUNTOS]. Calcula

x x dx

e

2

1

ln( )

∫

(ln denota la función logaritmo neperiano)

EJERCICIO 3. Dadas las matrices A= B 

  



 

 =

−



  



  

1 1 2 1 2 1 1 1 1

1 0 2 2 0 4 1 1 1 y

(a) [1 PUNTO]. Calcula, si existen, la matriz inversa de A y la de B.

(b) [1´5 PUNTOS]. Resuelve la ecuación matricial AX +B = A+I, donde I denota la matriz identidad de orden 3.

EJERCICIO 4. [2´5 PUNTOS]. Dados los puntos A(2,1,-1) y B(-2,3,1) y la recta r definida por las ecuaciones

{

x y z

x z

− − = − − = −1

3 2 5

halla las coordenadas de un punto de la recta r que equidiste de los puntos A y B.

SOLUCIÓN

EJERCICIO

1.-(a) La función f(x) es el producto de la función exponencial elemental e x_{, que es continua} y derivable en todo ú, y de la función sen x + cos x que es a su vez suma de dos funciones trigonométricas elementales, que son continuas y derivables en ú, por lo que su suma seguirá siendo continua y derivable en ú, y por tanto el producto de ambas funciones lo será también en ú, es decir, f(x) es una función continua y derivable en todo ú y por supuesto lo será en el dominio en la que está definida que es [0, 2π_].

Obtengamos la primera derivada.

f(x) = e x_{(sen x + cos x)}_Y_f_{´(x) =}_e x_{(sen x + cos x) +}_e x_{(cos x}_-_{sen x) = 2}_e x_{cos x} Hallemos los valores que anulen a esta primera derivada.

2e x_{cos x = 0}⇒

=

⇒ = + ⇒ =

=



 

  

  

  

ex

x x

x

x 0

2

2 3 2 imposible

cos( ) = 0 π kπ

π

Sólo hay dos valores que anulen a la primera derivada y que pertenezcan al dominio de la

función, el π y el .Estudiemos la monotonía de la función f(x), en los intervalos, 2

3 2

π ₀

2 ,π _,    _

y ya que al ser continua y derivable en su dominio y no existir, por tanto,

π π

2 3

2 ,  

 



 3

2π π,2 ,

 

 

 

(3)

a a

- a

Probemos valores intermedios, por ejemplo, π , y , respectivamente de cada uno 4

π

7 4

π

de esos intervalos en la función primera derivada y según nos salga mayor o menor que cero, el intervalo correspondiente será creciente o decreciente:

Y Creciente en f′_ π_= eπ  _π_= eπ = eπ >

4 2 4 2

2

2 2 0

4 4 4

/ / /

cos 0

2 ,π _,    _Y Decreciente en

f′( )π =2eπcos ( )π =2eπ( 1)− = −2eπ<0 π π

2 3

2

,

 

 

 

Y Creciente en f′_7 _= e _ _= e = e >

4 2

7

4 2

2

2 2 0

7

4 7 4 7 4

π π_/ π π_/ π_/

cos 3

2π π,2

 

 



(b) Al ser la función continua y derivable en su dominio, los puntos de inflexión se encontrarán entre los valores que anulando a la segunda derivada no anulen a la tercera.

f´(x) = 2e x_{cos x}_Y_f_{´´(x) = 2}_e x_{cos x + 2}_e x₍_-_{sen x) = 2}_e x_{(cos x}_-_{sen x)}

2e x_{(cos x}_-_{sen x)}₌₀⇒

=

− ⇒ = ⇒ = + ⇒ =

=

  

 

 

  ex

x x x x x x

x 0

4 54

4 imposible

cos( ) sen( ) = 0 cos( ) sen( ) π kπ

π π

f´´´(x) = 2e x_{(cos x}_-_{sen x) + 2}_e x₍_-_{sen x}_-_{cos x) = 2}_e x₍_-₂_{sen x) =}_-₄_e x_{sen x} Y Punto de inflexión en

( )

f′′′ π₄ = −4e4π_sen π = −4eπ4 ≠0 4

2 2

π π

4, 2e4

 

 _

Y Punto de inflexión en

( )

f′′′ 5₄ = −4e _5 _= −4e ≠0 5

4

5 4

π π π π

sen ₄ ₂2 5₄ 2

5 4

π π

,₋

 

 

 

e

Las ordenadas de los puntos de inflexión se han obtenido sustituyendo las abscisas de dichos puntos en la función, es decir:

( ) (

)

f π e π π e e

π π π

4 4 4

2 2

2

2 2

4 4 4

= + = _ + 

 ₌

sen cos

(

)

f 5 e e e

4

5 4

2

2 2

5 4

π π π π π π

   



= + = _− − 

  ₋

sen cos ₂2 =

SOLUCIÓN

EJERCICIO

2.-Calculemos inicialmente los puntos de corte de las gráficas de ambas funciones.

}

(

)

(

)

y x

y a x a x a

a a

=

= ⇒ = ⇒ = ± ⇒−

2

2 0

0 , , La situación gráfica es la representada al lado.

Según el ejercicio el área del recinto limitado por ambas gráficas es 4/3, es decir:

Área =

(

a x dx

)

(

a x dx

)

ax x a a ( )a a( ) ( )a a

a a

− = ⇒ ₋ ₌ ₋

 

 = − − −

 

 

 ₌

− − ₋

∫

2

∫

2 3

3 3

4

3 3 3 3

( ) ₍ _{) (} )

(

)

= − −_ − − − 



₌ ₋ ₊ ₋ ₌ _{− + − =}

a a a a a a a a a a a a a a a a a a

3 3

3 3 3 3 1

1 3 1

1 3

(4)

Expresemos el sistema en forma matricial, discutámoslo mediante el método de reducción de Gauss y clasifiquémoslo según los valores del parámetro b. Igualando este valor obtenido del área con el que nos dice el ejercicio, tendremos:

4 3

4

3 1 1 1 1

3 3

a a= ⇒ a a= ⇒ a = ⇒ a = ⇒ a=

SOLUCIÓN

EJERCICIO

3.-Obtengamos la matriz (A-kI)2_{e igualémosla a la matriz nula, y comprobemos si ello es} posible.

A kI k

k k

k

− =− − −−

  



  −



  



  =

− − − − − − −



  



  

0 1 2

1 0 2

1 1 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 2

1 1 3

(A kI)

k k

− = −− −− −− −



  



  ⋅

− − − − − − −



  



  =

2 ₁ 1 2₂

1 1 3

1 2

1 1 3

=

+ − + − + − + + − + − + − + − − + − − − + − − − + − +



  



  =

k k k k k

k k k k k

k k k k k k

2

1 2 2 2 2 6 2

2 1 2 2 2 6 2

1 3 1 3 2 2 9 6

=

− − −

− + − + − +



  



  

k k k

k k k k

2

1 2 2 4 4

2 2 1 4 4

2 2 2 2 6 5

Igualemos esta matriz a la matriz nula.

k k k

k k k k

2

1 2 2 4 4

2 2 1 4 4

2 2 2 2 6 5

0 0 0

− − −

− + − + − +



  



  =



  



   ⇒

Identificando los elementos correspondientes, obtendremos el siguiente sistema:

{

k k

k k k

2

1 0 1

2 2 0 1

4 4 0 1

2 2 0 1

1 0 1

4 4 0 1

2 2 0 1

6 5 0 6 36 20₂ 5₁

− = ⇒ = ± − = ⇒ ₌

− = ⇒ ₌

− = ⇒ = − + = ⇒ ₌

− + = ⇒ ₌

− + = ⇒ _{= ±} − = 

    

    

El único valor de k que satisface todas las ecuaciones es el 1, éste será el valor de k que nos pide el ejercicio.

SOLUCIÓN

EJERCICIO

4.-(a) Estudiemos la posición relativa de los tres planos para determinar el valor de b que hace que se corten en una recta.Discutiremos el sistema formado por las ecuaciones de los tres planos.

x y bz

x y bz

x y z

+ + = + + = + − =

  



2 1

2 0

(5)

Triangulemos inferiormente.

Tomemos como pivote el elemento a11 = 1 … 0.

Sustituyamos la 2ª fila por: [2ªf.] - 2 · [1ªf.] Sustituyamos la 3ª fila por: [3ªf.] - 3 · [1ªf.]

Tomemos como pivote el elemento a22 = -3 … 0.

Sustituyamos la 3ª fila por: [3ªf.] - [2ªf.]

Triangulemos superiormente.

Tomemos como pivote el elemento a22 = -3 … 0.

Sustituyamos la 1ª fila por: 3 · [1ªf.] + 2 · [2ªf.]

El sistema está diagonalizado.

La solución es: 3x = -1 + z ; -3y = -2 - z Y

El sistema está triangulado inferiormente, todos los elementos de la diagonal principal son distintos de cero salvo el a33, que puede serlo o no. Veamos los diferentes casos que pueden presentarse.

1 2

2 1

3 3 2

1 0 1 b b

−



  



  

1 2

0 3

0 3 2 3

1 2 2 b

b b

− − − − − −−



  



  

1 2

0 3

0 0 2 2

1 2 0 b

b b

− − − − −



  



  

* a33 = 0 Y -2-2b = 0 Y b = -1 Y La 3ª ecuación es, 0 = 0, que es trivial, la eliminamos. Nos queda un sistema de dos ecuaciones y tres incógnitas, es decir, un sistema compatible indeterminado uniparamétrico. Lo que significa que los tres planos se cortan en una recta r. Éste sería el valor de b que nos pide el ejercicio.

* a33… 0 Y -2-2b…0 Y b…-1 Y La 3ª ecuación no sería ni trivial ni absurda; los elementos de la diagonal principal son todos distintos de cero, se trataría de un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas, es decir, sería un sistema compatible determinado. Los tres planos se cortarían en un punto.

(b) Terminemos de resolver el sistema anterior para el valor de b = -1, teniendo en cuenta que se trata de un sistema compatible indeterminado uniparamétrico, y que la solución del sistema serán todos los puntos comunes a los tres planos, en este caso se trataría de la recta r.

1 2

0 3

0 0 2 2

1 2 0 b

b b

− − − − −



  



 

 ( )

( )

(

)

⇒ ₋ _{− −}−

− − ⋅ − −



  



   ⇒

− − −



  



 

 ⇒ ₋ − ₋

1 2 1

0 3 1

0 0 2 2 1

1 2 0

1 2 1

0 3 1

0 0 0

1 2 0

1 2 1

0 3 1

1 2

Hemos obtenido un sistema de dos ecuaciones y tres incógnitas, nos sobra una incógnita, la z, que la pasamos al segundo miembro como incógnita no principal o secundaria.

(

1 2

)

0 3

1 2

− − −+zz

(

3 0

)

0 3

1 2

− − +− −zz

x= − +1₃ 1₃z ; y= +2₃ 1₃z

Sustituyamos la incógnita no principal o secundaria, la z, por un parámetro, por ejemplo, por α_{, tendremos finalmente la ecuación de la recta r:}

r x

y z

≡

= − + = + =



  

  

1 3

1 3 2 3

1 3

(6)

SOLUCIONES Opción B

2 0

2 2

-1 1

3 4

6

-1

2

-1 3 6

4

1 2

-1

2

-1 3 6

4

1 2

-1

2 0

SOLUCIÓN

EJERCICIO

1.-(a) Lo primero que haremos es desdoblar el trozo de función valor absoluto en dos nuevos trozos, teniendo en cuenta la definición de la función valor absoluto.

f x x x x

x x

( )= ₋ ≤_>



si si

2

6 2

( )

⇒ ₌ ⋅ −_⋅ ≤_≤ _≥<

− >

  



⇒ f x

x x x x

x x x x

x x

( )

si y

si

2 0

6 2

El sistema de inecuaciones, x#2 y x<0, cuya solución gráfica está situada a la derecha son los valores x<0.

El sistema de inecuaciones, x#2 y x$0, cuya solución gráfica está situada a la izquierda son los valores 0#x#2. La función será finalmente la siguiente.

⇒ ₌ − _{≤ ≤}<

− >

  

 f x

x x

( )

2

2 0

0 2

6 2

si si si

Comencemos representando la gráfica de -x2_{para valores} de x<0. Se trata de una función cuadrática elemental, cuya gráfica es una parábola de vértice el (0, 0).

El siguiente trozo, x2_, para valores 0#x#2, es otra parábola elemental.

El último trozo, 6-x, definido para x>2, es una función afín cuya gráfica es una recta que pasa por los puntos (2, 4) y (6, 0). La gráfica de f(x) está representada a la derecha.

(b) Para estudiar la derivabilidad estudiemos previamente la continuidad.

- Para valores de x<0 la función,−x2 es continua por ser una función polinómica ya que

,

las funciones polinómicas son continuas en todo ú.

- Para valores de 0<x<2 la función, x2,es continua por ser una función polinómica ya que las funciones polinómicas son continuas en todo ú.

- Para valores de x>2 la función, 6-x, es continua por ser una función polinómica ya que las funciones polinómicas son continuas en todo ú.

El problema puede estar en los puntos 0 y 2.

(7)

( )

lim lim

( )

lim lim ( ) = 0

x x

x x x x

f x x

f

f x f x f

x

→ →

→ → → →

− −

<

+ +

>

− +

= − = = =

= =



  

  

⇒  = =



0 0

2

0 0

2

0 0

0

0 0 0

0 ( )

( ) ( ) ( )

La función es continua en el punto 0.

- Para x=2 la función será continua si los límites laterales y el valor de la función en dicho punto coinciden. Veámoslo.

( )

lim lim

( )

lim lim ( )=4

x x

x x x x

f x x

f

f x f x f

x

→ →

→ → → →

− −

<

+ +

>

− +

= = = − =

= =



  

  

⇒ = =



2 2

2

2 2

2

2 2

2

4

6 4

2 2 4

2 ( )

( ) ( ) ( )

La función también es continua en el punto 2

Luego la función f(x) es continua en todo ú, por tanto podrá ser derivable también en ú. Estudiemos la derivabilidad.

Una función será derivable en un punto, si las derivadas laterales coinciden. Y para que lo sea en un intervalo lo ha de ser en todos los puntos del intervalo. Pero previamente debe ser continua para poder ser derivable, ya que la no continuidad implica la no derivabilidad, en este caso no hay problemas al ser continua.

- Para valores de x < 0 la función, −x2, es derivable por ser una función polinómica, ya que las funciones polinómicas lo son en todo ú, siendo la función derivada, -2x.

- Para valores de 0<x<2 la función, x2,es derivable por ser una función polinómica ya

que las funciones polinómicas lo son en todo ú, siendo la función derivada, 2x. - Para valores de x>2 la función, 6

las funciones polinómicas lo son en todo ú, sieno la función derivada, -1.

Una primera aproximación de la función derivada, donde ya sabemos que es derivable es

f x

x x

x

′ = − < << − >

  

 ( )

2 0

2 0 2

1 2

si si si

El problema puede estar en los puntos 0 y 2.

Estudiemos la derivabilidad en el punto 0. Será derivable en el punto 0, si las derivadas laterales coinciden ya que es continua en dicho punto.

( )

f f x x

x x

′ − = ′ = − =

→− →

<

− <

(0 ) lim lim

0 0

2 0

( )

( )

f f x x

x x

′ + = ′ = =

→+ →

>

+ >

(0 ) lim lim

0 0

2 0

( )

Las derivadas laterales coinciden: f′(0 )− = ′f ( )0+ =0, podemos deducir que la función será derivable en el punto 0.

(8)

Sustituyamos la 2ª fila por: [2ªf.] - [1ªf.] Sustituyamos la 3ª fila por: [3ªf.] - [1ªf.]

( )

f f x x

x x

′ − = ′ = =

→− →

<

− <

(2 ) lim lim

2 2

2 4

( )

( )

f f x

x x

′ + = ′ = − = −

→ + →

>

+ >

(2 ) lim lim

2 2

1 1

( )

Las derivadas laterales no coinciden: f′(2 ) = 4− ≠ ′f ( )2+ = −1, podemos deducir que la función no será derivable en el punto 2.

En definitiva, la función f será derivable en todo ú menos en el punto 2, siendo la función derivada, finalmente:

f x

x x

x

′ = − ≤ << − >

  

 ( )

2 0

2 0 2

1 2

si si si

(c) Teniendo en cuenta la gráfica realizada en el apartado (a), el área que nos piden será: Área =

∫

f x dx( ) =

∫

x dx2 +

∫

( −x dx) =_x _ +_ x− x_ = − + ⋅ − − ⋅ −_ _=

0 2

0 6

2

6 3

0

2 2

2

6 3 3 2 2

6 ₃ 6 ₂ 2₃ 0₃ 6 6 6₂ 6 2 2₂

= +8 − −( − =) unidades de área.

3 36 18 12 2

32 3

SOLUCIÓN

EJERCICIO

2.-Calculemos la integral definida siguiente

( )

x x dx

e

2 1 ln

∫

Se trata de una integral por partes.

u x

dv x dx

du _xdx v x dx x

=

∫

=

ln ( )

2 2

3

1

3

; ;

( ) ( ) ( ) ( )

x x dx x x _x x dx x x x dx x x x

e e e e e e e

2 1

3

1

3

1

3

1 2

1

3

1 3

1

3 3

1

3 3 3

1 3 3

ln ln ln ln

∫

=_ _ −

∫

⋅ =_ _ −

∫

=_ _ − _ _ =

( ) ( ) ( )

=_x _x_ − _x_ = − − _ − __{= − ⋅ − + = +}

e e

e

e e e e e

3

1 3

1

3 3 3 3 3 3

3 3

1

3 3 3

1

3 1

1 3 3

1

3 3

1

30 9

1 9

2 9

ln ln ln

SOLUCIÓN

EJERCICIO

3.-(a) Calculemos, si existe, la matriz inversa de A. Lo haremos mediante el método de Gauss, método que consiste en poner a la derecha de la matriz A, la matriz unidad e intentar que aparezcamediante elusodediversas transformaciones elementales, la matriz unidad ala izquierda, la matriz que quede a la derecha es la matriz inversa de A, A-1_{. No obstante, si al} triangular inferiormente apareciese alguna fila nula entonces la matriz A no tendría matriz inversa.

1 1 2 1 2 1 1 1 1

1 0 0 0 1 0 0 0 1



  



(9)

Hemos triangulado inferiormente, y como no ha salido ninguna fila nula, la matriz A admite inversa. Triangulemos superiormente. Tomemos como pivote el elemento a33 = -1 … 0.

Sustituyamos la 2ª fila por: [2ªf.] - [3ªf.] Sustituyamos la 1ª fila por: [1ªf.] + 2 · [3ªf.]

Sustituyamos la 1ª fila por: [1ªf.] - [2ªf.]

Multipliquemos la 3ª fila por -1.

Sustituyamos la 2ª fila por: [2ªf.] - 2 · [1ªf.] Sustituyamos la 3ª fila por: [3ªf.] + [1ªf.]

Como ha salido una fila nula, la matriz B no admite inversa. El sistema está diagonalizado. En la parte de la izquierda hemos obtenido la matriz unidad, por lo que la parte que queda a la derecha es la matriz inversa de A, A-1_{, es decir:}

1 1 2

0 1 1

0 0 1

1 0 0 1 1 0 1 0 1

− − −−        

1 1 0

0 1 0

0 0 1

1 0 2

0 1 1

1 0 1

− − − −        

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 1 3

0 1 1

1 0 1

− − − − −        

1 0 0 0 1 0 0 0 1

1 1 3

0 1 1

1 0 1

− − − −        

A− =

− − − −        

1 ₀1 1₁ 3₁

1 0 1

Procedamos de igual manera con la matriz B.

1 0 2 2 0 4 1 1 1

1 0 0 0 1 0 0 0 1

−        

1 0 2 0 0 0 0 1 3

1 0 0 2 1 0 1 0 1

−        

(b) Resolvamos la ecuación matricial AX+B=A + I, procederemos de la siguiente manera.

AX+B=A + I Y sumamos a ambos miembros la matriz -B.

AX+B- B =A + I - B Y por la existencia de matriz opuesta.

AX + O =A + I - B Y por la existencia de la matriz nula.

AX =A + I - B Y multiplicamos a la izquierda por la inversa de A.

A-1_{· (AX)}₌_A-1_{· (A + I}_-_B) _Y _{por la propiedad asociativa del producto de} matrices.

(A-1_{·A) X}₌_A-1_{· (A + I}_-_B) _Y _{por la existencia de la matriz unidad.}

I ·X =A-1_{· (A + I}_-_B) _Y _X₌_A-1_{· (A + I}_-_B)

Ahora sí podemos terminar de calcular la matriz X, sabiendo que X =A-1_{· (A + I}_-_B).

X= − − −

−        ⋅        +        − −                = − − − −        ⋅ − −        =

1 1 3 0 1 1 1 0 1

1 1 2 1 2 1 1 1 1

1 0 0 0 1 0 0 0 1

1 0 2 2 0 4 1 1 1

1 1 3 0 1 1 1 0 1

1 1 0 1 3 3 2 0 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − ⋅ + − ⋅ − + ⋅⋅ + ⋅ − + − ⋅ − ⋅ + − ⋅ + ⋅⋅ + ⋅ + − ⋅ − ⋅ + − ⋅ − + ⋅⋅ + ⋅ − + − ⋅ ⋅ + ⋅ − + − ⋅ ⋅ + ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ − + − ⋅        = − − − − −        

1 1 1 1 3 2 1 1 1 3 3 0 1 0 1 3 3 1

0 1 1 1 1 2 0 1 1 3 1 0 0 0 1 3 1 1

11 0 1 1 2 11 0 3 1 0 1 0 0 3 1 1

6 4 6

3 3 4

(10)

Expresemos el sistema en forma matricial, y resolvámoslo mediante el método de reducción de Gauss-Jordan.

Sustituyamos la 2ª fila por: [2ªf.] - 3 · [1ªf.]

Hemos obtenido un sistema de dos ecuaciones y tres incógnitas, nos sobra una incógnita, la z, que la pasamos al segundo miembro como incógnita no principal o secundaria.

Triangulemos superiormente.

Sustituyamos la 1ª fila por: 3 · [1ªf.] + [2ªf.]

El sistema está diagonalizado.

La solución es: 3x = -5 + 2z ; 3y = -2 - z Y

SOLUCIÓN

EJERCICIO

4.-En primer lugar, expresemos la ecuación de la recta en forma paramétrica, resolviendo el sistema de ecuaciones.

}

x y z

x z

− − = − − = −1

3 2 5

(

1 1 1

)

3 0 2

1 5

− − − −−

(

1 1 1

)

0 3 1

1 2

− − − −

(

1 1

)

0 3

1 2

− − + − −zz

(

3 0

)

0 3

5 2 2

− + − −zz

x= − +5₃ 2₃z ; y= − −2₃ 1₃z

Sustituyamos la incógnita no principal o secundaria, la z, por un parámetro, por ejemplo, por α_{, tendremos finalmente la ecuación de la recta r:}

r x

y z

≡

= − + = − − =



  

  

5 3

2 3 2 3

1 3

α α α

Elijamos un punto genérico H

(

− +5₃ 2₃α,− −2₃ 1₃α α,

)

de esta recta e impongámosle la condición de equidistar de los puntos A(2, 1, -1) y B(-2, 3, 1).

Se ha de verificar que dist (A, H) = dist (B, H), o lo que es lo mismo AH→ = BH→ .

(

)

(

)

(

)

AH→ = − +5₃ 2₃α, − −2₃ 1₃α α, − 2 1, , − = − +1 11₃ 2₃α, − −5₃ 1₃α α, +1

(

)

(

)

(

)

BH→ = − +5₃ ₃2α,− −2₃ 1₃α α, − −2 3 1, , = +1₃ 2₃α, − −11₃ 1₃α α, −1

(

− +11₃ 2₃

) (

+ − −₃5 1₃

)

+ + =

( )

1

( ) (

₃1+2₃ + − −11₃ ₃1

)

+ −( 1)

2 2

2 2 2 2

α α α α α α

(

− +11₃ 2₃

) (

+ − −5₃ ₃1

)

+ + = +

( )

1

( ) (

1₃ 2₃ + − −11₃ 1₃

)

+ −( 1)

2 2

2 2 2 2

α α α α α α

121 9

4 9

44 9

25 9

1 9

10

9 1 2

1 9

4 9

121 9

1 9

22

9 1 2

2 2 2 2 2 2

+ α − α+ + α + α α+ + + α= + α + α+ + α + α α+ + − α

14

9 16

9 155

9 14

9 8 9

131 9

2 2

α − α+ = α + α+ ⇒ 8 ₌ ⇒ ₌

3 8

3 1

α α

Luego el punto H de r que equidista de los puntos A y B tendrá de coordenadas: