El modelo de Black-Litterman en la optimización de portafolios de activos

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(1)EL MODELO DE BLACK-LITTERMAN EN LA OPTIMIZACIÓN DE PORTAFOLIOS DE ACTIVOS. ANDRÉS MERIZALDE ARBOLEDA. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SANTAFÉ DE BOGOTÁ 2002.

(2) EL MODELO DE BLACK-LITTERMAN EN LA OPTIMIZACIÓN DE PORTAFOLIOS DE ACTIVOS. ANDRÉS MERIZALDE ARBOLEDA. Proyecto de grado para optar al título de Ingeniero Industrial.. Asesor BEATRIZ LOPERA Ingeniera Industrial. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SANTAFÉ DE BOGOTÁ 2002.

(3) CONTENIDO. INTRODUCCIÓN. 1. 1. MARCO TEORICO Y CONCEPTOS BASICOS. 4. 1.1. TEORIA MODERNA DE PORTAFOLIOS Y TEORIA DE LA UTILIDAD. 4. 1.2. EL CONJUNTO DE OPCIONES DE INVERSIÓN. 7. 1.3. RIESGOS FINANCIEROS Y CARACTERIZACIÓN DE RIESGO. 8. 1.4. HARRY M. MARKOWITZ. 13. 1.4.1. EL EFECTO DE LA DIVERSIFICACIÓN. 1.4.2. DEBATES CON RESPECTO A LA MEDIDA DE RIESGO DE MARKOWITZ18. 2. 17. FORMULACIÓN GENERAL DEL PROBLEMA DE LA OPTIMIZACIÓN DE. PORTAFOLIOS. 26. 2.1. 27. MEDIDAS DE RIESGO. 2.1.1. MEDIDA ORIGINAL DE MARKOWITZ. 27. 2.1.2. DESVIACIÓN ABSOLUTA DE LA MEDIA. 28. 2.1.3. SEMI VARIANZA. 30. 2.1.4. OTRAS MEDIDAS DE RIESGO. 31. 2.2. FORMULACIONES. 32. 2.2.1. MINIMIZACIÓN DE VARIANZA. 33. 2.2.2. MAXIMIZACIÓN DEL RETORNO ESPERADO. 34. 2.2.3. OTRAS FORMULACIONES. 35 iii.

(4) 2.3. RESTRICCIONES. 36. 2.4. CRÍTICA A LOS MODELOS DE MEDIA Y VARIANZA (MV) PARA LA. OPTIMIZACIÓN DE PORTAFOLIOS 3. 38. EL MODELO DE BLACK-LITTERMAN PARA LA COMPOSICIÓN DE. PORTAFOLIOS GLOBALES. 42. 3.1. RENTABILIDADES DE EQUILIBRIO. 47. 3.2. OPINIONES DEL INVERSIONISTA. 52. 3.3. LA FÓRMULA CONJUNTA PARA LAS RENTABILIDADES ESPERADAS. 55. 3.4. EL NIVEL DE CONFIANZA DEL INVERSIONISTA EN SUS OPINIONES. 55. 3.5. ALGUNOS COMENTARIOS ADICIONALES. 58. 3.6. CALIBRACIÓN DEL MODELO. 59. 3.7. SOLUCIÓN. 60. 3.8. RESTRICCIONES ADICIONA LES. 62. 4. IMPLEMENTACIÓN. 64. 4.1. DATOS DE ENTRADA. 65. 4.2. OPINIONES DEL INVERSIONISTA. 67. 4.3. RESULTADOS. 70. 4.4. PRUEBAS Y AJUSTES. 73. 5. CONCLUSIONES. 76. ANEXOS. 81. BIBLIOGRAFÍA. 87. iv.

(5) II-02(2)69. INTRODUCCIÓN. Estamos frente a una economía cada vez más globalizada donde la facilidad de transacción ha aumentado a gran velocidad y el acceso a activos en cualquier parte del mundo es natural y directo. Esto ha ocasionado una importante ampliación del conjunto de posibilidades de inversión, haciendo factible la movilidad de capital hacia opciones más rentables en otras latitudes. Lo anterior mejora las perspectivas de los inversionistas pero también hace más compleja su escogencia de combinaciones de activos que generen puntos eficientes en la frontera de rentabilidad contra riesgo.. Por esta razón cobra vital importancia la administración de portafolios. La forma como los inversionistas los conformen debe procurar que estén suficientemente protegidos del riesgo de pérdida de valor y obtenga de ellos el retorno más alto posible. En otras palabras, el método que se escoja para administrar el portafolio debe maximizar la rentabilidad y minimizar el riesgo en el que incurre el inversionista. Para lograr este fin hay numerosas herramientas que permiten construir y mantener portafolios eficientes.. La optimización es una de las herramientas analíticas que más se ha utilizado en este campo. Es natural pensar que problemas como el de obtener el mayor retorno 1.

(6) II-02(2)69. posible a un riesgo determinado, o el de obtener el menor riesgo posible a un retorno esperado determinado son factibles de ser programados y resueltos con algoritmos de optimización. Por esta razón la optimización de portafolios es hoy por hoy una de las principales áreas de investigación financiera y en la que en las últimas décadas se han propuesto métodos más innovadores y eficientes. No sólo ha sido considerable la cantidad de artículos escritos sobre el tema, sino que han sido prolíficos los esfuerzos y bien reconocidos los resultados que en ellos se han obtenido. Al respecto, Zenios opina que: “Los analistas de investigación de operaciones han encontrado en éste un campo problemático interesante donde sus herramientas podrían tener un impacto significativo”1.. Por otro lado, el problema de la administración de portafolios es bastante práctico y relevante para una gran cantidad de personas. Aún sin ser enteramente conscientes de ello, el común de la gente generalmente almacena su riqueza en portafolios de activos. Es posible hacer esta afirmación si consideramos que, como afirma Fabozzi2, un activo es cualquier posesión que tiene un valor de cambio y que un portafolio es un conjunto de activos en propiedad del mismo agente. En. 1. DAHL, Henrik; MEERAUS, Alexander; ZENIOS, Stavros A. Some financial optimization models: I. Risk Management. En: ZENIOS, Stavros A. Financial Optimization. Cambridge: Cambridge University Press, 1993. p. 5.. 2.

(7) II-02(2)69. este sentido, cualquier persona que tenga varios activos es propietaria de un portafolio y debería estar interesada en lo que se ha encontrado acerca de su manejo inteligente.. Dos elementos, la relevancia del problema general de la administración de portafolios y la actualidad en los trabajos sobre el tema sugieren que es justo dedicar este trabajo a la investigación sobre la optimización de portafolios de activos. A lo largo de este proyecto se buscará alcanzar cuatro objetivos en particular: Primero, entender con claridad los fundamentos teóricos sobre los que se sostiene la teoría de portafolios. Segundo, identificar las formas como los parámetros y variables que participan de la conformación de portafolios de activos se articulan en las formulaciones de optimización de portafolios. Tercero, identificar los inconvenientes teóricos y prácticos con los que los modelos de optimización de portafolios se han enfrentado; y por último, analizar otras formas de aproximarse al problema de la optimización de portafolios, haciendo énfasis en el modelo de Black y Litterman.. 2. FABOZZI, Frank J. y MODIGLIANI, Franco. Capital markets: institutions and instruments. 2nd ed.. Upper saddle River: Prentice Hall, 1996. p. 3.. 3.

(8) II-02(2)69. 1. MARCO TEORICO Y CONCEPTOS BASICOS. Con el fin de ubicar el problema de la optimización de portafolios sobre su base conceptual, se expondrán los conceptos generales y los lineamientos de la teoría financiera sobre los que dicho problema descansa.. 1.1 TEORIA MODERNA DE PORTAFOLIOS Y TEORIA DE LA UTILIDAD. Aun cuando técnicamente cualquier conjunto de activos forma un portafolio, la mayor parte de la teoría que se ha desarrollado sobre el tema está enfocada hacia una clase específica de activos: los activos financieros. La principal razón por la que son éstos y no los activos reales el objeto de su estudio es la facilidad de ubicar a los primeros en un espacio bidimensional de riesgo y rentabilidad. Habiendo caracterizado dichos activos y bajo los parámetros de la teoría de la utilidad se hace posible la comparación entre ellos. Si por el contrario se intentara comparar la bondad de dos activos reales, el proceso de decisión podría ser mucho más complejo. Aquí la combinación de riesgo y rentabilidad de la inversión dejaría de ser el único criterio de evaluación y se haría necesario considerar una mezcla compleja de muchas otras variables características del activo, en tanto que el inversionista también evalúa, por ejemplo, la utilidad subjetiva que percibe por tener el activo en su poder. En activos financieros, sin embargo, se puede decir 4.

(9) II-02(2)69. que aquel que presente menor riesgo que otro a un mismo nivel de rentabilidad es siempre preferido por un inversionista averso al riesgo3.. La imposibilidad de predecir con exactitud el comportamiento de los activos en el futuro da origen a la existencia de riesgo. El inversionista no puede asociar un número único con el retorno de ninguno de los activos en los que invierte, sino que dicho retorno debe ser descrito por un conjunto de posibles resultados4. De lo dicho anteriormente se nota la importancia de poder caracterizar la rentabilidad de los activos financieros sobre una estructura de riesgo o función de probabilidad. Una vez se tiene claridad sobre el riesgo y la rentabilidad esperada5 del activo en cuestión, la siguiente pregunta es: ¿qué tan buena es esa combinación? A la luz de la teoría de la utilidad la respuesta sería: “depende”. La utilidad percibida por cada inversionista frente a un resultado probable de rentabilidad es característica de su preferencia por rentabilidad y riesgo. En otras palabras, dos inversionistas enfrentados. a. un. mismo. conjunto. de. opciones. eficientes. de. inversión. probablemente van a diferir en el ordenamiento de sus preferencias. Esa diferencia. 3. ELTON, Edwin J. y GRUBER, Martin J. Modern portfolio theory and investment analysis. 5th ed.. New York: John Wiley and Sons, 1995. p. 210. 4. Ibid., p. 46.. 5. Como riesgo nos referimos, de forma general, a la posibilidad de pérdida de valor en los activos.. En algunos casos el riesgo queda completamente determinado con una medida de volatilidad (ver sec. 1.4.2).. 5.

(10) II-02(2)69. responde a que dicho ordenamiento lo realiza el inversionista con respecto a la utilidad que cada resultado le representa y no al resultado mismo, es decir, el decisor no evalúa el vector de resultados posibles ( xv ), sino el vector cuyas componentes exhiben la utilidad de los resultados posibles ( uv(xv) ). La función que asigna la utilidad a cada resultado probable se denomina función de preferencia o función de utilidad y juega un papel fundamental en la decisión óptima. Se puede demostrar que considerando la utilidad como criterio, la mejor alternativa es la que maximiza el valor esperado de la utilidad6.. La teoría asegura que siempre es posible encontrar la función de utilidad de un decisor racional que evalúa una serie de resultados singulares en un contexto incierto, y que además dicha función proporciona información consistente sobre las preferencias del decisor. Primero, determina si el decisor prefiere más o menos riqueza. Segundo, dice cuál es su actitud ante el riesgo; pudiendo ser averso, propenso o neutral frente al mismo. Tercero, describe la forma como cambian sus preferencias cuando varía su nivel de riqueza; por ejemplo su grado de aversión al riesgo bien podría disminuir o aumentar a medida que aumenta su riqueza. Las características anteriores se pueden comprobar al analizar la función de preferencia junto con su primera y segunda derivada, respectivamente7.. 6. ELTON, Op. Cit. p. 210-212.. 7. Ibid., p. 214 –221.. 6.

(11) II-02(2)69. 1.2 EL CONJUNTO DE OPCIONES DE INVERSIÓN. Como se ha visto, la teoría de la utilidad es el marco conceptual dentro del cual los inversionistas racionales toman sus decisiones 8. Siguiendo su lógica el inversionista debería construir la función de probabilidad de los retornos de su inversión, transformarla en la función de probabilidad de las utilidades de dichos retornos y calcular el valor esperado para cada alternativa de inversión. Este proceso sería dispendioso y muy complejo teniendo en cuenta la gran cantidad de casos a considerar, pues no sólo habría que analizar todos los activos riesgosos sino todas las combinaciones entre ellos, resultando en un número infinito de posibilidades de inversión.. Volviendo a la representación cardinal en el plano de riesgo contra rentabilidad, es claro que sería posible ubicar en él a todas las opciones de inversión en dicho plano, pero por lo dicho anteriormente esa representación resultaría en una densa nube de puntos factibles. Sin embargo, podemos limitarnos a pensar que los inversionistas son aversos al riego; que por lo tanto prefieren menos a más riesgo. 8. Se hace un supuesto de racionalidad que no siempre se satisface. Matthew Rabin (Psychology and. Economics, 1996) por ejemplo, analiza cómo el comportamiento humano se aleja de los supuestos económicos tradicionales de racionalidad.. 7.

(12) II-02(2)69. y que prefieren más a menos rentabilidad. Entonces, si podemos encontrar un conjunto de portafolios que ofrezcan más rentabilidad al mismo nivel de riesgo o que ofrezcan menos riesgo al mismo nivel de rentabilidad, tendremos el conjunto de posibilidades de inversión que el decisor averso al riesgo en efecto consideraría. Todas las demás alternativas de inversión estarían dominadas para él y podrían ser eliminadas del diagrama. El grupo de activos que no están dominados por ningún otro activo del mercado forman la llamada frontera eficiente y el conjunto de alternativas de inversión a considerar se puede reducir a las que caen sobre dicha frontera9.. 1.3 RIESGOS FINANCIEROS Y CARACTERIZACIÓN DE RIESGO. Hasta ahora hemos hablado del riesgo inherente a los activos y portafolios. A causa de su presencia, la rentabilidad de los mismos exhibe un comportamiento estocástico y es posible asociar a ella una función de probabilidad. Para entender el origen del comportamiento incierto de la rentabilidad y el efecto de la diversificación es importante, entonces, hacer una revisión sobre el tema del riesgo financiero al que los activos están expuestos.. 9. ELTON, Op. cit., p. 82-84.. 8.

(13) II-02(2)69. El riesgo asociado a la rentabilidad de los activos financieros es de naturaleza diversa. Zenios10, por ejemplo, presenta el riesgo financiero como un vector multidimensional compuesto por el riesgo de mercado, riesgo de forma (shape risk), riesgo de volatilidad, riesgo de sector, riesgo de cambio, riesgo de liquidez y riesgo residual.. El riesgo de mercado se refiere al movimiento conjunto en los rendimientos del mercado, que afecta de alguna forma a todos los activos que forman parte de él. En el mercado accionario el riesgo de mercado se relaciona con el movimiento en el índice del mercado y en el mercado de renta fija se refiere al movimiento general de las tasas de interés.. El riesgo de forma (shape risk) es aplicable al mercado de renta fija y se refiere a los movimientos no paralelos en las tasas de interés de los instrumentos libres de riesgo, lo que origina un cambio en la forma de la curva estructural de tasas de interés.. El riesgo de volatilidad se refiere a la incertidumbre en la veracidad del riesgo calculado o a la posibilidad de que la varianza cambie aleatoriamente en el tiempo. Este es un factor determinante en instrumentos cuyo precio es asimétrico con. 10. ZENIOS, Op. cit., p. 5.. 9.

(14) II-02(2)69. respecto a la volatilidad de los precios y por tanto es altamente dependiente de la volatilidad proyectada, como es el caso de las opciones.. El riesgo cambiario se refiere a los movimientos en los precios de las divisas, y afecta en especial a las inversiones en monedas extranjeras.. El riesgo de sector se refiere al efecto de eventos que afectan conjuntamente a un grupo de activos. Dado que los activos en un grupo o sector comparten atributos comunes, estos son propensos a estar influenciados por los mismos factores de riesgo.. El riesgo de crédito se refiere a cambios en la confianza de los inversionistas sobre la capacidad de pago del emisor. Frente a estos movimientos, el retorno exigido sobre las inversiones cambia y ocasiona variaciones en su precio, pues éstas son valoradas a tasas de mercado.. El riesgo de liquidez se refiere al cambio en la diferencia entre el precio de compra y el precio de venta de un activo. Fabozzi 11 define la liquidez en términos del sacrificio en precio que el inversionista está dispuesto a asumir cuando desea. 11. FABOZZI, Op. cit., p. 9.. 10.

(15) II-02(2)69. vender un activo inmediatamente. Cuando el activo tiene baja circulación el sacrificio es mayor y la iliquidez afecta de esta manera su precio.. El riesgo residual o específico se refiere a todos los demás riesgos. Tiene la propiedad de ser particular y no sistemático porque responde a las características únicas de cada activo.. El último riesgo merece una especial atención por ser, en particular, un riesgo no sistemático. Zenios12 dice que el riesgo no sistemático, que resulta de rentabilidades con correlación cercana a cero, puede ser reducido por diversificación. Pero la diversificación sólo lleva a promediar el riesgo para activos cuya rentabilidad está altamente correlacionada. Lo anterior sugiere que los inversionistas prefieren tener en sus portafolios activos distintos entre si, en el sentido en que estén expuestos a riesgos distintos y por lo tanto sus precios no se muevan de forma paralela.. Así, se puede entender el riesgo total de un activo como la suma de dos tipos de riesgo: el riesgo diversificable y el riesgo no diversificable. El primero incluye todos los factores de riesgo no sistemáticos que pueden ser reducidos o eliminados al tomar posiciones estratégicas en distintos activos. A ese respecto, Zenios. 12. ZENIOS, Op. cit., p. 9-11.. 11.

(16) II-02(2)69. demuestra que la mejor estrategia de cubrimiento de riesgo se derivaría de poder aislar los distintos factores de riesgo no sistemático de los activos y tomar posiciones en ellos13. Por otro lado, el riesgo no diversificable es una parte del riesgo al que están expuestos los activos que no es posible reducir por diversificación y está relacionada con factores que afectan a todo al mercado.. Lo anterior implica que el efecto de reducción de riesgo por diversificación tiene un límite más allá del cual los inversionistas deben ser recompensados con rentabilidad por el riesgo al que se exponen14. De acuerdo con el modelo de CAPM (Capital Asset Pricing Model), la rentabilidad esperada de un activo particular debe estar dada exclusivamente por su sensibilidad con respecto al mercado, otras fuentes de riesgo pueden ser reducidas por diversificación. Si Ri es la rentabilidad esperada del activo en cuestión, Rf la tasa libre de riesgo, Rm el retorno esperado del mercado y βi la sensibilidad del activo a los movimientos del mercado15, entonces tenemos que: R i = R f + βi ( R m − R f ). 13. Aunque esta sería la mejor estrategia, en la práctica es imposible de implementar porque los. activos están generalmente expuestos a combinaciones complejas de factores de riesgo. 14. Markowitz fue el primero en reconocer este límite en la reducción del riesgo (ver sec. 1.4). 15. Estrictamente. βi =. σim , donde m se refiere al índice del mercado, i al activo en cuestión y σ a σm2. las varianzas y covarianzas de los retornos correspondientes .. 12.

(17) II-02(2)69. Otros modelos como el APT (Arbitrage Pricing Theory) consideran la existencia de otros factores de riesgo, y el retorno esperado de los activos lo determina la suma de los precios de los factores ponderados por su exposición a ellos. De esta forma el equilibrio entre la oferta y demanda por los factores de riesgo determina el retorno esperado de los activos, por lo que la rentabilidad es mayor a medida que sean más sensibles a las componentes de riesgo no diversificable del mercado.. Aún cuando se halla valorado correctamente la rentabilidad esperada de los activos o portafolios utilizando estos u otros modelos, esta todavía será incierta y su incertidumbre representará un riesgo para el inversionista. Él estará naturalmente interesado en poder medir la cantidad de riesgo al que se está exponiendo cuando paga por un activo el precio que corresponde a la rentabilidad que espera de él. Pero se hace difícil medir el riesgo directamente a partir de sus factores; primero porque los factores de riesgo varían de un activo a otro según su naturaleza. Segundo, por la dificultad de medir la exposición a cada factor de riesgo de forma aislada y con una escala común.. Por esta razón, Harry M. Markowitz (1952) creyó conveniente utilizar una medida singular de riesgo que permitiera hacer análisis e inferencias con respecto a los portafolios y activos.. 1.4 HARRY M. MARKOWITZ 13.

(18) II-02(2)69. Harry M. Markowitz nació en Chicago en el año de 1927. Según él mismo relata en su autobiografía16, desde muy joven se interesó por la filosofía, en especial por los argumentos teóricos con respecto a la incertidumbre. Particularmente le atraía la idea de David Hume, que aunque soltemos una pelota mil veces y todas ellas caiga al suelo, no tenemos una prueba necesaria de que caiga al suelo la siguiente vez. Al terminar sus estudios básicos en la Universidad de Chicago, escogió estudiar Economía y su asombro por el desconocimiento del futuro lo llevó a interesarse en especial por lo que él denomina la “Economía de la incertidumbre”.. A la hora de decidir el tema de su tesis tuvo una conversación casual con comisionista de bolsa, quien le sugirió aplicar las matemáticas al mercado accionario. A su director de tesis, el profesor Marschak, le pareció razonable y Markowitz empezó un estudio profundo de la teoría financiera existente. Mientras leía la obra de John Burr Williams “The theory of Investment Value” vino a su mente la idea que revolucionó las finanzas, al punto de merecer el premio Nobel en 1990. Entre otras cosas, Williams pensaba que el precio de una acción era igual al valor presente de sus dividendos. Markowitz interpretó que, siendo que dichos flujos eran inciertos, el precio se determinaría por el valor presente de los. 16. MARKOWITZ, Harry M.. Foundations of portfolio theory, Les Prix Nobel 1990, 292 (Nobel. Foundation, Stockolm), 1991. 14.

(19) II-02(2)69. dividendos esperados futuros. Sin embargo, dice, si el inversionista sólo estuviera interesado en los valores esperados entonces maximizaría su beneficio al escoger sólo un tipo de acción para invertir. Los inversionistas no se comportaban ni deberían comportarse de esa manera; diversificaban porque estaban interesados en el riesgo de sus inversiones tanto como en su retorno. Al respecto de las afirmaciones de Markowitz, Rob Arnot17 dice que “El realmente rompió con el paradigma de la primera mitad del siglo [XX], donde la meta de la comunidad de inversionistas era encontrar la mejor inversión. Reconoció el poder de la diversificación y lo demostró matemáticamente” 18.. Era entonces necesario plantear una medida de riesgo. Markowitz pensó en la varianza de los retornos. Rubinstein19 dice que probablemente el primero en considerar la varianza como medida de riesgo financiero había sido Irving Fisher. El mismo Jacob Marshak, quien supervisó el trabajo de Markowitz, había utilizado la media y la matriz de covarianzas como medida de utilidad de primer orden, pero seguramente pensó que no estaba suficientemente relacionado con el tema que supervisaba.. 17. Socio de First Quadrant LP, Pasadena, Calif.. 18. Citado en: MARKOWITZ DEMONSTRATED Importance of Diversification. 1999, p. 34.. 19. RUBINSTEIN, Mark. Markowitz’s “Portfolio Selection”: A Fifty-Year Retrospective. En: The Journal. of Finance. Vol LVII, No. 3 (jun. 2002); p. 1042.. 15.

(20) II-02(2)69. Partiendo de la medida de riesgo que él propone, Markowitz demostró que la diversificación efectivamente reduce el riesgo del portafolio. Nuevamente, Rubinstein dice que él no fue el primero en pensar así, pues Williams creía que todo el riesgo podía ser diversificado: “Con una adecuada diversificación, las ganancias en tales inversiones contrarrestarán las pérdidas, y el retorno de la tasa de interés pura será obtenido. Entonces, el riesgo neto se convierte en nulo” 20. Lo que Markowitz aseguró fue que la diversificación correcta disminuye el riesgo sin reducir el retorno esperado, pero hizo un brillante aporte al afirmar que aunque la diversificación reduce el riesgo, ésta no lo elimina por completo. Por otra parte, probablemente lo más importante del trabajo de Markowitz fue su tesis sobre otro aspecto del riesgo de los activos: demuestra que no es el riesgo individual el que es importante para el inversionista, sino la contribución que haga el activo particular sobre el riesgo total del portafolio. La atención se centra entonces en el aporte marginal de cada activo, que está representado en su covarianza con todos los demás activos del portafolio.. La siguiente es una aproximación a la demostración que Markowitz planteó en su disertación sobre los puntos anteriores.. 20. WILLIAMS, John Burr. The Theory of Investment Value, citado por RUBINSTEIN, Mark.. Markowitz’s “Portfolio Selecion”: A Fifty-Year Retrospective. (2002) p. 1042. 16.

(21) II-02(2)69. 1.4.1 EL EFECTO DE LA DIVERSIFICACIÓN. Como se señaló anteriormente, la mayoría de los inversionistas no invierten toda su riqueza en un único activo, es decir, prefieren tener portafolios de activos que activos individuales. El efecto derivado de la diversificación de las inversiones se puede ver en un portafolio compuesto por dos activos A y B, con rentabilidad esperada RA y RB, varianza σA y σB y covarianza σAB. Si un inversionista invierte proporcionas XA y XB en los activos ( X A + X B = 1 ), entonces el valor esperado de la rentabilidad del portafolio es: RP = X A R A + X B RB La varianza del portafolio sería: σ P2 = X A2 σ 2A + X B2 σ B2 + 2 X A X B σ AB Un término particularmente interesante en la ecuación anterior es, 2 X A X B σ AB que puede ser también formulado como 2 X A X B σ A σ B ρ AB , donde el término ρAB es el coeficiente de correlación entre los dos activos, y pertenece al intervalo [-1,1]. Para el caso en que A y B están perfectamente correlacionados de forma positiva ( ρ = 1) , se tiene que: σ P2 = X A2 σ 2A + X B2 σB2 + 2 X A X B σ Aσ B = ( X A σ A + X B σ B ) 2 Por lo tanto, la desviación estándar de la rentabilidad del portafolio es un promedio ponderado de las desviaciones individuales de los activos. Pero a medida que la 17.

(22) II-02(2)69. correlación se hace menor, la varianza de portafolio disminuye, hasta el punto en que los activos, estando perfectamente correlacionados de forma negativa ( ρ = −1) , podrían formar un portafolio libre de riesgo21. El anterior análisis puede extenderse a portafolios con un número mayor de activos riesgosos. Puede demostrarse que la varianza de la rentabilidad de un portafolio de N activos en que la proporción invertida en cada activo es igual y equivalente a. σ P2 =. 1 está dada por: N. 1 2 N −1 σP + σ jk , donde σ 2j y σ jk son la varianza y covarianza promedio de N N. los activos del portafolio. Nótese que si N → ∞ ⇒ σ P2 → σ jk ; lo que implica que para un número grande de activos es la estructura de covarianzas entre los activos la que determina la volatilidad del portafolio22. Este hecho justifica que se le de suficiente atención a escoger eficientemente los activos del portafolio, de tal forma que la correlación entre ellos sea la más adecuada.. 1.4.2 DEBATES CON RESPECTO A LA MEDIDA DE RIESGO DE MARKOWITZ. 21. Lo que no significa, como afirma Markowitz (1991), que en la práctica sea posible eliminar. completamente la volatilidad. 22. Se refiere a la afirmación de Markowitz sobre la relevancia del aporte marginal al riesgo (sec.. 1.4). 18.

(23) II-02(2)69. Se ha demostrado que es posible disminuir la volatilidad en la rentabilidad del portafolio vía diversificación. Sin embargo, los inversionistas no necesariamente están interesados en la volatilidad de los retornos, sino en el riesgo que les representa tomar ciertas posiciones en los activos. El hecho de que el riesgo pueda ser adecuadamente medido por la volatilidad es un tema de debate considerable23, teniendo como primer defensor de la anterior tesis a Harry Markowitz. La intuición detrás de la conveniencia de la utilización de una medida de volatilidad de los retornos como indicador de riesgo está íntimamente ligada con la naturaleza de los precios en el mercado. La eficiencia de los mercados implica que los precios de los activos reflejan toda la información existente sobre los factores de riesgo a los que están expuestos 24. Dichos factores están valorados en el mercado de tal forma que los inversionistas obtengan un justo retorno sobre sus activos. Sin embargo, la rentabilidad de equilibrio de los activos cambia en el tiempo por la presencia de riesgo sistemático, por la aparición de nueva información que cambia las perspectivas de valoración de los inversionistas y por la ineficiencia de los mercados, entre otros.. La disminución en el valor de mercado de sus inversiones representa una pérdida para un inversionista que ha pagado por ellas un precio acorde con la rentabilidad. 23. HOW MUCH risk are you taking?. En: Dow Theory Forecasts. Vol. 57, No. 7 (feb. 2001); p. 4.. 24. FABOZZI, Op. cit., p. 250. 19.

(24) II-02(2)69. que esperaba. Así, la variación histórica en la rentabilidad de su portafolio es un reflejo del riesgo al que se enfrenta. Aún aceptando esto, no es claro para algunos que la volatilidad en estos indicadores sea una preocupación necesaria para los inversionistas. Buffett 25 asegura que siempre que el inversionista esté seguro de no estar comprando una acción por un precio mayor al justo no debería temerle a la volatilidad. El riesgo, dice, se origina de pagar demasiado por sus inversiones. Pensar como Buffett sería tener una confianza superior en sí mismo, lo que es prácticamente imposible para agentes de un mercado eficiente. Si fuera factible reconocer a simple vista las acciones sobrevaloradas habría muchos agentes que lo harían y su precio bajaría de forma casi instantánea.. Otros piensan que un. inversionista que planee mantener su portafolio por un tiempo suficientemente prolongado tampoco debería preocuparse mucho por la volatilidad del mismo, pues en el largo plazo disminuye la probabilidad de que el retorno de su portafolio caiga por debajo del retorno requerido. Si ciegamente creemos en este argumento, dice Rubinstein26, estaríamos en el mismo error de otros autores que cayeron seducidos por la ley de los grandes números de Jacob Bernoulli (1713). Con esto estaríamos argumentando que en el largo plazo el retorno obtenido del portafolio está muy cercano al retorno esperado y cualquier desviación alrededor de dicho retorno necesariamente será eventualmente contrarrestada por un movimiento contrario.. 25. Chairman de Berkshire Hathaway, citado en: How much risk are you taking?. Op. cit., p. 4.. 26. RUBINSTEIN, Op. cit., p. 1042.. 20.

(25) II-02(2)69. El principio de reversión a la media es aquí un caso particular de la falacia del jugador (gambler’s falacy), según la cual si una ruleta cae repetidamente en negro es más probable que la siguiente vez caiga en rojo. Nada más falso en ese caso, pero también en el movimiento accionario.. Si. fuera. posible. concluir. que. un. precio. históricamente. alto. refleja. la. sobrevaloración del activo y un precio bajo la subvaloración, el mercado actuaría al respecto y dichos errores en la valoración se corregirían de inmediato. Sin embargo, algunas acciones se convierten en una mejor inversión cuando su precio cae, mientras para otras la caída en el precio responde a que el valor de la compañía se está deteriorando27. Las razones por las que las acciones ganan o pierden valor son inherentemente inciertas, por lo que el cambio en los precios y en la rentabilidad son evidentemente un reflejo de la incertidumbre generada por el riesgo de los activos.. Por esto, el movimiento de los precios de las acciones usualmente se ha modelado como un proceso de Markov. Este es un tipo particular de proceso estocástico, donde, según Hull, “Únicamente el valor actual de la variable es relevante para predecir el futuro. El pasado histrórico de la variable y el camino por donde el. 27. HOW MUCH risk are you taking?, Op. cit., p. 4.. 21.

(26) II-02(2)69. presente ha surgido son irrelevantes” 28. Hull aclara que el énfasis se hace en que se ha demostrado que el sendero particular por el que la acción llega a determinado precio no es importante, pero que la volatilidad con la que esto ha ocurrido se toma como una información estadística para hacer predicciones.. En particular, es común aceptar que el precio de las acciones puede ser modelado como un Movimiento Browniano Geométrico, tal que si S es el precio actual de la ación, µ es el retorno esperado por unidad de tiempo y σ la volatilidad del precio, entonces: ∆S = µ∆t + σ ∈ ∆t S. 29. Donde ∈ es un ensayo aleatorio de una distribución normal estándar. Nótese que en el modelaje del comportamiento de la rentabilidad se utiliza el factor de volatilidad σ como parte del componente aleatorio. Entonces, no se puede argumentar que la volatilidad sólo importa en el muy corto plazo porque ella determina la caminata aleatoria que sigan los precios desde el comienzo de la serie temporal.. 28. HULL, John C. Options, Futures and Other Derivatives. 4th ed. New Jersey: Prentice Hall, 2000. p.. 218. 29. Ibid., p. 226.. 22.

(27) II-02(2)69. Otro punto a considerar con relación a la caracterización del riesgo es si la varianza como medida de volatilidad define al riesgo completamente. Hemos visto que los retornos son aleatorios y es posible construir una función de probabilidad que los modele, pero no siempre son suficientes los parámetros µ y σ para determinar completamente su distribución. Algunas distribuciones necesitan parámetros tanto de escala como de forma, como es el caso de las distribuciones Gamma o Beta. De otro lado, el riesgo tiene naturaleza asimétrica con respecto a la volatilidad, en el sentido en que los inversionistas en la práctica consideran perjudicial una rentabilidad inferior a la esperada, pero no una superior30. Por esto si los retornos se. distribuyen. asimétricamente. la. varianza,. considerada. individualmente,. proporcionaría una información dudosa o incompleta sobre el riesgo. Habría entonces que tener en cuenta momentos de órdenes superiores como el sesgo y la kurtosis. Pero si los retornos resultan simétricos, se sigue que la parte de la volatilidad en la que el inversionista está interesado es un múltiplo de la varianza, entonces es válido utilizar la varianza pura como medida de riesgo. El problema anterior usualmente se ha resuelto considerando que los retornos de los activos son normales y por lo tanto el retorno de un portafolio compuesto por ellos también los es. Aún si no lo son individualmente, se ve en la práctica que los. 30. Por esta consideración se ha propuesto el uso de la semi-varianza en lugar de la varianza (ver. sec. 2.1.3). 23.

(28) II-02(2)69. retornos. de. portafolios. bien. diversificados. exhiben. un. comportamiento. aproximadamente normal.. Adicionalmente hemos argumentado, al exponer la teoría de la utilidad, que los inversionistas no estarían interesados en considerar directamente los valores obtenidos de sus inversiones, sino la utilidad de dichos resultados. Esto llevaría a la necesidad de transformar la función de probabilidad a ser considerada, pudiendo resultar en una estructura no simétrica y con parámetros bastante distintos a los del retorno puro. Se puede demostrar que si la función de utilidad es cuadrática entonces el análisis de media y varianza es óptimo31. Sin embargo, para delinear la frontera eficiente es suficiente con realizar un correcto ordenamiento de las opciones, para lo que basta con considerar que el decisor sea averso al riesgo. Así, es posible afirmar que él prefiere menos a más varianza y que prefiere más a menos retorno esperado, como dijimos antes, y de esta manera el ordenamiento de opciones de composición de portafolio resulta siendo correcto.. Con respecto a estos temas, en el presente proyecto se considerará que el decisor será averso al riesgo y que los retornos de los portafolios se distribuyen normalmente. En algunos casos se harán las pruebas pertinentes para validar. 31. ELTON, Op. cit., p. 220.. 24.

(29) II-02(2)69. dichas hipótesis y de todas maneras estas consideraciones serán tenidas en cuenta en el análisis de resultados.. Finalmente, se utilizará medidas de riesgo basadas en la volatilidad de los retornos, no sin antes advertir que la controversia acerca de su perfecta conveniencia sigue en curso. Por ahora nos basta con reconocer que hay muy buenas razones para pensar que la volatilidad y el riesgo están en efecto relacionados. Como Peter Bernstein32 lo expresa, “La volatilidad de los precios de acciones y bonos es evidencia de la frecuencia con que lo esperado no ocurre y los inversionistas resultan estar equivocados. La volatilidad es un sustituto de la incertidumbre”.. 32. BERNSTEIN, Peter. Against the Gods. 1996. citado en HOW MUCH RISK are you taking? Op. cit.,. p. 4.. 25.

(30) II-02(2)69. 2. FORMULACIÓN GENERAL DEL PROBLEMA DE LA OPTIMIZACIÓN DE PORTAFOLIOS. Los métodos de optimización de portafolios buscan utilizar las técnicas disponibles en el campo de la optimización con el fin de lograr su mejor composición. Es decir, intentan encontrar el porcentaje óptimo a ser invertido en cada uno de los activos entre un conjunto de inversiones posibles de tal manera que la composición final sea la más favorable en términos de eficiencia. Veremos que finalmente lo que se obtiene es un conjunto de portafolios que delinean la frontera eficiente.. Se ha observado que la diversificación reduce el riesgo residual. Una de las formas por medio de las cuales se podría reducir dicho riesgo sería asegurar que se tomaran posiciones en una cantidad considerable de activos y que por lo tanto el portafolio esté diversificado, pero una aproximación más formal al problema exige que se utilicen otros métodos. Zenios33 dice que una forma sistemática de tratar al riesgo residual es considerar que puede ser correctamente representado por una función de únicamente la media y la varianza de los retornos. Supongamos que las preferencias del inversionista pueden ser representadas por una función de utilidad sobre la media y la varianza de los retornos que favorezca a portafolios con mayor. 33. ZENIOS et al., Op. cit., p 27.. 26.

(31) II-02(2)69. retorno y menor varianza. Los portafolios óptimos para ese inversionista son aquellos que alcanzan el mayor retorno esperado a un nivel de varianza y el menor nivel de varianza a un retorno dado.. El modelo de optimización de portafolios en su forma más general es: min R(x) st . x ' µ = µp. max x ' µ st . R(x) = σ p. x'e = 1 xi ≥ 0, ∀ i ∈ [1, N ]. x'e = 1 x i ≥ 0, ∀i ∈ [1, N ]. Donde R(x) es una medida de riesgo del portafolio, x es el vector de pesos de cada uno de los activos considerados dentro del portafolio, µ es el vector de retornos esperados, e es un vector de unos, µp es el retorno mínimo requerido en el portafolio y σp es el riego máximo aceptado para el portafolio.. 2.1 MEDIDAS DE RIESGO. En la formulación anterior se ha presentado una medida arbitraria de riesgo R(x). En realidad las formulaciones del problema que se han desarrollado utilizan medidas distintas de riesgo, dependiendo de las cuales la solución del problema tendrá características particulares.. 2.1.1 MEDIDA ORIGINAL DE MARKOWITZ 27.

(32) II-02(2)69. En su disertación inicial, Markowitz (1952) utilizó la varianza de los retornos como medida de riesgo. Si V es la matriz de covarianzas de los retornos, la varianza se puede expresar así: R( x) = x 'Vx Aunque muy útil desde el punto de vista académico, esta medida original de riesgo presenta diversas complicaciones. Para cuando Markowitz expandió su disertación en el libro “Portfolio Selection”, él mismo se había dado cuenta que había un gran obstáculo para implementar su tesis: la creación de un portafolio eficiente de un número grande de activos requería un número enorme de cálculos34. La complejidad del problema se debía principalmente a la necesidad de calcular la matriz de covarianzas de los retornos y de utilizar algoritmos de optimización no lineal, que en general requieren un número mayor de operaciones35. Otras medidas probaron ser más eficientes y convenientes en la práctica.. 2.1.2 DESVIACIÓN ABSOLUTA DE LA MEDIA. 34. MARKOWITZ DEMONSTRATED the importance of diversification. Op. cit., p. 2.. 35. Los algoritmos no lineales, como el método Lagrangiano, también pueden llegar a soluciones no. óptimas.. 28.

(33) II-02(2)69. Varios investigadores, incluidos Konno y Yamazaki (1991)36 propusieron sustituir la desviación cuadrática de la media por la desviación absoluta. La medida de riesgo propuesta por ellos es: R( x) =. 1 ∑j T. ∑ (r. ij. − µi ) xi. i. Donde rij es la rentabilidad del activo i en el período j, µi es la rentabilidad esperada del activo i, y T es el número de períodos. La principal ventaja de esta medida de riesgo es la solución del problema de la no-linealidad de la función objetivo. Los autores proponen la adición de dos restricciones lineales por período y la transformación de la función objetivo de esta manera: min. 1 ∑ yj T j. st . y j ≥ −∑ ( rij − µi ) x i i. y j ≥ ∑ (rij − µi ) xi i. Donde yj son variables auxiliares que se utilizan para formular la función de valor absoluto original. La anterior formulación implica la no-lineal de la desviación absoluta de la media, y tiene las ventajas derivadas de la linealidad del programa. Esto significa que no es necesario calcular la matriz de covarianzas y el número de variables positivas es menor o igual al número de restricciones. Esta es una. 36. KONNO, H y YAMAZAKI, H. Mean-absolute deviation portfolio optimization and its applications to. Tokio stock market. En: Management Science. Vol. 37, No. 5.. 29.

(34) II-02(2)69. característica importante, ya que facilita la labor de conformación del portafolio por parte de los administradores, quienes prefieren limitar el número de activos a invertir para facilitar el manejo de sus portafolios. Las desventajas de esta formulación tienen que ver con el aumento en el número de variables del problema y la alta sensibilidad de los resultados ante un cambio en el número de períodos que se consideren para los datos.. 2.1.3 SEMI VARIANZA. Considerando que los inversionistas están más interesados en medir la variación negativa de la rentabilidad con respecto a la media, Markowitz, entre otros, sugiere que se utilice la semi varianza, definida como: R( x) =. 1 ∑ max[∑i (µi − rij ) xi ,0] T j. Una formulación similar a la anterior la encontramos en el trabajo de Lucas (1998), quien abre la posibilidad para que el inversionista sugiera un nivel de rentabilidad de desastre d*, y la medida de riesgo está definida debajo de dicho nivel: R( x) =. 1 ∑ max[∑i (d * −rij )xi ,0] T j. 30.

(35) II-02(2)69. Desgraciadamente la semi varianza puede tener características indeseables bajo ciertas circunstancias37, entre las que se cuentan las dificultades computacionales. Además, siempre que la distribución de probabilidad de los retornos sea simétrica no hay razón para utilizar una medida que distinga entre los cambios por encima o por debajo de la media, como antes señalábamos.. El concepto de nivel de desastre si tuvo un impacto importante sobre el tema de la optimización de portafolios. Mientras Markowitz dejaba al inversionista la decisión de escoger dónde se quería ubicar a lo largo de la frontera eficiente, Roy (1952) sugería que el inversionista escogiera un único portafolio sobre la frontera eficiente que maximizara ( µ p − d *) σ 2p . Unos años después, comparando el artículo de Roy con es suyo, Markowitz dijo “Con base en Markowitz (1952), yo soy frecuentemente llamado el padre de la teoría moderna de portafolio, pero Roy puede reclamar una parte equivalente en ese honor”38.. 2.1.4 OTRAS MEDIDAS DE RIESGO. 37. OGRYCZAC Y RUSZCZYNSKY, citado en MULVEY, John M. Introduction to financial optimization:. Mathematical Programming Special Issue. En: Springer – Verlag. (dic. 2000); p. 207 38. MARKOWITZ, Harry. The Early history of portfolio theory: 1600-1960. Financial Analysts Journal.. No. 55 (1999); p. 5-16. Citado por: RUBINSTEIN, Op. cit., p. 1043.. 31.

(36) II-02(2)69. Otras medidas de riesgo fueron sugeridas por Markowitz y otros, como el valor esperado de la pérdida, la probabilidad de pérdida y la pérdida máxima. Markowitz sugiere también que se utilice la estrategia de maximización del valor esperado logarítmico del retorno39. También se han realizado trabajos importantes alrededor de. la. utilización. del. valor. en. riesgo. condicional. (cVaR),. definido. por. cVaR = E[r ' x r ' x ≤ α] . Se puede demostrar que la siguiente formulación maximiza el cVaR: min − βα + ∑ j p j z j st . z j ≥ α− r j'x zj ≥ 0 Donde α = VaR( β) ≡ min tq' p{r ' x ≤ α} ≥ β , y β es el nivel de confianza 40. Las α. variables zj se utilizan para implicar (α-rj’)+ y pj es la probabilidad de obtener el valor rj. Aún cuando la formulación de riesgo a través del cVaR tiene las ventajas que se derivan de la linealidad, Mulvey 41 advierte que la medida del VaR puede llevar a programas no convexos debido a la naturaleza del cálculo de los cuantiles.. 2.2 FORMULACIONES. 39. RUBINSTEIN, Op. Cit., p. 1043.. 40. Hull (1999) define el VaR intuitivamente como: Estamos (1-β ) confiados en que no vamos a. perder más de α dólares en los próximos N días.. 32.

(37) II-02(2)69. Así como se han desarrollado programas con medidas de riesgo diversas, también se han considerado formulaciones distintas a la presentada como formulación general.. 2.2.1 MINIMIZACIÓN DE VARIANZA. Se pueden identificar varias formulaciones de minimización de varianza, sujeto a restricciones de retorno mínimo esperado. El modelo más simple está dado por: min x 'Vx st µ' x = µ p x'e = 1 Zenios42 señala que el modelo anterior puede ser resuelto analíticamente usando las condiciones de optimalidad de primer orden para dar un portafolio óptimo así: x* = Φ 'V −1 e + ω'V −1 µ Donde e es un vector de unos, µ es el vector de retornos esperados, Φ y ω son los multiplicadores de Lagrange asociados con las restricciones.. 41. MULVEY, Op. cit., p. 208.. 42. ZENIOS, Op. cit., p. 28.. 33.

(38) II-02(2)69. 2.2.2 MAXIMIZACIÓN DEL RETORNO ESPERADO. Fernando43 presenta la formulación básica de maximización del retorno esperado sujeto a una restricción de máxima varianza aceptada así (se omitirán ahora la restricción x’e=1): max µ' x st x 'Vx = σ p Sin embargo, Zenios44 señala que la anterior formulación resulta en una restricción no lineal que presenta complicaciones en la solución del problema y por esta razón sugiere la utilización del siguiente modelo, que ha sido usado ampliamente en la práctica: min. x 'Vx − λµ' x. El parámetro λ es utilizado como un componente de compromiso entre varianza y retorno esperado. Es, finalmente, un coeficiente que muestra la actitud ante el riesgo por parte del inversionista, razón por la cual Fernando presenta el modelo anterior como “Maximización del retorno esperado con aversión al riesgo”45 y. 43. FERNANDO, K V. Practical Portfolio Optimization. NAG Ltd. p. 6.. 44. ZENIOS, Op. cit., p. 29.. 45. FERNANDO, Op. cit. p. 6.. 34.

(39) II-02(2)69. frecuentemente es fijado de acuerdo con la tolerancia al riesgo, de acuerdo con el CAPM46.. 2.2.3 OTRAS FORMULACIONES. Existen también otras formulaciones que han probado tener mayor eficiencia y mejor desempeño computacional. Por ejemplo, la minimización de la varianza sujeto a restricciones lineales 47 y la maximización del retorno sujeta a restricciones lineales. Otro caso bastante aplicado es la optimización con respecto a un índice de referencia, que puede ser formulado así: min ( x − x b )'V ( x − x b ) st . µ' ( x − x b ) = µp Donde xb denota la composición del portafolio de referencia o índice. En otras ocasiones se hace énfasis en medir variación de los retornos del portafolio con respecto a un punto de referencia, en lugar de considerar la variación total de la rentabilidad del portafolio. Otra formulación para el problema parte del resultado según el cual cuando se permiten los préstamos libres de riesgo todos los inversionistas tendrán. λ = ( rm − r f ) σm2 (sec. 3.1).. 46. En el modelo de Black y Litterman se utiliza. 47. Como restricciones lineales nos referimos a restricciones diferentes a retorno mínimo requerido.. 35.

(40) II-02(2)69. combinaciones entre activos libres de riesgo y un único portafolio. Así, existe una línea que une al activo con el portafolio sobre el plano de rentabilidad vs. riesgo y el mejor portafolio será aquel que maximice su pendiente48. La formulación se puede expresar así: max. Rp − Rf σp. Donde Rp es la rentabilidad del portafolio, Rf la tasa libre de riesgo y σp la varianza del portafolio. El anterior es un problema simple de maximización no lineal que puede ser resuelto por métodos analíticos49. Presenta en general los mismos inconvenientes y características del problema clásico de minimización de varianza.. 2.3 RESTRICCIONES. Una de las mayores ventajas de utilizar una formulación lineal es la facilidad para formular restricciones que satisfagan las necesidades particulares de los inversionistas. Por ejemplo, se puede controlar el riesgo de sector agrupando los activos y estableciendo un límite bs para la exposición a cada uno de los sectores. Supongamos. que. 48. ELTON, Op. Cit., p. 88.. 49. Ibid., p. 98.. las. compañías. uno. 36. al. nueve. son. del. sector. de.

(41) II-02(2)69. telecomunicaciones. Si el inversionista no quiere tener una exposición al sector mayor al veinte por ciento de su portafolio, puede agregar la siguiente restricción: x1 + x 2 ... + x 9 ≤ 0.2 Si se quisiera restringir el excesivo rebalanceo del portafolio se podrían agregar restricciones de la forma h ( x, x 0 ) ≤ h , donde x 0 es la composición actual del portafolio y se quiere que el cambio en la composición esté limitada por h . La función h ( x , x 0 ) puede construirse de tal forma que penalice la recomposición del portafolio según el gusto del inversionista y los costos de transacción. Otras restricciones adicionales se pueden agregar para eliminar las pequeñas transacciones. Se busca que los instrumentos no sean transados o se transen en un rango especificado de cantidad. Este tipo de restricciones se pueden expresar utilizando variables enteras de la siguiente forma: u i yi ≤ xi − xi0 ≤ u i yi l i z i ≤ xi − xi0 ≤ l i z i y, z ∈ {0,1} Con esta formulación se asegura que bien se aumente el porcentaje en el activo i en un valor contenido en (u i , ui ) , o que se disminuya el porcentaje en un valor contenido en. (l , l ). i. i. Las anteriores restricciones son las más comúnmente. utilizadas, pero el campo está abierto para que otro tipo de restricciones lineales se puedan agregar sin agregar dificultad especial.. 37.

(42) II-02(2)69. 2.4 CRÍTICA A LOS MODELOS DE MEDIA Y VARIANZA (MV) PARA LA OPTIMIZACIÓN DE PORTAFOLIOS. Los modelos de optimización basados en la media y la varianza, como fueron inicialmente propuestos, han sido fuertemente criticados y no son muy utilizados en la práctica. Michard 50 hace un intento por desglosar las razones por las que esto ocurre. Aparentemente existen razones simples para no utilizar los métodos de MV, como las demandas conceptuales que estos modelos imponen a los administradores de portafolios y los cambios significativos que requerirían ciertas organizaciones para implementarlos. Una herramienta como ésta puede alterar la credibilidad y jerarquía de los comités de inversión, y en algunos casos sus resultados serán contraintuitivos para sus miembros. Sin embargo, si los optimizadores. fueran. una. herramienta. efectiva. de. agregación. de. valor. eventualmente romperían con los esquemas necesarios y serían incorporados en la organización. ¿Entonces, por qué son rechazados?. Michard piensa que hay otras limitaciones inherentes a los optimizadores de MV:. 50. MICHARD, Richard O. The Markowitz Optimization Enigma: Is ‘Optimized’ Optimal? En: Financial. Analysis Journal. (Ene-Feb 1989); p. 31-40. 38.

(43) II-02(2)69. Maximización del error. Los optimizadores MV son maximizadores del error en las estimaciones. Una consecuencia práctica de este hecho es que cualquier error en las características estadísticas de los portafolios óptimos genera comportamientos sesgados en dichos portafolios.. Buenos y malos estimadores. Se argumenta que el procedimiento de estimación usual, donde se reemplazan los retornos esperados por la media de los retornos, generalmente no es óptimo. Intuitivamente, las medias muestrales no son óptimas porque ignoran el carácter multivariado de los retornos51, por lo que podrían ser mejores otras técnicas estadísticas para predecir los retornos esperados futuros.. Factores faltantes. La optimización MV ignora la existencia de factores financieros relevantes. Por ejemplo, la liquidez o el porcentaje de capitalización de mercado de determinada compañía en el portafolio. Si este porcentaje es suficientemente alto, el precio es altamente sensible a cambios en la composición del portafolio, lo que generalmente no es tenido en cuenta.. Niveles de información desigual. Para los modelos de optimización todos los datos de entrada son considerados igualmente confiables. En la práctica si existen. 51. Es ese carácter multivariado al que apunta la teoría de APT para el modelaje de las. rentabilidades (Ver sec. 1.3). 39.

(44) II-02(2)69. niveles distintos de incertidumbre sobre los datos del problema, lo que lleva a que por ejemplo, en unos casos una misma diferencia entre medias sea estadísticamente significativa y en otros no.. Soluciones óptimas inestables. En algunas situaciones un cambio relativamente pequeño en los datos de entrada ocasiona grandes disturbios en la solución óptima. Una de las razones para este comportamiento, como se ha dicho anteriormente, es la necesidad que tienen los métodos MV de construir una matriz de covarianzas que fácilmente resulta siendo errónea.. No-singularidad. Los optimizadores producen generalmente una única solución óptima para cada nivel de riesgo. Esa singularidad es sin embargo aparente y ambigua, pues no toma en cuenta la existencia de errores estadísticos en las estimaciones. Entonces, para cada portafolio resultante de la optimización existe un conjunto infinito de puntos vecinos a éste que son estadísticamente equivalentes.. Aunque no todos los interrogantes alrededor de los temas anteriores han sido resueltos, los investigadores se han enfrentado decididamente a algunos de los problemas expuestos. En el siguiente capítulo se expondrá con detalle un modelo reciente que resuelve algunos de los inconvenientes de los modelos MV y que además de ser ampliamente utilizado, promete ser un tema interesante de 40.

(45) II-02(2)69. discusión en virtud del tratamiento que le da al conocimiento del mercado por parte de inversionistas expertos.. 41.

(46) II-02(2)69. 3. EL MODELO DE BLACK-LITTERMAN PARA LA COMPOSICIÓN DE PORTAFOLIOS GLOBALES. Como se ha señalado, la formulación original de Markowitz del problema de la composición del portafolio óptimo fue de gran utilidad, en especial desde un punto de vista académico. He y Litterman 52 opinan que habiendo formado los fundamentos de la teoría de portafolios y prevalecido por cerca de medio siglo desde su formulación, el modelo de Markowitz ha cumplido su cometido en el mundo académico. Pero agregan que en el mundo de la administración de inversión dicha aproximación tiene un impacto sorpresivamente pequeño. ¿Por qué razón se ha dado este fenómeno?. Primero, los inversionistas53 tienden a pensar en segmentos reducidos del universo potencial de inversiones, tomando posiciones en algunos activos en los que ellos creen que vale la pena arriesgarse porque piensan que podrían estar subvaluados, tener tendencia al alza o ser especialmente valiosos. Pero de una forma poco realista, dice He, el modelo MV requiere que se especifiquen los retornos. 52. HE, Guangliang y LITTERMAN, Robert. The Intuition Behind the Black-Litterman Model Portfolios.. Goldman, Sachs & Co., Investment Management Research, 1999. p. 2 53. Se hablará indistintamente de inversionistas y administradores de portafolios de inversión como. los agentes decisores en el proceso de conformación de portafolios.. 42.

(47) II-02(2)69. esperados exactos para cada uno de los activos del universo de inversión. Segundo, los inversionistas piensan más en términos de los pesos que cada tipo de activo tiene en sus portafolios que en el balance particular de retorno esperado y varianza que dicho portafolio contenga. En efecto, los resultados obtenidos por los optimizadores tradicionales aparecen muy eficientes desde el punto de vista de la media y la varianza del portafolio, pero los pesos de cada activo dentro del mismo tienden a aparecer “Extremos y no particularmente intuitivos” 54. Cuando no se imponen restricciones casi siempre se obtienen posiciones exageradamente largas o cortas55. Si se agregan constantes que impiden tomar posiciones cortas en los activos, se obtienen posiciones de frontera con pesos iguales a cero en muchos activos y pesos irracionalmente altos en otros activos con bajas capitalizaciones en el mercado56.. Estos resultados contraintuitivos e irracionales se derivan, dice Black, de dos problemas bastante reconocidos. Primero, los retornos esperados son muy difíciles de calcular, pues los inversionistas tienen información confiable acerca de la. 54 55. Ibid., p. 3 Se utilizan los términos “posición larga” y “posición corta” para denotar la posición de estar. vendiendo o comprando un activo particular (siguiendo el término inglés short position y long position). 56. BLACK, Fischer y LITTERMAN, Robert. Global Portfolio Optimization. En: Financial Analists. Journal. (sept-oct 1992) p. 28. 43.

(48) II-02(2)69. rentabilidad de muy pocos activos. En el modelo tradicional se propone utilizar la información histórica de los retornos como única fuente para construir los retornos esperados de cada uno de los componentes del conjunto de inversiones posibles, y sin embargo las rentabilidades históricas constituyen una guía muy pobre para los retornos esperados futuros. Un segundo problema bastante documentado es la altísima sensibilidad de los pesos obtenidos con respecto a los datos de entrada57. He58 demuestra el comportamiento inestable de los pesos del portafolio usando optimizadores MV y afirma que un pequeño cambio en los retornos esperados de unos pocos activos causa un cambio sustancial en sus porcentajes dentro del portafolio óptimo. Para los administradores de portafolios de inversión esta es una característica indeseable, porque la escogencia de la periodicidad de los datos históricos y el horizonte de tiempo a considerar se convierte en una decisión fundamental y altamente subjetiva. Los resultados de la optimización al tomar una semana más o una semana menos de datos pueden ser composiciones bastante distintas entre sí. El problema se agudiza al darse cuenta que después de componer el portafolio aparece nueva información de precios que sugiere una distribución de los recursos a través de los activos que es radicalmente diferente a la obtenida en un principio.. 57. IDZOREK, Thomas. A Step-By-Step Guide to the Black-Litterman Model. (feb. 2002) p. 1. 58. HE, Op. cit., p. 3. 44.

(49) II-02(2)69. La presencia de estos inconvenientes motivaron a Fisher Black y Robert Litterman de Goldman Sacks a desarrollar una nueva aproximación a la composición de portafolios de activos. La clave, dicen, es “Combinar dos pilares de la teoría moderna de portafolios- el modelo de optimización MV de Markowitz y el modelo CAPM de Sharpe y Lintner”59. Intuitivamente, el modelo propuesto por ellos combina la propuesta de un punto de referencia neutral que refleja el equilibrio del mercado con la incorporación de las visiones de los inversionistas de una manera conveniente, de tal forma que se parte de resultados inicialmente coherentes con el mercado para llegar a otros satisfactorios para los inversionistas. Los elementos y herramientas mediante los cuales se llega a estos resultados serán expuestos adelante.. Por otro lado, dentro de la comunidad de inversionistas ha crecido la preocupación sobre el dilema entre optar por una administración activa o pasiva de sus portafolios. Para ellos no es claro si es mejor confiar su capital a fondos en que los administradores toman un papel activo en la recomposición de los portafolios o ubicarlo en fondos de administración pasiva. El hecho es que los inversionistas están cada vez más orientados hacia un esquema de inversión pasiva, en el que los administradores desarrollan estrategias para escoger posiciones estratégicas a. 59. BLACK, Op. cit., p. 28. 45.

(50) II-02(2)69. largo plazo y componen fondos índice60. Esta tendencia está sustentada por la desconfianza en el comportamiento de los fondos activos, de los cuales sólo el 30% ha podido superar al índice del mercado61. Algunas de las razones claves por las que se ha dificultado que los fondos de administración activa puedan superar al índice son la exigencia de conservar un porcentaje efectivo permanentemente y la incapacidad práctica para invertir en el índice de referencia. El hecho de que los fondos de inversión tengan la obligación legal de conservar una porción de su capital en efectivo, usualmente relacionado con su valor en riesgo (VaR), hace que su capacidad para obtener una rentabilidad superior se vea limitada. Por otro lado, los administradores argumentan que algunas compañías del índice de mercado tienen un porcentaje tan alto de la capitalización, que el índice en sí mismo es imposible de poseer. La realidad es que aunque lo anterior puede ser influyente, no explica en su totalidad la incapacidad de los fondos administrados por inversionistas expertos para superar al mercado.. 60. Como fondos índice nos referimos a portafolios construidos con la finalidad de asemejarse por. medio de un número limitado de posiciones, al comportamiento de un índice que se toma como punto de referencia (benchmark index). 61. URBANI, Peter. A compromise of active and passive management. En: Bussines Day. (jul 9. 2002), publicado en línea en: http://www.netassets.com p. 1. 46.

(51) II-02(2)69. Dice Urbani62 que el modelo Black-Litterman puede crear un compromiso clave entre la administración pasiva y la administración activa de portafolios. Se diferencia de la filosofía de administración pasiva en que cambia la premisa de “el mercado siempre está correcto” por “el mercado está casi siempre correcto”, en cuyo caso el inversionista toma un papel activo en la escogencia de posiciones en los activos en los que piensa que el mercado se equivoca. Entonces el inversionista intenta. tomar. las. posiciones. de. equilibrio. del. mercado. distorsionadas. cuidadosamente por sus visiones específicas sobre el comportamiento futuro de algunos o todos los activos en consideración.. Resumiendo, en palabras de Izdorek, “El objetivo del modelo de Black-Litterman es crear portafolios estables y eficientes en media y varianza, basado en las opiniones únicas de un inversionista, que resuelve el problema de la sensibilidad a los datos de entrada (...), [y que] también mitiga considerablemente el problema de la maximización del error de estimación difuminando los errores a lo largo del vector de retornos esperados” 63.. 3.1 RENTABILIDADES DE EQUILIBRIO. 62. Ibid., p. 2. 63. IDZOREK, Op. cit., p. 1. 47.

(52) II-02(2)69. Un punto de partida fundamental del modelo son las rentabilidades de equilibrio. Explícitamente Black y Litterman 64 definen el equilibrio como la “Condición en la que las medias equilibran la demanda por activos con la oferta correspondiente” y proponen partir de la versión global del CAPM propuesta Black para crear un escenario neutral inicial. Las primas de riesgo de equilibrio proporcionan entonces un centro de gravedad para las rentabilidades esperadas.. El uso del equilibrio, dicen, permite que los inversionistas puedan expresar sus visiones sobre el mercado de una forma mucho más poderosa que utilizando otras aproximaciones. Por ejemplo, He65 observa que al expresar visiones del mercado en un esquema de optimización tradicional mediante la variación deliberada de las rentabilidades esperadas, los resultados se distorsionan de una forma importante. Black y Litterman, por su parte, justifican su escogencia del punto de partida para las rentabilidades esperadas iniciales por contraste con otras más “ingenuas”. Por ejemplo utilizar los promedios históricos como punto de partida es equivalente a partir de lo inicialmente establecido en los modelos MV, con sus problemas ya expuestos. Además, considerar las rentabilidades de exceso66 pasadas es. 64. BLACK, Op. cit., p. 29. 65. HE, Op. cit., p. 3. 66. Se utiliza el término “rentabilidades de exceso” (excess returns) por considerar la rentabilidad. alrededor de un punto de referencia (benchmark).. 48.

(53) II-02(2)69. equivalente a suponer que el portafolio de pesos constantes que hubiera tenido un buen desempeño es de alguna forma neutral. Esto no es correcto, ya que dicho portafolio sólo es uno formado por posiciones largas en los activos que tuvieron mejores resultados y posiciones cortas en los que tuvieron los peores durante un período específico de tiempo; la arbitrariedad de la escogencia de tal período le resta toda su neutralidad.. Otra opción es utilizar inicialmente medias iguales para las rentabilidades de todos los activos. El problema que se presenta aquí es obvio: retornos esperados iguales no guardan ninguna relación con el riesgo particular de cada activo. Por lo tanto algunos resultarán sobrevalorados por su retorno esperado, y otros subvalorados por el mismo, lo que lleva naturalmente a portafolios con pesos iniciales extremos. Para tener en cuenta la volatilidad se podría pensar en utilizar medias iguales ajustadas por riesgo, es decir, rentabilidades en cada activo que correspondan a un factor de rentabilidad por unidad de riesgo multiplicado por la volatilidad. Aquí se toma en cuenta la variabilidad de cada activo, pero se ignora por completo la estructura de covarianzas entre ellos, lo que lleva nuevamente a distorsiones en los pesos iniciales.. Todas las propuestas anteriores presentan además un problema crítico, aunque un poco más sutil. Estas formulaciones están basadas exclusivamente en la demanda por activos, es decir, en sólo un lado de la ecuación del mercado. Si todos los 49.

(54) II-02(2)69. inversionistas parten de dichos supuestos se hace imposible que ellos puedan tomar las posiciones que quisieran, pues no existiría suficiente oferta para la demanda agregada por activos que ellos conformarían. Las rentabilidades construirían entonces una estructura inestable67 de precios para los factores de riesgo, que no reflejaría el equilibrio del mercado. Por esto, dicen Black y Litterman: “Para nosotros, la única definición aceptable de medias neutrales es un conjunto de rentabilidades esperadas que ‘limpiarían el mercado’ si todos los inversionistas tuvieran visiones idénticas” 68.. Dice Idzorek que existen dos formas de calcular el vector de retornos esperados de equilibrio: por medio de la utilización de CAPM o de optimización reversa. Dicho vector Π está dado por: ∏ = δ∑w Donde w es el vector de pesos de capitalización de mercado; Σ es la matriz de covarianzas de los retornos y δ es el coeficiente de aversión al riesgo69. Idzorek70. 67. La estructura es inestable en el sentido en que, si todos los inversionistas actuaran de acuerdo. con ella, el mecanismo de precios (en este caso de rentabilidades) se ajustaría hacia lograr el equilibrio. Es equivalente a afirmar que se parte de una valoración incorrecta de los factores de riesgo. 68. BLACK, Op. cit, p. 32. 69. Se denomina coeficiente de aversión al riesgo por el tipo de función objetivo del modelo base,. que en este caso es. w' µ − δw' ∑ w . 50.

(55) II-02(2)69. señala que el parámetro δ representa la tolerancia global promedio al riesgo y usualmente se calcula como δ = ( rm − r f ) σm2 . De acuerdo con la formulación del CAPM este coeficiente resulta ser el precio del riesgo en el mercado para todos los portafolios eficientes 71 y por tanto el vector Π de retornos esperados en los activos del portafolio se calcula como la cantidad de riesgo multiplicada por su precio. Si el portafolio está suficientemente diversificado con respecto al mercado sobre el cual se calculan los retornos esperados del CAPM, el resultado de la fórmula anterior resulta muy parecido al retorno esperado obtenido de valorar el riesgo utilizando el CAPM directamente 72. He73 dice que una ventaja muy importante de la utilización de estos retornos como neutrales es que da como resultado los pesos de capitalización del mercado cuando se aplica un modelo de optimización MV74. Así, el punto de partida cumple con ser estable e intuitivamente correcto.. 70. IDZOREK, Op. cit., p. 15. 71. ELTON, Op. cit., p. 298. 72. IDZOREK, Op. Cit., p. 1. 73. HE, Op, cit., p. 4. 74. He afirma que en ausencia de restricciones, los pesos del portafolio óptimo están dados por. w* = (δΣ ) −1 µ .. Si. se. utiliza. µ = Π = δΣw. entonces. los. w* = (δΣ ) −1 δΣ w = w , es decir, los pesos de capitalización del mercado. 51. pesos. óptimos. serán.