Algebra Boletín 3 Ciclo Anual-uni -2016- Academia Cesar Vallejo.

(1)

3

2015

• Aptitud Académica

• Matemática

• Ciencias Naturales

• Cultura General

Preguntas propuestas

(2)

Álgebra

Números complejos

NIVEL BÁSICO

1. _Si_i39₌_{ai ∧}₍₂_i₎– 3₌_bi_{, donde {}_a_;_b_} _⊂R, deter-mine el valor de a b 2 2. A) 1/64 B) 64 C) 32 D) 1/8 E) 4

2. _Sea_A₌_i₊_i2₊_i3₊_i4_+...+_iab_.

Halle mín

(

ab

)

+máx

(

ab

)

, tal que A=0. A) 96 B) 108 C) 12

D) 100 E) 112

3. _{Determine el equivalente reducido de}_M_.

M i i i i = + − + − +      1 1 1 1 5 5 5 5 2

A) 2 i B) 5 i C) 0 D) 2 E) 4

4. _{Determine el valor de}_n_{si se sabe que}

z n i

i

= + ( + ) +

3 1

2 5 es un complejo real. Considere

que n ∈R_.

A) 8,3 B) 8,5 C) 2,5 D) 6,5 E) 5,2

5. _{Determine el valor de}_b_{si se sabe que}

z i

bi

= + +

3 4

1 es un imaginario puro. Considere

que b ∈R.

A) 1/2 B) 2/3 C) 3/2 D) 1/4 E) – 3/4

6. _{Calcule el módulo del complejo}_z_{si se sabe}

que 1 2 3 1 1 + ( ) + = + i z i i cos º sen º_. A) 6 B) 13 2 C) 12 D) 13 2 E) 6

NIVEL INTERMEDIO

7. _Dado_w₌₍₂₊_i₎2₊₍₁₊₃_i_{)(1– 3}_i_{) – 8}_i_{, halle el}

va-lor de | w|+| w|+| w*|+|– w|.

A) 2 34 _B) 34 _C) 2 136

D) 4 185 _E) 8 17

8. _{Halle la suma A de números complejos.}

A=(1+ i)+(2+ i2)+(3+ i3)+...+(4 n+ i4 n) A) n(2 n+1) B) 2 n(4 n+1) C) 0

D) n(4 n+1) E) 2 n(4 n–1)

9. _Dados_z₌_a2₊₆_i_,_w₌₉₊₍_b2₊_a₎_i_,_i= −1 y z= w,

indique la alternativa incorrecta. A) z=9+6 i B) a+ b=0 para algunos a ∧ b C) ab₌ 9 3 D) ab_{= ±}3 3 _∨ab_{= ±}9 E) a b = −1 para algunos a ∧ b 10. _Sean_P

( x)= x2– 4 x+13 ∧ z=2 – 3 i, indique la

se-cuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) según corresponda. I. P z ( ) =0 II. P₍_z₊₂₎=4 –12 i III. P₍_z_*)=0 IV. P₍_z₎=0 A) FVFV B) FFVV C) VVVV D) VVFF E) VVFV

11. _{Determine la parte real de}_z15_si_z₌₁₊_i_.

A) –128 B) 128 C) 0 D) 1 E) 64

(3)

Álgebra

12. _Si_z₌_x₊_yi_;_x_,_{y ∈} R _∧ i= −1, tal que

1 1 1 − + = z z ;

entonces podemos afirmar que I. z es un número real.

II. z es un número primo. III. z es un complejo nulo. IV. z es un imaginario puro.

A) solo IV B) solo III C) I y II D) II y III E) III y IV

NIVEL AVANZADO

13. _{Se define} _f

( k; x)= x+ x2+ x3+...+ x k+1. Halle el

conjugado de

(

f _(4;_i₎+ f _(9;_i₎

)

.

A) –1+2 i B) 1+2 i C) –1– 2 i

D) 2–i E) – 2– i 14. _{Sea el complejo} z i i i i i i i = − − + − − − − − = − 9 3 1 2 20 4 2 3 35 5 3 4 ; 1,

determine el valor de Re( z4)

A) –16 B) – 32 C) – 64 D) 32 E) 64

15. _{Si Re(}_z₁_·_z₂_{)=–1, además,} k ₌

(

z z ₊ z z

)

i

1· 2 1· 2 ,

determine el valor de ( k+ i).

A) 5 B) 3 C) 2 D) 2 E) 1

16. _{Determine el módulo del complejo}_w_.

w i i i i = ( + ) − −

(

)

(

+

)

3 5 1 26 2 2 2 2 5 7 2 4 7 7 A) 72 _B) 17 _C) ₁₄ D) 29 _E) 2 47 17. _Si z i i i i i = + − + − + − + − 1 1 1 1 1 1 1 1 determine el valor de z2013. A) 1 B) –1 C) i D) – i E) 1+ i

18. _{Determine el valor de}_n_{si se sabe que el}

mó-dulo del complejo z es igual a n 530_.

z k k k i k n =  + −( ) ( + )  =

∑

1 1 1 2 A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

(4)

Álgebra

Ecuaciones polinomiales

NIVEL BÁSICO

1. _Si_b_{es una solución de la ecuación}_x2₊₇_x_{– 5=0,}

determine el valor de k. k= + + β β β 2 17 1 2 A) 5 B) –1 C) 0 D) 1 E) 10

2. _{Determine los valores reales de}_n_{, de modo}

que la siguiente ecuación paramétrica de in-cógnita x sea compatible determinada.

(2 n –1)( n– 3) x=( n – 5)( n– 3) A) n ∈R_{– {3; 5}} B) n ∈R_{– {3}} C) n ∈R_{– {5}} D) n∈ R−

{ }

1 2;3 E) n∈ R−

{ }

1 2

3. _{Calcule el valor de}_mn_{si se sabe que la}

si-guiente ecuación paramétrica de incógnita x

tiene infinitas soluciones. ( m+ n+100) x=2 m – 40 – 2 n

A) 2400 B) 1000 C) 600 D) –1200 E) – 2400

4. _{Determine el valor de} _λ_{para que la siguiente}

ecuación paramétrica de variable x sea incom-patible.

(λ2–1) x=(λ2– 2λ– 3)

A) 1 B) –1 C) 3 D) – 3 E) 2

5. _{Resuelva la siguiente ecuación polinomial.}

( x2– x+1)( x+1) – ( x2+ x+1)( x –1)=2( x– 2) A) {6} B) 2 7 1 5 ;

{ }

C) {3} D) 1 5 3 4 ;₋

{ }

E) {0} 6. _{En la ecuación lineal (5}_a₊₁₀₎_x2₊₃_ax₊₄₈₌₆_x_, calcule el valor de (a+ x). A) 2 B) – 2 C) 1 D) –1 E) 0

NIVEL INTERMEDIO

7. _Si_x₀_{es una solución de la ecuación}

x3– 3 x2+3 x+3=0, determine el valor de M .

M =( x₀–1)6– 2

A) 12 B) 14 C) 16 D) 3 − +4 1 E) 32 +1

8. _{Si la siguiente ecuación de incógnita}_x_es

inde-terminada, halle el menor valor de m– n. ( m+ n) x+6=5 x+ mn ∧ { m; n} ⊂Z+

A) 0 B) –1 C) 1 D) – 2 E) – 3

9. _{Dada la siguiente ecuación paramétrica de}

incógnita x.

(9 n2–1) x=(3 n+1)( n+2)

Determine el valor de (12 n+1) si se sabe que el conjunto solución de la ecuación es el vacío. A) 4 B) 5 C) 3

D) 13 E) 14

10. _{Respecto a la ecuación paramétrica de}

varia-ble x: (a2– 4) x=(9 – b2), indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) según corresponda. I. Sia=2 ∧ b=3 → es compatible indetermi-nada. II. Sia=0 → b=– 3 es inconsistente III. Sia=2∧ b ≠ 3 → es indeterminada. A) FVV B) VFV C) FFV D) VVV E) VFF

(5)

Álgebra

11. _{Resuelva la siguiente ecuación.}

( x –10)+(2 x – 9)+(3 x – 8)+...+(10 x –1)=

2+4+6+...+20 A) 2 B) {2} C) 3

D) {3} E) {5}

12. _{Dada la ecuación polinomial}

( x2– 3 x+2)( x2– 5 x+6)( x2– 7 x+12)...

( x2–19 x+90)=0 si m es la suma de raíces y n representa la suma de soluciones, calcule el valor de m2– n2. A) 4554 B) 6776 C) 5225

D) 5335 E) 5445

NIVEL AVANZADO

13. _{Determine un valor del parámetro} _λ_{para que}

la siguiente ecuación de incógnita x sea deter-minada, indeterminada e incompatible, res-pectivamente.

(λ2– 5λ+6) x=λ2– 4λ+3

A) 1; 2; 3 B) 5; 2; 3 C) 3; 2; 1 D) 2; 3; 1 E) 5; 3; 2

14. _{Sea la ecuación lineal de variable}_x_.

( x –1)( n2+ n)=2 – x, donde x ∈Z∧ n ∈Z. Determine el mayor valor de x+ n.

A) 5 B) 4 C) 1 D) 2 E) 3

15. _Si_x₀_{es la solución de la ecuación lineal en}_x_. x a b c x b c a x c a b − − + − − + − − = 3,

donde {a; b;c}⊂R+_{. Calcule el valor de}

x a b c

0 − − _.

A) 2 B) –a– b–c C) –1 D) 1 E) – 2

16. _{Determine el valor de la solución de la}

siguien-te ecuación lineal.

( x2– x– 3)2+( x2+ x+3)2=2 x2( x2+1) A) 4/5 B) – 3/2 C) – 3/7

D) 2/9 E) – 3/4

17. _{Si la ecuación polinomial tiene 9 raíces}

( x– q)2( x– 2) m( x– m) q=0

y la suma de sus raíces es 26, halle el valor de

q2+ m2.

A) 8 B) 25 C) 9 D) 10 E) 12

18. _{Resuelva la siguiente ecuación lineal de}

in-cógnita x. ix i i i i i − ( + ) + ( )( + ) = =

∑

₂ 2₁ 103₂₀₂ 2 100 A) CS=

{ }

1 2 B) CS=

{ }

99 102 C) CS=

{ }

103 99 D) CS=

{ }

34 11 E) CS=

{ }

3 2

(6)

Álgebra

Ecuaciones cuadráticas

NIVEL BÁSICO

1. _{Resuelva la siguiente ecuación.}

( x– 2)2+( x+1)2=( x–1)2+ x+3 A) CS = + −     1 2 2 1 2 2 i i ; B) CS = + −     1 3 3 1 3 3 i i ; C) CS = + −     1 3 2 1 3 2 ; D) CS = − + − −     1 3 2 1 3 2 i i ; E) CS =  + −     1 3 2 1 3 2 i i ;

2. _{Determine el valor de la suma de los inversos}

de las raíces de la ecuación 2 x2– 3 x+4=0. A) – 3/4 B) 4/3 C) 3/4

D) – 4/3 E) 0

3. _Si _x₁ _y _x₂_{son las raíces de la ecuación}

x2– x– 2=0, determine el valor de T . T x x x x = 1 + 2 2 1 A) – 3,6 B) – 3,5 C) – 6,5 D) – 2,5 E) 2,6

4. _{Si las ecuaciones cuadráticas}

m n x m n x n x x − ( ) + ( + ) + − = + − =     2 2 41 0 6 7 20 0

tienen las mismas raíces, determine el valor de m / n.

A) –1/3 B) 13 C) 14 D) –14 E) 1/13

5. _{Dado el trinomio}

f ₍_x₎=( r +3) x2– 2( r +3) x+( r 2+1),

indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes proposi-ciones.

I. f ₍_x₎ tiene raíces simétricas ↔ r =– 3

II. f ₍_x₎ tiene raíces recíprocas ↔ r =2∨ r =–1 III. La suma de raíces de f ₍_x₎ es 2; ∀ r ∈R_.

A) VVV B) VFV C) FVV D) FVF E) FFF

6. _{Sea la ecuación}_x2₊_bx₊_c_{=0, indique la}

rela-ción que cumplen b y c para que sus raíces se diferencien en 5c.

A) b2=c B) b+1= x C) b=9c

D) b2=9c E) c2=3 b

NIVEL INTERMEDIO

7. _{Las dimensiones exteriores de un marco de}

fotografía son 12 por 15 cm. Si se sabe que su ancho permanece constante, halle el ancho del marco, tomando en cuenta que el área de la fotografía es de 88 cm2.

A) 11 cm B) 2,5 cm C) 2 cm D) 4 cm E) 3,5 cm

8. _Si_x₁ _∧ x₂_{son las raíces de la ecuación}

cuadrá-tica 234 x2+233 x+232=0, determine el equiva-lente reducido de M .

M ₌234

(

x ₁5 ₊x ₂5

)

₊233

(

x ₁4 ₊ x ₂4

)

₊232

(

x ₁3 ₊x₂3

)

A) 2 B) – 2 C) 3 D) 0 E) – 3

9. _{Calcule el valor de 2}_m_{– 3 si se conoce que}

las ecuaciones cuadráticas 3 mx2+ x– 2=0 y 45 x2+(3 m– 2) x – 2=0 tienen una raíz en común y la raíz restante de la segunda ecuación es el

cuadrado de la raíz restante de la primera. Considere m ∈Z_.

A) 17 B) 5 C) 7 D) 9 E) 19

(7)

Álgebra

10. _{¿Qué cantidad es necesaria aumentar a las}

raí-ces de la ecuación? a b b a x a b x a b b a −      + ( + ) + + = 2 ₂ ₁

para que las cantidades resultantes sean igua-les en magnitud pero de signos opuestos. A) a b ab − B) ab a ₋b C) a b ab + D) ab a ₊b E) b a ab −

11. _{Dada la ecuación cuadrática en}_x

2 x2+2(a+1) x+(a2–1)=0 si la ecuación tiene 2 raíces iguales, determine dicha raíz.

Considerea > 0.

A) 3 B) – 2 C) –1 D) 4 E) 2

12. _{Si las ecuaciones polinomiales de incógnita}_x x x k x k x m 2 2 0 3 3 5 + + = + − =     

son equivalentes, determine el valor de m. A) − 1 4 B) 3 5 C) − 5 4 D) 7 20 E) − 7 20

NIVEL AVANZADO

13. _{En la ecuación cuadrática} 2ax2+(3a–1) x+(a+ b)=0,

calcule un valor de b para que exista un solo valor de a que permita que las raíces de dicha

ecuación sean iguales

A) –1/2 B) 1/2 C) – 2 D) 2 E) 1/4

14. _{Dadas las ecuaciones cuadráticas}

2! x2– 0! x+1!=0 3! x2–1! x+2!=0 4! x2– 2! x+3!=0 5! x2– 3! x+4!=0  11! x2– 9! x+10!=0

determine la suma de todas las raíces. A) 9 10 B) 10 11 C) 9 11 D) 7 9 E) 8 9

15. _{Sea la ecuación cuadrática} _ax2₊_bx₊_c_{=0 con}

raíces r y s, determine una ecuación cuadrática cuyas raíces son r 3 y s3.

A) a3 x2– (3abc– b3) x+c3=0 B) ax2– (3abc– b3) x+c=0 C)a3 x2– ( b3–abc)+2c3=0

D) (a3+ b3+c3) x2+(a2+ b2+c2) x+a+ b+c=0 E) a3 x2+ b3 x+c3=0

16. _{Determine el valor de}_x_{si es el resultado de la}

siguiente fracción continua.

x= + + + + + 1 1 3 1 2 1 3 1 2 ... A) 5 B) 3 C) 15 3 D) 3,1415... E) 2,718281...

17. _Si P _{( )}_x ₌ x ₊2 1 3₊ e x 2 ₊ e2_{, tal que} _a _∧ _b_son

las raíces del polinomio, determine el valor de

P₍_a3

)– P(b3)

A) e B) 1 C) 0 D) e2−1 E) e−1

18. _{Determine el mayor valor de}_p₊_q_{si la ecuación}

cuadrática x2+ px+ q=0 tiene como raíces a ∆

y (1–∆); donde∆ es el discriminante. A) –15/16 B) –13/16 C) –1/16

(8)

Álgebra

Teoremas sobre ecuaciones polinomiales

NIVEL BÁSICO

1. _{Dada la ecuación}_x3_{– 4}_x2₊_ax_{– 8=0 de raíces}_x₁_,

x₂ y x₃, tal que x₁+ x₂=2, calcule el valor de a. A) 8 B) 0 C) 4

D) –1 E) 2

2. _{Dada la ecuación}

2 _x3 ₋ 2 _x2 ₊2 2 _x₊1332 0₌

de raícesa; b;c, indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las si-guientes proposiciones. I. a ₊b ₊c₌ 1 2 II. ab bc ac₊ ₊ ₌ 2 2 III.( abc a b c)( ₊ ₊ ) 2 _{= −}666 A) VFF B) FFF C) VVF D) VVV E) VFV

3. _Si_a_, _b_y_q_{son las raíces de la ecuación cúbica}

ax3+ bx2+5 x– 20=0, determine el valor de E .

E = 1+ +1 1 α β θ

A) 4 B) 2 C) 100 D) 1/2 E) 1/4

4. _Si _x3₊_bx₊_c_{=0 es una ecuación cúbica de}

raíces x₁; x₂ y x₃, determine el valor de L.

L x x x x x x = + + + + 1 3 2 3 3 3 1 2 2 2 3 2 A) c / b B) – 3c / b C) 3c /2 b D) –c / b E) b / c

5. _{Respecto a las raíces del polinomio}

P₍_x₎= x4– 2 x3+3 x2– 4 x+5,

marque la alternativa correcta. A) No tiene raíces negativas.

B) Solo tiene dos raíces negativas.

C) Tiene cuatro raíces negativas. D) Solo tiene tres raíces negativas. E) Solo tiene una raíz negativa.

6. _{Se sabe que las raíces de la ecuación}

x3–12 x2+ rx– 28=0 están en progresión aritmé-tica. Halle el valor de r .

A) 20 B) 24 C) 39 D) 16 E) – 20

NIVEL INTERMEDIO

7. _{Si la ecuación cúbica}_x3_{– 3}_x2₊₄_x₊_m_{=0 tiene}

CS={– 2;a; b}, halle la ecuación cuadrática de raícesa y b. A) x2– 6 x+14=0 B) x2– 7 x+14=0 C) x2– 5 x+14=0 D) x2– 8 x+14=0 E) x2– 4 x+14=0

8. _{Resuelva la ecuación polinomial}

(3 x –1)( x –1)(3 x – 2)=– 2

e indique la parte imaginaria de una de sus so-luciones.

A) 2 B) 10 C) –1 D) 2

3 E) 3

9. _{Si – 2 es una raíz doble de la ecuación}

polino-mial x3+ax2+ b=0, calcule el valor de ab. A) 10 B) –12 C) – 8

D) 12 E) – 6

10. _{Resuelva la ecuación polinomial}

x7– 6 x6+19 x5–16 x4– 33 x3+22 x2+13 x=0 si una de sus raíces es 2– 3 i.

A) CS={0; 2; 2 – 3 i; 2+3 i}

B) CS= 0 2 3 2 3 1 1 1

{

; − i ; + i; ; ; − + 2 1 ; − 2

}

C) CS= 0 2 3 2 3 1 1 2

{

; − i ; + i; ; ; − + 5 2 ; − 5

}

D) CS={0; 2– 3 i; 2+3 i; 1+ i; 1– i; 2; – 2} E) CS={0; 2; – 2; 2– 3 i; 2+3 i; 1; –1}

(9)

Álgebra

11. _Si_z₌₁₊_i_{es una raíz de la ecuación}

x5+ax3+ b=0,a ∧ b ∈R, determine el valor de a+ b.

A) 10 B) 12 C) 6 D) 15 E) 5

12. _{La ecuación de coeficientes racionales}

x4+ mx3+ nx2+ px+ q=0 tiene como raíces a tan60º y al resultado de efectuar 3 i+2 i3– i2. Determine el valor de m+ n+ p+ q.

A) – 3 B) 4 C) – 4 D) 3 E) 2

NIVEL AVANZADO

13. _{Si la ecuación}_x4₊_mx3₊₂_x₊_n_{=0 admite una}

raíz triple, determine su conjunto solución. A) {1; –1} B) {–1; 2} C) {–1; – 2}

D) {1; 2} E) {1; – 2}

14. _Si_x

1; x2 y x3 son las raíces de la ecuación

cú-bica 3 x3– 5 x+3=0, forme otra ecuación cúbica de raíces 3 2 1 1 3 1 x x − − ; x 2 x 2 21 + − y − 5 3 . A) x 3 5x2 25x 9 125 9 0 − − + = B) x 3 5x2 25x 9 125 9 0 + − − = C) x 3 5x2 25x 9 125 9 0 − − − = D) x 3 5x2 25x 9 125 9 0 + − − = E) x 3 5x2 25x 9 125 0 − − − =

15. _{Indique una raíz real de la ecuación cúbica}

x3– 6 x+6=0 A) 3 2 ₊3 3 B) 3 5 34 C) 3 2 ₊34 D) − 3 4 −3 2 E) − +     1 2 3 2 4 3

16. _{Dada la ecuación cuadrática en}_x

(a2– b) x2 – 2000ax+1000 000=0; {a; b} ⊂Q. Si una raíz es de la forma x₁= P₁+ P₂+ P₃+...+ P_n

donde P n na n b n = − 2 , calcule el valor de n. Considere que n > 0 ∧ b ∈I _. A) 10 B) 100 C) 1000 D) 10 000 E) 100 000 17. _Si_P ( x)=ax3+ bx2+cx+ d es un polinomio de

tercer grado cuyas raíces son términos de una progresión aritmética de razón 2, además,

P_(–1)=–1, P₍₀₎=0 y P₍₁₎=1. Determine los va-lores de a y c, respectivamente.

A) 3 y 2 B) 2 y –1 C) −1 3 4 3 y D) 1 2 1 2 y E) –1 y 2

18. _{La figura es un esbozo del gráfico del polinomio}

Y = P₍_x₎=( x–a)( x– b)( x2– 2 x+c) X Y – 1 – 2 0 10

Determine una de las raíces complejas de P₍_x₎. A) 1 1

2

− i B) 1+ i C) 1

2− i

(10)

Álgebra

Ecuaciones bicuadradas y fraccionarias

NIVEL BÁSICO

1. _{Respecto a la ecuación bicuadrada}

x4– 7 x2=6 x2– 36, determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Su CS={2; – 2; 3; – 3}

II. La suma de los cuadrados de las raíces es 26. III. Las raíces están en progresión aritmética. A) VFF B) VVF C) FVF

D) VVV E) VFV

2. _{Halle la suma de los cuadrados de las raíces de}

la ecuación 4 x4–17 x2+4=0.

A) –1/2 B) 1 C) 17/4 D) 17/2 E) – 9

3. _Si_x₁_;_x₂_;_x₃ _y_x₄_{son las raíces de la ecuación}

bicuadrada x4+ x2+2=0, determine el valor de J .

J ₌

(

x ₁3 ₊ x ₁

)

₊

(

x ₂3 ₊ x ₂

)

₊

(

x ₃3 ₊x ₃

)

₊

(

x ₄3 ₊ x₄

)

A) 1 B) – 2 C) 2 D) 0 E) –1

4. _{Reconstruya una ecuación bicuadrada, donde}

una de sus raíces es 1 y, además, la suma de los cuadrados de sus raíces sea 20.

A) x2–10 x+9=0 B) x4+10 x2+9=0 C) x4–10 x2 – 9=0 D) x4–10 x2+9=0 E) x2– 10 x+3=0

5. _{Indique la mayor solución de la ecuación} 2 2 1 1 2 1 3 1 6 x + x + = + + A) 3 B) 2 C) 0 D) – 2 E) –1

6. _{Resuelva la siguiente ecuación fraccionaria.}

2 2 4 8 3 9 6 1 2 3 2 x x x x x x − +

(

)

+ + − − − = A) {3} B) {– 2; 3} C) {– 3} D) {2} E) f

NIVEL INTERMEDIO

7. _Si _a_y_b_{son raíces de la ecuación}_x2_{– 3}_x_+4=0,

halle la ecuación bicuadrada donde dos de sus raíces son 2a y 2 b.

A) x4– 8 x2+162=0 B) x4+8 x2+44=0 C) x4– 4 x2+16=0 D) x4–12 x2+26=0 E) x4– 4 x2+44=0

8. _{Determine la variación de} _λ_{, de modo que}

la ecuación bicuadrada tenga solo dos raíces reales. x4+(1–λ) x2+2(λ – 3)=0 A) λ ∈ 〈–∞; 2〉 B) λ ∈R_{– {5}} C) λ ∈ 〈– 6; 7〉 D) λ ∈〈–∞; 3〉 E) λ ∈ 〈0; 3〉

9. _{Halle la suma de los cuadrados de las raíces}

que se obtienen en la ecuación bicuadrada generada por x x 2 2 8 6 0 − − = . A) 17 B) 21 C) 12 D) 68 E) 6

10. _{Indique la solución de la ecuación}

1 1 2 1 2 3 1 3 5 0 x − x x x x x ( )( − ) + − ( )( − ) + − ( )( − ) = A) 11 B) 11/2 C) 11/3 D) 11/4 E) 11/5

(11)

Álgebra

11. _{Dada la ecuación fraccionaria}

1 1 1 2 1 1 0 x + x x + + + − = ,

determine la suma y producto de soluciones, respectivamente. A) − 1 − 3 4 3 y B) 1 3 4 3 y − C) − 1 3 4 3 y D) −1 4 3 y E) − 4 − 3 1 3 y

12. _Si _a_{es la solución de la ecuación}

x x x x x x 2 2 2 2 6 10 8 17 3 4 − + + + = ( − ) + ( ) , determine el valor de 2a2+a+1. A) –1/2 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

NIVEL AVANZADO

13. _{Al resolver la ecuación bicuadrada de incógnita}_x_.

x4– (a– b)( x3+1)+( x–1)3–c( x+3) –1=0,

determine el producto de todas las soluciones. A) –12 B) – 6 C) –1

D) 3 E) 12

14. _{El producto de tres raíces de la ecuación}

2 x4– ( m – 46) x2+ m=0 es m /6. Halle el valor de m.

A) 36 B) 48 C) 72 D) 144 E) 18

15. _{Si las cuatro raíces de la ecuación}

x4– 30 x2+( m+1)2=0

están en progresión aritmética, halle la suma de los valores de m.

A) –10 B) 8 C) 2 D) – 2 E) 18

16. _{Calcule la suma de todas las soluciones}

positi- vas de la ecuación fraccionaria.

10 1 6 2 2 + + = − − x x x x A) − − 2 5 + 17 2 B) − + 2 5 + 17 2 C) 2 5 17 2 + + D) − + 3 5 + 17 2 E) 3 5 17 2 + +

17. _Siendo_x₁_y_x₂_{soluciones de la ecuación}

1 2 5 1 1 1 3 5 5 1 2 2 2 2 2 x x x x x x x x + + − +      + + + + +      = , determine el valor de 1 1 1 2 x + x . A) –1/5 B) 15 C) 5 D) – 5 E) –1

18. _{¿Cuál es el producto de las soluciones reales}

de la siguiente ecuación? x x x x x x x 1 1 1 2 1 1 3 1 1 1 0 2 + + 2 + + + − + + = A) – 2 B) 0 C) –1 D) 2 E) 6