Inteligencia Artificial Avanzada
Problema de las n-reinas
Nicol´as Barriga Richards email:[email protected]
Nicol´as Troncoso Carr`ere email:[email protected] Valpara´ıso, 12 de abril de 2008
Resumen
Coparativa de constructores para un algoritmo GRASP. El objetivo prin-cipal de este paper es informar los resultados de experimentos hechos con algoritmos de construcci´on y establecer cual es la caracteristica que lleva m´as r´apidamente al GRASP a un resultado.
1.
Introducci´on
El problema de las n-reinas consiste en poner n reinas de ajedrez en un tablero de n por n, de tal manera que ninguna de ellas pueda atacar a otra usando las movidas est´andar de una reina de ajedrez.
Este problema originalmente propuesto en el siglo XIX se ha transformado en un “Benchmark” est´andar para probar algoritmos de resoluci´on de CSPs (Constraint Satisfaction Problem). Aunque el problema de encontrar una soluci´on ha sido re-suelto, ya que hay varios m´etodos anal´ıticos que entregan una soluci´on en tiempo lineal [1], este problema sigue siendo percibido como relativamente dif´ıcil para lo m´etodos de b´usqueda heur´ısticos.
1.1. Estado del Arte
Minton et al.[2] proponen un m´etodo de reparaci´on heur´ıstico para CSP minimi-zando conflictos. En una etapa de preprocesamiento se crea una soluci´on inicial usando un algoritmo voraz que itera a trav´es de las filas, poniendo cada reina don-de haga conflicto con la menor cantidad don-de reinas previamente puestas. En la etapa siguiente se va reparando la asignaci´on hasta encontrar una soluci´on. Para hacer una reparaci´on el programa escoge la reina que provoque mayores conflictos y la mueve a la columna (de la misma fila) donde provoque menos conflictos.
2.
Algoritmos
La implementaci´on se llevo a cabo usando algoritmos GRASP descritos en [3]. En todos ellos se uso la misma rutina de post-procesamiento. Esta rutina esta basada en la heur´ıstica de reparaci´on propuesta en [2]. Las variantes se hicieron con la modificaci´on de la rutina de construcci´on de soluciones. Se propusieron 3 rutinas las que fueron contrastadas con el enfoque de Minton.
2.1. ntroncos
Este algoritmo constructor hace lo siguiente: pone la primera reina en una fila al azar en la primera columna, luego para la siguiente columna pone una reina en la fila i al azar; si no causa conflictos con una probabilidad P, y con una probabilidad 1-P si causa conflictos. En todos los otros casos sigue buscando otra fila i.
2.2. nbarriga
Este algoritmo escoge aleatoriamente la posici´on de la siguiente reina entre las posiciones que provocan menos del 90 % del maximo de conflictos que podria producir.
2.3. alternativo
Este algoritmo fue propuesto por un compa˜nero de clase. Su proceder es el si-guiente: para la primera columna se pone una reina en una fila al azar, luego para las siguientes filas se pone una reina en la posici´on que no cause conflictos. Si hay mas de una posici´on que no causa conflictos se elige de forma aleatoria entre ellas. Cuando ya no existen posiciones que no causen conflictos el resto de las reinas es puesta de forma aleatoria.
2.4. Minton
Este constructor comienza desde la columna 1 y va poniendo la reina en la fila i que causa menores conflictos, resolviendo empates aleatoriamente.
3.
Detalles del experimento
3.1. Objetivos
El objetivo principal de los siguientes experimentos es averiguar cual de los algorit-mos de construcci´on propuestos lleva m´as r´apidamente al GRASP a un resultado.
3.2. Medidas de Desempe ˜no
El desempe˜no se medir´a en no de iteraciones, no de restarts y tiempo (en micro segundos) de ejecuci´on.
3.3. Dise ˜no y ejecuci´on
Se utilizaron 10 computadores id´enticos Pentium 4 2.8Ghz con 256Mb de RAM corriendo Linux Fedora Core 4 con kernel 2.6.13-1.1526 FC4. En cada compu-tador se ejecut´o cada algoritmo 10 veces para cada problema. Donde los problemas variaban en tama˜no desde 8 hasta 40 reinas.
3.4. An´alisis de los datos
Luego de la reducci´on de datos se calculo el promedio de cada una de las 10 prue-bas para cada tama˜no de tablero. Los datos agrupados fueron graficados para tener una mejor perspectiva de los resultados y el comportamiento comparativo entre los distintos algoritmos.
Se hizo tres gr´aficos; el primero incluye todos los resultados (figura 1), pero cuando se gr´afica el constructor de Minton este es varios ordenes de magnitud mas lento que los restantes algoritmos, por lo que es pr´acticamente la una linea en el gr´afico. En el segundo gr´afico (figura 2) se eliminan los resultados del constructor de Min-ton. En el tercer gr´afico (figura 3) se elimino tanto los resultados Minton como los resultados nbarriga.
Figura 2: Azar, Alternativo, ntroncos, nbarriga
4.
Conclusiones
Teniendo en cuenta los resultados es claro decir que los m´etodos de construcci´on azar y alternativo son ampliamente superiores en desempe˜no a los dem´as algorit-mos propuestos. Esto se puede explicar a que estos dos algoritalgorit-mos, a diferencia de los dem´as, son mucho mas exploratorios y no tienden a hacer caer al GRASP en un ´optimo local. Tomando como contra ejemplo al constructor Minton que es el mas determinista de todos, donde la ´unica variable aleatoria es en que fila de la pri-mera columna se pone la reina. De ah´ı en adelante la construcci´on de una soluci´on inicial es determinista, por esa raz´on el constructor Minton cae constantemente en ´optimos locales forzando a un restart del algoritmo completo, he ah´ı la raz´on de su pobre desempe˜no.
El desempe˜no general del m´etodo GRASP requiere que la fase de construcci´on tenga un amplio elemento aleatorio que le permita hacer exploraci´on para evitar los ´optimos locales.
Una mejora a los actuales algoritmos podr´ıa ser incorporar que la columna en la que se pone la segunda reina sea aleatoria, para dar una mayor variedad y flexibili-dad a la forma en que se construye o repara una soluci´on flexibili-dada.
Figura 3: Azar, Alternativo, ntroncos
Referencias
[1] WWW. N-queen puzzle. http://en.wikipedia.org/wiki/N-queens, 2005. [2] Steven Minton, Mark D. Johnstone, Andrew B. Philips, and Philip Laird.
Mi-nimazing conplicts: A heuristic repair method for constraint-satisfaction and scheduling problems.
[3] Mar´ıa Cristina Riff. Metaheuristica grasp.
