Tema 2: Clasificación de los problemas electromagnéticos

(1)

1

Campos

invariables

en el tiempo

Campos

variables

en el tiempo

Electrostática Div D=ρ G 0 Rot EG= Magnetostática 0 Rot HG= 0 Div BG= Campo magnético estacionario _{Rot H}Div BG=₌0_JG

G Campo cuasiestacionario _{Div B}G₌₀ Rot HG=JG B Rot E t ∂ = ∂ G G 0 Div DG= Campo general electromagnético D Rot H J t ∂ = + ∂ G G G Div DG=ρ 0 Div BG= B Rot E t ∂ = ∂ G G

Potencial magnético vector, Ley de Biot-Savart

( )

A r

G G

Ley de Coulomb

Potencial eléctrico escalar, V( )rG

Leyes de la Teoría de Circuitos Retardo t₀despreciable

Potenciales retardados, y Ecuaciones de ondas: propagación (ρ=0) y generación de campos electromagnéticos.

(Ondas electromagnéticas) 0

( ,

)

V r t t

G

−

A r t t

( ,

−

0

)

G G

2 En distribuciones: •Superficiales infinitas •Cilíndricas infinitas •Esféricas En distribuciones: •Superficiales infinitas •Cilíndricas infinitas •Esféricas

Cómo resolver el problema

¿Condiciones de contorno?

Si

No

¿Superficie Gaussiana? Si Aplicación directa En distribuciones: •Lineales o sup. finitas •Volumétricas no esféricas

En distribuciones:

•Lineales o sup. finitas

•Volumétricas no esféricas Aplicación indirecta (Ley de Coulomb)

(

1ª

Ec. de Maxwell)

¿Distribución de carga?

ULPGC-DSC-EUITT-Campos electromagnéticos

Tema 2: Clasificación de los problemas electromagnéticos

Campo electrostático

Forma integral

SD dS= vρdv

∫∫

G G

∫∫∫

w

Forma puntual_{Div D}G₌_ρ No

ES

=

Qenc

u

→

E

=

Qenc

_S

→

a

R

(

₃

)

' ( ') ' ( ) 4 ' v r r r E r dv r r ρ πε − = −

∫∫∫

G G G G G G

¿Existen otros

procedimientos?

Sí. Consiste en calcular el potencia, V, y posteriormente el campo eléctrico a partir de éste. (Ver apartatado 2.1.1) Es muy útil en ingeniería.

(2)

3

Ventajas y limitaciones de las formas integral y diferencial de la

primera ecuación de Maxwell

Campo electrostático

Ejemplo: Calcular el campo eléctrico producido por la distribución esféricas de cargas

ρ

=

ρ

₀

C/m

3

_para

_r

≤

_{a m.}

Forma diferencial

Forma integral ( ver ejemplo 1.1.)

( )

2 ( ) 2 1 1 1 r D Div D r D D Sen r r rSen θ rSen φ ρ θ ρ θ θ θ φ ∂ ∂ ∂ = ⇒ + + = ∂ ∂ ∂ G

( )

2 2 1 r Div D r D r r ∂ = ∂ G

Teniendo en cuenta la simetría esférica de la distribución de la carga, resultará que D D r a= ( )r

G G _{y por tanto,} Entonces,

_{( )}

2

_{( )}

2 2 2 03 0 1 0 0 1 2 2 1 3 3 r r r r r r C r D r D r r D C D r r r r ρ ρ ρ ρ ∂ ₌ _⇒∂ ₌ _⇒ ₌ _{+ ⇒} ₌ ₊ ∂ ∂ en la región r≤a: y en la región r>a:

_{( )}

2 2 2 2 2 2 1 0 r r r C r D r D C D r r r ∂ _{= ⇒} ₌ _⇒ ₌ ∂

Es decir, la forma diferencial requiere conocer el campo en determinados puntos para poder determinar los valores de las constantes que aparecen durante la integración (C1 y C2 este caso)

4

Teorema de Gauss en forma integral: ejemplos y aplicaciones (I)

Campo electrostático

(3)

1.-5

Teorema de Gauss en forma integral: ejemplos y aplicaciones (II)

Campo electrostático

2.-6

Teorema de Gauss en forma integral: ejemplos y aplicaciones (III)

Campo electrostático

(4)

3.-7

Campo electrostático

4.-Teorema de Gauss en forma integral: ejemplos y aplicaciones (IV)

8

Ley de Coulomb

• Se puede deducir a partir de la Ley de Gauss (Ver ejemplo 2.1)

• Necesaria en las distribuciones de carga ρ para las que no es posible encontrar superficies gaussianas

Campo electrostático

2 sdD dS⋅ = sdD dS dD⋅ = sdS dD 4 R=

π

=dq

∫∫

G G

∫∫

w

2 2 3 4 R 4 R 4 dD dq dv dv R dE a a R R R ρ ρ ε πε πε πε = = = = G G G G G

(

)

2 3 ( ') ( ') ( ) ' 4 ' R 4 ' r dv r dv dE r a r r r r r r ρ ρ πε πε = = − − − G G G G G G G G G G

(

)

3 '

( ')

'

( )

4 '

v

r

r r

E r

dv

r r

ρ

πε

−

=

−

∫∫∫

G

G G

G

G G

dEG RG dq dEG ' r G RG dq r G

• El campo dEproducido por un elemento de carga dqes:

• Si dqestá situado en la posición entonces el campo rG' dE en el punto es:rG

• Por tanto, el campo eléctrico producido por una distribución de carga ρque se extiende en un volumen v’ es:

ρ

E

_S

?

G

(5)

9

Campo electrostático

Ley de Coulomb. Ejemplos

Hallar el campo eléctrico en el eje zproducido por la distribución superficial, σs, C/m2 semiesférica de la figura

1.-

2.-R dq dE 10 r’ RA l RB ULPGC-DSC-EUITT-Campos electromagnéticos

Campo electrostático

Potencial electrostático: una consecuencia del carácter conservativo del campo

n V E g r a d V a l ∂   = ± = ±_ _ ⇒ ∂   G _G 0 / R o t EG = ⇒ ∃ V l V = ±

_∫

E d lG G

De las anteriores funciones tienen sentido físico (trabajo en el seno de E):

l

V

= −

_∫

E dl

G

Entonces,

E

G

= −

grad V

• Si la referencia de potencial se toma en RAel potencial en RBserá (Fig.I):

• Si la referencia de potencial se toma en el infinito, entonces en P (Fig II):

V P

( )

P

E dl

∞

= −

_∫

G

(

)

B A R B _R

V R

= −

_∫

E dl

G

ρ q=1 E ρ q=1 E l r’ P ∞ Fig. I Fig. II

(6)

11

Campo electrostático

Resumen de los procedimientos para obtener el potencial

Distribución de carga ¿Es aplicable el T. de Gauss?

Si

No

Sí. Resolviendo las ecuaciones

de Poisson y Laplace

Y hay otras posibilidades

?

'

( ')

4 '

v

r

V

dv

r r

ρ

πε

=

−

∫∫∫

G G

G

l

V

= −

_∫

E dl

G

12 R3 R2 R1 ULPGC-DSC-EUITT-Campos electromagnéticos

Campo electrostático

Potencial electrostático en función de la carga

' rG RG dq rG 2 4 R dQ dE a R πε = G _G 2 ( ) ( ) 4 R 4 4 dQ dq dv dV r dE a dl Cte dV r Cte R R R ρ πε πε πε ⋅ = −

_∫

G= −

_∫

⋅ G= + ⇒ =

_∫

+ G G G r r a dlG⋅ G=dl =dR

Si se toma la referencia de potencial en el infinito

Obsérvese que V1>V2> V3>V4 dq V1 V2 V3 Grad V(r=R3) - Grad V(r=R3)=E R( )3 G 2

( )

4

R v

dq dR

dq

dv

dV r

V r

R

ρ

πε

∞

⋅

= −

_∫

=

⇒

=

_∫∫∫

G

(7)

13

Campo electrostático

Cálculo del potencial en función de la carga : ejemplos (I)

1.-14

Campo electrostático

Cálculo del potencial en función de la carga ejemplos (II)

(8)

15

Campo electrostático

Cálculo del potencial en función de la carga: ejemplos (III)

3.-

2

16

Campo electrostático

( )

(

)

Div D

G

=

Div E

ε

G

=

ε

Div E

G

=

ε

Div

−

grad V

=

ρ

2

V

ρ

ε

∇

= −

2

0 V

⇒ ∇

=

' ( ') ( ) 4 ' v r V r dv r r ρ πε = −

∫∫∫

G G G G

Ecuaciones de Poisson y Laplace

Div(grad V) = Laplacianode V=

=

2_{V , entonces} (Ecuación de Poisson) _Solución:

Si

ρ

=0

(Ecuación de Laplace)

Formas explicitas de la ecuación de Laplace

(C. Cartesianas) (C. Cilíndricas)

(9)

17

Campo electrostático

Ecuaciones de Poisson y Laplace: ejemplos y aplicaciones (I)

1.

18

Campo electrostático

Ecuaciones de Poisson y Laplace: ejemplos y aplicaciones (II)

(10)

19

Campo electrostático

Ecuaciones de Poisson y Laplace: ejemplos y aplicaciones (II)

20

• Cuando no es posible encontrar un contorno de integración para aplicar directamente el Tma. de Ampere entonces como

Campo magnético estacionario y

Potencial magnético vector y Ley de Biot-Savart

Rot H

G

=

J

G

0 Div B

G

=

0 Div BG= ⇒ B Rot AG= G

(

)

Rot B Rot Rot AG= G =µJG

2 '

( ')

4

v

'

4

l

'

J r

I

dl

A

J

A

dv

r r

µ

π

∇

= −

⇒

=

−

∫∫∫

∫

G

G G

G

G G

n v l l I J dv a S dl I dl S = =

∫∫∫

G

∫

G

∫

G En conductores filiformes de sección constante

(

)

(

)

3 3 ' ' ( ') ' ' ( ') 4 v ' 4 v ' 4 l ' J r r r dl r r J r I B Rot A Rot dv dv r r r r r r µ µ µ π π π   × − × − = = _ _= = − − − 

∫∫∫



∫∫∫

∫

G G GG G G G G G G G G G G G G G

(

)

3 ' ( ') ( ') ' ' r r J r Rot J r r r r r   − = ×  ₋  −   G G _{G G} G G G G G G (Ley de Biot-Savart)

• Por otro lado

• Desarrollando e integrando con ciertas condiciones de contorno, resulta:

(11)

21

Campo magnético estacionario

Cálculo del campo magnético: ejemplos y aplicaciones (I)

• Ejercicio propuesto:

En el ejemplo anterior, calcular J, fuera y dentro del conductor: a) A partir de J= Rot H

b) A partir de J=I/S

1.-22

Campo magnético estacionario

Cálculo del campo magnético: ejemplos y aplicaciones (II)

(12)

2.-23

Campo magnético estacionario

Cálculo del campo magnético: ejemplos y aplicaciones (III)

3.-24

Campo magnético estacionario

Cálculo del campo magnético: ejemplos y aplicaciones (IV)

4.

Hallar el ampo magnético en el eje de un solenoidede longitud l, radio a y Nespiras

I

I’

N

dz espiras

l

dz

' N dz I I l =

N espiras

Longitud l

2 2 0 0 2 2 3/ 2 2 2 3/ 2 ' 2( ) 2 ( ) z a I a N I dz dB a z l a z

µ

= = + + 2 / 2 ₀ ₀ 2 2 3/ 2 2 2 1/ 2 / 2

_{2 (}

₎

₍₄

₎

l z _l

a N I dz

N I

B

l a

z

a

l

µ

−

=

+

∫

0 0 2 z z N I Si l >> a B l N I Si l a B a

µ

⇒ = << ⇒ = En el centro del solenoide:

(13)

25

Campo magnético estacionario

Cálculo del campo magnético: ejemplos y aplicaciones (IV)

En un extremo del solenoide:

En cualquier puntoz del eje: 2 0 0 2 2 3/ 2 2 2 1/ 2 0

_{2 (}

₎

₂₍

₎

l z

a N I dz

N I

B

l a

z

a

l

µ

=

+

∫

0 0 1 2 2 2 z CENTRO z CENTRO N I Si l >> a B B l N I Si l a B B a

µ

⇒ = << ⇒ = 2 2 0 2 2 3/ 2 2

( )

2 (

)

l z z _z l

a N I dz

B z

l a

z

µ

  − −_ _     − +_ _

=

+

∫

26 ULPGC-DSC-EUITT-Campos electromagnéticos

Campo magnético estacionario

Cálculo del campo magnético: ejemplos y aplicaciones (V)

5.

Calcular el campo magnético producido por del ejercicio anterior suponiendo que l>>a(solenoide largo)

b c d a c

B dl

⋅

=

a

B dl

⋅

+

b

B dl

⋅

+

c

B dl

⋅

+

d

B dl

⋅

∫

G

∫

G

∫

G

∫

G

∫

G

v

0

c a b

B dl

⋅

=

d

B dl

⋅

=

porque B

⊥

dl

∫

G

∫

G

0

b a

B dl

⋅

=

porque B = 0 en el exterior

∫

G

b c Z Z c

B dl

⋅

=

a

B dl

⋅

=

b

B dz B l

⋅

=

⋅

∫

G

∫

G

∫

v

0 c

B dl

⋅

=

µ

N I

∫

G

v

0

N I

B

l

µ

⇒ =

Entonces,

(14)

27

Campo magnético estacionario

6.

Hallar el ampo magnético en el interior de un toroidedeNespiras y por el que circula una corriente I. El radio medio del toroideR, el radio de su sección es a

Suponiendo Bsolamente en el interior y considerando el campo Bde un solenoide largo

Mas exacto resulta utilizar el Tma. De Ampere

0 0

2 N I

N I

B

l

R

µ

π

=

0 0 c Para r a≤ ⇒

_v

_∫

B dlG⋅ G= ⇒ =BG 0 a< 2 2 c c NI Para r b B dl B dl B r B a r φ µ π π < ⇒

_v

_∫

G⋅ G=

_v

_∫

⋅ = ⇒ =G G 0 ( ) 0 0 c Para r b≥ ⇒

_v

_∫

B dlG⋅ G=µN I I− = ⇒ =BG

Cálculo del campo magnético: ejemplos y aplicaciones (V)

28

Campo magnético estacionario

1

Hallar el campo Ben el centro de una bobina plana de radio interior ay exterior b conNvueltas arrolladas.

( Suponer Ngrande , el hijo muy finos y la bobina arrollada estrechamente. Repetir el ejercicio haciendo b→ay compararlo con el Bde una bobina corta)

2

Hallar el campo Ben cualquier punto del eje vertical de una arandela delagada de radio interior ay exteriorbsi esta tiene una distribución de carga estática σs C/m2y gira en torno a dicho eje con

una velocidad angular ω.

3

Se tiene una distribución de carga ρ=ρ0 r C/m3que se distribuye sobre una esfera de radio interno ay externo by que gira con una velocidad angular ω.Calcular el campo Ben el centro de la esfera

(15)

29

Campos cuasiestacionarios

El campo eléctrico inducido se obtiene aplicando la ley de Faraday:

1)En su forma puntual si hay suficientes condiciones de contorno

2)En forma integral si la simetría de Bpermite encontrar unxcontorno adecuado para la integración (Ejemplo 1.2, tema 1)

3)En su forma macroscópica para el contorno definido por un circuito determinado (2ª ley de Kirchoff)

El campo eléctrico inducido se obtiene aplicando la ley de Faraday:

1)En su forma puntual si hay suficientes condiciones de contorno

2)En forma integral si la simetría de Bpermite encontrar unxcontorno adecuado para la integración (Ejemplo 1.2, tema 1)

3)En su forma macroscópica para el contorno definido por un circuito determinado (2ª ley de Kirchoff) 0 DivBG= Rot H JG=G B Rot E t ∂ = ∂ G G 0 DivDG=

( )

D

0 J t

B t

E t

t

∂

⇒

≠

∂

( )

D

J t

t

∂

⇒

>>

∂

Es decir, la densidad de corriente de desplazamiento

es nula o despreciable frente a la de conducción En la práctica esto significa que:

Campo eléctrico inducido

30

Campo electromagnético cuasiestacionario

Potenciales electrodinámicos o potenciales retardados

Div DG=ρ D R ot H J t ∂ = + ∂ G G 0G Div BG= B Rot E t ∂ = ∂ G G 0 RotEG≠ ⇒ ≠ −EG grad V 0 Div BG= ⇒ =BG Rot AG

(

Rot A

)

₀ B A A

RotE Rot Rot E

t t t t ∂   ∂ ∂ ∂ = − = − = − ⇒ _ + _= ∂ ∂ ∂ _ ∂ _ G G G G G G Como

También se demuestra (Apdo. 2.3.1) que:

' 1 ( ', ) ( , ) 4 ' R c v r t V r t dv r r

ρ

πε

− = −

∫∫∫

G G G G ' ( ', ) ( , ) 4 ' R c v J r t A r t dv r r µ π − = −

∫∫∫

G G G G G G A A E grad V E grad V t t ∂ ∂ + = − ⇒ = − − ∂ ∂ G G G G Entonces: ( ', R) c r t

ρ

G −

'

r

G

r

G

' r rG G−

V r t

( , )

G

0 ' r r R t c c − = = G G ₁ c µε =

(16)

31

Vg VR R

Campo electromagnético cuasiestacionario

Condición de campo cuasiestacionario

( ',r t 0) ρ G − ' rG

r

G

' r rG G−

V r t

( , )

G

0 ' 0 r r R t c c − = = → G G ' 1 ( ', ) ( , ) 4 v ' r t V r t dv r r

ρ

πε

= −

∫∫∫

G G G G ' ( ', ) ( , ) 4 v ' J r t A r t dv r r

µ

π

= −

∫∫∫

G G G G G G

(

0

)

' ' r r r r

Sen t t Sen t Sen t

c c ω − = ω_ − − _= _ω ω− − _     G G G G ' ' ' 0 2 2 0 ' r r r r r r f r r c f ω π π λ λ λ − − − → ⇒ = → ⇒ − << G G G G G G G G Además, si el campo varía senoidalmente con el tiempo:

Entonces:

Div D

G

=

ρ

0 Rot E

G

=

0 Div B

G

=

Rot H

G

=

J

G

Es decir, si Jc<< JD

∼

L

V

_g

(t)=V

_R

(t)=I(t)R

I z=0 _z=L ¿ 32

Campo electromagnético cuasiestacionario

Leyes de la teoría de circuitos (I):

2 1 3 4 5

(

)

c

E dl

t

S

B dS

∂

= −

∂

∫

G

∫∫

G

v

2 3 4 5 1 2 3 4 0

1 ( )

t g

c

Edl

=

Edl

+

Edl

+

Edl

+

Edl Ir

= +

I R

+ +

_C

I t dt

∫

G

∫

G

∫

G

∫

G

∫

G

∫

v

(

_g

'

)

_g

'

c c c

dI

E

E dl

fem L

dt

=

_v

_∫

G

+

G

=

_v

_∫

G

+

_v

_∫

G

=

−

(

_g

)

dI

1

₀t

( )

fem I r

R

L

I t dt

dt

C

=

+

_∫

'

g

E

G

=

E

G

+

E

G

E

J

σ

=

G

'

A

E

grad V

t

∂

= −

−

∂

G

(17)

33

Campo electromagnético cuasiestacionario

Leyes de la teoría de circuitos (II):

(

)

0

0 D

D

Rot H

J

Div Rot H

Div J

t



∂





∂



=

_

+

_

⇒

= ⇒

_

+

_

=

∂









G

0

v s

D

Div J

dv

J

dS

t



∂





∂



+

= ⇒

+

=



_∂





_∂











∫∫∫

∫∫

G

w

1

0

n N n S n

D

J

dS

I

t

= =



₊

∂



_{= ⇒}

₌



_∂







∑

∫∫

G

w

I

1

I

₃

I

4

I

2 S

J dS

v

_t

dv

ρ

∂

=

−

∂

∫∫

G

∫∫∫

I

1

I

2 34

Campo general electromagnético:ondas

Div DG=

ρ

B

Rot E

t

∂

= −

∂

G

0 Div B

G

=

D

Rot H J

t

∂

= +

∂

G

0 Div DG=

B

Rot E

t

∂

= −

∂

G

0 Div B

G

=

D

Rot H J

t

∂

= +

∂

G

En una región alejada de la fuente

Tx

2 2 2

E

t

µε

∂

σµ

∂

∇

−

=

∂

G

2 2 2

H

t

µε

∂

σµ

∂

∇

−

=

∂

G

Ecuaciones de onda:

Función de onda:

1 2

( , )

(

)

(

)

x

E z t

=

g z kt

+

g z kt

−

1

(

)

x

E z kt

−

_{E z kt}

_x

₍

₋

₂

₎

z

E

x ULPGC-DSC-EUITT-Campos electromagnéticos

(18)

35

Electrodinámica (Planteamiento del problema)

Ecuaciones de Maxwell

Potenciales electrodinámicos

Ecuaciones de onda para E y H

Ecuación de onda homogénea

E=−gradV−Ø_ØA_t

B

=

Rot

A

E

(

r

,

t

) =

E

o

(

!

,

J

)

$

g

(

r

!

kt

)

k

(

,

"

,

*

)

Generación de ondas electromagnéticas (Antenas)

Propagación de ondas electromagnéticas •Ondas planas en medios libres (temas 4 y5) •Ondas en medios circunsterrestres (Sist de Telec) •Ondas guiadas (Medios de Transmisión)

36

Resumen

INSERTAR FORMULAS AQUÍ DEL PLONUS. ESTÁN ESCANEADAS

(19)

37

Bibliografía complementaria

“Teoría y problemas de electromagnetismo” . Joseph A Edminister. Ed. McGrawn Hill Capítulo 3 Capítulo 5, apdos 5.1 a 5.6 Capítulo 6, apdos 6.1 a 6.4 Capítulo 8 Capítulo 9 Capítulo 12 Capítulo 13 Capítulo 14, apdos 14.1 y 14.2

“Electromagnetismo aplicado” M. A. Plonus.- Ed. Reverté Capítulo 11 (apdos. 11.1 a 11.7) Capítulo 1 (apdos. 1.1. a 1.18) Capítulo 2 (apdos. 1.1. a 2.4) Capítulo 4 (apdos. 4.1 a 4.4) Capítulo 6 (apdos. 6.1 a 6.7) Capítulo 7 (apdos. 7.1 a 7.4 y 7.6) Capítulo 8 (apdo. 8.1 a 8.9) Capítulo 13 (apdo. 13.1 a 13.3)

“Campos electromagnéticos: manual de prácticas” J.M. Canino. DSC. ULPGC Práctica 1