MapamentalCapítulo2

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(1)Mapas mentales Sección 2 Nombre del curso: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Trimestre: Otoño 2011 N.U.A.: 309313 Nombre del alumno: López Piña Azucena Fecha de entrega: 20.09.2011.     CONDICIÓN INICIAL: Condición de que la función debe tomar un valor dado para un = . |. =. | =. ( ) =. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL SUJETA A LAS CONDICIONES INICIALES:. Es continua en todos los argumentos Admite derivada parcial f / y Existe una solución única = ( ) Para una = hay una = = (. ) Existencia y unicidad :. Si existe una vecindad Ω de un punto M0 ( x0 , y0 ) є D , donde f(x,y). ’ = ( , ) Siendo ( , ) una función continua de las variables , , definida en un cierto dominio en el plano .. PROBLEMA DE CAUCHY Tiene la forma: F(x,y,y') = 0 Esta ecuación se puede resolver respecto a su derivada, tenemos la sig. ecuación:. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN. Son isoclinas las líneas dadas por las ecuaciones: f(x,y) = k , k= cte 1/f(x,y) = 0. y' = dy / dx = f(x,y). La ecuación inversa, es decir, de la forma /. = 1/ ( , ). La cual se emplea en la vecindad de aquellos puntos del plano x0y, en los que f(x,y) tiende a infinito.. Se denomina denomina isóclina isóclina de de una una Se ecuacióndiferencial diferenciala alaslaslíneas ecuación líneas en puntos cuyos puntos la en cuyos la dirección dirección delescampo es una del campo una misma. misma..

(2) Mapas mentales Sección 2.1. ( ) + ( )p 2. (x). ( ) ( ). =. Donde p2 (x) = 0 , q1(y). = 0. Donde integrando nos conduce a. Determina en forma implícita la solución general de la ecuación .. Ecuaciones diferenciales con variables separables. p1 (x) q1 (y) dx + p2 (x) q2 (y) dy = 0 donde pi (x) , i = 1, 2, son funciones continuas dadas en un intervalo ( a, b) , y qi(y) , i = 1, 2 son funciones también continuas en el intervalo ( c,d) . El dominio D = [ (x,y) : x є(a,b) , y є(c,d) ].. Ningunas de las funciones p2 (x) y q 1 (y) son idénticas a cero , lo que nos permite expresar la ecuación como : ( ) ( ) + ( ) ( ).

(3) Mapas mentales Sección 2.2. Para susutituir la ecuación debemos tomar la derivada de z respecto a x : z' = a + b y' De donde y' = (1/b)z' - a/b. Entonces la 1° ecuación se reduce a. Ecuaciones reducibles a variables separables. z’ = b f(z) + a Siendo su solución Implícita :. ∫. ∫. /(. ( ) +. z = ax +by +c. ) = ∫. /( ( ) +( / )) = ∫. La ecuación diferencial se escribe de la siguiente forma:. + 1. y' = f(ax+by+c). O bien en términos de las variables x y y, tenemos: ( + + ) (. +. + )+ =. Donde a , b y c son ciertas constantes dadas ; por lo que la ecuación puede reducirse a una ecuación con variables separables si hacemos la siguiente sustitución:. +.

(4) Mapas mentales Sección 2.3. Toda ecuación diferencial de la forma: M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 será homogénea si y solo si , las funciones M(x,y) y N(x,y) son funciones homogéneas del mismio orden.. Toda ecuación diferencial homogénea se reduce a una ecuación con variables serparables mediante la sustitución. Ecuaciones homogéneas. y = z(x) x. Otro tipo de ecuación diferencial homogénea es : y’ = f ( y/x) .. Una función F(x,y) es homogénea de orden n, si para todo  > 0 se cumple la relación F (X , y ) = n F(x,y). Entonces haciendo la sustitución. Toda ecuación diferencial de la forma : y' = f(x,y) se llama ecuación diferencial homógenea , si la función f(x,y) es homogénea de orden cero.. z= y/ x -----y = xz.. Toda ecuación del tipo: y f (xy) dx + xg. Derivando respecto a x resulta:. (xy) dy = 0,. (dy/ dx ) = z + xz’. se reduce a una ecuación con variables separables mediante la sustitución:. Sustituyendo en z + x (dz/dx) = f(z) Integrando: ln. ( ( )– =. ). −. ( ( )–. z = xy ------ y = z/x. ). =. ∫. ( ( )– ).

(5) Mapas mentales Sección 2.4 En el caso contrario, obtenemos la transformación lineal:. La ecuación tendrá la forma:. x = X + x0 y = Y + y. Y’ = f [ (a X + b Y ) / (a1 X + b1 Y ) ] La ecuación se transforma en: y’ = f [ (ax + by) + c / (ax+by) + c1 ] Luego haciendo la sustitución:. Sustituyendo, obtenemos : Y' = f [ ( aX +bY+ ax0 + by0 + c) / (a1 X +. 0. donde. x0 , y 0 son ciertas contantes arbitrarias y diferentes de cero. Entonces, tenemos : y’ = Y’. b1 y + a 1 x0 + b1 y0 + c1 ) ]. z = ax + by. Esta se reduce a una ecuación con variables separables; derivando respecto a x, obtenemos: z' = a + by'. Ecuaciones reducibles a homogéneas. y' = (1/b)z' - (a/b). En la ecuación antetrior, cada una de las ecuaciones definen 2 rectas, que cuando c= c1 = 0 , pasan por el origen de coordenadas , por lo que se reduce a una ecuación con variables separables.. Mediante una transformación lineal apropiada, toda ecuación : Sustituyendo, obtenemos : (1/b) z’ – (a/b) = f [ (z+c) / ( z + c1 ) ] La ecuación es una ecuación con variables separables: ∫ dz / f[(z+c)/(z+c1) ] + (a/b) = b ∫ dx + c donde c y c 1 son ctes dadas y C es la cte de integración.. y' =f [(ax+by+ c) /(a 1 x + b1 y +c1) ] ; se reduce a una ecuación , la cual a su vez se reduce a una ecuación con variables serparables..

(6) Mapas mentales Sección 2.5.




(10) Mapas mentales Sección 2.11. Como la temperatura del medio ambiente se supone constante durante todo el proceso, entonces la ecuación es fácil de integrar..  > 0 es la constante de proporcionalidad, la cual depende de la estructura molecular del cuerpo .. Ln I T (t) – Tm I = -t + c. Es una ecuación diferencial ordinaria de 1° orden y de variables separables.. L Si T(t) - Tm > 0 ; T(t) > Tm, entonces la temperatura del cuerpo decae y su rapidez de cambio es negativa.. Si T(t) - Tm < 0 ; T(t) < Tm, entonces la temperatura del cuerpo crece y su rapidez de cambio es positiva.. LEY DE ENFRIAMIENTO. La temperatura del sistema cuerpomedio ambiente será proporcional a una constante. dT/ dt = - (T(t) Tm). La rapidez con que cambia la temperatura del cuerpo es proporcional a la diferencia de temperaturas del cuerpo y el medio ambiente. dT / dt  T(t) - Tm. Esta ecuación fue establecida por Isaac Newton, en la cual el tiempo es la variable independiente y la temperatura es la función dependiente..

(11) Mapas mentales Sección 2.12. Ley de tensiones de Kirchhoff: La suma algebraica de todas las caídas de voltaje instantáneas alrededor de cualquier circuito cerrado es cero, o el voltaje aplicado a un circuito cerrado es igual a la suma de las caídas de voltaje en el resto del circuito.. . La caída de voltaje V L en un inductor es proporcional a la razón de cambio instantáneo con respecto al tiempo de la corriente I :. Ley: La caída de voltaje VR en un resistor es proporcional a la corriente instantánea I : V R = RI. VL = L dI / dt. La caída de voltaje V c en un capacitor es proporcional a la carga eléctrica instantánea q en el capacitor: Vc = q / C C --- Capacitancia del capacitor en faradios y la carga q en coulombs.. CIRCUITOS ELÉCTRICOS. El circuito eléctrico mas simple es un circuito en serie que consta de una fuente de energía , fuerza electromotriz E(t), la cual puede ser una fuente cosntante como una bateria o una fuente variable con el tiempo como una corriente alterna y un resistor con resistencia R.. Si cerramos el interruptor, una corriente I fluirá por el resistor, la cual producirá una caída de voltaje VR ..

(12) Mapas mentales Sección 2.13. Segundo caso: para E(t) = E0 cos ωt tenemos :. Método de los coeficientes indeterminados.. L dI/dt + RI = E0b cos ωt La ecuación se escribe de la siguiente manera : dI / dt +  I =  cos ωt. Primer caso: para E(T) = CONSTANTE = E0 tenemos la ecuación L dI/dt + RI = E0 o dI / dt +  I = A SOLUCIÓN DEL CIRCUITO RL. Donde  = R/ L y  =E0 / L . L a ecuación es una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden respecto a la ciorriente I .. Por la ley de Kirchhoff, tenemos que la suma de las caídas de voltaje debe ser igual a la fuerza electromotriz E(t) L dI/dt + RI = E(t).

(13) Mapas mentales Sección 2.14.  > 0 es la constante de proporcionalidad, la cual depende de la estructura molecular del cuerpo .. Primer Caso : Tenemos E(t) = E0 , donde E0 es cosntante :. Segundo Caso : Tenemos E(t) = E0 sen ωt ; Sustituyendo: dI / dt +  I =  cos ωt. Donde  = 1/RC y  =E0 ω/ R. Entonces tenemos la solución general : I(t) = c e 2. dI / dt +  I = 0 Esta es una ecuación con variables separables .. Donde  c = RC es la constante capacitiva de tiempo del circuito y se eligió la condición inicial I(0) = I0 Integrando, obtenemos la. –t/RC. + [ (E0 ω) / (1+. (RCω) ) ] [RCω senωt + casω t ]. Solución del circuito RC. solución general : I(t) = c e –t/RC = c e-t/C = I 0 e –t/ C.

(14) Mapas mentales Sección 2.15 entrega: 29.09.2011. La solución general de la ecuación original será la suma de las. Esta ecuación es lineal no homogénea respecto a q:. soluciones; homogénea q h y. dq/dt + q/CR = 0 ;. particular q p, esto es:. q(t) = C1 e. -t/ RC. Integrando resulta :. ∫ dq/q = -1/CR ∫ dt. ln i q I = - t/ CR + ln C1. + C E0. q(t) = C1 e -t/ RC. Resultado Final: q(t) = E0 C ( 1 - e. -t/CR). CARGA EN EL CONDENSADOR. Para hallar la carga q en el condensador en u tiempo t , por la ley de Kirchhoff tenemos la ecuación : RI + q/C = E(t) o dq/dt + q/CR = E0 / R. Un condensador de capacitancia C se conecta a un circuito con un voltaje E0 y resistencia R..

(15) Mapas mentales Sección 2.16. 3 FUERZAS: PESO DEL CILINDRO: p = g∆M PRESIÓN DEL AIRE EN LA BASE SUPERIOR Y HACIA ABAJO: P(h+ ∆h)S PRESIÓN DEL AIRE EN LA BASE INFERIOR Y HACIA ARRIBA: SP(h) Finalmente el resultado: P(h) = P0 e. - gh. Separando las variables e integrando : P(h) = ce - gh. Tenemos : ρ S g∆h + P (h + ∆h) S = P(h)S. PRESIÓN ATMOSFÉRICA. Depende de la altura h, está dada por la función : P = P(h). La relación entre la presión y la altura se obtiene imaginando una pequeña porción de aire cilíndrica , de altura ∆h y base S; ver cuales fuerzas actúan sobre el cilindro ..

(16) Mapas mentales Sección 2.17 2011 Resuelta respectoa la derivada : y= f(x,y´) x = g(y,y'). F(x,y,y') = 0. Para analizar y= f(x,y´), se introduce el parámetro p(x)= y'---------- dy= p(x)dx y obtenemos: y= f(x,p). Ecuaciones no resueltas respecto a ala derivada Pueden ser resueltas respecto a la función dependiente o a la variable independiente. Si x = Ф (p,c) , entonces obtendremos la solución de la ecuación en forma paramétrica.. Luego, obteneiendo la diferencial totala de esta ecuación : dy =( ∂f/ ∂x) dx +( ∂f/ ∂p) dp. Esto es equivalente a tener :. +( ∂f/ ∂p) dp. dp= 0. Agrupando términos. x = Ф (p,c);. La solución es : p(x) = y’ = dy/ dx Entonces tenemos : x = g(y,p) La diferencial total de esta ecuación es : dx=( ∂g/ ∂y) dy +( ∂g/ ∂p) dp. p(x)dx ; tenemos : P(x) dx = ( ∂f/ ∂x) dx. M( x,p) dx + N( x,p). y = f(Ф (p)) La segunda ecuación : x = g(y,y’). Sustituyendo dy=. tenemos: Sustituyendo en[( dy/p ( ∂g/p(x) ∂y) dy ∂f/=∂x)] ++(( ∂g/ ∂p) dp. ∂f/ ∂p) = 0. [(∂g/ ∂y)- (1/p)] dy +( ∂g/ ∂p) dp= 0 Esto es equivalente a tener : M( y,p) dx + N( y,p) dp= 0. Si y = Ф (p,c) , entonces obtendremos la solución de la ecuación en forma paramétrica. y = Ф (p,c); Entonces obtendremos la solución de la ecuación general en forma paramétrica :.

(17) Mapas mentales Sección 2.18. Ecuaciones de Lagrange y Clairaut. La ecuación diferencial de Clairaut tiene la forma :. Son casos particulares de las ecuaciones no resueltas respecto a a la derivada y pueden resolverse mediantre la introducción del parámetro p.. y = xy' + ψ (y'). La solución general de esta ecuación tiene la forma : y = cx +ψ(c). Haciendo y'= p, diferenciando y sustituyendo dy por pdx ; resolviendo tendremos x =Ф (p,c). Una ecuación diferencial de Lagrange tiene la forma : y = x φ(y') + ψ (y'). Entonces la solución general de la ecuación inicial en forma paramétrica es : •. x =Ф (p,c). •. y= Ф (p,c) φ(p) + ψ(p).

(18) Mapas mentales Sección 2.19. Dos curvas son perpendicules entre sí en un punto dado , si las pendientes m1 y m2 de las rectas tengentes a las curvas en ese punto cumplen : CURVAS QUE INTERSECTAN LAS CURVAS DE UNA FAMILIA DADA Y EN UNA FORMA DESEADA. TRAYECTORIAS OROTOGONALES TRAYECTORIAS ISOGONALES : Cuando las trayectorias cortan las curvas dadas en un ángulo constante. m1m2 = -1 ---- m1 = -1/ m2. Sabemos que la derivada es igual a la pendiente m ; entonces es fácil de obtener la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales a la familia de curvas. Trayectorias Orotogonales: Si el ángulo es recto, es decir 90°.. F(x,y,y’) = 0 Entonces la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales a y(x) es F(x,y,1/y’) = 0.

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