Solución Taller Estabilidad de Sistemas Realimentados 18-3

Solución Taller Estabilidad de Sistemas Realimentados

Señales y Sistemas II

Grupos 3 y 4

Segundo Semestre de 2018

1. Sea el siguiente sistema realimentado simple:

con ganancia de lazo abierto:

𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)

= 10

(𝑠 + 2)(𝑠2_{+ 8𝑠 + 25)} a. Determine los valores de K para

los que el sistema es estable usando el método de Routh-Hurwitz.

El denominador de la función de transferencia del sistema es:

P(s) = s3 _{+ 10s}2 _{+ 41s + 50 + 10K}

El arreglo de Routh para este polinomio es:

s3 _{1 41}

s2 _{10 50 + 10K} s1 _{36 - K}

s0 _{50 + 10K}

Donde el tercer término de la primera columna se calculó como:

−

|1 41

10 50 + 10𝐾|

10

= −50 + 10𝐾 − (41)(10)

10

Para que el sistema realimentado sea estable, todos los elementos de la primera columna deben ser positivos:

a. 36 - K > 0 → 36 > K b. 50 + 10K > 0 → K > -5

El sistema será estable para 36 > K > -5

b. Lugar de las raíces:

• Usando Matlab, grafique el lugar de las raíces y el lugar de las raíces complementario para G(s)H(s). Entregar 2 gráficos, uno con el lugar de las raíces y otro con el lugar de las raíces complementario. El siguiente código: num = [10]

den = [1 10 41 50] sys = tf(num, den) figure

rlocus(sys) figure

Resulta en los siguientes gráficos:

Lugar de las Raíces

Lugar de las Raíces Complementario

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

Root Locus

Real Axis

Im

a

g

in

a

ry

A

x

is

-15 -10 -5 0 5 10 15 20

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

Root Locus

Real Axis

Im

a

g

in

a

ry

A

x

• Use la función rlocus y los valores límite de K calculados en la parte (a) para hallar los valores de los cortes del diagrama con el eje imaginario (estos valores son los polos puramente imaginarios del sistema para ese valor de K).

Evaluando la función rlocus en los dos valores obtenidos con el criterio de Routh-Hurwitz obtenemos: R1 = rlocus(sys, 36)

R2 = rlocus(-sys,5)

R1 =

-10.0000

0.0000 + 6.4031i

0.0000 - 6.4031i

R2 =

0

-5.0000 + 4.0000i

-5.0000 - 4.0000i

El segundo y tercer elementos de R1 son los cortes con el eje imaginario del lugar de las raíces (complejos conjugados) y el primer elemento de R2 es el corte con el eje imaginario del lugar de las raíces complementario.

• ¿Cuáles son los valores de frecuencia correspondientes a cada corte con el eje imaginario del lugar de las raíces y el lugar de las raíces complementario?

En tiempo continuo, la información de frecuencia está en la parte imaginaria del parámetro s. Para los puntos de corte escogidos tendremos entonces:

ω = 6.4031 y ω = 0

• Repita el gráfico del lugar de las raíces usando valores de K alrededor de los límites calculados en (a). Utilice el cursor de Matlab (data cursor) para verificar los valores de K (Gain) y los valores de frecuencia para los puntos de corte con el eje imaginario. Entregar por lo menos un gráfico como ejemplo.

figure

rlocus(sys,34:0.1:38)

axis([-0.1 0.1 -6.6

6.6])

figure

rlocus(-sys,4:0.1:6)

axis([-0.3 0.3 -1.5

Lugar de las Raíces

Lugar de las Raíces Complementario

-0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

-6 -4 -2 0 2 4 6

System: sys Gain: 36

Pole: 1.22e-015 + 6.4i Damping: -1.91e-016 Overshoot (%): 100 Frequency (rad/sec): 6.4 Root Locus

Real Axis

Im

a

g

in

a

ry

A

x

is

-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 -1.5

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

System: untitled1 Gain: 5

Pole: 0 Damping: -1 Overshoot (%): 0 Frequency (rad/sec): 0

Root Locus

Real Axis

Im

a

g

in

a

ry

A

x

c. Diagramas de Bode:

• Usando Matlab, grafique los diagramas de Bode de la

ganancia de lazo abierto. Entregar gráfico

• Repita el gráfico usando valores de frecuencia cercanos a los valores calculados en el punto (b) y verifique que se encuentra en el vecindario de los puntos donde se cumple la condición de fase para estabilidad. Entregar por lo menos un gráfico como ejemplo.

Se puede observar que cuando ω tiende a cero, la fase de la ganancia de lazo abierto tiende asintóticamente a -2π, por lo que este es uno de los puntos que cumple la condición de fase. Por otro lado, con ω cercano a 6.4031 tenemos:

-100 -80 -60 -40 -20 0

M

a

g

n

itu

d

e

(

d

B

)

10-2 10-1 100 101 102

-270 -180 -90 0

P

h

a

s

e

(

d

e

g

)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-33 -32 -31 -30 -29

M

a

g

n

itu

d

e

(

d

B

)

100.78 100.79 100.8 100.81 100.82 100.83 100.84 -190

-185 -180 -175 -170

P

h

a

s

e

(

d

e

g

)

Bode Diagram

En el diagrama se observa que para este valor de frecuencia, la fase de la ganancia de lazo abierto está alrededor de -π

• Usando la función bode con los valores de frecuencia calculados en (b), calcule los valores de la magnitud del sistema en los puntos donde se cumple la condición de fase.

[M, P] = bode(sys, [0, 6.4031])

M(:,:,1) = 0.2000 M(:,:,2) = 0.0278 P(:,:,1) = 0 P(:,:,2) = -180

Verificamos que la condición de fase se cumple.

• Verifique que estos valores de magnitud corresponden a los valores límite de K encontrados en (a).

Calculamos los inversos de los valores de magnitud encontrados:

1/M

ans(:,:,1) =

5.0000

ans(:,:,2) =

36.0000

El primer valor se toma negativo pues la fase de la ganancia de lazo abierto en ese punto es 0. El segundo se deja positivo pues la fase de la ganancia de lazo abierto en ese punto es -π. Estos son los valores de K encontrados inicialmente.

d. Diagramas de Nyquist:

• Usando Matlab, grafique el diagrama de Nyquist de la ganancia de lazo abierto. Entregar gráfico.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

Nyquist Diagram

Real Axis

Im

a

g

in

a

ry

A

x

• Repita el gráfico usando valores de frecuencia cercanos a los valores calculados en el punto (b) y verifique que se encuentra en el vecindario de los puntos de corte con el eje real. Entregar

por lo menos un gráfico como ejemplo.

figure

nyquist(sys,0:0.01:0 .2)

figure

nyquist(sys,1.35:0.0 1:1.55)

Alrededor de ω=0

Alrededor de ω=6.4031

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

Nyquist Diagram

Real Axis

Im

a

g

in

a

ry

A

x

is

-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 -4

-3 -2 -1 0 1 2 3 4x 10

-3 _{Nyquist Diagram}

Real Axis

Im

a

g

in

a

ry

A

x

• Usando la función nyquist con los valores de frecuencia calculados en (b), calcule los valores de la parte real y la parte imaginaria de G(s)H(s) en los puntos de corte del diagrama con el eje real.

[Re, Im] =

nyquist(sys,[0 6.4031])

Re(:,:,1) =

0.2000

Re(:,:,2) =

-0.0278

Im(:,:,1) =

0

Im(:,:,2) =

-3.4018e-018

Se observa que los valores de la parte imaginaria son despreciables.

• Verifique que estos puntos corresponden a los valores límite de K calculados en (a). -1/Re

ans(:,:,1) =

-5.0000

ans(:,:,2) =

36.0000

Calculando los negativos de los inversos de las partes reales obtenemos los valores de K calculados desde el principio.

2. Para el sistema de la figura:

Con ganancia de lazo abierto:

𝐺(𝑧)𝐻(𝑧)

= 𝑧

−3

1 + 0.5𝑧−1_{+ 0.75𝑧}−2_{+ 0.13𝑧}−3

a. Determine los valores de K para los que el sistema es estable usando el método de Jury.

Reescribiendo la ganancia de lazo abierto en términos de z:

𝐺(𝑧)𝐻(𝑧) = 1

𝑧3_{+ 0.5𝑧}2_{+ 0.75𝑧 + 0.13}

El denominador de la función de transferencia de lazo cerrado será:

𝑃(𝑧) = 𝑧3+ 0.5𝑧2+ 0.75𝑧 + 0.13 + 𝐾

El arreglo de Jury para este polinomio es:

Fila 𝑧0 _𝑧1 _𝑧2 _𝑧3

1 0.13+K 0.75 0.5 1

2 1 0.5 0.75 0.13+K

Evaluamos el criterio:

𝑃(1) = 13+ 0.5(1)2+ 0.75(1)+ 0.13 + 𝐾 > 0

𝑃(1) = 2.38 + 𝐾 > 0 → 𝐾 > −2.38

𝑃(−1) = (−1)3_{+ 0.5(−1)}2_{+ 0.75(−1)} + 0.13 + 𝐾 < 0

𝑃(−1) = −1.12 + 𝐾 < 0 → 𝐾 < 1.12

|0.13 + 𝐾| < 1

−1 < 0.13 + 𝐾 < 1 → −1.13 < 𝐾 < 0.87

|𝐾2_{+ 0.26𝐾 − 0.9831| > |0.5K − 0.6850|}

Encontramos primero los valores en que los dos valores absolutos son iguales, para ello resolvemos dos ecuaciones:

𝐾2+ 0.26𝐾 − 0.9831 = −(0.5K − 0.6850)

𝐾2+ 0.76𝐾 − 1.6681 = 0

𝐾 = −1.7263 𝐾 = 0.9663

𝐾2_{+ 0.26𝐾 − 0.9831 = 0.5K − 0.6850}

𝐾2− 0.24𝐾 − 0.2981 = 0

𝐾 = −0.4390 𝐾 = 0.6790

Graficamos la diferencia de los dos valores absolutos, para determinar los intervalos en los que se cumple la desigualdad: |𝐾2_{+ 0.26𝐾 − 0.9831| −} |0.5K − 0.6850| > 0

Figura 1 Último punto del criterio de Jury

Observamos que la desigualdad se cumple para: K<-1.7263, -0.4390<K<0.6790, 0.9663<K.

Juntando todas las condiciones obtenidas, obtenemos que el sistema realimentado será estable para:

-0.4390 < K < 0.6790

b. Lugar de las raíces:

• Usando Matlab, grafique el lugar de las raíces y el lugar de las raíces complementario para G(z)H(z).

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Figura 2 Lugar de las raíces (izquierda) y lugar de las raíces complementario (derecha)

• Use la función rlocus y los valores límite de K calculados en la parte (a) para hallar los valores de los cortes con el círculo unitario (estos valores son los polos de magnitud 1 del sistema para ese valor de K).

Utilizando la función rlocus con los valores límite de K calculados arriba obtenemos:

R1 = rlocus(-s, 0.4390) R1 =

-0.4045 + 0.9145i -0.4045 - 0.9145i 0.3090

abs(R1)=

1.0000 1.0000 0.3090

R2 = rlocus(s, 0.6790) R2 =

0.1545 + 0.9880i 0.1545 - 0.9880i -0.8090

abs(R2)=

1.0000 1.0000 0.8090

Vemos que hay dos pares de polos complejos conjugados sobre el círculo unitario (de magnitud 1) para cada caso, lo que coincide con lo visto en la Figura 2. Los otros puntos de corte con el círculo unitario son -1, para el lugar de las raíces y 1 para el lugar de las raíces complementario.

• ¿Cuáles son los valores de frecuencia correspondientes a cada corte con el círculo unitario del lugar de las raíces y el lugar de las raíces complementario?

Los valores de frecuencia correspondientes son los valores de la fase de los polos de magnitud 1 en radianes:

-10 -5 0 5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Root Locus

Real Axis

Im

a

g

in

a

ry

A

x

is

-5 0 5 10

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Root Locus

Real Axis

Im

a

g

in

a

ry

A

x

angle(-0.4045 + 0.9145i) = 1.9872

angle(0.1545 + 0.9880i) = 1.4157

Para 1, la fase es cero y para -1 la fase es π.

• Repita el gráfico del lugar de las raíces usando valores de

K alrededor de los límites calculados en (a). Utilice el cursor de Matlab para verificar los valores de K (Gain) y los valores de frecuencia para los puntos de corte con el círculo unitario.

Figura 3 Lugar de las raíces (izquierda) y lugar de los raíces complementario (derecha) para los valores límite de K.

c. Diagramas de Bode: • Usando Matlab, grafique los diagramas de Bode de la ganancia de lazo abierto.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1.5

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

System: s Gain: 0.679 Pole: 0.155 + 0.988i Damping: Overshoot (%): Frequency (rad/sec):

Root Locus

Real Axis

Im

a

g

in

a

ry

A

x

is

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1.5

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

System: untitled1 Gain: 0.439 Pole: -0.405 - 0.915i Damping: Overshoot (%): Frequency (rad/sec):

Root Locus

Real Axis

Im

a

g

in

a

ry

A

x

Figura 4 Diagrama de Bode para la ganancia de lazo abierto.

• Repita el gráfico usando valores de frecuencia cercanos a los valores calculados en el punto (b) y

verifique que se encuentra en el vecindario de los puntos donde se cumple la condición de fase.

Figura 5 Diagrama de Bode para valores de frecuencia cercanos a 1.9872 (izquierda) y 1.4157 (derecha)

En los diagramas de fase de la Figura 5 se puede verificar que la respuesta del sistema cumple con la condición de fase

pues está alrededor de -360° en el primero y alrededor de -180° en el segundo. En el diagrama original se puede

-10 -5 0 5 10 15 M a g n itu d e ( d B )

10-2 10-1 100 101

-540 -360 -180 0 P h a s e ( d e g ) Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

0 2 4 6 8 10 12 M a g n itu d e ( d B )

100.24 100.26 100.28 100.3 100.32 100.34 100.36 100.38 -450 -405 -360 -315 -270 -225 P h a s e ( d e g ) Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-5 0 5 10 M a g n itu d e ( d B )

100 100.1 100.2

-270 -225 -180 -135 -90 P h a s e ( d e g ) Bode Diagram

observar además que, para frecuencia cero, la fase de la función de transferencia es cero y para frecuencia  es -560°.

• Usando la función bode con los valores de frecuencia calculados en (b), calcule los valores de la magnitud del sistema en los puntos donde se cumple la condición de fase.

[M,P] = bode(s,1.9872)

M =

2.2778 P =

-359.9991

[M,P] = bode(s,1.4157)

M =

1.4727 P =

-180.0007

[M,P] = bode(s,0)

M =

0.4202 P =

0

[M,P] = bode(s,pi)

M =

0.8929 P =

-540

Observamos que estos puntos cumplen la condición de fase (todas las fases son múltiplos de 180°). Los pequeños errores obedecen a errores de redondeo de Matlab.

• Verifique que estos valores de magnitud corresponden a los valores límite de K encontrados en (a)

Los valores de la respuesta en magnitud obtenidos en el punto anterior no están en decibeles, por lo que para obtener los valores de K basta hallar sus inversos y asignar signos de acuerdo a la condición de fase:

Para ω = 1.9872, K= -1/2.2778 = -0.4390. Para ω = 1.4157, K= 1/1.4727 = 0.6790. Para ω = 0, K= -1/0.4202 = -2.38. Para ω = , K= 1/0.8929 = 1.12.

Que corresponden a los valores límite K encontrados por el método de Jury.

d. Diagramas de Nyquist:

Figura 6 Diagrama de Nyquist para la ganancia de lazo abierto.

• Usando la función nyquist con los valores de frecuencia calculados en (b), calcule los valores de la parte real y la parte imaginaria de G(z)H(z) en los puntos de corte del diagrama con el eje real.

[R,I] = nyquist(s,angle(R1(1)))

R =

2.2778 I =

3.6704e-005

[R,I] = nyquist(s,angle(R2(1)))

R =

-1.4727 I =

1.7686e-005

[R,I] = nyquist(s,0)

R =

0.4202 I =

0

[R,I] = nyquist(s,pi)

R =

-0.8929 I =

-3.2803e-016

Las partes imaginarias obtenidas son cero o prácticamente cero, verificando que estos puntos corresponden a los cortes con el eje real, excepto por errores de redondeo.

• Verifique que estos puntos corresponden a los valores límite de K calculados en (a).

Si aplicamos 𝐾 = − 1

𝐺(𝑧)𝐻(𝑧) para los dos valores obtenidos en el punto anterior:

𝐾 = − 1

2.2778= −0.4390

𝐾 = − 1

−1.4727= 0.6790

𝐾 = − 1

0.4202= −2.38

𝐾 = − 1

−0.8929= 1.12

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Nyquist Diagram

Real Axis

Im

a

g

in

a

ry

A

x