Tema 1. Medidas de tendencia central para datos no agrupados

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Tema 1. Medidas de tendencia central para datos no agrupados

Las medidas de tendencia central se utilizan con bastante frecuencia para resumir un conjunto de cantidades o datos numéricos a fin de describir los datos cuantitativos que los forman.

Ejemplos de ello, pueden ser: la edad promedio o la estatura promedio de los estudiantes de la universidad o el peso promedio de las bolsas de cereal que son llenadas por una determinada máquina en un proceso de producción o las ventas de un negocio.

Las medidas de tendencia central son también frecuentemente usadas para comparar un grupo de datos con otro, por ejemplo: el promedio de ventas obtenido por un grupo de vendedores de una zona comparado con el promedio de ventas otro grupo de vendedores de otra zona, el promedio de reclamos de clientes de una sucursal, comparado con el promedio de reclamos de otra sucursal.

Otras características generales de las medidas de tendencia central son las siguientes:

• Permiten apreciar qué tanto se parecen lo grupos entre sí.

• Son valores que se calculan para un grupo de datos y que se utiliza para describirlos de alguna manera

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• Normalmente se desea que el valor sea representativo de todos los valores incluidos en el grupo.

• Es el valor más representativo o típico de un grupo de datos, no es el valor más pequeño o el más grande, sino un valor que está en algún punto intermedio del grupo, más exactamente, se acerca a estar al centro de todos los valores, por ello se les llama medidas de tendencia central.

• Se utilizan como mecanismo para resumir una característica de un grupo de datos en particular.

• También para comparar un grupo de datos contra otro.

El cálculo de las medidas de tendencia central se hace mediante fórmulas, las cuales cambian según como se encuentren los datos del grupo con el que se va a trabajar, esto es si están como Datos no agrupados o como Datos agrupados (Distribuciones de frecuencias).

Las medidas de tendencia central que se van a tratar en esta unidad son:

Media Aritmética Media ponderada Mediana Moda Media Geométrica Media Armónica

La media aritmética, o promedio aritmético, es la suma de los valores del grupo de datos dividida entre la cantidad de valores. Su fórmula se puede describir de la siguiente manera:

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O simbólicamente:

Ejemplo: Cálculo de Media Aritmética

Es una media aritmética en donde a cada uno de los valores le es asignada una

ponderación de acuerdo con la importancia relativa en el grupo. Es obtenido

como sigue: primero, multiplicar cada valor por la ponderación asignada al valor correspondiente; segundo, sumar estos productos; y tercero, dividir la suma de los productos entre la suma de las ponderaciones. Las fórmulas para la media ponderada poblacional y muestra son idénticas:

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Ejemplo: Cálculo de Media Ponderada

Es el valor del elemento central del conjunto.

Para encontrar la mediana, primero arreglar los valores del conjunto de acuerdo a su magnitud; es decir, arreglar los valores del más pequeño al más grande o del más grande al más pequeño y después localizar el valor central, es decir, el número de valores sobre la mediana es el mismo que el número de valores debajo de la mediana. Si el número de valores en un conjunto de datos no agrupados es par, no hay mediana verdadera.

El valor de la mediana se supone, por lo tanto, que es igual al valor promedio entre los dos elementos centrales en el arreglo

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La fórmula para obtenerla podría expresarse de la siguiente manera:

Ejemplo: Cálculo de Mediana

También llamada modo o promedio típico de un conjunto de valores; la moda es el valor el cual ocurre más frecuentemente en el conjunto. Si un valor es seleccionado al azar del conjunto dado, un valor modal es el valor más probable a ser seleccionado. Así, la moda es generalmente considerada como el valor más típico en una serie de datos la cual es llamada, por esa razón, UNIMODAL.

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Un conjunto pequeño de datos en el que no se repiten valores medidos carece de moda. Cuando dos valores no adyacentes son casi iguales en cuanto a frecuencias máximas asociadas con ellos, la distribución se llama BIMODAL, aquéllas con varias modas se llaman multimodales.

Ejemplo: Cálculo de Moda

La media geométrica G, de un conjunto de valores es la raíz n-ésima del producto de los valores de dicho conjunto: Si hay dos valores, la raíz cuadrada del producto de estos dos; si son tres, es la raíz cúbica del producto de los tres valores. La fórmula general es:

Usando logaritmos la fórmula queda:

Donde G es el antilogaritmo de este resultado

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Ejemplo: Cálculo de Media Geométrica

Para su cálculo, primero se debe determinar la media aritmética de los recíprocos de los valores individuales, para después obtener el recíproco de esa media aritmética. Lo anterior en fórmula queda:

Ejemplo: Cálculo de Media Armónica

Está claro que para localizar cuál es el valor que se encuentra al centro de un grupo de datos utilizamos la mediana y que ésta es el valor que divide al grupo de datos en mitades. Pues bien, para ciertos fines puede ser de mucha utilidad saber qué valor se encuentra al primer cuarto del grupo de datos, o al tercer cuarto del grupo de datos.

2.1.7 Cuartiles, Deciles y Percentiles para datos no agrupados

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De esta forma:

los cuartiles dividen a la distribución en cuartos

los deciles en décimos, y

los percentiles en 100 partes

Los cuales se obtienen con fórmulas que modifican la de la mediana como en los siguientes ejemplos:

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Actividad Preliminar 1: (Recuerda que estas actividades son opcionales y será tu asesor quien defina aquellos que serán evaluados en tu curso. Sin embargo te recomiendo que las realices para verificar efectivamente el nivel de aprendizaje logrado)

No Problema

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El dueño de un negocio de venta de aparatos electrodomésticos tiene diez vendedores en el área metropolitana. En una determinada semana, el dueño seleccionó una muestra de cinco sucursales y encontró que el número de lavadoras automáticas vendidas en cada sucursal fue:

Sucursal A B C D E Número de lavadoras vendidas 5 3 6 5 1 Calcular: a) La media b) La mediana c) La moda d) La media geométrica e) La media armónica 2

Reuniendo los datos anteriores y los siguientes para formar una población, suponga que el dueño del negocio obtuvo los datos de ventas de las demás circulares, siendo estos:

Sucursal F G H I J Número de lavadoras vendidas 4 7 5 4 0 Calcular: a) La media b) La mediana c) La moda d) La media geométrica e) La media armónica 3

Una muestra de 20 empleados de cierto centro comercial, obtuvo como salario quincenal, los siguientes datos:

340, 240, 330, 240, 325, 240, 240, 305, 240, 300, 240, 290, 240, 280, 240, 280, 255, 265, 255, 265, Calcula:

a) Media, b) Mediana, c) Moda

4 En las exportaciones de cierto artículo, el porcentaje de impuestos que debe pagar su productor

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las ventas obtenidas en el último trimestre. Determina el promedio global de lo que se paga por impuestos: País Porcentaje de Impuestos Ventas EUA 4.2% 30, 000, 000.00 China 5.5% 20, 000, 000.00 Chile 7.4% 5,000, 000.00 India 10.1% 3, 000, 000.00 5

Con los datos del problema 3, determinar los valores en: a) Tercer cuartil

b) Noveno decil c) 84º percentil

Figure

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