ANALISIS COMBINATORIO.
Factorial de . Se llama factorial de al producto de todos los números naturales desde 1 hasta , ambos inclusive.
Para designar abreviadamente el factorial de se emplea la notación de que se lee: factorial de .
Por lo tanto
También
Obs.: Por definición como también EJERCICIOS. 1- Simplificar: a) b) c) d) e) f) 2- Demostrar: 3- Resolver la ecuación: 4- Simplificando: se obtiene: 5- Simplificar:
6- El valor de que satisface la ecuación:
7- Resolver las ecuaciones: a)
PERMUTACIONES SIMPLES: Permutar significa cambiar, luego permutaciones simples son los distintos grupos que se pueden formar con los elementos de un conjunto,
intercambiando sus lugares.
En estas condiciones cada grupo contendrá todos los elementos del conjunto original. El numero de permutaciones de un conjunto de elementos, se representa mediante el
símbolo “ ” ...
EJEMPLO: Dado el conjunto { } de 3 elementos.
Las permutaciones posibles de este conjunto serán:
Que serán: ; ; ; ; ; .
ARREGLOS SIMPLES: Arreglos de elementos tomados a .
Son los distintos grupos que se pueden formar con los elementos de un conjunto, de tal forma que cada grupo tenga elementos .
También podemos cambiar el orden de los elementos.
El numero de arreglos de un conjunto de elementos tomados de a se escribe:
EJEMPLO: Sea el conjunto { } y queremos saber cuantos grupos de 2 letras
podemos formar con estos elementos.
( ) Arreglos posibles.
COMBINACIONES SIMPLES: Combinaciones de elementos tomados de a . Son los distintos grupos que se pueden formar con los elementos de un conjunto, de tal forma que cada grupo tenga elementos .
En este caso no podemos cambiar el orden de los elementos.
El numero de combinaciones de elementos tomados a , se escribe:
EJEMPLOS: Sea el conjunto { } el número de combinaciones o grupos de 2 letras
deferentes será: ( ) Combinaciones posibles. . EJERCICIOS:
1. De cuantas maneras diferentes se pueden colocar 7 cuadros en fila, sabiendo que uno
de ellos debe estar siempre:
a) En el centro Rta: 720 maneras.
b) En uno de los extremo Rta: 1440 maneras.
2. De cuantas maneras pueden sentarse en una fila de 8 asientos, 4 hombres y 4 mujeres,
alternándose hombre y mujer . Rta:1152 maneras.
3. Si 4 personas suben a un ómnibus en el que hay 10 asientos vacíos, de cuantas
maneras pueden sentarse. Rta: 5040 maneras.
4. De cuantas maneras se pueden elegir presidente, vicepresidente y tesorero para una
comisión de entre 10 candidatos? Rta: 720 maneras.
5. De un grupo de 10 alumnos se deben elegir 3 representantes, cuantos grupos posibles
tenemos: Rta: 120 grupos.
6. Una empresa tiene 5 directores y 10 gerentes. ¿Cuántas comisiones distintas se
PROPIEDADES DE LAS COMBINACIONES:
a) Combinaciones complementarias: El número de combinaciones de elementos tomados a es igual al número de combinaciones de elementos tomados a .
Es decir: ………… Los números superiores son complementarios respecto a .
[ ]
……….. Luego esta demostrada la identidad. Obs.: Esta propiedad es muy utilizada en el binomio de Newton.
b) Propiedad de Stteffel: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) * + ( ) ( )( ) * + ( ) ( ) ( )
………..….… Luego la identidad queda demostrada. Obs.: Aplicando sucesivamente la formula de Stteffel, tendremos la conocida formula:
EJERCICIOS: 1- Si y ………..…. Calcular 2- Calcular , sabiendo 3- Calcular en: a) b) c) Rta: d) Rta: e) 4- Verificar la identidad ……. 5- Demostrar que
es igual al producto de tres números naturales
consecutivos.
6- Si
hallar el valor de .
7- Demostrar que
8- Determinar el valor de a en la siguiente expresión.
……… Rta: 9- Siendo Hallar el valor de . ………. Rta: .
10- Calcular y , sabiendo que las ecuaciones (1) y (2) son equivalentes:
……..…Rta.: 2
Obs.: Ecuaciones equivalentes son las que sus coeficientes son proporcionales.
11- Siendo
Demostrar que es la suma de los términos de una progresión aritmética de razón cuyo 1º término es y ultimo es 1.
12- Determinar en:
………. Rta:
13- Hallar sabiendo que ...…….. Rta:
14- Hallar y de: 2
...……...Rta:
15- Determinar los valores de y para que se cumpla:
….…….Rta:
16- Hallar y , sabiendo que las ecuaciones (1) y (2) son equivalentes.
{ ………..Rta: 17- Determinar y en la relación. ……...Rta:
BINOMIO DE NEWTON
Se conoce como binomio de Newton el desarrollo de binomio de la forma para
cualquier exponente .
Es evidente que para hallar las potencias por procedimientos ordinarios es solo multiplicar de forma sucesiva.
Antes de adentrarnos al binomio de Newton propiamente, veremos algunos artificios utilizados para obtener el desarrollo del binomio.
a) Triangulo de Pascal o Tartaglia: consiste en un ingenioso artificio por el cual se obtiene los coeficientes de los términos del binomio llamados coeficientes binomiales.
1 2 1 1 2¹ 1 2 1 2² 1 3 3 1 2³ 1 4 6 4 1 2 1 5 10 10 5 1 2 1 6 15 20 15 6 1 2 1 7 21 35 35 21 7 1 2 1 8 28 56 70 56 28 8 1 2 …… ……… … ..
Cualquier numero en el triangulo es la suma de los dos números mas cercanos del renglón de arriba del numero.
Del desarrollo de cualquier potencia del binomio obtenemos:
El exponente de a comienza con y va disminuyendo y el exponente de comienza con cero y va aumentando hasta .
El desarrollo es un polinomio homogéneo en .
Cuando el binomio es de la forma , el signo de los términos va en forma intercalada
comenzando por el signo positivo.
OBS.: Una particularidad notable es que la suma de los coeficientes binomiales del desarrollo
de es siempre , como ilustramos en la figura, mas adelante mostraremos esta
propiedad con el binomio de Newton.
b) Producto de Stevin: El binomio de Newton puede ser inducido a partir del producto de Stevin.
Consideremos el producto ……….. Teniendo factores. ……….. ……….. ……….. ……….. ……….. ……….. ……….. ………..………... ...……… ……….……….. ……… ………
Observando atentamente el comportamiento del producto de estos binomios, vemos que los coeficientes de la variable , son combinaciones de los términos independientes de los factores de los binomios.
c) Binomio de Newton:
En el producto de Stevin, hagamos y tendremos factores iguales
a , es decir . ……….. ……….. ..……….. ……….. ………..……… ……….… ………..…… ……….… ………..…… ………..…… .……… .………..…… ⏟ ………... ⏟ ………... ……….…….. ⏟ ………..
De esta forma obtenemos la conocida expresión del binomio de Newton
PROPIEDADES:
1- Los coeficientes de los términos extremos son iguales a la unidad.
2- Los coeficientes de cualquier término es igual al número de combinaciones de elementos, tomados de una cantidad igual al número de términos precedentes. Es decir el término de orden … (Que ocupa el lugar ); será:
[ ]
En este caso tendremos el termino general del binomio de Newton y para obtener un
termino cualquiera podemos darle a , valores [ ]
3- El binomio de Newton fue deducido para entero y positivo, mas se puede aplicar cualquiera sea la naturaleza de ; es decir negativo, fraccionario.
4- Cuando es entero y positivo, el numero de términos en el desarrollo es limitado e igual a términos.
5- Cuando es negativo o fraccionario, el número de términos es ilimitado (infinito). 6- Términos centrales en el desarrollo del Binomio de Newton.
a) Cuando es un número PAR.
En este caso el numero de términos será un numero impar, y habrá un termino central en el desarrollo.
El lugar que ocupa el término será
⁄ ⁄ ⁄
b) Cuando es un número IMPAR.
En este caso el numero de términos será que será par, de modo que tendremos dos términos centrales.
7- Términos equidistantes de los extremos.
Siendo ……... con entero y positivo.
Considerando el término [ ] , el término equidistante de los
extremos ocupara la posición – en el desarrollo del mismo.
[ ] [ ]
El concepto del término central y término simétrico solo puede hablarse para binomios con exponentes enteros y positivos.
8- Los coeficientes binomiales de dos términos equidistantes de los extremos son iguales; es
decir: [ ]
Esto es debido a una propiedad de las combinaciones, cuando el número superior es complementario respecto a .
9- El termino de mayor coeficiente binomial (Se refiere a ) en el desarrollo del binomio de
Newton, es el que ocupa la posición central.
10- Cuando los dos términos del binomio son negativos (– ) , los términos del
desarrollo serán todos positivos o todos negativos, según que el exponente de la potencia sea respectivamente par o impar.
11- Cuando el binomio es de la forma podemos transformar.
[ ]
EJERCICIOS:
1- Determine el termino central del desarrollo del binomio ( )
2- En el binomio ( *
escriba el termino que contiene
3- ¿Cuál es el valor del termino independiente de en el desarrollo de ( √ )
?
4- En el desarrollo de donde , el coeficiente numérico del termino en es
ocho veces el del termino en . Calcular .
5- Determine los valores de que vuelven iguales el 4º y 5º términos en el desarrollo de ( )
6- Sabiendo que los coeficientes del 3º termino y del 8º termino en el desarrollo de
son iguales, determine el valor de .
7- Uno de los términos del desarrollo de es . Sabiendo que a no depende
de . Calcular el valor de a.
8- Hallar el 9º termino de (√ √ )
9- Termino medio de ( )
10- Hallar los primeros 4° términos del desarrollo de
11- Hallar el termino medio de (√ √ )
12- Calcular el coeficiente de , en el desarrollo de
13- Hallar el termino que contiene , en el desarrollo de
14- Calcular las potencias siguientes de números complejos.
a.
b.
15- Los tres primeros coeficientes en el desarrollo de ( ) están en progresión
17- En el desarrollo del binomio (√ ) donde , la diferencia entre los coeficientes del 3º y del 2º términos es igual a 90. Calcular el valor del término independiente de en ese desarrollo.
18- Calcular el valor de para que el quinto termino sea independiente de .
. √ /
19- Determinar el valor de “ ” para que en el desarrollo del binomio de Newton exista un
término independiente de . El binomio es ( )
20- Sin efectuar el desarrollo del binomio, hallar el término independiente en . Calcular también el valor de a para que dicho termino valga 240.
( ) ………Rta.:
21- Calcular el 8º termino y el termino central en
( ) Rta.:8
22- Dado el binomio ( ) se pide , sabiendo que los exponentes de las de dos
términos simétricos son 30 y respectivamente. Hallar dichos términos. Rta.:
