Electricidad y Magnetismo II

Ajuste de Datos e Integrales en

Mathematica

Ajuste de Datos Experimentales

La guía nos presenta un conjunto de datos a los cuales les haremos un ajuste polinómico. Se hara un ajuste lineal y uno cuadrático, posteriormente graficare-mos los datos y los ajustes para observar cual se ajusta mejor.

Utilizaremos dos comandos para los ajustes experimentales,el comando

“LinearModelFit” y “NonLinearModelFit” para los ajustes de tipo lineal y no lineal respectivamente.

En el comando para datos no lineales, es necesario definir otros parámetros como el tipo de función y las constantes calcular.

Procedimiento

In[1]:=Data11 := {{2, 4}, {3.5, 5}, {4.3, 5.8}, {5.2, 6.7}, {6, 8.3}} In[2]:=Fun1a = LinearModelFit[Data11, x, x]

Out[2]=FittedModel _{1.61094 + 1.03549 x }

In[3]:=Fun1b = NonlinearModelFitData11, q + w x + e x2, {q, w, e}, x Out[3]=FittedModel _{4.08363 - 0.381475 x + 0.177877 x}2 _

In[4]:=F1[x_] = Normal[Fun1a] Out[4]=1.61094 + 1.03549 x

In[5]:=F12[x_] = Normal[Fun1b]

Out[5]=4.08363 - 0.381475 x + 0.177877 x2

In[6]:=G1b := ListPlot[Data11, PlotStyle → RGBColor[0, 1, 0]] In[7]:=G1a := Plot[{F1[x], F12[x]}, {x, 0, 6}]

In[8]:=Show[G1a, G1b] Out[8]= 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 8

Notamos que el ajuste no lineal es el mas apropiado para el conjunto de datos disponibles.

El comando “CoefficientOfVariation”, esta proporciona la razón entre la desviación estándar del ajuste y su media. Para ajustes lineales

In[9]:=Fun1a["CoefficientOfVariation"] Out[9]=0.0711808

Formato en Gráficos.

Podemos modificar bastantes parámetros en los gráficos, para que sea más sen-cillo visualizar los resultados obtenidos experimentalmente.

Color: Utilizaremos la opción “PlotStyle” con el parámetro RGBColor.

In[10]:=Plot[F1[x], {x, 0, 5}, PlotStyle → RGBColor[0, 0, 1]]

Out[10]= 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6

Ejes: Utilizaremos el la opción “AxesLabel”. Esta opción nos ayuda a identificar las variables físicas del experimento y trabajar adecuadamente con ellas.

In[11]:=Plot[F1[x], {x, 0, 5}, AxesLabel → {"x(cm)", "Voltaje (V)"}]

Out[11]= 1 2 3 4 5 x(cm) 2 3 4 5 6 Voltaje (V)

Leyenda: Se usa la opción “PlotLegends”

In[12]:=Plot[F1[x], {x, 0, 5}, PlotLegends → "Función Experimental",

AxesLabel → {"x(cm)", "Voltaje (V)"}] Out[12]= 1 2 3 4 5 x(cm) 2 3 4 5 6 Voltaje (V) Función Experimental

Ejemplo

Se sabe que el número de pulgadas que una estructura recién construida que se hunde en el suelo, está dada por y=3-3 e-α x _{donde x es el número de meses que}

lleva construida la estructura. Se tienen los valores

Estime el valor de alfa para dichos datos. Para ello se utuliza el comando FindFit

In[13]:=Data12 := {{2, 1.07}, {4, 1.88}, {6, 2.26}, {12, 2.78}, {18, 2.97}, {24, 2.99}} In[14]:=FindFit[Data12, 3 (1 - Exp[-α x]), {α}, x]

Out[14]={α →0.233784}

Para obtener la función evaluable en Mathematica utilizamos el comando Nonlin-earModelFit y la opción Normal.

In[15]:=Fun2a[x_] = Normal[NonlinearModelFit[Data12, {3 (1 - Exp[-α x])}, α, x]] Out[15]=3 1 - ⅇ-0.233784 x

Realizamos diversas gráficas para mostrar si el ajuste elegido es correcto.

In[16]:=G2a := Plot[Fun2a[x], {x, 0, 25},

PlotStyle → RGBColor[1, 0, 0], AxesLabel → {"x(Meses)", "y(Pulgadas)"}]

In[17]:=G2b := ListPlot[Data12, PlotStyle → Green, AxesOrigin → {0, 0}] In[18]:=G2c := Show[G2a, G2b]

In[19]:=Manipulate[Gráfica,

{_{Gráfica, {G2a → "Gráfica 1", G2b → "Gráfica 2", G2c → "Gráfica 3"}}]}

Out[19]=

Gráfica Gráfica 1 Gráfica 2 Gráfica 3

5 10 15 20 25 x(Meses) 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 y(Pulgadas)

Integrales en Magnetostática

La opción preferida al momento de realizar integrales es utilizar la paleta (como indica la guía). Aqui se va a utilizar el comando Integrate en conjunto con otros condicionales para dicha tarea.

Ejercicio

En la página 282 de su libro de texto (Wangsness) se encuentra la Inducción Mag-nética producida por una corriente recta de longitud finita. Usando la paleta de entradas básicas calcule en Mathematica el siguiente campo B

Utilizaremos el comando Integrate con las condiciones adecuadas del problema para ofrecer el resultado mas sencillo posible.

In[20]:=Assumingρ > 0 && z ∈ Reals && L1 > 0 && L2 > 0, Integrate

k (ρ2+z2)3/2 , {z, L1, L2} Out[20]=ConditionalExpression k - L1 L12_+ρ2 + L2 L22_+ρ2 ρ2 , L1 < L2

Ejercicio.

Aplicando el mismo método anterior encuentre la inducción magnética para un solenoide largo que se muestra en la página 285 del libro de texto utilizando la expresión siguiente. In[21]:=B1[z_] = Integratek 1 2 (a2_{+ (zp - z)}2₎3/2, z Out[21]= k (z - zp) 2 a2 _a2_{+ (z - zp)}2

Al evaluar los límites de integración obtenemos lo siguiente:

In[22]:=B1[L] - B1[0] Out[22]= k (L - zp) 2 a2 _a2_{+ (L - zp)}2 + k zp 2 a2 _a2_+zp2

Utilizando la expresión simplificada

In[23]:=B2[z_] = Integratek 1 2 (a2_+z2₎3/2, z Out[23]= k z 2 a2 _a2_+z2 In[24]:=B2[L - zp] - B2[-zp] Out[24]= k (L - zp) 2 a2 _a2_{+ (L - zp)}2 + k zp 2 a2 _a2_+zp2

Ejercicio

Resolver para el campo de inducción magnética producido por un campo infinito de corriente (pág 286) con la siguiente expresión.

Notamos que en el argumento de la integral hay un vector, esto no es problema ya que podemos integrar cada componente del vector o integrar el vector

directamente.

In[25]:=ArgB3[x_, y_, z_] := k

{z, 0, x} (x2+y2+z2)3/2

Ahora procedemos a integrar por pasos para determinar la densidad de campo magnético.

In[26]:=In1[y_] = AssumingRey2+z2 >0, Integrate[ArgB3[x, y, z], {x, -∞, ∞}]

Out[26]=

2 k z

y2_+z2, 0, 0

In[27]:=In2[z_] = Integrate[In1[y], {y, -∞, ∞}]

Out[27]=ConditionalExpression2 k π

1

z2 z, Imz

2_{ ≠0 || Rez}2_{ ≥0, 0, 0}

Ahora utilizamos las condiciones para simplificar el resultado.

In[28]:=Assuming[z ∈ Reals, Integrate[In1[y], {y, -∞, ∞}]] Out[28]={2 k π Sign[z], 0, 0}

Obtuvimos el resultado conocido para la densidad de campo magnético de un plano infinito.