Opciones en el mercado tes en Colombia

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(1)II-02(2)72. OPCIONES EN EL MERCADO TES EN COLOMBIA. Trabajo de Grado para optar por el título de: Ingeniero Industrial. Autor: Juan Felipe Mosquera Buitrago. Asesora BEATRIZ LOPERA. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE INDUSTRIAL BOGOTA, FEBRERO DE 2005.

(2) II-02(2)72 TABLA DE CO NTENIDO. 1. INTRO DUC CIO N_______________________________________________2 2. DEFINIC IO N DE MERCADO DERIVADO S______________________. 4. 2.1 QUE ES EL MERCADO DE DERIVADOS. 4. 2.2 INSTRUMENTOS DERIVADOS. 4. 2.2.1. FORWARDS. 5. 2.2.2. FUTUROS. 5. 2.2.3. SWAPS. 7. 2.2.4. OPCIONES. 7. 2.3 PARTICIPANTES EN EL MERCADO DE DERIVADOS. 13. 2.4 MERCADO DE DERIVADOS EN COLOMBIA. 13. 3. BO NO S 3.1 VALORACIÓN DE UN BONO (BOND PRICING). 19 20. 4. ALETO RIEDAD EN LO S MERCADO S. 21. 4.1 LEMA DE ITO. 23. 5. DERIVADO S DE TASAS DE INTERES. 24. 5.1 TASAS DE INTERÉS ESTOCASTICAS. 25. 5.2 LA ECUACIÓN DE LA VALORACIÓN DEL PRECIO DE UN BONO 5.3 EL RIESGO DEL PRECIO DE MERCADO. 26 27. 6. MO DELO S PARA VALO RA EL PRECIO UNA O PCIO N 6.1 MODELOS SIMPLES PARA VALORAR EL PRECIO DE OPCIONES. 28 31. 6.2 LIMITACIONES DE LOS MODELOS SIMPLES. 37. 6.3 MODELOS DE ESTRUCTURA DE PERIODOS. 38. 6.3.1. MODELOS DE UN SOLO FACTOR. 38. 6.3.2. MODELO DE VASICEK. 6.3.3. MODELO DE COX, INGERSOLL, ROSS (“CRI”). 40. 6.3.4. TENDENCIA A LA MEDIA – JUSTIFICACIÓN ECONÓMICA. 41. 39.

(3) II-02(2)72 6.3.5. MODELOS “SIN ARBITRAJE”. 42. 6.4 SIMULACIÓN DE MONTECARLO. 7. TITULO S DE TESO RERIA TES EN CO LO MBIA. 44. 45. 7.1 ORIGEN DE LOS TES. 45. 7.2 CLASES DE TITULOS. 48. 7.2.1. CLASE B A TASA FIJA (EN PESOS). 48. 7.2.2. CLASE B A TASA VARIABLE (INDEXADOS AL IPC). 48. 7.2.3. CLASE B A TASA FIJA (EN DOLARES). 49. 7.2.4. CLASE B A TASA FIJA (UVR). 49. 7.3 ESQUEMAS DEL MERCADO DE DEUDA PUBLICA 7.3.1. MECANISMOS PARA LA COLOCACION DE TES CLASE B. 53 53. 7.4 LAS CURVAS DE RENDIMIENTO EN COLOMBIA. 59. 7.4.1 CURVA DE RENTABILIDAD DE TES B A TASA FIJA. 59. 7.4.2 MÉTODOS DE LA CURVA CERO CUPON PARA TITULOS TES. 61. 8.CO NC LUSIO NES DE LA APLICABILIDAD DE LO S MO DELO S 9. BIBLIO G RAFIA. 67 70.

(4) Opciones en TES. II-02(2)72. 1. INTRODUCCIÓN. Según los libros de texto, los títulos emitidos por los Gobiernos son las inversiones más seguras. Por ello, quienes los adquieren generalmente aspiran a obtener una modesta pero confiable remuneración por sus ahorros. Sin embargo, durante los últimos meses del segundo semestre del 2002, los colombianos que tenían TES en Colombia, en sus portafolios, perdieron mucho dinero. Incluso, hubo quienes invirtieron todo su patrimonio especulando con esos papeles, y se quebraron. El mes de agosto de 2002 se caracterizó por una serie de sucesos que provocaron cambios importantes en la dinámica económica del país, principalmente en el mercado de TES y de deuda pública interna. El incremento de tasa de los TES de mercado secundario, sin duda alguna fue el elemento que mayor impacto tuvo no sólo en el sector financiero sino también en el real, resaltando la importancia de una disciplina fiscal para los próximos años. Por otro lado, Colombia se ve cada vez más afectado por los hechos de los mercados vecinos (Brasil específicamente para agosto) y así lo evidenció el fuerte incremento de la devaluación en éste último mes, teniendo un efecto en el mercado de deuda pública interna y deuda pública externa. El mes de septiembre es crítico por varios hechos que se les debe hacer seguimiento, éstos tendrán incidencia directa en el mercado. Y son ellos las reformas tributarias, pensional y laboral que deben presentarse al Congreso, así como las negociaciones con el FMI que deben arrojar resultados en el mes de septiembre. Sin duda alguna, los hechos mencionados anteriormente tendrán incidencia directa en los mercados tanto de deuda pública interna como externa, así como en el mercado cambiario. Indispensables, para la financiación del gasto 1 del gobierno para el 2003, estimado en $24 billones . Con todas estas características, se reversó una tendencia que venía desde hace años, según la cual la tasa de la deuda pública siempre bajaba, y por ello quienes especulaban con los TES ganaban a la fija. De nada sirve prohibir que haya especulación en valores. Siempre habrá personas que quieran enriquecerse rápidamente y esto es lo normal en el capitalismo. Más bien la pregunta es: ¿Por qué las instituciones financieras y las empresas formales dejaron que esto ocurriera? Parte de la respuesta esta en la falta de información disponible en el mercado sobre el riesgo asumido por la especulación con tasas y plazos.. 1. www.minhacienda.gov.co. 2.

(5) Opciones en TES. II-02(2)72. Otra parte está en la poca cultura de manejo de riesgo, en las deficientes estrategias financieras y la falta de cubrimiento. La concentración del mercado en TES es escandalosamente alta. Alrededor del 40 2 por ciento de los activos de los bancos comerciales de nuestro país está representado en esos títulos. Nada más oportuno que esta crisis financiera se presentara mientras realizaba mi proyecto de grado. Precisamente lo que se menciona anteriormente involucra el objetivo de mi trabajo; el cual es estudiar los riesgos implícitos en la transacción de estos títulos de tesorería, añadiendo un factor importantísimo que olvidan muchos inversionistas a la hora de tomar sus decisiones, y es, la falta de cultura de riesgo y la falta de cubrimiento. El objetivo de esta investigación, será tomar los TES clase B de renta fija en 2 pesos definir la aplicabilidad de un instrumento financiero de cobertura, en mi caso las opciones; como se aplica las opciones sobre tasas de interés en el mundo financiero y observar las condiciones del mercado colombiano para aplicar este instrumento. En Colombia, por el momento no existen condiciones adecuadas para aplicar un instrumento de cobertura como este; sin embargo el ritmo de crecimiento del mercado de derivados es altísimo, y en mi opinión se están realizando grandes esfuerzos en materia de riesgo. Por esta razón, aunque no exista mucha información, hacer esfuerzos e impulsar mediante mi trabajo a que otras personas sigan en este tema es para mí de gran satisfacción y espero que más adelante puedan aplicarlo. Mi objetivo es dar un primer paso en el desarrollo de una alternativa de cubrimiento del riesgo mediante las opciones en el mercado de Bonos Colombiano. Seguramente en un futuro se podrá ver que estos instrumentos, como los TES u otras emisiones que realice el gobierno colombiano, estén amparadas por un mercado más seguro para los inversionistas Colombianos ydel resto del mundo; con un factor de confianza que se aleje de la incertidumbre que genera la volatilidad de los mercados. Lo importante inicialmente es estudiar este mercado que para mi y para los que conocen de este, tiene una gran importancia para el gobierno colombiano, pues de ahí se deriva gran parte de su financiación interna. Además, se quiere buscar oportunidades de implementar modelos de cubrimiento ya estudiados en otros mercados, que podrían servir para estructurar este mercado de una forma más adecuada.. 2. Los títulos de tesorería TES clase B de renta fija en pesos, son los más utilizados en el mercado de deuda interna colombiana, por esta razón me concentraré específicamente en estos títulos.. 3.

(6) Opciones en TES. II-02(2)72. 2. DEFINICIÓN DEL MERCADO DE DERIVADOS. En esta parte del trabajo se darán definiciones básicas referentes al mercado de derivados, iniciando con una definición, para luego describir los instrumentos que lo componen; así serán el sustento teórico inicial para desarrollos posteriores en el transcurso de mi proyecto.. 2.1 Que es el mercado de Derivados?. En los últimos años los derivados han venido creciendo en una forma considerable, siendo de suma importancia en el mundo financiero y de las inversiones. Este mundo financiero, ha alcanzado un estado donde es esencial para todos los profesionales entender como estos mercados trabajan, como son usados y que factores determinan sus precios . En Colombia por ejemplo, donde existe un entorno de incertidumbre, los instrumentos derivados pueden convertirse en la mejor opción para cubrir su riesgo. Ahora bien, ¿qué son los derivados?; Los derivados son papeles financieros cuyo precio se deriva (como lo dice su nombre) del precio de un activo subyacente. En este mercado se utilizan diferentes instrumentos, cada uno con unas características diferentes en su funcionamiento. La mayoría de personas que utilizan estos instrumentos lo hacen por diferentes motivos, por esto existe diferencias a la hora de asumir una posición en el mercado; más adelante explicaré los agentes que intervienen en estos mercados. Por ahora, daré una definición de los instrumentos que componen el mercado de derivados.. 2.2 INSTRUMENTOS DERIVADOS. Los derivados se dividen en cuatro categorías: Futuros, Forwards, Swaps y Opciones principalmente. Se profundizará en las opciones, pues es el instrumento que voy a trabajar.. A continuación se describen cada unos de estos instrumentos:. 4.

(7) Opciones en TES. II-02(2)72. 2.2.1 FORWARDS Contrato firmado entre dos partes para comprar y vender una cantidad específica de un bien para entregar en un momento futuro a un precio determinado. No hay anonimato ni estandarización, existe la probabilidad de que alguna de las partes incumpla, la mayoría de estos contratos terminan en entrega que es un día yno un periodo. 3 2.2.2 FUTUROS :. Un contrato de futuros ( futures contract) es un acuerdo entre dos partes por el cual los contratantes se comprometen a entregar un determinado producto, especificado en cantidad y calidad, en una fecha futura previamente fijada y a un precio acordado en el contrato. Tipos de futuros. Los contratos de futuros son productos creados por los mercados en los que se contratan. Los diversos mercados de futuros existentes en el mundo especifican el tipo de mercancía a entregar, la calidad de la misma, las fechas de entrega, el modo de pago y el sistema de fijación de los precios para cada contrato de futuros. El mercado de futuros cumple con los requisitos de cualquier mercado: los productos son estandarizados o iguales en todos los casos, hay multitud de concurrentes ( compradores y vendedores) y los precios se forman de una forma transparente por la concurrencia de las partes.. Existen diferentes usos sobre los futuros dependiendo de la bolsa en que se estén negociando, algunos futuros son los siguientes: Futuros sob re productos agrícolas •. Granos y Aceites: Maíz, Avena, Soya, Trigo entre otras. •. Ganado y Carne. • Fibras Y Alimentos: Cacao, Café, Azúcar, Jugo de Naranja, Algodón, entre otras. Futuros Sob re Metales y energía 3. Hull,John. Introduction To Futures And Options Markets. Prentice Hall .Third Edition. p. 18.. 5.

(8) Opciones en TES. II-02(2)72. • Cobre, Oro, Platino, Plata, Petróleo, Gasolina, Paladio, Propano, entre otras. Futuros Financieros • Índices Bursátiles ( S&P500, Nikkei 225, S&P100, FTSE 100, IBEX-35 entre otros) • Tipos de Interés ( treasury Bonds, treasury Bill, Eurodollars, Treasury Notes, Libor, etc) •. Divisas ( Yen, Marco, Libra, Franco Suizo). Funcionamiento de los futuros Todo contrato de futuros consta de los siguientes elementos: 1.. Especificación del producto: cantidad y calidad.. 2.. Precio: Establecido en el momento de cerrar el contrato.. 3. Fecha y sistema de Liquidación: fecha y modo en que se realiza la entrega del producto frente a la entrega de dinero. Estos tres elementos los especifica cada mercado o bolsa de futuros (exchange). No todos los mercados contratan los mismos productos ni las especificaciones para un mismo producto son las mismas.. Liquidación y margen de Garantía El sistema de liquidación (settlement) supone la entrega del producto frente a la entrega del dinero. Habitualmente, sin embargo, casi todas las transacciones se liquidan por diferencias de precios sin entrega física de la mercancía. El promedio de contratos que se liquidan mediante la entrega de mercancía esta entre el 1 y 3% sobre el total de contratos negociados. Este sistema tiene la ventaja de evitar problemas de almacenamiento y transporte de la mercancía. Determinados contratos de futuros se liquidan obligatoriamente en dinero ( sin entrega física de la mercancía). Esto es lo que se conoce como liquidación por caja (cash delivery). Este es el caso de los futuros sobre divisas y futuros sobre índices bursátiles. Todas las operaciones se realizan a través del mercado y se liquidan a través de una entidad liquidadora ( clearing House ). Este mecanismo da completa seguridad al mercado, por cuanto el comprador no tiene porque preocuparse sobre la situación financiera de la contraparte; el contrato en cualquier caso se llevará a termino puesto que la entidad liquidadora responde.. 6.

(9) Opciones en TES. II-02(2)72. Aunque los contratos se liquidan y pagan a la fecha de vencimiento, para iniciar el contrato se requiere un deposito inicial o margen inicial (initial margin) y un deposito de garantía de mantenimiento (maintenance margin). La cuantía de estos márgenes varia según los mercados y los tipos de contrato. El dinero procedente de la garantía se abona a una cuenta abierta a nombre del comprador, denominada cuenta de garantía (margin account). Cada día se van ajustando las posiciones de comprador y vendedor en sus respectivas cuentas (Market to Market), según los movimientos de precios en el mercado de futuros, de modo que se mantenga siempre el mínimo requerido y asegurar así el buen fin de la operación. Las posiciones en el mercado de futuros son las mismas que en cualquier mercado, con su denominación especifica. El comprador de un contrato de futuros se dice que tiene una posición larga (long position) y el vendedor del futuro se dice que tiene una posición corta ( short position). Existe una propiedad importante en este mercado; se denomina principio de convergencia, y consiste en que el precio del contrato de futuros y el producto subyacente en el mercado spot (mercado de entrega inmediata) convergen a medida que se acerca el vencimiento del contrato de futuros. Esto se cumple siempre o de lo contrario existiría arbitraje. 2.2.3 SWAPS Acuerdo privado entre dos empresas para intercambiar flujos de caja futuros. Permiten convertir una tasa variable en una tasa fija. Ejemplo: La Compañía A debe pagar a la compañía B una tasa variable, para esto realiza un swap con la compañía C con el cual se compromete a pagar una tasa fija, que reemplace la tasa variable. 4 2.2.4 OPCIONES :. Yo escogí las opciones como instrumento de cobertura, porque existen modelos de valoración para cubrir las tasas de interés, a diferencia de otros derivados como los futuros, swaps o forwards; más adelante cuando se discutan los modelos de valoración se profundizará más en los derivados sobre tasas de interés. Los mercados de opciones han asumido un rol muy importante en el mundo financiero. La característica del grado de apalancamiento, hacen de este un mercado atractivo para muchos especuladores, sus características flexibles en cuanto a retornos y riesgos han hecho de este instrumento una herramienta 4. WONG, Anthony. Trading And Investing In Bond Options. John Wiley. P 11. 7.

(10) Opciones en TES. II-02(2)72. esencial para el cubrimiento de inversiones tradicionales como las acciones, bonos, índices bursátiles, tipos de interés, divisas, futuros, etc. las opciones son un bloque muy importante en la construcción de instrumentos de cobertura que se han venido realizando en los últimos 10 años en el mundo financiero.. Definición y clases de opciones: Una opción de compra (call) es un contrato por el que el comprador (holder o buyer) tiene le derecho, pero no la obligación, de comprar un determinado activo o activo subyacente (underlying asset), a un determinado precio o precio de ejercicio (strike price) y en una determinada fecha de ejercicio (expiration day). El vendedor o suscriptor ( writer) tiene la obligación de vender el activo subyacente en la fecha determinada y al precio acordado. Una opción de venta (put) da al comprador el derecho, pero no la obligación, de vender un determinado activo a un determinado precio y en una fecha establecida. El vendedor de la opción de venta tiene la obligación de comprar el activo en la fecha acordada y al precio acordado si el comprador decide ejercer la opción. Al igual que en los futuros, el que compra la opción se dice que esta largo ( Long) y el que vende la opción se dice que esta corto ( Short). Voy a poner un ejemplo para clarificar conceptos: La acción de IBM cotiza hoy a US$100. según un análisis, este precio va a tender a subir y posiblemente lo haga a US$125, pero existe la incertidumbre de que esto no ocurra. Entonces compramos una opción de compra sobre la acción de IBM a un precio de ejercicio de US$100 para dentro de tres meses. Al cabo de este tiempo si IBM cotiza por encima de US$100 ejerceremos la opción, pagando el precio de ejercicio y recibiendo una acción de IBM que podremos vender el mismo día en el mercado spot a US$125, con un beneficio de US$25 ( sin costos de transacción). Si IBM cotizara por debajo de US$100, simplemente no ejerceríamos la opción perdiendo solamente el precio de la opción. Tenemos cuatro clases de operaciones: •. Comprar una opción de compra ( buy a call). •. Vender una opción de comprar ( write a call). •. Comprar una opción de venta ( buy a put). •. Vender una opción de venta ( write a put). 8.

(11) Opciones en TES. II-02(2)72. Es evidente que podemos utilizar las opciones como elemento de cobertura de riesgo además de utilizarlas para un modo especulativo. En el ejemplo anterior, para ilustrar este hecho; si tenemos una acción de IBM valorada hoy a US$100 y queremos cubrirnos contra una posible bajada lo que haremos será comprar una opción de venta a US$100 ; en caso de que IBM descienda, siempre podremos ejercer la opción vendiendo esta y obteniendo los US$100, con lo que habremos eliminado el riesgo de nuestra acción.. Elementos básicos del contrato de la opción: 1. Activo subyacente (urderlying asset): Este puede ser ya sea acciones, tipos de interés, divisas, mercancías, entre otros. 2. Precio de la opción (premium): Es la prima que paga el comprador por la opción. 3. Precio de ejercicio (strike price): Es lo que se tiene que pagar por tener el activo subyacente en el momento de la expiración de la opción; si al ejercer la opción, reporta beneficio se dice que la opción esta in the money, en caso contrario, la opcion esta out of the money.. Por ejemplo, del ejemplo anterior, una call sobre IBM con precio de ejercicio de US$100 por acción, está in the money si IBM cotiza a US$125, si IBM cotiza a menos de US$100, la call esta out of the money; si IBM cotizara exactamente a US$100 la call estaría at the money. 4. Fecha de expiración ( expiration date): Es la fecha en la que se liquida el contrato. Atendiendo a la fecha de expiración tenemos dos tipos de opciones: Opción Americana, cuando podemos ejercer la opción en cualquier momento antes de la expiración; Opción Europea, cuando solo podemos ejercer en la fecha exacta de la expiración. La mayoría de las opciones en el mercado americano son de tipo americano, salvo las opciones sobre divisas y las opciones sobre índices.. Diagramas de ganancias de las opciones. 9.

(12) Opciones en TES. II-02(2)72. A menudo es bueno caracterizar las posiciones de las opciones Europeas en términos de su valor final en la maduración. El costo inicial de la opción no esta incluida. Si definimos X el precio Strike y St el precio final del activo subyacente el día de la expiración, el pago en una posición larga en una opción Call Europea es max(St − X ,0) Esto refleja el hecho de que la opción será ejercida si St > X y no será ejercida si St ≤ X . El pago para la posición corta de una opción Call Europea es : - max(St − X ,0) = min(X − St ,0). El pago para un posición larga en una opción Put Europea es max(X − S t ,0). Y el pago para una posición corta es - max(X − S t ,0) = min(St − X ,0). Gráficamente:. payoff. Long Call. Short Call. X. St. 10.

(13) Opciones en TES. Long Put. II-02(2)72. Short Put. Liquidación y margen de garantía. Todas las opciones se liquidan a través de una institución liquidadora ( en el caso americano la Option Clearing Corporation OCC). Comprador y vendedor de la opción liquidan su operación con la OCC directamente sin entrar en contacto entre ellos. La OCC garantiza pues la operación, dando seguridad al mercado. En el caso de las opciones solo se requiere depósito de garantía al vendedor de la opción que es el único que esta expuesto al riesgo. El vendedor de la opción deposita un margen inicial y tiene que ir reponiendo fondos (margen de mantenimiento) cada vez que sus pérdidas implícitas aumentan. El comprador paga la prima o precio de la opción.. Sistema de Contratación y Organización del Mercado El sistema de contratación depende de cada mercado, así como la organización del mismo. El mercado de opciones mas importante, el Chicago Board Trade, contrata por el sistema de subasta publica con pits, existe completa división entre los dealers, que contratan solo para su cuenta ( con dinero propio) sin tomar ordenes de clientes y b rokers, que solo contratan por cuenta de terceros sin poder hacer operaciones por su propia cuenta. Existen también, las opciones que se negocian en el Over the Counter Market de modo individualizado entre las partes contratantes. En estos casos, las opciones son a la medida en todos sus aspectos: expiración, activos subyacentes, etc. El. 11.

(14) Opciones en TES. II-02(2)72. precio de estas opciones suele ser superior al de una opción equivalente negociada en un mercado; si embargo no existe liquidez para poder vender la opción (para deshacer la posición) y además, ambas partes no están aseguradas del cumplimiento del contrato, ya que no existe una entidad liquidadora que asegura su cumplimiento.. Tipos de Opciones Existen diversos tipos de opciones según el activo subyacente sobre el que se emite la opción. Las diversas opciones han sido surgiendo, como respuesta a los diversos entornos económicos y financieros de cada momento. También, como en el caso de los futuros, no todas las opciones se contratan en todos los mercados. Cada bolsa procura atraer inversores lanzando nuevos productos. Se dividir con cierta proximidad las siguientes clases de opciones:. pueden. • Opciones sobre acciones (stock option): Como su nombre lo dice se pueden tener opciones sobre acciones por ejemplo de IBM, Coca-Cola, General Electric, etc. • Opciones sobre índices bursátiles (index option): tales como el S&P 500, S&P 100 que representan gran parte del comportamiento del mercado en general. Surgen en 1983 como instrumento para asegurar carteras de renta variable. • Opciones sobre tipos de interés (interest option): la opción se realiza sobre determinados activos en renta fija, por ejemplo en Estados Unidos se tiene los Treasury Bonds, treasury notes, Eurodollar, Treasury Bill, entre otros. Se usan para la cobertura de carteras de renta fija. • Opciones sobre Divisas (currency option): se utilizan para la cobertura de riesgo del cambio de divisas o monedas extranjeras. • Opciones sobre Futuros (futures option): el activo subyacente es un futuro sobre el que se gira la opción. A su vez el futuro puede ser sobre índices bursátiles, sobre mercancías (commodities), tipos de interés, etc. • Opciones sobre mercancías (commodity option): opciones sobre diferentes productos agrícolas ( naranjas, carnes, soya..) o también sobre commodities financieros como el oro, la plata, el platino, etc. •. 12.

(15) Opciones en TES. II-02(2)72. 2.3 PARTICIPANTES EN EL MERCADO DE DERIVADOS Tanto los futuros como las opciones atraen a diferentes operadores denominados generalmente traders, que buscan diferentes objetivos cuando realizan transacciones en estos mercados, por esta razón, existen tres tipos de traders:. •. Cobertura ( Hedgers). Utilizan estos mercados para cubrirse de riesgos, es decir, pretenden minimizar o neutralizar completamente el efecto del movimiento de los precios. •. Especuladores ( Speculators). Los especuladores lo que buscan es tener una posición en el mercado que les permita sacar el máximo partido a los movimientos de los precios con el fin de obtener una ganancia. •. Arbitradores ( Arb itrageurs). Estos operadores buscan oportunidades de la realización simultánea de una ganancia sin riesgo en dos o mas mercados Originalmente, el estudio de mi propuesta va enfocada a cubrir el riesgo de tasa de interés, sin embargo observando como se procede en otros mercados, la necesidad de todos los participantes es vital para que se exista liquidez y se desarrolle con más eficiencia el mercado.. 2.4 MERCADO DE DERIVADOS EN COLOMBIA Si bien los derivados permiten actuar tanto para cubrir riesgos como para especular con ellos, se requiere en primera instancia del desarrollo de una cultura de medición de riesgos como parte natural del proceso de evolución de este mercado. La historia reciente del mercado financiero en Colombia es rica en ejemplos de mecanismos cada vez más sofisticados para medir los riegos. Como muestra de ellos las metodologías de valoración a precios de mercado han permitido medir, de manera más cercana a la realidad, el valor de los portafolios del sector real y financiero.. 13.

(16) Opciones en TES. II-02(2)72. Para el sector financiero, en particular, las medidas de valoración a partir de 1995 por las Superintendencias Bancaria y de Valores, han venido haciendo explicitas las perdidas o ganancias de sus portafolios ante los cambios en las tasa de interés. Las tasas de interés y de tipo de cambio, son los riesgos que mayores necesidades de cubrimiento requiere actualmente la economía colombiana, pues es difícil identificar algún activo o pasivo de una entidad cualquiera, sea financiera o del sector real, cuyo valor no sea sensible a las oscilaciones de las tasas de interés o a las de tipo de cambio. Para el cubrimiento de los riesgos de tasa de interés y de tipo de cambio, el mercado colombiano ha desarrollado en primera instancia mecanismos de cobertura natural. El siguiente paso ha sido el empleo de instrumentos derivados de carácter bancario, en operaciones que suelen realizarse entre entidades financieras o entre estas y sus clientes. Los instrumentos típicos de este mercado son los forwards. Ahora bien, la administración de riesgos de tasa de interés yde tipo de cambio requiere de un mercado liquido de instrumentos derivados y los forwards, por ser operaciones “hechas a la medida” del cliente, no cumplen de manera idónea con este papel. Por esta razón la Bolsa de Colombia se ha empeñado en el desarrollo de un “mercado” de derivados, que garantice ante todo liquidez suficiente para los instrumentos que allí se negocien, lo cual solo es posible con la activa participación de especuladores y cubridores de riesgo, que alimenten continuamente las puntas de compra y venta. El instrumento diseñado para tal fin son las Operaciones a Plazo de Cumplimento financiero (OPCF), que en primera instancia versan sobre contratos en los cuales el activo subyacente es la DTF yla TRM. En el país, el mercado más grande de derivados lo representan los forwards que 5 han movido en el 2002 cerca de US$150 millones diarios . Como habíamos mencionando los forwards son acuerdos de compra o venta de un activo en los que el precio se fija hoy pero la entrega del producto se hace en una fecha futura. Así, el comprador o el vendedor logran cubrir su riesgo pues saben con anterioridad cómo se va a comportar su flujo de caja. Las empresas del país ya están reconociendo los beneficios de acudir a este mercado y cada día están haciendo operaciones de cobertura más sofisticadas. Empresas como Ecopetrol, Bavaria, Porvenir, EPM y la Federación Nacional de Cafeteros, entre otras, ya tienen departamentos dedicados exclusivamente al 5. www.infofinanciera.com.co. 14.

(17) Opciones en TES. II-02(2)72. manejo de riesgo con el uso de derivados. Sectores que importan la mayoría de sus materias primas, como aluminio, cobre y petroquímicos, también están utilizando estos instrumentos para tener certeza sobre el comportamiento futuro de sus flujos de caja. En consecuencia, la oferta de derivados por parte de instituciones financieras como el Citibank, ABN Amro Bank, Bancolombia y el Banco de Bogotá, entre otras, se ha ampliado considerablemente durante los últimos años. En el país, cerca del 70% de este mercado lo maneja el sector financiero, mientras el resto lo tiene el sector real. El 80% de las operaciones 6 forward se hace a corto plazo --menos de 90 días-- . El mercado de forwards con mayor movimiento en Colombia (más del 90%) es el de tasas de cambio. Esto, pues el riesgo más grande que perciben los empresarios es el de la volatilidad de otras monedas, en especial del dólar. Un empresario que tiene que importar una buena parte de sus materias primas está expuesto a un riesgo de devaluación. Si realiza un contrato forward en el que pacta una tasa de cambio en una fecha determinada, está asegurando el flujo de caja que tiene que desembolsar y reduciendo su volatilidad. Lo mismo puede hacer alguien con una deuda en dólares que lo exponga también al riesgo de devaluación. Para acceder a un contrato forward, las empresas tienen que acudir a los intermediarios financieros. Con este tipo de instrumentos, situaciones financieras delicadas como las que enfrentaron las empresas de telefonía celular nacionales a finales de los 90, luego de una gran devaluación, que tenían deudas en dólares, se habrían podido evitar. De hecho, a partir de esa época, las empresas nacionales empezaron a tomar conciencia de la vulnerabilidad a la que estaban expuestos sus flujos de caja por factores ajenos a su margen de maniobra y comenzaron a demandar derivados en el país. En solo cinco años, este mercado ha alcanzado crecimientos del 400%. La Federación Nacional de Cafeteros, por ejemplo, empezó a cubrirse de las fluctuaciones en los precios internacionales del café desde hace tan solo 3 años. A partir de 1997, Crédito Público empezó a utilizar derivados para cubrir su riesgo cambiario. El concepto aún es relativamente nuevo en el país. Futuros en Colombia En cuanto a los futuros, la Bolsa de Valores de Colombia (BVC) ofrece instrumentos de este tipo, denominados Operaciones a Plazo de Cumplimiento 7 Financiero (OPCF) . Estas empezaron a implementarse en 1998 con el propósito de comprar o vender activos en una fecha futura sobre tasas de cambio, tasas de interés e índices bursátiles. En la actualidad, sin embargo, solo se negocian contratos sobre tasa de cambio (TRM).. 6 7. www.infofinanciera.com.co www.bvc.com.co. 15.

(18) Opciones en TES. II-02(2)72. A diferencia de los forwards, estos contratos tienen tamaños, fechas y constitución de garantías estandarizados. Para acceder a las OPCF, el comprador y el vendedor deben constituir una garantía básica que depende del comportamiento de la volatilidad del activo subyacente. Actualmente, esta garantía es del 7% del tamaño del contrato. En las OPCF, en la fecha de madurez, el cumplimiento se realiza mediante la entrega de la diferencia en dinero entre el precio pactado y el precio de mercado del activo subyacente el día de vencimiento de la operación. El mercado para las OPCF en el país, aunque está creciendo a un ritmo semestral de 21%, aún es incipiente comparado con el mercado de forwards. Desde el primer año de funcionamiento en la BVC, se han registrado operaciones por US$504 millones. Esta situación seguramente cambiará cuando se constituya una cámara de compensación que garantice formalmente el cumplimiento de los contratos, al convertirse en la contraparte de los mismos. Así operan las bolsas de futuros del mundo. Dentro de un año, la BVC espera constituir esta cámara, en el marco de un proyecto que tiene en conjunto con el Banco Interamericano de Desarrollo y otras instituciones.. Opciones en Colombia Como había mencionado anteriormente Las opciones son otro tipo de derivado que otorgan a su tenedor el derecho a comprar o vender un activo a cierto precio en una determinada fecha. Es como un seguro que adquiere el tenedor. Así en Colombia con respecto al dólar, paga una prima y si, por ejemplo, ha pactado la compra de dólares a una tasa de $2.500 en un mes y esta, al cabo de ese tiempo, llega a $2.600, el tenedor ejerce la opción. Si, por el contrario, la tasa de cambio cae a $2.400, luego de un mes, el tenedor no ejerce la opción y, aunque tiene una utilidad por comprar dólares "más baratos", habrá perdido el dinero que invirtió en la prima.. El Banco de la República, por ejemplo iba a realizar una subasta de opciones Put en el mes de agosto sobre el dólar debido al incremento que estaba por esa época en la TRM. Sin embargo el mercado de opciones en el país, en palabras de un analista del sector, "aún es totalmente ilíquido". Las primas que se cobran por este tipo de instrumentos son muy altas, pues dependen de la volatilidad de las variables que en el caso colombiano es elevada. En el país, se calcula que este mercado representa tan solo unos US$30 millones al mes.. 16.

(19) Opciones en TES. II-02(2)72. Swaps en Colombia La negociación de swaps (o canjes), que permiten a las partes intercambiar flujos de caja en el futuro, es más dinámica en los últimos meses a la fecha, del 2002. Este tipo de instrumentos permite cambiar una deuda por otra. Es decir, la deuda original se mantiene, pero si el deudor paga una tasa fija y ahora quiere pagar una variable, hace un swap en el que termina pagando a una entidad una tasa variable y recibe de esta una tasa fija, con lo cual realiza un canje de su deuda. En el mundo, el de los swaps es el mercado derivado con mayor liquidez y está llamado a ser el mercado del futuro pues permite a las empresas diseñar esquemas "a la medida" que se ajusten a su nivel de riesgo y a sus necesidades particulares yles permitan una cobertura que se puede revaluar constantemente. Para hacer un swap, las empresas deben acudir a una entidad financiera pues esta no solo tiene acceso a tasas más favorables sino, además, los recursos suficientes para buscar una contraparte a la transacción.. El mayor ejemplo de este tipo de operaciones han sido los canjes de deuda que ha hecho el gobierno, mediante los cuales ha cambiado deuda externa por deuda interna y ha cambiado las amortizaciones de sus deudas. Recientemente, Empresas Públicas de Medellín hizo un swap con la International Finance 8 Corporation para reducir su exposición en dólares, al canjear una deuda en esa moneda a tasa fija a otra en pesos a tasa fija. Los swaps pueden ser tan sofisticados como lo permita la imaginación. Esto, pues es difícil encontrar dos partes que quieran operaciones que se complementen perfectamente y, por ende, los canjeen. Aquí el reto es de las entidades financieras que, a su vez, tienen que buscar cobertura en los mercados internacionales y desarrollar instrumentos novedosos que les permitan ofrecer el mejor producto al cliente. No hay que olvidar que las empresas tienen varias opciones y, por lo general, le apostarán a quien les ofrezca las mejores condiciones.. Los derivados como herramientas del empresario Colombiano Como lo había mencionado antes, aunque los derivados pueden utilizarse también para especular, su desarrollo en el país tiene un potencial enorme en el campo de cobertura. En un país en donde la volatilidad es una constante, estos instrumentos son adecuados para permitir que los empresarios tengan alguna certeza sobre el comportamiento de sus flujos de caja en el futuro. 8. www.banrep.gov.co. 17.

(20) Opciones en TES. II-02(2)72. Las entidades financieras están haciendo la tarea de volver estas herramientas cada vez más accesibles a las empresas. Estas, por su parte, tienen que tomar conciencia de que cuando utilizan derivados, aunque en ocasiones terminan haciendo un mejor negocio (si compraron dólares y hay devaluación) en otras, el negocio no es tan bueno (si por el contrario hay revaluación). Este es el riesgo que se corre cuando se quiere reducir la incertidumbre. En este mercado, la premisa es no mirar atrás una vez se hace la operación. Las decisiones de inversión en derivados, entonces, deben involucrar a los cargos directivos de la organización para que todos vayan más tranquilos. Así mismo, la empresa tiene que evaluar detenidamente su grado de exposición. Para una empresa con ingresos y egresos en dólares, el riesgo cambiario es mucho menor que para una con ingresos en pesos y egresos en dólares. El perfil de riesgo es único para cada empresa; por ello, las herramientas para cubrirse pueden ser muy diferentes. Además, es importante tener en cuenta que siempre hay un riesgo de contraparte por lo cual su elección debe ser cuidadosa, mientras en el país no se desarrollen mecanismos de garantía más eficientes. Por ahora, es importante que el empresario reconozca que ya tiene a su alcance instrumentos que le permiten reducir su riesgo de volatilidad en variables que no puede controlar. El potencial del mercado de derivados en el país es alto. Y su desarrollo apenas comienza.. 18.

(21) Opciones en TES. II-02(2)72. 9. 3. BONOS. 10 Un bono es un instrumento financiero de renta fija y constituye una de las formas de endeudamiento que pueden utilizar, tanto el gobierno como las empresas privadas para financiarse. Los bonos de renta fija suelen dividirse en bonos con cupón y bonos de cupón cero. Los primeros identifican aquellos documentos mediante los cuales el emisor se compromete a pagar al inversionista o tenedor del mismo una suma fija, denominada cupón, en los periodos señalados en el prospecto de emisión del titulo y valor final, denominado principal o valor facial, al momento del vencimiento, aunque no exclusivamente ya que existe la posibilidad de hacer abonos del principal durante el periodo de subsistencia de la obligación. La tasa cupón equivale al valor del cupón sobre el valor facial y no es otra cosa que la tasa de interés que el emisor acuerda pagar cada año. ( En Estados Unidos y Japón , se suelen hacer pagos semestrales, mientras que en Europa al igual que en Colombia se suele pagar el cupón una vez por año) . El cupón es el monto anual por concepto de intereses. Los Bonos de cupón cero, por su parte, identifican aquellos títulos mediante los cuales se pacta un solo pago al final sin ningún pago periódico intermedio ( en el caso del mercado norteamericanos este tipo de títulos se conocen como T-bills, cuyo vencimiento es inferior a un año). El plazo de maduración ( term to maturity) es el número de años en los cuales el emisor del bono promete realizar los pagos pactados incluyendo el correspondiente al principal. De esta manera, el plazo de maduración identifica la fecha en la cual desaparecen las obligaciones del emisor. Los prospectos de emisión de algunos bonos incluyen, en ocasiones, provisiones que dotan al emisor o al tenedor del bono de posibilidades que aumentan el riesgo de contraparte. La más común entre dichas posibilidades es la incorporación de opciones de llamado ( call provision ), la cual le permite al emisor el derecho a retirar la deuda, total o parcialmente antes de su fecha de vencimiento.. Los títulos también pueden incluir provisiones put ( como es el caso, por ejemplo, del Yankee 09 put 05, el titulo que vence en el año 2009 y que da al tenedor el derecho, pero no la obligación, de redimir el título en el año 2005). Cuatro variables, resumiendo, caracterizan a un bono: su valor nominal o par o principal (par value), el cupón (coupon rate), el rendimiento requerido (required yield) y la fecha de vencimiento (maturiry date).. 9. FABOZZI, Frank. Bond Markets Análisis and Strategies. Prentice Hall, 2000. p 12 Más adelante veremos como los TES se pueden identificar como bonos.. 10. 19.

(22) Opciones en TES. II-02(2)72. 3.1 VALORACIÓN DE UN BONO ( BOND PRICING). 11. El precio de cualquier instrumento financiero es igual al valor presente del flujo de fondos que se espera recibir en el futuro. Por consiguiente, para hallar el precio de un bono es necesario conocer su flujo de fondos (cash flow) y luego descontarlo con una tasa de interés. Cuando se tiene el flujo de fondos, se debe hallar su valor presente aplicando al mismo una tasa de descuento. La tasa de interés o tasa de descuento que un inversor espera obtener de un bono es llamada rendimiento requerido (required yield) sobre dicha inversión. El rendimiento requerido siempre esta relacionado con el retorno que el inversor podría obtener invirtiendo en otro bono de las mismas características en cuanto a calidad crediticia del emisor, valor del cupón y vencimiento o de inversiones alternativas. Esto, refleja que en la realidad el rendimiento requerido no es más que la tasa de interés de mercado para un determinado plazo y nivel de riesgo. Escribiendo la formula correspondiente al precio del bono tenemos:. P =. n. ∑. t =1. C M + (1 + r )t (1 + r )n. Donde: P= precio del bono C= Valor del cupón. n = Números de periodos (número de años por número de pagos por año) r= Rendimiento requerido M= valor par o nominal o principal. 11. LIVINGSTON G. Douglas. Yield Curve Analysis. 20.

(23) Opciones en TES. II-02(2)72. 4. ALEATORIEDAD EN LOS MERCADOS Antes de comenzar con la descripción de los modelos, es importante conocer algunos conceptos que son la base para entender un poco más el bagaje matemático de los modelos de valoración del precio de la opciones sobre los bonos. Cualquier variable cuyo valor cambia en el tiempo de una manera incierta, 12 generalmente se le nombra como proceso estocástico (stochastic process) . Los procesos estocásticos pueden ser clasificados como discretos o continuos en el tiempo. Un proceso estocástico discreto en el tiempo, es uno proceso tal que el valor de la variable cambia solo en ciertos puntos fijos en el tiempo, mientras en un proceso continuo en el tiempo, el valor de la variable puede cambiar en cualquier momento. Entender estos procesos, es el primer paso para entender la valoración de precios de las opciones y otros derivados más complicados. Muchas personas creen que entender estos procesos son solamente para los científicos dedicados a estos temas; pero la verdad es que lo difícil está en entender la notación que se utiliza en los procesos. Existen diferentes procesos estocásticos, entre los más importantes están: • Proceso de Markov: Su principal característica, es que es un proceso donde solo importa el valor actual de la variable; el pasado de los valores de la variable son irrelevantes en este proceso. Los precios de las acciones son generalmente considerados como procesos de Markov. Un proceso particular de Markov, es conocido como Wiener Process. Expresado de una manera más formal, una variable z, sigue un proceso de Wiener si cumple con las siguientes propiedades: Propiedad 1: El cambio de ∆z durante un período pequeño. ∆z donde. 12. =ε. ∆ t es. ∆t. ε es una variable aleatoria distribuida normal, Φ(0,1). HULL, John. Options, Futures And Derivaties. Prentice Hall, 2000. 21.

(24) Opciones en TES. II-02(2)72. Propiedad 2:. Los valores de ∆z para dos intervalos de tiempo independientes.. ∆t. cualesquiera son. •. Proceso generalizado de Wiener : El proceso generalizado de Wiener para una variable x , en términos de dz es:. dx = adt + bdz ,. anteriormente.. Donde dz. es el proceso básico de wiener nombrado. Valor de Variable X. dx= a dt. Proceso de Wiener generalizado dx= a dt+ b dz. Tiempo. Proceso de Wiener dz. •. Proceso de Ito: El proceso de Ito, es otro proceso estocástico, donde presenta la forma generalizada del proceso de Wiener, pero donde los parámetros a y b son funciones del valor de la variable, x, y el tiempo t.. dx = a (x, t )dt + b(x, t )dz. 22.

(25) Opciones en TES. II-02(2)72. 4.1 LEMA DE ITO Generalmente, podemos decir que el precio de cualquier derivado es función de las variables estocásticas que subyacen el derivado y el tiempo. Para entender un poco la valoración de los precios de los derivados es importante reconocer el comportamiento de las variables estocásticas. Un importante resultado fue descubierto por el matemático K. Ito, en 1954, conocido como el lema de Ito. Este lema se basa en que una variable x. sigue el proceso de Ito nombrado anteriormente. dx = a (x, t )dt + b (x, t )dz . El lema de Ito muestra que una función G, de x y t sigue el proceso:. ⎛ ∂G ∂ G 1 ∂ 2G 2 ⎞ ∂G ⎟ + + dG = ⎜⎜ a+ b dt bdz ∂t 2 ∂x2 ⎟⎠ ∂x ⎝ ∂x Ahora bien, las ecuaciones anteriores son la base del desarrollo de la ecuación diferencial donde se obtienen los precios de los derivados sobre acciones o Stocks, ésta ecuación diferencial es de suma importancia, y como veremos después, hay una forma similar de encontrar la ecuación diferencial de donde se derivan todos los modelos para valorar precios de derivados sobre Bonos. El precio de un activo stock sigue un proceso como sigue:. dS = µSdt + σSdz este proceso se deriva de los anteriormente nombrados y es adecuado para determinar el comportamiento de los movimientos del precio de una acción. Entonces , se supone una variable f que es función de S y t. Y por el lemma de Ito se tiene que:. ⎛ ∂f ∂f 1 ∂ 2 f 2 2 ⎞ ∂f df = ⎜⎜ µS + + σ S ⎟⎟ dt + σ Sdz 2 ∂t 2 ∂S ∂S ⎝ ∂S ⎠. 23.

(26) Opciones en TES. II-02(2)72. De esta ecuación resulta la ecuación diferencial Black-Scholes. ∂f ∂f 1 ∂2 f 2 2 + rS + σ S = rf ∂t ∂S 2 ∂S 2 Esta ecuación diferencial, tiene muchas soluciones que corresponden a todos los diferentes derivados que pueden ser definidos con S como la variable subyacente. Cuando se tienen unas condiciones de frontera especificas, se obtiene el precio del derivado en particular a esas condiciones de frontera.. 13. 5. DERIVADOS DE TASAS DE INTERES. Una vez dado unos conceptos básicos referentes a la aleatoriedad de los mercados entraremos a definir los derivados sobre tasa de interés. Los derivados sobre tasa de interés son instrumentos donde sus pagos dependen en alguna forma del nivel de las tasas de interés. Los derivados de tasa de interés son en alguna medida más complejos que los derivados sobre acciones, esto se debe principalmente a:. •. El comportamiento de las tasas de interés son más complicadas que el comportamiento en el precio de una acción. • Para la valoración de ciertos productos derivados de tasa de interés , es necesario desarrollar un modelo que describa el comportamiento la curva de rendimientos ( yield curve) en un entorno global. • Las tasas de interés sirven para descontar así como también definen el pago del derivado. Los productos derivados más populares sobre de tasas de interés son:. • • 13. Futuros sobre Bonos ( Bond Futures) Opciones sobre Bonos. ( Bond Options). WILMOTT Paul, Option Pricing Mathematical models and computation. Oxfod Financial Press. P 232. 24.

(27) Opciones en TES. • • • • • • •. II-02(2)72. Opciones sobre futuros de Bonos. ( Bond Futures Options) Opciones sobre bonos “Embedded”( Embedded bond Options) Hipotecas. ( Mortgages) Mortagage-Backed securities. Tasas de Interés Caps y Floors Swaps Swaptions.. En la vida real, las tasas de interés no son determinísticas; por esta razón cuando se trabajan con períodos largos, se deben tener metodologías que manejen el problema de la volatilidad de las tasas de interés. El primer paso entonces es decidir una medida adecuada para los valores futuros de las tasas de interés. La curva de rentabilidad (yield curve) como se había definido anteriormente, es una medida de los valores futuros de las tasas de interés. Con el valor de los bono zero-cupón V (t,T) tomados de los datos reales se define,. Y (t, T ) = −. log(V (t,T )/ V (T ,T )) T−t. donde t es el tiempo actual. La curva de rentabilidad es la grafica de Y contra la maduración T. La definición de Y tiene las siguientes ventajas:. • •. El precio del bono V(t,T), no tiene que ser diferenciable. Una distribución continua de los bonos con todos los tiempos de maduraciones no es necesaria.. 5.1 TASAS DE INTERÉS ESTOCÁSTICAS Debido a que las tasas de interés son volátiles en el tiempo y su curso es incierto en el futuro. De ahora en adelante, para ser correctos técnicamente, se llamará r a la tasa de interés recibida como la rentabilidad para el deposito de menor duración. Si uno quiere dejar el dinero por más tiempo, uno esperaría que una mayor rentabilidad compense el riesgo de una subida de r. Ahora bien, si te toma a r, como la tasa Spot, entonces es la tasa de rentabilidad para el deposito con menor duración.. 25.

(28) Opciones en TES. II-02(2)72. Hay un sin numero de modelos para valorar tasas de interés, pero lo que se va a realizar en este momento es describir lo que se realiza comúnmente en las bolsas en donde se transan derivados relacionados con las tasas de interés. En la misma forma como se propone un modelo para el precio de un activo como una caminata aleatoria lognormal, se supone que la tasa de interés r , es gobernada por una ecuación diferencial de la forma:. dr = w(r , t )dX + u (r , t )dt . (1) Las formas funcionales de w(r,t) y u(r,t) determinan el comportamiento de la tasa spot r . se va a utilizar esta caminata aleatoria, para derivar una ecuación diferencial parcial para el precio del bono en una forma similar que la derivación de la ecuación Black-Scholes. Más adelante se escoge una forma funcional de u yw que den una forma razonable al modelo de la tasa spot.. 5.2 LA ECUACIÓN DE VALORACIÓN DEL PRECIO DE UN BONO Cuando las tasa de interés siguen la ecuación diferencial (1); el precio de un bono es de la forma V(r,t). Valorar un bono es técnicamente más complicado que valorar una opción, puesto que cuando se valora un bono no hay un activo subyacente con el cual uno se cubre. En esta situación, la alternativa es cubrirse con bonos de diferentes maduraciones; por esta razón se van a poner dos bonos con diferentes maduraciones T1 y T2. el bono con maduración T1 tiene un precio V1 y el bono con maduración T2 tiene un precio V2. realizando algunas maniobras matemáticas se llega a la siguiente ecuación diferencial:. ∂V ∂V 1 2 ∂2V + w 2 +(u −λw) −rV = 0. (2) ∂r ∂t 2 ∂r. 26.

(29) Opciones en TES. II-02(2)72. Esta ecuación se utiliza para un bono zero-cupón.. Con el objetivo de resolver esta ecuación, se deben poner una condición final y dos condiciones de frontera. La condición final corresponde al pago en la maduración entonces:. V (r , T ) = Z . Las condiciones de frontera dependen de la forma de u(r,t) y w(r,t) y es aquí donde se plantean numerosos modelos que se van a discutir posteriormente. Si se quieren agregar pagos de los cupones en el modelos se tiene el resultado siguiente:. ∂V ∂V 1 2 ∂2V + w 2 + (u − λw) − rV + K = 0 (3) ∂r ∂t 2 ∂r Donde, K es el cupón y podría ser función de r y t. 5.3 EL RIESGO DEL PRECIO DE MERCADO Se va a dar una interpretación de la función λ (r, t ) . En lugar del cubrimiento anteriormente descrito con los dos bonos, suponga ahora que se tiene un bono con maduración T. En un intervalo pequeño dt el bono cambia en valor como:. ⎛ ∂V 1 2 ∂2V ∂V ⎞ ∂V dV = w dX + ⎜⎜ + w 2 + u ⎟⎟dt ∂r ∂r ⎠ ⎝ ∂t 2 ∂r de la ecuación (2) se tiene. 27.

(30) Opciones en TES. dV = w. II-02(2)72. ∂V ⎛ ∂V ⎞ dX +⎜wλ + rV⎟dt ∂r ⎝ ∂r ⎠. dV − rVdt= w. ó también como. ∂V (dX + λdt) ∂r. La apariencia de dX, muestra que esta ecuación no presenta un portafolio riesgoso. El lado derecho de la ecuación puede ser interpretado como el exceso de retorno por encima de la tasa libre de riesgo por aceptar el nivel de riesgo en ese activo. Como retorno a ese riesgo extra el portafolio genera un beneficio λdt por unidad del riesgo extra, dX por esta razón la función λ es llamada a menudo el precio del riesgo de mercado. De la ecuación (3) se puede desprender la ecuación nombrada anteriormente de Black-Scholes.. 6. MODELOS PARA VALORAR EL PRECIO DE UNA OPCIÓN SOBRE BONOS 14 COMO ACTIVO SUBYACENTE Para los administradores de portafolios, que son los participantes principales en los mercados de opciones sobre Bonos, es importante que manejen ciertos elementos que les proporcionen desenvolverse en mercados diferentes. Para esto, se hace necesario el conocimiento de los diferentes modelos para la valoración del precio de una opción. Un modelo para valorar el precio de una opción, (option pricing models), proporciona al administrador de portafolios una formula para valorar un contrato de opciones; así, dando los términos del contrato y otros datos relevantes, incluyendo por ejemplo, el precio del activo subyacente y su volatilidad, ayudan a determinar el precio de la opción. En general, los términos del contrato son conocidos, mientras otros como por ejemplo el precio el día de la terminación del contrato yla volatilidad futura, se tendrán que obtener mediante un análisis matemático. 14. WILMOTT Paul, Option Pricing Mathematical models and computation. Oxfod Financial Press. P 232. 28.

(31) Opciones en TES. II-02(2)72. Los datos conocidos en la mayoría de las formulas, para valorar el precio de una opción, son las siguientes:. • • • •. Precio actual del activo subyacente Precio de ejercicio. Tiempo de expiración del contrato. Los términos del periodo de la tasa libre de riesgo en la vida de la opción. ( short-term risk-free rate) • El cupón del bono. • La volatilidad esperada de la rentabilidad o precios en la vida de la opción. El impacto que tiene cada uno de estos factores dependen de (1) Si la opción es CALL o PUT,(2) si la opción es Americana o Europea y (3) el activo subyacente es un Bono o un futuro sobre Bonos.. Precio actual del activo subyacente Para una opción Call, si el precio actual del activo subyacente incrementa o decrece, el precio de la opción incrementa (decrece) . Para una opción Put si el precio actual del activo subyacente decrece ( incrementa), el precio de la opción incrementa (decrece).. Strike Price Si todos los otros factores permanecen constantes, a mayor aumento del Strike price, menor será el precio de una opción call. Para una opción Put a mayor aumento del strike price, mayor valor del precio de la opción Put.. Tiempo de la Expiración Para opciones americanas ( tanto Call como Put ), y que todos los otros factores permanezcan constantes, a mayor tiempo de expiración del contrato de la opción, mayor precio de la opción. Para opciones Europeas no se puede decir lo mismo. El impacto del tiempo de expiración en opciones Europeas dependen si son Call o Put.. 29.

(32) Opciones en TES. II-02(2)72. Tasa cupón Para opciones sobre bonos, los cupones tienden a reducir el precio de una opción Call, puesto que los cupones hacen más atractivo tener el Bono que la opción. Contrariamente los cupones hacen incrementar el precio de las opciones Put.. Volatilidades esperadas de la rentabilidad del activo o yields en la vida de la opción Si la volatilidad de la rentabilidad del activo sube entonces el precio de la opción se incrementa. La razón es que a mayor volatilidad esperada, como medida de la desviación estándar de la rentabilidad, es mayor la probabilidad de que el precio del activo subyacente, en este caso un bono o un futuro sobre bonos, se moverá en dirección de beneficiar al comprador de la opción.. Ahora, en la mayoría de modelos existen variables que generalmente no se conocen a la hora de valorar el precio de una opción y son las siguientes:. •. El precio del activo subyacente el día de la expiración del contrato ( para una opción Americana, tendríamos que estar calculando diariamente el precio del contrato y el día que se quiera ejercer la opción). • La curva de rendimiento del activo subyacente. • La curva de tasas de interés. • La volatilidad esperada y el precio proyectado. Estos modelos para valorar opciones tienen en común uno o más de sus parámetros ( por ejemplo el precio del subyacente) que evolucionan de acuerdo al tiempo y acorde a reglas de la estadística, que usualmente son especificadas por una distribución de probabilidad que determina en general una función del tiempo para una u otras variables. Tales parámetros se conocen técnicamente como variables estocásticas ( Stochastic variable), y los modelos asociados a estas variables se conocen como modelos estocásticos (Stochastic models). Se realizan diferentes conjeturas acerca de la forma en que los valores de las variables son distribuidas para hacer parte de los modelos de valoración. También existen diferencias en la forma de. 30.

(33) Opciones en TES. II-02(2)72. asumir una u otra técnica matemática que derivan los diferentes modelos para valorar opciones; o algoritmos que utilizan técnicas en los modelos, basados en técnicas estadísticas. Un modelo estocástico simple asume que hay una sola variable conductora del modelo, como por ejemplo el precio del activo subyacente, o frecuentemente, en el caso de los bonos ( cash bond options ), la curva de rentabilidad del bono ( yield of the underlying bond ). Los modelos analíticos para valorar opciones suministran una formula basada en los valores conocidos de las variables (como por ejemplo el strike price y el tiempo de expiración) y los parámetros especifican la distribución estadística particular asumida por la variable conductora ( por ejemplo la volatilidad del precio). Estas formulas serán soluciones exactas o aproximadas a las ecuaciones diferenciales estocásticas especificadas en el proceso, tales modelos son altamente exactos cuando se les aplica a términos cortos (short-term six months or less ) de opciones Europeas. Para opciones con características en las cuales se ejerza la opción antes de la expiración (american options) y donde intervienen flujos de caja, los modelos lattice-based models son más adecuados. Estas dos clases de modelos son generalmente inadecuados para opciones de duración mayor a seis meses, donde las variaciones en las tasas de interés en la vida de la opción llegan a ser significantes.. 6.1 MODELOS SIMPLES PARA VALORAR EL PRECIO DE OPCIONES. Normal Price Model Cuando se valora una opción sobre un bono algunas instituciones permiten creer que el precio del bono subyacente tiene una variabilidad uniforme absoluta, esto quiere decir que para cierta cantidad, el precio del bono puede subir o bajar uniformemente; esta suposición, de la variabilidad uniforme, es adecuada para el propósito de la valoración del precio de una opción en este modelo. Se asume que el precio del bono en el día de la expiración obedece a una distribución normal de probabilidad con media (valor esperado) equivalente al precio actual, y una desviación estándar determinada por la variabilidad (volatilidad) del bono, en términos de precios absolutos, sobre la vida de la opción.. 31.

(34) Opciones en TES. II-02(2)72. Esto conduce a un modelo conocido como normal price model, que es uno de los modelos de valoración de opciones más simples, el cual ha sido usado con opciones de corta duración, tanto en bonos como en futuros sobre bonos (bond futures) y otros instrumentos forward. En tanto, teóricamente se puede mostrar que los precios futuros no siguen una descripción normal, este modelo da unos datos útiles de precios para valores restringidos de los parámetros. Las consideraciones básicas de este modelo son:. •. Que el precio del activo subyacente (underlying price) el día de la expiración esta normalmente distribuido. • Que la distribución es centrada sobre un precio especifico futuro. • Que la desviación estándar de la distribución es la proyección absoluta de la variabilidad del precio para el período de la opción. • Que la tasa para descontar los flujos de caja es constante sobre el período de vida de la opción. • Que el mercado es continuo (liquido), y que los costos de transacción pueden ser ignorados.. La formula para valorar el precio de una opción usando este modelo, para una opción Call Europea con Strike price K y el tiempo de expiración en años t es: C =DF (σ [z N(z) + n(z)] ). Donde, C Es el valor de la opción call europea con strike price K y t años de expiración. DF Es la función de descuento sobre el intervalo t .. 32.

(35) Opciones en TES. II-02(2)72. z= (F-K) / σ Es normalización de la diferencia entre strike price K y el forward o future price F (para bonos, el forward price libre de arbitraje se encuentra tomando F= spot price – carry ) n(z) y N(z) Representa la función de densidad estándar normal y la función de distribución acumulativa de z respectivamente. σ es la desviación estándar absoluta del precio para el intervalo t . Este modelo ( Normal price model) presenta una desventaja; porque permite la posibilidad de introducir precios negativos, ya que la distribución futura de los precios ocurre sobre la desviación de un precio futuro o forward. Sin embargo esto es un problema para los contratos de opciones con una duración larga o con volatilidades grandes. Generalmente para opciones con duración menor a seis meses y con condiciones de moderada volatilidad, este modelo es apropiado cuando se quiere dar una valoración con motivos prácticos. Lognormal Price Model ( Black-Scholes Model) Un modelo alternativo al modelo Normal (Normal price model) es el modelo lognormal ( Lognormal price model), en el que el logaritmo del precio del activo subyacente es tomado como normalmente distribuido. Tal modelo se maneja de manera adecuada si los precios suben o bajan de una manera proporcional, por ejemplo de 100 a 110 o de 100 a 90.90. Muchos traders creen que esta suposición es natural en muchos mercados, debido a que los cambios esperados son proporcionales al nivel del mercado. Esto conduce a lo que se conoce como el modelo clásico para valorar el precio de una opción Black-Scholes. Indudablemente, el modelo Black-Scholes ha sido el modelo más utilizado en valoraciones de opciones. En términos teóricos, este modelo estableció que los flujos de caja esperados de un activo, obedece a procesos estocásticos. Prácticamente el modelo Black-Scholes introdujo el premier modelo analítico para valorar opciones y desde ese momento ha sido de gran utilidad en el mundo financiero. Introducido a mediados de los 70`s, como un modelo para valorar opciones sobre acciones, y subsecuentemente extendido y modificado a una gran variedad de instrumentos por Cox y Rubinsptein en 1985, el modelo Black-Scholes ha probado. 33.

(36) Opciones en TES. II-02(2)72. su extraordinario uso en los mercados donde se hacen suposiciones lógicas de acuerdo al mercado y ha llegado hacer una herramienta estándar para los traders que valoran el precio de una opción. El modelo clásico de Black-Scholes, asume que el precio del activo subyacente obedece a una distribución de probabilidad lognormal, esto quiere decir que el logaritmo natural del precio esta normalmente distribuido. Esta distribución es especificada por la volatilidad relativa del precio, que podría ser cotizado en términos porcentuales de cambios anuales en el precio. Las suposiciones de este modelo son:. •. Que el precio del activo subyacente sigue un proceso lognormal, esto es, que el logaritmo del precio obedece a una distribución normal al día de la expiración. • Que la volatilidad permanece constante a lo largo de la vida de la opción. • Que la tasa libre riesgo es constante en la vida de la opción. • Que el mercado es liquido y continuo, además de no tener en cuenta los costos de transacción. La formula resultante para una valoración de una opción Call Europea con precio Strike K y un tiempo de expiración en años t es:. (. C = SN ( z ) − Ke − rt N z − σ t. ). Donde,. [. ]( ). z = log(S / K ) + rt + σ 2t / 2 / σ t. C es el valor de la opción Call Europea con Strike K y t años de expiración. S es el precio actual del activo o security. K es el precio Strike. σ es la volatilidad del precio relativo anualizada.. r = log (1 + rrf. ) es tasa libre de riesgo en la forma compuesta continua. 34.

(37) Opciones en TES. II-02(2)72. En cuanto a la valoración de Bonos como activo subyacente; el modelo BlackScholes es un modelo común en la evaluación del valor de las opciones sobre Bonos: Donde se define: B: Precio Actual del Bono. T: Tiempo de Maduración de la Opción. σ : Volatilidad del precio del Bono. X: Strike Price de la Opción. R: Interés libre de riesgo (risk-free) que se encuentra en el momento de valorar la opción, y que sirve de referencia hasta la vida de la Opción T. En el caso de un Bono Zero-Cupón, el modelo Black-Scholes da el precio de una opción Call y Put Europeas, c y p, en el tiempo t, como:. c = BN (d1) – e –R (T-t) XN (d2) p = e –R (T-t) XN (-d2) – BN (-d1). Donde,. ln d. d. 1. 2. =. (B. / X. ⎛ σ 2 ⎜⎜ R + 2 ⎝ σ T − t. )+. ⎞ ⎟⎟ (T − t ⎠. ⎛ σ 2 ln ( B / X ) + ⎜⎜ R − 2 ⎝ = σ T − t. ). ⎞ ⎟⎟ (T − t ) ⎠. 35. = d1 − σ. T −t.

(38) Opciones en TES. II-02(2)72. Se puede probar que un opción americana Call sobre un Bono que no paga cupones y que no se ejerza antes de la terminación de la opción, se puede tratar como una opción Europea. Si los cupones son pagaderos y recibidos en la vida de la opción, estos se pueden tratar como unos dividendos sobre acciones (stocks). El valor presente de los cupones se le restan al precio del bono en el momento de valorar la opción. El parámetro de volatilidad ,σ , es la volatilidad neta del precio del bono del valor presente de esos cupones. Los términos del contrato de la opción son muy importantes, cuando se pagan cupones en el bono. Para clarificar un poco estos términos voy a dar un ejemplo: Considere una opción Call Europea que vence en 10 meses sobre un bono que vence en 9.75 años con valor facial de $1.000. Suponga, que el precio actual del bono es $960, el Strike price es también de $1.000, la tasa libre de riesgo a un año es del 10% anual, y la volatilidad del precio del bono es del 9% anual. El bono paga cupones semestrales del 10%, y se esperan pagos de cupones por $50 en tres y nueve meses. Las tasas libres de riesgo de tres y nueve meses son 9% y 9.5% anuales, respectivamente. El valor presente de los cupones son:. 50 e − 0 . 25. x 0 . 09. + 50 e. − . 75 x 0 . 095. = $ 95 . 45. •. Si el precio Strike es X=1.000 entonces B=960-95.45=864.55, R=0.1, σ =0.009, y T-t = 0.8333 aplicando la fórmula tenemos:. ⎛ 0 . 09 ⎜⎜ 0 . 1 + 2 ⎝ 0 . 09 0 . 8333. ln (864 . 55 / 1000 d. 1. =. )+. 36. 2. ⎞ ⎟⎟ (0 . 8333 ⎠. ) = − 2 . 2652.

(39) Opciones en TES. d. 2. II-02(2)72. ⎛ 0 . 09 ln (864 . 55 / 1000 ) + ⎜⎜ 0 . 1 − 2 ⎝ = 0 . 09 0 . 8333. 2. ⎞ ⎟⎟ (0 . 8333 ⎠. ) = − 2 . 3474. c = (864.55) N (-2.2652) – e –0.1 (0.8333) 1000 N (-2.3474) = $9.49 El modelo Black-scholes que ha sido descrito asume que la volatilidad del precio del bono es constante. En la practica, la volatilidad del precio del bono depende de la maduración del mismo. A un tiempo mayor, la volatilidad es mayor. Cuando la vida de la opción es corta en comparación con la vida del activo subyacente ( este caso se presenta en la mayoría de las veces en las bolsas del mundo), se puede asumir que la volatilidad del precio del bono es constante durante la vida de la opción. Para opciones con una duración larga, la suposición de volatilidad constante no se puede tomar.. 6.2 LIMITACIONES DE LOS MODELOS SIMPLES Los modelos presentados anteriormente valoran generalmente opciones europeas, pero tienen una desventaja y es que la volatilidad usada en general se puede utilizar para otras opciones. No es fácil encontrar una forma de relacionar que la volatilidad usada para una sirva para la otra. Esto indica que solo se pueden utilizar para opciones Europeas, pero para opciones Americanas esto no ocurre. La razón de esto, se debe a que cuando nosotros estamos interesados en valorar opciones Europeas, estamos interesados en la desviación estándar del precio del bono en un tiempo en el futuro (la maduración de la opción). En las opciones americanas, por su naturaleza de ejercer la opción en cualquier momento antes de la expiración, se tendría que mirar diferentes volatilidades del precio del bono.. 37.

(40) Opciones en TES. II-02(2)72. 6.3 MODELOS DE CURVA DE RENTABILIDAD O DE ESTRUCTURA DE 15 PERIODOS. Una manera más sofisticada para valorar precios de opciones sobre activos que involucren tasas de interés, es involucrar la construcción de lo que se denomina modelo de curva de rentabilidades ( yield curve model) ó modelo de estructura de períodos ( term structure model). Este modelo describe el comportamiento probabilístico de la curva de rentabilidad del activo en el tiempo. Los modelos de curva de rentabilidad son más complicados porque estos tiene en cuenta los movimientos en toda la curva y no solo en una variable. A medida que el tiempo pasa, las tasas de interés individuales en la estructura de periodos cambia. Además, la forma de la curva en si misma es susceptible a cambios constantes. Antes de intentar valorar opciones cuyo subyacente sea función de las tasa de interés, tenemos que especificar un modelo de evolución de la curva. Existen modelos sencillos que describen la evolución de la curva en términos de la evolución de un único factor estocástico, pero la mayor parte de los modelos serios usa más de uno para capturar todo el problema. 6.3.1 MODELOS DE UN SOLO FACTOR Estos modelos describen la evolución de la curva de tasas en términos de la evolución de una tasa a corto plazo r, y suelen tener la forma siguiente:. dr = m(r ) + σ (r )dz donde m(r ) es una función de r independiente del tiempo t que determina la dirección media de la evolución de las tasas, y σ (r ) es una función análoga que describe la volatilidad de las tasas. Los modelos que manejan esta configuración son el de Vasicek y el de ,Cox, Ingersoll, y Ross.. 15. WILMOTT Paul, Option Pricing Mathematical models and computation. Oxfod Financial Press. P 235. 38.