Electromagnetismo II
Semestre: 2015-1
TAREA 7: Solución
Dr. A. Reyes-Coronado
Por: Jesús Castrejón Figueroa
Problema 1 (15 pts.)
En 1987 J. J. Thomson ”descubrió” el electrón midiendo el cociente entre la carga y la masa de los ”rayos catódicos” (que son haces de electrones con carga q y masa m) de la siguiente manera:
i) Primero pasó el haz de electrones a través de una región donde tenía un campo eléctrico E~ y campo magnéticoB~ perpendiculares entre sí, ambos uniformes y ambos perpendiculares a la dirección del haz de electrones, y entonces ajustó el campo eléctrico hasta que obtuvo una deflexión nula. ¿Cuál es la velocidad es la velocidad de las partículas en términos deEyB?
ii) Luego, Thomson apagó el campo eléctrico y midió el radio de curvaturaRdel haz deflectado por el campo magnético B. ¿Cuál es la relación carga–masa (q/m) de las partículas en términos deE,B yR?
Solución:
i) La fuerza que actúa sobre el electrón es nula por hipótesis, ésto es:
X~
F =−e ~E−e~v×B~ = 0. (1)
Quitando el carácter vectorial de la ecuación anterior, tenemos que:
E=vB, (2)
y por lo tanto:
v=E
B. (3)
ii)La fuerza magnética es igual a aquella que produce el movimiento circular del electrón, es decir:
|F~B|=| −e~v×B|~ (4) =evB = mv 2 R , de donde obtenemos: e m = v BR. (5)
Sustituyendo el valor de la velocidad obtenido en i), se tiene:
e m =
E
Problema 2 (15 pts.)
a) Un fonógrafo del siglo antepasado hace girar un disco cargado con una densidad estática de carga σ
uniformemente distribuida. Si gira a una velocidad angularω, calcula la densidad de corriente superficial
~ K.
b) Una esfera sólida uniformemente cargada, de radio Ry de carga total Q, centrada en el origen de coor-denadas y gira con una velocidad angular constanteω alrededor del ejez. Considerando que la velocidad angular y el radioRson las misma que la del planeta Tierra, y que la carga total es de1Coulomb, calcula la densidad de corriente volumétricaJ~en cualquier punto (r, θ, φ) dentro de la esfera.
Solución:
a)La densidad superficial de corriente viene dada por:
~
K=σ~v, (7)
sustituyendo el valor para la velocidad en cada punto, obtenemos:
~
K=σωreˆφ (8)
b)La densidad de volumétrica de corriente viene dada por:
~
J =ρ~v, (9)
sustituyendo el valor de la densidad de corriente y de la velocidad, obtenemos:
~ J = 3Q
4πR3ωrsinθeˆφ (10)
Problema 3 (15 pts.)
Dos alambres paralelos e infinitos, separados por una distancia d, tienen una densidad de carga lineal λcada uno (ambos con el mismo signo), y se mueven ambos con una rapidez constantev como se muestra en la figura. ¿Qué tan grande tendrá que ser la rapidez v para que la fuerza de atracción magnética cancele a la fuerza de repulsión eléctrica? ¿Es razonable la velocidad que calculaste? (calcula numéricamente la velocidad empleando unidades dem/s).
Nota:Griffiths nos advierte en una nota al pie que estarás tentado a buscar complicaciones en este problema (si has estudiado relatividad especial), que realmente no existen. Tanto λ comov están medidas en el sistema
de referencia del laboratorio, por lo que es un problema genuino de electro-magnetostática.
Solución: La corriente equivalente en cada uno de los alambres es:
~i=λ~v. (11)
La fuerza deatracción magnética esta dada por:
~
FB =L~i×B,~ (12)
y campo magnético de un alambre sobre el otro, por ley de Ampére es (en magnitud):
B= µ0i
2πd, (13)
Por lo que la magnitud de la fuerza magnética es:
|F~B|= µ0i2L 2πd (14) = µ0L 2πdλ 2v2.
El campo eléctrico producido por un alambre sobre el otro es:
E= λ 2πε0d
, (15)
por lo que fuerza de repulsión eléctrica es:
|F~E|=
λ
2πε0d
λL. (16)
Igualando las Eqs. (14) y (16), obtenemos:
v= √1 ε0µ0
(17) que es igual a la velocidad de la luz c≈3×108m/s.
Problema 4 (25 pts.)
Un cilindro muy largo de radioR y una densidad volumétrica de cargaρ gira con una frecuenciaω alrededor de su eje. Calcula el campo magnético sobre su eje de simetría. ¿Cómo cambiaría tu resultado si toda la carga estuviera concentrada en la superficie del cilindro?
Solución: La corriente volumétricaJ~ en el cilindro, es:
~
J =ρ~v=ρωreˆφ, (18)
notemos que la dirección de la corriente es azimutal, al igual que en un solenoide. En la Fig. 1 se muestra un circuito amperiano sobre una sección transversal del cilindro. El campo magnético fuera del cilindro es cero, ya
que estamos considerando que es de una longitud muy grande, mientras que el campo dentro es paralelo al eje. Uusando la ley de Ampére, tenemos:
I ~ B·dl~ =BL (19) =µ0i =µ0ρω Z L 0 Z R r rdrdz =µ0ρω 2 (R 2−r2)L, y entonces: ~ B= µ0ρω 2 (R 2−r2)ˆe z r < R; 0 r > R. (20)
Figura 1:Circuito amperiano usado para calcular el campo magnético producido en una simetría cilíndrica por una corriente azimutal que depende del radior.
Si la carga es puramente superficial, entonces la corriente viene dada por:
~
K=σωReˆφ, (21)
y entonces, usando el mismo circuito amperiano de la figura, tenemos:
BL=µ0σωRL, (22)
y el campo magnético es:
~ B = µ0σωRˆez r < R; 0 r > R. (23)
Problema 5 (30 pts.)
El efecto Zeeman observado en el espectro de manchas solares revela la existencia de campos magnéticos intensos de0.4Tesla. Estos campos están asociados con distribuciones de corrientes en forma de disco del plasma cerca de la superficie del Sol. El disco de electrones tiene un radio aproximado de 107 m, rotando a una velocidad angular del orden de 3×10−2 radianes/segundo. El grosor del disco es muy pequeño comparado con el radio
del mismo.
a) Calcula la densidad superficial de electrones que se necesita para alcanzar0.4Tesla en el centro del disco. b) Calcula la corriente.
Solución:
a)El campo magnético en el centro de una espira circular con una corrientei, es:
B =µ0i
2R, (24)
y la corriente Kpara el disco es:
~
K=σωreˆφ, (25)
por lo que el campo en el centro del disco es:
B= Z R 0 µ0 2rσωrdr (26) = 1 2µ0σωR.
Despejando la densidad de carga, y tomando en cuenta que la densidad de electrones esη=σ/e, conela carga del electrón, tenemos que:
η= 2B
µ0ωRe
(27) Introduciendo valores numéricos, se tiene queη= 1.29×1029electrones/m2.
b)Integrando la densidad de corriente K=σωr, obtenemos la corriente total sobre el disco:
i= Z R 0 σωrdr= 1 2σωR 2, (28)
sustituyendo el valor para la densidad de carga obtenido anteriormente, se tiene que:
i= 2B µ0ωR 1 2σωR 2 , (29) (30) por lo que la corriente es:
i=BR
µ0
(31) Introduciendo valores numericos, se tiene quei= 6.8×107 A.
Problema TORITO (20 pts.)
Un solenoide (o bobina) está hecho enrollando dos capas de alambre de cobre del No. 14 y tiene una forma cilíndrica con diámetro R = 8cm. Tiene cuatro vueltas por centímetro en cada capa (n = 4 cm−1) y una
longitud total l = 32cm. De tablas de datos se sabe que un alambre del No. 14 de cobre tiene un diámetro de 0.163cm y una resistencia ρ = 0.01 Ω/m a 75◦ C, por lo que el cable se va a calentar! Si el solenoide se conecta a una batería de 50V, calcula cuánto será el campo magnético en el centro del solenoide en teslas, y compara este valor con el campo magnético promedio terrestre. También calcula la potencia disipada en watts.
Solución: La longitud total del cable es:
L= 2(2πR)(nl) (32)
= 128.67 m,
por lo que la resistencia del alambre es:
R=ρL (33)
= 1.29 Ω.
La corriente en el alambre es, por ley de Ohm:
i= V
R (34)
= 38.85 A,
y el campo magnético es:
B =µ0ni
= 19.53×10−3T
(35)
En comparación, el campo magnético terrestre es de unos5×10−5T, unas400 veces menor!
La potencia disipada en forma de calor es:
P=i2R
= 1.94×103W
