INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

(1)

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO

DE TECNOLOGÍA DIGITAL

MAESTRÍA EN CIENCIAS CON

ESPECIALIDAD EN SISTEMAS DIGITALES

“LOCALIZACIÓN DE ÓRBITAS PERIÓDICAS PARA

ALGUNOS SISTEMAS DE TRES DIMENSIONES

CONTINUOS EN EL TIEMPO”

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QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN CIENCIAS

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BAJO LA DIRECCIÓN DE:

DR. KONSTANTIN E. STARKOV

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Deseo agradecer en forma especial a mi esposa Patrizzia e hija Paulina, que con todo su amor, cariño, comprensión y apoyo, son el motor que me mueve a seguir adelante.

A mis padres José Luis y Rosa Maria que me han apoyado en mis decisiones, a mis hermanos Marcos, Hilda y Mayra que me han dado todo su amor y me inspiran a continuar por el buen camino, por supuesto a mis sobrinos Felipe y Rocío.

A mis abuelos † José, † Enriqueta, † Manuela y Nestor, que forjaron mi carácter, me brindaron todo su cariño y apoyaron incondicionalmente a mis padres en momentos difíciles, también a todos mis tíos y primos que me tendieron la mano cuando más lo necesité.

A mi regalo mas preciado Herminio y Juliana, mis bisabuelos que siguen en pié dirigiendo los destinos de mi familia, en forma especial a mi “mami July” que es mi segunda madre y con su entusiasmo me motiva a continuar.

A todos mis amigos que de forma incondicional están ahí para brindarme su mano, en especial a mi mejor amigo † Juan Antonio, que se fue recientemente, dejando un gran vacío en mi vida, deseo de esta forma compartir con él este suceso tan importante en mi vida.

Al Dr. Starkov por la paciencia que tuvo para compartir sus conocimientos, a toda la plantilla académica del centro que se han tomado el tiempo y la dedicación para ayudarme en el desarrollo de este documento.

(5)

En memoria del † Dr. Juan García López y el † Dr. Sergio Antonio

Herrera García, que nos abandonaron recientemente y que

significaron parte importante de mi proceso de formación para llevar

a cabo este trabajo.

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2.1 Representación de estados. 4 2.2 Campo Vectorial. 5 2.3 Campo invariante. 5 2.4 Plano de fase. 5 2.5 Ciclo límite. 6 2.6 Derivada Lie. 7 2.7 Soluciones periódicas. 7

(7)

2.8 Sistema Caótico. 8 2.9 Órbita Periódica. 9 2.10 Atractor Extraño. 9

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10

3.1 Definiciones básicas. 10

3.2 Teoremas para la localización de órbitas periódicas. 11 3.3 Metodología empleada para la localización de órbitas periódicas. 13

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4.1 Sistema de Sprott A. 17 4.2 Sistema de Sprott B. 19 4.3 Sistema de Sprott D. 21 4.4 Sistema de Sprott E. 25 4.5 Sistema de Sprott F. 26 4.6 Sistema de Sprott G. 27 4.7 Sistema de Sprott H. 29 4.8 Sistema de Sprott I. 31 4.9 Sistema de Sprott J. 33 4.10 Sistema de Sprott K. 36 4.11 Sistema de Sprott L. 39 4.12 Sistema de Sprott M. 41 4.13 Sistema de Sprott N. 43

(8)

4.14 Sistema de Sprott O. 45 4.15 Sistema de Sprott P. 47 4.16 Sistema de Sprott Q. 49 4.17 Sistema de Sprott R. 51 4.18 Sistema de Sprott S. 53

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55

5.1 Sistema de interacción de tres ondas. 55

5.2 Sistema generador nuclear de spin. 57

5.3 Sistema Tesi-Abed-Genesio-Wang. 58 5.4 Sistema Rose-Hindmarsh. 60

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Página

Figura 2.1 Plano de fase. 5

Figura 2.2 Ciclo límite: (a) Estable, (b) Inestable. 6

Figura 2.3 Representación gráfica de la derivada Lie. 7

Figura 2.4 Solución en “y” para el sistema de Lorenz. 8

Figura 2.5 Atractor extraño del sistema de Lorenz 9

Figura 3.1 Ejemplo sistema de Sprott B. Se obtiene el plano de fase para el sistema de

Sprott B con condiciones iniciales (-1.4, -1.5, -0.8) y los paraboloides elípticos.

16

Figura 4.1 Sistema de Sprott A. Se obtiene el plano de fase para el sistema de Sprott B

con condiciones iniciales (-1.4, -1.5, -0.8) y los paraboloides elípticos.

19

Figura 4.2 Sistema de Sprott B. Se obtiene el plano de fase para el sistema de Sprott B

con condiciones iniciales (-1.4, -1.5, -0.8) y los paraboloides elípticos. Son mostradas dos perspectivas para visualización del atractor extraño con respecto a la superficie localizada.

20

Figura 4.3 Sistema de Sprott D. Se obtiene el plano de fase para el sistema de Sprott D

con su parámetro original (a=3) y condiciones iniciales (-2,-2,3) y la superficie localizada. Se muestran dos perspectivas para visualización del atractor extraño con respecto a la superficie localizada.

24

Figura 4.4 Sistema de Sprott E. Se obtiene el plano de fase para el sistema de Sprott E

con su parámetro original (a=4) y condiciones iniciales (0, 1, -2) y la superficie localizada.

(10)

Figura 4.5 Sistema de Sprott F. Se obtiene el plano de fase para el sistema de Sprott F

con el parámetro original a=1/2, con condiciones iniciales (0.1, -0.15, 0.4) y el plano localizado.

26

Figura 4.6 Sistema de Sprott G. Se obtiene el plano de fase para el sistema de Sprott G tomando el parámetro original a=0.4, con condiciones iniciales (-0.1, -.15, 0.20) y el cilindro parabólico encontrado. (a) Vista en tres dimensiones, (b) Vista en dos dimensiones.

28

Figura 4.7 Sistema de Sprott H. Se obtiene el plano de fase para el sistema de Sprott H

tomando el parámetro original a=1/2, con condiciones iniciales (0.2, 0.7, -0.2) y el plano encontrado. (a) Plano con coordenadas y atractor extraño, (b) Proyección del plano encontrado.

30

Figura 4.8 Sistema de Sprott I. Se obtiene el plano de fase para el sistema de Sprott I

tomando el parámetro original a=0.2, con condiciones iniciales (-0.1, -0.1, 0.1) y los

planos encontrados. (a) Proyección h1 ( )x con coordenadas y atractor extraño, (b)

Proyección h2 ( )x con coordenadas y atractor extraño.

32

Figura 4.9 Sistema de Sprott J. Se obtiene el plano de fase para el sistema de Sprott J

tomando el parámetro original a=2, con condiciones iniciales (-4, -1, 1) y se muestra solo

el caso 2 (S2) de localización (a) Plano con coordenadas y atractor extraño, (b)

Proyección del plano encontrado.

35

Figura 4.10 Sistema de Sprott K. Se obtiene el plano de fase para el sistema de Sprott K

tomando el parámetro original a=0.3, con condiciones iniciales (0.1, 0.1, 0.3). Es

mostrado solo el caso 3 ( A) de localización, que es la que corresponde con los

parámetros originales del sistema. (a) Superficie localizada y atractor extraño, (b) Proyección de la superficie y atractor extraño.

38

Figura 4.11 Sistema de Sprott L. Se obtiene el plano de fase para el sistema de Sprott L

tomando los parámetros originales a=3.9 y b=0.9, con condiciones iniciales (5, 23, -7). (a)

Proyección h1 ( )x con coordenadas y atractor extraño, (b) Proyección h2 ( )x con

coordenadas y atractor extraño.

(11)

Figura 4.12 Sistema de Sprott M. Se obtiene el plano de fase para el sistema de Sprott M

tomando el parámetro original a=1.7, con condiciones iniciales (-1, -2, -1) y los planos

encontrados. (a) Proyección h1 ( )x con coordenadas y atractor extraño, (b) Proyección

( )

2

h x con coordenadas y atractor extraño.

42

Figura 4.13 Sistema de Sprott N. Se obtiene el plano de fase para el sistema de Sprott N

tomando el parámetro original a=2, con condiciones iniciales (1, 1, 1) y el plano encontrado. (a) Plano con coordenadas y atractor extraño, (b) Proyección del plano encontrado.

44

Figura 4.14 Sistema de Sprott O. Se obtiene el plano de fase para el sistema de Sprott O

tomando el parámetro original a=2.7, con condiciones iniciales (0.1, 0.2, 0.1) y la superficie localizada.

46

Figura 4.15 Sistema de Sprott P. Se obtiene el plano de fase para el sistema de Sprott P

tomando el parámetro original a=2.7, con condiciones iniciales (0.1, 0.1, 0.3) y las superficies localizadas. Son mostradas dos perspectivas visualización del atractor extraño con respecto a las superficies localizadas. Proyección h1 ( )x con coordenadas y

atractor extraño, (b) Proyección h2 ( )x con coordenadas y atractor extraño.

48

Figura 4.16 Sistema de Sprott Q. Se obtiene el plano de fase para el sistema de Sprott Q

tomando el parámetro original a=3.1 y b=1/2 con condiciones iniciales (0.1, 0.1, 0.3) y la superficie localizada. (a) Plano con coordenadas y atractor extraño, (b) Proyección del plano encontrado

50

Figura 4.17 Sistema de Sprott R. Se obtiene el plano de fase para el sistema de Sprott R

tomando el parámetro original a=0.9 y b=0.4, con condiciones iniciales (0.1, 0.1, 0.3) y la superficie localizada. (a) Vista en tres dimensiones, (b) Vista en dos dimensiones.

52

Figura 4.18 Sistema de Sprott S. Se obtiene el plano de fase para el sistema de Sprott S

tomando el parámetro original a=4, con condiciones iniciales (0.1, 0.1, 0.3) y la superficie localizada. (a) Plano con coordenadas y atractor extraño, (b) Proyección del plano encontrado.

(12)

Figura 5.1 El sistema de interacción de tres ondas. Se obtiene el plano de fase para el

modelo en un caso de solución periódica y la superficie localizada, para ello se toma 0.1, 0.03

γ = δ = , con condiciones iniciales (-1.326, 0.01542, 2.905).

56

Figura 5.2 Sistema NSG. Se obtiene el plano de fase para el sistema NSG tomando uno

de los casos particulares de [34] k1=0.78; k2=1.3; k3=1; k4=0.6; k5=2.784; k6=1; k7=3.64;

k8=2.34; k9=3.9; k10=0.832; k11=4.68; k12=0.52; k13=3.9; k14=1.404; con condiciones

iniciales (0.8, 0.9, 0.9) y la superficie localizada.

58

Figura 5.3 Sistema Tesi-Abed-Genesio-Wang. Se obtiene el plano de fase para el

modelo en un caso de solución periódica y la superficie localizada, para ello se toma

a=1.5 y µ= −1.9, con condiciones iniciales (0.2609, -0.0881, -0.0967). (a) Plano con coordenadas y atractor extraño, (b) Proyección del plano encontrado.

60

Figura 5.4 Sistema Rose-Hindmarsh. Se obtiene el plano de fase para el modelo en un

caso de solución periódica y la superficie localizada, para ello se toma a1=3.5, a2=3,

a3=1, a4=1, a5=5, a6=0.015, a6=0.12, a7=-1.6, a8=4, con condiciones iniciales (0.1046 ,0.7647, 4.035).

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inf sup " B x x B h h h ⇔ ⇒ → ∃ ∀ ∞ ∈ ∉ ∩ R

"equivalente a" o "si y solo si" "implica" "tiende a" "existe" "para todo" "infinito" "intersecta a" "pertenece" "no pertenece" "números reales" " evaluado en " "el valor infimo de

"el ( ) 0 " " ( ) { | }" F F n L h x h L h h x x h x f f x x = Ξ ∈ Γ ∂ ∂ R valor supremo de "la derivada Lie de " "derivada temporal de "conjunto

"órbita periódica"

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Con la localización de órbitas periódicas se pretende entender la dinámica global de un sistema no lineal, en especial de sistemas caóticos. Existen numerosos artículos referentes a este tema, así como diferentes métodos de localización. En el desarrollo de la tesis se expone el método de localización por medio de condiciones de extrema, aplicado a sistemas cuadráticos de tercer orden. Se realizan simulaciones numéricas para mostrar de forma gráfica la localización obtenida. Los resultados son contribuciones útiles en el análisis de la dinámica global de los sistemas estudiados.

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The location of periodic orbits allows understanding the behavior of a nonlinear system, particularly chaotic systems. Several methods exist to locate periodic orbits. In this thesis, we use the solution of the conditional extremum problem applied to quadratic third-order systems. Numerical simulations are made to show the effectiveness of the method. The results are useful to analysis the behavior of the systems under study.

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En el presente documento se expone la solución del problema de localización de orbitas periódicas para algunos sistemas cuadráticos tridimensionales continuos en el tiempo.

En los sistemas no lineales y en especial en los sistemas caóticos una técnica para describir su dinámica global es la localización de órbitas periódicas, la posibilidad de determinar órbitas periódicas en un sistema caótico es la evidencia directa de determinismo en el sistema [16, 18, 35].

El término “localización órbitas periódicas” se usa para definir una región donde se desarrollan las órbitas periódicas para un sistema en específico.

En el estudio de sistemas caóticos, las órbitas periódicas describen el esqueleto de un atractor extraño (cuya definición será expuesta en el apartado 2.10), con lo que se obtiene información a cerca de la geometría del atractor y también información útil para el control de caos [18].

Por estas razones este trabajo se concentrará en la localización de órbitas periódicas para sistemas caóticos.

Usualmente la localización de órbitas periódicas es llevada a cabo por medios numéricos [13], pero ello no garantiza que exista una verdadera trayectoria periódica, debido a que en la práctica no pueden medirse con exactitud las condiciones iniciales; en una simulación numérica este problema no se considera y por supuesto habrá diferencias por las características propias de un sistema

(17)

caótico [4], en ello radica la importancia de la resolución analítica del problema de localización.

Entre los métodos de resolución analítica del problema de localización de órbitas periódicas se encuentran los basados en condiciones de extrema que han sido expuestos y aplicados en [2, 9-11, 26-29]; con métodos algebraicos basados en el uso de polinomios dependientes algebraicamente [23]; con métodos analíticos basados en condiciones de extrema de orden superior [25]; por medio de la estimación de elipsoides [23, 24]; por medio del método del intervalo de Newton [4].

Este trabajo de tesis se concentra en la solución del problema de localización de órbitas periódicas por medio de condiciones de extrema.

En el segundo capítulo, se expondrán las herramientas y definiciones matemáticas básicas que se emplearán para la solución del problema de localización de órbitas periódicas.

En el tercer capítulo se hará referencia al método que se utilizó con el fin resolver el problema de localización de órbitas periódicas, mostrando un ejemplo con las operaciones algebraicas utilizadas para su resolución.

Investigaciones recientes han puesto la atención en el estudio de las características de los sistemas cuadráticos de Sprott [19], el capítulo cuatro se enfoca a la resolución de dieciocho sistemas cuadráticos de Sprott [22], además se realizan simulaciones numéricas para visualizar gráficamente la localización encontrada.

Para los sistemas: interacción de tres ondas (three-wave interaction system) [21], generador nuclear de spin (NSG) [34], sistema de Tesi-Abed-Genesio-Wang [32] y el modelo de Rose-Hindmarsh [5, 17], los cuales son modelos matemáticos de fenómenos físicos, se encuentra una superficie localizadora, lo cual se muestra capítulo cinco. En este caso también se realizan las simulaciones numéricas para

(18)

visualizar la localización de órbitas periódicas con respecto a la superficie localizada.

El capítulo seis presenta las aplicaciones de este trabajo de tesis y el capítulo siete las correspondientes conclusiones.

Se obtienen así un conjunto de sistemas para los cuales se resuelve el problema de localización de órbitas periódicas que puede ser utilizado como referencia en investigaciones posteriores en esta área.

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En este capítulo serán expuestos los conceptos y herramientas matemáticas básicas que se utilizarán en el desarrollo del trabajo.

2.1 Representación de estados.

Con la finalidad de ser analizado matemáticamente, un sistema dinámico se representa por medio de ecuaciones diferenciales [30].

Una forma muy general de representar un sistema es por un número n finito de ecuaciones diferenciales de primer orden, que será llamada representación de estados:

( )

x= f x (2.1) Donde x representa la derivada de x con respecto al tiempo, f(x) es un campo

vectorial polinomial sin términos lineales y no contiene constantes. En esta representación, un sistema no lineal será aquel que presente términos no lineales en f(x).

En el caso del trabajo de tesis son analizados sistemas cuadráticos tridimensionales invariantes en el tiempo, en ellos n=3, f(x) es cuadrática sin

términos variantes en el tiempo. En este sentido los sistemas analizados en el trabajo de tesis son no lineales debido al término cuadrático contenido en f(x).

(20)

2.2 Campo vectorial.

Dada una función f(x) será definida como campo vectorial si para cada punto x*

en el plano podemos asignar un vector con la amplitud y dirección de f(x*_).

2.3 Conjunto Invariante.

Dado un conjunto M será llama invariante positivo con respecto a (2.1) si

(0) ( ) , 0

x ∈M ⇒ x t ∈M ∀ ≥ t

esto significa que el cualquier trayectoria x(t) empieza en M y termina en M para todo t ≥0, [30].

2.4 Plano de fase.

Cada solución en el tiempo x(t) para el sistema (2.1) puede representarse por un punto, el vector de velocidad de ese punto está dado por x [30].

Si se sigue el flujo del campo vectorial dado por su velocidad, el plano de fase será dibujado por las soluciones x(t) del sistema, vea la Figura 2.1.

Figura 2.1 Plano de fase.

Esta representación gráfica provee información importante respecto a las características del sistema objeto de análisis.

(21)

2.5 Ciclo límite.

Al dibujar el plano de fase de un sistema, un ciclo límite es una trayectoria cerrada aislada, y es un fenómeno que se presenta bajo ciertas condiciones en los sistemas no lineales [8].

Las trayectorias pueden acercarse o alejarse respecto del ciclo límite, estableciendo así sus características de estabilidad, considerándose a un ciclo limite estable como un conjunto invariante.

En la Figura 2.2 se muestra el plano de fase de un ciclo límite.

(a)

(b)

(22)

2.6 Derivada Lie.

Dada una función h∈R y una función ( )f x ∈Rn, la derivada Lie de h con

respecto a f(x) se escribe como L hf y está dada por [8]:

( ) f h L h f x x ∂ = ∂

Esto significa que se obtiene la derivada de h con respecto a las trayectorias del sistema (2.1), un escalar que representa el cambio de h con respecto al campo vectorial f(x).

Sea U un dominio en el espacio euclidiano, x un punto de U, y f(x) un vector tangente a ese punto, dada una h diferenciable y sea ϕ cualquier curva que se dirige hacia x con la velocidad del vector f(x), entonces el intervalo I será mapeado hacia el eje de los números reales por medio de la función composición

: ( )( ) ( ( ))

f ϕ I→R f ϕ t = f ϕ t , la cual es una función en los números reales

con variables de los números reales [1], lo cual está representado en la Figura 2.3.

Figura 2.3 Representación gráfica de la derivada Lie.

2.7 Soluciones Periódicas.

Se dice que el sistema (2.1) tiene soluciones periódicas si para cada (x t+T)=x t( ) para toda t y alguna T>0 [30].

Esto representa que un sistema bajo ciertas condiciones puede hacerse llegar a alguna x y mantenerse ahí por un tiempo indefinido. Un caso típico de soluciones periódicas es un ciclo límite.

(23)

2.8 Sistema caótico.

En 1963 Edward Lorenz al estudiar los efectos de la convección de fluidos sobre la atmósfera propone el siguiente sistema [30]:

( ) x y x y rx y xz z xy bz σ = − = − − = −

Para el caso particular de parámetros σ =10, b=8 / 3,r =28, descubre que algo extraño ocurre con el sistema.

Integrando con condiciones iniciales (0, 1, 0), los resultados de y se muestran en la Figura 2.4.

Figura 2.4 Solución en y para el sistema de Lorenz.

El sistema presenta una oscilación hasta t → ∞ , pero las soluciones no se repiten, es decir no se presenta periodicidad.

Al graficar el plano de fase de tres dimensiones, se obtiene la mariposa de Lorenz, Figura 2.5.

(24)

sistema caótico y representa el nacimiento de una nueva ciencia: el estudio del caos.

Figura 2.5 Atractor extraño para el sistema de Lorenz.

Aunque no hay una definición formal de caos, la siguiente engloba todas las características que definen a un sistema caótico como tal [30]:

Es un sistema no lineal deterministico con comportamiento no periódico a largo plazo, muy sensible a las condiciones iniciales.

2.9 Orbita Periódica.

Es llamada órbita periódica la trayectoria cerrada que se describe en un plano de fase por las soluciones periódicas de un sistema [30].

2.10 Atractor extraño.

Un atractor extraño es obtenido cuando se grafica el diagrama de fase de un sistema caótico, tal como se el que muestra la Figura 2.5 [8].

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El término “localización órbitas periódicas” se usa para definir una región donde se encuentran localizadas las órbitas periódicas para algún sistema en específico, la importancia de ello radica en que es útil para el conocimiento de la dinámica global del sistema.

Por lo general, la solución de éste problema en sistemas caóticos se realiza por medios numéricos, pero ello no garantiza la existencia de las órbitas periódicas, debido a que en la práctica no pueden ser medidas con exactitud las condiciones iniciales. En una simulación numérica este problema no es considerado y por supuesto afecta los resultados por las características propias de un sistema caótico [4], en ello radica la importancia de la resolución analítica del problema de localización. Por ello en el trabajo de tesis se aplica un método analítico de resolución de órbitas periódicas.

El método empleado para la resolución del problema es el método de condiciones de extrema [2,10] y es elegido debido a que ofrece la ventaja de convertir el problema a operaciones algebraicas.

3.1 Definiciones básicas.

A continuación serán descritos los conceptos básicos que serán utilizados en el desarrollo de los teoremas.

Se tomará h(x) como una función diferenciable, además h(x) no es la primera integral del sistema (2.1), debido a que sería inútil para el análisis. La función h(x)

(26)

será usada en la solución del problema de localización de órbitas periódicas y será llamada función localizadora.

Por h x( )_B será denotada la restricción de h(x) en el conjunto B⊂ R Se escribirá n. ( )

f

L h x para describir la derivada Lie del campo vectorial f alrededor de h.

Con ( )Ξ h se denotará al conjunto { | _f ( ) 0}

n L h x

x∈ R ₌ .

Si se tiene un dominio Q perteneciente a n

R , serán usados los números:

{

}

inf( ( ) ) inf ( ) ( )

h Ξ h ∩Q = h x x∈ Ξ h ∩Q ; h_sup( ( )Ξ h ∩Q)=sup

{

h x x( ) ∈ Ξ( )h ∩Q

}

, para el estudio de la localización de las órbitas periódicas del sistema (2.1), [10,11].

3.2 Teoremas para localización de órbitas periódicas.

Para la resolución del problema de localización de órbitas periódicas, se usan las siguientes herramientas de análisis.

Teorema 1 [2]. Cada órbita periódica Г de (2.1) localizada en Q está contenida

también en el conjunto

inf sup

{ ( ( ) ) | ( ( ) )}

h Q

K = h Ξ h ∩Q ≤h ≤h Ξ h ∩Q .

Teorema 2 [2]. Dada una función h(x), una órbita periódica Г del sistema (2.1)

tiene al menos en dos puntos contenidos en el conjunto L h_f = . 0

Adicional a esto los siguientes Lemas serán útiles.

Lema 3 [2]. Si todas las órbitas periódicas están contenidas en Kh₁ y Kh₂ entonces

(27)

Lema 4 [10]. Si se tiene hinf( ( ))Ξ h =hsup( ( ))Ξ h = . Entonces todas las órbitas c

periódicas están contenidas en el conjunto ( )Ξ h .

Lema 5 [10,11]. Si ( )Ξ h es invariante. Entonces todas las órbitas periódicas están

contenidas en ( )Ξ h .

Se tomará como localización en un semi-espacio si se tiene

inf( ( )) sup( ( )

h h h h

−∞ = Ξ < Ξ < ∞ ó − ∞ < h_{in f}(Ξ( ))h < h_{s u p}(Ξ( ))h = ∞ .

En [10,11], hinf( ( ))Ξ h y hsupΞ( ))h se calculan por medio del método del

multiplicador de Lagrange en el caso del sistema de Lorenz y para = n

Q R . Se

construye una función de Lagrange como L= −h µL hf . Con lo que se encuentran

los valores críticos de la función.

0; 1,..., ; _f 0. s L s n L h x ∂ ₌ ₌ ₌ ∂ (3.1)

Si por ( )Ξ h se toma el conjunto x_*∈ para el cual Q

(

x_*,µ

)

es una solución de (3.1)

para alguna µ. Por lo tanto hinf( ( )Ξ h ∩Q) = in fx∈Ξ( )h ∩Q h x( ),

sup( ( ) ) supx X h( ) Q ( )

h Ξ h ∩Q = ∈ ∩ h x . La posibilidad de encontrar estos valores es el punto

central del análisis de localización de órbitas periódicas.

Definición 6 [14]. Dada una matriz simétrica n n

A∈R × , y una forma cuadrática

( ) T , n

q x =x Ax x∈R , entonces ( )q x será con respecto a su definición de signo:

i. Positiva definida si A> ∀ ≠ 0 x 0.

ii. Positiva semidefinida si A≥ ∀ ≠ 0 x 0.

iii. Negativa definida si A< ∀ ≠ 0 x 0.

(28)

v. Indefinida si no se puede definir el signo de A .

Con estas herramientas se construyen un conjunto de funciones localizadoras para las cuales el problema de localización de órbitas periódicas es reducido a cálculos algebraicos.

3.3 Metodología empleada para localización de órbitas periódicas.

A continuación se describe la metodología empleada en la localización de órbitas periódicas. Se toma como ejemplo el desarrollo completo el sistema de Sprott B [22]. Este sistema no lineal está dado por:

1 2 3 2 1 2 3 1 2 ; ; 1 . x x x x x x x x x = = − = − (2.1)

1. Se aplica una función localizadora cuadrática completa, que está dada por:

( )

2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3

h x = α x + β x + δ x + ε x x + γ x x + η x x + λ x + µ x + σ x

donde α β δ ε γ η λ µ, , , , , , , y σ son parámetros libres y números reales. El

valor de estos parámetros será determinado mas adelante 2. Ahora se calcula la derivada Lie para h, que está dada por:

1 2 3 1 2 3 . f h h h L h x x x x x x ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ Es decir:

( )

1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 1 3 1 3 2 3 2 3 1 2 3 2 2 2 f L h x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x α β δ ε ε γ γ η η λ µ σ = + + + + + + + + + + +

(29)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1 2 3 2 1 2 3 1 2 2 3 2 1 1 2 2 3 3 1 1 2 1 2 3 2 1 2 2 3 1 2 1 2 2 2 2 1 . . . 1 . . . 1 . . . 1 . f L h x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x α β δ ε ε γ γ η η λ µ σ = + − + − + + − + + − + − + − + + − + − Desarrollando:

( )

2 1 2 3 1 2 2 3 2 2 2 1 2 3 2 3 1 1 2 2 3 1 2 1 2 1 3 2 3 2 1 2 2 3 1 2 1 2 2 2 2 2 . . . 2 . . . . . . . f L h x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x α β β δ δ ε ε ε γ γ γ η η η η λ µ µ σ σ = + − + − + + − + + − + − + − + + − + −

3. Después de obtener el desarrollo de la L h xF

( )

, se iguala a cero, es decir, se

aplica el Teorema 2: L h_f = 0 2 1 2 3 1 2 2 3 2 2 2 1 2 3 2 3 1 1 2 2 3 1 2 1 2 1 3 2 3 2 1 2 2 3 1 2 1 2 2 2 2 2 . . . 2 . . . . . . 0 f L h x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x α β β δ δ ε ε ε γ γ γ η η η η λ µ µ σ σ = + − + − + + − + + − + − + − + + − + − =

4. Aplicando el Teorema 1 es necesario determinar los valores máximo y mínimo de esta función. En primera instancia, basándose en la Definición 6 casos i, ii, iii o iv, se intenta definir el signo de esta expresión variando los parámetros libres. 5. Si esto no es logrado, se realiza un mapeo para lograr definir el signo de la expresión h _Ξ . Se iguala a cero, se despeja una expresión y es sustituida en h.

6. Los parámetros libres establecidos en la h cuadrática completa permiten eliminar términos no deseados, que son términos cruzados y los términos de tercer grado que presentan mayor complejidad en el análisis, usando la Definición 6 casos i, ii, iii o iv, se pretende definir el signo de la función.

(30)

Para este caso particular se consigue definir el signo de la expresión h _Ξ , si se

toman los siguientes valores de parámetros:

1, 0 , 1, 0 , 0 , 0 , 0 , c y 0

α = β = δ = ε = γ = η = λ = µ = σ =

Así se determina que una h que permite localización de órbitas periódicas es:

( )

2 2

1 3 2

h x = x + x + c x

Obteniendo con ello:

( )

1

(

2 3

)

3

(

1 1 2

)

(

1 2

)

f L h x = x x x + x − x x +c x − x ; 1 2 2 3. f L h =cx −cx + x

Tomando L h_F = y despejando 0 Ξ = x₂ = x₁ −2x c₃ −1, se tiene que:

2 2 3 1 3 1 2 | x h x x c x c Ξ ⎛ ⎞ = + + _⎜ + _⎟ ⎝ ⎠; 2 2 1 3 1 3 | 2 h_Ξ= + + +x x cx x

Completando cuadrados para facilidad en el análisis:

(

)

2 2 2 1 3 | 1 1. 2 4 c c h_Ξ=⎛_⎜x + ⎞_⎟ + x + − − ⎝ ⎠

7. Aplicando el método del multiplicador de Lagrange (Ecuación 3.1) se calculan los valores extremos de esta función.

En este ejemplo están dados por 2

inf 1 / 4

h = − −c y h_sup = ∞ .

8. Al calcular los valores extremos aplicando el Teorema 1 se resuelve el problema de localización.

Para este caso está dado por el conjunto:

{

2 2 2

}

1 3 2 1 / 4

x +x +cx ≥ − −c .

(31)

órbitas periódicas están localizadas entre los paraboloides elípticos:

(

)

(

)

{

2 2 2 2

}

1 3 / 2 1 2 1 3 / 2 1 x x x x x − + − ≤ ≤ + + .

9. El siguiente paso es la visualización gráfica de la localización obtenida, para ello se realizaron simulaciones numéricas, dibujando las superficies localizadas y simulando cada uno de los sistemas, para el caso en que se dibuje un atractor extraño en el plano de fase o un caso particular de órbitas periódicas. Se decide dibujar un atractor extraño debido a que en [18] se asevera que las órbitas periódicas constituyen el esqueleto del atractor extraño.

En el caso particular de este ejemplo se obtiene la gráfica de la Figura 3.1.

Figura 3.1 Ejemplo, sistema de sprott B. Se obtiene el plano de fase para el sistema de Sprott B con

condiciones iniciales (-1.4, -1.5, -0.8) y los paraboloides elípticos.

En general siguiendo esta metodología fueron establecidas las localizaciones para los sistemas estudiados.

La idea es lograr establecer los valores hinf o hsup para una función h dada, por

esta razón la aplicación de los teoremas y lemas expuestos son de utilidad en ocasiones en que el problema se complica, y de esta forma puede ser simplificado en los casos en que no hay solución aparente.

(32)

C

a

p

í

t

u

l

o

4

4 L

L

o

c

a

l

i

z

a

c

i

ó

n

d

e

ó

r

b

i

t

a

s

p

e

r

i

ó

d

i

c

a

s

p

a

r

a

s

i

s

t

e

m

a

s

c

u

a

d

r

á

t

i

c

o

s

d

e

S

p

r

o

t

Investigaciones recientes han puesto la atención en el estudio de las características de los sistemas cuadráticos de Sprott [22], con la finalidad de contribuir en esas investigaciones este capítulo se enfoca en la resolución del problema de localización para estos sistemas.

En este capítulo se presentan resultados de localización de órbitas periódicas para dieciocho sistemas cuadráticos de Sprott [22], empleando la metodología mostrada en el apartado 3.3.

Las figuras muestran el atractor extraño de los diferentes sistemas, a pesar de que no es una órbita periódica, en [18] se asevera que las órbitas periódicas representan su esqueleto, por lo que es interesante comparar la localización encontrada con el atractor extraño.

4.1 El sistema de Sprott A.

El sistema A presenta un término cruzado y un término cuadrático, por la estructura de este sistema en si, encontrar la función localizadora representa cierta complejidad ya que se deben eliminar términos cruzados al realizar las operaciones algebraicas. Este sistema está dado por la representación de estados:

1 2 2 1 2 3 2 3 2 ; ; 1 . x x x x x x x x = = − + = − Se aplica la función cuadrática

( )

3 2

1 1 3

s s

(33)

diferente de cero.

En primer término se tiene la siguiente restricción:

2 1 ( ) . 4 4 c h x ≥ − − (4.1)

Realizando las operaciones pertinentes se obtiene

( )

2

2 2 3 1 2

f

L h x =cx + x + −x ,

tomando L h x_f

( )

=0 y solucionando Ξ( )h =x₃= −cx₂/ 2+x₂2/ 2 1/ 2− . Así se llega a:

2 2 2 2 4 3 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 / 2 1 . 2 2 2 2 2 4 2 4 4 h_Ξ =cx+ − −x cx + x + − −_⎜⎛ cx +x _⎟⎞ = x − cx + + +x ⎛_⎜ c ⎞_⎟x + −cx ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (4.2)

Esta función es positiva definida, el siguiente paso es calcular su valor mínimo

inf

h , este valor es la suma de los valores mínimos de las funciones

( )

2 1 1 1 1 / 4 h x = x +cx − y

( )

(

2

)

2 3 4 2 1 / 4 2 2 / 2 2 / 4 . h x = +c x −cx + x Se obtiene: 1 2 2 1,inf 1 1 1 1 1 min . 4 4 4 x h = ⎛_⎜cx + x − ⎞_⎟= − − c ⎝ ⎠ (4.3)

La ecuación para calcular la condición extrema de la función h2

( )

x es

(

2

)

2 3

2 2 2

2 1+c / 4 x −3cx / 2+x = Sus raíces son 0. 0; 3 / 4

(

c

)

±

(

c2−32 / 4

)

. Así los valores correspondientes para esta parte de la función h|_Ξ₁y son:

2 2 2 3 2 4 1 1 5 1 1 ; 1 ( 32) ( 32) . 4 4 4 8 128 128 c c c c c c c − − − ± − + ∓ − + (4.4)

Analizando las ecuaciones (4.1), (4.2) y (4.4): si c2_{<32 entonces esta elección de h}

para obtención de localización no es útil. Pero si c2_≥32:

2 2 3 2 4 inf 5 3 1 1 1 ( 32) ( 32) . 4 8 4 128 128 h = − + c + c c − − c c − + c Por lo tanto

{

3 2

}

1 1 3 in f h s s

K = ∑ ₌ x + c x + x ≥ h . Con ello se obtendrá

2

inf

(34)

complemento de la región

{

2

}

3 2 1 1 3 in f _{3 2} s= xs c x x h _c _≥ ∑ + + ≥ .

Figura 4.1 Sistema de Sprott A. Plano de fase para el sistema de Sprott A con condiciones iniciales

(1.5, -2.5, 0.7) y la superficie localizada.

En este caso de localización, es encontrada una función cuadrática. En la Figura 4.1 se muestra la gráfica del atractor extraño con respecto a la superficie localizadora, lo que aporta una evidencia gráfica del resultado obtenido. Para graficar el atractor extraño se toman condiciones iniciales (1.5, -2.5, 0.7), [22].

4.2 El sistema de Sprott B

El sistema de Sprott B [22] presenta dos términos cruzados, lo que implica cierta complejidad al proponer la función localizadora. Este sistema no lineal está dado por: 1 2 3 2 1 2 3 1 2 ; ; 1 . x x x x x x x x x = = − = −

Aplicando la función localizadora

( )

2 2

1 3 2.

(35)

de cero y es un número real. Ahora se calcula L h xf

( )

=cx1−cx2+2 ,x3 igualando a

cero y tomando 1

2 1 2 3

x = x − x c− , se llega a h|_Ξ= +

(

x c₁ / 2

) (

2+ + −x₃ 1

)

2 c2/ 4 1.− Entonces es obtenida la condición extrema 2

inf 1 / 4

h = − −c y con ello es concluido que las

órbitas periódicas para este sistema están localizadas en el conjunto

{

2 2 2

}

1 3 2 1 / 4

x +x +cx ≥ − −c . Si c=2 las órbitas periódicas están localizadas entre los

paraboloides elípticos

{

(

2 2

)

(

2 2

)

}

1 3 / 2 1 2 1 3 / 2 1

x x x x x

− + − ≤ ≤ + +

Figura 4.2 Sistema de Sprott B. Se obtiene el plano de fase para el sistema de Sprott B con

condiciones iniciales (-1.4, -1.5, -0.8) y los paraboloides elípticos. Son mostradas dos perspectivas para visualización del atractor extraño con respecto a la superficie localizada.

(36)

En este caso de localización, es obtenida una función cuadrática correspondiente la gráfica de un paraboloide elíptico. En la Figura 4.2 se muestra la gráfica del atractor extraño con respecto al paraboloide elíptico encontrado, el atractor extraño no rebasa esa frontera. Para graficar el atractor extraño, se toman condiciones iniciales (-1.4, -1.5, -0.8), [22].

4.3 El sistema Sprott D

En el caso del sistema de Sprott D [22] por sus características, se logra obtener dos casos de localización, este sistema está dado por:

1 2 2 1 3 2 3 1 3 2 ; ; . x x x x x x x x ax = − = + = −

1. En primer lugar se aplica

( )

2

1 1 3 2 / 2

h x =x x +x . Así se tiene

( )

2 2

1 1 3 1 2 1 2.

f

L h x = x x −ax x + x x El conjunto Ξ( )h₁ está compuesto por dos

componentes Ξ1( )h1 dado por x1= y 0 Ξ2( )h1 dado por

2 1 3 2 2 x x =ax − . Con lo que x

(

)

1 1 2 1 2 2 1| (h) 2/ 2; 1| (h) 1/ 2 2 2.

h _Ξ =x h _Ξ = a+ x −x Si 2a+1>0 entonces h1inf

(

2a 1

)

1/ 2, −

= − +

1sup ;

h = ∞ si 2a+1<0 y h_1inf = −∞, h_1sup = ∞ Las órbitas periódicas están localizadas . en:

(

)

(

)

{

₂ 1

}

1 1 3 2 / 2 2 1 / 2 | 2 1 0 .

S = x x +x ≥ − a+ − a+ >

En este caso se realiza un cambio de coordenadas para la interpretación gráfica del resultado obtenido. El cambio de coordenadas se realiza agregando una nueva variable lineal, lo que permite tener una ecuación más general de la superficie localizada.

(37)

1 1 3 2 2 3 1 3. w x x w x w x x = + = = − Y se obtiene la superficie: 2 2 2 1 2 3 1 2(2 1) w w w a − + − ≥ +

Si (2a+ <1) 0correspondiente a un hiperboloide de una hoja, y si (2a+ >1) 0 es un

hiperboloide de dos hojas tal como el mostrado en la Figura 4.3.

2. Ahora es propuesta la función localizadora

( )

2 2

2 1/ 2 2/ 2 1 3.

h x =x +x +x x Obteniendo

( )

(

2

)

2 1 1 3 2 .

f

L h x =x x x −ax Los componentes para Ξ( )h₂ son Ξ₁( )h₂ dado por x₁= y 0

2( )h2 Ξ dado por 2 1 3 2 0 x x −ax = y 1 2 2 2| (h) 2/ 2; h _Ξ =x 2 2 2 2 1| (h) 1 / 2 (1/ 2 ) 2. h _Ξ =x + +a x Entonces

si (1 2 ) 0+ a > la localización de las órbitas periódicas es válida en el conjunto:

2 2

2 { 1 3 1 / 2 2 / 2 0}.

S = x x +x +x ≥

En este caso se realiza un cambio de coordenadas para interpretación matemática del resultado obtenido. El cambio de coordenadas se realiza completando cuadrados y agregando una nueva variable, lo que permite tener una ecuación más general de la superficie localizada.

Completando cuadrados se tiene:

(

)

2 2 2 2 3 3 1 2 1 3 2 2 2 ₃ ₂ 1 3 0 2 2 2 2 1 0 2 2 2 x x x x x x x x x x ⎛ ⎞ + + − + ≥ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + − + ≥

Se sustituyen las nuevas variables:

1 1 3 2 2 3 3. w x x w x w x = + = =

(38)

Y se obtiene la superficie:

2 2 2

1 2 3 0

w +w −w ≥

Que es la superficie correspondiente a un cono cuadrático real.

El problema de localización de órbitas periódicas es resuelto para a> −1/ 2 en el

conjunto:

(

)

2 2 2 1 1 2 1 3 1 max ; . 2 2 2 1 2 x x S S x x a ⎧ ⎛ − − ⎞⎫ ⎪ ⎪ ∩ =⎨ + ≥ ⎜_⎜ ₊ ⎟_⎟⎬ ⎪ ⎝ ⎠⎪ ⎩ ⎭

Para el caso de los parámetros originales de este sistema, es válida la localización:

(

)

(

)

{

2 1

}

1 1 3 2 / 2 2 1 / 2 | 2 1 0 .

S = x x +x ≥ − a+ − a+ >

Se obtiene una función correspondiente a un hiperboloide de dos hojas. En la Figura 4.3 se muestra la gráfica del atractor extraño con respecto a la superficie encontrada, en la que se observa que la forma del atractor es similar a la superficie localizada y nunca es rebasada por él, comprobando así el resultado obtenido. Para graficar el atractor extraño, se toman los parámetros y condiciones iniciales originales, a=3, (-2,-2,3), [22], para los cuales es válido el caso de localización (1), o sea

{

(

₂

)

(

)

1

)

}

1 1 3 2/ 2 2 1 / 2 | 2 1 0 .

(39)

Figura 4.3 Sistema de Sprott D. Se obtiene el plano de fase para el sistema de Sprott D con su

parámetro original (a=3) y condiciones iniciales (-2,-2,3) y la superficie localizada. Se muestran dos perspectivas para visualización del atractor extraño con respecto a la superficie localizada.

(40)

4.4 El sistema de Sprott E

Por el método empleado este sistema tiene una solución directa para el problema de localización. El sistema de Sprott E [22] está dado por:

1 2 3 2 2 1 2 2 3 1 ; ; 1 . x x x x x x x ax = = − = − Se propone h x

( )

=x2. Entonces

( )

2 1 2. f

L h x =x −x Con lo que h|_Ξ=x₁2. La localización de las órbitas periódicas es en el conjunto

{

x2≥0 .

}

Figura 4.4 Sistema de Sprott E. Se obtiene el plano de fase para el sistema de Sprott E con su

parámetro original (a=4) y condiciones iniciales (0, 1, -2) y la superficie localizada.

En la Figura 4.4 se muestra la gráfica del atractor extraño con respecto a la proyección del plano encontrado en una línea, se puede observar que el atractor extraño no rebasa la superficie localizada, ello es una evidencia del resultado obtenido. Para graficar el atractor extraño, se toman los parámetros y condiciones iniciales originales, a=4, (0, 1, -2), [22].

(41)

4.5 El sistema de Sprott F

Analizando el sistema se puede obtener al aplicar el método de localización un plano. Este sistema de Sprott F [22] está dado por:

1 1 3 2 1 2 2 3 1 3 ; ; . x x x x x ax x x x = + = − + = − Aplicando h x

( )

=x3. Entonces

( )

2 1 3. f

L h x =x −x Con lo que h|_Ξ=x₁2. Por lo que

todas las órbitas periódicas están localizadas en el semi-espacio

{

x3 ≥0 .

}

Figura 4.5 Sistema de Sprott F. Se obtiene el plano de fase para el sistema de Sprott F con el

parámetro original a=1/2, con condiciones iniciales (0.1, -0.15, 0.4) y el plano localizado.

Aplicando el método de localización de condiciones de extrema, es obtenido un plano como superficie localizadora. En la Figura 4.5 se muestra la gráfica del atractor extraño con respecto a la proyección en una línea del plano encontrado, se observa que el atractor extraño no rebasa la superficie localizada, con lo que es comprobada gráficamente la localización de órbitas periódicas. Para graficar el atractor extraño, se toman los parámetros y condiciones iniciales originales, a=1/2, (0.1, -0.15, 0.4), [22].