TRIGONOMETRÍA (REPASO). EJERCICIOS RESUELTOS.

TRIGONOMETRÍA (REPASO). EJERCICIOS RESUELTOS.

1.- En el siguiente triángulo rectángulo, determina:

a) Las razones trigonométricas del ángulo



(seno, coseno, tangente y sus inversas).

b) La medida del ángulo



. Expresa el resultado en el Sistema Sexagesimal (en forma compleja: grados, minutos y segundos) y en el Sistema Internacional (en radianes).

a) Hallamos la longitud de la hipotenusa:

cm

c

b

a



2



2



12

2



9

2



15

6

,

0

15

9 





sen

9

15

1









sen

cosec

8

,

0

15

12

cos







12

15

cos

1

sec









75

,

0

12

9 





tg

9

12

1 







tg

cotg

b)

12

9





tg



arc

tg

36

,

87

º

36

º

52

'

12

'

'

0

,

64

rad

12

9

_

_

_





Calculadora: TAN-1 _{(9/12) Modo DEG (Sistema sexagesimal) Modo RAD (Radianes)}

Para pasar de º a rad



0

,

2

rad

0

,

64

rad

º

180

º

87

,

36











Nota: Para expresar un ángulo en radianes se suele dejar en función de



e indicaremos

rad

de

lugar

en

rad

0

,

64

2

,

0



2.- Se sabe que un faro tiene una altura, sobre el nivel del mar, de 196 m. Desde un barco situado en el mar se ve el faro bajo un ángulo de 14º 16’ 32’’ (como se observa en la siguiente figura). ¿A qué distancia se encuentra el barco de la costa?

m

tg

x

x

tg

770

.

3

'

'

32

'

16

º

14

196

196

'

'

32

'

16

º

14











A

B

C

c = 9 cm b = 12 cm a

x



16 cm

x a 3.- Resolver los siguientes triángulos rectángulos:

a) c = 15 cm y

A

ˆ



35º

º

55

º

35

º

90

ˆ

º

90

ˆ

_

_

_A

_

_

_

C

cm

tg

A

tg

c

a

c

a

A

tg

ˆ









ˆ



15



35

º



10

,

5

cm

A

c

b

b

c

A

18

,

3

º

35

cos

15

ˆ

cos

ˆ

cos











b) a = 5 cm y b = 8 cm

cm

a

b

c



2



2



8

2



5

2



39



6

,

245

'

'

56

'

40

º

38

8

5

ˆ

8

5

ˆ

ˆ

_

_

_sen

_A

_

_

_A

_

_arc

_sen

_

b

a

A

sen

'

'

04

'

19

º

51

'

'

56

'

40

º

38

º

90

ˆ

º

90

ˆ

_

_

_A

_

_

_

C

c) b = 24 cm y

C

ˆ



62º45'12'

'

'

'

48

'

14

º

27

'

'

12

'

45

º

62

º

90

ˆ

º

90

ˆ

_

_

_C

_

_

_

A

cm

C

b

a

b

a

C

ˆ

cos

ˆ

24

cos

62

º

45

'

12

'

'

10

,

99

cos















cm

sen

C

sen

b

c

b

c

C

sen

ˆ









ˆ



24



62

º

45

'

12

'

'



21

,

34

4.- Determina el perímetro y el área de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de 16 cm de radio.

Se determina el ángulo central



º

36

2

º

72

5

º

360

_

_

_







Se halla el lado del pentágono.

cm

x

l

cm

sen

x

x

sen

8

,

18

4

,

9

2

2

4

,

9

º

36

16

16

º

36























Hallamos el perímetro del pentágono.

cm

l

n

P







5



18

,

8



94

Para determinar el área, hallamos previamente la apotema:

cm

a

a

94

,

12

º

36

cos

16

16

º

36

cos











2

18

,

608

2

94

,

12

94

2

cm

a

P

A











5.- Determina el área de los siguientes triángulos:

a) Determinamos la altura. Como es un triángulo equilátero sus 3 ángulos internos son iguales

º

60

3

º

180 



h



8



sen

60

º



6

,

93

cm

2

72

,

27

2

93

,

6

8

2

cm

h

b

A











b) Determinamos la base y la altura:

cm

x

b

cm

sen

x



12



16

º



3

,

3





2





6

,

6

cm

h



12



cos

16

º



11

,

5

2

95

,

37

2

5

,

11

6

,

6

2

cm

h

b

A











c) Determinamos la altura:

cm

sen

h



14



62

º



12

,

36

2

32

,

148

2

36

,

12

24

2

cm

h

b

A











6.- Calcula la altura del puente, sabiendo que tiene 24 m de largo.

Resolveremos el problema utilizando el método de la doble observación (o de las tangentes):





_































º

47

24

24

º

47

º

40

º

40

tg

x

h

x

h

tg

tg

x

h

x

h

tg



igualando ambas expresiones:

24 m

h

8 cm 8 cm 8 cm 12 cm 32º 12 cm _{14 cm} 24 cm 62º 60º h h x b h

x









m

tg

tg

x

h

m

tg

tg

tg

x

tg

tg

tg

x

tg

tg

x

tg

x

tg

x

tg

tg

x

tg

x

tg

x

3

,

11

º

40

46

,

3

1

º

40

46

,

3

1

º

47

º

40

º

47

24

º

47

24

º

47

º

40

º

47

24

º

47

º

40

º

47

º

47

24

º

40

º

47

24

º

40























































7.- Desde cierto punto del suelo se ve el punto más alto de una torre formando un ángulo de 30º con la horizontal. Si nos acercamos 75 metros hacia el pie de la torre, su punto más alto se ve bajo un ángulo de 60º. Determina la altura de la torre.

Resolveremos el problema utilizando el método de la doble observación (o de las tangentes):





_































º

30

75

75

º

30

º

60

º

60

tg

x

h

x

h

tg

tg

x

h

x

h

tg



igualando ambas expresiones:









m

tg

tg

x

h

m

tg

tg

tg

x

tg

tg

tg

x

tg

tg

x

tg

x

tg

x

tg

tg

x

tg

x

tg

x

65

º

60

5

,

37

º

60

5

,

37

º

30

º

60

º

30

75

º

30

75

º

30

º

60

º

30

75

º

30

º

60

º

30

º

30

75

º

60

º

30

75

º

60























































60º

30º

h

x

75 m

8.- Desde un faro situado a 50 metros sobre el nivel del mar se observan dos barcos: uno se ve bajo un ángulo de depresión de 30º y otro (alineado con el primero y con el faro) bajo un ángulo de depresión de 10º. Calcula la distancia que hay entre los dos barcos.

m

tg

y

y

tg

86

,

6

º

30

50

50

º

30



























º

10

50

6

,

86

6

,

86

50

º

10

50

º

10

tg

x

x

tg

y

x

tg

m

tg

x

86

,

6

197

º

10

50

_

_





9.- Dos individuos A y B observan un globo que está situado en un plano vertical entre ellos. La distancia entre los individuos es de 4 km. Los ángulos de elevación del globo desde los dos observadores son 48º y 32º, respectivamente. Determinar la altura del globo y la distancia del globo a cada observador.

Resolveremos el problema utilizando el método de la doble observación (o de las tangentes):





_































º

32

4

4

º

32

º

48

º

48

tg

x

h

x

h

tg

tg

x

h

x

h

tg



igualando ambas expresiones:









Km

tg

tg

x

h

Km

tg

tg

tg

x

tg

tg

tg

x

tg

tg

x

tg

x

tg

x

tg

tg

x

tg

x

tg

x

6

,

1

º

48

44

,

1

º

48

44

,

1

º

32

º

48

º

32

4

º

32

4

º

32

º

48

º

32

4

º

32

º

48

º

32

º

32

4

º

48

º

32

4

º

48























































x

50 m 10º 30º

y

A

B

h

C

a

b

4 Km

x

48º

_{4 - x}

32º

10.- Desde un cierto punto del suelo se ve un árbol bajo un ángulo de 42º. ¿bajo que ángulo se verá si nos colocamos al doble de distancia? ¿Y si nos colocamos al triple de distancia?

º

42

º

42

h

x

tg

x

h

tg









[1]





h

x

tg

x

h

tg







2



2

[2]





h

x

tg

x

h

tg







3



3

[3]

Igualando las relaciones [1] y [2] se halla



'

'

15

'

14

º

24

45

,

0

45

,

0

2

º

42

2

º

42



















tg

x

tg

tg

tg

arc

tg

x







Igualando las relaciones [1] y [3] se halla



'

'

23

'

42

º

16

3

,

0

3

,

0

3

º

42

3

º

42



















tg

x

tg

tg

tg

arc

tg

x







11.- Sabiendo que

5

2

cos







y que



es un ángulo del segundo cuadrante, determina las demás razones trigonométricas del ángulo



.

A partir de la relación fundamental de la Trigonometría:

1

2 2



_



_

cos

sen

5

1

5

4

1

5

2

1

cos

1

2 2 2

_

_

_



























sen



5

1

5

1

_

_







sen

Como



es un ángulo del segundo cuadrante (











2

) la única solución válida es la positiva (el seno es positivo en el segundo cuadrante).

Por tanto,

5

1





sen

2

1

5

2

5

1

cos

















sen

tg

Resta calcular

cosec



,

sec



y

cotg



.

x 2x 3x 42º h





seno

- -

+ +

12.- Sabiendo que

2

3





tg

y que

180

º







270

º

, determina las demás razones trigonométricas del ángulo



.













































_{2 2 2} 2 2 2

cos

1

4

13

cos

1

4

9

1

cos

1

2

3

1

cos

1

1

tg

13

2

13

4

cos

13

4

cos

2



















Como en el tercer cuadrante el coseno es negativo, la única solución válida es la negativa:

13

2

cos







Para hallar el seno:

13

3

13

2

2

3

cos

cos



_







































sen

sen

tg

tg

3

13

1

_

_







sen

cosec

2

13

cos

1

sec











3

2

1 





tg

α

cotg

13.- Sabiendo que

5

3







sen

y que

2

3











, determina las demás razones trigonométricas del ángulo



.

Igual que el ejercicio nº 11

14.- Sabiendo que

270

º

360

º

3

4













y

que

cotg

. Determina el resto de razones

trigonométricas del ángulo



.

4

3

1

_

_







cotg

tg

y se sigue el mismo procedimiento que en el ejercicio nº 12

15.- Completa la siguiente tabla:



0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º sen



0

2

1

2

2

2

3

_{1 0 - 1 0} cos



1

2

3

2

2

2

1

_{0 - 1 0 1} tg



0

3

1

1

₃





0





0

16.- Calcula (sin hacer uso de la calculadora):

Ver apuntes (Circunferencia goniométrica y Relaciones entre las razones trigonométricas de algunos ángulos: ángulos suplementarios, ángulos complementarios, etc.).

2

3

º

60

º

120

)

sen

 sen



a

Nota: 120º y 60º son dos ángulos suplementarios (suman 180º).

2

3

º

30

cos

º

150

cos

)









b

Nota: 150º y 30º son dos ángulos suplementarios (suman 180º).

1

º

45

º

45

cos

º

45

º

135

cos

º

135

º

135

)















sen

sen

tg

tg

c

Nota: 135º y 45º son dos ángulos suplementarios (suman 180º).

2

1

º

30

º

210

)

sen

 sen







d

Nota: 30º y 210º son dos ángulos que difieren en 180º.





2

1

º

60

cos

º

60

cos

º

300

cos

)









e

Nota: 60º y - 60º son dos ángulos opuestos (300º = - 60º)

3

º

60

º

60

cos

º

60

º

240

cos

º

240

º

240

)













sen

sen

tg

tg

f

Nota: 60º y 240º son dos ángulos que difieren en 180º.

2

1

º

30

)

º

30

(

º

330

)

sen



sen







sen





g

Nota: 30º y - 30º son dos ángulos opuestos (330º = - 30º)





2

1

º

60

cos

º

60

cos

)







h

Nota: 60º y - 60º son dos ángulos opuestos.





60

º

3

º

60

cos

º

60

º

240

cos

º

240

º

240

º

120

)

















tg

sen

sen

tg

tg

i

17.- Sabiendo que

sen





a

y

cos





b

(donde

a

y

b

son valores conocidos y



es un ángulo del primer cuadrante), determina las razones trigonométricas de los siguientes ángulos (en función de los valores

a

y

b

):





DC

AB

sen

a

sen

a

)





















OD

OA

b

b

)

cos

















cos













_



_

b

a

sen

sen

tg

c

































cos

cos

)

b

OA

DC

sen

d



















 





cos



2

)

a

sen

AB

OD

e



















 







2

cos

)

a

b

sen

sen

tg

f















 











 













 

















cos

2

cos

2

2

)





DC

AB

sen

a

sen

g

)



























OD

OA

b

h

)

cos

















cos













_



_

b

a

b

a

sen

sen

tg

i







































cos

cos

)





AC

AB

sen

a

sen

j

)

360

º





















 

OA

b

k

)

cos









cos





 

a

b

sen

sen

l



























cos

)

(

)

(

cos

) cotg

18.- Sabiendo que

sen





a

y

cos





b

y

que

0

º







90

º

, calcula:

)

(

sec

)

)

(

cos

)

)

2

(

)

)

(

)























d

c

cosec

b

a tg

19.- Simplifica las siguientes expresiones trigonométricas:

















2 2 2 2 2 2 2 2

1

1

1

1

1

1

1

)

tg

tg

tg

tg

tg

tg

tg

a



















cotg

También se puede simplificar de esta forma:



























2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

cos

cos

cos

cos

cos

1

cos

1

tg

sen

sen

sen

sen

sen

sen



















 



_















sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen

b























1

1

1

1

1

1

1

cos

)

2 2





_



























tg

cotg

sen

sen

sen

sen

tg

c































1

cos

cos

cos

cos

1

cos

1

cos

)

2 2 2 2 2 2 2

cotg





cos

cos

1

cos

cos

cos

)

_



2



2



















































sen

sen

sen

sen

tg

sen

d

cotg



























2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

cos

cos

cos

1

)

tg

tg

sen

tg

sen

tg

sen

sen

e





















20.- ¿Puedes encontrar algún ángulo cuyo coseno sea igual a la secante? ¿Y cuyo seno sea igual a la secante?













cos

1

cos

1

cos

sec

cos

2











cos







1













º

180

º

0



















cos

1

cos

1

sec













sen

sen

sen



1



1

1

1

1



2





2





2





2



4

















sen

sen

sen

sen

sen

sen

0

1

1

4 2 4 2



_



_

_



_



_

_

sen

sen

sen

sen

(bicuadrada) Se hace el cambio 2



sen

x 

0

1

2

_{ x}

_

_

x

No tiene solución.