Taller 1 cálculo integral: Integral Indefinida. Profesor Jaime Andrés Jaramillo. UdeA dx 2. x 1.

Taller 1 cálculo integral: Integral Indefinida. Profesor Jaime Andrés Jaramillo. [email protected]. UdeA. 2017-1

1. Calcule la integral manipulando el integrando para obtener una forma que corresponda con las fórmulas básicas a)



   dx x x x x 3 4 5 2 3 6 3 4 b)



_        dx x x 4 5 3 2 4 c)



(tanx1)dx 2 d)



dx senx x sen2 e)



 

x13x2



dx _f)



sen xdx x 2 1 cos

g)





x21



3dx h)



secz(tanzsecz)dz

i)



  

x1x1dx j)



secxcotxdx _k)

_

  dx x x 1 1 3 l)



_  _dx x x 5 4 3 m)



 dx x x x5 33 4 n)



   dx x x x x 36 5 36 3 2 3 2 2 o)



 dx x x x 3 5 4 42 _p)





tanxcosx1



dx q)



[2ex





16x2



1/2]dx r)



         dx senx x sen x xcos2 tan s)



_ dx x 5 4 2 t)



 dx x x e x x 3 2 3 6 4 u)



  dx x x x x x 3 2 4 5 4 5 4 2 6 8 v)



  dx x x x 3 2 5 2

2. Calcule la integral manipulando el integrando para obtener una forma que corresponda con las fórmulas básicas a. dx x x



        4 5 3 4 3 6 b.



  dx x x x x 2 3 3 3 9 c.



  dx x x x x 2 / 3 2 / 3 2 9 5 3 2 d. dx x x



_cotcsc_1 2 3 e. dx x x x



       _ 3 3 2 7 4 _f.



senx x



dx x senx



2 2 sec tan

3. Encuentre f a) f'(x)x, f



40 b)

 

3 ) 1 ( ' , 5 1 , 7 4 5 ) ( '' 2       f f x x x f c) '()3 22,



11 3   f x x x f d) 2 ) 4 ( ; cos 5 6 ) ( ' x  e  x f  f x e) f'(x)sec2x x, f

 

0 2 f)

 

 

0 , 0 0 , cos 3 2 ) ( ''      f f t e t f t

Aplicaciones de la integral indefinida

4. Un vivero de plantas verdes suele vender cierto arbusto después de 6 años de crecimiento y cuidado. La velocidad de crecimiento durante esos 6 años es, aproximadamente, dh/dt =

1.5t + 5, donde t es el tiempo en años y h es la altura en centímetros. Las plantas de semillero miden 12 centímetros de altura cuando se plantan (t=0)

a) Determinar la altura después de t años.

b) ¿Que altura tienen los arbustos cuando se venden?

5. La tasa de crecimiento dP/dt de una población de bacterias es proporcional a la raiz cuadrada de t, donde P es el tamaño de la población y t es el tiempo en días (0≤ t ≤ 10) esto es, dP/DT= K t . El tamaño inicial de la población es igual a 500. Después de un día la población ha crecido hasta 700.Estimar el tamaño de la población después de 7 días.

Aplicaciones de la integral indefinida: Movimiento Uniformemente Acelerado (MUA)

6. Un conductor implicado en un accidente afirma que circulaba solamente a 50 km/h. Cuando la policía revisa su auto, determina que si los frenos se aplicaban a 50 km/h, el auto recorrería solamente 15m antes de detenerse. Las marcas de derrape del auto en la escena del accidente miden 72m. Suponga que la desaceleración es constante y calcule la velocidad con la que viajaba antes del accidente.

7. Los frenos de un automóvil se accionan cuando éste se mueve a 60 millas/hora (exactamente 88 pies/segundo). Los frenos proporcionan una desaceleración constante de 40 pies/segundo2. ¿Qué distancia recorre el auto antes de detenerse?

Movimiento Uniformemente Acelerado (MUA): Caída Libre

8. Cuando se arroja una piedra hacia arriba, desde el suelo, con una cauchera, la piedra alcanza una altura máxima de 400 pies. ¿Cuál era la velocidad inicial de la piedra?

9. Se arroja una pelota de béisbol hacia arriba, desde la parte superior de un edificio alto. La velocidad inicial de la pelota es 25 pies/segundo y golpea el suelo con una velocidad de 153 pies/segundo. ¿Qué altura tiene el edificio?

Sustitución o cambio de variable

10. Calcule la integral usando sustitución

a)



 y dy y 5 ) ln 1 ( 1 b)



dt t e t 2 / 1 c)



x3cos(x43)dx d)



(3x2)4dx e)



ex 1exdx f)



cotxcsc2xdx g)



  dx x x sen 2 1 1 h)

_

      dx x x sen 2  i)



e dt e t t 4 j)









dx x x 4 5 3 k)



_ x x dx ) 1 ( l)



x  dx x 1 3 3 2 2 m) ₂ 6 4 dx x x



n) 2 61 42 9 dx x x   



Integración por partes

11. Calcule la integral usando integración por partes

a)



xexdx b)



xcosxdx c)



xsenxdx d)



excosxdx e)



tan14xdx f)



sen1xdx g)



xcsc2 xdx h)







 dx x e x x 2 2 3 1 2 i)



x3e2xdx j)



(12x)senxdx k)







  dx x e x 2 / 3 2 tan 1 1 l)



_ dx x x 25 2 3 m)





3

x

3



5

x

2



x



ln

xdx

n)



5xcos(3x)dx _o)



dx x x 2 2 ln p)





ln2x



2dx q)



sen

 

lnxdx r)



xtan1xdx

s)





xlnx



2dx

12. Calcule la integral usando integración de potencias de funciones trigonométricas

a)



tan32xsec32xdx_b)

_

_   d sen cos 3 c)



tan3xsecxdx _d)

_

_dx x x 2 3 csc cot e)





_

d



sec

tan3 _f)



cos5xsen35xdx

g)



csc42



d



_h)



_            dx x x sen 3 cos 3 4 4

13. Calcule la integral usando sustitución trigonométrica

a)



 dx x x 25 162 b)



2 _2 16t t dt c)



x dx x 2 3 1 d)



 2 / 3 2 ) 1 ( t tdt e)



 dx x x2 81 9 _f)

_

 dx x x 36 2 2 g)



 dx x x2 4 _h)



 dx x x 4 1 1 2 i) _{j) k)} l) m)







_{ 2} 3/2 9 x dx

14. Calcule la integral usando fracciones parciales

a.



_) 1 (tan tan sec2 x x xdx b.



__dx x x x 1 2 4 5 2 c.



   dx x x x x 4 5 7 4 2 4 3 d.



  x x dx x x 1 4 2 3 2 e.



_ dx ex 1 1 _f.



_tanxdx g.



_{ }

 

   dx x x x 2 2 2 2 1 1 4 8 h.



_{ }dx x x x 2 32 4 2

i.



       dx x x x x x x x 4 4 13 3 13 3 2 3 2 3 4 j. k. 15. Calcule la integral: a.



    dx x x x x 6 10 4 2 3 b.



3



_

d



csc cot c.



_{ } 2 3 2 x x dx d.



 2 2 36 49 x dx x e.



_{ } 2 cos 3 2 senx x sen xdx f.



_ dx x x 2 6 3 g.



et 1e2tdt _h.



1 tdt i.





_

d



sec tan3 _j.



1cos



d



k.



_ dx x x sen cos 2 2 l.



x dx x 4 1 m.



_ dx x x(1 ) 1 n.



_{ }dx x x x 8 4 2 o.



  dx x x x 4 2 2 p.



t dt t 2 3 1 9 q.



_x23/2dx ) 25 ( 1 r.



_{ }  dy y y y 5 4 3 5 2 s.



 dy y sen1 _t.



(x21)exdx u.



ln(z1z)dz _v.



 dx x xe x 2 2 ) 1 2 ( w.



z dz z csc cot2 x.



_ dy y 1) (sec 3 2 16. Calcule la integral: a.



_ dx x x 3 2 b.



9x26x5 dx c.



 6 8 2 t t dt d.



_{ }2 1 t t dt e.



_ dr r r 2 cos 1 cos f.



dx x x)2 (ln _g.



_x5 _x3_1dx h. i.



sec12tdt, 2 1  t _{j. dx} x x x x x



4_2  2 3 1 2 3 5

k.



cos2





sen



cos





2d



_l.

_

 e dx e e x x x 2 3 2 2

m.



_ dx x x x 2 3 n.



x  dx x 1 3 3 4 o. dx x



63 2 _p.

_

   dx x x x 10 72 4 5 2 q.



 dx x x2 1 17. Encuentre f a) f'(x)x

  

65x,f110b)



3 ) 1 ( ' , 5 1 , 10 2 24 ) ( ' ' 2       f f x x x f c) f'(x)lnx3xsen2x, f

 

1 1 d) f'(x)ex4cosx, f

 

4 0 e) ,



172 13 1 ) ( '    f x x f _f)





0 , 0 0 , cos 3 2 ) ( ' '    



f f t e t f t g) ,



01 1 ) ( '    f e e x f _x x h) 4 3 , 2 2 , sec cos 2 ) ( ' 2            







f t t t x f _i) f''(x)senx,f'



01,f



06

18. Un automóvil viaja por una carretera recta muy larga. Su aceleración es:

a) () 2 2 s m t a  _b) 2 1 . 0 3 ) ( s m e t a   t _c) 2 2 . 0 5 ) ( s m e t a   t

Donde

t

se mide en segundos y

t



0

es el instante en el que inicia su recorrido cuando su velocidad

v

es

0

m

/

s

y su posición

x

es

0

m

I. Determine la función velocidad

v

del automovil

II. Determine una función para la posición

x

del automóvil III. Aceleración, velocidad y posición del automóvil para

t



10

s

19. Una partícula entra a un campo magnético como se muestra en la figura con una velocidad horizontal vx1m/s_{. El campo magnético afecta su movimiento,}

proporcionándole una velocidad vertical 

            4 cos 4 t t v_y (en m/s); t es el tiempo en

segundos. Determine a que distancia del borde inferior del campo magnético sale la partícula.

20. En cierto experimento, una partícula ubicada en un tubo de 5m se mueve de forma horizontal, manteniendo una velocidad en m/s: v

 

t 2tsen3t,(t en segundos) durante 3 segundos.

Si la partícula al iniciar el experimento se encuentra a 2m del extremo izquierdo. Determine la posición de la partícula un segundo después.

21. La aceleración de un objeto que se mueve en determinado sistema de referencia, usando las unidades del sistema internacional, está dada por:

 

t e t t a 4 1 3 _    , para 5

0t  _{. Considerando que su posición para t=1s es el origen (S(1)=0), y su velocidad}

para t=0s es v

 

0 0m/sdeterminar: a) función velocidad

b) función posición

c) aceleración, velocidad y posición para t=5s.

ALGUNAS RESPUESTAS 1. b. dxx x c x x _          



5/3 1/4 45 32 16 5 3 4 c.



(tan2x1)dxtanxc 2. b. dxx xc x x x x     



3ln 3 9 2 3 3 10. b.



dte c t e t t / 1 2 / 1 c.



x xdxsenxc 4 ) 3 ( ) 3 cos( 4 4 3 11. e.



xdxxxln(116x)c 8 1 4 tan 4 tan1 1 2 f.



sen1xdxxsen1x1x2c 12. b.



sendx 5/2 1/2c 3 ) (cos 2 ) (cos 5 2 cos









c.



xxdxsecxsecxc 3 1 sec tan3 3 13. b. c t t t t dt     



16₁₆ 16 2 2 2 c. c x x dx x x _{ } 



23/2 2 2 3 1 ) 1 ( 3 1 1

14. b. dxx x c x x x _{ }   



ln21 2 1 1 ln 3 1 2 4 5 2 c. dxx x c x x x x        



ln1 2 1 4 ln 2 3 4 5 7 4 2 2 2 4 3 e. dxx

 

e c e x x  



ln1 1 1 h. c x x x x dx x x x _        



₂2 ln 2 1 1 1 ln 2 3 2 4 2 15. b.



3





d



sen3



c 3 1 csc cot c. c x x x x dx      



ln₂1 2 3 2 f. c x sen dx x x     



3 ₃3 6 3 1 2 g. et e2tdt



sen1et et1e2t



2 1 1  



j.



1cos



d



21cos



c k. dxx xc x x sen_{ } 



2cos4ln2cos cos 2 2 n. dxxx xxxc x x x _{}  



482ln482 8 4 2 2 2 o. dxx xc x x x _{ }  



4 4 2 2 2 v. c x e dx x xex x    



₍₂₁₎2 ₄₍₂2₁₎ 2 w. dzz z zc z z    



lncsccotcos csc cot2 16. b. x c x x dx           



tan3₂1 6 1 5 6 9 1 2 c. c t t t t dt      



ln₄2 2 1 8 6 2 f. dx x c x x  



(ln)2 (ln₃)3 g.



xxdxx

 

xx35/2c 2 / 3 3 3 3 5 ) 1 ( 45 4 1 9 2 1 i.



tdtttln2t4t1c 2 1 2 sec 2 sec1 1 2 j. x xc x x dx x x x x x           



2 1 2 4 2 3 tan 2 ) 1 ln( 2 3 1 ln 2 1 2 3 5 17. b. 3 59 22 5 3 1 2 ) (xx4x3x2x f e. f(x)2x132 h.f(t)2senttant423