Resistencia Solucionario Singer

(1)

SOLUCIONARIO DE

RESISTENCIA DE

MATERIALES

ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL

Singer Ferdinand L, Pytel Andrew; Resistencia de Materiales, introducción a la mecánica de sólidos; cuarta edición.

2008

(2)

UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL

CAPÍTULO I ESFUERZO SIMPLE

103. Determine el máximo peso W que pueden soportar los cables mostrados en la figura P-103. Los esfuerzos en los cables AB y AC no deben exceder 100 MPa, y 50 MPa, respectivamente. Las áreas transversales de ambos son: 400 mm2 para el cable AB y 200 mm2 para el cable AC.

200

100 10 100 400

10 40

109. En la figura P-109 se muestra parte del tren de aterrizaje de una avioneta. Determine el esfuerzo de compresión en el tornapunta AB producido al aterrizar por una reacción del terreno R=20. kN. AB forma un ángulo de 53.1° con BC. ∑ 0 0.65 53.13° 0.45 0 20 0.65 0.36 0 36.1 36.13 5.5 10 65.72 / 0.02 0.015 5.5 10

(3)

112. Calcule el peso del cilindro más pesado que se coloca en la posición que se indica en la figura P-112, sin rebasar el esfuerzo de 50MN/m2 en el cable BC. Desprecie el peso de la barra AB. El área transversal del cable BC es 100 mm2.

50 10 ⁄ 1 10 5 6 10 53.13° 53.13° 0.8º 53.13° 0.6 0 4000 10 4 10000 0 0.6 10000 6000 //

(4)

114. Se quiere punzonar una placa, tal como se indica en la figura 1-10c, que tiene un esfuerzo cortante último de 300 MPa. (a) Si el esfuerzo de compresión admisible en el punzón es 400 MPa, determine el máximo espesor de la placa para poder punzonar un orificio de 100 mm de diámetro. (b) Si la placa tiene un espesor de 10 mm, calcule el máximo diámetro que puede punzonarse.

(a) 0.31416 400 . . 3.1416 3.1416 300 3.1416 0.31416 3.1416 300 0.31416 0.033 (b) 0.01 1 100 100 . 1 100

(5)

100 300 2 1 2 0.01 100 300 0.030 // .

115. figura P-115 muestra la unión de un tirante y la base de una armadura de madera. Despreciando el rozamiento, (a) determine la dimensión b si el esfuerzo cortante admisible es de 900 kPa. (b) Calcule también la dimensión c si el esfuerzo de contacto no debe exceder de 7 MPa.

(a) 900 10 / 50 10 150 30° 0 30 30 0 0.5 0.866 50 10 0 86602.54

(6)

900 10 ⁄ 43301.27 0.150 135000 43301.27 0.321 321 //sol (b) 7 . 7 10 / 50 30° 43.301 7 10 / 50 30° 0.150 1050 43.301 0.04123 41.2 //sol

(7)

118. La palanca acodada que se representa en la figura P-118 está en equilibrio. (a) Determine el diámetro de la barra AB si el esfuerzo normal está limitado a 100 MN/m2. (b) Determine el esfuerzo cortante en el pasador situado en D, de 20 mm de diámetro. (a) D=? 100 / 0 0.2 30 60° 0.24 0 0.2 6.24 31.2 0 30 60° 0.24 31.2 15 46.2

(8)

30 60° 26 46.2 26 53 31200 100 10 / 3.12 10 2 2 2 3.12 10 2 7.05 10 2 0.01410 1000 /1 14.10 // (b) τ=?

(9)

53.0 0.02 4 53.0 3.1415 10 168.7 / //

119. La masa de la barra homogénea AB mostrada en la figura P-119 es 2000 kg. La barra está apoyada mediante un perno en B y mediante una superficie vertical lisa en A. Determine el diámetro del perno más pequeño que puede usarse en B si su esfuerzo cortante está limitado a 60 MPa. El detalle del apoyo en B es idéntico al apoyo b mostrado en la figura P-118

2000 9.8 19600 0 8 19600 3 0 7350 0 7350 0 19600

(10)

20932.81 20932.81 60 10 / 3.49 10 , 2 2 2 2 2 3.49 10 2 7.4529 10 2 2 7.45 10 0.0149 1000 /1 14.9 //

(11)

120. Dos piezas de madera, de 50 mm de ancho y 20mm de espesor indica la figura P-120. (a) Aplicando las ideas que se expresan en la figura 1-4, determine la fuerza cortante y el esfuerzo cortante en la unión si P = 6000 N. (b) Generalice el procedimiento para demostrar que el esfuerzo cortante en una sección inclinada un ángulo θ respecto a una sección transversal de área A, tiene un valor dado por ⁄2 2

(a) 6000 60° 5196.1524 6000 60° 3000 60° 50 57.74 57.74 20 1154.80 0 600 60° 3000 // 3000

(12)

2.598 . // (b) 2 2 2 2 L.Q.Q.D.

(13)

132. Un recipiente cilíndrico a presión está fabricado de placas de acero que tienen un espesor de 20 mm. El diámetro del recipiente es 500 mm y su longitud, 3 m. Determine la máxima presión interna que puede aplicársele si el esfuerzo en el acero está limitado a 140 MPa. Si se aumentara la presión interna hasta que el recipiente fallara, bosqueje el tipo de fractura que ocurriría.

0.02 0.5 3 140 10 / 2 2 2 140 10 2 0.02 0.5 11200 / 11.20 .

Para cilindros en los que la parea tenga un espesor igual o menor que un décimo de su radio interior, el esfuerzo medio calculado es prácticamente igual al esfuerzo máximo que aparece en la superficie interior del cilindro:

1

10 0.25 0.025 0.02 0.025

(14)

134. Un depósito cilíndrico de agua de eje vertical tiene 8 m de diámetro y 12 m de altura. Siha de llenarse hasta el borde, determinar el mínimo espesor de las placas que lo componen si el esfuerzo está limitado a 40 MPa.

40 10 / í ? . 1000 / 9.8 / 9800 / 9800 12 117600 / . . 2 40 10 / 117600 / 8 2 0.01176 11.76

(15)

135. En el depósito cilíndrico de la figura 1-16 la resistencia de las juntas longitudinales es de 480 kN y de las trasversales, de 200 kN. Si la presión interior ha de ser de 1.5 MN/m2, determinar el máximo diámetro que se puede dar al depósito.

1.5 10 / . . 200 / . 480 / . . . 480 / 1.5 10 / 0.32 2 0.64 . 2 2 . . 2 . 2 200 / 1.5 10 / 0.267 2 0.53 //

(16)

CAPÍTULO II DEFORMACIÓN SIMPLE

204. Una barra prismática de longitud L, sección transversal A y densidad p se suspende verticalmente de un extremo. Demostrar que su alargamiento total es

, llamando M a su masa total demostrar que también

a) . . . . . . . . . . . . . 2 2 . . 2 . . . b) . . . . . 2 , . . 2 . . . dy

(17)

205. Una varilla de acero que tiene una sección constante de 300 mm y una longitud de 150 m se suspende verticalmente de uno de sus extremos y soporta una carga de 20 kN que pende de su extremo inferior. Si la densidad del acero es 7850 kg/m3 y E 200 x 10 3 MN/m2, determinar el alargamiento de la varilla. Indicación: Aplique el resultado del problema 204.

300 0.0003 150 20 20 10 2040.82 7850 / 200 10 / 200 10 / 0.0003 7850 150 353.25 . . 2 7850 9.8 150 2 200 10 0.004327 4.33 . . . 2 353.25 9.8 150 2 0.0003 200 10 0.004327 4.33 .

(18)

207. Una llanta de acero, de 10 mm de espesor, 80 mm de ancho y de 1500 mm de diámetro interior, se calienta y luego se monta sobre una rueda de acero de 1500.5 mm de diámetro. Si el coeficiente de fricción estática es 0.30, ¿qué par se requiere para girar la llanta con respecto a la rueda? Desprecie la deformación de la rueda y use E = 200 GPa, : 10 0.01 80 0.08 1500 1.5 : 1500.5 1.5005 0.30 ? 200 10 /

209. Una barra de aluminio de sección constante de 160 mm2 soporta unas fuerzas axiales aplicadas en los puntos indicados en la figura. Si E= 70GPa. Determinar el alargamiento o acortamiento total de barra.

10 10 0.8 160 10 70 10 5 10 1.0 160 10 70 10 35 10 0.6 160 10 70 10 7.147 10 4.46 10 0.001875 0.001607 1.61 10KN 35 KN 15 KN 30 KN

(19)

10KN 15 KN PAl

35 KN

P

Al

210. Un tubo de aluminio está unido a una varilla de acero y a otra de bronce, tal como se indica en la figura P-210, y soporta unas fuerzas axiales en las posiciones señaladas. Determinar el valor de P con las siguientes condiciones: La deformación total no ha de exceder de 2 mm, ni las tensiones han de sobrepasar 140MPa en el acero, 80MPa en el aluminio ni 120MPa en el bronce. Se supone que el conjunto está convenientemente aislado para evitar el pandeo y que los módulos de elasticidad son 200 10 para el acero,70 10 para el aluminio y 83 10 para el bronce.

3P BRONCE ALUMINIO A=450 mm² ACERO A=600 mm² A=300 mm² 2P P 4P

3P

P

AL

2P

P

A 2 10 3 0.6 450 10 83 10 2 1.0 600 10 70 10 2 0.8 300 10 200 10 2 10 1.8 37.55 2 42 1.6 60 2 10 4.82 10 4.76 10 2.67 10 2 10

(20)

2.894 10 28.94 2 28.94 300 10 192933.33 / 192.933 . 140 . í 140 2 300 10 0.021 21 80 2 600 10 24 120 3 450 10 18 á 18 .

(21)

A B 25 KN T D 50 KN RC C

211. Dos barras AB y CD que se suponen absolutamente rígidas están articuladas en A y en D y separadas en C mediante un rodillo, como indica la figura P-211. En B, una varilla de acero ayuda a soportar la carga de 50 kN. Determinar el desplazamiento vertical del rodillo situado en C.

A _B C D 50 KN 200 10 / 300 3 ∑ 0 3 25 4.5 0 37.5 0 50 2 4 0 25 A C y

(22)

W TA TAL masa=M ACERO E=200 GPa L = 3m ALUMINIO E=70 GPa L = 6m 37.5 3 300 10 200 10 0.001875 ∆ 4.5 3 0.001875 3 0.0084375 0.002812 2.81 .

212. Un bloque prismático de concreto de masa M ha de ser suspendido de dos varillas cuyos extremos inferiores están al mismo nivel, tal como se indica en la figura P-212. Determinar la relación de las secciones de las varillas, de manera que el bloque no se desnivele.

. . . . 2 5 3 200 3 5 6 70 0.006 5.14 10 0.006 . 5.14 10 . 8.57 8.57 .

(23)

50 KN

TA TAL

213. La barra rígida AB, sujeta a dos varillas verticales como se muestra en la figura P-213, está en posición horizontal antes de aplicar la carga P. Si 50 , determine el movimiento vertical de la barra.

ACERO E=200 GPa L = 3m A=300 mm² ALUMINIO E=70 GPa L = 4m A=500 mm² A B P ∑ 0 5 50 2 0 20 0 50 3 5 0 30 30 KN _{20 KN}

(24)

δ P . . 30000 3 300 10 2 10 / 0.0015 1.5 . . 20000 4 500 10 7 10 / 2.286 10 2.29 . 2.29 1.5 . 0.79 .

215. Una varilla de longitud L y sección circular tiene un diámetro que varía linealmente desde D en un extremo hasta d en el otro. Determinar el alargamiento que le producirá una fuerza P de tensión.

2 . 2 2 1 4 4 . 4 4

(25)

4 1 4 1 4 1 1 4 2 4 4 4 4 .

216. Una varilla de longitud L y sección recta constante, situada en un plano horizontal experimenta una rotación alrededor de un eje vertical que pasa por uno de sus extremos llamado a la densidad y a la velocidad angular. Demostrar que el alargamiento total de la varilla viene dado por

dx W

(26)

α θ L=3m B A 2 2 . 2 . . . . . ₂ . 2 2 2 6 2 6 3 . . .

217. Dos varillas de aluminio AB y BC articuladas en A y C a soportes rígidos, como indica la figura P-217, están unidas en B mediante un pasador y soportan la carga P = 20 kN. Si las varillas tienen una sección de 400 mm2 y E = 70 x 103 MN/m2, determinar las deformaciones totales de cada una y el desplazamiento horizontal y vertical del punto B. Considérese α= 30˚ y β = 30°.

0

30 30 20

(27)

0 30 30 0 0.87 0.87 2 0.5 0.5 20 0.87 0.87 0.87 0.5 1 ^ 2 0.435 0.4350.5 17.4 0.435 0.435 0 0.87 17.4 20 20 20 2000 400 10 70 10 1.43 , 0.87 20 0.87 20 20 3000 400 10 70 10 2.14 , 30 60 1.238 0.5

(28)

30 60 1.853 0.5 1.238 0.5 1.853 0.5 0.5 0.5 3.091 3 30 60 0.715 0.87 30 60 1.07 0.87 0.715 0.87 1.07 0.87 0.87 0.87 0.355 4 3 ^ 4 0.5 0.5 3.091 0.87 0.87 0.87 0.355 0.5 0.435 0.435 2.689 0.435 0.435 0.178 0.87 2.857 3.295 2.885 0.4095 3.579

(29)

0.05 m

P

ELEMENTOS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS O HIPERSTÁTICOS

232. Una barra de acero de 50 mm de diámetro y 2 m de longitud se envuelve con un cascarón de hierro fundido de 5 mm de espesor. Calcular la fuerza de compresión que es preciso aplicar para producir un acortamiento de 1 mm en la longitud de 2 m de la barra compuesta. Para el acero, E = 200 x 109 N/m2, y para el hierro fundido, E = 100 x 109 N/m2. . 0.025 2 0.005 200 10 / 100 10 / ∆ 1 0.001 0.03 0.025 86394 10 0.05 2 0.005 0.06 2 200 10 2 100 10 1 10 2 10 2 2

(30)

5.09 10 2 8.639 10 100 10 2.315 10 0.001 5.09 10 196463.65 0.001 2.315 10 43196.54 196463.65 43196.54 240

233. Una columna de concreto armado de 250 mm de diámetro se diseña para soportar una fuerza axial de compresión de 400kN. Si el esfuerzo admisible en el concreto es de 6MPa y en el acero de 120MPa, determinar la sección de refuerzo de acero que se necesitará. Ec = 14GPa y Ea = 200GPa.

0.125 0.125 14 10 200 10 0.07 0.07 120 10 8.4 10 / 8.4 6 ,

(31)

1200 KN 6 10 0.07 85.71 10 / 85.71 / 400 10 6 10 0.125 85.71 10 400 10 294527.31 6 10 85.71 10 105475.69 70710000 1.3232 10 1323

234. Una columna de madera de sección 250 x 250 mm se refuerza mediante placas de acero de 250 mm de ancho y espesor t, en sus cuatro caras laterales. Determinar el espesor de las placas de manera que el conjunto pueda soportar una carga axial de 1200kN sin que se excedan los esfuerzos admisibles de 8 MN/m2 en la madera y de 140 MN/m2 en el acero. Los módulos elásticos son Em = 10 x 103 MN/m2 y Ea =

200 x 103 MN/m2 800 140 10 800 175000 / 4 4 4 4 10 5 10 800 800 8 10 6400 10 /

(32)

M Cobre 160 mm Cobre 160 mm Acero 240mm 6400 140, 4 1200 10 4 1200 10 175 10 0.25 0.25 4 140 10 0.25 1200 10 10937.5 140 10 1189062.5 140 10 8.4933 10 8.4933

235. Un bloque completamente rígido de masa M se apoya en tres varillas situadas en un mismo plano, como indica la figura P-235. Las varillas de cobre tienen una sección de 900 mm2, E = 120GPa, y esfuerzo admisible de 70MPa. La varilla de acero tiene una sección de 1200mm2, E = 200GPa, y el esfuerzo admisible es 140MPa. Calcular el máximo valor de M.

∑ 0 2 0.24 200 10 0.16 120 10 1.2 10 1.33 10 1.11 10 1.11 70 10 77700000 / 77.7 / 2

(33)

A

c

er

o

L=

1m

B

ronc

e

L=

1.6 m

A

c

e

ro

L

=1

m

18 Mg

2 77.7 10 1200 10 2 70 10 900 10 9.81 22348.62 22.35

237. Los extremos inferiores de las barras de la figura P-237 están en el mismo nivel antes de colgar de ellas un bloque rígido de masa 18Mg. Las barras de acero tienen una sección de 600mm2 y E = 200 GN/m2. La barra de bronce tiene una sección de 900 mm2 y E = 83 GN/m2. Determinar el esfuerzo en las tres barras.

∑ 0 2 0 2 18 10 9.81 2 17580 1 600 10 200 10 1.6 900 10 83 10 8.33 10 2.14 10 2.57 2 17580 73910.53 28753.96 73910.53 600 10 123.18 10 /

(34)

A L U M IN IO A C E R O A L U M IN IO P 28758.96 900 10 31.9 10 /

238. La plataforma rígida de la figura P-238 tiene masa despreciable y descansa sobre dos barras de aluminio, cada una de 250.00 mm de longitud. La barra central es de acero y tiene una longitud de 249.90 mm. Calcule el esfuerzo en la barra de acero una vez que la carga central P de 400kN se haya aplicado. Cada barra de aluminio tiene un área de 120 mm2 y un módulo E de 70GPa. La barra de acero tiene un área de 2400 mm2 y un módulo E de 200GPa.

120 70 240 200 0.0001 0.0001 0.25 70 10 0.2499 200 10 0.0001 3.57 10 1.25 10 0.0001 3.57 10 0.0001 1.25 10 2.858 80 10 400 10 2.856 80 10 400 10 120 10 2.856 80 10 2400 10 400 10 120 10 0.00685 192000 592000 0.00697 84935437.59 /

(35)

1 3 2 M 85 10 / 85 2.858 80 10 2.858 85 10 80 10 162.76 10 / 162.76

240. Como indica la figura P-240, tres alambres de acero de 30 mm2 de sección cada uno soportan una carga de masa M. Las longitudes iniciales de los alambres son 19.994 m, 19.997 m y 20.000 m. (a) ¿Cuál es el esfuerzo en el alambre más largo, si M = 600 kg? (b) Si M = 200 kg, determinar el esfuerzo en el alambre más corto. Emplee 200 /

300 19.994 19.997 20.000 600 9.81 5886 5886 19.994 30 10 200 10 0.01961 19.61

(36)

241. El conjunto de la figura P-241 consiste de una barra rígida AB, de masa despreciable, articulada en O mediante un perno y fija a las varillas de aluminio y de acero. En la configuración mostrada, la barra AB está en posición horizontal y hay un claro A=4 mm entre la punta inferior de la varilla de aluminio y su articulación en D. Calcule el esfuerzo en la varilla de acero cuando la punta inferior de la varilla de aluminio se articuló en el apoyo D.

Acero (a) A=300 mm² E=200 GPa L= 1.5 m Aluminio (Al) A=400 mm² E=70 GPa A 0 B D C ? = 4 mm 0 0.6 1.2 0 2 1 ∆ ∆ 0.6 ∆ 1.2 2 ∆ 2 4 10 4 10 2 2 1 2 4 10 2 2

(37)

R2 R1 P 4 10 1.496 900 10 70 10 300 10 200 10 2 1.5 2 80000 1.068 2 3.068 80000 26075.6 26.1 2 52.2 52.2 300 10 174000 / 174

242. Una varilla homogénea de sección constante se empotra en sus extremos en soportes indeformables.Soporta una carga axial P aplicada, como indica la figura P-242. Demostrar que las reacciones vienen dadas por / y / . Obsérvese que estas reacciones son análogas a las de una viga simplemente apoyada con una carga concentrada transversal aplicada en el mismo punto. ∑ 0 ∆ ∆

(38)

.

(39)

T

a

P

a P PAL Pa

244. La barra representada en la figura P-244 está firmemente empotrada en sus extremos. Determinar los esfuerzos en cada material cuando se aplica la fuerza axial P = 200 kN P A lu m i n i o ( A l) A = 9 0 0 m m ² E = 7 0 G P a A c e r o ( a ) A = 1 2 0 0 m m ² E = 2 0 0 G P a 0.3 1200 10 200 10 0.2 900 10 700 10 1.25 10 3.17 10 2.336 0 2.586 200 200 3.536 56.561 56.561 900 10 62.8 / 2.586 200 143.44 143.44 1200 10 120 /

(40)

P

B

R

P1 P2 R _P_A P1 R PB

246. Una varilla está formada de tres partes distintas, como indica la figura P-246, y soporta unas tuerzas axiales P1 = 120kN y P2 = 50kN. Determinar los esfuerzos en cada material si los extremos están firmemente empotrados en unos nudos rígidos e indeformables.

600 mm

400 mm

300 mm

P

1

P

2 Bronce A=2400 mm² E=87 GPa Aluminio A=1200 mm² E=70 GPa Acero A=600 mm² E=200 GPa 0 0 120 120 120 0 120 50 170 170 0

(41)

P

O

A

B

L-1.5 m

L-2m

0 0.6 2400 10 83 10 120 10 0.4 1200 10 70 10 170 10 0.3 600 10 200 10 0 3.01 10 4.76 10 5.71 10 25 10 4.25 10 0 1.027 10 9.96 10 96981.5 97 170 97 170 73 73 600 10 122000 / 122 /

251. Según se muestra en la figura P-251 una viga rígida de masa despreciable está articulada en O y sujeta mediante dos varillas de diferentes longitudes; pero por lo demás idénticas. Determine la carga en cada varilla si P=30kN

2 3.5 1.5 . 2 . 0.75 0.571 0.76

(42)

0 30 2 2 3.5 0 60 0.76 2 3.5 0 60 1.52 3.5 0 60 5.02 11.95 0.76 0.76 11.95 9.08

252. Una viga rígida de masa despreciable está articulada en un extremo y suspendida de dos varillas. La viga está inicialmente en posición horizontal y en seguida se aplica la carga P. Calcule el movimiento vertical de la carga si P = 120kN.

2m

P

3m

1m

Acero A=600 mm² E=200 GPa L=4 m Aluminio A=900 mm² E=70 GPa L=3 m 4 600 10 200 10 3.33 10 3 100 10 70 10 4.76 10

(43)

3 6 1 3 3.33 10 1 6 4.76 10 111 10 7.93 10 0.714 0 3 120 5 6 0 0.714 3 600000 6 0 2.142 600000 6 0 73691.97 0.714 0.714 73691.97 52616 6 5 5 6 5 6 5 4.76 10 73691.97 6 2.92 10 2.92

(44)

2m

P

3m

1m

Acero A=900 mm² E=200 GPa L=3 m Bronce A=300 mm² E=83 GPa L=2 m 253. Una barra rígida, de masa despreciable, está articulada en un extremo y suspendida de una varilla de acero y una de bronce, según se muestra en la figura P-253. ¿Cuánto vale la carga máxima P que puede aplicarse sin exceder un esfuerzo en el acero de 120 MN/m2 mínimo en el bronce de 70 MN/m2?

0 2 5 6 0 3 200 10 2 83 10 1.5 10 2.41 10 1.51 1.61 70 10 112.7 10 /

112.7 / , por tanto el acero no sobrepasará su esfuerzo admisible de 120 / sin que el bronce exceda el suyo.

2 5 6 0 6 2 5 6 2 5 6 2 112.7 10 800 10 5 70 10 300 10 47553.33 47.55

(45)

3m h TB 10 kN TB TA δA δ

255. Tres varillas, situadas en un mismo plano, soportan conjuntamente una fuerza de 10kN como se indica en la figura P-255. Suponiendo que antes de aplicar la carga ninguna de las tres estaba ni floja ni tensa, determinar las tensiones que aparecen en cada una. Para el acero, Ea = 200 x 109 N /m2,y para el bronce. Eb = 83 x 109 N /m2,

10 kN Bronce Bronce Acero L=3m cos 30° 3 3.46 0 2 30 10 á 0.87 0.87 3.46 83 10 0.87 3 200 10 4.17 10 1.5 10 0.87

(46)

2 0.313 cos 30 10000 1.544 10000 6476.68 6.48 0.313 0.313 6.48 2.03

256. Tres barras AB, AC y AD se articulan en A para soportar juntas un carga P= 20kN, como se indica en la figura P-256. El desplazamiento horizontal del punto A está impedido por una corta varilla horizontal AE que se supone infinitamente rígida. Determinar los esfuerzos en cada barra y la fuerza total en AE. Para la barra de acero, A = 200 m2 y

E = 200 GPa, y para cada una de las barras de aluminio, A 400 mm2_{y E = 70 GPa.}

Acero Aluminio Aluminio L=3 m P E B C _D cos 45 cos 30 cos 30 cos 45 3 200 10 200 10 1 cos 30. 3.46 400 10 70 10 1 cos 45. 4.24 400 10 70 10

(47)

1.42 10 75 10 1.89 1.42 10 2.13 10 0.66

ESFUERZOS DE ORIGEN TÉRMICO

261. Una varilla de acero de 150 mm2 de sección está sujeta en sus extremos a dos puntos fijos, estando estirada con una fuerza total de 5000 N a 20º C. Calcular el esfuerzo de la varilla a -20ºC ¿A qué temperatura se anulará el esfuerzo? 11.7 / °c y E = 200 x 109 N/m2.

δ

T

δ

P

1 Acero A=150 mm² P=5000 N atº=20ºC ∆ 200 10 5000 150 10 200 10 11.7 10 40 5 10 1.666 10 0.000468 5 10 0.0006346 126.92 10 / 127 / 0 1.666 10 11.7 10 ∆ ∆ 1.666 10 11.7 10

(48)

1.8 m Acero

Rueda

0.075 m

Acero

δTA δPA 20 14.24 34.24

264. Una llanta de acero de 10 mm de espesor y 75 mm de ancho se coloca sobre una rueda motriz de locomotora, de 1.8 m de diámetro, calentándola a 90°C, temperatura a la cual encaja perfectamente sobre la rueda, que está a 20°C. Determinar la presión de contacto entre ambas ruedas al descender la temperatura común a 20°C. Despreciar la deformación de la rueda producida por la presión de contacto 11.7 / °c y E = 200 x 103 N/m2.

0.075 0.01 0.00075 0.9 2.545 0.9 0.01 0.075 0.06825 ∆ 11.7 10 2 0.9 90 5.95 10 ∆ 11.7 10 2 0.9 50 3.31 10 5.95 10 5.654 7.5 10 200 10 3.31 10

(49)

D= 0.6 m

Bronce

0.1 m D=0.57_m Acero t=0.015 m t=0.02 m 70026.53 70026.53 0.06825 1026029.67 / . 1026029.67 0.97001 0.9 923426.70 0.91 1014454.62 / 1.015 /

265. Un aro de bronce de 20 mm de espesor cuyo diámetro interior es de 600mm se coloca perfectamente ajustado sobre otro de acero de 15 mm de espesor, a una temperatura común de 130°C. EI ancho, igual para los dos, es de 100 mm. Determinar la presión de contacto entre ambos aros cuando la temperatura descienda hasta 20°C. Despreciar el hecho de que el aro interior pueda abollarse por pandeo. Ea = 200GPa y 11.7 / °c . Eb= 83GPa y

19 / °c . : ∆ 19 10 0.310 2 110 3.94 10 2 0.310 1.884 1.884 3.94 10

(50)

2 1.880 2 0.29921 : ∆ 11.7 10 0.3 2 110 2.425 10 2 0.30 1.884 1.884 2.425 10 1.881 2 1.881 2 0.29945 3.94 10 2.425 10 0.001515 0.001515 0.001515 1.884 200 10 1.884 83 10 0.001515 6.28 10 1.1349 10 0.001515 1.762 10

(51)

85981.84 0.21 0.015 0.0015 0.1 0.02 0.002 0.1 0.035 0.0035 85981.84 0.0035 24566240 / . 24565240 0.035 0.3 2866061 / 2.87 /

(52)

55Mg

Bronce Bronce Acero

266. A una temperatura de 20°C se coloca una plancha rígida que tiene una masa de 55 Mg sobre dos varillas de bronce y una de acero, como se indica en la figura P-266. ¿A qué temperatura quedará descargada la varilla de acero? Datos Acero: A = 6000 mm2, E = 200 x 109 N/m2 y 11.7 / °c . Bronce (cada una): A = 6000 mm2, E = 83 x 109 N/m2 y 19 / °c . 55 10 9.81 / 539.55 ∆ 19 10 0.25 ∆ 11.7 10 0.3 ∆ 269.775 0.25 600 10 83 10 0.00000124∆ 1.354 10 ∆ 109.22 109.22 20 129.22

(53)

267. A una temperatura de 20°C hay un claro ∆ = 0.2 mm entre el extremo inferior de la barra de bronce y la losa rígida suspendida de las dos barras de acero, según se muestra en la figura P-267. Despreciando la masa de la losa, determi-ne el esfuerzo en cada barra cuando la temperatura del conjunto se eleva a

100°C. Para la barra de bronce, A = 600 mm2, E = 83 x 109 N/m2 y 18.9 / °c . Para cada barra de acero, A = 400 mm2_{, E = 200 x 10}9_N/m2_y

11.7 / °c . A C E R O B R O N C E A C E R O 800 mm Δ ∆ 0 ∆ ∆ ∆ 0 0.0002 11.7 10 0.8 80 0.8 400 10 200 10 2 0.8 600 10 83 10 18.9 10 0.8 80 0 0.0002 0.0007488 1 10 3.212 10 0.0012096 0 4.212 10 0.0002608 6191.83 6.19183 400 10 15473.53 / 2 6.19183

(54)

268. Un cilindro de aluminio y otro de bronce, perfectamente centrados, se aseguran entre dos placas rígidas que se pueden apresar mediante dos tornillos de acero, como se observa en la figura P-268. A 10°C no existen fuerzas axiales en conjunto del dispositivo. Determinar las tensiones en cada material a 90°C, con los siguientes datos:

Aluminio, A = 1200 mm2, E = 70 x 109 N/m2; y Bronce, A = 1800 mm2, E = 83 x 109 N/m2, y Cada tornillo, A = 500 mm2, E = 200 x 109 N/m2, y 20 mm 75 mm 100 mm 20 mm ALUMINIO _BRONCE 23 10 0.075 80 2 0.075 1200 10 70 10 19 10 0.1 80 2 0.1 1800 10 83 10 11.7 10 0.215 80 0.215 500 10 200 10 13.8 10 1.79 10 15.2 10 1.34 10 20.124 10 2.15 10 88.76 10 5.28 10 16810.61 16811 2 2 33622

(55)

T

a

P

a

P

16811 500 10 33.62 2 16811 33622 33622 1200 10 28.02 / 33622 1800 10 18.68 /

273. La barra compuesta de figura P-273, está firmemente sujeta a soportes indeformables. Se aplica una fuerza axial P = 200kN a una temperatura de 20°C. Calcular los esfuerzos en cada material a la temperatura de 60°C.

11.7 / °c para el acero y 23.0 / °c para el aluminio.

P

Aluminio (Al) A=900 mm² E=70 GPa Acero (a) A=1200 mm² E=200 GPa 0 0

(56)

200000 2 100 10 23 10 0.2 20 11.7 10 0.3 40 100 10 0.2 900 10 70 10 0.3 1200 10 200 10 0.000184 0.0001404 3.17 10 1.25 10 5920 / 5.920 / 100 10 900 10 111111111.1 / 111.111 /

275. Una varilla está formada por los tres segmentos que indica la figura P-275. Si las fuerzas axiales P1 y P2 son nulas, determinar los esfuerzos en cada material al descender la temperatura 30°C en los casos siguientes: (a) los soportes no se mueven en absoluto, y (b) los soportes ceden 0.300 mm.

18.9 / °c Para el bronce, 23.0 / °c para el aluminio y 11.7 / °c para el acero.

800 mm

500 mm

400 mm

P1

P2

Bronce A=2400 mm² E=83 GPa Aluminio A=1200 mm² E=70 GPa Acero A=600 mm² E=200 GPa a) ∆ ∆ ∆

(57)

0.8 2400 10 83 10 0.3 1200 10 70 10 0.4 600 10 200 10 18.9 10 0.8 20 23 10 0.3 30 11.7 10 0.4 90 1.33 10 9.39 10 70602 70602 2400 10 29.42 / 70602 1200 10 58.84 / 70602 600 10 117.7 / b) 0.3 10 1.33 10 9.39 10 0.3 10 1.33 10 6.39 10 48045.11 48045.11 2400 10 20 / 48045.11 1200 10 40 / 48045.11

(58)

277. La barra está articulada mediante un perno en O y conectada a dos varillas según se muestra en la figura P-277. Si la barra AB se mantiene en posición horizontal a determinada temperatura, calcule la relación de áreas de las varillas para que la barra AB se mantenga horizontal a cualquier temperatura. Desprecie la masa de la barra AB.

Acero E=200 GPa L= 8 m Aluminio E=70 GPa L=8 m A 0 B 23.0 / °c Aluminio 11.7 / °c Acero. ∆ ∆ 23 10 ∆ 70 10 0 1610090.5∆ 2340000 ∆ 0 3 4 0 4 3 3 4 2340000∆

(59)

2m 3m Acero A=900 mm² E=200 GPa L=3 m Bronce A=1200 mm² E=83 GPa L=2 m 312 10 ∆ 1610090.5∆ 0.516

278. Una barra rígida horizontal de masa despreciable está conectada a dos varillas según se muestra en la figura P-278. Si el sistema está originalmente libre de esfuerzos, determine el cambio de temperatura que causará un esfuerzo de tensión de 60MPa en la varilla de acero. 18.9 / °c Bronce 11.7 / °c Acero. 2 5 0 2 5 0 5 2 2.5 2 5 1 2 18.9 10 2 ∆ 2.5 2 1200 10 83 10 1 5 1.7 10 3 ∆ 3 900 10 200 10 1.89 10 ∆ 2.51 10 7.02 10 ∆ 3.33 10 11.88 10 ∆ 2.18 10 60 10 900 10 54000 11.88 10 ∆ 0.0011772

(60)

279. Para el conjunto mostrado en la figura P-279, determine el esfuerzo en cada una de las dos varillas verticales si la temperatura se eleva 40°C después que se aplica la carga P = 50 kN, Desprecie la deformación y la masa de la barra horizontal AB.

3m

50 kN

Acero A=600 mm² E=200 GPa Alnuminio A=900 mm² E=70 GPa

3m

3m _4m 23.0 / °c Aluminio 11.7 / °c Acero. 0 3 6 50 10 9 150 10 2 1 6 3 2 2 4 600 10 200 10 11.7 10 4 40 2 3 900 10 70 10 23 10 3 40 3.33 10 1787 10 9.52 10 5.52 10 3.33 10 9.52 10 3.65 10 3 1 3 3.33 10 9.52 10 150 10 2 3.65 10

(61)

2.238 10 17.95 10 80206 ó 10412 ó : 10412 900 10 11.56 / 80206 600 10 134 /

(62)

CAPÍTULO III TORSIÓN

304. Calcular el mínimo diámetro de un árbol de acero que, sometido a un momento torsionante de 14 . , no debe experimentar una deformación angular superior a 3° en una longitud de 6 m. ¿Cuál es entonces el esfuerzo cortante máximo que aparecerá en él? Use 83 / . . . . 14 10 3 3 180 83 10 1.932 10 . 32 1.932 10 32 / 0.118 118 . 14 10 0.118₂ 1.932 10 43 /

(63)

305. En un árbol macizo de 5m de longitud, en el que el árbol total de torsión es de 4º, el esfuerzo cortante máximo es de 60 MPa. Si G= 83GPa, calcular su diámetro. ¿Qué pòtencia podrá transmitir a 20r/s? . 60 10 . 60 10 . 60 10 1 2 . 2 . 0.0130 2 20 1.64 . . . . 4 180 83 10 5 1158898623 . 1158.90 . 2 1 2 60 10 1158.90 60 1158.90 5.177 10 5.177

(64)

306. Hallar la longitud de una varilla de bronce de 2 mm de diámetro para que pueda torcerse dos vueltas completas sin sobrepasar el esfuerzo cortante admisible de 70 . Use 35 . 35 10 4 0.002₂ 70 10 6.283 10 6.283

308. Demostrar que un árbol hueco de sección, circular, cuyo diámetro interior sea la mitad del exterior, tiene una resistencia a la torsión que es igual a de la que tiene un árbol macizo del mismo diámetro exterior. Á : 16 16 5.093 Á : 16 16 2 16 16 16 16 16 15 5.432

(65)

ó : 5.432 5.093 1.0665 16 15 16 15 . . .

311. Un árbol de transmisión de acero corista de una parte hueca de 2 m de longitud y diámetros de 100 mm y 70 mm, y otra parte maciza de 70 mm de diámetro y 1.5 ni de longitud. Determinar el máximo momento torsionante que puede soportar sin que el esfuerzo sobrepase el valor de 70 / , ni el ángulo total de torsión supere el valor de 2.5° en la longitud total de 3.5 m, Use 83 / . 2.5 180 2 1.5 3.49 10 2 7.46 10 83 10 1.5 2.357 10 83 10

313. El árbol de la figura P‐313 gira a 3 r/ s absorbiendo 30 kW en Ay 15 kW en Bde los 45 kW aplicados en C. Si 83 10 / , calcular el esfuerzo cortante máximo y el ángulo de torsión de la rueda A respecto de la rueda C. (Material acero.) 30 10 . / 2 3 1591.55 . 15 10 . /

(66)

795.77 . / 45 10 . / 2 3 2387.32 . / 0.05 32 6.14 10 0.075 32 3.11 10 . 1591.55 0.025 6.14 10 64.80 . 2387.32 0.0375 3.11 10 28.80 / 314. Un árbol de acero se encuentra cargado según se muestra en la figura P‐314. Usando un módulo 83 / , calcule el diámetro requerido del árbol si el esfuerzo cortante está limitado a 600 / y el ángulo de rotación en el extremo libre no debe exceder de 4°. 4 180 6.98 10 . 1000 500 500 .

(67)

500 . 1000 . 500 500 500 1000 . . 6.98 10 500 2 32 83 10 1000 3 32 83 10 6.98 10 1.23 10 3.68 10 6.98 10 4.91 10 7.03438 10 5.15 10 51.5 16 60 10 16 500 188495559.2 8000 4.244 0.03488 34.88

(68)

315. A un eje de sección constante y 5m de longitud que gira a 2 r/s se le aplican 70 kW a través de un engrane situado a 2 m del extremo izquierdo, en donde se absorben 20 kW Em el extremo derecho se utilizan 30 kW y a 1.5m de éste, los otros 20 kW. (a) Dimensionar el árbol si el esfuerzo cortante no ha de exceder 60 MN/m2. (b) Si el eje tiene un diámetro de 100mm, determinar el ángulo total de torsión de un extremo al otro. Use 83 / 2 70 20 30 20 60 10 / 2 32 70 2 2 5.57 50 2 2 3.98 . 20 2 2 1.59 . 30 2 2 2.39 . 20 2 2 1.59 . 16 60 10 16 5.57 60 10 89.12

(69)

7.79 10 47.9 16 16 60 10 16 3.98 188495.55 63.68 3.3783 10 6.964 10 69.64 . . 0.1 32 3.98 5 83 10 9.82 10 83 10 19.90 0.815 19.90 24.42 180 0.426°

(70)

316. Un eje de acero de 3 m de longitud tiene un diámetro que varía uniformemente desde 60 mm en un extremo hasta 30mm en el otro. Suponiendo que es válida la ecuación (3‐1) en cada elemento diferencial de longitud sin error apreciable, determinar el ángulo total de torsión si transmite un par torsor de 170 N.m. Use 83 10 / 0.015 3 0.005 0.03 2 0.005 0.03 0.01 0.03 0.01 32 0.03 0.01 3 10 1 10 10 3 . 32 0.03 0.01 . 170 32 10 3 83 10 2.09 3 2.09 3 2.09 3 3 2.09 3 3 3 3 0.02257 180 1.29°

(71)

317. Un árbol hueco de bronce de 75 mm de diámetro exterior y 50 mm interior tiene dentro un eje de acero de 50 mm de diámetro y de la misma longitud, estando ambos materiales firmemente unidos en los extremos del eje. Determinar el máximo esfuerzo en cada material cuando se somete el conjunto a un par torsor de 3 kN.m. 35 / para el bronce y 83 / para el acero. . . 32 0.05 32 6.14 10 32 0.075 0.05 32 2.49 10 1 . 6.14 10 83 10 . 2.49 10 35 10 1.962 10 1.147 10 0.585 2 2 1 3 10 0.585 3 10 1.585 1892.74 . 16

(72)

16 1107.26 0.05 45113831 / 45.11 / 3 10 1892.74 1107.26 . 16 . 16 1892.74 0.075 0.075 0.05 28474030 / 28.5 /

318. Un árbol compuesto está construido con tres materiales diferentes y sujeto a dos pares aplicados según se ilustra en la figura P‐318. (a) Calcule el máximo esfuerzo cortante desarrollado en cada material. (b) Calcule el ángulo de rotación del extremo libre del árbol. Use los siguientes valores: 28 / ; 83 / ; 35 / 0.1 32 9.82 10 32 0.075 32 3.11 10 1

(73)

2 4 10 1.5 10 . 16 16 1.5 10 0.075 18108396 / 18.11 / . 16 16 1.5 10 0.075 18108396 / 18.11 / . 4 10 1.5 10 4 10 3 5.5 10 4 10 1.5 10 2.5 10 16 16 2.5 10 0.1 12732406 / 12.73 / .

(74)

. . 1.5 10 1.5 3.11 10 35 10 2.067 10 180 1.1843° 1°11 3.48

319. En el árbol de la figura P‐319, firmemente empotrado en sus extremos, la porción AB tiene 75 mm de diámetro y es de bronce, con 60 / y 35 / . La porción BCes de acero, de 50 mm de diámetro, 80 / ; 83 / . Si a= 2 m y

b=1.5 m, determinar el par torsor máximo T que puede aplicarse en el punto B de unión de las dos partes. ∑ 0 1 . . . . . 1.5 6.14 10 83 10 . 2 3.11 10 35 10 2.934 10 1.837 10 0.624 1 0.624 1.624 1.602 1 1.602

(75)

2.602 32 0.075 32 3.1063 10 32 0.05 32 6.14 10 . 80 10 0.05 2 6.14 10 1964.8 . 1.964 10 . . 60 10 0.05 2 3.11 10 4976 . 4.976 10 . 1.624 4.976 8.08 . 2.602 1.964 5.11 . á

(76)

320. En el problema anterior determinar la relación de longitudes b/aque debe existir para que el acero y el bronce trabajen al máximo esfuerzo posible. ¿Qué par torsor T es necesario para ello? . . . . . 6.14 10 83 10 . 3.11 10 35 10 1.962 10 . 9.186 10 . . . . . 0.46819 1 . 80 10 6.14 10 0.025 1964.8 . 60 10 3.11 10 0.0375 4976 . 1 : 4976 1964.8 . 4976 1964.8 . 0.46819 1.19 1.964 . 4.976 . 6.94 .

(77)

321. Un árbol compuesto, que consta de un segmento de aluminio y uno de acero, está some‐ tido a dos momentos de torsión como se muestra en la figura P‐321. Calcule el máximo valor admisible de T de acuerdo con las siguientes condiciones: 100 ; 70 , y el ángulo de rotación del extremo libre, limitado a 12˚. Use los valores

83 ; 28 . 32 0.075 32 3.11 10 . 6.14 10 10485.95 . 1 2 2 . . 2 . 1.5 6.14 10 83 10 12 180 5.89 10 3556.52 . 3 3556.52 2 1778.26 . 16 16 1778.26 0.075 21.47 70

(78)

16 70 10 16 0.075 5798.45 . 16 100 10 0.05 16 2454.375 . 2 3 3 10485.95 . 3495.32 . 16 3495.32 0.075 42.2 70

322. Un par torsor T se aplica, como indica la figura P‐322, a un árbol macizo con extremos empotrados. Demostrar que los momentos torsionantes en los empotramientos son / / ¿Variarían estos valores si el árbol fuera hueco? . . . . . . . .

(79)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

324. Un árbol se compone de tres porciones AC, CD y DB soldadas entre sí y el conjunto firmemente empotrado en sus extremos y cargado como indica la figura P‐ 324. Para el acero 83 / ; para el aluminio G= 28 GN/m2; y para el bronce

35 / . Determinar la tensión cortante máxima en cada material. ∑ 0 300 700 1 300 2

(80)

32 0.025 32 3.83 10 32 0.05 32 6.14 10 32 0.025 32 3.83 10 0 . . . . . . 0 . 2 3.83 10 83 10 1000 1 3.83 10 35 10 300 1.5 6.14 10 28 10 0 6.29 10 0.74599 7.46 10 0.02617 8.725 10 0 0.00146225 0.77216 528 1000 472 . . 472 0.0125 3.83 10 156 10 / 528 . . 528 0.0125 3.83 10 172 10 / 528 300

(81)

228 . . 228 0.025 6.14 10 9.3 10 / 338. Un tubo de 3mm de espesor, tiene una forma elíptica. Hallar el momento torsionante que producirá en el esfuerzo cortante de 60 MN/m2 . . 4 0.15 0.075 4 8.84 10 . 2 . 60 10 2 8.84 10 3 10 3.182 .

(82)

CAPÍTULO IV

FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE EN VIGAS

Escribir las distribuciones de momentos flexionantes y fuerza cortante en las vigas de los problemas siguientes. Trazar también sus diagramas, marcando los valores en todos los puntos de discontinuidad, y en los de fuerza cortante nula, despreciar el peso propio de las vigas. 403. La viga cargada como se indica en la figura. 0 6 50 2 20 7 0 40 0 50 4 6 20 1 0 30 0 40 30 50 20 70 70 30 30 30 50 20

(83)

30 50 2 30 50 100 100 20 30 50 40 20 30 50 2 40 6 30 50 100 40 240 20 140 : : 100 20 5

(84)

406. La viga cargada como se indica en la figura. 0 20 2 1 20 2 20 4 2 40 2 4 0 40 40 160 80 4 40 0 40 2 20 2 1 20 2 3 4 20 2 5 20 6 0 80 40 120 4 200 120 0 140

(85)

0 20 40 20 6 140 40 20 40 120 180 180 20 20 20 20 2 20 10 20 20 140 20 120 20 2 20 140 2 10 20 140 280 10 120 280 140 20 40 20 80 20 20 2 20 140 2 40 4 10 20 140 280 40 160 10 80 120 X V M 0 AB ‐20 0 2 ‐60 ‐80 2 BC 80 ‐80 4 40 40

(86)

410. Ménsula cargada con la carga triangular que indica la figura. 2 .2 2 . . 6 . 2 2

(87)

413. Viga con la carga indicada en la figura. ∑ 0 25 5 50 4.5 0 40 0 5 25 30 1.5 20 1 0 5 25 45 20 10 10 0 1 10 10 1 2 10 25 10 10 2 2 5 10 10 20 30 10 1

(88)

10 25 5 2 2 10 25 5 2 5 2 10 25 10 40 10 2 5 7 50 10 20 70 10 10 25 40 5 10 2 1 2 2 10 25 40 200 5 2 5 2 50 270 : 30 10 0 3 5 2 10 25 5 3 2 10 3 25 58 30 25 0 30 3 10 1 30 10 0 30 10 30 10 1 X V M 0 10 0 1 10 10 1 10 ‐15 2 10 ‐5 2 10 ‐5 5 ‐20 ‐30 5 20 ‐20 7 0 0

(89)

418. Voladizo o ménsula cargada como indica la figura. 0 60 5 2 4 0 20 . 0 20 60 5 2 3 0 10 0 5 2 10 10 0 10 10 10 0 0 10 2 0.5 10 10 10 2 30 30 60 30 30 10 1 20 20 20 0

(90)

419. Viga cargada como indica la figura. 0 30 0 20 3 0.5 2 3 3 5 60 5 12 30 12 18 0 3 20 3 6.67 18 2 18 6.67 . 2 18 3.33

(91)

18 2 3 18 . . 18 1.11 3 5 18 20 3 2 12 18 30 2 3 3 18 30 60 60 12 á : 18 3.33 18 3.33 2.32 18 1.11 18 2.32 1.11 2.32 27.89 . X V M AB 0 18 0 3 ‐12 24 BC 3 ‐12 24 5 ‐12 0

(92)

420. Una carga distribuida con un total de 60 kN, soportada por una reacción uniforme como indica la figura. 7.5 7.5 . 2 3.75 15 7.5 2) 15 1 7.5 2 2 15 1 3.75 2 15 30 7.5 6) 15 7.5 6) 15 1 3.75 2 X V M 0 0 0 2 15 15 4 0 30

(93)

422. Determinar las distribuciones de V y M en el arco semicircular de la figura, si (a) la fuerza P es vertical como se indica, y (b) si es horizontal y hacia la izquierda, pero aplicada en el mismo punto. cos 90 2sen θ 0 θ 90 2x cos θ cos θ 1 2 1

(94)

cos 90 _/ cos 180 cos 180 cos 180 cos 2sen θ 2 2 2 2 2 1 V M 0 0 0 22.5 0.19 0.038 45 0.35 0.146 67.5 10.46 0.309 90 0.5 0.500 90 ‐0.5 0.500 112.5 ‐0.46 0.309 135 ‐0.35 0.146 157.5 ‐0.19 0.033 180 0 0

(95)

Sin escribir la ecuaciones de momento flexionante y fuerza cortante, trazar los diagramas correspondientes a las vigas de los problemas siguientes. Dar los valores numéricos en todos los puntos de discontinuidad y en los de fuerza cortante nula. 429. Viga cargada como indica la figura. : 0 20 2 6 5 20 4 10 4 2 10 2 1 0 5 240 80 80 20 76

(96)

0 20 2 10 6 76 20 0 44 á : . 0 . 20 2 40 . 20 2 76 36 . 20 2 76 36 . 20 2 76 20 16 . 20 2 76 20 10 4 24 . 24 44 20 . 20 10 2 0 ∆ Á : ∆ 0 ∆ 0 20 2 40 20 2 76 36 ∆ 36 0 36 ∆ 36 20 16 ∆ 10 10 4 24 ∆ 24 44 20 ∆ 20 10 2 0

(97)

á : ∆ Á 0 ∆ 0 40 2 0.5 40 ∆ 40 36 1 4 ∆ 4 16 1.6 0.5 8.8 ∆ 8.8 24 2.4 0.5 20 ∆ 20 20 2 0.5 0 16 24 4 64 16 24 64 40 1.60 24 2.4 10 8.80 . 2 0 8.8 10 . 2 1.33 á 8.80 4.6

(98)

431. Viga cargada y apoyada como indica la figura. 0 7 10 7 3.5 50 5 20 4 2 10 3 1.5 40 3 0 7 245 250 160 45 120 0 70 0 50 2 10 7 3.5 20 4 5 7 10 3 8.5 40 10 0 100 245 400 7 255 400 0 200

(99)

0 70 200 50 10 10 20 4 40 270 270 70 10 0 2 70 10 2 70 5 70 50 10 2 3 20 10 70 10 2 50 2 70 5 50 100 5 20 100 70 50 10 20 3 3 7 70 50 10 20 60 80 30 70 50 2 10 2 20 3 3 2 70 50 100 5 10 30 30 90 15 80 10 70 50 10 20 4 200 7 10 140 10 70 50 2 10 2 20 4 5 200 7

(100)

X V M AB 0 70 0 2 50 120 BC 2 0 120 3 ‐10 115 CD 3 ‐10 115 7 ‐130 ‐165 DE 7 70 ‐165 10 40 0 434. Viga cargada como se muestra en la figura. ∑ 0 30 1 20 3 1.5 60 5 0 24 0 30 6 5 20 3 3.5 60 0 66 0 66 24 30 20 3 90 90 30 0 1 30 30 66 20 1 1 4 36 20 20 20 56 30 66 1 20 1 1 2

(101)

10 1 36 66 30 66 20 3 4 5 24 30 66 1 20 3 2.5 30 66 66 60 150 24 84 24 30 66 1 60 2.5 60 24 144 á 36 . X V M AB 0 ‐30 0 1 ‐30 ‐30 BC 1 36 ‐30 4 ‐24 ‐12 CD 4 ‐24 ‐12 5 ‐24 ‐36 DE 5 ‐24 24 6 ‐24 0

(102)

435. Viga cargada como indica la figura. 0 20 40 10 4 100 0 40 2 1 10 2 1 20 2 40 3 5 0 5 40 120 32

(103)

0 10 4 5 5 20 3 40 2 16 1 0.5 16 1 0.5 0 200 60 80 5 68 : ∆ Á 0 ∆ 0 10 2 20 ∆ 20 68 48 ∆ 48 10 2 28 ∆ 28 20 8 ∆ 8 0 8 ∆ 8 40 32 ∆ 32 16 2 0 0 : ∆ Á 0 ∆ 0 0.5 20 2 20 ∆ 20 48728 2 2 56 ∆ 56 8 1 64 ∆ 64 32 1 32 ∆ 32 32 2 0.5 0

(104)

436. Viga en voladizo cargada como indica la figura. 0 20 2 1 10 3 20 5 0 40 30 100 30 . 0 10 1 0.5 10 9 20 2 4 5 30 0 20 160 30 5 150 5 30

(105)

0 20 10 20 2 0 30 : 0 0 10 2 20 20 0 20 20 10 10 10 0 10 10 20 2 30 30 30 0 : 0 0 0.5 20 2 20 20 20 1 40 40 10 1 50 50 0.5 10 0.5 52.5 52.5 0.5 30 1.5 30 á 52.5 . 40 2 10 0.5

(106)

439. Una viga apoyada en tres puntos como se muestra en la figura consiste en dos segmentos unidos en un perno liso en el que el momento flexionante es nulo. 0 . 40 40 80 . 160 0 4 5 40 2 20 2 1 0 4 5 120 1 0 5 40 3 1 20 2 4 0 5 280 2

(107)

0 5 20 4 3 0 48 0 20 4 2 5 0 32 4 5 120 1 120 5 32 4 70 5 280 2 180 70 5 42 160 42 70 48 160 160 160 : ∆ Á 0 ∆ 0 42 42 ∆ 42 2 20 2

(108)

∆ 38 0 38 ∆ 38 70 32 ∆ 32 0 32 ∆ 32 4 20 0 48 ∆ 48 48 0 : ∆ Á 0 0 2 42 2 2 44 44 38 2 32 32 32 2 32 32 32 1.6 2 57.6 57.6 48 2.4 2 0 á 57.6 . 1.6 32 48 4 128 48 32 1.6

(109)

440. Un marco ABCD, con esquinas rígidas en B y C, sostiene la carga concentrada P como se muestra en la figura 0 0 2 0

(110)

2 0 0 2 0 2 2 2 2

(111)

444. Viga cargada como indica la figura. 0 1 2 2 1 2 2 2 0 1 2 2 2 2 3 2 1 2 2 1 3 2 4 5 6 4 6 1 4

(112)

2 4 4 : ∆ Á 0 ∆ 0 1 4 4 ∆ 4 1 2 2 0 0 ∆ 0 1 2 2 1 4 ∆ 4 4 0 : ∆ Á 0 0 1 0 1 4 2 2 1 24 24 24 0 á ₂₄

(113)

445. Viga cargada como indica la figura. 180 100 180 40 2 40 2 100 40 2 180 2 40 2 2 1 40 2 2 2 180 2 80 1 20 2 40 40 2 20

(114)

80 3 26.67 26.67 2 13.33 26.67 2 3 4.44 180 40 4 26.67 5 1 2 20 13.33 5 180 2 40 4 2 1 3 5 26.67 5 2 20 2 4.44 5 á 80 .

(115)

447. Viga cargada como indica la figura. 0 60 3 0.5 2 3 3 20 4 5 5 20 7 0 144 0 60 3 0.5 1 3 3 2 20 2 1 20 2 1 5 20 2 0 46

(116)

∑ 0 46 144 60 3 0.5 20 4 20 190 190 60 3 20 2 46 20 2 46 10 46 46 30 2 3 46 20 6 46 60 3 0.5 20 3 46 90 20 60 20 16 46 90 2 20 3 3 2 46 90 180 10 3 46 90 144 20 2 20 5 60 20 100 20 160 46 90 2 144 5 20 2 4 20 5 5 2

(117)

46 90 180 144 720 40 160 10 5 10 5 60 380 á 80 . 46 1.75 46 1 3 1.75 53.67 . 46 3 60 3 0.5 1 3 3 48 . X V M AB 0 46 0 3 ‐44 48 BC 3 ‐44 48 5 ‐84 ‐80 CD 5 60 ‐80 7 20 0

(118)

448. Viga cargada como indica la figura. FIGURA ÁREA . 20 0.5 10 90 3 270 60 2.5 150 Σ 170 430 170 2.53

(119)

0 5 170 2.53 86 0 170 2.47 5 84 0 170 84 86 170 170 170 : ∆ Á 0 84 84 20 1 64 64 0 64 64 20 3 0.5 60 3 86 86 86 0 64 20 1 0.5 6.67 1 40.66 : ∆ Á 0

(120)

74 63.53 137.53 137.53 46.23 5.88 85.42 85.42 86 1 0.58 á 137.53 80 3 26.67 26.67 80 3 1 60 3 20 0.5 1.075 86 46.23 0.205 86 2 5.88 64 20 20 0.5 64 20 10 64 0 5 10 32 0

(121)

1.72 29.6 1.72 3 16.97 29.6 64 1.72 0.5 16.97 63.53 449. Una viga sobre la cual actúa carga triangular de la figura, está sostenida por una reacción distribuida uniforme

(122)

2 0.5 6 60 2 180 90 / 2 60 3 40 á : 0 0.5 2 1 3 2 26.67 60 3 0.5 1 3 3 90 1 0.5 45 26.67 0 1 40 2 2 1 26.67 1 30 1 30 1 10 2 1 3.33 30 1 1 1 15 45 .

(123)

450. Viga cargada y apoyada como indica la figura. 20 4 50 50 4 0.5 1 0.5 1 180 4 36 : 0 ∆ 0 36 1 0.5 18 50 18 50 32 ∆ 32 80 36 4 32 ∆ 32 50 18 ∆ 18 36 1 0.5 0

(124)

6 2 32 1 1 32 32 6 : 0 6 26 6 0 á 26 .

(125)

452. Viga cargada como indica la figura. FIGURA ÁREA . 36 2 72 27 8 216 Σ 63 288 63 4.57 0 63 4.57 9 32

(126)

9 63 4.43 31 0 63 31 32 63 63 63 : 31 31 12 6 0.5 5 5 18 3 0.5 32 32 32 0 : 0 47.5 47.5 4.45 43 43 15 27 1 12 6 2 31 31 2 12 2 0.5 31 2 6 6 31 0 31

(127)

9.32 31 12 2.58 0.75 31 3 7.75 31 2.58 0.5 40 47.75 á 47.5 . 3.33

(128)

453. Una carga variable uniformemente está sostenida por dos reacciones uniformemente distribuidas, como se muestra en la figura. FIGURA ÁREA . 1 5 0.33 1.65 2 6 0.66 3.96 Σ 11 5.61 11 . _0.51 12 6 1 2 / 12 6 5

10 / 0

(129)

4 0.5 10 5 1 3 5 11 0.51 0 4 41.67 5.61 9.0 FIGURA ÁREA . 1 5 1.67 8.35 2 30 3.33 99.90 Σ 35 108.25 35 3.09 0 0.5 2 1 1 3 1 4 35 3.09 0 0.33 108.15 4 27.0 0 12 6 0.5 9 27 36 36 36

(130)

CAPÍTULO V ESFUERZOS EN VIGAS

503. Una viga en voladizo, de 60 mm de ancho por 200 mm de canto y 6 m de longitud, soporta una carga que varía uniformemente desde cero en el extremo libre hasta 1000 N/m en el empotramiento. Determinar el valor y el signo del esfuerzo en una fibra situada a 40 mm del extremo superior de la viga en una sección a 3 m del extremo libre. 12 0.06 0.2 12 4 10 500 3 2 1 3 3 750 . 750 0.06 4 10 1125000 / 505. Una sierra de cinta de acero de alta resistencia, que tiene 20 mm de ancho y 0.8 mm de espesor, pasa por unas poleas de 600 mm de diámetro. ¿Qué esfuerzo máximo se desarrolló por la flexión al rodear las poleas? ¿Qué diámetro mínimo pueden tener las mismas sin que sobrepase el esfuerzo de 400 MPa. ? E = 200 GPa. 12 0.02 0.008 12 8.53 10 1 2

(131)

200 10 / 0.3 8.53 10 5.69 10 . 8.53 10 0.0004 2.13 10 á . á 5.69 10 2.13 10 á 267136.15 / á 267

(132)

508. Determinar el espesor mínimo b de la viga de la figura, de manera que el máximo esfuerzo normal no exceda de 10 MPa. 0 5000 2000 4 13000 0 5000 2 8000 1 3 6000 7000 : 0 0 2000 1 2000 2000 7000 5000 2000 3 7000 1000 2000 3 7000 5000 4000 2000 4 7000 5000 6000 2000 4 7000 5000 6000 0 : 0 2000 1 0.5 1000 1000 0.5 5000 1000 2 5000 5000 0.5 4000 6000 1 0 á 5000 .

(133)

12 0.3 12 6.67 10 10 10 5000 0.1 6.67 10 0.075 75 510. Una barra de 40 mm ele diámetro se emplea como viga simplemente apoyada sobre un claro de 2 m. Determine la máxima carga uniformemente distribuida que puede aplicarse a lo largo de la mitad derecha de la viga si el esfuerzo debido a la flexión está limitado a un valor de 60 /

1

0

(134)

0.25 : 0.25 0.25 0.75 : 1 0.25 0.25 0 0.25 0.25 0.03125 0.28125 0 Á 0.28125 0.02 4 6.28 10 á á 0.28125 6.28 10 60 10 44785 1340 /

(135)

518. Una viga de sección S380x74, está simplemente apoyada en sus extremos. Soporta una carga concentrada central de 40 kN y una uniformemente distribuida de 1.5 kN/m, incluido su peso propio. Calcular la máxima longitud que puede tener si el esfuerzo admisible es de 140 MPa.

DENOMINACIÓN ÁREA(mm2) ALTURA(mm) ANCHO (mm) ESPESOR(mm) ALMA(mm) S380x74 9500 381 143 15.87 14 10 / 10 / 203 1060 146 0 2 15 40 15 40 2 7.5 20 7.5 20

(136)

0 7.5 20 7.5 20 15 2 7.5 20 7.5 20 20 40 20 20 15 2 20 7.5 20 7.5 20 7.5 0 Á 0.5 ₂ 7.5 20 20 Á 0.25 7.5 40 Á 1.875 10 140 10 / 2 203 10 406 10 10 4.06 10 40 10 0.251 7.5 40 0.1805 4.06 10 56.84 0.357 1.905 5.08 159.215 0 10.33 . 15.41

(137)

520. Una viga de sección W200 x 27 se usa como viga en voladizo de 6 m de longitud. Calcule la máxima carga uniformemente distribuida que puede aplicarse a todo lo largo de la viga, además de su propio peso, si el esfuerzo por flexión no ha de exceder el valor de 140MN/m2. Á . 1 4 140 10 / 140 10 2 0.1035 25.8 10 10 7.224 6 0.1035 7.224 3.726 1.94 / DENOMINACIÓN ALTURA(mm) 10 / 10 W200x27 207 25.80 249

(138)

531. Se aplica una carga concentrada de 90 kN en el centro de una viga simplemente apoyada de 8m de claro. Si el esfuerzo admisible es de 120MN/m2, elegir la sección w más ligera. 180 10 . 1200 10 / 0.0015 10 1 1500 10

10 DENOMINACIÓN MASA (Kg/m) A(mm2) I(106mm4)

1550 W530x74 74.7 9520 411 74.7 9.81 732.81 / 0.73281 / 1550 10 1500 10 48.7 10 1550 10 1548.7 10

(139)

1550 10 120 10 1 10 1548.7 10 1550 10 185844000 . 119.90 10 1 25 119.90 2.92 4 0.5 5.84 . 5.84 120 10 4.87 10 10 1 48.7 10 567. Una viga de madera de 90 mm de ancho y 160 mm de altura está sometida a una fuerza cortante vertical de 20 kN. Determinar el esfuerzo cortante en puntos tomados de 20 en 20 mm a lo alto de la viga, a partir de su borde superior 12 0.09 0.160 12 30.72 10 20 30.72 10 0.09 0.09 0.02 0.07 911.46 / 20 30.72 10 0.09 0.09 0.04 0.06 1562.50 /

(140)

20 30.72 10 0.09 0.09 0.06 0.05 1953.125 / 20 30.72 10 0.09 0.09 0.08 0.04 2083.33 / 3 2 3 2 20 0.09 0.16 2083.33 /

570. Una viga simplemente apoyada de 4 m de claro tiene la sección indicada en la figura Determinar la máxima carga uniformemente distribuida que puede aplicarse a todo lo largo de la viga si el esfuerzo está limitado a 1.2 MPa. . 0.150 0.2 12 0.1 0.15 12 . 71.875 10 ∑ 2 2 0.1 0.025 0.05 0.1 0.025 0.0875 71.875 10 0.05 260.87 1.2 260.87 1.2 10 4600 / 4.6 /

(141)

573. la sección recta de una viga de madera es un triángulo isósceles, con el vértice hacia arriba, de altura h y de base b. Si V es el esfuerzo cortante vertical, demostrar también que á 3 / , y que tiene lugar en el punto medio de la altura. á 3 2 3 1 3 1 3 2 3 2 9 3 2 3 2 9 2 2 2 3 . ₃₆ 2 á 4 3 2 3 .6 9 36 á 4 3 8 4 2 4 1 4 á 3 . . . . 36 2 2 3 2 3 2 9 18 2 3 6 2

(142)

2 3 2 3 6 2 4 3 2 3 3 4 3 6 2 9 3 4 3 2 9 3 4 3 3 18 3 18 0 3 18 1 6 581. Una viga está formada por tres tablas de sección 150 x 60 mm, encoladas entre sí para formar una sección de 150 mm de ancho por 180 mm de altura. Si el cortante admisible en las juntas es de 600 kPa, el cortante admisible en la madera es 900 kPa y el normal permisible también en la madera vale 8 MPa, determinar la carga máxima uniformemente distribuida que puede resistir la viga sobre un claro de 2 m.

(143)

. . 7.29 10 á 7.29 10 0.15 0.06 0.15 0.05 49.38 600 49.38 12.15 / . 0.09 0.15 0.045 7.29 10 0.15 . 55.56 900 55.56 16.20 / 2 0.09 7.29 10 617.28 8 10 / 617.28 12.96 /

(144)

582. Calcule las dimensiones del cuadrado más pequeño que sea la sección transversal de la viga mostrada en la figura, si 900 y 80 ∑ 0 4 0 5 4 2 3 0 5 8 3 1 3 0 3 1 3 3 5 2 2 3 1 1 1 1 1 0 á 3 á 3 . . 3 12 2 . 4 9 2 900 / 9 2 9 900 2

(145)

0.0707 3 . ₂ 12 36 2 18 8 10 / 18 0.131