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Modulo de auto-instrucción potencias.

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Curso:

Profesora

Índice:



Portada pág. 1



Índice pág. 2



introduccion pág. 3



desarrollo pág. 4 – pág. 10



ejercicios alternativas pág. 11 –pág.14



ejercicios problemas pág. 15



ejercicios combinados pág. 16 –pág. 19



ejercicios insuficiencias pág. 19 – pág. 20



resultados ejercisios pág. 21 – pág. 22



concluscion pág. 23

Introducción:

Este es un modulo de auto-instrucción tipo PSU que te enseñara las

propiedades de potencias y como utilizarlas. Además contiene 30 ejercicios

de alternativas, 10 ejercicios combinados, 5 problemas y 5 ejercicios de

insuficiencia , estos ejercicios te ayudaran a que sepas desarrollar con mayor

profundidad las potencias ya que contienen un grado de dificultad que te

exigirá un grado de concentración y habilidad para desarrollarlos.

Espero que mi trabajo sea grato… éxito y a trabajar.

¿Qué son las potencias?

Es el resultado de multiplicar un número por sí mismo varias veces. El número que multiplicamos se llama base, el número de veces que multiplicamos la base se llama exponente.. De este modo la notación de la potencia n-ésima de a, se expresa por an _{y se define simbólicamente por:}

Exponente “Potencia enésima de a”→

a

n

Ejemplo. (1) 23 _{= 2}  ₂  _{2 = 8 “8 es la potencia cubica de 2”}

(2) 52 _{= 5  5 = 25 “25 es la potencia cuadrada de 5”}

El factor que se repite se llama

base.

El número de veces que se repite el factor, o sea la

base, se llama

exponente.

Esto significa que si se tiene la potencia 2

_{(dos elevado a seis o}

a la sexta), la base será 2 y el exponente 6, lo cual dará como resultado 64 porque el 2 se

multiplica por si mismo 6 veces (2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64).

Ejemplos:

2

_{= 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32 El exponente es 5, esto significa que la base, el 2, se debe}

multiplicar

por sí misma

cinco veces.

3

_{= 3 • 3 = 9 El exponente es 2, esto significa que la base (3) se debe}

multiplicar

por sí misma

dos veces.

5

_{= 5 • 5 • 5 • 5 = 625 El exponente es 4, esto significa que la base (5) se debe}

multiplicar

por sí misma

cuatro veces.

Una potencia puede representarse en forma general como:

Donde: a = base n = exponente “n” factores iguales .Finalmente, recuerda que una de las aplicaciones de las potencias es la descomposición factorial de un número.

Tipos de potencias según su base

1) Potencia de base entera y exponente natural

Si la base a pertenece al conjunto de los Números Enteros(a Z) (léase a pertenece a zeta) significa que puede tomar valores positivos y negativos. Si el exponente pertenece al conjunto de los Números Naturales, significa que puede tomar valores del uno en adelante (1, 2, 3,...).

2) Potencia de base entera positiva:

Si la base a es positiva, la potencia siempre será un entero positivo, independiente de los valores que tome el exponente, es decir, de que sea par o impar.

(+_a) n ₌ +_a n

Ejemplos:

(

4)

= 4

= 4 • 4 • 4 = 64 =

64 Exponente impar

(

₃₎

_{= 3}

_{= 3 • 3 • 3 • 3 = 81 =}

_{81 Exponente par}

3) Potencia de base entera negativa:

Si la base a es negativa el signo de la potencia dependerá de si el exponente es par o impar.

a) Si el exponente es par, la potencia es positiva.

(

_a)

₌

_a

Ejemplos:

(

₅₎

₌

_{5 •}

_{5 =}

_{25 = 25}

_·

_{= +}

(

₂₎

₌

_{2 •}

_{2 •}

_{2 •}

_{2 •}

_{2 •}

_{2 •}

_{2 •}

_{2 =}

_{256 = 256}

b) Si el exponente es impar, la potencia es negativa.

(

_a)

₌

_a

Ejemplos:

(

₂₎

₌

_{2 •}

_{2 •}

_{2 =}

₈

(

₃₎

₌

_{3 •}

_{3 •}

_{3 =}

₂₇

En resumen:

base

Positiva Par positiva positiva impar positiva

negativa Par positiva

negativa impar negativa

4) Potencia de base 10:

a) Con exponente natural

101

=10

102=100

103

=1.000

104

=10.000

105=100.000…

Como verás, es muy simple resolver potencias de base 10 y exponente natural. El resultado siempre será un 1 acompañado de cuantos ceros nos indique el exponente. Así si tenemos

103, entonces el resultado será un 1 acompañado de 3 ceros, es decir, 1 000. b) Con exponente entero

Para resolver potencias de base 10 con exponente entero positivo, el procedimiento será el mismo que utilizamos para resolver potencias de base 10 y exponente natural.

Pero, ¿cómo resolvemos aquellas potencias de base 10 y exponente negativo?

1¿10−1= 1

101= 1 10=0,1

102= 1

103= 1

1000=0,001

Observando, podemos ver que una forma de resolver potencias de base 10 y exponente negativo es transformar la potencia en una fracción donde el numerador siempre es 1 y el denominador será la misma potencia pero con exponente positivo. Luego al dividir la fracción obtenemos el resultado de la potencia

Importante

Todas las potencias con base distinta de 0 cuyo exponente sea 0, su resultado será siempre 1

100=1

50=1

¿

5) Multiplicación de potencias de igual base

Para multiplicar potencias de igual base, se suman los exponentes y se mantiene la base.

Ejemplos:

1) ₂3

∙

2) ₃4_∙36₌₃4+6₌₃10

3) ₍₋₄₎1_∙(−4)2₌₍₋₄₎1+2

=

6) División de potencias de igual base

Para dividir potencias de igual base, se restan los exponentes y se conserva la base.

Ejemplos:

1) 25÷24=2

5

24=2 5−4

=21=2

2

)

5

32=3

5−2

=33=27

7) Multiplicación de potencias de igual exponente

Se multiplican las bases y se conserva el exponente. Ejemplo: 34∙44=(3−4)4 = 124

8) División de potencias de igual exponente

Se dividen las bases y se conserva el exponente

Ejemplo:

24

6

=

(

24

6

)

5

=

4

9) Potencia elevada a potencia

Se eleva la base al producto (multiplicación) de los exponentes; o sea, se conserva la base y se multiplican los exponentes.

Ejemplos:

1) ¿ ¿

=

2)

(

=

10)Potencia de base racional y exponente entero

Sea la base a_b (fracción) perteneciente al conjunto de los Números Racionales (a_b Q), donde a es el numerador y b el denominador distinto de cero, y el exponente pertenece a los números enteros (n Z). Para elevar una fracción a potencia se elevan por separado numerador y denominador.

1)

(

2

3

)

=

2

3

=

4

9

2)

(

−

2

5

)

=

(−

2

)

2

5

=

4

25

11) Potencia de exponente negativo

Si a

b es un número racional y – n un número entero, entonces se tiene,

(

a

b

)

−n

=

(

b

a

)

n

=

b

n

a

Si el exponente es negativo el numerador se invierte con el denominador, y el exponente cambia de signo.

Ejemplos:

1)

(

2

2

)

−2

=

(

5

2

)

=

5

2

5

=

25

4

2)

(

3

2

)

−1

=

(

2

3

)

=

2

3

(+¿par = + 26 = 64 (-2¿6 = 64

( -¿par = +

Las potencias de exponente impar

tiene el mismo signo de la base

(+_¿impar

12)Ecuaciones exponenciales

Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente.

Para resolver una ecuación exponencial vamos a tener en cuenta:

1) a > 0 a≠1

2)

= a

=

1

=

Ejemplo:

3x−1

=81

3x−1=34

X - 1 =4 X = 4+1 X = 5

Si tenemos en ambos miembros de una ecuación exponencial con la misma base, es sencillo resolverla. Basta con igualar los exponentes

Aquí tenemos una ecuación exponencial, como podemos ver, la incógnita de la ecuación esta en el exponente de una de las potencias. Lo primero que debemos hacer en estos casos, es igualar todas las bases para poder concentrarnos en los exponentes

Podemos ver como se han igualado las bases, ahora se puede trabajar sólo con los exponentes para encontrar el valor de la incógnita

Ejercicios

:

Resuelve los siguientes ejercicios:

1)₃3_∙34_∙3

=

a)38 _c)37 _e)36

b)68 d) 67

2)

a) 56 c) 54 e)5 b) 53 d)58

3)

a) 510 c) 512 e) 54

b) 58 d)56

4) (5∙

a) 302 _{c) 10}6 _{e) 30}6

b) 104 d)304

5)

=

a) 316 _{c) 3}10 _e)39

b) 314 d)38

6)

=

a) 59 c) 524 e)95

b) 520 d)521

7) [

a) 218 _{c) 2}19 _e)214

b) 28 _d)210

8) [(

=

a) 310 c)312 e)39

b) 37 d)73

9)

=¿

a) 210 _c)69 _e)212

b) 220 _d)214

10)

=

a)4 c)6 e)8 b)2 d)5

11) (

a) 26 c)25 e)48

b) 46 d)28

12) (4∙

a) 94 _c)92 _e)244

b) 242 d)246

a)210 _c)29 _e)28

b)25 d)220

14) [(

¿4¿0=¿

a)2 c)5 e)4 b)1 d)8

15) [(

a)330 _c)630 _e)315

b)610 d)310

16) [(

a)210 c)47 e)212

b)412 d)27

17¿

[(-2

a)-6 c)-2 e)-10 b)−212 d)2

18) [(-2

∙

(

)

=

a)−216 c)−210 e) 60 b)8 d) 64

19)

a) 1

12 c)3−2 e)32

b)1₉ d)₁₀3

20)

=

a)5 c)₃₁₂₅1 e)55

b) 5

25 d) 1 3225

21) (-2

=

a)−29 c)−25 e)-512 b)-510 d)29

22)

a) 15625 c)55 e) 3125 b)53 d)5−5

23) (-2

=

a)−210 c)25 e) 12 b) 10 d) 11

24) (12 + 15

=

a)272 _{c) 729 e) 27}

b)262 d) 720

25) (3∙

=

a)903 c) 72.800 e)143

b) 72.900 d) 7.290

26) si

a)1 c) 42_e)23

b) 2 d) 3

27)

a)96 _{c) 9}7_e)98

b) 9 d) 7

28) si

b) 1124 d) 1024

29) si

=9y3a−b=27

, entonces

es un número:

a) entero impar c) entero par e) racional negati vo b) irracional negati vo d) irracional positi vo

30) (

₌

a) 4 c) 6 e) 70 b) 80 d) 81

I.

Daniel ha preparado 6 bandejas con 6 barras de pan cada una. ¿Cuántas barras ha

preparado en total? ¿podrás expresar el resultado en forma de potencia?

II.

Una camioneta transporta 1.000 bandejas. Cada bandeja tiene 10, y en cada caja

hay 10 sobres. ¿cuántos sobres transporta la camioneta?

III.

En el censo del año 1900 una ciudad registro una población de 20.000 personas .El

año 1930 la población fue de 60.000 personas, 30 años después de 180.000

personas .Si el aumento de población en la cuidad se mantiene constante, para el

año 2020 ¿se puede estimar una población?

IV.

Una maquina realiza las siguientes operaciones: “cuando ingresa un valor se

multiplica por

, el resultado obtenido s multiplica por

y finalmente el

resultado lo divide por 3”.si a la maquina ingresamos el valor de 0,027 ¿Cuál es el

valor resultante en la salida?

V.

Un restaurante de lujo puso todos sus precios en forma de potencia para atraer

más clientes. Observa la lista de precios y determina el valor que deberán cancelar

Rocío y Consuelo al consumir Rocío: plato Premium y bebida , consuelo: ensalada ,

plato especial de la casa , bebida y postre

15 Ya estás listo para practicar

Intenta resolver los siguientes problemas:

Menú

Precio $

Ensalada

Plato ejecutivo

Plato especial de la casa

Plato Premium

Bebida

10

Resuelve los siguientes ejercicios combinados:

1) Se afi rma que:

I.

=

II.

=

III.

₌

De estas afi rmaciones son

verdaderas:

a) solo

b) solo II y III

c) I, II y III

d) Todas son falsas.

2) ¿Cuál de las siguientes afi rmaciones es(son) verdadera(S)

I.

7

II.

5

III.

(-1

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo I y II

e) Todas las anteriores

3) Si

, el valor de x es igual a cero , porque:

I.

Son numero reales

II.

Esta multi plicado por tres

III.

Toda potencia elevada a 0 es igual a 1

a) Solo III es correcta

b) I y II son correctas

c) Solo I es correcta

d) II y III son correctas

e) Solo II

4) si

, entonces x es igual a:

I.

cero

II.

no se puede determinar

III.

a) I y II son correctas

b) Solo I

c) Solo III

d) Solo II

e) Ninguna de las anteriores

5) Para resolver una ecuación exponencial se debe:

I.

Igualar los exponentes (si las bases son iguales)

II.

Reducción de ambos miembros de la ecuación a una

misma base

III.

Usar propiedades de potencias

a) I y II son correctas

b) Todas son correctas

c) Solo III

d) Solo II

e) Ninguna de las anteriores

6) Si A=

_{, B=}

−2−2

y C= (-2

, el valor de

I.

El resultado es positivo

II.

III.

a) I y II son correctas

b) Todas son correctas

c) Solo III

d) Solo II

e) Ninguna de las anteriores

7) Si elevo la base 15.257.369.456 al exponente 0 esto me dará siempre:

I.

El mismo resultado que la base

II.

Siempre el resultado será 0

III.

Siempre el resultado será 1

a) I y II son correctas

b) Solo III

c) Solo II

d) Todas son correctas

e) Ninguna de las anteriores

8) ¿Qué debo hacer si mi exponente es negativo?

I.

Debo transformar la base en un numero decimal

II.

Debo invertir las bases

III.

Debo cambiar el exponente a numero 2

a) I y II son verdaderas

b) Solo II

c) Solo I

d) Todas son correctas

9) El triple de

_{, amplificado 9 veces y luego dividido por}

_{es igual}

a :

I.

270

II.

271

III.

El resultado da negativo

a) Solo II

b) Solo III

c) Solo I

d) Todas las anteriores

e) Ninguna de las anteriores

10)

Cuál de las siguientes afirmación es (son) verdadera (s):

I.

II.

III.

(

)

a) Solo II

b) Solo I

c) Solo III

d) Todas las anteriores

e) Ninguna de las anteriores

Sigue ensayando las potencias con estos ejercicios de

insufi ciencia:

1) Es posible determinar si

es un numero real sabiendo que:

(2) a

es un numero real

(1)

b

es un numero natural

a) (1) por si sola

b) (2) por si sola

c) Ambas juntas (1) y (2)

d) Cada una por si sola (1) ó (2)

e) Se requiere información adicional

2) En la potencia

, se puede determinar si

m

es positi vo sabiendo que:

(1)

es par

(2)

a) (1) por si sola

b) (2) por si sola

c) Ambas juntas (1) y (2)

d) Cada una por si sola (1) ó (2)

e) Se requiere información adicional

3) Se puede determinar que (-a

es un numero positi vo si se sabe que :

(1)

(2)

pertenece a los números reales

a) (1) por si sola

b) (2) por si sola

c) Ambas juntas (1) y (2)

d) Cada una por si sola (1) ó (2)

e) Se requiere información adicional

4) Se puede determinar el resultado de

si se sabe que:

(1) 4x es positivo

(2)

es un numero natural

a)

b)

(2) por si sola

c)

Ambas juntas (1) y (2)

d)

Cada una por si sola (1) ó (2)

e)

Se requiere información adicional

5) Se puede determinar el valor de

si se sabe que:

(1)

₌₇₂₉

a) (1) por si sola

b) (2) por si sola

c) Ambas juntas (1) y (2)

d) Cada una por si sola (1) ó (2)

e) Se re quiere de información adicional

Hoja de respuesta:

1) a.

2)

3)

4) d.

5)

6) c.

7)

8) c.

9)

10)

b.2

11)

d.

12)

13)

d.

14)

b.1

15)

a.

16)

e.

17)

c.

18)

d.64

19)

b

.

20)

c.

21)

e.

-

512

22)

a.15625

23)

d.11

24)

c.729

25)

b.72.900

26)

a.1

27)

c.

28)

d.1024

29)

a. entero impar

30)

d.81

Soluciones problemas:

I.

Daniel ha preparado en total 6

= 62 = 36 barras de pan.

II.

La camioneta transporta

sobres.

III.

Se esti ma que en el año 2020 habrán 1.440.000 personas

IV.

El valor resultante en la salida es 1

V.

El valor que deberán cancelar Rocío y Consuelo es $31.800

Solución Combinados:

1- a

2- d

3- a

4- c

5- b

6- a

7- b

8- b

9- c

Solución insuficiencia:

1) b.

2) a.

3) a.

4) e.

5) d.

Conclusión:

En conclusión las potencias son muy uti lizadas, no solo dentro de las

matemáti cas, sino que también dentro de otras ciencias. Además poseen

muchas propiedades que facilitan su uso y trabajo, transformándolas así en

algo muy importante para el desarrollo de muchos procesos.

Ojala que este modulo te haya sido de mucha uti lidad

espero que te haya gustado.

Bibliografía:

http://vitutor.net/1/potencias.php

http://profesorenlinea.cl/matematica/potenciasEjercic1.htm

http://icarito.cl/enciclopedia/articulo/segundo-ciclobasico/matematica/numeros/

2010/03/103-8692-9-que-son-las-potencias.shtml