Desempeño de una antena inteligente en el sistema IEEE 802.11a

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(1)DESEMPEÑO DE UNA ANTENA INTELIGENTE EN EL SISTEMA IEEE 802.11a. Ing. David Gustavo Rosero Bernal. Asesor: Roberto Bustamante M., Ph. D.. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA Bogotá D.C., Mayo de 2004.

(2) IEM-I-18-04. CONTENIDO RESUMEN. IX. JUSTIFICACIÓN. X. 1.. MARCO TEÓRICO. 1. 1.1. INTRODUCCIÓN A OFDM. 1. 1.1.1 Generación de símbolos OFDM. 1. 1.1.2 Interferencia inter-símbolo e inter-portadora. 3. 1.1.3 Inserción del tiempo de guarda. 5. 1.1.4 Ecualización y estimación de canal. 7. 1.1.5 Cálculo de los parámetros OFDM. 10. 1.1.6 Ventana (windowing). 12. ANTENAS INTELIGENTES. 12. 1.2.1 Arreglo de antenas. 13. 1.2.2 Modelo de la señal. 16. 1.2.3 Formación de radiación. 19. 1.2.4 Criterio de pesos óptimos. 21. 1.2.5 Algoritmos adaptivos para formación de radiación. 26. FORMACIÓN ADAPTATIVA PARA SISTEMAS OFDM [9]. 30. 1.2. 1.3 2.. IMPLEMENTACIÓN DEL SIMULADOR. 33. 2.1. TRANSMISOR OFDM. 34. 2.1.1 Preliminares. 34. 2.1.2 Simulación en Matlab. 36. 2.1.3 Resultados de la simulación. 44. CANAL. 45. 2.2.1 Ruido blanco gausiano aditivo. 45. 2.2.2 Propagación multi-trayectos. 47. 2.2. II.

(3) IEM-I-18-04 2.2.3 Interferencia de canal adyacente (ACI) e interferencia co-canal (CCI) 2.3. 52. TRANSMISIÓN Y RECEPCIÓN EN BANDA BASE. 53. 2.3.1 Diseño de filtros.. 54. 2.3.2 Muestreo y filtraje PSF. 54. 2.3.3 LPF, sincronización, estimación del canal, filtro acoplado y discretización. 2.3.4 Información a paralelo. 2.4. 2.5. 3.. 56 60. TRANSMISIÓN Y RECEPCIÓN EN BANDA BASE CON FORMACIÓN DE RADIACIÓN. 61. 2.4.1 Definición de parámetros iniciales. 62. 2.4.2 Ganancia del canal. 63. 2.4.3 Arreglo de antenas. 63. 2.4.4 Procesamiento adaptativo de la señal. 64. 2.4.5 Discretización. 66. 2.4.6 Información a paralelo. 67. RECEPTOR OFDM. 67. 2.5.1 Remoción del intervalo de guarda. 67. 2.5.2 DFT. 68. 2.5.3 De-mapeo.. 68. 2.5.4 Demodulación.. 68. 2.5.5 Información serie. 69. 2.5.6 BER. 69. RESULTADOS. 70. 3.1. 70. RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN DE UN SISTEMA OFDM 3.1.1 Resultados de la simulación de un sistema OFDM bajo ambiente AWGN. 71. 3.1.2 Resultados de la simulación de un sistema OFDM bajo ambiente multi-trayecto. III. 72.

(4) IEM-I-18-04 3.1.3 Resultados de la simulación de un sistema OFDM bajo las influencias de señales interferentes. 3.2. 74. RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN DEL DESEMPEÑO DE UNA ANTENA INTELIGENTE DE 4 Y 8 ELEMENTOS EN UN SISTEMA OFDM. 76. 3.2.1 Resultados de la simulación del desempeño de una antena inteligente de 4 y 8 elementos en un sistema OFDM bajo ambiente AWGN. 79. 3.2.2 Resultados de la simulación del desempeño de una antena inteligente de 4 y 8 elementos en un sistema OFDM bajo ambiente multi-caminos - 1 trayecto.. 82. 3.2.3 Resultados de la simulación del desempeño de una antena inteligente de 4 y 8 elementos en un sistema OFDM con la influencia de señales interferentes. 85. 4.. CONCLUSIONES. 88. 5.. FUTUROS TRABAJOS. 90. 6.. REFERENCIAS. 91. ANEXOS. A.. GLOSARIO. 94. B.. ESTRUCTURA DEL CÓDIGO FUENTE PARA MATLAB. 96. IV.

(5) IEM-I-18-04. ÍNDICE DE FIGURAS FIGURA 1. 1 Trasmisor OFDM de 4 sub-portadoras. 2. FIGURA 1. 2 Espectro de 4 sub-portadoras ortogonales. 4. FIGURA 1. 3 Espectro de 4 sub-portadoras no ortogonales. 4. FIGURA 1. 4 Símbolo OFDM recibido en un canal multi-trayectoria a) sin GI b) con GI. 6. FIGURA 1. 5 Geometría del arreglo. 14. FIGURA 1. 6 Formador de banda estrecha. 20. FIGURA 2. 1 Diagrama de bloques de la simulación de un sistema OFDM con formación adaptativa. 34. FIGURA 2. 2 Transmisor OFDM. 36. FIGURA 2. 3 Entradas y salidas de la IDFT. 42. FIGURA 2. 4 info_serie - componentes en fase y cuadratura. 44. FIGURA 2. 5 Diseño multi-trayecto en simulink. 51. FIGURA 2. 6 Transmisión y recepción banda base. 53. FIGURA 2. 7 info_filtro en fase y cuadratura. 55. FIGURA 2. 8 info_noise en fase y cuadratura. 56. FIGURA 2. 9 info_filtra en fase y cuadratura. 57. FIGURA 2. 10 Correlación cruzada de la señal piloto transmitida y recibida. 58. FIGURA 2. 11 Correlación de la secuencia de entrenamiento transmitida y recibida. 59. FIGURA 2. 12 Señal sincronizada, corregida y discretizada. 60. FIGURA 2. 13 Transmisión y recepción banda base con formación de radiación. 61. FIGURA 2. 14 Receptor OFDM. 67. FIGURA 3. 1 Desempeño bajo ambiente AWGN y comparación con el resultado teórico. 71. FIGURA 3. 2 Desempeño bajo ambiente AWGN y comparación con el resultado de referencia. 72. V.

(6) IEM-I-18-04 FIGURA 3. 3 Desempeño bajo ambiente multi-camino - 1 y 2 trayectos – y comparación con el resultado teórico y de referencia. 73. FIGURA 3. 4 Desempeño bajo ambiente multi-camino - 1 y 2 trayectos – y comparación con el resultado de referencia. 74. FIGURA 3. 5 Desempeño bajo la influencia de señales interferentes. 75. FIGURA 3. 6 Desempeño bajo la influencia de señales interferentes. 76. FIGURA 3. 7 Desempeño bajo ambiente AWGN y comparación con el resultado teórico que no considera diversidad espacial. 79. FIGURA 3. 8 Representación del patrón de radiación en dos dimensiones. Cuatro elementos de antena y DOA φ=450,θ =450 FIGURA 3. 9 Convergencia del algoritmo RLS para cuatro elementos y 80 muestras. 80 80. FIGURA 3. 10 Representación del patrón de radiación en dos dimensiones. Ocho elementos de antena y DOA φ=600, θ=300 FIGURA 3. 11 Convergencia del algoritmo RLS para ocho elementos y 80 muestras. 81 81. FIGURA 3. 12 Desempeño bajo ambiente multi-caminos - 1 trayecto y comparación con los resultados de referencia. 82. FIGURA 3. 13 Representación del patrón de radiación en dos dimensiones. Cuatro elementos de antena y DOA φ=300, θ=600. 83. FIGURA 3. 14 Convergencia del algoritmo RLS para cuatro elementos y 80 muestras 83 FIGURA 3. 15 Representación del patrón de radiación en dos dimensiones. Ocho elementos de antena y DOA φ=200, θ=700 FIGURA 3. 16 Convergencia del algoritmo RLS para ocho elementos y 80 muestras. 84 84. FIGURA 3. 17 Desempeño con la influencia de señales interferentes, bajo ambiente multi-caminos - 1 trayecto y comparación con los resultados de referencia. 85. FIGURA 3. 18 Representación del patrón de radiación en dos dimensiones. Cuatro elementos de antena. DOA señal original φ=300, θ=600 DOA señal interferente φ=2100, θ=1200. VI. 86.

(7) IEM-I-18-04 FIGURA 3. 19 Convergencia del algoritmo RLS para cuatro elementos y 80 muestras 86 FIGURA 3. 20 Representación del patrón de radiación en dos dimensiones. Ocho elementos de antena. DOA señal original φ=600, θ=300 DOA señal interferente φ=2100, θ=1200 FIGURA 3. 21 Convergencia del algoritmo RLS para ocho elementos y 80 muestras. VII. 87 87.

(8) IEM-I-18-04. ÍNDICE DE TABLAS. TABLA 1 Valores numéricos para los parámetros OFDM. 35. TABLA 2 Número máximo y mínimo de sub-portadoras. 36. TABLA 3. Consideraciones de multi-trayectos. 50. VIII.

(9) IEM-I-18-04. RESUMEN El incremento de la popularidad de las redes de área local y extendida inalámbricas con acceso de banda ancha es la principal razón para que la conectividad inalámbrica sea flexible. Para satisfacer las necesidades del usuario en un medio inalámbrico volátil, técnicas sofisticadas de acceso múltiple y de adaptación son necesarias para corregir el detrimento propio del canal y para incrementar la capacidad del sistema. Este trabajo registra las simulaciones de un sistema compatible con la capa física de las redes de área local inalámbricas IEEE 802.11a a 5 Ghz y que utiliza en el punto de acceso una antena inteligente en la que los elementos del arreglo registran una posición geométrica independiente.. IX.

(10) IEM-I-18-04. JUSTIFICACIÓN Las antenas inteligentes ofrecen varios beneficios a los sistemas de comunicación inalámbricos. La directividad de la antena permite disminuir el retardo de difusión propio del canal de radio y la diversidad ofrecida por el arreglo permite proteger la información en contra del desvanecimiento. Debido a la ganancia espacial, la potencia de salida de los terminales móviles (MT) se puede reducir produciendo un incremento en la duración de las baterías. Un arreglo de antenas permite incrementar el rango de cubrimiento de una estación base (BS) y la interferencia proveniente de las celdas adyacentes puede reducirse considerablemente. Finalmente, los MT’s procesados por el mismo punto de acceso (AP) se pueden identificar de acuerdo a sus características espaciales, es decir, las características del canal presentes en el enlace entre el MT y el AP.. En los sistemas de división de tiempo doble (TDD), la misma frecuencia portadora se utiliza para el enlace entre el MT y el AP (uplink-UL) como para el enlace entre el AP y el MT (downlink-DL). Esta consideración es conveniente para las soluciones que tienen en cuenta la utilización de una antena inteligente; al tener en cuenta que no se tienen que hacer transformaciones de frecuencia de la información de dirección de arribo (DOA) medida durante el UL y que se emplean para actualizar el vector de pesos utilizados en el DL. En otras palabras, a parte de la evolución del canal de radio, la antena inteligente del AP puede utilizar la información del canal presente en UL como en DL.. Estándares definidos para redes de área local inalámbricos (WLAN), tales como IEEE 802.11a [1], ETSI BRAN HIPERLAN/2 [12] y MMAC WATM/WETH son sistemas TDD que utilizan multiplexación por división de frecuencia ortogonal (OFDM) con 48 subportadoras de información y cuatro sub-portadoras piloto. En OFDM, el espectro del ancho de banda se divide en múltiples sub-portadoras de banda estrecha ortogonales. Cada símbolo de usuario se divide en sub-símbolos y cada sub-símbolo modula una sub-. X.

(11) IEM-I-18-04 portadora de manera independiente permitiendo transmitir la información en paralelo sobre estas sub-portadoras de baja velocidad. Este método de transmisión produce una reducción de la tasa efectiva de transmisión de los símbolos mitigando la interferencia inter-símbolo (ISI) y, por lo tanto, mejora de manera significativa la capacidad del sistema.. En la capa. física (PHY), estos estándares presentan una gran semejanza. Sin embargo, las diferencias en la capa de control de acceso al medio (MAC) son significativas. Estos sistemas se diseñan para ofrecer tasas elevadas de transmisión –encima de 54 Mb/s. Para tales aplicaciones, la utilización de una antena inteligente permitiría ofrecer a los usuarios tasas de transmisión más altas.. Considerando los puntos mencionados, es evidente la utilidad de la plataforma de simulación que permita evaluar las medidas de desempeño de una antena inteligente en un sistema OFDM, en particular, el sistema IEEE 802.11a.. XI.

(12) IEM-I-18-04. 1. MARCO TEÓRICO. 1.1 INTRODUCCIÓN A OFDM La multiplexación por división de frecuencia ortogonal (OFDM) se basa en una técnica de comunicación multi-portadora. La idea de la comunicación multiportadora es dividir el ancho de banda de la señal entre un número de sub-portadoras y transmitir la señal sobre cada una de ellas.. A diferencia del esquema de comunicación multi-portadora. convencional, en el que el espectro de cada sub-portadora no se solapa y se usa filtraje pasa-banda para extraer la frecuencia de interés, en OFDM la frecuencia de separación entre sub-portadoras se selecciona de tal manera que cada sub-portadora sea matemáticamente ortogonal, permitiendo que los espectros de las sub-portadoras se puedan solapar. La extracción de la información sobre cada sub-portadora se puede llevar a cabo por medio de un procesamiento de banda-base. A nivel espectral, esta propiedad de solapamiento hace a OFDM. más eficiente que los sistemas de comunicación multi-. portadora convencionales.. 1.1.1. Generación de símbolos OFDM. Un símbolo OFDM de banda-base se genera en el dominio digital antes de modularse sobre una portadora para ser transmitido. Para generar un símbolo OFDM de banda-base, una ráfaga serial de datos digitalizados se modula con base en esquemas de modulación comunes como la regulación de cambio de fase (phase shift keying-PSK) o modulación de amplitud en cuadratura (quadrature amplitude modulation-QAM).. Estos símbolos. complejos se convierten de serie a paralelo (S/P) antes de modular las sub-portadoras. Las sub-portadoras se muestrean a una tasa N/Ts, donde N es el número de sub-portadoras y Ts es la duración del símbolo OFDM. La frecuencia de separación entre dos sub-portadoras. 1.

(13) IEM-I-18-04 adyacentes es 2π/N.. Las muestras sobre cada sub-portadora se suman para formar una. muestra OFDM. Un símbolo OFDM generado por un sistema OFDM de N sub-portadoras se conforma de N muestras y la muestra m de un símbolo OFDM es [1]: N −1 ⎧ 2πmn ⎫ xm = ∑ X n exp⎨ j ⎬, n=0 ⎩ N ⎭. 0 ≤ m ≤ N −1. 1.1. donde Xn es el símbolo complejo trasmitido sobre la sub-portadora n. La ecuación 1.1 es equivalente a la operación de la transformada inversa de Fourier discreta de N puntos (inverse discrete Fourier transform-IDFT) sobre una secuencia de información, con la omisión del factor de escala. La IDFT puede implementarse de manera eficiente utilizando los algoritmos para la trasformada rápida de Fourier inversa (inverse fast Fourier transformIFFT) [2]. Por lo tanto, en la práctica, la IFFT se ejecuta sobre la secuencia de símbolos complejos en el transmisor OFDM para modulación banda-base y la FFT se ejecuta en el receptor OFDM para demodulación banda-base. Finalmente, el símbolo OFDM de bandabase se modula por una portadora para convertirse en una señal de pasa-banda y se transmite al receptor. En el dominio de la frecuencia, esto corresponde a trasladar todas las sub-portadoras de banda-base a la frecuencia portadora simultáneamente. La figura 1.1 muestra un transmisor OFDM de cuatro sub-portadoras y el proceso de generar un símbolo OFDM. EXP(j0n). EXP(jπn/2) EXP(j2πfct) RAFAGA DE BITS. PSK/ QAM. S/P. EXP(jπn). EXP(j3πn/2). FIGURA 1. 1 Transmisor OFDM de 4 sub-portadoras. 2.

(14) IEM-I-18-04. 1.1.2. Interferencia inter-símbolo e inter-portadora. En un ambiente multi-caminos, un símbolo transmitido puede utilizar diferentes trayectorias de propagación y emplear diversos tiempos para llegar al receptor. Desde el punto de vista del receptor, el canal introduce dispersión de tiempo provocando una extensión en la duración del símbolo recibido. Esta extensión produce el solapamiento del símbolo actual sobre el símbolo previamente recibido, produciendo interferencia intersímbolo (intersymbol interference-ISI). En OFDM, la ISI se refiere a la interferencia que un símbolo OFDM produce sobre un símbolo OFDM previamente recibido.. En OFDM, el espectro de la sub-portadoras se solapa pero permanece ortogonal. Esto significa que al máximo de cada espectro sub-portador, los espectros de otras subportadoras son nulos.. El receptor muestrea los símbolos complejos sobre cada sub-. portadoras en el punto máximo y los demodula libres de interferencia de otras subportadoras.. La interferencia producida por símbolos complejos de sub-portadoras. adyacentes se conoce como interferencia inter-portadora (intercarrier interference-ICI).. La ortogonalidad de la sub-portadoras se puede interpretar en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia. Desde la perspectiva del dominio del tiempo, cada sub-portadora es senosoidal con un número entero de ciclos dentro de un intervalo FFT. Desde la perspectiva del dominio de la frecuencia, cada sub-portadora tiene un valor máximo en su su frecuencia central y cero a la frecuencia central de cada una de las otras frecuencias subportadoras. La figura 1.2 muestra el espectro de cuatro sub-portadoras en el dominio de la frecuencia para el caso ortogonal. La ortogonalidad de una sub-portadora con respecto a otras subportadoras se pierde si la sub-portadora no tiene un valor espectral nulo en otras frecuencias subportadoras (figura 1.3). Desde la perspectiva del dominio del tiempo, el senosoide correspondiente no tiene un número entero de ciclos dentro de un intervalo FFT.. 3.

(15) IEM-I-18-04. FIGURA 1. 2 Espectro de 4 sub-portadoras ortogonales. FIGURA 1. 3 Espectro de 4 sub-portadoras no ortogonales. La ICI se produce cuando el canal multi-trayectoria es variante en el tiempo de un símbolo OFDM. Cuando esto ocurre, el Doppler cambia sobre cada componente de multi-trayecto originando una desviación de frecuencia sobre las sub-portadoras y generando la pérdida de ortogonalidad entre ellas. De igual manera, la ICI se presenta cuando un símbolo OFDM experimenta ISI. Desde el punto de vista del dominio del tiempo, no se conserva el número entero de ciclos para cada sub-portadora dentro del intervalo FFT debido a la transición de fase inducida por símbolos anteriores.. Finalmente, cualquier desviación entre las. 4.

(16) IEM-I-18-04. frecuencias sub-portadoras del transmisor y del receptor introduce ICI en un símbolo OFDM.. 1.1.3. Inserción del tiempo de guarda. En un transmisor OFDM con N sub-portadoras, si la duración de un símbolo de información es T’, la duración del un símbolo OFDM a la salida del transmisor es Tsym = T ' N. 1.2. Entonces, si el retraso de difusión de un canal multi-trayectoria es más grande que T’ pero menor que Tsym, el símbolo de información en la ráfaga de información serial experimentará desvanecimiento de frecuencia selectivo, mientras que el símbolo de información sobre cada sub-portadora experimentará desvanecimiento plano. Para reducir la ISI, un tiempo de guarda se inserta al principio de cada símbolo OFDM antes de la transmisión y se remueve en el receptor antes de la operación FFT. Si el tiempo de guarda se escoge de tal manera que su duración sea más larga que el retardo de difusión, la ISI puede eliminarse completamente. La figura 1.4 ilustra el concepto de inserción de tiempo de guarda (guard time - GI) para eliminar la ISI de un símbolo OFDM. En la figura 1.4a, un símbolo OFDM que se recibe por la trayectoria directa es interferido por el símbolo OFDM que se recibe de la segunda y tercera trayectoria. Por otra parte, la figura 1.4b muestra que el símbolo recibido por la primera trayectoria no se afecta por los símbolos OFDM provenientes de las otras trayectorias. Sin embargo, es afectado por su propia réplica.. 5.

(17) IEM-I-18-04. Canal multitrayecto. tiempo duracion 1 simbolo trayecto directo 1 multitrayecto 2 multitrayecto ISI. (a) duracion 1 simbolo IG. duracion 1 FFT. trayecto directo 1 multitrayecto 2 multitrayecto. (b). FIGURA 1. 4 Simbolo OFDM recibido en un canal multi-trayectoria a) sin GI b) con GI Para preservar la ortogonalidad entre las sub-portadoras, el tiempo de guarda se inserta por medio de la extensión cíclica de un símbolo OFDM. Si el retardo de difusión es menor que el tiempo de guarda, el retardo solo introduce un cambio en la fase en cada sub-portadora y no afecta la ortogonalidad. La inserción del tiempo de guarda puede ejecutarse de dos maneras:. 1. Extraer una porción final del símbolo OFDM y añadirlo al principio del símbolo. Las muestras después de la inserción del tiempo de guarda pueden ser expresadas como [1] xkg = x(k + N −G )N ,. 0 ≤ k ≤ N + G −1. 1.3. donde k es el indice de muestra de un símbolo OFDM, N es el número de subportadoras, G es la duración del tiempo de guarda y (k)N es el residuo módulo N.. 6.

(18) IEM-I-18-04. 2. Extraer una porción final del símbolo OFDM y añadirlo al principio del símbolo, y al mismo tiempo extraer una porción inicial del símbolo y añadirla al final del símbolo. Las muestras después de la inserción del tiempo de guarda pueden expresarse como. xkg = x(k + N −T prefi ) , N. 0 ≤ k ≤ N + G − 1, G = Tprefi + Tpos. 1.4. donde Tprefi es la duración del tiempo de guarda que se añade al inicio del símbolo y Tpos es la duración del tiempo de guarda que se añade al final del símbolo. Debido a la duración del tiempo de guarda, el primer método permite la máxima tolerancia al retardo de difusión debido a que todo el tiempo de guarda contribuye a eliminar la ISI. En el método 2 solo una porción del intervalo de guarda (principio) reduce la ISI.. 1.1.4. Ecualización y estimación de canal. Aunque la inserción del intervalo de guarda puede eliminar la ISI por completo, el símbolo OFDM recibido es interferido por las réplicas provenientes de componentes multi-trayecto, generando un desvanecimiento de frecuencia selectivo en el símbolo. Para compensar esta distorsión, un ecualizador de canal es incorporado sobre cada sub-portadora. A la salida del FFT en el receptor, la muestra de cada sub-portadora se multiplica por el coeficiente del correspondiente ecualizador de canal (filtro acoplado). Este coeficiente puede ser calculado con base en el criterio de forzado a cero (zero forcing criterion - ZF) o el criterio de mínimo error medio cuadrático (minimun mean-square error - MMSE) [3]. El criterio ZF hace que la ISI sea cero en el instante de muestreo de cada sub-portadora. El coeficiente de un ecualizador ZF de un tap se calcula de la siguiente manera:. Cn =. 1 Hn. 1.5. 7.

(19) IEM-I-18-04. donde Hn es la respuesta en frecuencia del canal dentro del ancho de banda de la subportadora n. La desventaja del criterio ZF es que realza el ruido en la sub-portadora n si Hn es pequeña. Para efectuar un acuerdo entre la ISI y el ruido, se utiliza el criterio MMSE y el coeficiente del ecualizador MMSE de un tap se calcula como:. Cn =. H n*. Hn + 2. 2 σ ruido. 1.6 σ. 2 simbolo. donde σ2ruido es la varianza del ruido y σ2símbolo es la varianza del símbolo original.. Las ecuaciones 1.5 y 1.6 obligan a ejecutar la estimación del canal para obtener los pesos de los ecualizadores para cada sub-portadora.. Símbolos de entrenamiento, conocidos. también como símbolos pilotos, se utilizan frecuentemente para ejecutar esta estimación. En un ambiente multitrayectoria, el símbolo demodulado Xn sobre la sub-portadora n a la salida del FFT - sin ISI y ICI - puede ser representado como ⎡ L−1 ⎧ ⎛ 2πnl ⎞⎫⎤ Yn = ⎢∑ H l (0)exp⎨− j ⎜ ⎟ ⎬⎥ X n + N n ⎩ ⎝ N ⎠⎭⎦⎥ ⎣⎢ l =0. 1.7. donde L es el número de componentes multitrayecto, Nn es la FFT del ruido blanco aditivo gausiano (additive white Gaussian noise - AWGN) sobre la sub-portadora n y Hl(0) es la respuesta en frecuencia del canal de la trayectoria l a la frecuencia cero. Para estimar la respuesta en frecuencia del canal, se insertan símbolos pilotos sobre las sub-portadoras. Si se hace que Hn sea la respuesta en frecuencia experimentada por Xn L −1 ⎧ ⎛ 2πnl ⎞⎫ H n = ∑ H l (0 )exp⎨− j⎜ ⎟⎬ l =0 ⎩ ⎝ N ⎠⎭. 1.8. 8.

(20) IEM-I-18-04. La respuesta en frecuencia del canal experimentada por el símbolo piloto Pn sobre la subportadora n puede ser estimada como. N Y Hˆ n = n = H n + n Pn Pn. 1.9. Debido a que los símbolos piloto usualmente ocupan un pequeño ancho de banda del espectro, una interpolación a través de la frecuencia es necesaria para estimar la respuesta en frecuencia del canal donde los símbolos pilotos no están. La respuesta en frecuencia del canal en la sub-portadora m, Ĥ m , puede interpolarse linealmente, es decir,. m ⎛ m⎞ Hˆ m = ⎜1 − ⎟ Hˆ p1 + Hˆ p 2 , N ⎝ N⎠. p1 ≤ m ≤ p 2. 1.10. donde Hˆ p1 y Hˆ p 2 son los estimados de la respuesta en frecuencia del canal debido a los símbolos pilotos sobre las sub-portadoras p1 y p2.. Para determinar el mínimo espaciamiento piloto a nivel temporal y frecuencial en OFDM, se necesita encontrar la variación del ancho de banda del canal en tiempo y en frecuencia. Estos anchos de banda son iguales a la máxima frecuencia Dopler, fDmax, en el dominio del tiempo y al máximo retardo de difusión, τmax, en el dominio de la frecuencia. De acuerdo al teorema del muestreo, el espaciamiento piloto en tiempo, st, y en frecuencia, sf, es [4]. st ≤. 1 2 f D maxTs. sf ≤. 1. 1.11. 1.12. 2τ max ∆F. 9.

(21) IEM-I-18-04 donde Ts es la duración del símbolo OFDM y ∆F es espaciamiento de frecuencia entre dos sub-portadoras.. Al disminuir el espaciamiento piloto se mejora la estimación de la respuesta en frecuencia del canal pero se disminuye la eficiencia del ancho de banda. Por otra parte, al incrementar el espaciamiento piloto más alla de lo especificado por el teorema de muestreo se disminuye la precisión de la estimación aunque se incrementa la eficiencia del ancho de banda. Por lo tanto, la densidad de la señal piloto esta directamente relacionada con el acuerdo entre el desempeño de la estimación del canal y la eficiencia del ancho de banda.. 1.1.5. Cálculo de los parámetros OFDM. Para valores determinados de tasa de bit R y del retardo de difusión τ de un canal multitrayectoria, los parámetros de un sistema OFDM se pueden determinar como:. El tiempo de guarda G debe ser al menos dos veces del retardo de difusión G ≥ 2τ. 1.13. Para minimizar la pérdida de la relación señal a ruido (Signal to noise ratio - SNR) debida al tiempo de guarda, la duración del símbolo debe ser mucho más grande que el tiempo de guarda. Sin embargo, los símbolos con larga duración son susceptibles a difusión Doppler, ruido de fase y desviación de frecuencia. La duración del símbolo OFDM Tsim debe ser de al menos cinco veces el tiempo de guarda Tsim ≥ 5G. 1.14. 10.

(22) IEM-I-18-04 El espacimiento ∆F entre dos sub-portadoras adyacentes es. ∆f =. 1 Tsim. 1.15. Para una tasa de transmisión R, el número de bits de información por símbolo OFDM (Binfo) es Binf o = RTsim. 1.16. Para un Binfo y un número de bits por símbolo por sub-portadora Rsub determinados, el número de sub-portadoras es. N=. Binf o Rsub. donde. 1.17. Rsub=2 bits/símbolo/sub-portadora para QPSK Rsub=4 bits/símbolo/sub-portadora para 16-QAM. El ancho de banda de la señal OFDM se define como BW = N∆f. 1.18. De lo anterior se pueden hacer dos observaciones:. 1. Incrementando la duración del símbolo se disminuye la frecuencia de espaciamiento entre las sub-portadoras. Por lo tanto, para un ancho de banda de señal determinado, se pueden utilizar más sub-portadoras. Por otra parte, para un número de sub-portadoras determinado, al aumentar la duración del símbolo se disminuye el ancho de banda.. 11.

(23) IEM-I-18-04. 2. Al incrementar el número de sub-portadoras se incrementa el número de muestras por símbolo OFDM.. 1.1.6. Ventana (windowing). Un cambio de fase sobre un sub-portadora se presenta en los límites de un símbolo OFDM si dos bits consecutivos modulados sobre la misma sub-portadora tienen diferentes valores. Cambios de fase repentinos producen un alisamiento lento del espectro por fuera de la banda. Al limitar un símbolo OFDM se hace que el espectro por fuera de la banda se elimine más rápidamente. Una ventada de coseno cuadrado se aplica a los símbolos OFDM y se define como ⎧ ⎛ π ⎞ ⎪0.5 + 0.5 cos⎜⎝ t + βTs ⎟⎠ ⎪⎪ w(t ) = ⎨1.0 ⎪ ⎞ ⎪0.5 + 0.5 cos⎛⎜ (t − Ts ) π β Ts ⎟⎠ ⎪⎩ ⎝. 0 ≤ t ≤ β Ts. β Ts ≤ t ≤ Ts. 1.19. 0 ≤ t ≤ βT. donde Ts es la duración del símbolo OFDM incluyendo el tiempo de guarda, β es el factor de roll-off y βTs es la región de interferencia entre dos símbolos OFDM consecutivos.. 1.2 ANTENAS INTELIGENTES. Un filtro espacial agrupa un conjunto de datos sobre una apertura espacial utilizando un arreglo de antenas y los combina basado en el criterio de separar la señal deseada de la señal interferente que tiene el mismo contenido de frecuencia pero que se origina en diferentes ubicaciones espaciales.. Un arreglo de antenas consiste de un conjunto de. elementos que se distribuyen espacialmente en ubicaciones conocidas con referencia a un punto fijo común.. Definido el arreglo de antenas de N elementos isotrópicos de. configuración geométrica arbitraria, se asume que hay una fuente única transmitiendo desde. 12.

(24) IEM-I-18-04. una distancia lejana, por lo tanto, la señal que se recibe en la antena se considera como una onda plana incidente en una dirección definida por los ángulos de elevación (θ) y azimuth (φ).. 1.2.1. Arreglo de antenas. Al considerar un arreglo de elementos idénticos, el patrón total del arreglo, sin considerar acoplamiento entre los elementos, puede representarse como el producto entre el patrón de campo eléctrico de un elemento y el factor de arreglo [5]. Con referencia a la figura 1.5, se asume N elementos isotrópicos con ubicación espacial (an, θn, φn). El campo eléctrico normalizado del arreglo se puede escribir como:. E (r , θ , φ ) = ∑ wn N. n =1. e − jkRn Rn. 1.20. donde Rn es la distancia del elemento n al punto de observación y wn representa el coeficiente de excitación (amplitud y fase) del elemento n.. Estos coeficientes son. procesados por los algoritmos de formación adaptativos para colocar el máximo del lóbulo principal en la dirección de la señal de interés (Signal of interest - SOI) y nulos en la dirección de señales interferentes (Signal non of interest - SNOI). En general:. (. R n = r 2 + an − 2an r cosψ n 2. ). 1. 1.21. 2. 13.

(25) IEM-I-18-04. Z. θr θ ârn Rn ψ φânap n φ n. Y. X. FIGURA 1. 5 Geometría del arreglo. al tener en cuenta que r >> an Rn ≅ r − a cosψ n ≅ r − an (aˆ p ⋅ aˆ r ). 1.22. El ángulo ψn se puede obtener del producto punto de un vector unitario dirigido hacia el elemento n con un vector unitario dirigido hacia el punto de observación [5]. Entonces cosψ n = aˆ p ⋅ aˆ r. = (aˆ x senθ n cos φn + aˆ y senθ n senφn + aˆ z cos θ n ) ⋅ (aˆ x senθ cos φ + aˆ y senθsenφ + aˆ z cos θ ). cosψ n = senθ n cos φn senθ cos φ + senθ n senφn senθsenφ + cos θ n cos θ. ⇒ ψ n = cos −1 (senθ n cos φn senθ cos φ + senθ n senφn senθsenφ + cos θ n cos θ ). Por consideraciones de punto lejano Rn ≅ r y 1.20 se puede reducir a. 14. 1.23.

(26) IEM-I-18-04. E (r , θ , φ ) =. e − jkr r. N. ∑ wn e. (. + jkan aˆ p ⋅aˆ r. ). 1.24. n =1. Los coeficientes de excitación del elemento n se pueden escribir como: wn = I n e jα n. 1.25. donde In es la amplitud de la excitación del elemento n y αn es la fase de excitación (relativa al centro del arreglo).. Con (1.25), (1.24) se puede expresar como. E (r , θ , φ ) =. e − jkr [AF (θ , φ )] r. 1.26. donde AF (θ , φ ) = ∑ I n e N. ( (. ). + j kan aˆ p ⋅aˆ r +α n. ). 1.27. n =1. Para dirigir el pico del lóbulo máximo en la dirección (θ0, φ0), la fase de excitación del elemento n se debe escoger de manera que [5]: α n = − kan (aˆ p ⋅ aˆ r )θφ ==φθ00. 1.28. θn φn. Teniendo en cuenta que la configuración de los elementos no sigue un patrón uniforme (lineal, circular o planar), el valor de (θn, φn, an) es independiente para cada elemento. Para que las señales recibidas por los diferentes elementos de la antena sean independientes - y para aprovechar la diversidad espacial que provee un arreglo de antenas [6]- , es necesario. 15.

(27) IEM-I-18-04 considerar un valor de al menos λ/2 para el espaciamiento inter-elementos. Al determinar la ubicación de los elementos, se debe tener en cuenta los retardos de tiempo que sufre la señal al pasar de un elemento a otro. Al tener en cuenta dos elementos (n m), este retardo se puede calcular como [7]: (a n2 + a m2 − 2a n a m (aˆ pn ⋅ aˆ pm )) Dnm (a n2 + a m2 − 2a n a m cos ζ ) 2 = = v0 v0 v0 = aˆ x senθ n cos φ n + aˆ y senθ n senφ n + aˆ z cos θ n 1. τ nm = aˆ pn. 1. 2. 1.29. aˆ pm = aˆ x senθ m cos φ m + aˆ y senθ m senφ m + aˆ z cos θ m. donde Dnm es la distancia del elemento n al elemento m y v0 es la velocidad de la luz en espacio libre.. La ecuación 1.26 se puede expresar en términos de notación vectorial.. [. ]. r e − jkr r E (r , θ , φ ) = A(θ , φ ) r. 1.30. T 2π r −j a N ( aˆ N ⋅aˆ r ) ⎤ ⎡ − j 2π a1 (aˆ1⋅aˆr ) A(θ , φ ) = ⎢e λ ,..., e λ ⎥ ⎣ ⎦. 1.31. 1.2.2. Modelo de la señal. Asumiendo que se tiene múltiples usuarios transmitiendo al mismo tiempo, que todos los elementos de la antena son isotrópicos y que el canal es AWGN, se puede expresar la envolvente compleja de la señal recibida como U r x(t ) = ∑ A(θ i , φi )si (t ) + awgn(t ). 1.32. i =1. 16.

(28) IEM-I-18-04 donde U es el número de usuarios, (θi,φi) es el ángulo de arribo (angle of arrival - AOA) para el usuario i, si(t) es la señal transmitida por el usuario i, awgn(t) denota el vector (N x 1) del ruido en los elementos del arreglo y el vector de respuesta del arreglo para el usuario i es:. T 2π r −j a N ( aˆ N ⋅aˆi ) ⎤ ⎡ − j 2π a1 (aˆ1⋅aˆi ) A(θ i , φi ) = ⎢e λ ,..., e λ ⎥ ⎣ ⎦. 1.33. En notación matricial, 1.32 se convierte en X (t ) = A(θ , φ )S (t ) + AWGN (t ). 1.34. donde A(θ , φ ) = [a(θ1 , φ1 ), a(θ 2 , φ2 ),..., a(θU , φU )] es la matriz N x U del vector de respuesta del arreglo y S (t ) = [s1 (t ), s2 (t ),..., sU (t )]T .. Si hay múltiples usuarios transmitiendo al mismo tiempo en la mima frecuencia en un ambiente multi-trayectoria, y todos los componentes multi-trayectoria para un usuario en particular arriban dentro de la duración del símbolo, x(t) se puede expresar como r U Li U x(t ) = ∑ ∑ α l ,i A(θ l ,i , φl ,i )si (t ) + awgn(t ) = ∑ bi si (t ) + awgn(t ) i =1 l =1. i =1. 1.35. donde Li es el número de multi-trayectorias para el usuario i, αl,i es la amplitud compleja del componente multitrayectoria l para el usuario i, (θl,i,φl,i) es el AOA del componente r. multitrayectoria l para el usuario i, A(θ l ,i , φl ,i ) es el vector de respuesta del arreglo que corresponde a (θl,i,φl,i) y bi es la característica espacial para el usuario i y se define como bi = ∑ α l ,i A(θ l ,i , φl ,i ) L. 1.36. l =1. 17.

(29) IEM-I-18-04. Se puede expresar la ecuación 1.35 en forma matricial X (t ) = BS (t ) + AWGN (t ). 1.37. donde B = [b1 , b2 ,..., bU ] es la matriz N x U que define las características espaciales y asocia cada columna con cada señal transmitida.. Al suponer que se muestrea la señal recibida, x(t), M veces en t1, t2,...,tM, la ecuación 1.34 se puede expresar como X = A(θ , φ )S + AWGN. 1.38. donde X y AWGN son las matrices N x M X = [x(t1 ), x(t2 ),..., x(t M )]. 1.39. AWGN = [awgn(t1 ), awgn(t 2 ),..., awgn(t M )]. 1.40. S es la matriz de señales U x M S = [s(t1 ), s(t2 ),..., s (tM )]. 1.41. El vector de respuesta del arreglo en la ecuación 1.33 representa el caso en el cual cada elemento de la antena es isotrópico. El término “isotrópico” significa que cada elemento de la antena puede radiar o recibir energía uniformemente en todas las direcciones. En la práctica, los elementos de la antena tienen patrones de radiación no uniformes. Se necesita ejecutar una calibración en el arreglo para determinar el vector de respuesta del arreglo para un rango de ángulos y frecuencias portadoras. Para un grupo de elementos de antena que. 18.

(30) IEM-I-18-04. tienen similares patrones de radiación no isotrópicos, el patrón de radiación del arreglo se puede calcular con base en el principio de multiplicación de patrones G (θ , φ ) = f (θ , φ )F (θ , φ ). 1.42. donde f(θ) es el patrón de radicación para un conjunto de elementos de antena que tienen patrones de radiación similares, F(θ) es el factor del arreglo que se define como: F (θ , φ ) = W T A(θ , φ ). 1.43. donde W = [W1 , W2 ,..., WN ]T es el vector de pesos y cada elemento Wi corresponde a la ganancia del elemento n y A(θ,φ) es el vector de respuesta del arreglo definido en la ecuación 1.33.. 1.2.3. Formación de radiación. El objetivo de la formación de radiación es separar la señal deseada de las señales interferentes considerando que éstas tienen la misma frecuencia pero diferentes ubicaciones espaciales. Las señales interferentes pueden ser una versión retardada de la señal deseada y se pueden originar por ambientes multi-trayectorias o señales que se generan por otros usuarios. Un formador digital muestrea la señal propagada a la entrada de cada elemento de antenas, las pesa con base en cierto criterio de desempeño y la combina a la salida del formador.. La figura 1.6 muestra un formador de banda estrecha. Una señal de banda estrecha muestreada en el elemento de antena n en el tiempo k es la versión desfasada de la señal recibida en el elemento de antena de referencia en el tiempo k. Debido a que este cambio de fase es una función de la distancia entre el primer elemento y elemento n, un formador. 19.

(31) IEM-I-18-04. de banda estrecha necesita muestrear la señal a nivel espacial. La señal a la salida del formador en el tiempo k - y(k)- se determina por una combinación lineal de la información en el sensor n en el tiempo k: y (k ) = ∑ wn* xn (k ) N. 1.44. n =1. donde * denota complejo conjugado, xn(k) es la representación de la envolvente compleja de la señal recibida por el elemento de antena n en el tiempo k y wn es el peso complejo aplicado a xn(k). La ecuación 1.44 se puede representar en forma vectorial como y (k ) = w H x(k ). 1.45. donde H denota la transpuesta Hermitiana y w = [w1 , w2 ,..., wn ]T es el vector de pesos complejos.. X1 (k) ANTENA 1 W 1 (k) X2 (k) USUARIO. ANTENA 2 W 2 (k) SEÑAL DE SALIDA y(k) XN (k) ANTENA N W N (k). ALGORITMO ADAPTATIVO. FIGURA 1. 6 Formador de banda estrecha. 20. REFERENCIA.

(32) IEM-I-18-04. 1.2.4. Criterio de pesos óptimos. Un formador adaptivo es capaz de ajustar los pesos de cada elemento del arreglo con base en las estadísticas de la información del arreglo. El formador ajusta el vector de pesos de tal manera que coloca nulos en la dirección de las señales interferentes para poder maximizar la SNR a la salida del formador. Debido a que las estadísticas de la formación del arreglo no se conocen y cambian con el tiempo, los algoritmos adaptivos se emplean para determinar los pesos. La mayoría de los algoritmos de formación adaptiva tienen en cuenta procesos iterativos para ajustar los pesos hasta que se alcance cierto criterio de desempeño.. Los criterios de desempeño más utilizados son el mínimo error medio. cuadratico (MMSE), la máxima relación señal a interferencia más ruido (maximun signal to interferente plus noise ratio - MSINR).. 1.2.4.1 Error medio minimo cuadrático (MMSE). El objetivo del criterio MMSE es minimizar el error medio cuadrático entre la señal recibida y(k) y la señal deseada d(k). Matemáticamente, la función costo a minimizar es. [. J = E d (k ) − y (k ). 2. ]. 1.46. donde E[] denota el operador de valor medio. Sustituyendo la ecuación 1.45 en la ecuación 1.46 se tiene:. [ ] [ ] = E [{d (k ) − w x(k )}{d (k ) − w x(k )} ] = E [d (k ) − w x(k )d (k ) − d (k )x(k ) w + w x(k )x(k ) w] = E [d (k ) ] − w p − p w + w Rw. J = E d (k ) − y (k ) = E {d (k ) − y (k )}{d (k ) − y (k )} 2. *. H. 2. 2. H. *. H. H. H. *. H. H. H. H. 21. 1.47.

(33) IEM-I-18-04 R = E [x(k )x H (k )]. donde. 1.48. es la matriz de correlación (NxN) de la entrada del arreglo x(k) p = E [x(k )d * (k )]. 1.49. es el vector de correlación cruzada (Nx1) entre la entrada x(k) y la señal deseada d(k). Para minimizar la función de costo, se toma el gradiente de la función con respecto a w y se iguala a cero: ∇J = −2 p + 2 Rw = 0. 1.50. Al resolver la ecuación 1.50, se tiene: wopt = R −1 p. 1.51. que se conoce con el nombre de ecuación Wiener-Hopf o solución Wiener óptima [8]. La ecuación 1.51 exige el conocimiento de dos estadísticas para obtener el vector de pesos óptimos:. 1.. La matriz de correlación R del vector de entrada al arreglo x(k). 2.. El vector de correlación cruzada p entre el vector de entrada al arreglo x(k) y la señal deseada d(n).. Si se expresa la matriz de correlación R como R = Rss + Ruu. 1.52. 22.

(34) IEM-I-18-04 donde Rss = E [d 2 (k )]A(θ , φ )A H (θ , φ ). [. Ruu = E u (k )u (k ). H. 1.53. ]. 1.54. donde u(k) es el vector Nx1 que representa la suma de todas las señales interferentes muestreadas a la entrada del arreglo.. Si se aplica el lema de inversión de matriz [8], se tiene ⎡ ⎤ −1 1 R −1 = ⎢ ⎥ Ruu −1 2 H ⎣1 + E [d (k )]A (θ , φ )Ruu A(θ , φ ) ⎦. 1.55. además, si se asume una SNR alta, x(k ) ≈ d (k )A(θ , φ ) y p = E [d (k )A(θ , φ )d * (k )] = E [d 2 (k )]A(θ , φ ). 1.56. y la solución Wiener se puede expresar como ⎡ ⎤ −1 E [d 2 (k )] −1 wopt = ⎢ ⎥ Ruu A(θ , φ ) = β MMSE Ruu A(θ , φ ) −1 2 H [ ] ( ) ( ) ( ) θ φ θ φ 1 , , + E d k A R A uu ⎣ ⎦. 1.57. 1.2.4.2 Máxima relación señal a interferencia más ruido. Por medio de este criterio de desempeño, los pesos se pueden escogerse para maximizar directamente la SINR. Si se define a s(k) como el vector (Nx1) de la señal deseada muestreada a la entrada del arreglo, la potencia de la señal de salida del formador se puede expresar como. [. ] [. ]. σ s2 = E w H s(k ) = E {w H s(k )}{w H s(k )} = w H s(k )s(k ) w = w H Rss w 2. *. H. 23. 1.58.

(35) IEM-I-18-04 donde Rss = E [s(k )s(k )H ]. 1.59. es la matriz de correlación para el usuario deseado. De igual manera, la potencia de salida de la interferencia más ruido se puede escribir como. [. ]. σ u2 = E w H u (k ) = w H Ruu w. 1.60. donde Ruu = E [u (k )u (k )H ]. 1.61. 2. es la matriz de correlación para las interferencias. La SINR de salida, esta determinada como. (SINR ). o. =. σ s2 w H Rss w = σ u2 w H Ruu w. 1.62. Para maximizar la SINR de salida, se deriva la ecuación 1.62 con respecto a w y se iguala a cero, dando como resultado:. Rss w =. w H Rss w Ruu w = λRuu w w H Ruu w. 1.63. La ecuación 1.63 es un problema de eigenvalores conjunto. El vector de pesos óptimo se obtiene al encontrar el eigenvalor más grande λmax de la matriz simétrica Ruu−1Rss :. Ruu−1 Rss wopt = λmax wopt. 1.64. y la máxima SINR de salida se define como. 24.

(36) IEM-I-18-04. (SINR ). o ,max. =. H wopt Rss wopt. 1.65. H wopt Ruu wopt. Como Rss = E [d 2 (k )]A(θ , φ )A H (θ , φ ) , el vector de pesos óptimos puede ser expresado en términos de la solución Wiener wopt = β MSINR Ruu−1 A(θ , φ ). donde β MSINR =. E [d 2 (k )]. λmax. 1.66. A H (θ , φ )wopt. 1.67. Si la interferencia es blanca, Ruu se define como Ruu = σ 2 I donde σ2 es la varianza del ruido blanco e I es la matriz identidad. En este caso, los pesos se pueden escoger para maximizar la relación señal a ruido de salida.. La potencia del ruido de salida se define. como σ n2 = σ 2 wH w. 1.68. y la SNR de salida se define como. (SNR ). o. =. σ s2 w H Rss w = σ n2 σ 2 w H w. 1.69. Al derivar 1.69 con respecto a w e igualar a cero se obtiene la SNR máxima. Asumiendo que σ 2 = 1 y sujetos a la restricción que wH w = 1 , se obtiene Rss w = λw. 1.70. 25.

(37) IEM-I-18-04. De igual manera es un problema de eigenvalores, en donde el vector de pesos óptimos se obtiene al calcular el eigenvalor más grande λmax de Rss Rss wopt = λmax wopt. 1.71. y la SNR de salida máxima se define como:. (SNR ). o ,max. 1.2.5. =. λmax σ2. 1.72. Algoritmos adaptativos para formación de radiación. En la sección anterior se describieron algunos de los criterios de desempeño para calcular el vector de pesos óptimos. Para obtener este vector, es necesario conocer ciertas estadísticas de segundo orden que usualmente son desconocidas y que cambian con el tiempo. En esta sección se describen los algoritmos de formación adaptativos que se emplean para estimar y actualizar el vector de pesos con el tiempo.. Como los pesos de ajustan de manera. iterativa, el desempeño del formador se acerca al criterio deseado. La convergencia del algoritmo se consigue en el momento que el desempeño del criterio sea óptimo.. 1.2.5.1 Algoritmo de mínimo valor medio cuadrático (Least mean square - LMS) La solución Wiener óptima dada en la ecuación 1.51 requiere el cálculo de la inversa de la matriz de correlación R esta operación tiene una complejidad computacional bastante elevada. El algoritmo LMS [8] evita la operación de matriz inversa con la utilización del vector gradiente instantáneo ∇J(k) en la actualización del vector de pesos. 26.

(38) IEM-I-18-04. w(k + 1) = w(k ) +. 1 µ [− ∇J (k )] 2. 1.73. donde µ es el factor de convergencia que controla la velocidad del algoritmo (0<µ<1). Es intuitivamente razonable que correcciones sucesivas sobre el vector de pesos en dirección del negativo del vector gradiente deberían llevar al MMSE, punto en el cual el vector de pesos toma su valor óptimo.. Una medida exacta del vector gradiente instantáneo no es posible pues se requiere el conocimiento previo de la matriz de correlación R y del vector de correlación cruzada p. En esta caso se utiliza un estimado del vector gradiente denotado por ˆ J (k ) = −2 pˆ (k ) + 2 Rˆ (k )w(k ) ∇. 1.74. donde Rˆ (k ) = x(k )x H (k ). 1.75. pˆ (k ) = x(k )d * (k ). 1.76. Sustituyendo las ecuaciones 1.74, 1.75 y 1.76 en la ecuación 1.73, se tiene. [. ]. wˆ (k + 1) = wˆ (k ) + µ pˆ (k ) − Rˆ (k )wˆ (k ) = wˆ (k ) + µx(k )[d * (k ) − x H (k )wˆ (k )] = wˆ (k ) + µx(k )e* (k ). 1.77. La ecuación 1.77 define prácticamente el algoritmo LMS. Este algoritmo requiere 2M multiplicaciones complejas por iteración, donde M es el número de pesos usado en la antena adaptativa. La tasa de convergencia es lenta para un valor pequeño de µ, pero deriva una buena estimación del vector gradiente debido a la gran cantidad de información que se considera.. Por otra parte, para un valor grande de µ se tiene una tasa de. 27.

(39) IEM-I-18-04. convergencia alta pero se entrega una estimación degradada del vector gradiente debido a que considera poca información.. 1.2.5.2 Algoritmo de mínimo cuadrático recursivo (Recursive least-squares – RLS) El algoritmo RLS [8] utiliza una suma de estimaciones ponderadas para estimar R y p Rˆ (k ) = ∑ λk −i x(i )x H (i ). 1.78. pˆ (k ) = ∑ λk −i d * (i )x(i ). 1.79. k. i =1. k. i =1. donde 0<λ<1 es el factor de olvido que determina la rápidez con la que un dato previamente recibido se deja de utilizar en la estimación y k es el intervalo de observación 1≤i≤n. Factorizando el término correspondiente a i=n en las ecuaciones 1.78 y 1.79, se obtiene Rˆ (k ) = λRˆ (k − 1) + x(k )x H (k ). 1.80. pˆ (k ) = λpˆ (k − 1) + d * (k )x(k ). 1.81. Debido a que esta es la inversa de la matriz de covarianza que se requiere para estimar los pesos, se genera la siguiente ecuación recursiva para la inversa de R̂(k ) utilizando el lema de la matriz inversa [9]. [. ]. Rˆ −1 (k ) = λ−1 Rˆ −1 (k − 1) − q(k )x H (k )Rˆ −1 (k − 1). 1.82. 28.

(40) IEM-I-18-04. donde q(k ) =. λ−1 Rˆ −1 (k − 1)x(k ) 1 + λ−1 x H (k )Rˆ −1 (k − 1)x(k ). 1.83. es el vector de ganancia. Arreglando la ecuación 1.83, se tiene q(k ) = λ−1 Rˆ −1 (k − 1)u (k ) − λ−1q(k )x H (k )Rˆ −1 (k − 1)u (k ) = λ−1 Rˆ −1 (k − 1) − λ−1q(k )x H (k )Rˆ −1 (k − 1) u (k ). [. ]. 1.84. Sustituyendo la ecuación 1.82 en la ecuación 1.84 se tiene q(k ) = Rˆ −1 (k )x(k ). 1.85. La ecuación 1.85 muestra que el vector de ganancia q(n) se define como la entrada del arreglo x(n) transformada por la inversa de la matriz de la correlación R̂(n ) .. El vector de pesos se puede actualizar de la siguiente manera wˆ (k ) = Rˆ −1 (k ) pˆ (k ) = wˆ (k − 1) − q(k )x H (k )wˆ (k − 1) + d * (k )Rˆ −1 (k )x(k ). 1.86. Finalmente, como q(k ) = Rˆ −1 (k )x(k ) , la actualización de los pesos se efectúa de la siguiente manera wˆ (k ) = wˆ (k − 1) + q(k )[d * (k ) − x H (k )wˆ (k − 1)] = wˆ (k − 1) + q(k )ξ * (k ). 1.87. La diferencia fundamental entre el algoritmo RLS y el LMS es que el factor de convergencia. µ en el LMS se remplaza por la matriz de correlación inversa. Rˆ −1 (k ) .. La tasa de. convergencia resultante es mucho más rápida que el algoritmo LMS. Sin embargo, la complejidad computacional es mucho más alta.. 29. Este algoritmo requiere 4M2+4M+2.

(41) IEM-I-18-04. multiplicaciones complejas por iteración, donde M es el número de pesos utilizados en el arreglo.. 1.3. FORMACIÓN ADAPTATIVA PARA SISTEMAS OFDM [9]. La muestra m de un símbolo OFDM a la salida de un transmisor OFDM puede ilustrarse como N −1 ⎧ 2πmn ⎫ xm = ∑ X n exp⎨ j ⎬, ⎩ N ⎭ n=0. 0 ≤ m ≤ N −1. 1.88. donde N es el número de la sub-portadora y Xn es el símbolo de información sobre la subportadora n.. Se asume que cada símbolo OFDM se transmite a través de un canal multi-trayectoria con L trayectorias discretas y el receptor emplea un arreglo de K elementos de configuración geométrica arbitraria. Al utilizar la consideración de modelo de banda estrecha, la muestra m en el elemento del arreglo k se puede escribir como L −1 ⎧ ⎛ 2π ⎞⎫ rm ,k = ∑ hm ,l xm exp⎨− j ⎜ ak (aˆ k ⋅ aˆ r )⎟⎬ + nm ,k , l =0 λ ⎝ ⎠⎭ ⎩. 0 ≤ m ≤ N −1. 1.89. donde ak es la distancia del elemento k al origen, λ es la longitud de onda de la subportadora, (aˆ k ⋅ aˆ r ) define la relación del AOA con respecto a la ubicación espacial del elemento k, hm,l es la variable aleatoria compleja para la trayectoria l de la respuesta impulso del canal en el tiempo m y nm,k es el AWGN en el elemento k al tiempo m. Si se hace que wk(θ,φ) sea el cambio de fase de la señal recibida en el elemento k con respecto a. 30.

(42) IEM-I-18-04. su distancia al origen, el AOA y a su ubicación espacial, la ecuación 1.89 se puede escribir como L −1. rm ,k = ∑ hm ,l xm exp{− j (wk (θ , φ ))} + nm ,k ,. 0 ≤ m ≤ N −1. l =0. donde wk (θ , φ ) =. 2π. λ. ak (aˆ k ⋅ aˆ r ). 1.90. 1.91. Se asume que el intervalo de guarda es más grande que el retardo de difusión para que la ISI sea completamente eliminada. El símbolo demodulado sobre la sub-portadora n a la salida de la FFT en el elemento k se puede escribir como N −1 L −1 ⎧ ⎛ 2πml ⎞⎫ Yn ,k = ∑ ∑ X m H l (n − m ) exp⎨− j⎜ + wk (θ , φ )⎟⎬ + N n ,k m =0 l =0 ⎠⎭ ⎩ ⎝ N. ⎡ L−1 ⎧ ⎛ 2πml ⎞ ⎫⎤ = ⎢∑ H l (0 ) exp⎨− j⎜ + wk (θ , φ )⎟⎬⎥ X n + ⎠ ⎭⎦ ⎩ ⎝ N ⎣ l =0 L −1. ⎧. m = 0 , m ≠ n l =0. ⎩. 1.92. 2πml ⎞⎫ + wk (θ , φ )⎟⎬ + N n ,k N ⎝ ⎠⎭. ⎛ ∑ ∑ X m H l (n − m ) exp⎨− j⎜ N −1. = α n ,k X n + β n ,k + N n ,k ,. 0 ≤ n ≤ −1. donde Nn,k es el AWGN sobre la sub-portadora n en el elemento k, αn,k es la distorsión multiplicativa causada por el canal en la sub-portadora deseada en el elemento k, βn,k es el término ICI, Hl(n-m) es la FFT de la respuesta del canal multitrayectoria variante en el tiempo hm.l, que se define como. H l (n − m ) =. 1 N. ⎧ ∑ hm,l exp⎨− j N −1 k =0. ⎩. 2πk (n − m ) ⎫ ⎬ N ⎭. 1.93. Si se asume que el canal multi-trayectoria es invariante en el tiempo sobre una duración de un símbolo OFDM, Hl(n-m) en la ecuación 1.93 es igual a cero, no existe ICI y βn,k es cero. 31.

(43) IEM-I-18-04 en ecuación 1.92. La distosión multiplicativa αn,k en la ecuación 1.92 se puede eliminar usando un ecualizador de un tap en la sub-portadora n. Sin embargo, αn,k contiene wk(θ,φ), que provee la información de AOA. Por lo tanto, la ecualización no puede ser ejecutada para mantener esta información.. La distorsión multiplicativa se deja con el símbolo. demodulado y se pasa al formador para que pueda guiar el patrón hacia la dirección del usuario deseado. Al utilizar el criterio MMSE, el formador debe ser capaz de minimizar el efecto de αn,k cuando el algoritmo converga.. 32.

(44) IEM-I-18-04. 2. IMPLEMENTACION DEL SIMULADOR Este capítulo presenta los aspectos que se tienen en cuenta para la simulación en Matlab del desempeño de una antena inteligente en un sistema de comunicación multiportadora basado en la FFT, en concreto, el sistema IEEE 802.11a [10]. Este estándar se define para redes de área local inalámbricas (Wireless local area networks - WLAN) que utilizan multiplexación por división de frecuencia ortogonal con 48 sub-portadoras de información y cuatro subportadoras piloto. Como se menciono en el capítulo anterior, en OFDM el espectro del ancho de banda se divide en múltiples sub-portadoras de banda estrecha ortogonales. Cada símbolo de usuario se divide en sub-símbolos y cada sub-símbolo modula una subportadora de manera independiente permitiendo transmitir la información en paralelo sobre estas sub-portadoras de baja velocidad. Este método de transmisión produce una reducción de la tasa efectiva de transmisión de los símbolos mitigando la interferencia inter-símbolo (ISI) y, por lo tanto, mejorando de manera significativa la capacidad del sistema.. En la capa física (Phisycal layer - PHY), el estándar IEEE 802.11a presenta una gran semejanza con otros estándares (ETSI BRAN HIPERLAN/2 [11] y MMAC WATM/WETH). Sin embargo, las diferencias en la capa de control de acceso al medio (Medium access control - MAC) son significativas. Estos sistemas se diseñan para ofrecer tasas elevadas de transmisión –encima de 54 Mb/s. Para tales aplicaciones, la utilización de una antena inteligente permitiría ofrecer a los usuarios tasas de transmisión más altas. En la figura 2.1 el diagrama de bloques de la simulación que se utiliza para evaluar el desempeño de la antena inteligente en este sistema de comunicaciones. Este trabajo se centra en el estándar IEEE 802.11a con terminales estacionarios y los resultados se puede aplicar a otros sistemas WLAN a 5 Ghz debido a la similitud de las capas físicas.. 33.

(45) IEM-I-18-04. BITS DE INFORMACION. MODULACION QPSK. INSERCION DE LA SEÑAL PILOTO. IFFT. ADICION DEL TIEMPO DE GUARDA. CANAL CON DESANECIMIENTO TIPO RAYLEIGH. SEÑAL INTERFERENTE. BITS DE SALIDA. DEMODULACION QPSK. CANAL CON DESANECIMIENTO TIPO RAYLEIGH. REMOSION DEL TIEMPO DE GUARDA. FFT. AWGN. FORMACION ADAPTATIVA. FIGURA 2. 1 Diagrama de bloques de la simulacion de un sistema OFDM con formación adaptativa. 2.1 TRANSMISOR OFDM. 2.1.1. Preliminares. Una descripción detallada del estándar IEEE 802.11a se puede encontrar en [10]. En forma general, la expresión para un símbolo OFDM que comienza en t igual a ts es ⎧⎪ N2s −1 ⎛ ⎞⎫⎪ i + 0.5 ⎞ ⎛ s (t ) = Re⎨ ∑ d N s exp⎜⎜ j 2π ⎜ f c − ⎟(t − ts )⎟⎟⎬, ts ≤ t ≤ ts + T + i 2 T ⎠ ⎝ ⎝ ⎠⎪⎭ ⎪⎩i=− N2s s (t ) = 0, t p ts ∧ t f ts + T. 2.1. donde di son los símbolos de modulación complejos, Ns es el número de sub-portadoras, T es la duración del símbolo y fc es la frecuencia portadora. Una versión particular de 2.1 se determina para el estándar IEEE 802.11a. La expresión es N ST ⎛ N SD −1 ⎞ 2 ⎜ rDATA,n (t ) = wTSYM (t ) ∑ d k ,n exp( j 2πM (k )∆ F (t − TGI )) + pn+1 ∑ Pk exp( j 2πk∆ F (t − TGI ))⎟ ⎜ k =0 ⎟ N k = − ST 2 ⎝ ⎠. 34. 2.2.

(46) IEM-I-18-04. donde dk,n es el número complejo que corresponde a la sub-portadora k del símbolo OFDM n, NSD es el número de portadoras de información, ∆F es el espaciamiento de frecuencia sub-portadora, TGI es la duración del intervalo de guarda, NST es el número total de subportadoras,. Pk es la contribución de las señales piloto [10], pn es la secuencia que. determina la polaridad de las sub-portadoras piloto, WTSYM(t) es el pulso rectangular de duración t y M(k) es la función que define el mapeo de las sub-portadoras [10].. El símbolo OFDM que se transmite consiste de 52 sub-portadoras, 48 sub-portadoras de información y 4 sub-portadoras piloto. La cantidad de bits por símbolo OFDM en las subportadoras de información depende de la técnica de modulación con que se trabaje así como de la tasa de codificación del codificador que se implemente [10]. Los parámetros de tiempo que pueden ser relacionados con el símbolo OFDM se encuentran en [10], sin embargo los más relevantes se muestran en la tabla 1:. PARÁMETRO Periodo elemental T (ifft/fft de 64 puntos) Número de sub-portadoras de información NSD Número de sub-portadoras piloto NSP Número de sub-portadoras, total NST Periodo IFFT/FFT TFFT Espaciamiento de frecuencia sub-portadora ∆F Ancho de banda ocupado Intervalo de guarda permitido TGI = ∆/TFFT Duración de la parte TFFT del símbolo Duración del intervalo de guarda TGI Duración del símbolo TSYM = TGI+TFFT. MODO IEEE 802.11a 3.2 us/64 = 0.05 us 48 4 52 3.2 us 0.3125 Mhz 16.25 Mhz ¼ 64 * T = 3.2 us 0.8 us 4.0 us. TABLA 1 Valores numéricos para los parámetros OFDM. Si se considera una implementación práctica de la ecuación 2.1 en un periodo que va desde t = 0 hasta t = TSYM, se omite la contribución de las señales piloto y se tiene en cuenta que. 35.

(47) IEM-I-18-04. Valor de la sub-portadora Nmin Valor de la sub-portadora Nmax. 0 51. TABLA 2 Número máximo y mínimo de sub-portadoras. La señal transmitida se relaciona con una señal de banda base compleja por medio de la siguiente relación N max ⎛ ⎞ s (t ) = Re⎜ exp( j 2πf ct ) ∑ d k , 0 exp( j 2πk ' ∆ F (t − TGI ))⎟ = k N min ⎝ ⎠ N max + N min ) ( con k ' = k − 2. 2.1.2. 2.3. Simulación en Matlab. El diagrama de bloques del transmisor OFDM que se implementó se muestra en la figura 2.2. Como se define en el estándar [10], el transmisor recibe una ráfaga serial de bits de información, las convierte a paralelo de acuerdo al número de sub-portadoras que se utilicen, modula cada portadora de forma independiente de acuerdo a los esquemas de modulación que se definen en el estándar [10], mapea la información al numero de puntos IFFT necesarios para utilizar los algoritmos para el cálculo de la IFFT, los símbolos complejos modulan cada uno de las sub-portadoras bajo el esquema de la IFFT conservando la ortogonalidad entre las sub-portadoras, se inserta la señal piloto que define el estándar [10], y por último, adiciona un intervalo de guarda para eliminar la ISI y disminuir la ICI.. DEFINICION DE PARAMETROS INICIALES. GENERADOR DE DATOS. SERIE A PARALELO. MODULACION QPSK. SEÑAL PILOTO MODULACION BPSK. MAPEO 64. FIGURA 2. 2 Transmisor OFDM. 36. IFFT DE 64 PUNTOS. INSERSION INTERVALO DE GUARDA. INFORMACION SERIE.

(48) IEM-I-18-04. 2.1.2.1 Definición de parámetros iniciales.. Estos parámetros iniciales definen cada una de las características esenciales del los símbolos OFDM que se van a transmitir. Los parámetros de tiempo para un símbolo OFDM se definen en [10] y se ilustran en la tabla 1. Al tener en cuenta el periodo de un símbolo OFDM, definiendo el periodo elemental de banda base y teniendo en cuenta el esquema que se utiliza para la modulación interportadoras (quaternary phase shift keying QPSK) se puede definir la tasa de bit (bit rate - BR) y la tasa de símbolo (symbol rate - SR). De igual manera, se definen parámetros como el número de símbolos por sub-portadora y la relación del periodo de la portadora con el periodo elemental de un bit (muestras por bit 8). Este último permite definir la frecuencia portadora en banda base y el periodo de simulación.. 2.1.2.2 Generador de datos.. La simulación de un proceso estocástico requiere de una rutina que genere números aleatorios uniformemente distribuidos.. Básicamente, existen dos técnicas para obtener. números uniformemente distribuidos entre 0 y 1: los métodos congruentes y los métodos por re-alimentación de registros de desplazamiento. En ambos casos se generan números enteros y se escalan al intervalo (0,1).. Debido a que un computador tiene capacidad finita. y utiliza un algoritmo determinístico, las secuencias que genera son seudoaleatorias. De ahí la importancia de estimar el periodo de repetición de la secuencia y evaluar el generador.. Con el fin de extender el periodo del generador y mejorar la aleatoriedad de los números, se combinan dos o más generadores. La función rand.m incluida en las versiones de Matlab superiores a la 5, combinan un generador de Fibonacci con un generador basado en registros de desplazamiento y lógica binaria [12]. La generación de estos dos generadores. 37.

(49) IEM-I-18-04. produce un generador que tiene un periodo de 21492 y además genera todos los números de punto flotante entre 2-51 y 1-2-51.. Para generar la información que se va a transmitir se emplea la función rand.m de Matlab que genera números reales uniformemente distribuidos en el intervalo (0,1). Los datos se obligan a ser ceros y unos a través de la función round.m que toma ½ como frontera, garantizando que la probabilidad en la generación de ceros y unos sea la misma. Al tener en cuenta el periodo del generador utilizado, es necesario considerar que las simulaciones tienen en cuenta la generación de dos símbolos OFDM con modulación interportadora QPSK, por lo tanto, la ráfaga serial aleatoria tendrá una longitud de 208 bits y el número máximo de ráfagas que puede ser simulado es:. Rmax =. 21492 ⇒∞ 208. 2.4. este número de ráfagas es suficiente para las simulaciones. En adición, es evidente que al utilizar una misma semilla en dos simulaciones, los resultados deben ser los mismos, por lo que es necesario utilizar semillas diferentes que presenten características de aleatoriedad. La semilla debe ser un número grande, preferiblemente primo y debe ser reiniciado con cada loop de simulación [13]. El encabezado de este programa se muestra en el anexo B.. 2.1.2.3 Conversión serial a paralelo. Como se discutio en las secciones anteriores, y como se define en el estándar, una ráfaga de información que se transmite a tasas elevadas se divide en varias sub-portadoras que manejan tasas de transmisión bajas. Para efectuar esta operación se utiliza la función reshape.m de Matlab que devuelve la información serial almacenada en el vector X en una matriz de tamaño N (número de portadoras) x M (incluye el número de símbolos por sub-. 38.

(50) IEM-I-18-04. portadora y el esquema de modulación). El encabezado de esta función se muestra en el anexo B.. 2.1.2.4 Modulación QPSK.. El análisis en esta simulación se restringe a modulación QPSK cuya tasa de transmisión corresponde a 12 Mb/s, como se define en [10].. Una señal QPSK se genera a partir de dos señales BPSK (binary phase shift keying BPSK). Para distinguir las dos señales, se utilizan dos señales portadoras ortogonales. Una determinada por cos2πfct y la otra por sen2πfct. Las dos señales portadoras permanecen ortogonales en el área de un periodo [1], es decir:. c ∫0 cos 2πf c t × sen2πf c t = 0 T. 2.5. donde Tc es el periodo de la señal portadora y fc=1/Tc . La señal QPSK se puede representar como: s (t ) =. 1 2. d I (t ) cos(2πf c t ) +. 1 2. d Q (t )sen(2πf c t ). 2.6. Un canal en el cual se utiliza cos2πfct como señal portadora generalmente se denomina canal en fase, y una canal en el cual se utiliza sen2πfct como señal portadora se denomina canal en cuadratura. Por lo tanto, dI(t) y dQ(t) representan respectivamente la información en fase y en cuadratura.. 39.

(51) IEM-I-18-04. La conversión de serie a paralelo tiene en cuenta el esquema de modulación QPSK, es decir, la información se convierte teniendo en cuenta la información para el canal en fase y la información para el canal en cuadratura. La modulación se efectúa con la función modqpsk.m de Matlab que básicamente toma la información de ceros y unos, la convierte a valores de modulación convenientes (-1,1) y les asigna su respectiva fase. El encabezado de esta función se muestra en el apéndice B.. 2.1.2.5 Incorporación de la señal piloto. El estándar IEEE 802.11a define la estructura de la señal de entrenamiento OFDM. Esta estructura esta conformada por diez símbolos cortos y dos símbolos largos. Un símboo de entrenamiento corto OFDM consiste de doce sub-portadoras, que se modulan por los elementos de la secuencia S, definida por: S −26, 26 = 13 × {0,0,1 + j ,0,0,0,−1 − j ,0,0,0,1 + j ,0,0,0,−1 − j ,0,0,0,−1 − j ,0,0,0,1 + j ,0,0,0,0, 6 0,0,0,−1 − j ,0,0,0,−1 − j ,0,0,0,1 + j ,0,0,0,1 + j ,0,0,0,1 + j ,0,0,0,1 + j ,0,0}. 2.7. La multiplicación por un factor de √(13/6) es para normalizar la potencia promedio del símbolo OFDM resultante, que utiliza 12 de las 52 sub-portadoras. La señal se genera de acuerdo con la siguiente ecuación:. rSHORT (t ) = wSHORT (t ). N ST. S k exp( j 2πk∆ F t ) ∑ N 2. k = − ST. 2.8. 2. Un símbolo de entrenamiento largo OFDM consiste de 53 sub-portadoras (incluyendo un valor de cero en DC), que se modulan por los elementos de secuencia L, definida como. 40.

(52) IEM-I-18-04 L−26 , 26 = {1, 1, - 1, - 1, 1, 1, - 1, 1, - 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, - 1, - 1, 1, 1, - 1, 1, - 1, 1, 1, 1, 1,0,. 1, - 1, - 1, 1, 1, - 1, 1, - 1, 1, - 1, - 1, - 1, - 1, - 1, 1, 1, - 1, - 1, 1, - 1, 1, - 1, 1, 1, 1, 1}. 2.9. Un símbolo de entrenamiento OFDM largo se debe generar de acuerdo con la siguiente ecuación:. rLONG (t ) = wTLONG (t ). N ST. Lk exp( j 2πk∆ F (t − TG12 )) ∑ N 2. k = − ST. 2.10. 2. donde TG12 = 1.6 us. Para el desarrollo que se considera en este trabajo, la estimación del canal asi como la sincronización, tiene en cuenta únicamente la implementación de los símbolos de entrenamiento OFDM largos. Bajo esta condición se obtienen buenas estimaciones de canal y resultados de sincronia. Adicionalmente estos símbolos OFDM se toman como señal de referencia en el algoritmo adaptativo para iterar de manera conveniente los pesos de los elementos del arreglo de antenas y alcanzar el óptimo criterio de desempeño.. Como se puede observar en la ecuación 2.10 la generación del símbolo de entrenamiento OFDM largo tiene en cuenta la operación IFFT de la secuencia L en la que se incorpora un desfase de tiempo. En el simulador, la secuencia entrena se adiciona a los símbolos OFDM de información antes de la operación IFFT. La discusión de la estimación del canal y sincronización de las tramas se discute más adelante.. 2.1.2.6 Mapeo.. La forma de implementar la transformada de Fourier, como se muestra en la ecuación 2.2, es por medio del algoritmo de la transformada de Fourier rápida inversa [2]. En este tipo de. 41.

(53) IEM-I-18-04. algoritmo el cálculo de la DFT es descompuesto sucesivamente en pequeños cálculos DFT. El número de puntos N en la secuencia de información debe ser un entero de potencia dos, es decir, N=2L donde L es un entero. En este trabajo se usa una IFFT de 64 puntos, por lo tanto, los coeficientes 1 a 26 se mapean en las entradas IFFT del mismo número, mientras que los coeficientes -26 a -1 se copian en las entradas IFFT 38 a 63. El resto de las entradas, 27 a 37 y la entrada 0 (DC) se colocan en cero. Este mapeo se ilustra en la figura 2.3. Al hacer referencia a la ecuación 2.2, la función M(k) define un mapeo del número de sub-portador lógico 0 a 47 a un índice de desviación de frecuencia -26 a 26, omitiendo las sub-portadoras piloto y la sub-portadora 0 (DC), es decir: ⎧k − 26 ⎪k − 25 ⎪ ⎪⎪k − 24 M (k ) = ⎨ ⎪k − 23 ⎪k − 22 ⎪ ⎪⎩k − 21. 0≤k ≤4 5 ≤ k ≤ 17 18 ≤ k ≤ 23 24 ≤ k ≤ 29 30 ≤ k ≤ 42 43 ≤ k ≤ 47. Nulo 1 2 , , 26 Nulo Nulo Nulo -26 , , -2 -1. 2.11. 0 1 2. 0 1 2. 26 27. 26 27. IFFT. 37 38. 37 38. 62 63. 62 63. Salida en el dominio del tiempo. FIGURA 2. 3 Entradas y salidas de la IDFT. El mapeo de los símbolos de información complejos se lleva a cabo por medio de la función mapeo64.m de Matlab. Su encabezado se muestra en el anexo B.. 42.