Principios básicos de Magnetismo:

∫ ∫ ^{× ×} ₋ ⁻

= C C r r

r r l l d I d

F I

₃

' 0

' ) ' ( '

4 r r

r r r

r r

π µ

I I'

r' r

dl dl'

Ley de fuerzas de Ampère: r-r'

Principios básicos de Magnetismo:

Para circuitos filiformes:

s J lim I

s ∆

= ∆

→

∆ 0

r '

' ) ' ) (

'

4 ( ³

0 dv

r r

r r r

J

B ^{r = µ} _π ∫ vol ^{r × r r} ₋ ^{− r r}

∫ ^× ₋ ⁻

= ' 3

0

' ) ' ' (

4 '

C r r

r l r

I d

B r r

r r r

r

π

µ ^{F r = I} ∫ ^{C d l r × B r}

Definiendo: tendremos:

Teorema de Ampère:

I l d B J

B ⁼ µ ₀ ^⇒ ∫ ⁼ µ ₀

×

∇ r r r r r

I

dl

Si tenemos medios materiales imanados, definimos:

M J r _m r

×

∇

= n

M K r _m r r

×

=

si hacemos entonces,

)

0 (

0 J total J l J m

B r r r r

r × = = +

∇ µ µ B M

H r r r

−

= µ 0

J l

H r r r

µ 0

=

×

∇

Para medios lineales, isótropos y homogéneos, puede escribirse que

Por otra parte se define flujo magnético

∫

= s B r d s r Ley de inducción de Faraday: φ

dt s d

d dt B l d

d

E φ

ε = ∫ ^{r r} = − ∫ ^{r r} = − ^B

s

Se pueden definir dos tipos de potencial magnético:

Potencial vector: ^{A r = µ} ₄ ⁰ _π ^I ∫ _r ^d ₋ ^{l r} _{r '} ^{B r = ∇ × A r}

Potencial escalar _



 





+ −

= −

 

 





−

∇ + −

−

= •

Φ ∫ ∫ ∫ ∫

s v

m m

s v

r dv s r

r d dv r

r r s M r d r

n M

' '

4 1 '

' 4

1 σ ρ

π π

r r r r

r

definiendo _m M r n r _m M r

−∇

=

•

= ρ

σ

Entonces H r _{= −∇ Φ} Sólo si no hay corrientes libres

Circuitos magnéticos:

-Aproximación para el cálculo de los campos en sistemas formados por materiales de alta permeabilidad.

Aproximaciones fundamentales:

l H nI

l d

H = = ≈

∫ ^{r r ε} (Fuerza magnetomotriz)

S B s

d

s B = ≈

∫ ^{r r φ} (Flujo. Se mantiene constante)

H B r r

µ

≈ (El medio se supone lineal)

l E l

d

E = ≈

∫ ^{r r ε}

S J I s d

s J = ≈

∫ ^{r r}

E J r r

σ

≈

Circuitos Magnéticos Circuitos Eléctricos

 

 



  

  −

 +

 

=  −

ab c l bc

a R h

µ

µ 2

2

Para el sistema de la figura, por ejemplo:

Si descomponemos el sistema en bloques con secciones S _-1 -, S _-2 -,... longitudes l ₁ , l _2, ... y permeabilidades µ ₁ , µ ₂ , tendremos:

∑

=

i i i

i

S nI l

φ µ

Definiendo reluctancia como:

i i

i

i S

R l

= µ , resultará:

R R

nI

i

i φ

φ =

= ∑

Magnetismo en medios materiales:

Cada átomo de un material se comporta como fuente de campo magnético.

La razón por la que esto sucede tiene su origen en la misma estructura de la materia

Protones, electrones y neutrones poseen momento magnético intrínseco.

Además, los electrones también producen un

campo magnético “orbital”

Magnetismo en medios materiales:

Casos posibles:

à Átomos sin momento magnético intrínseco:

Al aplicar un campo externo, adquieren cierto momento magnético opuesto al aplicado.

Susceptibilidad magnética pequeña y negativa.

Una barra de vidrio diamagnético se orienta perpendicularmente al campo Susceptibilidades de algunos

materiales diamagnéticos.

Bi −1.6 Х 10 ⁻⁴ Au −3.4 Х 10 ⁻⁵ Ag −2.4 Х 10 ⁻⁵

C −2.1 Х 10 ⁻⁵

Cu −9.7 Х 10 ⁻⁶

H ₂ O −9.0 Х 10 ⁻⁶

CO ₂ −1.2 Х 10 ⁻⁸

H2 −2.2 Х 10 ⁻⁹

Imán flotando sobre una pastilla superconductora

Pastilla superconductora flotando

sobre in imán.

Grafito pirolítico sobre imanes

Imanes levitando sobre bismuto y grafito

à Átomos con momento magnético intrínseco y sin interacción:

Al aplicar un campo, adquieren cierto momento magnético del mismo sentido que el aplicado.

Susceptibilidad magnética pequeña y positiva.

A temperaturas altas y campos bajos, la susceptibilidad sigue la ley de Curie Magnetismo en medios materiales:

1 χ : T

Susceptibilidades de algunos materiales paramagnéticos.

O ₂ 1.9 Х 10 ⁻⁶ Na 8.5 Х 10 ⁻⁶ Al 2.1 Х 10 ⁻⁵

W 7.8 Х 10 ⁻⁵

O ₂ (l) 3.9 Х 10 ⁻³

Gd 4.8 Х 10 ⁻¹

Magnetismo en medios materiales:

Sin campo aplicado Con campo aplicado

à Átomos con momento magnético intrínseco y con interacción:

Interacción de canje.

Ferromagnetismo.

Magnetismo en medios materiales:

Ferromagnetismo

•Balance Energético:

•Energía de canje.

•Energía de anisotropía.

•Energía magnetostática.

Ferromagnetismo

•Balance Energético:

•Energía de canje.

•Energía de anisotropía.

•Energía magnetostática.

•Resultado:

Aparecen dominios magnéticos.

Se modifican al aplicar un campo externo.

Comportamiento: Ciclo de histéresis.

Ciclo de histéresis

Imagen de dominios en una película de hierro

Partículas monodominio Modelo de Stoner Wohlfarth

Si el tamaño de las partículas es suficientemente pequeño, no pueden formarse paredes. Para el Fe:

Espesor de las paredes = 4.2 10 ^-8 m Diámetro crítico = 2 10 ^-8 m

U K

U ^a _m mH

= = − sen

cos

2 0

µ θ θ

Suponemos H aplicado en la dirección fácil.

La energía total tiene dos componentes:

θ

-30 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270

Energía (u. a.)

-3 -2 -1 0 1 2 3

H_ex=0 H_ex=0.5 H_ex=1.5 H_ex=2 H_ex=2.5

H_ex=1

θ

-30 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270

Energía (u. a.)

-3 -2 -1 0 1 2 3

H_ex=0 H_ex=0.5 H_ex=1.5 H_ex=2 H_ex=2.5

H_ex=1

Lo que da lugar a un ciclo de histéresis rectangular:

H K

crit = 2 m µ 0

El sistema se hace inestable para un campo externo:

Si aplicamos el campo en otra dirección tendremos:

Partículas monodominio

803 10

712 5

258 1.5

0 1

Hc

c/a

Partículas superparamagnéticas:

La imanación de las partículas está sometida a fluctuaciones estadísticas de naturaleza térmica.

El volumen crítico es: con: f0 :frecuencia de Larmor (10 ⁹ s ^-1 ) t : tiempo de observación

v tf kT

p M H

s c

= ln( 2 ) 2

0

µ 0

material v _p (µm ³ ) radio (nm) γ-Fe ₂ O ₃ 0.2 15

CrO ₂ 0.09 11

Fe 0.01 6

Para t=100 s tenemos:

los tiempos usuales varían mucho:

Almacenamiento 100 años Medidas estáticas 100 s Medidas dinámicas 20 ms

O bien, para un volumen dado, la constante de tiempo de relajación será: ^{ }

 





= − ^{kT v} H M

e f

0

1 0 ) (

µ

τ

Por ejemplo, para partículas de Co, 6.8 nm 0.1 s

9.0 nm 3.2 10 ⁹ s (unos 100 años)

Comportamiento de las partículas en función de la temperatura

O de su tamaño