Introducción a las matemáticas musicales: conjuntos, grafos y cadenas de Márkov

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(2) INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS MUSICALES CONJUNTOS, GRAFOS Y CADENAS DE MÁRKOV. LEONARDO FORERO HERNÁNDEZ. BOGOTÁ D.C. UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS.

(3) UNIVERSIDAD FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS ACADEMIA SUPERIOR DE ARTES DE BOGOTÁ (ASAB) PROYECTO CURRICULAR DE ARTES MUSICALES. INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS MUSICALES: CONJUNTOS, GRAFOS Y CADENAS DE MÁRKOV. LEONARDO FORERO HERNÁNDEZ CÓDIGO: 20101098014 ÉNFASIS EN COMPOSICIÓN Y ARREGLOS. DIRECTOR DE TRABAJO DE GRADO: MTRO. LUIS FERNANDO SÁNCHEZ GOODING. MONOGRAFÍA. BOGOTÁ D.C. 24 DE OCTUBRE DE 2016.

(4) AGRADECIMIENTOS Quiero agradecer a mi maestro y amigo Luis Fernando Sánchez Gooding, quién dedico su profesionalismo, estudio y paciencia en la construcción de esta investigación. Sin sus reflexiones y sugerencias esta empresa no podría haber sido..

(5) A mis padres y hermanos, quienes son mi fuente de inspiración.. A Amalia, y su convicción en la música como un arte supremo..

(6) RESUMEN Se realizó una investigación en cuatro áreas de la matemática, que con el paso del siglo XX y XXI han resultado ser esenciales en la producción musical teórica, compositiva y analítica. Para tal fin, fue necesario el estudio bibliográfico de eminentes teóricos matemáticos y musicales que han dedicado sus reflexiones al estudio de la lógica, la teoría de conjuntos, la teoría de grafos, probabilidad clásica y las cadenas de Márkov. La importancia del estudio, yace en la necesidad de crear un texto que fundamente al estudiante de música en ejes teóricos de relevancia actual, abordando cada temática, en principio, con su aplicación inmediatamente musical, sin descuidar en segunda medida su fundamentación y enunciación matemática pura. Adicionalmente, todos los temas abordados presentan ejemplificaciones musicales que involucra literatura musical tanto de los siglos XX y XXI, como también, literatura previa al siglo XX. El resultado de esta investigación es un libro de consulta académico-pedagógico para todo tipo de público que se interese por la relación intrínseca de estos dos conocimientos, que bien, servirá como material introductorio a pilares matemáticos de la música contemporánea y que propone, por otro lado, nuevas nociones teóricas que, en todo caso, complementan las estudiadas. Palabras clave: Lógica, teoría de conjuntos, teoría de grafos, probabilidad, cadenas de Márkov, análisis musical.. ABSTRACT In this paper was carried out a research about four mathematic areas that have been demonstrated, on the course of the XX and XXI centuries, to be essential on music theory, compositional and analytical production. The investigation was developed through literature research of eminent mathematicians and musicians theorists who have dedicated their studies in logic, set theory, graph theory and Márkov chains. The reason why this study is important, is that it includes a need to create a text that teaches to the music students the theoretical axes of current relevance by approaching each theme, at first, with its musical application, without disregarding the mathematical basis and enunciation. Furthermore, all the topics discussed show musical examples of musical literature of the XX and XXI centuries, as well, prior to the twentieth century literature. The result of this research is an academic-pedagogical sourcebook for all types of audiences who are interested in the intrinsic relationship of these two knowledge and will serve as prefatory material to mathematical pillars of contemporary music and it proposes, on the other hand, new theoretical notions that, in any case, complement the studied. Keywords: Graph theory, Márkov chains, mathematical logic, musical analysis, probability, set theory.. 6.

(7) TABLA DE CONTENIDO RESUMEN ...................................................................................................................................................... 6 INTRODUCCIÓN .......................................................................................................................................... 13 CAPÍTULO PRIMERO ............................................................................................................................... 16 1.. TEORÍA DE CONJUNTOS Y GRAFOS.............................................................................................. 16 1.1. Lógica ................................................................................................................................... 16. 1.1.1. Lógica proposicional .................................................................................................... 17. 1.1.2 Propiedades en la lógica proposicional .............................................................................. 22 1.2 Teoría de conjuntos ................................................................................................................... 26 1.2.1 Definiciones, Operaciones y propiedades básicas ............................................................. 27 1.2.2 Teoría de conjuntos aplicada en la abstracción de las alturas ........................................... 31 1.2.2.1 Conjunto de alturas y operaciones.............................................................................. 31 1.2.2.2 Conjunto tónico y operaciones: .................................................................................. 38 1.2.3 Teoría de conjuntos aplicada en la abstracción del pulso.................................................. 50 1.2.3.1 Conjuntos y operaciones ............................................................................................. 51 1.3 Teoría de grafos ......................................................................................................................... 59 1.3.1 Nociones básicas de grafos ................................................................................................ 59 1.3.2 Aplicación de la teoría de grafos en la música ................................................................... 66 CAPÍTULO SEGUNDO .............................................................................................................................. 75 2.. PROBABILIDAD ............................................................................................................................ 75 2.1. Introducción a la probabilidad clásica ................................................................................. 75. 2.1.1 Conceptos elementales del análisis probabilístico............................................................. 75 2.2 Cadenas Márkov ........................................................................................................................ 82 2.2.1. Elementos formales de las cadenas de Márkov .......................................................... 82. 2.2.2 Aplicaciones musicales de las cadenas de Márkov ............................................................ 86 CONCLUSIONES ........................................................................................................................................... 97 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................................................. 99 Anexos ................................................................................................................................................... 101 1.. Factorial ..................................................................................................................................... 101. 2.. Matrices ..................................................................................................................................... 101. 3.. Algoritmos ................................................................................................................................. 104. 7.

(8) 4.. Diagramas de flujo ..................................................................................................................... 106. 5.. Sucesión ..................................................................................................................................... 110. 6.. Sumatoria y serie ....................................................................................................................... 111. 8.

(9) ÍNDICE DE TABLAS Tabla 1. Tabla de verdad de la negación. .................................................................................................... 18 Tabla 2. Tabla de verdad de la conjunción.................................................................................................. 19 Tabla 3. Tabla de verdad de la disyunción. ................................................................................................. 19 Tabla 4. Tabla de verdad del condicional. ................................................................................................... 20 Tabla 5. Tabla de verdad del bicondicional. ................................................................................................ 21 Tabla 6. Tabla de verdad para 3 proposiciones.. ........................................................................................ 22 Tabla 7. Tabla de verdad de [p ∧ (r v q)] ∧ (p ∧ q) ↔ ∼ (∼q ∨ ∼p). ............................................................. 23 Tabla 8. Simbología. .................................................................................................................................... 28 Tabla 9. Propiedades en la teoría de conjuntos.......................................................................................... 30 Tabla 10. Demostración de valor absoluto. ................................................................................................ 34 Tabla 11. Vector interválico de A: V<211110> ............................................................................................ 45 Tabla 12. Equivalencias clases-pulso........................................................................................................... 51 Tabla 13. Vectores de simultaneidad de clapping music ............................................................................ 56 Tabla 14. Mod8 de la redonda .................................................................................................................... 58 Tabla 15. Descripción de un algoritmo en lenguaje natural. .................................................................... 106 Tabla 16. Prueba de escritorio .................................................................................................................. 106 Tabla 17. Simbología básica en los diagramas de flujo ............................................................................. 107. 9.

(10) ÍNDICE DE GRÁFICAS Gráfica 1. Unión de dos conjuntos. ............................................................................................................. 29 Gráfica 2. Intersección de dos conjuntos. ................................................................................................... 29 Gráfica 3. Diferencia de dos conjuntos. ...................................................................................................... 29 Gráfica 4. Complemento de un conjunto.................................................................................................... 30 Gráfica 5. Definición de valor absoluto ....................................................................................................... 34 Gráfica 6. Diagrama de flecha de una función ............................................................................................ 35 Gráfica 7. Inversión en la recta entera ........................................................................................................ 36 Gráfica 8. Intervalos y sus inversiones ........................................................................................................ 45 Gráfica 9. Segmentación aurea en la cuantificación de transposiciones presentadas en "Canciones de Lorca" .......................................................................................................................................................... 49 Gráfica 10. Célula rítmica de clapping music. Universal Edition (1980). .................................................... 55 Gráfica 11. Inversión. .................................................................................................................................. 57 Gráfica 12. Grafo dirigido ............................................................................................................................ 60 Gráfica 13. Multigrafo. La gráfica muestra lazos en los vértices 1 y 4. Adicionalmente presenta un par de aristas múltiples (2,3) .................................................................................................................................. 60 Gráfica 14. Grafo simple no dirigido. .......................................................................................................... 61 Gráfica 15. Grafo y su respectiva matriz de adyacencia ............................................................................. 61 Gráfica 16. Grafo y su respectiva matriz de incidencia ............................................................................... 62 Gráfica 17. Subgrafo H ⊆ G ......................................................................................................................... 63 Gráfica 18. G y G ......................................................................................................................................... 63 Gráfica 19. G y G* ....................................................................................................................................... 64 Gráfica 20. Ruta Euleriana a = {4,5,7,1,6,3,8,2,11,0,9,10} ..................................................................... 65 Gráfica 21. Circuitos de Vexations .............................................................................................................. 66 Gráfica 22. Polígono de clases tónicas. ....................................................................................................... 67 Gráfica 23. Grafo (G): Relaciones interválicas a partir del conjunto de forma prima {0,1,6}. Grafo (H): Grafo dirigido del comportamiento hallado en el Canon III, Webern. C. 1-3 ............................................. 68 Gráfica 24. Grafos isomorfos de forma prima 0,2,4 y 0,2,6 ........................................................................ 69 Gráfica 25. Izquierda: estándar “Afro Blue”. The Real Book Vol1. Derecha: Grafo del comportamiento armónico ..................................................................................................................................................... 70 Gráfica 26. Grafos de funciones armónicas y clases tónicas del estándar "Afro Blue" .............................. 71 Gráfica 27. Grafo G = Vértices que comparten 0 y 1 elemento. Grafo G = vectores que comparten 2 y 3 elementos. ................................................................................................................................................... 71 Gráfica 28. Relaciones interválicas 4,3........................................................................................................ 72 Gráfica 29. Comportamiento melódico Afro Blue ...................................................................................... 72 Gráfica 30. Ejemplos de materiales rítmicos .............................................................................................. 74 Gráfica 31. Materiales tónicos .................................................................................................................... 74 Gráfica 32. Diagrama de árbol .................................................................................................................... 76 Gráfica 33. Diagrama de flujo ..................................................................................................................... 81. 10.

(11) Gráfica 34. Transiciones entre estados Xt en tiempo discreto.................................................................... 83 Gráfica 35. Diagrama de transición de la Sonata Facile - Mozart ............................................................... 85 Gráfica 36. Nube de granos en un espacio tridimensional. (Xenakis, 1992, pág.50).................................. 87 Gráfica 37. Ejemplos de pantallas en un plano (FG), (Xenakis, 1992, pág. 53). .......................................... 88 Gráfica 38. Portafolio de pantallas, (Xenakis, 1992, pág. 51). .................................................................... 88 Gráfica 39. Operación entre pantallas (Xenakis, 1992, pág. 59). ................................................................ 89 Gráfica 40. Transformación de eventos musicales (Xenakis, 1992, pág.70). .............................................. 89 Gráfica 41. Matrices de transición presentadas enAnalogique A. .............................................................. 91 Gráfica 42. Conjuntos de alturas f0 y f1 (Xenakis, 1992, pág. 98). ............................................................... 91 Gráfica 43. Conjuntos de intensidades g0 y g1 (Xenakis, 1992, pág.98). ..................................................... 92 Gráfica 44.Conjunto de densidades d0 y d1 (Xenakis, 1992, pág.99). ......................................................... 92 Gráfica 45. Combinaciones posibles de 3 conjuntos (Xenakis, 1992, pág.88). ........................................... 93 Gráfica 46. Pantallas de Analogique A (Xenakis, 1992, pág.101). ............................................................... 93 Gráfica 47. Pares de transición de matrices para la combinación (f0,g1,d1) ................................................ 94 Gráfica 48. Matriz general de transformaciones de pantallas “Z” (Xenakis, 1992, pág.89). ...................... 94 Gráfica 49. Estructura de un algoritmo ..................................................................................................... 105 Gráfica 50. Diagrama de flujo de síntesis aditiva. ..................................................................................... 109 Gráfica 52. Elementos de la sumatoria. .................................................................................................... 111 Gráfica 52. Cinco primeros parciales de la serie armónica ....................................................................... 112. 11.

(12) ÍNDICE DE ILUSTRACIONES Ilustración 1. Equivalencias numéricas de alturas ...................................................................................... 31 Ilustración 2. IV Sinfonía – Brahms. Allegro non troppo (C.1 – 2). Dover Publications .............................. 33 Ilustración 3. Kreutzer Sonata - Janáček, Adagio (C.3 – 5). Philharmonia .................................................. 34 Ilustración 4. Nocturne - Op. 9 N°. 2. Frédéric Chopin. G. Schirmer. ......................................................... 36 Ilustración 5. Minueto en G Mayor, BWV 114 (C.1-2) - J.S.Bach. Edición Ibérica....................................... 37 Ilustración 6. Inversión del Minueto en G Mayor, BWV 114 - J.S.Bach ...................................................... 37 Ilustración 7. Transposición de la inversión sobre el 2 y 3 tiempo ............................................................. 37 Ilustración 8. Conjunto tónico .................................................................................................................... 38 Ilustración 9. Requiem en D menor – Mozart, Lacrimosa (C.3). Bärenreiter-Verlag .................................. 40 Ilustración10. Farben - A. Schoenberg. C.F. Peters..................................................................................... 42 Ilustración 11. Esquema transposicional de Farben. Imagen tomada de “Basic Atonal Theory, pág. 64” John Rahn. ................................................................................................................................................... 43 Ilustración 12. Conjuntos A y B.. ................................................................................................................. 47 Ilustración 13. Permutación de los conjuntos A y B en favor de la conducción ......................................... 47 Ilustración 14. Transposición difusa en los hexacordios 11 al 14 de "Canciones de Lorca" ....................... 48 Ilustración 15. Relación entre los elementos e interválica común de los conjuntos A y B. ....................... 49 Ilustración 16. *I1. 0. ................................................................................................................................. 50 Ilustración 17. Fragmento rítmico .............................................................................................................. 51 Ilustración 18. Clases-pulso. ....................................................................................................................... 52 Ilustración 19. Tiempos de pulso Mod12 y No mod12. .............................................................................. 53 Ilustración 20. T1 y T2. Fragmento Fuga C menor BWV 871, Bach ............................................................... 54 Ilustración 21. T5 y T3 Clapping Music, Steve Reich. C. 8. ........................................................................... 55 Ilustración 22. Acentuaciones generadas en torno a las simultaneidades................................................. 56 Ilustración 23. Inversión Clapping Music. Reich. C. 4. Universal Edition (1980)......................................... 57 Ilustración 24. Negación de Q. .................................................................................................................... 59 Ilustración 25. Clases tónicas Preludio. C (1-3). Schoenberg. Universal Edition. ....................................... 64 Ilustración 26. Vexations. Satie, E. Max Esching. Conjuntos en orden normal y forma prima................... 65 Ilustración 27. III Canon. C (1-3). Universal Editions. Análisis de conjuntos de tres clases tónicas............ 67 Ilustración 28. Fragmento de la obra “…y descubrir…nuestra imagen del mundo”. Sección piano. Sánchez (2015) .......................................................................................................................................................... 73 Ilustración 29. Sonata No 15. W.A. Mozart. C. 1 - 4. Breitkopf & Härtel. Análisis armónico...................... 84. 12.

(13) INTRODUCCIÓN. No es posible un estudio musical serio sin impregnarse en mayor o menor medida con el extenso universo matemático. Desde las primeras concepciones musicales surgidas en el siglo VI (a.C.) por parte de los Pitagóricos, ya se contemplaba el sonido, como un fenómeno físico que podía ser calculado con rigor. Más allá de las nociones teóricas que brotan del pensamiento griego clásico, que en muchos casos terminan siendo problemas que atañen a la metafísica y no propiamente a la formalización matemática; si se destaca el hecho de precisar la música como un arte que contiene interiormente al número, y, por tanto, presenta relaciones armónicas con la construcción esencial de cualquier ciencia (Fubini, 1976). La importancia de las reflexiones pitagóricas y platónicas, radican en la fuerte influencia que tuvieron en pensadores medievales como San Agustín, Boecio, Casidoro y San Isidoro de Sevilla. Pensadores que comparten la visión de la música como ciencia que describe al mundo, y, por lo tanto, su estudio ha de ser imprescindible en la cátedra universitaria de la época, conocida como las siete artes liberales, divididas en dos núcleos: el Trivium y el Quadrivium 1. Por esta razón, no se trata a la música como un arte imitativo o mecánico, sino como una ciencia que contiene propiedades y dichas propiedades no son posibles de contemplar sin la razón y la abstracción de sus elementos matemáticos, pues bien proclama Casidoro en “Instituciones, 550” que: “la ciencia de la música es la disciplina que trata de los números en relación con cuanto se descubre en los sonidos”. El conocimiento musical por otro lado, gozó de ser un instrumento moldeador de los principios éticos. Platón, la consideraba como objeto de la razón y, en consecuencia, como dialéctica y sophia (Fubini, 1976). Este fundamento es principal en el sustento educacional de la vida medieval, ya que, define al hombre justo y, por ende, libre: “si nosotros vivimos virtuosamente, nos hallamos, constantemente, sometidos a su disciplina; más, si nosotros incurrimos en injusticias, entonces nos quedamos sin música” (Casidoro, 550, pág. 142). La perspectiva de la música como un arte y una ciencia necesaria en la educación, parecía entonces innegable, útil y con un estatus inamovible. Sin embargo, a partir del siglo de las luces (siglo XVIII), se produciría un sismo académico estructural generado por la ilustración; un movimiento intelectual que separó a las humanidades de las ciencias, y que pondría a la música en un vaivén o paradoja que determinó nuevos principios educativos y sociales. La paradoja se encuentra en la convivencia de dos nociones totalmente diferentes del conocimiento musical. De un lado se encontraban quienes defendían a la música como ciencia apoyados de los principios filosóficos de Pitágoras y Platón. Figuras como el compositor, teórico y clavecinista francés Jean Rameau quién junto a Rousseau formaron parte de L´Encyclopédie y formularon los conceptos 1 El Quadrivium o “cuatro caminos” agrupaba disciplinas vinculadas con las matemáticas, tales eran: la aritmética, la geometría, la astronomía y la música.. 13.

(14) musicales en el apartado imagination; apoya esta tesis dictaminando en su máxima obra “Traité de l’harmonie reduité à son principe natural, 1722”, que: “La música es una ciencia que debe tener unas reglas establecidas; estas reglas deben derivarse de un principio evidente, y este principio no puede revelarse sin la ayuda de las matemáticas”. Lejos de esto, existían aquellos defensores de la filosofía Aristotélica, en donde la música era simplemente un pasatiempo, un lujo innecesario que sólo ha de ocupar los tiempos de ocio y tiene como fin único el placer. Al mando del prestigioso filósofo y médico inglés John Locke, padre del Liberalismo Clásico, símbolo mediático de la ilustración y referente de la educación moderna en Gran Bretaña y en general figura de la nueva pedagogía en Europa, que tristemente aún se mantiene en la edad contemporánea. Defiende en su escrito “Algunos pensamientos sobre la educación, 1693” que: “Pero la música ocupa de tal modo el tiempo de un joven, aun para no llegar más que a una habilidad mediocre…He oído tan pocas veces, en la sociedad de los hombres sensatos y prácticos, alabar o estimular a alguno por la excelencia de su talento musical que, entre las cosas que pueden figurar en la lista de las artes de adorno, a la música es a la que yo atribuiría mejor el último lugar”. Sea por falta de conocimiento o por avaricia caprichosa, lo cierto es que la filosofía de Locke logro sobreponerse a siglos de vital interrelación entre música y matemáticas. Dejando a un lado y de manera arbitraria a la música en un último lugar en la jerarquía educacional contemporánea (Barenboim, 2008). Esto no puede causar más que vacíos que hoy se perciben en el famoso estereotipo contemporáneo de “Las dos culturas” descrito por el físico y novelista inglés Charles Snow, quien en “Las dos culturas y la revolución científica, 1963” sustenta que aquella ruptura (la de las ciencias y las humanidades), sólo demuestra la ausencia de una interdisciplinaridad que pone en riesgo la calidad de la educación contemporánea, de tal forma que limita la resolución de problemas globales. Estos vacíos, sin embargo, no han limitado la producción teórica, analítica y compositiva musical que ha encontrado en el último siglo diversos temas matemáticos que van más allá de la aritmética y el álgebra elemental y han descubierto, en las matemáticas discretas, el cálculo y las ciencias computacionales; aplicaciones directas y nuevos principios en los sistemas musicales. Pero ¿Cómo acceder a los nuevos planteamientos matemático-musicales, si el estudio académico musical aún se ve nublado por una ausencia interdisciplinar rezago de la herencia tradicional y obliga al estudiante a sentir temor por el lenguaje matemático? Ha de contemplarse una resolución práctica, esto es, la creación de un medio pedagógico. Un medio, claro está, que involucre la interrelación de música y matemática de una manera armónica, es decir, entendible ante los ojos del lector pero que no caiga en un conocimiento superficial y tampoco en un código indescifrable. Para ello, se ha dispuesto primero una linealidad en los temas de estudio que aborda esta tesis (lógica, teoría de conjuntos, teoría de grafos, probabilidad clásica y cadenas de Márkov) y segundo de su fundamentación matemática seguida de su aplicabilidad musical, de modo que se vaya sugiriendo poco a poco en el lector, el gusto por el lenguaje matemático y lo sienta útil, puesto que se demuestra su funcionalidad en su campo de estudio principal: la música.. 14.

(15) Tanto la fundamentación matemática como musical, se ha nutrido de bibliografía especializada y representativa en los temas que atañen a este estudio. Y se ha pensado siempre en las preguntas que pueden surgir en torno a conceptos previos, por lo que se dispone de una serie de anexos que ayudarán a resolver cualquier problema de fundamentación precedente a cada tema. De este modo solo se recomienda como requisito a priori a este estudio, conocer los enunciados básicos de aritmética que se cree han sido adquiridos a través de la educación primaria elemental. Ha de tenerse la certeza de que este escrito solo hace parte de la recuperación fraternal entre la música y la matemática, que, por razones ajenas a su comportamiento intrínseco se han divido injustamente. Pero no debe dudar en ningún momento el lector que es uno de los temas más relevantes de la actualidad, y que, por ello, se presta para la investigación y el debate. Su necesidad es inmediata y pone en manifiesto una nueva perspectiva que bajo ningún concepto puede ignorar el estudioso de la música. Por el contrario, debe tomar como natural y propia del que hacer musical.. 15.

(16) CAPÍTULO PRIMERO. 1. TEORÍA DE CONJUNTOS Y GRAFOS 1.1 LÓGICA La Real Academia Española define la palabra lógica 2 como la “ciencia que expone las leyes, modos y formas de las proposiciones en relación con su verdad o falsedad”. Sin embargo, antes de engendrarse las ideas revolucionarias de eximios teóricos entre los siglos XIX y XX como Boole (Análisis matemático de la lógica, 1847), Frege (Notación conceptual, 1879), y, Russel y Whitenhead (Principia Mathematica, 1920) que dan lugar a la lógica matemática y por tanto categoría de ciencia formal; la lógica tiene su origen en la argumentación Aristotélica (Palau, 2014). La lógica aristotélica se fundamentaba en silogismos 3 representados en lenguaje natural, esta, aunque permitía generar argumentos formales; no cumplían un modelo formalista. El gran respeto de la obra de Aristóteles llevo incluso que, a finales del siglo XVIII, aunque una crítica entorno a su sistema lógico ya había sido generada en los trabajos de A. Arnauld y P. Nicole “La logique et l´art de penser, 1662”; el propio Kant se pronunciara al respecto determinándola como “una ciencia terminada” (Barker, 1991). No más alejado de la realidad se encontraría aquella afirmación apresurada del filósofo alemán, pues a menos de medio siglo de distancia el matemático inglés autodidacta George Boole no sólo generalizaría la teoría de los silogismos, si no que determinaría nuevos esquemas y estructuras algebraicas, todas ellas en función de los principios enunciados en la lógica proposicional. Una nueva dimensión conceptual aparecería a principios del silgo XX, formulada por los matemáticos ingleses Bertrand Russel y Alfred North Whitenhead delimitarían el alcancé de la lógica clásica y darían inicio a las concepciones modernas de la lógica (que bien expresa Barker: “de ninguna manera contradice la lógica aristotélica tradicional”) dando como resultado la sistematización del conocimiento matemático de su época en base a un conjunto de axiomas o principios lógicos.. 2 La palabra lógica procede de la raíz griega λoγλογική (logike), cuyo significado se puede interpretar como «intelectual, dialéctico, argumentativo». Esta última a su vez proviene de λόγος (logos), que quiere decir «palabra, pensamiento o razón». 3 Un silogismo es un modelo de razonamiento en donde la inferencia de su conclusión depende de la evaluación previa de dos premisas.. 16.

(17) 1.1.1. Lógica proposicional. Podemos entender la lógica proposicional como un sistema formal encargado de evaluar, operar y hallar el valor de verdad de una o más proposiciones. Como sistema dispone de un lenguaje simbólico (desarrollado en primera instancia por Gottfried Leibniz) el cual está constituido por constantes (llamados conectores lógicos u operacionales) y variables (valores de verdad) para cada proposición dada. Adicional a esto, está compuesto por un conjunto de axiomas 4 que establecen el fundamento de las reglas de inferencia 5. El estudio del cálculo proposicional es de vital importancia en la composición algorítmica del siglo XX y XXI. Su utilidad se puede hallar desde las definiciones y axiomas encontrados en la teoría de conjuntos hasta su implementación en cualquier lenguaje de programación, por ejemplo, Pure Data. Esto último debido a que las ciencias de computación se desarrollan a partir de sistemas binarios (trabajan únicamente con dos niveles de voltaje 0 o 1), y por ende su manera de pensar o lógica digital se fundamenta a su vez en la lógica binaria o bivalente 6, es decir, admitiendo únicamente dos valores discretos: verdadero o falso. Así pues, es deber nuestro no solo entender este lenguaje, si no, beneficiarnos de él para interactuar de manera óptima con las teorías surgidas a partir de su concepción.. Proposición: Una proposición en lógica binaria o bivalente es una sentencia que puede tener criterios de verdad (v) o falsedad (f) pero no los dos. Su forma de representación está dada por cualquier letra del alfabeto en minúscula (p, q, r, etc.).. Proposición atómica: Una proposición atómica (simple), es aquella que solo contiene una única variable proposicional.. Ejemplo: p = La suma de los ángulos internos de un triángulo en geometría euclidiana es siempre 180°. (v) q = Una quinta justa es un intervalo musical compuesto por 5 semitonos. (f). 4 Un axioma es una proposición que se considera como verdadera sin demostración previa, es decir, una verdad evidente. Si bien, hasta el mediados del siglo XIX se creía que un axioma era apriorísticamente verdadero, la teoría moderna rechaza tal definición y promulga que: “Los axiomas han de cumplir sólo un requisito: de ellos, y sólo de ellos, han de deducirse todas las demás proposiciones de la teoría dada.” (Diccionario soviético de la filosofía, 1965). 5 “Deducir algo o sacarlo como conclusión de otra cosa.” (Real Academia Española) 6 Para efectos prácticos de esta monografía, la lógica bivalente será nuestro eje de estudio. Sin embargo, cabe destacar que hay otros modelos lógicos más complejos, como, por ejemplo, la lógica difusa. Este modelo de pensamiento establece un número de valores de verdad infinitos, como respuesta a problemas en los que no es suficiente una respuesta cerrada como: si o no.. 17.

(18) r = J.C. Mutis formo parte de la Real Expedición Botánica del Nuevo Reino de Granada. (v). Proposición Molecular: Una proposición molecular (compuesta), es aquella que presentan conexiones y operaciones lógicas entre 2 o más variables proposicionales, su valor de verdad estará dado siempre en función del conector lógico que las integre. Ejemplo: p = Existe música tonal, modal, atonal, dodecafónica, serialista, concreta y estocástica. q = Si hace frío entonces me pongo un suéter.. Tablas de verdad: Una tabla de verdad es un espacio en el cuál se consignan los diferentes valores de verdad que pueden surgir entorno a una o más operaciones en las variables proposicionales.. Negación: La negación, denotada como “∼” o “¬”. Es una operación que puede darse tanto en proposiciones atómicas como moleculares. Su función está dada como el cambio de valor de verdad en la proposición inicial. Es decir, la proposición es verdadera cuando su negación es falsa y viceversa.. p. ∼p. V F. F V. Tabla 1. Tabla de verdad de la negación.. Ejemplo: p = Un violín tiene 5 cuerdas. (F) ∼p= Un violín no tiene 5 cuerdas. (V) Lo que nos muestra la tabla básicamente es que cuando p sea verdadera, ∼p es falsa y cuando p sea falsa, ∼p es verdadera. Esta forma de lectura será siempre la misma para todos los casos que se verán en este capítulo.. 18.

(19) Conectores lógicos: Un conector lógico es una constante que relaciona dos o más variables lógicas de una manera específica, con el fin de obtener diferentes valores de verdad. Los principales conectores lógicos se explican a continuación.. Conjunción: Una conjunción, denotada como “∧” y expresada en lenguaje natural como “Y”. Es verdadera en tanto todas las proposiciones sean verdaderas. Por lo tanto, diremos que es verdadera si p y q son verdaderas.. p. q. p∧q. V V F F. V F V F. V F F F. Tabla 2. Tabla de verdad de la conjunción.. Ejemplo: p = Un acorde disminuido contiene un intervalo de tercera menor respecto a su nota base. (V) q = Un acorde disminuido contiene un intervalo de tritono respecto a su nota base. (V) Entonces. p ∧ q = Un acorde disminuido contiene un intervalo de tercera menor y tritono respecto a su nota base. P. ∧. q. Disyunción: Una disyunción, denotada como “∨” y expresada en lenguaje natural como “o”. Es verdadera en tanto una de las proposiciones sea verdadera. Por lo tanto, diremos que es verdadera si p o q son verdaderas.. p. q. p∨q. V V F F. V F V F. V V V F. Tabla 3. Tabla de verdad de la disyunción.. 19.

(20) Ejemplo: p = Una escala mayor contiene intervalos mayores. (V) q = Una escala mayor contiene intervalos justos. (V) Entonces. p ∨ q = Una escala mayor contiene intervalos mayores o justos. P. ∨. q. Condicional: Un condicional, denotado como “→” y expresado en lenguaje natural como “entonces”. Es falso solo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda preposición o conclusión es falsa.. p. q. p→q. V V F F. V F V F. V F V V. Tabla 4. Tabla de verdad del condicional.. Ejemplo: p = Es una tonalidad menor. (V) q = El acorde del primer grado es menor. (V) Entonces. p → q = Si es una tonalidad menor entonces el acorde del primer grado es menor. P. q. →. Bicondicional: Un bicondicional, denotado como “↔” y expresado en lenguaje natural como “si y sólo si”. Es verdadera sólo cuando las proposiciones tienen igual valor de verdad, de lo contrario es falsa.. p. q. p↔q. V V. V F. V F. 20.

(21) F F. F V. V F. Tabla 5. Tabla de verdad del bicondicional.. Ejemplo: p = El contrapunto es de tercera especie. (V) q = En el contrapunto se oponen cuatro notas de igual valor contra una que tiene el mismo valor de la suma de las cuatro contrapuestas. (V) Entonces. p ↔ q = El contrapunto es de tercera especie si y sólo si en él se oponen cuatro notas de igual valor p. ↔. q. contra una que tiene el mismo valor de la suma de las contrapuestas.. Hemos dedicado nuestro estudio a evaluar únicamente dos variables proposicionales, sin embargo, un problema puede contener un número x de variables proposicionales, todas en cuyo caso han de ser potencia de 2 (ya que solo es posible obtener dos valores de verdad). Por ende, diremos que las interpretaciones posibles son de 2𝑛𝑛 ; siendo n el número de variables proposicionales. Por ejemplo, si quisiéramos saber el número de interpretaciones cuando tenemos 3 variables proposicionales (p, q y r); diremos que: 23 = 2 x 2 x 2 = 8 Ejemplo: Proposición molecular: Si a partir de una nota x hay un intervalo diferente de unísono y un intervalo diferente de unísono y p, si y solo si, es un tricordio. Al descomponerla encontraremos las siguientes proposiciones atómicas: p = A partir de una nota x hay un intervalo diferente de unísono. q = A partir de una nota x hay un intervalo diferente de unísono y p. r = Es un tricordio. Como podemos observar en la tabla 6; lo primero es hallar los valores de verdad para la contingencia “p ∧ q” y así operarla con los valores de r mediante el conector lógico “↔”, con ello hallaremos los valores de verdad del enunciado.. 21.

(22) Cuando todas las conclusiones sean verdaderas diremos que se trata de una tautología, si por el contrario todas llegasen a ser falsas diremos que es una falacia. En este caso puesto que hallamos conclusiones verdaderas y falsas diremos que es una contingencia.. p. Q. r. p∧q. p ∧ q↔ r. V V V V F F F F. V V F F V V F F. V F V F V F V F. V V F F F F F F. V F F V F V F V. Contingencia. Tabla 6. Tabla de verdad para 3 proposiciones. Elaboración propia.. 1.1.2 Propiedades en la lógica proposicional Aunque emplear tablas de verdad es efectivo para hallar todos los diferentes índices de verdad respecto a un enunciado; su empleo puede ser tedioso en problemas en los cuales hay un número de variables proposicionales o conectores lógicos elevado. Consideremos el siguiente ejemplo: Problema No.1: Halle si el siguiente enunciado es tautología, contingencia o falacia: [ p ∧ (r v q)] ∧ (p ∧ q) ↔ ∼ (∼q ∨ ∼p) 7. Lo primero que se nos viene a la cabeza es realizar la tabla de verdad con las 3 proposiciones (p, q y r), posteriormente desarrollar el primer corchete empezando primero con la disyunción de los paréntesis 8 hallado los valores de vedad para “(r v q)” y operar con los valores de “p” mediante una conjunción. Adicional a eso debemos encontrar los valores de verdad de la conjunción “(p ∧ q)” y conjugarla con los 7 Es de vital importancia entender que la lógica inicialmente tuvo como objeto abstraer ciertas características del mundo real para su posterior estudio de verdad. Con el tiempo se convirtió en un sistema formal el cuál solo le interesa el estudio de la semántica, las relaciones, operaciones y conclusiones generadas a partir de las premisas de dicho metalenguaje. Es decir, una inferencia es admisible en tanto su estructura lógica sea correcta y no por su contenido argumentativo o conceptual (Audi, 1999). 8 El orden de las operaciones propuesta en algebra siempre dictamina desarrollar primero el contenido de paréntesis o corchetes, luego exponentes (potencias o raíces), seguido de multiplicación o división y por último adición y substracción.. 22.

(23) valores obtenidos de “[ p ∧ (r v q)]”. Por último, nos encargaremos de averiguar los valores de verdad de la disyunción “(∼q ∨ ∼p)” y negarla “∼ (∼q ∨ ∼p)”, para por fin descubrir cuáles son los valores de verdad del bicondicional “[ p ∧ (r v q)] ∧ (p ∧ q) ↔ ∼ (∼q ∨ ∼p)”. p. q. r. V. V. V. V. V. F. V. F. V. V. F. F. F. V. V. F. V. F. F. F. V. F. F. F. (r ∨ q) V V V F V V V F. [p∧(r∨q)] (p ∧ q) V V V V V F F F F F F F F F F F. [p∧(r∨q)]∧(p∧q) (∼q∨∼p) ∼(∼q∨∼p) V F V V F V F V F F V F F V F F V F F V F F V F. [p∧(r∨q)] ∧ (p∧q) ↔ ∼(∼q ∨ ∼p) V V V V V V V V Tabla 7. Tabla de verdad de [p ∧ (r v q)] ∧ (p ∧ q) ↔ ∼ (∼q ∨ ∼p). Elaboración propia.. Solución: Tautología Parece un proceso extenuante, ¿y si la próxima vez no son 3 variables, si no, 6?, o si ¿en vez de 7 conectores lógicos son 14? Parecería una tarea que nadie le gustaría hacer. ¿Y si hubiera una manera de simplificarlo todo? Pues bien, las propiedades son exactamente axiomas que nos servirán para solucionar este tipo de problemas, y no solamente en lógica, si no como veremos más adelante es aplicable también en teoría de conjuntos y en general, a diferentes concepciones músico-matemáticas del siglo XX y XXI, como por ejemplo, los planteamientos musicales del teórico y compositor norteamericano David Lewin sobre la teoría de grupos.. 23.

(24) Negación de la negación: La negación de una proposición negada es equivalente a la afirmación de la proposición. •. ∼(∼p) ↔ p. Nota: El símbolo “↔” en una demostración formal, se entiende como “si y solo si se sustituye por...».. Identidad: Una proposición en conjunción o disyunción a sí misma es equivalente a la misma proposición. • •. p∧p↔p q∨q↔q. Ley de absorción: Si una proposición “x” está conjugada a una disyunción en la cual “x” también es un elemento; esto es equivalente a decir solo “x”. • •. p ∧ (q ∨ p) ↔ p q ∧ (q ∨ p) ↔ q. Conmutativa: Cualquiera que sea el orden de dos variables proposicionales en una operación lógica no afecta el resultado. • •. p∧q↔q∧p p∨q↔q∨p. Asociativa: No importa cómo se agrupen los elementos cuyo operador lógico es el mismo (conjunción o disyunción); el resultado es siempre igual. • •. p ∧ (q ∧ r) ↔ (q ∧ p) ∧ r p ∨ (q ∨ r) ↔ (q ∨ p) ∨ r. Distributiva: Una proposición “p” conjugada a la disyunción de “q” y “r”; es equivalente a la conjunción de “p” y “q” disjunta a la conjugación de “p” y “r”. El mismo procedimiento es realizable en el caso contrario.. 24.

(25) • •. p ∧ (q ∨ r) ↔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r). Leyes de Morgan 9: Primera ley: La negación de la disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones. •. ∼(p ∨ q) ↔ ∼p ∧ ∼q. Segunda ley: La negación de la conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones. •. ∼(p ∧ q) ↔ ∼p ∨ ∼q. Solución del enunciado aplicando propiedades: Una vez estudiado las propiedades más importantes de la lógica proposicional; las utilizaremos ahora en el “Problema No. 1”, y veremos si es posible llegar a la misma conclusión mostrada en la tabla 7.. [p ∧ (r ∨ q)] ∧ (p ∧ q). ↔. ∼ (∼q ∨ ∼p). Enunciado original. Distributiva [(p ∧ r) ∨ (p ∧ q)] ∧ (p ∧ q) ↔ ∼(∼q ∨ ∼p) Absorción p∧q. Morgan ↔. p∧q. Tautología. Vemos como de manera elegante y breve llegamos a la misma conclusión aplicando propiedades y evitando el uso de tablas de verdad que pueden resultar más significativas cuando la conclusión sea una contingencia, en tanto queramos saber qué casos en particular son verdaderos y falsos.. 9. Su nombre proviene del célebre matemático y lógico indio Augustus de Morgan (1806 - 1871).. 25.

(26) 1.2 TEORÍA DE CONJUNTOS Antes del siglo XX la teoría de conjuntos se consideraba el estudio matemático de entes llamados conjuntos. Los conjuntos contienen una colección de elementos que también son conjuntos, a la vez que el conjunto que los contiene es en sí mismo un elemento de un conjunto mayor. Dicha teoría surgiría de una de las mentes más brillantes del siglo XIX; el matemático ruso George Cantor 10. En la formulación de su teoría, la cual se conoce con el nombre de “Teoría Intuitiva de Conjuntos” (pues pretende formalizar las nociones matemáticas de su época acerca de la definición de conjunto); Cantor partió de los siguientes 3 enunciados: I: “Un conjunto es una reunión de objetos que cumplen con cierta propiedad (llamados los elementos de ese conjunto) y que, por tanto, queda definido por tal propiedad” II: “Un conjunto es una sola entidad matemática, de modo que puede a su vez ser contenido por otro conjunto” III: “Dos conjuntos que tengan los mismos elementos son iguales. Así, puede decirse que un conjunto está determinado por sus elementos” Esta teoría si bien contenía inconsistencias en su presentación, generando contradicciones que ni el mismísimo matemático y lógico alemán Gottlob Frege pudo solucionar 11; abrió un nuevo eje de estudio matemático en torno a la descripción de una teoría que buscara mediante principios axiomáticos, la definición formal de la noción de conjuntos (Lewin, 2010). Actualmente la “Teoría Axiomática de Conjuntos” propuesta por el alemán Ernst Zermelo y mejorada por su compatriota Adolf Fraenkel, es la más aceptada y utilizada en cuanto que soluciona las paradojas de la teoría de conjuntos clásica. Justamente es a partir de ella que realmente trasciende la teoría de conjuntos de un mero lenguaje para expresar conceptos de manera simplificada (operaciones entre conjuntos: unión, intersección, relación, etc.) 12; a ser en primera medida una basé óptima para fundar la matemática y en segunda medida un tema de investigación profundo dentro de la matemática (Lewin, 2010).. Cantor no solo generó la axiomática de los conjuntos; igualmente es conocido por sus nociones del concepto de infinito e infinitos, su máxima “hay infinitos más grandes que otros” puede ser entendida mediante el estudio de su conjunto llamado “Conjunto de Cantor”; subconjunto fractal nulo, no vacío y no numerable del intervalo real [0,1] (Galaviz, 1996). 11 “No hay menos apetecible para un hombre de ciencia, que el que cuando está a punto de terminar su obra, se le derrumben sus cimientos”, con esta trágica sentencia termina el segundo volumen de la obra de Frege, obra que pretendía completar la iniciada por Cantor, pero que en su estructura interna no pudo solucionar las contradicciones. Justamente antes de salir a la imprenta, el matemático B. Russell le escribiría una carta a su colega en lo que hoy se conoce como la “paradoja Russell”, con la cual destruiría totalmente la formulación de Frege, que por motivos externos a la rigurosidad científica no pudo más que anexar su confesión a un trabajo que ya no podría ser detenido y que pronto saldría al mundo académico con verdad nula. 12 Lewin es muy claro al afirmar que el modelo educacional llamado “New Math” desarrollado en las décadas de los 60 y 80, tergiverso y enfoco negativamente la manera de ver la teoría de conjuntos. Debido a que quienes la enseñaban no conocían su profundidad; terminó siendo parte de la educación pre-universitaria como un ítem previó al estudio del álgebra, dando como resultado una malformación conceptual de un tema tan profundo y hermoso como lo es la teoría de conjuntos. 10. 26.

(27) 1.2.1 Definiciones, Operaciones y propiedades básicas Al igual que en nuestro estudio de lógica, la teoría de conjuntos tiene una serie de definiciones, operaciones y propiedades análogas. Cada una conlleva a un lenguaje del cual nos iremos relacionando conforme avancemos en su estudio.. 1 - Definiciones básicas Conjuntos: Los conjuntos, denotados por letras mayúsculas (A, B, C, etc.) son colecciones de objetos o elementos específicos reales o imaginarios, generalmente delimitados por el uso de llaves o corchetes “{}”. Es posible describir el contenido de un conjunto de dos maneras diferentes. I. II.. Por enumeración = Se enumeran cada uno de los elementos. Por descripción = Se describe de manera formal el contenido del conjunto. Ejemplo. A = {Todos los intervalos simples} 1. 1. A = {0T, T, 1T, 1 T, 2T, …6T} 2. Siendo T = tono.. 2. A = {x / 0T ≤ x ≤ 6T}. Enumeración. Descripción. Lo que nos quiere decir la descripción es que el conjunto A es igual a todos los x, tal que x es mayor o igual a 0T y menor o igual a 6T. En palabras coloquiales, que A es igual a todos los intervalos desde unísono hasta octava justa. Para mayor claridad, se muestra la tabla 8 la cual contiene los símbolos más recurrentes en teoría de conjuntos.. Símbolo > < ≥ ≤ = ≠. Significado mayor que menor que Mayor o igual que Menor o igual que igual diferente. 27.

(28) ∈ ∉ “/” o “:” |. pertenece No pertenece Tal que. ∧ ∨ → ↔ ∀ ∃ ∃!. y o Implica que Si y solo si Para todo Existe Existe un único. Tabla 8. Simbología. Elaboración propia.. Conjunto universal: Un conjunto universal es aquel que contiene los demás conjuntos a tratar en una situación determinada, generalmente se representa mediante la letra U. Conjunto vacío: Un conjunto vacío denotado como “A = {∅}”; es por definición, un conjunto que no contiene elementos. Subconjunto: Un subconjunto denotado por “⊆”, es un conjunto A en el cual todos sus elementos hacen parte de los elementos de B, por tanto, A⊆B. Igualdad: Sean dos conjuntos iguales, cuando uno de ellos contiene exactamente los mismos de elementos del otro sin importar el orden de sus elementos, por tanto, A = B.. 2- Operaciones básicas. Unión: La unión de dos conjuntos A y B denotada como “A∪B”, es un nuevo conjunto que contiene todos los elementos de A y B. Su descripción formal es: A ∪ B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B}. La unión en conjuntos es el análogo a la disyunción en lógica. Su representación en diagramas de Venn se muestra en la gráfica 1.. 28.

(29) Gráfica 1. Unión de dos conjuntos.. Intersección: La intersección de dos conjuntos A y B denotada como “A∩B”, es un nuevo conjunto que contiene los elementos compartidos de A y B. Su descripción formal es: A ∩ B = {x / x ∈ A ∧ x ∈ B}. La intersección en conjuntos es el análogo a la conjunción en lógica. Su representación en diagramas de Venn se muestra en la gráfica 2.. Gráfica 2. Intersección de dos conjuntos.. Diferencia: La diferencia de dos conjuntos A y B denotada como “A − B”, es un nuevo conjunto que contiene los elementos que pertenecen a A pero no a B. Su descripción formal es: A − B = {x / x ∈ A ∧ x ∉ B}. Su representación en diagramas de Venn se muestra en la gráfica 3.. Gráfica 3. Diferencia de dos conjuntos.. 29.

(30) Complemento: El complemento de un conjunto “A” denotado como “A´”, es un conjunto cuyos elementos no hacen parte de A, pero está contenido en el universal. Su descripción formal es: A´ = {x / x ∈ U ∧ x ∉ A}. El complemento en conjuntos es el análogo a la negación en lógica. Su representación en diagramas de Venn se muestra en la gráfica 4.. Gráfica 4. Complemento de un conjunto.. 3- Propiedades básicas. Al igual que las propiedades estudiadas en el apartado de lógica; la teoría de conjunto se vale de las mismas para la demostración de enunciados. Dichas propiedades se muestran en la siguiente tabla:. Leyes de Morgan (A ∪ B)´ = A´ ∩ B´ (A ∩ B)´ = A´ ∪ B´ Conmutativa A∪B=B∪A A∩B=B∩A. Doble complemento 13 (A´)´= A Asociativa A ∪ (B ∪ C) = (B ∪ A) ∪ C A ∩ (B ∩ C) = (B ∩ A) ∩ C. Absorción A ∩ (B ∪ A) = A A ∪ (B ∩ A) = A Distributiva A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Identidad A∪A=A A∩A=A Definición de vacío y universal A ∪ A´ = U A ∩ A´= {∅}. Tabla 9. Propiedades en la teoría de conjuntos. Elaboración propia.. 13. El doble complemento en teoría de conjuntos es análogo a la negación de la negación en lógica proposicional.. 30.

(31) 1.2.2 Teoría de conjuntos aplicada en la abstracción de las alturas En la década de los años 60´s y 70´s la teoría de conjuntos vio nacer sus fundamentos en el campo teórico de la música. El trabajo Howard Hanson “Harmonic materials of modern music, 1960” introdujo la noción de conjuntos en la música tonal, mientras Milton Babbitt en “Set Structure as Compositional Determinant, 1961” y “The Structure and Funtion of Music Theory, 1965” hizo lo propio en la música dodecafónica y serialista. Sin embargo, no fue sino hasta 1973, que el músico teórico y musicólogo americano Allen Forte formalizó en “The estructure of Atonal Music” los procesos más sólidos y estructurados de la teoría, perfeccionada posteriormente en 1980 por John Rahn en “Basic Atonal Theory”; obra que aún hoy permanece como un pilar inamovible en el estudio de la teoría de conjuntos y de la cual basaremos parte de nuestro estudio.. 1.2.2.1 Conjunto de alturas y operaciones 14: Conjunto de alturas: Defínase como un conjunto cuyos elementos son alturas, entendidas como notas musicales (Rahn, 1980). Equivalencias numéricas de alturas: Las equivalencias numéricas de alturas son entidades virtuales (representaciones numéricas) obtenidas a partir de la abstracción de objetos reales (notas musicales). Estas abstracciones son fundamentales para el estudio objetivo y estructurado en torno a las relaciones y operaciones que pueden realizarse entre los conjuntos tónicos. Por tanto, a cada nota musical corresponde un único número que a su vez le representa en el conjunto U de clases tónicas. Por convención, se ha asignado el valor de 0 al do central 15, esto es, C4 como eje en la recta entera finita de intervalo [-39,49] (tomando como referencia el registro total de un piano).. Ilustración 1.Equivalencias numéricas de alturas. Elaboración propia. Algunos conceptos estudiados en la operación de conjuntos musicales, difieren de las definiciones matemáticas. Un claro ejemplo de esto se puede encontrar en las operaciones de transposición e inversión, que en matemáticas son análogas a las operaciones de translación y reflexión. 15 Sin embargo, es muy común encontrar que el eje “0” puede variar, por ejemplo, F = 0. Esto se debe principalmente a una tradición compositiva a priori de las nociones y enunciados formales, es decir, antes de la oficialización teórica. 14. 31.

(32) Por tanto, se puede definir formalmente el conjunto universal de alturas (entendido como el conjunto que contiene todas las equivalencias numéricas de alturas) como: CUA = {x / x ∈ ℤ ∧ -39 ≤ x ≤ 49}. Con el fin de afianzar la aplicación de las operaciones, desarrollaremos el siguiente ejercicio el cual también es posible demostrar mediante el empleo de propiedades básicas de conjuntos. Ejemplo: Dados los siguientes conjuntos de alturas: U 16 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {3, 7, 9} B = {0, 1, 5, 6, 8} C = {2, 4, 6, 8} D = {9} Demuestre mediante operaciones y propiedades la siguiente igualdad: [(A´∪ B)´ ∪ A]´ ∩ A = {∅} Empezaremos demostrando mediante operaciones si se cumple o no la igualdad. A´ = {0,1,2,4,5,6,8} A´∪ B = {0, 1, 2, 4, 5, 6, 8} (A´∪ B)´ = {3,7,9} (A´∪ B)´ ∪ A = {3, 7, 9} [(A´∪ B)´ ∪ A]´ = {0, 1, 2, 4, 5, 6, 8} [(A´∪ B)´ ∪ A]´ ∩ A = {∅}. Por tanto, se cumple la igualdad.. Ahora lo haremos a través de propiedades y veremos si llegamos a la misma conclusión. [(A´∪ B)´ ∪ A]´ ∩ A = {∅}. Enunciado original. Morgan [(A´)´∩ B´) ∪ A]´ ∩ A = {∅} Doble negación. Entiéndase el conjunto tónico “U”, como el conjunto universal de un problema específico que a su vez es subconjunto del conjunto universal tónico definido como “CUA”, talque U ⊆ CUT.. 16. 32.

(33) [(A ∩ B´) ∪ A]´ ∩ A = {∅} Absorción [A]´ ∩ A = {∅} Definición de vacío {∅} = {∅}. Por tanto, se cumple la igualdad.. Como vemos, las propiedades al igual que en lógica son muy útiles para demostrar formalmente si un enunciado se cumple o no, evitando la comprobación operacional.. Intervalos: El estudio de los intervalos tiene por objeto encontrar relaciones matemáticas de distancia entre conjuntos compuesto por dos alturas. Simbolizado como “ip 17 <a,b>” (Rahn, 1980), donde a y b son variables de equivalencias numéricas de alturas, los intervalos pueden ser representados de manera ordenada y no ordenada.. Intervalo ordenado: Representado mediante la fórmula “ip<a,b> = b – a” (Rahn, 1980); un intervalo es ordenado cuando se ha obtenido la diferencia de b – a. Ejemplo: Consideremos el siguiente motivo melódico encontrado en el I movimiento “Allegro non troppo” de la IV sinfonía del compositor alemán Johannes Brahms:. Ilustración 2. IV Sinfonía – Brahms. Allegro non troppo (C.1 – 2). Dover Publications.. Encontramos los siguientes intervalos ordenados: i. ii.. ip<23,19> = 19 - 23 = -4 ip<16,24> = 24 - 16 = 8. IP = “pitch intervals” (intervalos de tono).. 17. 33.

(34) Lo que nos dice el resultado (-4 y 8) es la distancia en semitonos de los intervalos a tratar y su dirección; esto es, ascendente cuando el valor sea positivo y descendente cuando sea negativo.. Intervalo no-ordenado: Representado mediante la fórmula “ip(a,b) = |b – a|” (Rahn, 1980); un intervalo es no-ordenado cuando se obtiene el valor absoluto 18 de la diferencia de b – a. Considérese además la siguiente definición de valor absoluto (Stewart, 2012):. Gráfica 5. Definición de valor absoluto. Elaboración propia.. Nótese como este y en general todos los axiomas, teoremas, enunciados, etc., matemáticos se valen de los principios lógicos (que hemos estudiado previamente) para su constitución. En este caso podemos visualizar (tabla 10) rápidamente el uso del condicional para el enunciado de los dos casos, que nos demuestra que el valor absoluto de | a | siempre es positivo.. Caso 1: Si “a” es mayor o igual de 0 entonces “a”.. Caso2: Si “a” es menor de 0 entonces “-a”.. Cuando a = 2. Entonces: | a | = a = 2.. Cuando a = -5. Entonces: | a | = - (a) = -(-5) = 5. Tabla 10. Demostración de valor absoluto. Elaboración propia.. Analicemos la siguiente célula melódica del I movimiento “Adagio” contenido en el cuarteto de cuerdas No.1 “Kreutzer Sonata” de Leoš Janáček.. Ilustración 3. Kreutzer Sonata - Janáček, Adagio (C.3 – 5). Philharmonia.. Hallamos los siguientes intervalos ordenados y no ordenados: 18 El valor absoluto de un número, representado como | a |, es siempre una cantidad positiva. Entiéndase en música como la distancia interválica de un punto “a” a un punto “b”, sin importar su dirección.. 34.

(35) i. ii. iii. iv. v. vi. vii.. Ordenado: ip<-8,-1> = -1 – (-8) = -1 + 8 = 7. Ordenado: ip<-1,-1> = -1 – (-1) = -1 + 1 = 0. Ordenado: ip<-1,-2> = -2 – (-1) = -2 + 1 = -1. Ordenado: ip<-2,-2> = -2 – (-2) = -2 + 2 = 0. Ordenado: ip<-2,-1> = -1 – (-2) = -1 + 2 = 1. Ordenado: ip<-1,-6> = -6 – (-1) = -6 + 1 = -5. Ordenado: ip<-6,-8> = -8 – (-6) = -8 + 6 = -2.. No ordenado: ip(-8,-1) = |-1 – (-8)| = No ordenado: ip(-1,-1) = |-1 – (-1)| = No ordenado: ip(-1,-2) = |-2 – (-1)| = No ordenado: ip(-2,-2) = |-2 – (-2)| = No ordenado: ip(-2,-1) = |-1 – (-2)| = No ordenado: ip(-1,-6) = |-6 – (-1)| = No ordenado: ip(-6,-8) = |-8 – (-6)| =. |7| |0| |-1| = -(-1) = | 1 | |0| |1| |-5| = -(-5) = | 5 | |-2| = -(-2) = | 2 |. Lo practico al hallar el valor absoluto de una serie de intervalos; es la cuantificación de recurrencia de un intervalo x. En este caso vemos como el intervalo 0 y 1 fueron los más reiterados con un total de 2 apariciones cada uno.. Transposición de alturas: Entiéndase la transposición como un proceso de metamorfosis que sufre una altura para convertirse en otra. Denótese como “Tpn = x + n” ó “Tp-n = x - n”, donde “x” es la equivalencia de altura y “n” es la cantidad medida en semitonos que se adicionan o restan a “x” 19 (Rahn, 1980). En términos matemáticos se puede considerar la transposición como una función (denotada como “f”), es decir, una regla o proceso en la que un elemento “x” de un conjunto A tiene una única imagen o correspondencia matemática de un elemento del conjunto B denotado como “f(x)”. El siguiente diagrama de flechas (figura 6) nos muestra mejor el concepto de función.. Gráfica 6. Diagrama de flecha de una función. Elaboración propia.. El conjunto A le llamaremos dominio de la función y lo entenderemos como una variable independiente, es decir, su valor no depende de otra variable. Por otro lado, al conjunto B de la función lo llamaremos rango y lo entenderemos como una variable dependiente, esto debido a que su resultado depende del elemento del conjunto A y del proceso que se le aplique a dicho elemento, se denota como a → f(a).. Tp-n se considera también como la operación inversa de la transposición, es decir, el procedimiento utilizado para llegar al conjunto o altura original a partir de su transposición.. 19. 35.

(36) Ejemplo: Realizar Tp7 y Tp-3 al siguiente fragmento melódico:. Ilustración 4. Nocturne - Op. 9 N°. 2. Frédéric Chopin. G. Schirmer.. Tp7 = 10 + 7 = 17. Tp-3 = 10 – 3 = 7. Dominio Rango Tp7 = 19 + 7 = 26 Tp7 = 17 + 7 = 24 Tp7 = 15 + 7 = 22. Tp-3 = 19 – 3 = 16 Tp-3 = 17 – 3 = 14 Tp-3 = 15 – 3 = 12. Se consigue con esto transformar el conjunto A = {10,19,17,15} a dos nuevos conjuntos: Tp7 B = {17,26,24,22} y Tp-3 C = {7,16,14,12} 20. Siendo esta la manera matemática de representar mediante conjuntos las modulaciones musicales.. Inversión: La inversión de una altura denotada como “Ipx = -x” (Rahn, 1980), donde x representa la altura; es un proceso en el cuál una altura positiva tiene su contraparte negativa y viceversa, tomando como eje a 0 = C4. Veámoslo mejor en la siguiente ilustración:. Gráfica 7. Inversión en la recta entera. Elaboración propia.. 20 Los elementos de los conjuntos fueron ordenados teniendo en cuenta su presentación en la obra. Si se quisiera ordenar de cualquier otra forma; de ninguna manera presentaría un problema, ya que por definición: el orden de los elementos de un conjunto no altera el conjunto. Sin embargo, puesto que se quiere mantener el contorno melódico original; es fundamental para este objetivo mantener el orden de presentación original.. 36.

(37) Ejemplo: Invierta el siguiente motivo melódico encontrado en el “Minueto en G mayor, BWV 114” del libro de Ana Magdalena de Johann S. Bach.. Ilustración 5. Minueto en G Mayor, BWV 114 (C.1-2) - J.S.Bach. Edición Ibérica.. Ip14 = -14, Ip7 = -7, Ip9 = -9, Ip11 = -11, Ip12 = -12. Dándonos como resultado la siguiente sucesión melódica, que no es más que los mismos intervalos en dirección opuesta cuyo eje es 0, o en términos familiares una modulación con contorno melódico invertido:. Ilustración 6. Inversión del Minueto en G Mayor, BWV 114 - J.S.Bach. Elaboración propia.. Transposición de la inversión: La transposición de la altura denotada como “TpnI = -x + n” ó “Tp-nI = -x - n” (Rahn, 1980), donde x es altura y n cantidad de semitonos a adicionar o restar. Es como vimos anteriormente, la transformación de una altura en otra. Esta vez realizada sobre la inversión. Ejemplo: Tomemos como conjunto el gesto melódico descendente realizado por corcheas del 2 y 3 tiempo obtenido del Minueto de Bach y realicemos sobre este Tp6I: A = {-7,-9,-11,-12}. Tp6I. B = {-1,-3,-5,-6}. Tenemos como resultado el conjunto B = {-1,-3,-5,-6} que se muestra en la siguiente ilustración:. Ilustración 7. Transposición de la inversión sobre el 2 y 3 tiempo. Elaboración propia.. Alturas que se pueden encontrar en exactamente los mismos tiempos (2 y 3) del compás número 15 del minueto, a excepción que se encuentran 1 octava arriba. Por tanto, tanto la transposición, inversión y transposición de la inversión son tremendamente útiles no solo para el análisis, si no, para la arquitectura. 37.