Secuencia didáctica para promover el aprendizaje del objeto matemático potencia con base en el análisis didáctico

Texto completo

(1)Universidad de Sonora División de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matemáticas. Secuencia didáctica para promover el aprendizaje del objeto matemático potencia con base en el Análisis Didáctico. Tesis que presenta. Jesús Manuel Duarte Sánchez. Para obtener el Grado de Maestría en Ciencias Con especialidad en Matemática Educativa. Director de Tesis: Dr. José Luis Díaz Gómez. Hermosillo, Sonora, México. Noviembre del 2010.

(2) Universidad de Sonora Repositorio Institucional UNISON. Excepto si se señala otra cosa, la licencia del ítem se describe como openAccess.

(3) AGRADECIMIENTOS A mi esposa, por acompañarme y apoyarme incondicionalmente en esta importante etapa de mi vida.. A mis hijos con inmenso cariño.. A mi madre con amor y respeto.. A mis hermanos, por su gran cariño y apoyo.. A mi director de tesis, Dr. José Luis Díaz Gómez, por sus consejos y valiosas aportaciones para el logro de este trabajo.. A la Dra. María Eugenia Andreu, M.C. Marisela Armenta, M.C. Manuel Urrea, y M.C. Ruperto Vargas, por sus importantes comentarios que permitieron mejorar este trabajo.. A todos mis profesores, porque con su apoyo y motivación hicieron de esta maestría un verdadero placer.. A mis compañeros, por compartir su amistad y experiencias.. A mi alma mater UNISON, a la cual le debo mi formación profesional, y en esta importante etapa, iluminar nuevamente mi vida..

(4) Contenido Introducción………………………………………………………………………………. 1. Capítulo 1 Ubicación de la problemática y justificación de la propuesta de desarrollo docente…………………………………………………………………………………..... 4. 1.1 Antecedentes en la investigación……………………………………………... 4. 1.2 Ubicación curricular …..…………………………………………………….... 7. 1.2.1 Reforma 2006 para Secundaria (RS)……………………………….. 7. 1.2.1.1Organización de los contenidos matemáticos…………….... 7. 1.2.1.2 Enfoque didáctico…………………………………………. 9. 1.2.1.3 Los exponentes en el currículo de secundaria…………….. 10. 1.2.2 Reforma 2008 en la Educación Media Superior (RIEMS)………... 13. 1.2.2.1 Enfoque psicopedagógico de las competencias…………... 13. 1.2.2.2 Competencias genéricas ………………………………….. 15. 1.2.2.3 Competencias disciplinares básicas…………………….... 19. 1.3 Álgebra escolar y pensamiento algebraico……………………………………. 21. Capítulo 2 Aspectos metodológicos y objetivos del trabajo de desarrollo docente…….... 22. 2.1 Aspectos metodológicos………………………………………………………. 22. 2.2 Propósitos del trabajo de desarrollo docente………………………………….. 23. Capítulo 3 Elementos teóricos……………………………………………………………. 25. 3.1. Planificación de clase, currículo y significado……………………………….. 25. 3.2 El Análisis Didáctico………………………………………………………….. 26. 3.2.1 Análisis de contenido………………………………………………... 26. 3.2.2 Análisis cognitivo………………………………………………….... 27. 3.2.3 Análisis de instrucción………………………………………………. 27. 3.2.4 Análisis de actuación………………………………………………... 28. Capítulo 4 Diseño de la secuencia didáctica……………………………………………... 31. 4.1 Análisis Didáctico…………………………………………………………….. 31. 4.1.1 Análisis de contenido………………………………………………... 31. 4.1.1.1 Determinación de Objetivos………………………………. 32. 4.1.1.2 Contenido matemático…………………………………….. 32.

(5) Contenido. 4.1.1.3 Sentido y significado del concepto potencia………………….. 35. 4.1.2 Análisis Cognitivo……………………………………………………… 45 4.1.2.1 Las capacidades que los estudiantes tienen antes. de. la. instrucción…………………………………………………………….. 45. 4.1.2.2 Las capacidades que se espera que los estudiantes desarrollen con motivo de la instrucción………………………………………….. 48. 4.1.2.3 Las hipótesis sobre los caminos por los que se puede desarrollar el aprendizaje……………………………………………... 53 4.1.2.4 Las dificultades que los estudiantes pueden encontrar al abordar las tareas……………………………………………………... 55. 4.1.2.5 Las tareas que conforman la instrucción…………………….... 57. Capítulo 5 Análisis de instrucción y gestión de la clase…………………………………….. 73 5.1 Análisis de instrucción…………………………………………………………… 5.1.1 Diseño y Selección de las tareas……………………………………….. 73 74. 5.1.2 Capacidades que se pueden poner en juego cuando los estudiantes trabajen con las tareas del bloque I…………………………………………... 82. 5.1.3 Competencias a las que las capacidades promovidas con las tareas del bloque I, pueden contribuir………………………………………………….... 83. 5.1.4 Establecer los posibles caminos de aprendizaje que los estudiantes pueden recorrer cuando aborden las tareas del bloque I……………………... 84. 5.1.5 Evaluar la pertinencia de las tareas del bloque I……………………….. 85. 5.1.6 Capacidades que se pueden poner en juego cuando los estudiantes trabajen con las tareas del bloque II………………………………………….. 85. 5.1.7 Competencias a las que las capacidades promovidas con las tareas del bloque II pueden contribuir………………………………………….............. 86. 5.1.8 Establecer los posibles caminos de aprendizaje que los estudiantes pueden recorrer cuando aborden las tareas del bloque II…………………….. 86. 5.1.9 Evaluar la pertinencia de las tareas del bloque II…………………......... 87. 5.2 Gestión de la Clase……………………………………………………………….. 87.

(6) Contenido. 5.3 Estrategia didáctica……………………………………………………………….. 90. Capítulo 6 Análisis de actuación, conclusiones y recomendaciones………………………... 92. 6.1 Análisis de actuación……………………………………………………………... 92. 6.1.1 Propósitos del análisis de actuación………………………………......... 92. 6.1.2 Antecedentes de la muestra……………………………………………... 93. 6.1.3 Análisis de resultados………………………………………………..…. 93 6.1.3.1 Tipos de tareas I (problemas de crecimiento exponencial)…... 94. 6.1.3.2 Tipos de tareas II (problemas de decaimiento exponencial)…………………………………………………….…….. 111. 6.1.4.3 Tipos de tareas III (problemas matemáticos)……….……….... 116. 6.2 Conclusiones…………..………………………………………………………….. 127. 6.3 Sugerencias………...……………………………………………………………... 137. Bibliografía………………………………………………………………………….... 139.

(7) Índice de tablas Tabla 1.1: Fenómenos Didácticos………………………………………………………. 5. Tabla 1.2: Organización de los ejes y propósitos de los contenidos matemáticos……... 8. Tabla 1.3: Competencias e implicaciones en la educación secundaria…………………. 10. Tabla 1.4: Contextualización de las leyes de los exponentes………………………….... 12. Tabla 1.5: Competencias genéricas del SNB que integran el MCC……………………. 18. Tabla 1.6: Competencias disciplinares del campo Matemáticas………………………... 20. Tabla 4.1: Tabla de capacidades y competencias……………………………………….. 53. Tabla 4.2: Obstáculos, errores y dificultades…………………………………………... 57. Tabla 5.1: Capacidades y competencias a promover con tareas del bloque I…………….. 84. Tabla 5.2: Capacidades y competencias a promover con las tareas del bloque II............ 86. Tabla 5.3:Dificultades de los estudiantes y acciones del profesor…………………….... 90. Tabla 6.1: Capacidades y competencias reales con tareas del bloque I……………….... 132.

(8) Índice de figuras Figura 3.1: Las tres dimensiones del significado de un concepto en la matemática escolar……………………………………………………………………………………... 26. Figura 3.2: Diseño de tareas, análisis didáctico y conocimiento didáctico……………….. 28. Figura 4.1: Mapa conceptual general de la asignatura Álgebra…………………………... 35. Figura 4.2: Mapa conceptual general del objeto matemático potencia………………….... 36. Figura 4.3: Estructura conceptual introducción al Álgebra escolar………………………. 38. Figura 4.4: Estructura conceptual libro de texto………………………………………….. 39. Figura 4.5 Estructuras matemáticas………………………………………………………. 40. Figura 4.6: Conexiones entre elementos de un mapa conceptual parcial…………………. 42. Figura 4.7: Conexiones y procedimientos……………………………………………….... 43. Figura 4.8: Relación entre elementos numéricos y analíticos…………………………….. 50. Figura 4.9: Trayectorias cognitivas o posibles caminos de aprendizaje………………….. 54. Figura 4.10: Ciclo de planificación local…………………………………………………. 58. Figura 6.1…………………………………………………………………………………. 94. Figura 6.2…………………………………………………………………………………. 96. Figura 6.3…………………………………………………………………………………. 97. Figura 6.4…………………………………………………………………………………. 98. Figura 6.5…………………………………………………………………………………. 100. Figura 6.6…………………………………………………………………………………. 102. Figura 6.7…………………………………………………………………………………. 103. Figura 6.8…………………………………………………………………………………. 105. Figura 6.9…………………………………………………………………………………. 107. Figura 6.10………………………………………………………………………………... 110. Figura 6.11………………………………………………………………………………... 113. Figura 6.12………………………………………………………………………………... 116. Figura 6.13………………………………………………………………………………... 118. Figura 6.14………………………………………………………………………………... 124. Figura 6.15………………………………………………………………………………... 121. Figura 6.16………………………………………………………………………………... 124.

(9) Índice de figuras. Figura 6.17……………………………………………………………………………….. 123.

(10) Introducción Actualmente en la educación, se presentan una serie de fenómenos didácticos relacionados con los contenidos estudiados. En particular, en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas se ha detectado el pobre significado que los estudiantes tienen de los objetos matemáticos que se estudian en los diferentes niveles del sistema educativo nacional, y en el seno de las diferentes comunidades de la educación matemática, se han realizado gran variedad de investigaciones que tratan de encontrar explicaciones a dichos fenómenos. Personalmente, he identificado la problemática en torno al aprendizaje del objeto matemático potencia y desde mi punto de vista, creo que un factor que influye en dicha problemática es la enseñanza de este concepto como una herramienta facilitadora de operaciones bajo un acercamiento aritmético y algebraico. En este trabajo, en particular estudiamos el concepto de potencia y su problemática. Para iniciar este estudio, revisamos algunas investigaciones en torno a los exponentes, cuyos resultados ponen de manifiesto algunas de las probables causas que pudieran contribuir a la presencia de esta problemática. Martínez (2000) enumera varios fenómenos didácticos y destaca la falta de argumentos, entre estudiantes para justificar las potencias cero, uno, negativas y fraccionales. Por su parte, Ferrari (2001) considera como un obstáculo la enseñanza de estructuras multiplicativas para introducir la potencia. Mientras Dolores, Martínez, Farfán, Carrillo, y López (2007), detectaron que en el bachillerato, la potencia es estudiada como una multiplicación reiterada y su definición es introducida mediante ejercicios de transformación de expresiones algebraicas. Curricularmente, el concepto potencia es parte del contenido matemático de estudio en secundaria y bachillerato. Por lo anterior, se analizaron la Reforma 2006 para Secundaria (RS) y la Reforma Integral en la Educación Media Superior 2008 (RIEMS) con el propósito de tener los referentes curriculares en ambos niveles. Ambas reformas tienen como aspecto central apoyar la práctica docente bajo un enfoque didáctico basado en el desarrollo de competencias.. 1.

(11) Introducción. Además, mediante el estudio de este objeto matemático (potencia), pretendemos contribuir al desarrollo del pensamiento matemático, promoviendo en los estudiantes habilidades de resolución de problemas, de representación y de razonamiento cuantitativo a través del dominio del contenido del Álgebra como aritmética generalizada. Para coadyuvar a la problemática planteada y atendiendo las demandas curriculares y disciplinares, presentamos este trabajo de desarrollo docente que tiene como propósito el diseño de una secuencia didáctica para promover el aprendizaje del objeto matemático potencia con base en el análisis didáctico (Gómez, 2002). El análisis didáctico, con el que respaldamos teóricamente la secuencia didáctica, es un procedimiento que permite organizar la enseñanza de las matemáticas e identificar las capacidades del profesor. Además,. en el contexto concreto de la planificación de una hora de. clase o del diseño de una secuencia didáctica, se puede organizar la enseñanza basándose en los cuatro análisis que lo sustentan: el análisis de contenido, el análisis cognitivo, el análisis de instrucción y el análisis de actuación. En el análisis de contenido, organizamos e identificamos los múltiples significados del concepto potencia, analizando su estructura conceptual, las formas como se puede representar y la fenomenología. Por su parte, en el análisis cognitivo, describimos las hipótesis acerca de cómo los estudiantes pueden progresar en la construcción de su conocimiento sobre la estructura matemática (potencia), cuando se enfrenten a las tareas que compondrán la secuencia didáctica. Lo anterior se hizo a partir de la información que obtuvimos en el análisis de contenido. En el análisis de actuación, analizamos. y seleccionamos las tareas que constituyeron la. secuencia didáctica. El diseño, se materializó a través de ocho tareas que toman como punto de partida la resolución de problemas extramatemáticos y una tarea en contextos matemáticos para la institucionalización de la definición de potencia. Las primeras ocho tareas las contextualizamos en problemas relacionados con la fenomenología del objeto matemático potencia. Finalmente, para resolver las tareas, los estudiantes requieren utilizar diferentes representaciones de este objeto matemático. Por último, en el análisis de actuación determinamos las capacidades, que los estudiantes pusieron en juego cuando trabajaron en una versión preliminar de las tareas que constituyen la 2.

(12) Introducción. secuencia didáctica. Además, hicimos una caracterización de las competencias matemáticas en el marco de la RIEMS a las que las capacidades anteriores contribuyeron, las trayectorias cognitivas que siguieron y los obstáculos, errores y dificultades que manifestaron. Para concluir este trabajo, presentamos un análisis de las actuaciones de tuvieron cuatro estudiantes de un bachillerato tecnológico del subsistema CBTIS, con motivo de la puesta en escena de la secuencia didáctica. Esta, se realizó con los propósitos de: Observar si las seis primeras tareas, inducían a los estudiantes a la construcción de la noción de potencias de base natural, exponentes naturales y exponente cero. Y, que las siguientes dos tareas (fractales), contribuían a la noción de potencias de base racional positiva y exponentes naturales y cero. Otros propósitos fueron, detectar si la redacción, el lenguaje utilizado en el enunciado del problema y las preguntas para las tareas eran claras y comprensibles para los estudiantes, Observar si las preguntas propuestas inducen a los estudiantes a la elaboración de tablas, diagramas o esquemas que coadyuven a la resolución del problema y finalmente, detectar cualquier tipo de error no detectado previamente, en la redacción del trabajo, planteamiento de las preguntas propuestas, e incluso ortografía de las mismas.. 3.

(13) Capítulo 1 Ubicación de la problemática y justificación de la propuesta de desarrollo docente En este capítulo, se presentan los resultados de algunas investigaciones y un cuestionario que se aplicó a profesores de matemáticas del bachillerato que ponen de manifiesto, algunas de las probables causas que pudieran contribuir a la problemática en torno al objeto matemático potencia. Incluimos también, un análisis de la Reforma en Secundaria 2006 y de la Reforma Integral en la Educación Media Superior 2008, con el propósito de tener los referentes curriculares en ambos niveles y finalmente consideramos el significado del Álgebra escolar y las habilidades que se requieren promover para coadyuvar al desarrollo del pensamiento algebraico.. 1.1 Antecedentes en la investigación Existen diferentes investigaciones en torno a la enseñanza y el aprendizaje de los exponentes (potencia) que ponen en evidencia la presencia de algunos errores y dificultades, que presentan los alumnos cuando se pone en juego el uso de esta herramienta (potencia). En este trabajo en concreto, revisamos las investigaciones realizadas por Martínez (2000), Ferrari (2001) y Dolores, Martínez, Farfán, Carrillo, y López (2007) y a continuación, ´presentamos un condensado de las mismas. Martínez (2000), quien enumera varios fenómenos didácticos que fueron detectados en la investigación de Lezama (1999) con estudiantes de secundaria, bachillerato y nivel superior. Estos fenómenos se organizaron en la tabla 1.1 que presentamos a continuación. 4.

(14) Ubicación de la problemática y justificación de la propuesta de desarrollo docente. Fenómenos didácticos No. 1. Descripción. Ejemplos. Respuestas reiteradas de los estudiantes donde afirman que:. 20=0. Por definición de potencia 2 es: ―El 2 multiplicado cero veces‖ es decir, nada (cero).. 20=2. No hay nada como exponente.. 2-3 = (-2)(-2)(-2). Multiplicación repetida.. 2-3 = 0.002. El signo menos indica que el punto se recorre a la izquierda tantas veces como indique el valor absoluto del exponente. 2-3=8 y se le coloca el signo menos.. 0. 2-3 = (-8) 2. Falta de argumentos (leyes), distintos a la memoria, para establecer que:. Argumentos. No argumentos.. 20  1 23 . 1 23. 1. 2 2  2 , etc.. 3. 4. Respuestas repetidas estudiantes de bachillerato: Si x no es entero, calculable.. por. 3. 2 2  2(. 2 x no es. 3 )  3 2. Es una multiplicación.. Es una notación.. 1. 22 . 2. 1. 23 . 5. Representación por medio del radical, pero ignoraban y no tomaban en cuenta la naturaleza de dicho número.. 6. Algunos estudiantes secundaria afirman. de. 3. 2 , etc.. 2  1.4. 21  2  2. No se interpreta como resultado de una ―exponenciación‖ sino como una notación. El dos se multiplica una vez.. 2  2 1  2 1. Tabla 1.1: Fenómenos didácticos. Ferrari (2001), retoma de las investigaciones reportadas por Confrey (1996) y Lezama (1999) en torno a la comprensión de las exponentes, que la enseñanza de estructuras multiplicativas para introducir la potencia, se convierte en un obstáculo para la aprehensión de otros conceptos por parte de los alumnos. Por ejemplo, se introduce el concepto potencia, como una multiplicación repetida (mismos factores), es decir: 3×3×3×3×3 = cinco veces el tres = 35. Con esta definición de potencia, se pudiera presentar el obstáculo de que sólo tiene sentido cuando se trabaja con exponentes en el dominio de los números naturales mayores que 1. Por 5.

(15) Ubicación de la problemática y justificación de la propuesta de desarrollo docente. ejemplo, 35 se puede interpretar como multiplicar ―cinco veces el tres‖. Es decir, multiplicar la ―base‖ (3) por sí misma tantas veces como lo indique el ―exponente‖ (5). Pero, ¿qué interpretación tendrán los estudiantes para 21 o. 20? ¿Cómo multiplicar una vez el dos o cero 1. veces el dos? Inclusive, ¿Qué sentido darle al cálculo de 20 o de 21? ¿Qué significará 3 2 o 3 2 ? ¿Cómo calcular ―un medio veces el tres‖ o ―raíz de dos veces el tres‖? Un algoritmo que aplicaban con éxito, deja de funcionarles al extender el dominio de validez de los exponentes. Otro tanto sucede con los exponentes negativos, donde los estudiantes presentan respuestas como: 23  (2)(2)(2)  8 en este caso se percibe el uso de la definición de potencia sin dotarla de mayor sentido. Dolores, Martínez, Farfán, Carrillo, y López (2007), encontraron que evolucionar de la aritmética al Álgebra, es un paso importante para el desarrollo del pensamiento algebraico escolar. Además, señalan que en el bachillerato, la noción de potencia es manejada en el contexto. . . a a  a n   a algebraico como una multiplicación reiterada. Es decir,  a   . definición se introduce. n veces. . donde, esta. mediante ejercicios en los que se realizan transformaciones de. expresiones algebraicas, es decir tratamientos en la representación analítica. Los resultados mostrados en estas investigaciones son situaciones que en mayor o menor medida también encontramos en estudiantes de bachillerato, cuando hemos tenido la oportunidad de impartir los cursos en las diferentes ramas de esta disciplina en este nivel. Por otra parte, consideramos que los errores que cometen los estudiantes cuando enfrentan escenarios que requieren de la aplicación del concepto potencia, por ejemplo en la manipulación de expresiones algebraicas, pudieran tener su origen en la forma en cómo estos contenidos fueron trabajados en cursos previos. De acuerdo con las evidencias presentadas en estas investigaciones, es necesario señalar que los fenómenos mostrados se presentan con diferentes matices en los diferentes niveles escolares y proporciona evidencia convincente del pobre significado que tienen los estudiantes del concepto potencia. 6.

(16) Ubicación de la problemática y justificación de la propuesta de desarrollo docente. 1.2 Ubicación curricular En este apartado, realizamos un análisis de la Reforma de Secundaria (2006) y la Reforma Integral de la Educación Media Superior (2008) con el propósito de tener los referentes curriculares acerca de la forma en que estos contenidos deben abordarse en estos niveles educativos.. 1.2.1 Reforma 2006 para Secundaria (RS) El aspecto central de la RS 2006, consiste en apoyar la práctica docente y hace referencia a cuatro competencias matemáticas así como también las implicaciones en los alumnos. Además, en esta reforma se plantea un reto importante en el estudio de las matemáticas, ya que por este medio, se busca que los niños y jóvenes desarrollen una forma de pensamiento que les permita expresar matemáticamente situaciones que se presentan en diversos entornos socioculturales, así como utilizar técnicas adecuadas para reconocer, plantear y resolver problemas; al mismo tiempo, se busca que asuman una actitud positiva hacia el estudio de esta disciplina y de colaboración y crítica, tanto en el ámbito social y cultural en que se desempeñen como en otros (SEP, 2006).. 1.2.1.1Organización de los contenidos matemáticos En el Plan de Estudios de la RES, los contenidos matemáticos se organizaron con base en tres ejes, los cuales presentamos a continuación en la tabla 1.2.. 7.

(17) Ubicación de la problemática y justificación de la propuesta de desarrollo docente. Ejes. Propósitos. 1. Sentido numérico y pensamiento. Encontrar el sentido del lenguaje matemático y tender un. algebraico. puente entre la aritmética y el Álgebra. Profundizar en el estudio del Álgebra con los tres usos de literales, conceptualmente distintos: como número general, como incógnita y en relación funcional.. 2. Forma, espacio y medida. Abordar los tres aspectos esenciales del estudio de la geometría y la medición, con lo cual se favorece el desarrollo de la competencia de argumentación.. 3. Manejo de la información. Considerar que la información puede provenir de situaciones deterministas, definidas. o aleatorias.. En este sentido, se. resuelven problemas que requieren el análisis, la organización, la representación y la interpretación de datos provenientes de diversas fuentes. Tabla 1.2: Organización de los ejes y propósitos de los contenidos matemáticos. En esta organización por ejes, se privilegia la vinculación mediante los bloques temáticos y los aprendizajes esperados entre contenidos del mismo eje, entre ejes distintos o con los de otras asignaturas, evitando la fragmentación. del conocimiento, de modo que cuenten con más. elementos para abordar un problema, así como para favorecer las posibilidades de establecer conexiones o de ampliar los alcances de un mismo concepto, para lograr un mayor nivel de abstracción que les permitirá a los alumnos resolver situaciones problemáticas más complejas. Los contenidos de cada grado están organizados en cinco bloques, en cada uno hay temas y subtemas de los tres ejes descritos. Esta organización tiene como propósito que los profesores y sus alumnos puedan establecer metas parciales a lo largo del año escolar y garantizar el estudio simultáneo de los tres ejes durante el curso. Finalmente, la comprensión de los diversos conceptos matemáticos deberá sustentarse en actividades que pongan en juego la intuición, pero a la vez favorezcan el uso de herramientas matemáticas para ampliar, reformular o rechazar las ideas previas.. 8.

(18) Ubicación de la problemática y justificación de la propuesta de desarrollo docente. 1.2.1.2 Enfoque didáctico El enfoque didáctico que sustentan los programas para la educación secundaria pretende promover en los alumnos el interés, la reflexión, encontrar diferentes formas de resolver problemas y la argumentación de sus resultados al resolver las actividades propuestas por el profesor. El diseño de dichas actividades deberán fundamentarse en los avances logrados en el campo de la didáctica de las matemáticas que muestran el papel determinante que desempeñan la situación o las situaciones problemas que hacen pertinente el uso de las herramientas matemáticas que se pretende estudiar, así como los procesos que siguen los alumnos para construir nuevos conocimientos y superar las dificultades que surgen en el proceso de aprendizaje. En el aspecto de la evaluación, se proponen los siguientes dos aspectos: 1. El primero se refiere a qué tanto saben hacer los alumnos y en qué medida aplican lo que saben, en estrecha relación con los contenidos matemáticos que se estudian en cada grado. 2. El segundo, se refiere al establecimiento del. momento adecuado para evaluar los. conocimientos y habilidades esperados, ya que estos forman parte de una secuencia que se desarrolla en varios bloques y a veces en varios grados. El aspecto central de esta propuesta, consiste en apoyar la práctica docente y hace referencia a cuatro competencias matemáticas así como también las implicaciones en los alumnos. Esta organización, la presentamos a continuación en la tabla 1.3.. 9.

(19) Ubicación de la problemática y justificación de la propuesta de desarrollo docente. Competencias. Implicaciones en los alumnos. 1. Planteamiento y resolución de. Identificar, plantear y resolver diferentes tipos de problemas o. problemas. situaciones.. 2. Argumentación. Asumir la responsabilidad de buscar al menos una manera de resolver cada problema que se les plantea. Ver la necesidad de formular argumentos que les den sustento al procedimiento y/o solución encontrados, con base en las reglas del debate matemático.. 3. Comunicación. Expresar y representar información matemática contenida en una situación o fenómeno, así como la de interpretarla.. 4. Manejo de técnicas. Uso eficiente de procedimientos y formas de representación al efectuar cálculos, con el apoyo de tecnología o sin él para favorecer el desarrollo del sentido numérico y el pensamiento algebraico.. Tabla 1.3: Competencias e implicaciones en la educación secundaria. Para evaluar el logro de las competencias anteriores, pueden seguirse las siguientes tres líneas de progreso: 1) De resolver con ayuda a resolver de manera autónoma. 2) De los procedimientos informales a los procedimientos expertos. 3) De la justificación pragmática a la justificación axiomática.. 1.2.1.3 Los exponentes en el currículo de secundaria Los contenidos, conocimientos y habilidades fueron organizados en apartados que privilegian la construcción de significados y herramientas matemáticas por parte de los alumnos con base en la resolución de problemas. Por cada apartado, se incluyen orientaciones didácticas donde se fundamenta la necesidad de estudiar los aspectos planteados en conocimientos y habilidades. Dicha estructura la presentamos en la tabla 1.4. 10.

(20) Ubicación de la problemática y justificación de la propuesta de desarrollo docente. Bloque 4: Como resultado del estudio de este bloque temático se espera que. Primer Grado. los alumnos: Resuelvan problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y potencias de números naturales y decimales.. Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico. Tema. Significado y uso de las operaciones. Subtema. POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN. Conocimientos y Orientaciones didácticas Habilidades. Los alumnos deben comprender que la raíz cuadrada de un número que no es. 4.2.. Resolver. cuadrado perfecto constituye una aproximación. Se puede recurrir a contextos. que. geométricos para discutir este hecho; por ejemplo, cabe preguntar cuál es la. problemas. impliquen el cálculo. medida del lado de un cuadrado de 40 cm² de área.. de la raíz cuadrada y. Algunos recursos de aproximación a la raíz cuadrada de números naturales y. la. decimales mediante algoritmos son, por ejemplo, el uso de. potencia. de. procedimientos. exponente natural de. recursivos y de ensayo y error. Es conveniente que los alumnos comparen las. números naturales y. soluciones alcanzadas con los resultados que obtengan al emplear la calculadora.. decimales.. Se sugiere generalizar la idea de que la potenciación y la radicación son operaciones inversas, puesto que si un número se eleva a una potencia n y al resultado se le extrae la raíz n dicho número no se altera. Además de la realización directa de cálculos, se pueden proponer problemas como los siguientes: Comparen, sin realizar las operaciones correspondientes: 0.5² y 0.05²; la raíz cuadrada de 0.09 y 0.0625 Actividad complementaria: ―Raíz cuadrada y cúbica‖, en Hoja electrónica de cálculo. emat, México, sep, 2000, pp. 59-60.. Segundo Grado. Bloque 4: Como resultado del estudio de este bloque temático se espera que los alumnos: Resuelvan problemas que implican el uso de las leyes de los exponentes y de la notación científica.. Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico. Tema. Significado y uso de las operaciones. Subtema. POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN. Conocimientos y Orientaciones didácticas Habilidades. La comprensión del significado de estas operaciones y la habilidad para realizar. 4.1. Elaborar, utilizar. cálculos con ellas es importante por los vínculos que se pueden establecer con. y. otros temas, como la multiplicación, el teorema de Pitágoras o las ecuaciones. justificar. procedimientos para. de segundo grado. Tanto para el estudio de potencias de una misma base, como. calcular productos y. para la potencia de una potencia, pueden plantearse cálculos con números. 11.

(21) Ubicación de la problemática y justificación de la propuesta de desarrollo docente cocientes. de. potencias. enteras. positivas de la misma. pequeños que los alumnos puedan resolver mentalmente y en los cuales puedan observar regularidades. Por ejemplo:. base y potencias de. el. significado de elevar un número natural a una. potencia. científica para. 2. 3. 4. 5. 6. 5. 2 × 2 = 16 × 32 = 512 = 2. 9. De este modo se podría hacer la siguiente generalización: 2. de. exponente negativo. Utilizar la notación. 5. 2 × 2 = 4 × 8 = 32 = 2. una potencia. Interpretar. 1. 2 × 2 = 2 × 32 = 64 = 2. a. m m. n. m n. n. m n. ×2 =2 ×a =a. para llegar a establecer que:. De manera similar se puede abordar el cociente de potencias de la misma base y llegar al exponente negativo. Una forma de hacerlo es la siguiente: Generalizar la am. realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.. regla para simplificar expresiones de la forma 4. 5. 42. . an. , a partir de casos particulares :. 4x4x4x4x4  4 x 4 x 4  4 5 2  4 3 4x4. Luego,. utilizar. el. significado. de. los. exponentes. para. simplificar. 73. 7 x7 x7 1   75 7 x7 x7 x7 x7 7 2 73. Finalmente, utilizar la regla anterior para simplificar 73 75. 75.  7 35  7  2. e interpretar el significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo. 7 2 . 1. an . 2. 1 n. 7 a En este caso y, en general, Con frecuencia, la cancelación de factores en expresiones fraccionarias da lugar. 23 25. . 2x2x2 0  2x2x2x2x2 2x2x2. a que los alumnos cometan errores como el siguiente: Probablemente este error tenga su origen en un uso indebido del lenguaje. Usar expresiones como ―este factor se va con éste‖ puede inducir a que los alumnos piensen que todos los factores del numerador se anulan, por lo que queda 0. En cambio, generalmente no tienen dificultades cuando se utiliza otro procedimiento 23 2. 5. . para. 2x2x2 8 1   2 x 2 x 2 x 2 x 2 32 4. simplificar. la. misma. expresión.. Por. ejemplo:. 23 23 20 1 1  5 2 2 5 o bien 2 2 2 2 4. Las razones por las que se cometen errores son complejas. Solamente la participación de los estudiantes en el análisis del error les permitirá comprender por qué no suceden las cosas como ellos piensan. Tabla 1.4: Contextualización de las leyes de los exponentes. 12.

(22) Ubicación de la problemática y justificación de la propuesta de desarrollo docente. En conclusión, los exponentes en secundaria, son estudiados en primer y segundo grado. En primer grado, se propone la resolución de problemas en contextos matemáticos, para dar significado a los exponentes fraccionarios mediante el uso de la calculadora, a través de las cuales, se pretende contribuir al desarrollo del sentido numérico y pensamiento algebraico. En segundo año, se estudian los exponentes de manera similar al primer grado. Mientras que en el tercer año, los exponentes no se consideran como objeto de estudio, pero si se utilizan como herramienta para resolver situaciones en contextos matemáticos o extramatemáticos.. 1.2.2 Reforma 2008 en la Educación Media Superior (RIEMS) En el año 2008, se dio a conocer la RIEMS. Ésta, establece once Competencias Genéricas definidas dentro de un Marco Curricular Común (MCC) para los diferentes subsistemas de bachillerato, que junto con las competencias disciplinares, tienen como propósito, dar identidad a este segmento del sistema educativo nacional, del cual se desprende el Perfil del Egresado. En este perfil, se especifican los rasgos fundamentales que los estudiantes deben reunir al concluir el bachillerato (SEP, 2008).. 1.2.2.1 Enfoque psicopedagógico de las competencias La propuesta. de trabajo de la RIEMS, es una metodología enfocada en el desarrollo de. competencias, fundamentada en una visión constructivista que reconoce al aprendizaje como un proceso que se construye en forma individual, en donde los nuevos conocimientos toman sentido estructurándose con los previos y en su interacción social. Para trabajar bajo este enfoque, los profesores, deberán replantear los procesos didácticos creando ambientes de aprendizaje y situaciones educativas apropiadas para dar significado a los contenidos estudiados y propiciar en los alumnos el desarrollo de las competencias requeridas para movilizar, de forma integral los recursos con los que cuentan como: conocimientos, creencias, habilidades en diversos campos, destrezas, actitudes y valores, etc.,. que son. indispensables para realizar con éxito las actividades a las que se enfrentarán en los diferentes contextos. Por lo tanto, estaremos en vías de formar estudiantes autónomos, en el ámbito del aprendizaje y, en su actuación como individuo y social. Una ventaja de promover el desarrollo. 13.

(23) Ubicación de la problemática y justificación de la propuesta de desarrollo docente. de competencias es que las que se van formando sirven de base para desarrollar otras de mayor complejidad.. 14.

(24) Ubicación de la problemática y justificación de la propuesta de desarrollo docente. 1.2.2.2 Competencias genéricas Las competencias genéricas, según el documento Creación de un Sistema Nacional de Bachillerato (SNB) en un marco de diversidad, son aquellas que todos los bachilleres deben estar en capacidad de desempeñar, las que les permitan comprender el mundo e influir en él, les capacitan para continuar aprendiendo de forma autónoma a lo largo de sus vidas, y para desarrollar relaciones armónicas con quienes les rodean y participar eficazmente en su vida social, profesional y política a lo largo de la vida. Además, éstas tienen las características de ser: Clave, transversales y transferibles. COMPETENCIAS GENÉRICAS. SE AUTODETERMINA Y CUIDA DE SI. Categoría. Atributos. Competencia 1. Se conoce y valora a sí. . Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades.. mismo y aborda problemas. . Identifica sus emociones, las maneja de manera constructiva y reconoce la necesidad de solicitar apoyo. y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.. ante una situación que lo rebase. . Elige alternativas y cursos de acción con base en criterios sustentados y en el marco de un proyecto de vida.. 2. Es sensible al arte y. . Analiza críticamente los factores que influyen en su toma de decisiones.. . Asume las consecuencias de sus comportamientos y decisiones.. . Administra los recursos disponibles teniendo en cuenta las restricciones para el logro de sus metas.. . Valora el arte como manifestación de la belleza y expresión de ideas, sensaciones y emociones.. participa en la apreciación . Experimenta el arte como un hecho histórico compartido que permite la comunicación entre individuos y. e interpretación de sus. culturas en el tiempo y el espacio, a la vez que desarrolla un sentido de identidad.. expresiones en distintos . Participa en prácticas relacionadas con el arte.. géneros. 15.

(25) Ubicación de la problemática y justificación de la propuesta de desarrollo docente. 3. Elige y practica estilos. . Reconoce la actividad física como un medio para su desarrollo físico, mental y social.. de vida saludables.. . Toma decisiones a partir de la valoración de las consecuencias de distintos hábitos de consumo y conductas de riesgo.. COMUNICA. Cultiva relaciones interpersonales que contribuyen a su desarrollo humano y el de quienes lo rodean.. 4. Escucha, interpreta y . Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.. emite mensajes pertinentes . Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se. en. encuentra y los objetivos que persigue.. distintos. contextos. mediante la utilización de  medios,. y . códigos. herramientas apropiados.. REFLEXIVAMENTE. PIENSA CRÍTICA Y. SE EXPRESA Y SE. . . Identifica las ideas clave en un texto o discurso oral e infiere conclusiones a partir de ellas. Se comunica en una segunda lengua en situaciones cotidianas. Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas.. 5. Desarrolla innovaciones . Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos. y propone soluciones a. contribuye al alcance de un objetivo.. partir. de . métodos establecidos.. . Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenómenos.. . Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.. . Sintetiza evidencias obtenidas mediante la experimentación para producir conclusiones y formular. problemas. a. Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.. nuevas preguntas. . Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.. 16.

(26) Ubicación de la problemática y justificación de la propuesta de desarrollo docente. 6. Sustenta una postura . Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de. personal sobre temas de. acuerdo a su relevancia y confiabilidad.. interés general,. y. relevancia  considerando . otros puntos de vista de. AUTONOMA. FORMA. COLABORATIVA. TRABAJA EN FORMA. APRENDE DE. manera crítica y reflexiva.. Evalúa argumentos y opiniones e identifica prejuicios y falacias. Reconoce los propios prejuicios, modifica sus puntos de vista al conocer nuevas evidencias, e integra nuevos conocimientos y perspectivas al acervo con el que cuenta.. . Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética.. 7. Aprende por iniciativa e . Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimiento.. interés propio a lo largo de . Identifica las actividades que le resultan de menor y mayor interés y dificultad, reconociendo y. la vida.. controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos. . Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana.. 8. Participa y colabora de . Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de. manera. acción con pasos específicos.. efectiva. equipos diversos.. en . Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.. . Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.. 17.

(27) Ubicación de la problemática y justificación de la propuesta de desarrollo docente. 9.. Participa. con. una . conciencia cívica y ética  en. la. vida. de. región,. Toma decisiones a fin de contribuir a la equidad, bienestar y desarrollo democrático de la sociedad. Conoce sus derechos y obligaciones como mexicano y miembro de distintas comunidades e instituciones, y reconoce el valor de la participación como herramienta para ejercerlos.. . México y el mundo.. Contribuye a alcanzar un equilibrio entre el interés y bienestar individual y el interés general de la sociedad.. EN LA SOCIEDAD. PARTICIPA CON RESPONSABILIDAD. comunidad,. su . Privilegia el diálogo como mecanismo para la solución de conflictos.. . Actúa de manera propositiva frente a fenómenos de la sociedad y se mantiene informado.. . Advierte que los fenómenos que se desarrollan en los ámbitos local, nacional e internacional ocurren dentro de un contexto global interdependiente.. 10. Mantiene una actitud . Reconoce que la diversidad tiene lugar en un espacio democrático de igualdad de dignidad y derechos de. respetuosa. la. todas las personas, y rechaza toda forma de discriminación.. la . Dialoga y aprende de personas con distintos puntos de vista y tradiciones culturales mediante la. hacia. interculturalidad. y. diversidad de creencias,. ubicación de sus propias circunstancias en un contexto más amplio.. valores, ideas y prácticas . Asume que el respeto de las diferencias es el principio de integración y convivencia en los contextos. sociales.. local, nacional e internacional.. 11.. Contribuye. al . desarrollo sustentable de manera. crítica,. Asume una actitud que favorece la solución de problemas ambientales en los ámbitos local, nacional e internacional.. con . acciones responsables.. Reconoce y comprende las implicaciones biológicas, económicas, políticas y sociales del daño ambiental en un contexto global interdependiente.. . Contribuye al alcance de un equilibrio entre los intereses de corto y largo plazo con relación al ambiente. Tabla 1.5: Competencias genéricas del SNB que integran el MCC. 18.

(28) Ubicación de la problemática y justificación de la propuesta de desarrollo docente. 1.2.2.3 Competencias disciplinares básicas Las competencias disciplinares básicas, expresan conocimientos, habilidades y actitudes que se consideran los mínimos necesarios de cada campo disciplinar, que todos los estudiantes deben adquirir, independientemente del programa académico que cursen y la trayectoria académica o laboral que elijan al terminar sus estudios de bachillerato para que se desarrollen de manera eficaz en diferentes contextos y situaciones a lo largo de la vida. Estas competencias, están organizadas en cuatro campos disciplinares amplios: a) Matemáticas (matemáticas); b) Ciencias experimentales (Física, química, biología y ecología); c) Ciencias sociales (CTS, economía y administración); d) Comunicación (Lectura y expresión oral y escrita, literatura, lengua extranjera e informática). Algunas de estas competencias, son relevantes en más de uno de los campos disciplinares. Esta condición, les permite a los alumnos articular los contenidos que se estudian en la escuela en los diferentes campos disciplinares y dotar de sentido y significado la educación que están recibiendo. Además, trabajar estas articulaciones favorece el desarrollo del pensamiento complejo mediante el abordaje de objetos y problemas de interés. En la tabla 1.6, presentamos las ocho competencias disciplinares en matemáticas con las cuales se pretende formar a los estudiantes en la capacidad de interpretar matemáticamente el entorno que los rodea.. 19.

(29) Ubicación de la problemática y justificación de la propuesta de desarrollo docente. COMPETENCIAS DISCIPLINARES BÁSICAS CAMPO DISCIPLINAR MATEMÁTICAS 1. Construye e interpreta modelos matemáticos deterministas o aleatorios mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales o formales. 2. Propone, formula, define y resuelve diferentes tipos de problemas matemáticos buscando diferentes enfoques. 3. Propone explicaciones de los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos y variacionales, mediante el lenguaje verbal y matemático. 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente magnitudes del espacio que lo rodea. 7.. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. Tabla 1.6: Competencias disciplinares del campo Matemáticas. Finalmente, consideramos que las reformas en la Secundaria 2006 y la reforma en la educación media superior 2008, llegan en un momento crucial en la historia de México, donde la población estudiantil en estos niveles se encuentra en su máximo histórico. Además, Consideramos que las propósitos de estas reformas, de formar jóvenes que sean capaces de articular conocimientos, habilidades, actitudes y valores, es decir que desarrollen competencias, a través de las diferentes asignaturas que cursarán a largo de estos dos niveles educativos, permitirá que los egresados logren desplegar su potencial, tanto para su desempeño personal y social, así como también enfrentar con éxito el siguiente nivel educativo.. 20.

(30) Ubicación de la problemática y justificación de la propuesta de desarrollo docente. 1.3 Álgebra escolar y pensamiento algebraico Dado que el concepto potencia, está ubicado en la asignatura Álgebra, consideramos pertinente intentar definir esta última. Sin embargo, no podemos hacerlo fácilmente pero, un acercamiento sería considerarla como un diamante, cuyas caras la conforman cada una de las concepciones que se tienen del Álgebra (Álgebra como aritmética generalizada, como lenguaje y el Álgebra como una herramienta para las funciones y modelos matemáticos). Por otro lado, el Álgebra que se estudia en la escuela pudiéramos caracterizarla, por la forma en que los contenidos algebraicos puede abordarse desde varias perspectivas, entre las que destacan las siguientes: las reglas para transformar y resolver ecuaciones; la solución de problemas específicos o clases de problemas; la generalización de las leyes de los números; los conceptos de variable y función y también como el estudio de las estructuras algebraicas. (Bednardz, Kieran, & Lee, 1996) Además, en la comunidad internacional, la enseñanza y el aprendizaje del Álgebra han sido objeto de una gran cantidad de investigaciones, y se han propuesto diferentes acercamientos que pretenden hacer que este aprendizaje sea significativo. Y, para lograrlo, es necesario desarrollar el pensamiento algebraico en los estudiantes. El pensamiento algebraico según Kriegler, son habilidades de la mente que se desarrollan cuando los estudiantes dominan las ideas fundamentales del Álgebra que representan el dominio de su contenido. Su organización, se compone de dos vertientes que se consideran imprescindibles para que los estudiantes desarrollen una nueva forma de pensamiento que les ayude a enfrentar con éxito los retos educativos, personales y sociales que se les presenten a lo largo de su vida. (Kriegler, 2007) En la primera vertiente, se incluye el desarrollo de herramientas del pensamiento matemático en las que se incluyen habilidades: de resolución de problemas, de representación y las habilidades de razonamiento cuantitativo. En la segunda, se engloban las ideas fundamentales algebraicas que representan el dominio de contenido en el que se desarrollan las herramientas del pensamiento matemático, entre las que destacan: el Álgebra como aritmética generalizada, el Álgebra como lenguaje y el Álgebra como una herramienta para las funciones y modelos matemáticos. 21.

(31) Capítulo 2 Aspectos metodológicos y objetivos del trabajo de desarrollo docente En este capítulo, hacemos una descripción de las diferentes fases a través de las cuales transitamos para realizar el diseño de la secuencia didáctica. Las fases son: Revisión bibliográfica, diseño de la secuencia didáctica, análisis de la secuencia didáctica, la puesta en escena de la secuencia didáctica y finalmente incluimos los propósitos de este trabajo de desarrollo docente.. 2.1 Aspectos metodológicos Fase I: Revisión bibliográfica En esta fase, se revisaron los antecedentes en torno a la problemática en la enseñanza y el aprendizaje del concepto potencia. Además, se analizaron las reformas vigentes en secundaria y bachillerato, por la presencia de este objeto matemático en ambos niveles educativos, con el propósito de tener los referentes curriculares. Por último, analizamos investigaciones relacionadas con las teorías generadas en el seno de la Matemática Educativa, cuyos objetivos fueron: consultar investigaciones alrededor de la problemática del álgebra y seleccionar los elementos teóricos que nos permitieran llevar a cabo y fundamentar el diseño de la secuencia didáctica. Fase 2: Diseño de la secuencia didáctica En esta etapa, se realizó el análisis del contenido matemático, el análisis cognitivo y se identificó la fenomenología para enmarcar las tareas que componen la secuencia didáctica. Además, se diseñaron ocho tareas que toman como punto de partida la resolución de problemas relacionados con los fenómenos a través de los cuales pretendemos darle sentido y significado al concepto potencia y tres tareas en contextos matemáticos para la institucionalización del conocimiento puesto en juego. Finalmente, se diseño un instrumento de diagnóstico o cuestionario con el propósito de identificar el estado cognitivo de los estudiantes en torno al concepto potencia.. 22.

(32) Capítulo 2: Aspectos metodológicos y objetivos del trabajo de desarrollo docente. Fase 3: Análisis de la secuencia didáctica En esta fase, se analizó la secuencia didáctica, con el propósito de identificar las capacidades que los estudiantes pueden poner en juego cuando trabajen las tareas, las competencias matemáticas a las que dichas capacidades pueden contribuir, establecer las posibles trayectorias de aprendizaje que los estudiantes pueden recorrer y con la información obtenida, evaluar la pertinencia de la secuencia didáctica. Finalmente, se determinaron la gestión de la clase y la estrategia didáctica. Fase 3: Puesta en escena de la secuencia didáctica En esta fase, se puso en escena la secuencia didáctica con cuatro estudiantes, de un grupo de primer semestre de un bachillerato tecnológico del subsistema CBTIS. Los propósitos del pilotaje fueron: detectar si la redacción, el lenguaje utilizado en el enunciado del problema y las preguntas planteadas para las tareas eran claras y comprensibles para los estudiantes, observar si los problemas de las tareas propuestas inducen a los estudiantes a la elaboración de tablas, diagramas o esquemas que coadyuven a la resolución del problema, detectar si los estudiantes comprenden las tareas y las preguntas y finalmente, detectar cualquier tipo de error no detectado previamente, en la redacción del trabajo, planteamiento de las preguntas propuestas, e incluso ortografía de las mismas.. 2.2 Propósitos del trabajo de desarrollo docente Este trabajo de desarrollo docente tiene como propósito general el diseño de una secuencia didáctica para promover el aprendizaje del objeto matemático potencia con base en el Análisis Didáctico. (Gómez, 2002) Objetivos específicos 1. Realizar una secuenciación de diferentes tipos de tareas que se complementen entre sí, pero que impliquen trayectorias de aprendizaje distintas; considerando los obstáculos, errores y dificultades analizados en reportes de investigación. 2. Construir el significado del objeto matemático potencia visto como una herramienta para la resolución de problemas, mediante la utilización de contextos apropiados. 23.

(33) Capítulo 2: Aspectos metodológicos y objetivos del trabajo de desarrollo docente. 3. Promover capacidades que contribuyan al desarrollo de competencias disciplinares en matemáticas en el marco de la Reforma Integral de la Educación Media Superior 2008. 4. Coadyuvar al desarrollo del pensamiento algebraico de los estudiantes.. 24.

(34) Capítulo 3 Elementos teóricos En este capítulo, se describen los elementos del análisis didáctico (Gómez, 2002), el cual seguimos como metodología para el diseño de la secuencia didáctica. Los elementos que utilizamos son: planificación de clase, currículo y significado y el análisis didáctico. En este último, consideramos los cuatro análisis que lo sustentan: el análisis de contenido, el análisis cognitivo, el análisis de instrucción y el análisis de actuación.. 3.1. Planificación de clase, currículo y significado Para que los profesores de matemáticas podamos realizar nuestro trabajo diario sistemática y reflexivamente, basándonos en un conocimiento profesional, necesitamos conocer y utilizar principios, procedimientos, herramientas y técnicas que fundamentados en la didáctica de la matemática, nos permitan diseñar, evaluar y comparar las tareas y actividades de enseñanza y aprendizaje que pueden conformar la planificación de una hora de clase o una secuencia didáctica. El análisis didáctico es una conceptualización del nivel local de la planificación de un tema matemático específico. En este nivel, el profesor debe considerar la complejidad del contenido matemático y contemplar tanto los diferentes significados de las matemáticas como la diversidad en su enseñanza. De hecho, la negociación y construcción de estos múltiples significados por parte de los alumnos, debe ser uno de los propósitos centrales de la interacción en el aula cuando el profesor propone las actividades didácticas. Por lo tanto, la calidad de su aprendizaje dependerá de la forma en que los estudiantes puedan utilizar y expresar los conceptos, a la capacidad para hacer conexiones entre diversas estructuras y utilizar diferentes procedimientos, a la gran variedad de problemas que puedan interpretar, abordar y resolver para un determinado objeto matemático(Gómez, 2002). En el análisis didáctico, los sentidos en los que se usa un concepto matemático implican, los modos en los que se establecen relaciones con otros términos conceptuales matemáticos — estructura matemática de la que el concepto forma parte y la estructura matemática que éste 25.

(35) Capítulo3: Elementos teóricos. configura—, las diferentes formas en las que el término conceptual y estas relaciones con otros conceptos se pueden representar –sistemas de representación— y los contextos, situaciones o problemas que sustentan o dan sentido al concepto –fenomenología—. En esta propuesta, el significado de un concepto matemático se organiza con base en tres dimensiones denominadas: estructura conceptual, sistemas de representación y fenomenología (Ver Figura 3.1). Estructura conceptual. Sistemas de Representación. Fenomenología. Figura 3.1: Las tres dimensiones del significado de un concepto en la matemática escolar.. Estas tres dimensiones del significado de un concepto en la matemática escolar ponen de manifiesto parte de la problemática en la planificación de clase y organizan los múltiples significados de un concepto en las matemáticas escolares.. 3.2 El Análisis Didáctico Es un procedimiento que permite organizar la enseñanza de las matemáticas y la identificación de las capacidades del profesor. En el contexto concreto de la planificación de una hora de clase o del diseño de una secuencia didáctica, el profesor puede organizar la enseñanza basándose en cuatro análisis que sustentan el Análisis didáctico (Gómez, 2002).. 3.2.1 Análisis de contenido En este análisis, el profesor identifica y organiza los múltiples significados de un concepto, tomando como referencia las tres dimensiones de un concepto en la matemática escolar y para lograrlo, el profesor debe ser capaz de: a) Recabar la información necesaria que le permita identificar los significados del concepto; b) Organizar esta información de tal forma que sea útil para la planificación; c) seleccionar, a partir de esta información, aquellos significados que él considera relevantes para la instrucción, al tener en cuenta las condiciones de los contextos sociales, educativos e institucionales; y 26.

(36) Capítulo3: Elementos teóricos. d) Seleccionar los significados relevantes para la instrucción al tener en cuenta las condiciones del contexto del aula (que surgen de la información que se obtiene del análisis cognitivo).. 3.2.2 Análisis cognitivo Para realizar el segundo análisis, el profesor describe sus hipótesis acerca de cómo los estudiantes pueden progresar en la construcción de su conocimiento sobre la estructura matemática cuando se enfrenten a las tareas que compondrán las actividades de enseñanza y aprendizaje y a partir de la información que surge del análisis de contenido, el profesor debe ser capaz de establecer: a) Las competencias que se quieren desarrollar, b) Los focos de interés que se han de tratar, c) Las capacidades que los estudiantes tienen antes de la instrucción, d) Las capacidades que se espera que los estudiantes desarrollen con motivo de la instrucción (que contribuyen a las competencias previamente identificadas y que delimitan los significados a tratar), e) Las tareas que conforman la instrucción (cuyo establecimiento involucra las capacidades que se enumeran en el análisis de instrucción), f) Las dificultades que los estudiantes pueden encontrar al abordar esas tareas, y g) Las hipótesis sobre las trayectorias por las que se puede desarrollar el aprendizaje.. 3.2.3 Análisis de instrucción En este análisis, el profesor diseña, analiza y selecciona las tareas que constituirán la secuencia didáctica objeto de la instrucción y para hacerlo, el profesor ha de ser capaz de analizar una tarea con el propósito de: a) Identificar las capacidades que se pueden poner en juego cuando los estudiantes la aborden, b) Identificar las competencias a las que esas capacidades, con la tarea en cuestión, pueden contribuir,. 27.