libro de hidraulica

HIDRÁULICA

FLUIDOS: Son sustancias capaces de fluir y que se adaptan a la forma de los recipientes que los contienen.

Clasificación:

Pueden dividirse en líquidos y gases, la diferencia entre ellos es:

• Los líquidos son prácticamente incompresibles y los gases son compresibles.

• Los líquidos ocupan un volumen definido y tienen superficie libre, mientras que una masa dada de gas se expansiona hasta ocupar todas las partes del recipiente que lo contenga

FUERZA Y MASA: Para comprender las propiedades de los fluidos es necesario conocer la diferencia entre masa y fuerza.

MASA (m): es la propiedad de un cuerpo de fluido que se mide por su inercia o resistencia a un cambio de movimiento.

Es también una medida de la cantidad de fluido.

unidades : F : Newton a m F = . m : Kg a : m/s2

PESO ( w ) Es la cantidad que pesa un cuerpo, es decir, la fuerza con la que el cuerpo es atraído hacia la tierra por la acción de la gravedad .

unidades : g

m

W = . _{g : 9.81 m /s}2 _ó

g : 32.2 ft /s2

PRESIÓN: Es la cantidad de fuerza ejercida sobre una unidad de área.

A F

P= unidades :

P: atm,Psi,Pa(pascal) A: m2_,ft2_,pulg2

Los principios de Pascal son:

- La presión actúa uniformemente en todas direcciones sobre un pequeño volumen de fluido.

a) PRESION ATMOSFERICA: Es el peso del aire que actúa en todas las direcciones sobre la tierra se puede calcular por el Barómetro o matemáticamente por:

T h LogP LogP 4 . 122 1 2 = − Donde:

P2 = Presión atmosférica en el lugar del calculo.

P1 = Presión atmosférica a nivel del mar 14.7 Psi

PRESIÓN RELATIVA MANOMÉTRICA: Como su nombre indica medir mediante el Manómetro.

Ejemplo:

La medición de presión de los neumáticos de un auto. relativa P a atmosféric P absoluta P. = . + . P. manométrica = 4400 m.s.n.m. = 95 Psi. P. atmosférica = 4400 m.s.n.m. = 9 Psi P. absoluta = (95 + 9) Psi = 104 Psi

DENSIDAD (ρ) Es la cantidad de masa por unidad de volumen. v m = ρ unidades: 3 m Kg SI = ft s lb Brit S 2 . . = −

PESO ESPECÍFICO (γ): Es la cantidad de peso por unidad del volumen de una sustancia, en el Sistema Internacional.

V W = γ unidades : SI _m3 N ó _m3 KN S Británico 3 ft lb GRAVEDAD ESPECÍFICA: Es la cantidad entre el peso o masa de un cuerpo, al peso o masa de un mismo volumen de agua a la temperatura de 4°C

En el S. I.: C a O H líquido GS º 4 . . . . 2 ρρ = _ó C a O H líquido GS º 4 . . . . 2 γ γ = 3 81 . 9 . m KN líquido GS = ρ ó 3 1000 . m Kg líquido GS = ρ En el Sist. Británico: 3 81 . 9 . ft slug líquido GS =γ 3 4 . 62 . ft lb líquido GS = ρ

DENSIDAD RELATIVA: Es la relación entre el peso o masa del cuerpo al peso o masa de un mismo volumen de agua a la temperatura de 4° C. Así tenemos que la densidad relativa de algunos líquidos:

LIQUIDOS ρ RELATIVA T ° C

Agua dulce 1 4° C

Agua de mar 1.02 - 1.03 4° C Petróleo bruto ligero 0.86 - 0.88 15° C Petróleo bruto pesado 0.92 - 0.93 15° C Kerosene 0.79 - 0.82 15° C Gasolina 0.70 - 0.75 15° C Aceite 0.89 - 0.92 15° C Glicerina 1.26 20° C Mercurio 13.6 20° C Ejemplo :

El Hg. A 20 ° C tiene una G.S. de 13.6 . Calcule su ρ y γ

ρHg = 13.6 x 1000 Kg / m 3 _{= 13600 Kg / m}3 γ Hg = 13600 Kg / m3 _{x 9.81 m / seg}2 | _{= 133.4 KN / m}3

Si la gravedad especifica de la glicerina a 20° C es 1.26. Calcular su densidad y peso específico

ρglicerina = ( GS )g x 1000 Kg / m3

1.26 x 1000 Kg / m3 _{= 12600 Kg / m}3

γ _glicerina = 1260 Kg / m3 _{x 9.81 m /seg}2 _{= 12360.6 N / m}3

PROBLEMAS

1. La gravedad especifica del benceno es 0.876 .Calcule su peso específico y su densidad en unidad de SI.

GSbenceno = 0.876 3 / 81 . 9 . m KN liquido GS = γ _{. 0.876 9.81 /} 3 _{8.59356 3} m KN m KN x líquido = = γ 3 / 1000 . m Kg liquido GS = ρ _{. 0.876 1000 /} 3 _{876 3} m Kg m Kg x líquido = = ρ

2. El aire a 16° C y a Presión Atmósfera Estándar tiene un peso de 12.02 N / m3 _.

Calcule su densidad. NOTA: T = 16° C PR = 14.7 Psi γ = 12.02 N / m3 g Vg W Vg mg V m γ ρ= = = = ₃ 2 3 225 . 1 81 . 9 02 . 12 m Kg s m m N = = ρ

3. Un cierto aceite lubricante medio tiene un peso especifico de 8.860 KN / m3 _{, 5° C y}

de 8.483 a 50° C. calcule su gravedad específica en cada temperatura.

3 º 5 8.86 m KN C = γ 3 º 50 8.483 m KN C = γ 3 81 . 9 . m KN líquido GS =γ 8976 . 0 81 . 9 86 . 8 3 3 º 5 = = m KNm KN GS _C 0.864 81 . 9 483 . 8 3 3 º 50 = = m KNm KN GS _C

4. Una lata cilíndrica de 150 ml de diámetro está llena hasta una profundidad de 100ml. Con aceite tiene una masa de 1.56 Kg. Calcule su peso específico, densidad, gravedad específica.

GS. = ? V LIQUIDO = π d 2 x profundidad 4 V LIQUIDO = π ( 0.15)2 x 0.10 4 V LIQUIDO = 0.00177 m3 V m = ρ γ =ρ.g 3 3 881.35 00177 . 0 56 . 1 m Kg m Kg = = ρ 3 2 3 _s 8.646 m 9.81 x m Kg 881.35 m KN = = γ 3 / 81 . 9 . m KN liquido GS = γ 8813 . 0 / 81 . 9 646 . 8 3 3 = = m KN m KN GS

5. El tanque de combustible de un automóvil tiene una capacidad de 0.095 m3 _{si está}

lleno de gasolina que tiene una gravedad específica de 0.68. Calcule el peso del combustible. V = 0.095 m3 G S =? Wcomb. = ? G S = 3 81 . 9 . m KN líquido GS =γ W =γ.V γlíquido = G S x 9.81 KN / m3 _{W = 6.6708 KN / m}3 _{x 0.095} m3 γ líquido = 0.68 x 9.81 KN / m3 _{W = 0.6337 KN} γ líquido = 6.6708 KN / m3

6. El amoniaco líquido tiene una GS: = 0.826. Calcule el volumen del amoniaco que tendría un peso de 22N.

G S = 0.826 W = 22N

γlíquido = 8.103 KN / m3 γ líquido = 8103 N / m3 V W = γ V = 22 N 8103 N/ m3 V = 0.0027 m3

7. Una roca tiene GS = 2.32 y un volumen de 1.42 x 10-4 _m3 _{de cuanto es su Peso}

GS = 2.32 V = 1.42 x 10-4 _m3 W = ? 3 / 81 . 9 . m KN liquido Gs = γ V W = γ γ líquido = 2.32 x 9.81 KN / m3 _{V = 1.42 x 10}-4 _m3 _{x 22.76} KN / m3 γ líquido = 22.76 KN / m3 _{V = 0.00323 KN}

8. El aire a 59° F y a presión estándar tiene un peso específico de 0.0765 lb/ft3 _{calcule su}

densidad. γ = 0.0765 lb / ft3 g = 32.2 ft / seg2 V g m. = γ 2 3 / 2 . 32 / . 0765 . 0 s ft ft lb = γ γ = ρ. g γ = 0.00237 lb. Seg2 _{/ ft}4 γ = 0.00237slug / ft3

9. Un galón de cierto combustible pesa 7.50 lb. Calcule su peso específico, densidad, GS.

ρ = ? 0.13368 ft3 SG = ? γ = 56.104 lb / ft3 1 galón = 0.13368 ft3 γ = ρ. g GS = γ líquido 62.4 lbs / ft3 ρ= Y GS = 56.104 lb / ft3 g 62.4 lbs / ft3 ρ = 56.1 lb / ft 3 _{GS = 0.899} 32.2 ft / seg2 ρ = 1.74 slug / ft 3

10. El amoniaco líquido que tiene GS. 0.826. Calcule el volumen que tendría un peso de 5 lb. GS = 0.826 GS = γ líquido V = 7 cc 62.4 lb / ft3 W = 5 lb 0.826 = γ líquido 62.4 lb / ft3 γ líquido = 51.542 lb/ft3 V = W γ V = 5 lb 51.542 lb/ft3 V = 0.097ft3 _{x 28.316.8 = 2746.96 cc}

11. Calcule la presión producida sobre el aceite contenido de un cilindro cerrado por un pistón que ejerce una fuerza de 12 KN sobre el aceite. El pistón tiene un

Ø = 75mm. D = 75x 10-3 Hallar presión: A = π D 2 4 P = F A = π (75x10-3 ₎ 2 A 4

P = 2.7164 x 106 _N/m2

P = 2.7164 M Pa

12. El gato hidráulico de un taller de servicio automotriz tiene un cilindro de 8 pulg. Que presión debe tener el aceite para ser capaz de elevar un peso de 6000 lbs.

Ø = 8 pulg. 2 F = 6000 lb P = ? P = F A = π D 2 A 4 P = 6000 lb A = π (8) 2 50.2656 4 P = 119.3659 lb / pulg2 _{A = 50.2656 pulg.}2

13. La máxima presión que puede obtener con un cierto cilindro de potencia de fluido es de 5000 lb / pulg2_{. Calcule el diámetro necesario del pistón, si el cilindro debe ejercer}

una fuerza de 20 000 lb. P = 5000 lb / pulg.2 F = 2000 P = F A = F A P A = 20000 lb /pulg.2 5000 lb A = 4 pulg.2 4 pulg.2 _{= π (d )}2 _{= 2.256 pulg} 4

La facilidad con que un líquido se derrama es una indicación de su viscosidad. El aceite frío tiene una alta viscosidad y se derrama muy lentamente, mientras que el agua tiene una viscosidad relativamente baja y se derrama con bastante facilidad.

La viscosidad puede ser Dinámica o Cinemática.

VISCOSIDAD DINÁMICA (µ)_{: La utilidad dinámica es la que produce una resistencia} de superficie o deformación a que unas capas de fluido resbalen sobre las otras y por lo tanto hay una perdida de energía .

Sus unidades son: SI:

Kg. ó Pa . seg ó N seg

m. seg. m2

La utilidad dinámica varía con la temperatura.

VISCOSIDAD CINEMATICA ( V ): L2 _T-1 _{Es el cociente de la viscosidad dinámica}

entre la densidad del fluido.

ρ µ

=

V _unidades:

FLUIDOS NEWTONIANOS Y NO NEWTONEANOS

FLUIDOS NEWTONEANOS: Son fluidos que se comportan de acuerdo a la siguiente ecuación:

T = u ( ∆ v / ∆ y) Donde:

La tensión de corte del fluido es directamente proporcional a la gradiente de velocidad (∆ v / ∆ y) y a la

Que es función de la condición del fluido especialmente de la temperatura.

Viscosidad DINAMICA

Los fluidos Newtonianos están en considerados: el agua, aceite, gasolina, alcohol, benceno, glicerina, etc.

FLUIDOS NO NEWTONIANOS: Son fluidos que no cumplen la relación anterior. Los fluidos No Newtonianos pueden clasificarse en:

• INDEPENDIENTE DEL TIEMPO: Son los que tienen una viscosidad a cualquier tensión de corte, que no varia con le tiempo.

Ejemplo:

Seudoplásticos: Plasma sanguíneo polietileno fundido y sus pensiones acuosas de arcilla (alta viscosidad).

Dilatadores: Fécula de maíz en etilenglicol, almidón en agua y el dióxido de titanio (baja viscosidad).

De Bingham: Chocolate, mostaza, mayonesa, ket chup, pasta dental, pintura asfalto etc. (nivel significativo de tensión de corte antes de que empiece el flujo luego tienen viscosidad constante.

• DEPENDIENTES DEL TIEMPO: Su viscosidad varía con el tiempo. Ejemplo:

Aceite de petróleo crudo; tintas de impresión, jaleas, masa de harina, etc. RELACION ENTRE PRESION Y ELEVACIÓN

Como ya desarrollamos la presión podemos decir que un objeto que se sumerge en un fluido la presión aumente con un cambio de elevación.

En hidráulica se calcula siempre con diferencias de elevación es aconsejable tomar referencia el pto. Mas bajo para evitar valores negativos ( Z )

El cambio de presión en un líquido homogéneo en reposo debido al cambio de elevación se puede calcular por:

∆ P = γ.h _{∆ P = cambio de presión}

γ = peso especifico del liquido h = cambio de elevación. Ejemplo:

Calcule el cambio en la presión del agua desde la superficie hasta una profundidad de 5 m. γ H2O = 9.81 KN / m3

∆ P =γ. h = 9.81 KN / m3 _{x 5m.}

h = 5 m. ∆ P = 49.05 K Pa PARADOJA DE PASCAL:

En la relación ∆ P = γ . h el tamaño del volumen del fluido no afecta el resultado, el cambio de presión depende solo del cambio de elevación y el cambio del tipo del fluido, no en el tamaño del recipiente donde se encuentra el fluido por lo tanto los recipientes de las figuras tienen diferentes cantidades de fluidos pero con el mismo fluido y por lo tanto la presión es la misma en el fondo de todos los recipientes.

Este fenómeno es importante cuando se debe producir una presión alta en un sistema de tuberías y tanques interconectados.

FUERZAS SOBRE AREAS PLANAS Y CURVAS SUMERGIDAS

Es necesario calcular las fuerzas ejercidas sobre áreas planas y curvas como resultado de la presión del fluido.

Primero calcular la presión:

γ = aceite = Sg x =γH2O = 0.90 x 9.81 KN / m3 = 8.83 KN / m3

P = P atm. + γ h aceite + γ h agua

P = 0 + 8.83 KN / m3 _{x 2.4 m + 9.81 KN / m}3 _{x 1.5 m} P = ( 0 + 21.2 + 14.7 ) K Pa P = 35.9 K Pa A = πd 2 _{= π( 3 m}2 _{) = 7.07 m}2 Y Y F = P. A F = 35.9 KN / m3 _{x 7.07 m}2

Son fuerzas que se ejercen que varían sobre los muros presiones que varían desde “ o “ en superficie hasta una presión en la parte inferior de la pared . la fuerza originada por el liquido tiende a romper la pared o muro en el fondo

En la figura se muestra la distribución de presiones sobre la pared rectangular en donde: FR = P PROMEDIO x A

En la que

Ppromedio = =γ ( d / 2 )

d = profundidad total del fluido FR = =γ ( d / 2 ) x A

De acuerdo a la distribución una mayor porción de la fuerza actúa en la parte baja por lo tanto la presión final se encuentra sobre el centroide del triangulo. la fuerza resultante FR o

actúa perpendicularmente a la pared en este punto, el procedimiento también se aplica para paredes inclinadas.

En la figura el fluido es gasolina ( SG = 0.98 ) y la profundidad total es de 12 ft la pared tiene 40 ft de largo calcule la magnitud de la fuerza resultante sobre la pared y la localización del centro de presión.

γ = ( 0.68 ) ( 62.4 lbs / ft3 _{) = 42.4 lbs / ft}3

La FR actúa sobre la pared en forma perpendicular a 4 ft del fondo de la pared.

Por lo tanto:

FUERZA RESULTANTE: Es la suma de fuerzas que actúan sobre pequeños elementos del área de interés.

CENTRO DE PRESION: es aquel punto sobre un área en el que se puede suponer que actúa la fuerza resultante por tener el mismo efecto la fuerza distribuida sobre el área entera, debido a la presión del liquido.

En la figura se muestra una presa de H2 O cuya cortina tiene 30.5 m. de largo y retiene 8 m.

de agua dulce tiene una inclinación de Ø = 60° Calcule la magnitud de la Fuerza Resultante sobre la pared y localice el centro de Presión.

Calculemos el Area : sen Ø = d L = d = 8 L sen 60° √ 3 2 L = 9.24 m. A = 30.5 m x 9.24 m A = 281.8 m2 F R = 9.81 KN / m3 x ( 8 m / 2 ) x 281.8 m2 FR = 11058 KN Centro de presión = d = d = 2.67 m. L p = L – L 3 8 cui 3 Centro de presión : 2.67 = 3.08 m. L p = 9.24 –

DISTRIBUCION DE FUERZAS SOBRE UNA SUPERFICIE CURVA SUMERGIDA En la figura se muestra un tanque de aceite que tiene una parte abierta a la atmósfera y la otra sellada con aire por encima del aceite ( SG = 0.90 ) Calcule la presión manométrica en los puntos A,B,C,D,E,F, y la presión del aire en el derecho.

El punto A esta expuesto a la atmósfera por lo tanto la. PA = 0 Pa (manométrica) Punto B h = 3 m. γ aceite = (SG aceite) x (0.90) ( 9.81 KN / m3 ) = 8.83 KN / m3 Entonces tenemos: B ∆ PA – B ==γ h = 8.83 KN / m3 x 3.0 = 26.5 KN / m3 = 8.83 KN / m3 PB = PA + ∆ PA – B PB = 0 + 26.5 K Pa = 26.5 K Pa Punto C ∆ PA – C = γ h = 8.83 KN / m3 x 6 m. = 53.0 K Pa Pc = 0 + 53.0 = 53.0 K Pa Punto B = Punto D La PD = PB = 26.5 K Pa PROBLEMAS

1. En el manómetro diferencial que se encuentra en la figura. Calcule la diferencia de presión entre los puntos A y B. SG = 0.85

PA + γ ACEITE ( 13’’) + γ AGUA (9’’) - γACEITE ( 32’’) = PB PB - PA = ( 0.85) ( 62.4 lbs/ft3 ) ( 13’’ / 12 ) – ( 0.85) (62.4 lbs/ft3 )+ 62.4 lbs/ft3 (9/12) PB - PA = 57.46lbs/ft2 - 141.44 + 46.8 lbs/ft2 PB - PA = - 37.18 lbs / ft2 PB - PA = -0.258 lbs / pulg2 PA + γH2O( 500mm.) - γ h G (750mm.) - γ ACEITE ( 150mm.) = PB PA - PB = -9.81KN/m3( 0.5m)+ 9.81KN/m3 ( 0.75m) (+3.54)+9.81KN/m3(1.15)(0.90) PA - PB = - 4.905 KN/m2 + 99.62KN/m2 + 1.324 KN/m2 PA - PB = 96.04 KN/m2 PA - PB = 96.04 K Pa

2. Para el tanque de la figura calcule la profundidad del agua si la profundidad es de 6.90 m. y el medidor del fondo del tanque es 125.3 K Pa.

PA + γaceite ( h ) + γagua ( h ) = PB 0 + ( 0.86 ) ( 9.81 KN/m3_{) (6.90) + 9.81KN/m}2 _(h 1) = 125 KPa 58.21 KN/m2 _{– 125.3 KN/m}2 _{= 9.81 (h} 1) h1 = -67.76 9.81 h1 = 6.84 m.

3. En la figura se encuentra un depósito cerrado que contiene aceite bajo presión de un colchón de aire. Determinar la elevación de la superficie libre del aceite en el piezómetro conectado.

8.1423 Y = 6.30 m.

AREAS PLANAS SUMERGIDAS:

Son superficies planas sumergidas en un liquido completamente deberemos calcular la magnitud de la fuerza resultante sobre el área que puede ser una compuerta vertical o inclinada y así mismo determina la localización del centro de presión en donde actuará la Fuerza resultante.

• El centro de presión del área es el punto en el que se puede considerar que actúa la Fuerza resultante.

• El centroide del área sería el punto de equilibrio de esta si quedara suspendida de dicho sitio es el equivalente al centro de gravedad de un cuerpo rígido.

Ø = ang. de inclinación del área.

B : H = dimensiones de la compuerta o área de la puerta. FR = fuerza resultante

PROCEDIMIENTO PARA EL CÁLCULO

• Localice el centroide del área en base a su geometría.

• Determina la distancia Vertical desde la superficie del líquido hasta el centroide del área.

• Determine Lc como distancia inclinada.

• Calcule el área de al superficie desde donde actuará la FR

• Calcule la FR = ď dc A

• Calcule el Mo de inercia ( I c ) del área alrededor de un eje centroidal.

• Calcule la localización del centro de presión a parte de : LP = LC + I c

o L c A

PROBLEMA

Calcule la magnitud de la FR sobre el área indicada y la localización del centro de presión. Grafique la F. R. y señale su localización

-dc = 0.45 + 0.375 dc = .0825 FR = =γ dc A FR = 8.34 KN/m3x ( 0.825 m.) (0.16m.)2 γ aceite = (0.85) (9.81) FR = 1.09 KNsaceite = 8.34 KN / m3 A PORTILLO = π(0.45m)2 Lc = dc = 0.825m. 4 cos 30° cos 30° A PORTILLO = 0.16m2 Lc = 0.953m Ic = πd 4 _{Lp = 0.953 + 0.0020} 64 (0.953)(0.16) Ic = π (0.45)4 _{Lp = 0.966 m.} 64 Ic = 0.0020 m Lp - Lc = 0.966 m. – 0.953 m. Lp - Lc = 0.013 m.

Sabiendo: A= π d 2 _{sen 70°= ( CO / 0.5m. + Ŷ )} 8 Ŷ = 0.212D CO = 0.5 M. + 0.318 M, Ŷ = 0.212 ( 1.5m.) = 0.318 m. CO = (0.818)X Sen 70° CO = 0.769 m. Ic = 6.86 x10-3 _D4 A = π d 2 _{= π ( 1.50)} 2 _{dc = 0.769m x 0.80 m.} 8 8 dc = 1.569 m, A = 0.884 m2 FR = 0.88x 9.81KN/ m3 _{x 1.569m.x 0.884 m}2 FR = 11.97 KN Lc = dc = 1.569 m. = 1.67m. Sen 70° Sen 70° LP = Lc + I = 1.67 + 6.86x 10-3 (1.5) 4 = 1.694 m. Lc ( A ) (1.67) (0.884)

El tanque de la figura contiene aceite lubricante con una (SG = 0.90 ) el portillo rectangular con dimensiones B = 4 ft , H = 2 ft esta situada en la pared inclinada de tanque ( Ø = 60° ) el centroide está a una profundidad de 5 ft a partir de la superficie del líquido (aceite) calcule la FR sobre el portillo y localice el centro de presión.

Lc = dc = 5ft = 5.77 ft Sen Ø sen 60°

A□ = 4 x 2 = 8 ft2

Calculamos la FR = γ dc A

γ _aceite = (SG)aceite x ARCATA H2O

γ aceite = ( 0.91) ( 62.4 lbs /ft3 )

γ Aceite = 56.8 lbs / ft3

FR = ( 56.8 lbs / ft3 _{) ( 5 ft ) ( 8 ft}2 ₎

FR = 2270 lbs.

El punto E este al mismo nivel del punto A Pto E = PA = 0 PA

Pto F el cambio de elevación entre A y F es 1.5m. pero está alto que el punto de referencia

Δ PA – F = γ h PF = PA + Δ PA – F

Δ PA – F = - (8.83 KN/m3 x 1.5 m) PF = 0 – 13.2 K Pa

Presión del aire esta expuesto a la superficie del aceite donde la presión es - 13.2

Por lo tanto la presión del aire es – 13.2 K Pa o 13.2 K Pa x debajo de al presión atmosférica.

CABEZA PIESOMETRICA

Cuando sobre la superficie libre existe una presión diferente a la presión atmosférica, es necesario calcular por el método de profundidad equivalente en el cual la presión real por encima del fluido (Pa) es convertida a una profundidad equivalente del fluido; que se ocasionará la misma presión osea.

d a = Pa

ď d equiv. = d + d a

d ce = d c + d a

Para localizar el centro de presión tenemos, que tener el Mo de inercia con respecto al eje

centroidal ( I c ) I c = B H3 / 12 para rectángulo I c = ( 4 ft ) ( 2 ft )3 12 I c = 2.67 ft 4

Si ya tenemos:

I c = 2.67 ft 4 Le = 5.77 ft y A = 8 ft 2

LP = LC + I C

Lc A

LP = 5.77 ft + 2.67 ft4 Quiere decir que el centro de presión

(5.77ft)(8ft2_{) está a 0.058 ft x encima del}

centroide del portillo . LP = 5.77 ft + 0.058 ft

LP = 5.828 ft

Y por lo tanto para superficies, planas sumergidas tenemos que calcular el centro de presión donde actúa la Fuerza Resultante en forma perpendicular y el centro de presión se halla mediante el Mo de inercia.

Lp = Lc + I c Lc A

CENTRO DE PRESION DEL AREA

Es el punto en el que se puede considerar que actúa la FR.

CENTROIDE DEL AREA: Es el punto de equilibrio de esta si quedara suspendida de dicho lugar, es el equivalente al centro de gravedad de un cuerpo sólido.

Podemos hallar el mismo ejemplo anterior siendo un tanque cerrado y existiendo una de 1.50 lbs / pulg2 _{manométrica por encima del aceite.}

Podemos hallar el mismo ejemplo anterior siendo un tanque cerrado y existiendo una presión de 1.50lb/ pulg2 _{Manométrica por encima del aceite.}

d a = Pa = 1.5lb/pug2 = 0.0264 ft 3 x 144pulg2

γa 56.8 lb pulg2 1 ft2

d a = 3.80 ft

Entonces la profundidad equivalente al centro será: d ce = da + dc d ce = 3.80 ft x 5 ft d ce = 8.80 ft FR = γ dce A FR = (56.8 lbs/ft3 _{) (8.80 ft) (8ft}2₎ FR = 3 999 lb Lpe = dce + 2.67 ft4 Sen 60° (10.16 ft) (8 ft 2 ₎ Lpe = 8.80 ft + 0.033 ft Sen 60° Lpe = 10.16 + 0.033 Lpe = 10.19m.

Quiere decir que el centro de presión está a 0.033 ft x debajo del centroide del portillo.

FUERZAS SOBRE CURVAS SUMERGIDAS

El sistema de fuerzas que actúan sobre una curva sumergida, consiste en una fuerza horizontal y vertical que actúa sobre el fluido por la superficie debiendo hallar la fuerza resultante cuya línea de acción actúa a través del centro de curvatura de al superficie curva.

F1 = F2a FH = F2b FV = W dp = dc + a s 3 12 dc A pero: A = a . s dp = dc + s 2 12 dc

Para calcular de acuerdo a la figura la fuerza en una superficie curva sumergida podemos determinar lo siguiente:

1. Aislar el volumen del fluido que está por encima de la superficie curva. 2. calcular el peso del volumen aislado.

W = =γH2O x Volumen

3. La FV es igual al peso del volumen y determinamos la altura de la superficie curva

representada por s.

4. Calcule la profundidad del centroide del área proyectada. d c = d + S / 2

5. Calcule la

dc = altura de la superficie al centroide.

6. Calcule

d p = d c + S2 / 12 dc

7. Calcule la FR = √ (F2

V + F2 H )

8. Calcule el ang. de inclinación de la FR con respecto de la horizontal Ø = tg-1 _Fv

FH

9. Grafique la FR que actúa sobre la superficie curva en la dirección y que su línea de acción pase por el centro de curvatura de la superficie.

FLOTABILIDAD Y ESTABILIDAD

FLOTABILIDAD: Un cuerpo que se encuentra en un fluido ya sea flotando o sumergido, es empujando hacia arriba porque una fuerza igual al peso del fluido desplazado, la fuerza boyante o flotante actúa verticalmente hacia arriba a través del centroide del volumen desplazado y se el define de manera matemáticamente mediante el principio de Arquímedes.

Donde:

Fb = γf Vd Fb = fuerza boyante o flotante. γf = Peso específico del fluido. Vd = volumen desplazado del fluido.

Los problemas que tratan sobre flotabilidad deben bajarse en la aplicación del equilibrio estático en la dirección vertical ∑ FV = 0 si el objeto esta en reposo en el fluido ya sea

cuerpos flotantes o sumergidos podemos tener las siguientes consideraciones:

1. Determinar el objetivo de la solución del problema osea el objetivo es encontrar una fuerza, volumen, peso específico o peso.

2. Dibujar un diagrama del cuerpo libre, mostrando todas las fuerzas que actúan en forma vertical sobre el cuerpo.

3. Escribir la ecuación del equilibrio ∑ FV = 0

4. Resolver la ecuación para la fuerza, peso, ď, etc. Tomando en consideración lo sgte:

Fb = γf Vd W = γ V

Un objeto con un γ promedio <f tenderá a flotar debido a que W < Fb con el objeto sumergido.

Un objeto con un γ promedio > γ f tenderá a hundirse debido a que W > Fb con el objeto sumergido.

Un cubo de 0.50 cm de lado hecho de bronce, con un ď = 86.9 KN / m3 _{determine la}

longitud de la fuerza requerida para mantener al cubo en equilibrio cuando se encuentra completamente en : a) agua b) en mercurio SG = 13.54 ∑ F V = 0 Fb + Fe - W = 0 Fe = W – Fb W = γ CUBO x V W = (0.50)m3 _{x 86.9 KN/m}3 W = 10.86 KN Fb = (9.81 KN/m3_{) (0.50m)}3 Fb = 1.23 KN Fe = 10.86 KN -1.23 KN Fe = 9.23 KN

Resultado (+) esto indica que la dirección que suponíamos para Fe era la correcta ya que

recitamos una fuerza extrema = 9.63 KN para mantener el bloque de bronce en equilibrio bajo el agua.

Fe + Fb – W = 0 -Fe + Fb – W = 0

Fe = W - Fb Fe = Fb + W

De la anterior W y Fb son iguales. Fb =SG hg + γ H2O (V) Fb = (13.54 ) (9.81KN /m) (0.50)3 Fb =16. 06 KG Fe = 10.86 KN – 16.06 KN Fe = Fc - W F e = .-5.74 KN Fe = 16.60 KN – 10.86 ) 5.57 Fe = 5.74 KN La presión requerida es una fuerza debajo de 5.74m.

γ Bronce = 86.9 KN / m3

γ _{fluido H2O} = 9.81 KN / m3

γ fluido hg = 132.8KN / m3

γ _cubo < γ Hg por lo tanto el cubo flotará pero necesitamos una fuerza hacia abajo para

mantenerlo en equilibrio bajo la superficie del mercurio.

γ _{cubo >} γ_{H2O por lo tanto el cubo se hundía pero necesitamos la fuerza hacia arriba para} mantenerla en equilibrio bajo la superficie del agua .

Ejemplo 02

Un cubo de 0.80mm de lado está hecho con un material esponjoso rígido y flota en el agua con 60mm. Por debajo de la superficie. Calcule la magnitud y la dirección de la fuerza requerida para mantenerlo completamente sumergido en glicerina. SGglicerina = 1.26

∑Fv = 0 Fb – W = o W = Fb = γ fv

∑Fv = 0

Fb – Fe – W = 0 Fe = Fb – W Vd = (80mm.)3

Vd = 512 x 10 3 _{mm la ultima total del cubo}

γ f = (1.26)(9.81 KN/m3 _{) = 12.36 KN/m}3

Fe = ď f Vd - 3.77 N

Fe = (12.36 x 10 3 _{N ) (512 x 10}3 _mm3_{) ( ( 1 m}3 _{) ) -3.77 N}

m 3 ₍₁₀3 _mm)3

Fe = 6.3N - 3.77 N = 2.56 N

Se requiere una fuerza hacia abajo de 2.56N…

ESTABILIDAD DE LOS CUERPOS EN UN FLUIDO

Un cuerpo en un fluido es considerado estable si regresa a su posición original después de haberse girado un poco a su alrededor de un eje horizontal: La estabilidad depende de la posición del cuerpo.

 Si el cuerpo esta completamente sumergido O  Si el cuerpo se encuentra flotando.

ESTABILIDAD DE CUERPOS COMPLETAMENTE SUMERGIDOS

Ejemplos de cuerpos completamente sumergidos: Los submarinos y Globos climatológicos; este tipo de objetos permanecen en una orientación específica a pesar de la acción de los

El centro de flotabilidad se encuentra en el centroide del volumen vertical.

Es el peso del cuerpo que actúa en forma vertical hacia abajo a través del centro d gravedad.

a) Porción original b) Por. Ligeramente c) Por. Invertida orientación inclinada orientación invertida

En la segunda figura se muestra la acción de la fuerza boyante y el peso del cuerpo para producir un par que tiende a girar al cuerpo a su posición original y el centro de gravedad sigue flotando por debajo del centro boyante y también es estable.

En la tercera figura la inclinación hace que las fuerzas boyantes el peso produzca un par que tiende a voltear el cuerpo y su orientación es inestable el centro de gravedad se encuentra por encima de la CB.

Si el CG y el cuerpo de flotabilidad de un cuerpo coinciden como en el caso de un cuerpo sólido, el peso y la fuerza boyante actúan a través del mismo punto, sin que se produzca el Par. En este caso, el cuerpo tendría una estabilidad neutral y permanecería en cualquier orientación en la que se colocara con respecto a su eje horizontal.

ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES

Un cuerpo flotante es estable solo si su centro de gravedad está por debajo del Metacentro, además debe estar por encima del centro de Flotabilidad

.

a) b)

a) El cuerpo flotante se encuentra en equilibrio el CG se encuentra por encima del centro de flotabilidad en el eje vertical se encuentra el Metacentro y a una distancia MB del centro de Flotabilidad.

b) De acuerdo a uno de los autores determinamos

Si se gira el cuerpo al lado izquierdo, el centro de flotabilidad se desplaza debido a que su geometría se ha modificado, la fuerza boyante y el peso producen un Par de rectificación que tiende a regresar el cuerpo a su posición anterior.

El Metacentro se ubica en la intersección de los 2 ejes.

METACENTRO: Con el fin de establecer la condición de estabilidad de un cuerpo flotante es la intersección del eje vertical de un cuerpo se encuentra en equilibrio y la recta vertical que pasa por la nueva posición del centro de flotabilidad cuando el cuerpo es girado ligeramente.

Analíticamente un cuerpo flotante es estable mediante el cálculo de la posición de su Metacentro respecto al centro de flotabilidad osea:

MB = I / Vd Vd = volumen desplazado del fluido

I = Mínimo momento de inercia de una sección horizontal del cuerpo tendera en la superficie del fluido.

Si la distancia MB coloca al METACENTRO por encima del CG el cuerpo es estable. Ymc = Y CB + M B

1. CANAL O FLUJO DE VOLUMEN: Es la cantidad de Volumen de un Fluido q se desplaza en una unidad de Tiempo. Puede calcularse por :

Q = VA

* Donde: * Sus Unidades:

- A = Es ala sección de la tubería. – m3_{/seg ; l/seg. ; GPM}

- V = Velocidad Promedio del flujo.

2. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD: La continuidad de Fluido q pasa por cualquier sección en un cierto tiempo es constante.

Si el Flujo es constante o estable --- A1V1 = A2V2

Q1 = Q2

Si tenemos un ducto como se muestra cuyos diámetros son 50mm y 100mm Fluye agua con una velocidad inicial de 8m/seg. Calcular la V2 y el caudal.

A1 =

π

d2/4 = 3.1416/4 (50mm)2 = 1963mm2 A2 =

π

d2/4 = 3.1416/4 (100mm)2 = 7854mm2 V2 = V1(A1/A2) = 8m/seg.(1963mm2/7854mm2) V2 = 2.0m/seg. Q = A1V1 = 1963mm2x8m/seg.x1m2/(103mm)2 Q = 0.0157m3_/seg.

3. CONDUCTOS Y TUBERÍAS COMERCIALMENTE DISPONIBLES: Los conductos y tuberías q mas se usan son:

a) Conducto de Acero: Determinado mediante calibres de mayor uso: calibres de 40’ y 80’, para transportar líquidos acidificados y con grandes presiones. b) Tuberías de Acero: Se utilizan en sistemas hidráulicos, condensadores, intercambiadores de calor, sistema de combustible de motores. Son de diámetros estándar desde 1/8” a 2”.

c) Tubos de Cobre (Cu): Se usa para refrigeración y aire comprimido puede ser Cobre tipo K o L

* Clases 90 --- 90lb/pulg2 _{* Clases 70 --- 70lb/pulg}2

4. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA ( ECUACIÓN DE BERNOULLI ): Por física sabemos q la energía no se crea ni se destruye solo se transforma. Es la conservación de la energía cuando se analizan problemas de Flujo en conductos , existen 3 formas de energía:

* Energía Potencial = Z * Energía Cinética o Velocidad = V2_/2g

* Energia de Flujo o Estática = P/&

Energia Total = Energia Potencial + Energia Cinética + Energia del Flujo

• Movimiento del Flujo entre 2 puntos sino hay perdida o ganancia se indica: A A A L B B B A HL P g V Z P H g V Z P = ⇒ + + = − + + γ γ γ 2 2 2 2

Los términos de la Ecuación de Bernoulli a la Energía también se les conoce como Cabezas; Cabeza de Presión (P/&), Cabeza de Velocidad (V/2g), Cabeza de elevación. A la sumatoria se le llama Cabeza Total.

• La Ecuación de Bernoulli es valida solo para Fluidos incomprensibles.

• N o puede haber dispositivos mecánicos entre las 2 secciones de interés.

• No puede haber transferencia de calor hacia el Fluido o fuera de este.

• No debe haber perdidas de Energía debidas a la Fricción.

5. TANQUES, RECIPIENTES Y BOQUILLAS EXPUESTAS A LA ATMÓSFERA:

• Las Presiones en la superficie expuestas a la Atmósferas es igual a CERO (0).

• Las Presiones a la misma altura se consideran IGUALES (=).

• La velocidad en la superficie del liquido expuesta a la Atmósfera tienden a CERO (0), por lo tanto se considera 0.

• Si el conducto es de un solo diámetro en los puntos internos la Velocidad es la misma por lo tanto también podemos ELIMINARLOS.

• Si la Elevación es la misma de los puntos de referencia entonces las Elevaciones se SIMPLIFICAN.

En la figura se muestra a un sifón para sacar agua el conducto tiene un diámetro de 40mm y termina en una boquilla de 25mm de diámetro, suponiendo q no existe perdida de energía calcule el caudal a través del conducto y la Presión en los puntos A, B, C, D y E. g V Z P g V Z P _B B B A A A 2 2 2 2 + + = + + γ γ =0 γA P =0 γB P VA =0 (2 )( ) 2 (3 ) 7.67 _. 2 2 seg m m g Z Z g V g V Z Z B _{B A B} B A − = ⇒→ = − = = )( (50 ) /4) 3.77 10 _. . 67 . 7 ( 2 3 3 seg m x mm seg m A V Q= B B = π = −

Bernoulli entre los puntos A y B :

g V Z P g V Z P _B B B A A A 2 2 2 2 + + = + + γ γ 0 = A P g V Z P Z B B B A 2 2 + + = γ ZA −ZB =0 0 = A V g V P_{B B} 2 2 − = γ

P

B

=

−

4

.

50

KN

_m

2 g V Z P g V Z P _C C C A A A 2 2 2 2 + + = + + γ γ 0 = A P ZA −ZC =−1.2m 0 = A V PC =−16.27KPa

0 =

A

V

P

E

=

24

.

93

KN

_m

2

FLUIDOS

1. DEFINICIÓN: Son sustancias capaces de Fluir con partículas q se mueven y cambian de posición relativa con Fricción y sin separación de las mallas. Los Fluidos prácticamente No Ofrecen resistencia al cambio de forma, se conforman verdaderamente a la forma del cuerpo solidó con los q están en contacto.

Los Fluidos se dividen o clasifican en Líquidos y Gases cuyas principales diferencias son:

• Un Liquido tiene una superficie libre y cierta masa de un Liquido ocupa solo un volumen dado en un recipiente, mientras q un Gas no tiene una superficie libre y una masa dada ocupa todas las porciones de cualquier recipiente cualquiera sea su forma.

• Los Líquidos son prácticamente Incompresibles y por otra parte los Gases son Compresibles.

• El comportamiento de Líquidos y Gases es análogo en conductos Cerrados (Tuberías) y no en conductos Abiertos.

• COMPRESIBILIDAD: Es la propiedad q tienen los cuerpos o fluidos de reducir su volumen bajo la acción de presiones externas, estas se estudian en la Termodinámica, en cambio los Líquidos Incompresibles se estudian en la Mecánica de Fluidos, algunos Gases como el aire de ventilación también se considera Incompresible.

ECUACIÓN DE LA ENERGÍA TOTAL O ECUACIÓN BERNOULLI

Sustituyendo por las diferentes clases de Energía tenemos: Hl g V Z P g V Z P + + + = + + 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 γ γ *Donde: - _γP = Energía Estática en m -g V 2 2 = Energía de Velocidades m - Z = Energía Potencial en (m).

- HL = Perdida de Energía debido al Flujo.

En términos de Presión se puede presentar así:

(HS + HV + HZ)1 = (HS + HV + HZ)2

+ HL

2. CONCEPTOS USADOS EN MECÁNICA DE FLUIDOS: a. Presión: Es toda fuerza q actúa sobre una unidad de superficie:

• Presión Atmosférica: Es el peso del aire q actúa sobre todas las direcciones a nivel del mar es : 1.033kg/cm2_{, 14.7PSi, 760mmhg. Esta}

Presión en cualquier lugar y a cualquier Temperatura se puede hallar por lo sgte.:

* Donde:

- P2 = Presión Atmosférica a la Altura h en PSi.

- P1 = Presión Atmosférica a nivel del mar = 14.7PSi.

- h = Elevación sobre el nivel del mar en ft. - ºF = Temperatura en ºF a la Elevación h.

•Presión Absoluta: Simplemente, es igual a la Presión Relativa mas la Presión Atmosférica.

b. Peso Especifico: Es el Peso por la unidad de Volumen : W

=

γ

(Energía Total)1 = (Energía Total)2 + (Perdida de Energía)1-2

LogP2 = logP1 – h/122.4(ºF + 460)

Como W = M*g se deduce q: γ =ρg

d. Volumen Especifico: Es el reciproco del Peso Especifico cuya unidad es m3_/kg.

Ósea es el Volumen q ocupa 1kg de Peso. Vespecifico =_γ1

e. Viscosidad: En los Fluidos la deformación aumenta bajo la acción del esfuerzo cortante por pequeña q sea este. La Viscosidad puede ser: Dinámica y Cinética.

• Viscosidad Dinámica (u): Produce una resistencia de superficie o resistencia por deformación a q unas capas de Fluido resbalen sobre las otras y por tanto una perdida de energía. Sus unidades son:kg-f/m2_;

Kg.-masa/m.seg; dinas-seg./cm2 _{= poise. 1poise = 0.01019kg.seg/m}2

La Viscosidad de los Fluidos varia con la Temperatura en los Gases aumentando y en los Líquidos disminuyendo, pero independientemente de la Presión.

• Viscosidad Cinética (V): (L)2_(T)-1_{. Esta varia con la Presión y Temperatura}

en los Gases mientras q en los Líquidos varia con la Temperatura. ν =_ρµ

3. CLASIFICACIÓN DE LOS FLUJOS:

a. Flujo: Es el movimiento del Fluido con respecto a un sistema inercial de coordenadas. Se clasifican en :

* Uniformes: Si las cantidades físicas permanecen constantes en el espacio * No Uniformes: Si las cantidades físicas no permanecen constantes en el espacio y es con respecto al tiempo se clasifican en:

• Permanentes o Estacionarias: Si las cantidades de Flujo permanecen constantes en el tiempo.

• No Permanentes: Si las cantidades de Flujo No Permanecen constantes en el Tiempo.

En conclusión podemos indicar:

• Flujo Uniforme Permanente: Ninguna de las características del Flujo (Presión y Velocidad), varían en el Espacio y/o Tiempo.

• Flujo Uniforme No Permanente: Las características no varían en el Espacio pero si en el Tiempo (difícil de encontrar porq los cambios deberían de darse en forma simultanea).

• Flujo Variado Permanente: Las características del Flujo varían con el Espacio pero no con el Tiempo.

• Flujo Variado No Permanente: Se le conoce como Flujo Uniforme No Permante, esta

relacionado con el fenómeno de Golpe de Ariete.

• Flujo Uniforme: Para el caso del Flujo en Tuberías actúan 3 fuerzas: Fuerzas de Presión, Fuerzas Gravitacionales y Fuerzas de Fricción. Las dos primeras tratan de acelerar el Flujo y la ultima trata de frenarlo en el caso del Flujo Uniforme existe equilibrio entre estas 3 Fuerzas.

NUMERO DE REYNOLD

1. Caudales Bajos: Los Fluidos Tinta y Agua fluyen ordenadamente.

La Tinta no se Mezcla.

2. Caudales Intermedios: Hay pequeña dispersión de la Tinta.

En base a su experimento Reynold determina q al pasar Flujo Laminar a Turbulento existe una zona de transición:

- Flujo Laminar de 0 – 2200 - Flujo Transición de 2200 – 5000 - Flujo Turbulento Mayor de 5000 Habiendo calculado por la siguiente relación:

NºRe =Vd_ν

V = Velocidad Media en (m/seg.). O = Diámetro del Tubo en (m).

ν = Viscosidad Cinemática en (m2_/seg.).

ECUACIÓN PARA EL DISEÑO DE TUBERÍAS CIRCULARES

Para el diseño de tuberías tanto para el Flujo Laminar y Flujo Turbulento y así mismo establecer la diferencia entre el Flujo Hidráulicamente liso del Flujo Hidráulico Rugoso. 1. FLUJO LAMINAR: Para establecer las condiciones y principios q gobiernan el Flujo

en Tuberías se debe tener en cuenta:

• En este tipo de Flujo las Fuerzas Viscosas priman sobre las Fuerzas Inercias.

• En este caso se cumple la ecuación de Newton para Fluidos Viscosos. τ =µ_dydv

Para este tipo de Flujo el Caudal puede calcularse por la siguiente relación: de Hagen Poiseuille Q= d x g x∆_lh µ ρ π 128 4 π₁₂₈ρ_µδ 4 _{g f} d Q = l Hl f = δ

Hagen Poiseuille. Son muy similares a las ecuaciones q gobiernan el Flujo Uniforme en cualquier tipo de conductos:

• Canales = Fuerzas Gravitacionales.

• Tuberías = Presión.

Las Fuerzas q tratan de frenar el Flujo son las de Fricción causadas por el esfuerzo cortante Turbulento.

La perdida de Cabeza debido a la Fricción q experimenta un Fluido cuando fluye por una Tubería circular depende del diámetro (d), longitud (l), velocidad media(^v), de la rugosidad absoluta de la tubería (ks), de la gravedad (g), de la densidad () y la velocidad del fluido para calcular la perdida por Fricción se relacionan los parámetros adimensionales:

Variables Nombre Dimensiones

h Cabeza=Altura L l Longitud L v Velocidad Media LT-1 Ks Rugosidad de la Tubería L g Gravedad LT-2 Densidad ML-3 Viscosidad ML-1_T-1 d Diámetro L 8 variables 3 dimensiónales Parámetros Adicionales = 8 – 3 = 5

los cuales son:

• π1 =_dl • π₂ = Ks_d • 3 2 V gd = π • π4 =dV_µρ • π₅ =Hf_d

Los casos q se determinaron es para Flujos q fluyen en un Conducto Circular, lleno sin embargo muchos problemas implican el uso de secciones transversales no circulares tal como se representa a continuación:

A = Pi (D2 _{– d}2_{)/4 A = S}2

PM = Pi(D + d) PM = 4S

Intercambio de Casco y Tubo Ductos de Distribución

A = BxH A = S2 _{– Pid}2_/4

PM = 2B + 2H PM = 4S + Pid

Ducto de Distribución Trayectoria de Flujo Dentro de una Maquina.

La dimensión característica de las secciones transversales no circulares se llaman Radio Hidráulico.

R= _PMA = _perimetromarea _ojado

Para Flujos en secciones no circulares se calcula el Nº de Reynold parecida a las Tuberías solo se sustituye el diámetro por 4R:

NºRe =Vd_µρ Comprobando:

4

4

2

d

d

d

P M

A

R

=

=

=

π

π

d = 4R

g V x R l f Hf 2 4 2 =

La Rugosidad Relativa = Ks/4R el factor de Fricción se puede determinar por el diagrama de Moody o aplicando Colebrock White.

Combinando los parámetros adimensionales se puede deducir la Ecuación de Darcy – Weisbach. xV_g d l f Hf 2 2 =

f es el factor de fricción q esta en función del Numero de Reynold y la Rugosidad Relativa. Para Flujos Hidráulicamente Lisos: Tamaño de Rugosidad Ks= 0.305signofalta

Para Flujo Turbulento se puede utilizar la Ecuación de Blasiu: f = 0.316/Re0.25

Se sabia q el factor de fricción f solo era función del Nº Reynold: 1_f =2log Re (f)−0.8

Para Flujos Hidráulicamente Rugosos: Tamaño de Rugosidad Ks 〉_6.10δ: 1 =2log10( )+1.14

Ks d f

Para Flujos Transicionales: Tamaño de la Rugosidad = 0.305

δ

K s

≤〈

.6

1 0

δ

) Re 51 . 2 7 . 3 ( log 2 1 10 f d Ks f = +

1. DIAGRAMA DE MOODY PARA EL FACTOR DE FRICCIÓN: Moody investigo las perdidas de fricción en tuberías con rugosidades reales y no artificiales para lo cual se aplica en flujos desde Laminar hasta Turbulento Hidráulicamente Rugosos. Reaccionando el Nº de Reynold, Rugosidad Relativa, se puede hallar el factor de fricción (f).

Ejemplo: Determinar el Hf en el Flujo de 8000l/min, de un aceite de viscosidad de 0.00001m2_{/seg. a través de una tubería de fierro dúctil de 300m, de longitud y diámetro}

de 200mm.

V = Q/A = 8000l/min(1m3_{/1000l)(1min/60seg.)/Pi(0.2m)}2_/4

V = 4.24m/seg.

Re = 4.24m/seg. x 0.2m/0.00001m2_/seg.

Por el Diagrama de Moody tenemos Re 84800 Ks/d = 0.0013 0.0013 0.001---0.023 f = 0.0239 0.002---0.026 --- 0.001---0.003 0.0003---X X = 0.0003x0.003/0.001 X = 0.0009 f = 0.023+0.0009 f = 0.0239

Aplicando Dancy Weisbach tenemos: Hf = f l/D x V2_/2g

Hf = (0.0239)(300m)(4024m/seg.)2_{/(0.2m)(9.80m/seg.)}2

PROBLEMAS :

1. Se desea calcular el Q de que puede ser movido a través de una tubería de Pec. de 12” diámetros nominal y 730m de longitud q conecta dos tanques de abastecimiento de agua potable con una diferencia de nivel de 43.5m . El diámetro real de la tubería es de 293mm y su rugosidad absoluta es de 1.5x10-6_{m, todos los accesorios q forman parte}

del sistema, incluyendo las entradas y salidas implican un coeficiente global de perdidas menores Km de 11.8 el agua se encuentra a 20ºC.

Para el agua a 20ºC su longitud = 998.2Kg/m3

u = 1.005Pa.s ; viscosidad = 1.007x10-6_m2_/s

Aplicando el diagrama 1 se resuelve el problema.

H (m) Ks/d (-) Hfi (m) V ( m/seg.) Hf(i+1) (m) 43.5 5.119E-06 43.5 5.6100229 1 24.5716711 43.5 5.119E-06 24.5716711 4.1154744 7 33.3135507 43.5 5.119E-06 33.3135507 4.8548697 6 29.324507 43.5 5.119E-06 29.324507 4.5302824 9 31.156635 43.5 5.119E-06 31.156635 4.6817502 9 30.3174479 43.5 5.119E-06 30.3174475 4.6128994 6 30.7023278 43.5 5.119E-06 30.7023278 4.6445850 6 30.5259118 43.5 5.119E-06 30.5259118 4.6300844 4 30.6067968 43.5 5.119E-06 30.6067968 4.6367376 4 30.5697164 43.5 5.119E-06 30.5697164 4.6336886 1 30.5867162 43.5 5.119E-06 30.5867162 4.6350866 7 30.5789227 43.5 5.119E-06 30.5789227 4.6344457 8 30.5824957 43.5 5.119E-06 30.5824957 4.6347396 1 30.5808576

V = 4.634m/seg.

Q = VA

Q = 4.634m/seg. (

π

(0.293)2_/4)

Q = 0.3124m3_/seg.

2. Cual es la Densidad Relativa , el Peso Especifico y la Densidad Absoluta del Hg.

La Densidad Relativa es la relación entre el Peso o Masa de un mismo Volumen de Agua a la Temperatura de 4ºC así tenemos q la Densidad Relativa de algunos líquidos.

Nombre Densidad Relativa TºC Agua Dulce 1.00 4 Agua de Mar 1.02 – 1.03 4 Petróleo Bruto Ligero 0.86 - 0.88 15 Petróleo Bruto Pesado 0.92 – 0.93 15 Kerosene 0.79 – 0.82 15 Gasolina 0.70 – 0.75 15 Aceite 0.89 – 0.92 15 Glicerina 1.26 0 Mercurio 13.6 0

Por lo tanto Densidad Relativa del Hg = 13.6

γ Hg = (13.6)(1000Kg/m3)(γH2O) = 13600Kg/m3

ρHg = (13600Kg/m3)/(9.8m/seg2)

YHg = 1388Kg-seg2/m4

3. Calcular la Presión Atmosférica en la ciudad de Tacna que se encuentra a 535msnm y a una Temperatura estándar de 15ºC.

Aplicando : logP2 = logP1 – (h / 122.4 TºC)

t = 15ºC = 59ºF logP2 = log14.7 – (535m * 3.28 / 122.4(460+59))

logP2 = 1.167317 – 0.027624

P2 = 13.79Psi

Se puede transformar a cualquier unidad generalmente a mmHg o metro de agua, etc.

4. Se desea transportar Petróleo crudo desde el pozo de producción hasta la batería de tanques de almacenamiento. El caudal es 1904gal/min. y se dispone de una bomba de 30Km, el Pozo y la batería se encuentra al mismo nivel separados a 822m, si la Viscosidad Cinética del Petróleo es 4x10-4_m2_{/seg. y su Densidad es de 0.89 que}

diámetro deberá tener la tubería?. Su Velocidad Media?, y compruebe si el Flujo es Laminar. Eff bomba = 85%.

Pot. = (1/n)Densidad Qh Donde:

Pot. = Potencia 1Kw = 1000N – m /seg.

h = Altura o Cabeza promedio x bomba h = (890)(30000)(N-m/seg.)(0.101972Kg/N)/(890Kg/m3_)(0.12m3_/seg.) h = 24.34m l h x g x d Q µ ρ π 128 4 = d m h Ql x g x d 0.286 ) 34 . 24 )( 81 . 9 )( ( ) 12 . 0 )( 822 )( 0004 . 0 )( 128 ( 128 4 4 _{= ⇒→ = =} π ρµ π Calculamos: 1.87 _. ) 286 . 0 )( ( ) 12 . 0 )( 4 ( ˆ m_seg A Q v = = = π

Calculo del tipo de flujo: 1337

0004 . 0 ) 286 . 0 )( 87 . 1 ( ˆ Re = = = γ d v

∴

Es un flujo de tipo Laminar y el diseño es correcto.

********************************************

PERDIDA DE CABEZA DEBIDO A LA FRICCIÓN

1.- Definición: Cuando se trata de conductos cerrados, el único tipo de energía q puede perderse por razón del movimiento del fluido es la energía de Presión, la energía cinética debe permanecer constante si el área es constante y la energía potencial solo depende de su posición por lo tanto:

Hf = f (l/d) (V2_/2g)

Llamada tambien Ecuación de Darcy Weisbach Donde:

Hf = Perdida de Presión por Fricción. f = Factor de Fricción de Darcy.

l = Longitud del Tamaño de la Tubería en el cual se Pierde. d = Diámetro de la Tubería.

V = Velocidad Media.

2.- Factor de Fricción Para Flujo Laminar: Darcy Weisbach determino el Factor de Fricción para Flujos Laminares utilizando la Ecuación de Hagen Poiseuille:

f = 64/Re

El Factor de Fricción en Flujos Laminares es Fricción única del Nº de Reynold.

3.- Factor de Fricción Para Flujo Turbulento: Para Flujos Turbulentos los conductos circulares se debe usar el diagrama de Moody y q este en Fricción de la Rugosidad Relativa y el Nº de Reynold y q cambiando ambos parámetros se obtiene f:

Rugosidad Relativa = Ks / D Y

ν

Vd NºRe =

) 51 . 2 ( log 2 1 10 f NR f =

En la zona de transición el Factor de Fricción esta en función del Nº de Reynold como la Rugosidad Relativa y puede hallarse por la Ecuación:

1 2log10(_{3.7 Re}2.51 )

f d

Ks

f =− +

Llamada tambien la Ecuación de Colebrock White.

DISEÑO DE TUBERÍAS

La Tubería Simple tiene un diámetro constante y esta hecha de un solo material a lo largo de tuda su Longitud. La energía q mueve al Fluido puede ser del tipo Gravitacional tanque de embalse o mecánica (bomba), en este caso para ser considerada Tubería Simple la bomba debe estar localizada en uno de los extremos. La Tubería Simple puede tener cualquier tipo de accesorios q produzcan perdidas menores pueden ser estrangulamientos bruscos o suaves o válvulas de control.

1.- Redes de Distribución: El calculo de Tuberías es muy frecuente en Ingeniería ya q se calcula la instalación de Refrigeración y Aire acondicionado, en los Proyectos de Plantas Industriales, Refinerías, etc. Un caso muy importante es determinar el diseño de la bomba para lo cual se debe especificar la Altura Total de bombeo o denominada tambien Cabeza Total. En toda Red de distribución tenemos:

a. Tuberías en Serie : Es cuando el Fluido se transporta por Tuberías conectadas una a continuación de otra. Por lo tanto si no hay perdida de caudal se determina:

• El caudal se mantiene constante ósea:

QT = Q1 = Q2 = … = Qn

• La conservación de la energía.

• La Perdida de Presión (Hr), es la suma de las perdidas q se tiene en los tramos parciales:

PROBLEMAS DE TUBERIAS EN SERIE Tipo de Problema Datos Conocidos Incognita Problema Directo Q, l, d, V, Ks Ht = Hf+Hm Problema Inverso Ht, l, d, V, Ks Q

Problema Inverso Ht, Q, l, V, Ks d

PROBLEMA: Como parte del sistema de riego de un terreno se utilizan 2 tuberías en serie para conectar la bocatoma con un tanque de almacenamiento. La diferencia de nivel entre ambas es de 31.7m. Estando la bocatoma por debajo del tanque. El caudal q debe de llegar al tanque es de 87l/seg. la 1º tubería de acero tiene un diámetro de 8”, l = 184m. y un coeficiente global de perdidas menores de 7.1m al final de esta debe sacarse aguara para regar la parte baja por 94l/seg.

la 2º tubería en PUC tiene una longitud de 393m, diámetro de 6” y un coeficiente global de perdidas menores de 11.2m, el cual incluye una válvula de control. Calcular la Potencia de la Bomba . El Fluido es agua. 15ºC.

TUBERÍA Nº01:

QT = Q2 + Q3 = 94l/seg. + 87l/seg. = 181l/seg.

QT = 0.181m3/seg.

Velocidad : V1 = QT / (

π

d2/4) = 0.181m3/seg. / (

π

(8”x0.0254)2/4)

V1 = 5.58m/seg.

Perdidas por Fricción : Ks1 / d1 = 0.000046 / 8”x0.0254 = 0.000226

Re = V1d1 /V = (5.5m/seg.)(8”)(0.0254m) / (1.14x10-6)

Re = 994610.5 Diagrama de Moody : f = 0.0146

Hf = (0.0146)(184m/8”x0.0254m)((5.58m/seg.)2_{/(2x9.8m/seg.}2₎

Hf = 21.00m

Perdidas Menores : Hm = 7.1mx((5.58m/seg.)2_/(2x9.8)

Hm = 11.27m TUBERIA Nº02: Q2 = 0.087m3/seg. V2 = 4.77m/seg. Ks2 / d2 = 0.00000984 Re = 637674 f2 = 0.0128 Hf2 = 38.3m Hm2 = 13.00m

Perdida de Energia Total :

H = (21m + 38.3m) + (11.27m + 13.00m) H = 83.57m

HTOTAL = Diferencia de Alturas + Perdidas de Energia

= 31.7 +83.57 HTOTAL = 115.27m.

Pot. = HT + γ + Q / Eff = (115.27m)(9.8)(0.181m3/seg.) / (0.75)

= (272899N-m/seg.) / (1000N-m/seg. /Kw) = 272.90Kw (8.34Hp/Kw) Pot. = 366Hp.

PROBLEMA SOBRE TUBERIA EN SERIE : El sistema de tuberias mostrados em la figura esta siendo utilizado para transferir Água a 15ºC de um tanque de almacenamiento a outro. Determinar la Velocidad del Flujo de Volumen de Agua a través del sistema la tubería mas grande es de acero calibre 40 de 6”, longitud de 30m la tubería mas pequeña es una de acero estándar calibre 40 de 2” diámetro q tiene una longitud total de 15m. conos son de radio largo.

DATOS : TUBERÍA 6” DATOS : TUBERÍA 2”

Diámetro Tubería (Tabla) = 0.154m Diámetro Tubería 2” = 0.0525m Q = ???? Q = ??????????? 0 2 2 2 2 = = ⇒ + + = − + + γ γ γ γA A A L B B B A B P P g V Z P H g V Z P 0 2 2 2 2 = = g V g VA B _{Z Z Hl} B A − = Hl =∑Hm6 +Hf6 +∑Hm2 +Hf2 TUBERÍA DE 6” TUBERÍA DE 2”

2 codos estándar 2x0.45 Válvula Compuesta ½ Abierta 5.6

Entrada 0.9 Salida 1 Contracción Brusca 0.42

Hm = (0.90 + 0.9 + 0.42) VA2/2g Hm = (6.6) VB2/2g Hf6 = f6(30VA2) / (0.154)(2g) Hf2 = f2(15VB2) / (0.0525)(2g) VH2O15ºC = 1.15x10-6m2/seg. Ks = 4.5x10-5m Nº Re = (0.154)(VA) / (1.15X10-6) KrA = Ks / d = 4.5x10-5 / 0.154 = 2.92x10-4 KrB = 4.5x10-5 / 0.0525 = 8.57x10-4 KrA = 0.00029 KrB = 0.000857 fA = 0.016 fB = 0.0195 Hl = 2.22(VA2 / 2g) + (0.016x30VA2 / 0.154x2g) + 6.6(VB2 / 2g) + (0.0195x15VB2 / 2g) Hl = 0.113VA2 + 0.159VA2 + 0.34VB2 + 0.284VB2 10 = 0.272VA2 + 0.624VB2 --- I Q1 = AAVA = ABVB = Q2 VA = ABVB / AA = (

π

(0.0525)2 / 4) x (VB) / (

π

(0.154)2 / 4) VA = 0.116VB---II Reemplazando II en I tenemos: 10 = 0.272 (0.116VB)2 + 0.624VB2 _{10 = 3.66x10}-3_V B2 + 0.624VB2 = 0.6276VB2 VB = 10 / 0.6276 = 15.93 VB = 3.99m/seg. VA = 0.46m/seg.

b. Tuberías en Paralelos : Son un conjunto de tuberías q pasen de un nudo común y llegan tambien a otro nudo común. En general los sistemas en Paralelo están limitados a 3 o 4 tuberías estos pueden tener longitudes, diámetros y accesorios diferentes tambien pueden tener fabricación diferente.

c. Conservación de la Energía (Circulación) :

h1 – h2 = HT = (Hf11 + Hm11) + (Hf22 + Hm22) + (Hf33 + Hm33) + ... + (Hfnn + Hmnn)

♣ Hf1 = Perdida de Fricción en el tramo Correspondiente.

♣ Hm1 = Perdidas Menores en el Tramo Correspondiente.

♣ HT = Diferencia de Cabeza entre lo Nudos 1 y 2

Esta Ecuación puede ser para el sistema de tuberías `por lo tanto :

∑

∑

∑

= = = + = = + = + = n i n i n i n n T Hf Hm Hf Hm Hf Hm H 1 1 1 2 2 1 1 ) ( ) ( ) ( 

d. Conservación de la Masa (Contuinidad) :

QT = Q1 + Q2

INICIO Leer n, densidad, u, HT I = 1 Leer lj, Ksj, Kmj, dj Calcular QJ siguiendo el diagrama de Flujo 1 j = n SI QT = Sumatoria QJ FIN

EJEMPLO: En una red matriz del sistema de tuberías de agua en Tacna existen dos tuberías q unen la planta de tratamiento Cerro Blanco y el Tanque del Hospital Essalud. Las dos tuberías tienen una longitud de 627m y un coeficiente global de perdidas menores de 10.6. Una de ellas es de PUC 8pulg. (Ks = 0.0015mm) y la otra es de 12pulg. y es de asbesto cemento (Ks = 0.03mm), la diferencia de Cabeza entre los dos nudos es de 26.4m. El agua se encuentra a 20ºC. Calcular el Caudal total.

Agua de 20ºC V = 1.007x10-6_Pa TUBERÍA 1 H (m) Ks / d Hfj ( m ) V ( m / seg. ) Hm (m) Q (m3 / seg. ) 26.4 7.382x10-6 _{26.4 3.6792 7.3135 0.1193} 26.4 7.382x10-6 _{19.0864 3.0821 5.1322 0.0999} 26.4 7.382x10-6 _{21.2677 3.2698 5.7763 0.1060} 26.4 7.382x10-6 _{20.6236 3.2153 5.5855 0.1042} 26.4 7.382x10-6 _{20.8144 3.2315 5.6420 0.1047} 26.4 7.382x10-6 _{20.7579 3.2267 5.6253 0.1046} 26.4 7.382x10-6 _{20.7746 3.2282 5.6302 0.1046} 26.4 7.382x10-6 _{20.7697 3.2277 5.6288 0.1046} 26.4 7.382x10-6 _{20.7711 3.2279 5.6292 0.1046} 26.4 7.382x10-6 _{20.7707 3.2278 5.6291 0.1046} 26.4 7.382x10-6 _{20.7708 3.2278 5.6291 0.1046} 26.4 7.382x10-6 _{20.7708 3.2278 5.6291 0.1046}

TUBERÍA 2 H (m) Ks / d Hfj ( m ) V ( m / seg. ) Hm (m) Q (m3 / seg. ) 26.4 9.843x10-5 _{26.4 4.380908 10.3689 0.3196} 26.4 9.843x10-5 _{16.0310 3.3788 6.1679 0.2465} 26.4 9.843x10-5 _{20.2320 3.8148 7.8626 0.2783} 26.4 9.843x10-5 _{18.5373 3.6449 7.1775 0.2659} 26.4 9.843x10-5 _{19.2224 3.7145 7.4543 0.2710} 26.4 9.843x10-5 _{18.9456 3.6865 7.3425 0.2689} 26.4 9.843x10-5 _{19.0574 3.6978 7.3876 0.2698} 26.4 9.843x10-5 _{19.0123 3.6932 7.3694 0.2694} 26.4 9.843x10-5 _{19.0305 3.6951 7.3768 0.2696} 26.4 9.843x10-5 _{19.0232 3.6943 7.3738 0.2695} 26.4 9.843x10-5 _{19.0261 3.6946 7.3750 0.2695} 26.4 9.843x10-5 _{19.0249 3.6945 7.3745 0.2695} 26.4 9.843x10-5 _{19.0254 3.6946 7.3747 0.2695} 26.4 9.843x10-5 _{19.0252 3.6946 7.3746 0.2695} 26.4 9.843x10-5 _{19.0253 3.6946 7.3746 0.2695} TUBERÍA 1: Hf = 20.77m Hm = 5.63m Q = 0.1047m3_{/seg. = 104.7l/seg.} TUBERIA 2: Hf = 19.03m Hm = 7.37m Q = 0.2696m3_{/seg. = 296.6l/seg.} QT = Q1 + Q2= (104.7 + 269.6)l/seg. QT = 374.3l/seg.

PROBLEMA: Para el sistema q se muestra en la figura la Presión en A se mantiene constante a 20PSi man. la velocidad q sale de la tubería se encuentra abierta o cerrada utilice K = 0.9 para cada codo desprecie las perdidas de energía en la Tes. como la longitud de cada rama es corta desprecie los Hf la tubería en cada rama tiene un diámetro inicial a 2” y la rama del segundo diámetro es 4”. Calcule el Flujo en cada uno de las siguientes condiciones:

a) Válvulas (las dos) se encuentran abiertas.

b) Solo la Válvula de la rama 2 se encuentra abierta. c) Solamente en la rama 1 la Válvula se encuentra abierta.

PA = 20PSi Hl-1 = Hf1 +Hm1 = 0 + (0.9 + 0.9 + 5) V12 / 2g = 6.8V12/2g Hl-2 = Hf2 + Hm2 = 0 + (0.9 + 0.9 + 10)V22/2g = 11.8V22/2g QT = Q1 + Q2 = V1A1 + V2A2 Bernoulli entre A y B: L A B B B L A A A P _H g V Z P H g V Z P = ⇒ + + = − + + γ γ γ 2 2 2 2 Hl-1 = Hl-2 6.8 g V 2 1 2 = 11.8 g V 2 2 2 V =

11

.

8

V

22

PA = H2 = 20 _pulg2 lb (2.3113) = 46.226ft 46.226ft = 6.8 g V 2 2 1 V1 = 8 . 6 226 . 46 )( 2 . 32 ( 2 = 20.9_segft _. A1 = 4 ) 12 2 ( 2 π = 0.0218ft2 Q1 = 20.9_{seg .} ft x 0.0218ft2 _{= 0.456} . 3 seg ft V2 = 8 . 11 ) 226 . 46 )( 2 . 32 ( 2 = 15.88_segft _. A2 = 4 ) 12 4 ( 2 π _{= 0.08726ft}2 Q2 = 15.88_{seg .} ft x 0.08726ft2 _{= 1.386} . 3 seg ft QT = 1.386 _. 3 seg ft + 0.456 _. 3 seg ft = 1.842 _. 3 seg ft