Capitulo 5 Modelo RBC con trabajo variable *

(1)

Hamilton Galindo

Arizona State University (ASU) [email protected]

Alexis Montecinos

Massachusetts Institute of Technology (MIT) [email protected]

Borrador: 8 de julio de 2017

´ Indice

1. Introducci´on 3

2. Elementos del modelo 4

2.1. Construcci´on del modelo . . . 4

2.1.1. Familias . . . 4

2.1.2. Empresas . . . 7

2.1.3. Equilibrio de mercado y definicion del choque . . . 8

2.1.4. Sistema de ecuaciones principales . . . 9

2.2. Calibraci´on . . . 9

2.3. Estado estacionario . . . 9

2.4. Log-linealizaci´on . . . 13

2.5. Soluci´on del sistema lineal . . . 18

2.5.1. M´etodo de coeficientes indeterminados . . . 18

2.5.2. Soluci´on obtenida de Dynare . . . 28

3. Análisis de la solución del modelo 30 3.1. Análisis de los coeficientes de la solución . . . 30

3.1.1. Efectos de δ . . . 30

3.1.2. Efectos de γ_n . . . 35

3.1.3. Efectos de φ . . . 41

3.2. Funciones impulso-respuesta . . . 45

3.2.1. ¿C´omo reacciona la econom´ıa ante un choque de productividad? . . 45

3.3. Comparaci´on modelo te´orico con los datos . . . 46

*Disclaimer: cualquier error u omisi´on es responsabilidad de los autores.

(2)

plique los datos? . . . 46 3.3.2. ¿Se necesita que la oferta de trabajo sea muy el´astica para que el

modelo replique los datos? . . . 48

4. C´odigos 51

5. Anexos 53

(3)

Este cap´ıtulo tiene dos objetivos. El primero es extender el modelo del cap´ıtulo 4 al considerar que el trabajo es variable. Esta extensión permite entender el rol que jue- ga el mercado de trabajo en los ciclos económicos. El segundo objetivo es comparar el desempeño del modelo de Long y Plosser (1983), desarrollado en el cap´ıtulo 3, con los dos modelos de Campbell (1994): el modelo con trabajo fijo, desarrollado en el cap´ıtulo 4 y el modelo con trabajo variable, desarrollado en este cap´ıtulo. Una ventaja del modelo de este cap´ıtulo es que bajo el supuesto de elasticidad de sustitución del trabajo igual a uno y depreciación total, se puede obtener el modelo de Long y Plosser (1983); es decir, este último modelo es un caso particular de un modelo más general descrito en este cap´ıtulo.

Con estos objetivos en mente, este cap´ıtulo tienedos secciones importantes. En la primera sección se describe los elementos del modelo; es decir, se describe el comportamiento de las familias, las empresas, el equilibrio de mercado y el choque de productividad como también se especifica el sistema de ecuaciones que resume el modelo. Además, se asigna los valores a los parámetros (calibración), se calcula el estado estacionario y se log-linealiza el sistema de ecuaciones. Finalmente, se resuelve dicho sistema por el método de coeficientes indeterminados, el cual fue explicado en el cap´ıtulo 4.

En la segunda sección se analiza la solución del modelo. Este análisis comprende la sen- sibilidad de los coeficientes de la solución ante distintos valores de los parámetros profundos del modelo. La idea detrás de este análisis es evaluar como responde la solución del modelo cuando los parámetros cambian. Una conclusión de este análisis es, por ejemplo, que los coeficientes de la solución asociados al stock de capital no es sensible al parámetro de persistencia del choque φ. Además, en esta sección se calcula la función impulso-respuesta ante un choque de productividad. Finalmente, se realizan dos análisis: el primero evalúa la necesidad que el choque de productividad sea significativo para que el modelo RBC tenga la capacidad de replicar los datos. El segundo evalúa la importancia de la elasticidad de la oferta de trabajo en mejorar la capacidad del modelo en replicar los datos.

(4)

2.1. Construcci´on del modelo 2.1.1. Familias

En este modelo se asume que la econom´ıa está poblada por un conjunto de familias idénticas que tienen vida infinita. Estas familias obtienen bienestar del consumo de bienes (ct) y de las horas de ocio (lt). Estas preferencias se reflejan en la siguiente función de utilidad:

u(c_t, h_t) = ln(c_t) + θ(1 − h_t)^1−γⁿ 1 − γn

Donde θ representa la valoración que el consumidor brinda al ocio en su función de utilidad, y γn representa la inversa de la elasticidad de sustitución del trabajo y también representa, como se verá más adelante, la inversa de la elasticidad de la oferta de trabajo (elasticidad de Frisch). Además, la dotación de horas totales que dispone la familia se normaliza a uno, de tal forma que la distribución del tiempo cumple con la siguiente restricción:

l_t+ h_t= 1

Donde h_t son horas destinadas al trabajo y l_t son horas destinadas al ocio. Dado que las familias tienen expectativas racionales y son optimizadoras, entonces estas maximizan su funci´on de utilidad esperada descontada representada por:

{ct,hMaxt,kt+1}^∞_t=0E₀

∞

X

t=0

β^t

ln(c_t) + θ(1 − h_t)^1−γⁿ 1 − γ_n

(1) Las familias deben de elegir la senda temporal óptima de ct, ht y kt+1. De otro lado, la restricción presupuestaria de la familia está definida por la siguiente expresión:

ct+ it= wtht+ rtkt (2)

Donde:

i_tes la inversi´on, con cual la familia acumula stock de bienes de capital que a su vez alquila a las empresas.

w_t representa el salario real.

r_tes la tasa de alquiler del capital que pagan las empresas.

Además, se supone que las familias son dueñas de los bienes de capital en la econom´ıa, por lo cual deben de invertir (i_t) para ofrecer capital en “t+1”. La ecuación de movimiento del capital es:

k_t+1= (1 − δ)k_t+ i_t (3)

Problema de optimizaci´on de la familia

(5)

{c_t,hMaxt,kt+1}^∞_t=0E₀

∞

X

t=0

β^t

ln(c_t) + θ(1 − h_t)^1−γⁿ 1 − γ_n

ct+ it= wtht+ rtkt

k_t+1= (1 − δ)k_t+ i_t Funci´on de Lagrange y condiciones de primer orden

Al observar las dos restricciones se puede concluir que ambas podr´ıan convertirse en una sola restricción. Para ello se despeja la inversión itde la ecuación de movimiento del capital y se reemplaza en la restricción presupuestaria. De esta forma se obtiene la siguiente única restricción:

c_t+ k_t+1= w_th_t+ (r_t+ (1 − δ))k_t (4) Dada esta única restricción y la función objetivo, entonces la función de Lagrange estar´ıa definida por la siguiente expresión:

L = E₀

^∞ X

t=0

β^tu(c_t, ht) + λt(wtht+ rtkt− c_t− k_t+1+ (1 − δ)kt)

Las condiciones de primer orden son las siguientes:

∂L

∂ct

= 0 =⇒ 1 ct

+ λt(−1) = 0 (5)

∂L

∂h_t = 0 =⇒ −θ

(1 − h_t)^γⁿ + λt(wt) = 0 (6)

∂L

∂kt+1

= 0 =⇒ Etλ_t(−1) + βλt+1(rt+1+ (1 − δ)) = 0 (7) Condici´on Intratemporal : es representada por la oferta de trabajo, la cual se obtiene de la ecuaci´on (5) y (6):

θ(1 − h_t)^−γⁿ = w_t

c_t (8)

Condici´on Intertemporal: es representada por la ecuaci´on de Euler, la cual indica la senda

´

optima del consumo. Esta se obtiene de (5) y (7):

1 ct

= βE_t

1 ct+1

[r_t+1+ (1 − δ)]

(9) La ecuación (8) y (9) representan las dos principales ecuaciones de comportamiento de las familias. Una de estas ecuaciones es la oferta de trabajo, la cual está influenciada por el parámetro γ_n. La inversa de este parámetro es conocido en la literatura como la elasticidad de Frisch de la oferta de trabajo, la cual se detalla a continuación.

Elasticidad Frisch de la Oferta de Trabajo (EFOT): es el cambio porcentual en la oferta de trabajo ante un cambio porcentual en el salario real manteniendo la utilidad marginal del consumo constante. Adem´as, la EFOT mide el efecto sustituci´on que un cambio en

(6)

deriva de la sustitución intratemporal entre el consumo/ocio. El cálculo de la EFOT tiene tres pasos, los cuales se describen a continuación:

Paso 1: se calcula la diferenciaci´on total de la oferta de trabajo (8) del cual se obtiene la ecuaci´on (10):

θ(1 − ht)^−γⁿ = wt

ct

Aplicando : Diferenciaci´on total θ(−γ_n)(1 − h_t)^−γⁿ⁻¹(−∆h_t) = c_t∆w_t− w_t∆c_t

c²_t Ordenando los t´erminos :

θ(1 − ht)^−γⁿ γn

(1 − ht)∆ht = ∆wt

ct

−wt

ct

∆ct

ct

Por la oferta de trabajo : θ(1 − h_t)^−γⁿ = wt

c_t wt

c_t γn

(1 − h_t)∆ht = ∆wt

c_t −wt

c_t

∆ct

c_t γ_n ∆h_t

(1 − ht) =

∆wt

ct −^w_c^t

t

∆ct

ct

wt

ct

γ_n ∆h_t

(1 − h_t) = ∆w_t w_t −∆c_t

c_t γn

ht

h_t

∆ht

(1 − h_t) = ∆wt

w_t 1 − ∆ct/ct

∆w_t/w_t

γn

h_t 1 − ht

∆h_t ht

= ∆w_t wt

1 − ∆c_t/c_t

∆wt/wt

∆h_t/h_t

∆wt/wt

= 1

γn

1 − h_t ht

1 − ∆c_t/c_t

∆wt/wt

e^hw_t = 1

γ_n

1 − h_t h_t

[1 − e^cw_t ] (10)

Donde, e^hw_t representa la elasticidad de la oferta de trabajo con respecto al salario real (_∆w^∆h^t^/h^t

t/wt); de otro lado, e^cw_t es la elasticidad del consumo con respecto al salario real (_∆w^∆c^t^/c^t

t/wt).

Paso 2: seg´un la definici´on del la “Elasticidad de Frisch”, la utilidad marginal del consumo se mantiene constante, lo cual indica un nivel de consumo fijo invariante ante cambios en el salario real, por lo cual la e^cw_t seria igual a cero.

Paso 3: finalmente la EFOT queda representada por la siguiente expresi´on:

1 1 − h

(7)

t n

dera que γ_n es la inversa de la elasticidad de Frisch (EFOT).

En el modelo RBC, una mayor elasticidad de Frisch (menor γ_n) amplifica más el choque de productividad. Es decir, la oferta de trabajo más elastica incrementa más el trabajo y por ende el producto en t.

Elasticidad de sustituci´on intertemporal del trabajo: la tasa marginal de sustituci´on (T M gS_1,2) indica la cantidad del bien 1 que se esta dispuesto a ceder si se incrementa en una unidad el bien 2 manteniendo constante el nivel de utilidad.

T M gS_1,2 = ∂x₁

∂x₂ = −U M g₂ U M g₁

De otro lado, la elasticidad de sustituci´on (ES_1,2) mide la facilidad de sustituir un bien con respecto a otro; adem´as, mide la curvatura de la curva de indiferencia y por tanto la sustituibilidad entre bienes.

ES1,2 = ∂ln(x1/x2)

∂ln(T M gS_1,2)

Asimismo, cabe mencionar que la elasticidad de sustituci´on se observa en dos dimensiones:

Cuadro 1: Elasticidad de sustituci´on

Intratemporal (ct, lt) Intertemporal (ct, ct+1) T M gSI_c_t_,l_t = −^{U M g}_{U M g}^l

c T M gSI_t+1,t^c = −E_t

U M g_ct βU M g_ct+1

ESI_c_t_,l_t = ∂ln(T M gSI^∂ln(c¹^/l^t_ct,lt⁾ ) ESI_t+1,t^c = ∂ln(T M gSI^∂ln(c^t+1^/c_t+1,t^c^t⁾ )

Aplicando el caso intertemporal para la oferta de trabajo se obtiene la elasticidad de sustituci´on intertemporal del trabajo (ht, ht+1):

T M gSI_t+1,t^h = −Et

1 β

1−ht

1−ht+1

−γ_n

ESI_t+1,t^h = −_γ¹

nE_t

1−ht+1

ht+1

Según la expresión de ESI_t+1,t^h , el parámetro γnse puede considerar como la inversa de la elasticidad de sustitución intertemporal del trabajo. En este escenario la elasticidad de Frisch y la ESI_t+1,t^h son similares.

2.1.2. Empresas

En este modelo se asume que las empresas se desarrollan en un contexto de competencia perfecta tanto en el mercado de bienes como en el mercado de factores de producci´on. En este escenario, la empresa representativa maximiza su funci´on de beneficios sujeta a su

(8)

siguiente manera:

{ktMax,ht}^∞_t=0 Π_t= y_t− [w_th_t+ r_tk_t] Sujeto a la funci´on de producci´on o tecnolog´ıa disponible:

y_t= a_tk_t^αh^1−α_t (12)

La función de producción se puede reemplazar en la función de beneficios π_t permi- tiendo que el problema de optimización se redusca a uno sin restricciones:

{kMax_t,ht}^∞_t=0 Π_t= a_tk_t^αh^1−α_t − [w_th_t+ r_tk_t] (13) Derivando directamente la funci´on objetivo, ecuaci´on (13), con respecto al capital k_t y al trabajo h_t se obtiene:

∂Πt

∂k_t = 0 =⇒ a_tαk^α−1_t h^1−α_t − r_t = 0 αa_tk^α_th^1−α_t

kt

= r_t Demanda del capital :

αyt

kt

= rt (14)

∂Πt

∂ht

= 0 =⇒ at(1 − α)k_t^αh^−α_t − w_t = 0 (1 − α)atk^α_th^1−α_t

h_t = w_t Demanda del trabajo :

(1 − α)y_t ht

= w_t (15)

2.1.3. Equilibrio de mercado y definicion del choque

Para completar el modelo es necesario agregar dos ecuaciones. La primera ecuación hace referencia al equilibrio en el mercado de bienes, la cual está descrito por la siguiente expresión:

yt= ct+ it (16)

La segunda ecuaci´on describe el comportamiento de la “productividad”, que se com- porta como un AR(1):

ln(a) = φln(a ) + , ∼ N (0, σ²) (17)

(9)

El cuadro [2] muestra las ecuaciones que describen el comportamiento ´optimo de las familias como de las empresas; asi tambi´en indica las ecuaciones de equilibrio de mercado y del comportamiento de la productividad. Todo este conjunto de ecuaciones forman un sistema que representa al modelo RBC con trabajo variable en l´ınea con Campbell (1994).

Cuadro 2: Sistema de ecuaciones no lineales principales

Ecuaciones Descripci´on

1

ct = βEt

1

ct+1[rt+1+ (1 − δ)]

Ecuaci´on de Euler rt= α^y_k^t

t Demanda del capital

θ(1 − ht)^−γⁿ = ^w_c^t

t Oferta de trabajo

h_t= (1 − α)_w^y^t

t Demanda de trabajo

yt= atk^α_th^1−α_t Funci´on de producci´on y_t= c_t+ i_t Equilibrio mercado de bienes kt+1= (1 − δ)kt+ it Ley de movimiento del capital lnat= φlnat−1+ t Choque de productividad

2.2. Calibraci´on

Los valores de los parámetros corresponden a la calibración de Campbell (1994) excepto el valor de θ que ha sido tomado de Prescott (1986). El cuadro [3] muestra los valores asociados a los parámetros.

Cuadro 3: Calibraci´on

Par´ametro Observaci´on

α = 0.333 Proporci´on del capital en el ingreso nacional

γ_n= 0.25 Inversa de la elasticidad de Frisch (valor para simular) δ = 0.025 Corresponde a una depreciaci´on del 10 % anual

θ = ₁₋ = 2 es el tiempo productivo orientado a actividades no-mercado ρ = 0.95 La productividad es estacionaria

β = 0.984

σ = 0.01 Desviaci´on est´andar del choque de productividad

2.3. Estado estacionario

Se conoce como equilibrio de largo plazo donde ∆x_t= 0 (para todas las variables del modelo) y que el choque de productividad (εt) toma su valor promedio (= 0). Además, dada la ecuación de movimiento de la productividad, su valor de estado estacionario es a = 1. Asimismo, las expectativas desaparecen, por ello se le conoce como solución no estocástica. Cabe mencionar que hallar el estado estacionario es un paso previo a la log- linelización. En el cuadro [4] se escribe las ecuaciones principales del modelo en su versión de estado estacionario.

(10)

Ecuaciones Descripci´on [1] rss= α^y_k^ss

ss Demanda del capital

[2] _c¹

ss = β

1

css[r_ss+ (1 − δ)]

Ecuaci´on de Euler [3] θ(1 − h_ss)^−γⁿ = ^w_c^ss

ss Oferta de trabajo [4] hss= (1 − α)_w^y^ss

ss Demanda de trabajo

[5] yss= assk^α_ssh^1−α_ss Funci´on de producci´on [6] y_ss= c_ss+ i_ss Equilibrio mercado de bienes [7] kss= (1 − δ)kss+ iss Ley de movimiento del capital [8] lnass= φlnass+ valor medio Choque de productividad

De la ecuación 8 del cuadro [3] se obtiene que el único valor que resuelve la expresión lna_ss = φlna_ss es a_ss = 1. Asimismo, de la ecuación 2 se obtiene la tasa de interés en estado estacionario:

r_ss= 1

β − (1 − δ) (18)

De la ecuaci´on 7 se obtiene el ratio inversi´on/capital en estado estacionario:

iss

kss

= δ (19)

De la ecuaci´on 1, que describe la demanda de capital, se obtiene el ratio producto/capital en estado estacionario:

yss

kss

= rss

α (20)

De la ecuaci´on 5, luego de considerar que ass= 1, se obtiene:

y_ss kss

= h_ss kss

1−α

(21) Dado que en la ecuaci´on (20) se encontr´o el valor del ratio yss/kss, entonces:

hss

k_ss = rss

α

_1−α¹

(22) Los elementos de la ecuaci´on 6, que expresa el equilibrio en el mercado de bienes, puede ser dividida por el valor del capital en estado estacionario (k_ss):

y_ss k_ss = c_ss

k_ss + i_ss

k_ss (23)

De la ecuación (19) se sabe que el ratio i_ss/k_ss es igual a δ. Además, por la ecuación [21] se tiene que el ratio yss/ksses igual a ^r_α^ss. Bajo estos valores, la ecuación (23) quedar´ıa descrita por:

(11)

ss ss

css

kss

= rss

α − δ (25)

De otro lado, diviendo los dos lados de la ecuaci´on de la demanda de trabajo [ecuaci´on 4] por el valor del capital en estado estacionario se tiene:

h_ss kss

= (1 − α) y_ss wsskss

(26) De esta ecuaci´on se despeja el salario real en estado estacionario wss:

wss= (1 − α)

yss

kss

hss

kss

(27) Adem´as, de la ecuaci´on (22) se sabe que el ratio h_ss/k_ss es una constante y es igual a

_R_ss

α

_1−α¹

. Asimismo, por la ecuaci´on 20 se tiene que el ratio yss/kss es igual a ^r_α^ss. Estos dos valores permiten obtener el valor del salario real en estado estacionario wss:

wss = (1 − α)

rss

α

_r_ss

α

¹

1−α

w_ss = (1 − α) r_ss α

_1−α^−α

(28) Finalmente, en la oferta de trabajo [ecuaci´on 3] se multiplica y divide por k_ssal trabajo en estado estacionario (hss) y al consumo (css):

θ(1 −kss

hss

k_ss)^−γⁿ = wss

k_ss^c_k^ss

ss

(29) De esta expresi´on, el valor de w_ss, ^c_k^ss

ss y ^h_k^ss

ss son conocidos. Por temas de simplicidad se considera que el ratio _k^c^ss

ss es igual a η1, y que ^wcss^ss

kss es igual a η2. Por tanto se tiene:

θ(1 − η₁k_ss)^−γⁿ = η₂

k_ss (30)

Esta ecuación es no lineal en el capital de estado estacionario (k_ss). Si se encuentra el valor del capital que resuelve esta ecuación, entonces se encontrará todos los valores de las variables en estado estacionario, ya que dichas variables dependen del capital. Cabe mencionar que la no linealidad de esta ecuación se debe al parámetro γ_n (inversa de la elasticidad de Frisch). Si el valor de este parámetro es igual a uno, entonces la no linealidad desaparece y el valor de k_ss es igual a _θ+η^η²

1η2. Cabe mencionar que γ_n sea igual a uno significa que el trabajo en la funci´on de utilidad se expresa como el ln(1 − h_t).

De manera alternativa, la ecuación (29) se puede expresar de manera no lineal en el trabajo. Esta opción es mejor debido a que se sabe que el valor del trabajo en estado estacionario está entre cero y uno; es decir, hss∈ [0, 1]. Esto es importante debido a que las técnicas de optimización numérica (aprcximaciones) requieren un punto inicial. Por tanto, la ecuación [29] quedar´ıa de la siguiente manera:

(12)

θ(1 − h_ss) = h_ss^k_h^ss

ss

css

kss

(31) Simplificando esta expresi´on, se tiene:

θ(1 − h_ss)^−γⁿ = w_ss h_ss_h^k^ss

ss

css

kss

θcss

k_ss kss

h_sshss = wss(1 − hss)^γⁿ Reordenando los t´erminos :

θc_ss kss

| {z }

=γ1

h_ss = w_ssh_ss kss

| {z }

γ2

(1 − h_ss)^γⁿ

γ₁h_ss = γ₂(1 − h_ss)^γⁿ (32) La ecuación (32) puede ser resuelta por métodos numéricos. Para ello se ha construido una función llamada “trabajo ss.m”, la cual resuelve la ecuación (32) y por tanto brinda un valor de h_ss. Dado este valor, entonces se puede obtener el valor de estado estacionario de las demás variables. Por ejemplo, de la ecuación (22) se puede obtener el capital kss:

hss

k_ss = r_ss α

¹

1−α

k_ss = h_ss r_ss α

_1−α⁻¹

(33) Al tener el valor de kss entonces de la ecuaci´on (20) se obtiene la producci´on yss:

y_ss

k_ss = r_ss α yss = kss

rss

α (34)

De la misma manera al considerar el valor de k_ssen la ecuaci´on (19) se obtiene el valor de la inversi´on en estado estacionario iss.

iss

k_ss = δ

iss = δkss (35)

El consumo de estado estacionario css se puede obtener de la ecuaci´on (23) debido a que se conoce el producto y la inversi´on (ambos en estado estacionario).

y_ss

k_ss = c_ss k_ss + i_ss

k_ss

c = y − i (36)

(13)

Estado estacionario (forma recursiva) r_ss= ¹_β − (1 − δ)

a_ss= 1 w_ss= (1 − α)

rss

α

_1−α^−α γ₁h_ss= γ₂(1 − h_ss)^γⁿ kss= hss

rss

α

_1−α⁻¹ yss= kssrss

α

i_ss= δk_ss c_ss= y_ss− i_ss

2.4. Log-linealizaci´on

De la misma forma que en los cap´ıtulos previos, el modelo ser´a log-linealizado siguiendo la t´ecnica de Uhlig (1995). En primer lugar se define la variablebxtcomo la diferencia entre el logar´ıtmo de la variable “x” y el logar´ıtmo de su estado estacionario “xss”:

bxt= lnxt− lnx_ss

Esta expresi´on puede ser reordenada de tal manera que la variable x quede en funci´on de su estado estacionario xss y de la variablexbt:

x_t= x_sse^b^x^t (37)

Esta expresión de “x_t” se reemplazará en todas las ecuaciones del modelo no lineal. En segundo lugar, la expresión (37) requiere que e^x^b^t sea aproximada por una función lineal.

De lo contrario, el sistema de ecuaciones aún mantendr´ıa su naturaleza no-lineal. Ante ello, se apróxima e^b^x^t por medio de la expansión de Taylor de primer orden, donde el punto de referencia para la aproximación es el estado estacionario. Al aplicar la expansión de Taylor, e^b^x^t quedar´ıa expresado de la siguiente manera:

e^x^b^t ≈ 1 +xbt (38)

Considerando la propiedad (37) y (38) se procede a log-linealizar el sistema descrito en el cuadro [3]:

Demanda del capital: para encontrar la demanda del capital log-lineal primero se reemplaza cada variable xt por su expresión xsse^x^b^t, dondexbtes la variable en desviación porcentual del lnx_t con respecto a su estado estacionario (segunda l´ınea). Luego de realizar algunas operaciones algebraicas se llega a la l´ınea 4, en donde se aplica la aproximación de primer orden (e^x ≈ 1 + x) obteniendose la l´ınea 5. Finalmente la ecuación (39) es la ecuación log-lineal de la demanda de capital.

(14)

kt = αyt

r_t L´ınea 1 k_sse^b^k^t = αy_sse^b^y^t

rsse^b^r^t L´ınea 2 e^b^k^t = e^b^y^t

e^b^r^t L´ınea 3 e^b^k^t = e^b^y^t⁻^b^r^t L´ınea 4 1 + bkt = 1 +byt−brt L´ınea 5

bk_t = yb_t−br_t (39)

Ecuación de Euler: para encontrar la ecuación de Euler log-lineal primero se realiza un cambio de variable (zt+1 = rt+1+ (1 − δ)), la cual se aprecia en la segunda l´ınea de la ecuación (40). Esto se debe a que para simplificar la transformación log-lineal de una ecuación es preferible que todas las variables estén en forma multiplicativa. En segundo lugar, se reemplaza cada variable x_t por su expresión x_sse^x^b^t, donde xb_t es la variable en desviación porcentual del lnxt con respecto a su estado estacionario (tercera l´ınea de la ecuación (40). Luego de realizar algunas operaciones algebraicas se llega a la l´ınea 5, en donde se aplica la aproximación de primer orden (e^x^b ≈ 1 +x) obteniendose la l´ınea 6 yb luego de eliminar la constante (número uno) se llega a la l´ınea 7.

1 ct

= βEt

1 ct+1

[Rt+1+ (1 − δ)]

1

c_t = βE_t

1

c_t+1[z_t+1]

1

csse^b^c^t = βE_t

1

csse^b^c^t+1[z_sse^z^b^t+1]

1

e^b^c^t = Et

1

e^b^c^t+1[e^b^z^t+1]

e⁻^b^c^t = E_te^b^z^t+1⁻^b^c^t+1 1 −bc_t = E_t[1 +zb_t+1−bc_t+1]

−bc_t = E_t[zb_t+1−bc_t+1] (40) Para terminar de caracterizar la ecuaci´on log-lineal de Euler se debe de encontrarbzt+1

en función de la tasa de interés en log-desviaciones de su estado estacionario (rb_t+1). Para ello primero se debe de considerar dicha relación en estado estacionario:

Zss= rss+ (1 − δ) =

|{z}

por la ecuaci´on (18)

1

β (41)

La relaci´on entrebzt+1 ybrt+1 se expresa en la ecuaci´on (42):

(15)

zt+1 = rt+1+ (1 − δ) Zsse^z^b^t+1 = rsse^b^r^t+1+ (1 − δ) Z_ss(1 +zb_t+1) = r_ss(1 +br_t+1) + (1 − δ)

Z_ss+ Z_ssbz_t+1 = r_ss+ r_ssbr_t+1+(1 − δ) (42) Al considerar la relación de estado estacionario de la ecuación (41) en la ecuación (42) se tiene:

Z_ssbz_t+1 = r_ssrb_t+1 1

βbzt+1 = rssrbt+1

bz_t+1 = βr_ssrb_t+1 (43)

Al introducir la ecuaci´on (43) en (40) se obtiene la ecuaci´on log-lineal de Euler:

−bc_t = E_t[bz_t+1−bc_t+1]

−bc_t = E_t[βr_ssbr_t+1−bc_t+1] (44) Oferta de trabajo: para obtener la ecuación log-lineal de la oferta de trabajo, al igual que la ecuación de Euler, se realiza un cambio de variable para que todos los términos de la ecuación estén multiplicando. En ese sentido se reemplaza 1 − h_t por hh_t (l´ınea dos de la ecuación (45). Asimismo, al igual que en las ecuaciones previas, cada variable xt por su expresión x_sse^b^x^t (tercera l´ınea de la ecuación (45)), y se ha aplicado la aproximación de primer orden (e^x≈ 1 +x)(s´b eptima l´ınea de la ecuación (45)).

θ(1 − h_t)^−γⁿ = w_t ct

θ(hh_t)^−γⁿ = w_t c_t θ(hhsse^hh^c^t)^−γⁿ = w_sse^w^b^t

h_sse^b^c^t θhh^−γ_ssⁿe^−γⁿ^hh^c^t = w_sse^w^b^t

hsse^b^c^t e^−γⁿ^hh^c^t = e^w^b^t

e^b^c^t e^−γⁿ^hh^c^t = e^w^b^t⁻^b^c^t 1 − γ_nhhc_t = 1 +wb_t−bc_t

−γ_nhhct = wbt−bct (45)

Para terminar de encontrar la ecuaci´on log-lineal de la oferta de trabajo es necesario encontrar la versi´on log-lineal del cambio de variable: hht= 1 − ht.

(16)

hht = 1 − ht

hh_sse^hh^c^t = 1 − h_sse^b^h^t hhss(1 + chht) = 1 − hss(1 + bht) hhss+ hhsshhct = 1 − hss− h_ssbht

hh_sshhc_t = −h_ssbh_t hhc_t = − h_ss

hh_ssbh_t hhc_t = − h_ss

1 − hss

bh_t (46)

Reemplazando esta ecuación (46) en la ecuación (45) se obtiene la ecuación log-linal de la oferta de trabajo (ecuación (47)):

−γ_nhhct = wbt−bct

−γ_n

− h_ss 1 − hss

bht

= wbt−bct

γ_n h_ss 1 − hss

bh_t = wb_t−bc_t (47)

Demanda de trabajo: la ecuación log-lineal de la demanda de trabajo está descrita por la ecuación (48). Para ello, de la misma forma que en las ecuaciones previas, se ha reemplazado cada variable x_t por su expresión x_sse^b^x^t (segunda l´ınea de la ecuación (48), y se ha aplicado la aproximación de primer orden (e^x ≈ 1 + x)(quinta l´ınea de la ecuación (48)).

h_t = (1 − α)y_t wt

hsse^b^h^t = (1 − α) ysse^b^y^t w_sse^w^b^t e^b^h^t = e^b^y^t

e^w^b^t e^b^h^t = e^b^y^t⁻^w^b^t 1 + bh_t = 1 +yb_t−wb_t

bh_t = yb_t−wb_t (48)

Función de producción: la ecuación log-lineal de la función de producción está descrita por la ecuación (49). Para ello se ha reemplazado cada variable x_t por su expresión x_sse^x^b^t (segunda l´ınea de la ecuación (49)), y se ha aplicado la aproximación de primer orden (e^x ≈ 1 + x)(sexta l´ınea de la ecuación (49)).

(17)

yt = atk^α_th^1−α_t

y_sse^y^b^t = a_sse^b^a^t[k_sse^b^k^t]^α[h_sse^b^h^t]^1−α y_sse^y^b^t = a_sse^b^a^t[k_ss^αe^αb^k^t][h^1−α_ss e^(1−α)b^h^t]

e^y^b^t = e^b^a^t[e^αb^k^t][e^(1−α)b^h^t] e^y^b^t = e^b^a^t^+αb^k^t^+(1−α)b^h^t

1 +yb_t = 1 +ba_t+ αbk_t+ (1 − α)bh_t

ybt = bat+ αbkt+ (1 − α)bht (49) Equilibrio mercado de bienes: al igual que en las ecuaciones previas, para obtener la con- dición de equilibrio en el mercado de bienes log-lineal se debe de reemplazar cada variable x_t por su expresión x_sse^b^x^t (segunda l´ınea de la ecuación (50)), y se debe de aplicar la aproximación de primer orden (e^x ≈ 1 + x)(tercera l´ınea de la ecuación (50)).

y_t = c_t+ i_t ysse^b^y^t = csse^b^c^t + isse^bⁱ^t

y_ss(1 +yb_t) = c_ss(1 +bc_t) + i_ss(1 + bi_t) y_ss+ y_ssyb_t = c_ss+ c_ssbc_t+i_ss+ i_ssbi_t

yssybt = cssbct+ issbit

ybt = css

y_ssbct+ iss

y_ssbit (50)

Ley de movimiento del capital: la ley de movimiento del capital log-lineal está expresa- da en la ecuación (51). De igual forma que en las ecuaciones previas, se ha aplicado la transformación de la variable inicial k_t por su equivalente en log-desviaciones (l´ınea 2 de la ecuación (51)). Además, se ha considerado la apróximación de Taylor de primer orden de dicha transformación (l´ınea 5 de la ecuación (51)).

kt+1 = (1 − δ)kt+ it

k_sse^b^k^t+1 = (1 − δ)k_sse^b^k^t+ i_sse^bⁱ^t e^b^k^t+1 = (1 − δ)e^b^k^t+ i_ss

k_sse^bⁱ^t e^b^k^t+1 = (1 − δ)e^b^k^t+δe^bⁱ^t

1 + bk_t+1 = (1 − δ)(1 + bk_t) +δ(1 + bi_t) 1 + bkt+1 = (1 − δ) + (1 − δ)bkt+ δ + δbit

bkt+1 = (1 − δ)bkt+ δbit (51)

Choque de productividad: en estricto el choque de productividad está representada por la variable t, la cual tiene una distribución normal con media cero y varianza constante. En este sentido, la ecuación (52) representa la ecuación log-lineal de la productividad (no del choque).

(18)

lnat = φlnat−1+ t

lnasse^b^a^t = φlnasse^b^a^t−1+ t

lna_ss+ba_t = φlna_ss+ φba_t−1+ _t

ba_t = φba_t−1+ _t (52)

El cuadro [6] resume el sistema de ecuaciones log-lineales que describen el modelo.

Cuadro 6: Sistema de ecuaciones log-lineal

Ecuaciones log-lineal Descripci´on

−bc_t= E_t[βr_ssrb_t+1−bc_t+1] Ecuaci´on de Euler bk_t=yb_t−rb_t Demanda del capital γ_n_1−h^h^ss

ssbh_t=wb_t−bc_t Oferta de trabajo bht=ybt−wbt Demanda de trabajo ybt=bat+ αbkt+ (1 − α)bht Funci´on de producci´on ybt= _y^c^ss

ssbct+_yⁱ^ss

ssbit Equilibrio mercado de bienes bkt+1= (1 − δ)bkt+ δbit Ley de movimiento del capital ba_t= φba_t−1+ _t Choque de productividad

2.5. Soluci´on del sistema lineal

2.5.1. M´etodo de coeficientes indeterminados

En la literatura de modelos de equilibrio general, los métodos para encontrar la so- lución se han focalizado en resolver el sistema de ecuaciones lineales (o log-lineales). De manera similar a los cap´ıtulos previos, en este cap´ıtulo se aplica el método de coeficientes indeterminados. La solución consiste en colocar las variables endógenas en función de las variables de estado y del choque. Por ejemplo para el capital, el producto y el consumo se tiene:

bkt+1 = η_kkbkt+ η_kabat (53) ybt = ηykbkt+ ηyabat (54) bct = η_ckbkt+ ηcabat (55) Cabe mencionar que debido a que el sistema de ecuaciones ha sido log-linealizado (ver cuadro [4]), entonces las variables están expresadas como log-desviaciones de su estado estacionario; es decir, xb_t = lnx_t− lnx_ss. Asimismo, los coeficientes de la solución (por ejemplo, las ecuaciones (53), (54) y (55)) expresan elasticidad; es decir, de la ecuación (53) se puede apreciar lo siguiente: si el capital de hoy se incrementa en 1 %, entonces el capital de mañana se incrementa en η_kk%. Esto se observa en la siguiente expresión:

(19)

bkt+1 = η_kkbkt+ η_kabat

Diferenciando :

∆bk_t+1 = η_kk∆bk_t+ η_ka∆ba_t

Asumiendo : ba_t se mantiene constante

∆bk_t+1 = η_kk∆bk_t+ 0

∆[lnkt+1− lnk_ss] = η_kk∆[lnkt− lnk_ss]

∆[lnkt+1] − 0 = ηkk∆[lnkt] − 0

∆k_t+1

k_t+1 = η_kk∆k_t k_t

∆kt+1

kt+1

∆kt

kt

= η_kk

Ekt+1,kt = ηkk (56)

La expresión (56) indica claramente que η_kk representa la elasticidad del capital de mañana ante el capital de hoy manteniendo lo demás constante. Por tanto, un incremen- to en 1 % en el capital de hoy incrementa en η_kk% el capital de mañana manteniendo lo demás constante. De esta forma se lee cada uno de los coeficientes de la solución del modelo. Cabe mencionar que cualquiera sea el método de solución del modelo la solución siempre está descrita por las ecuaciones (53), (54), (55) y las demás ecuaciones de las variables endógenas que mantienen la misma forma. El método de coefientes indeterminados consiste en encontrar los valores de los coeficientes de la solución en función de los parámetros. Cuando se encuentra dichos coeficientes entonces la solución queda bien definida.

Antes de aplicar el m´etodo de coeficientes indeterminados se debe de reducir el sistema de ecuaciones lo m´aximo posible. En este modelo de ocho ecuaciones, lo ideal ser´ıa reducir el sistema hasta tres o cuatro ecuaciones.

[A] Reducción de sistema I: el sistema de ocho ecuaciones descritos en el cuadro [4] se puede reducir a cinco al eliminar el salario real wt por medio del equilibrio en el mercado de trabajo, al eliminar la inversión bital reemplazar la ley del movimiento del capital en el equilibrio del mercado de bienes, y al elimimar la tasa de interés real br_t por medio de la introducción de la demanda de capital en la ecuación de Euler.

Eliminando el salario real w_t: de la demanda de trabajo se despeja el salario real:

Demanda de trabajo :

bh_t = yb_t−wb_t

wbt = ybt− bht (57)

La ecuaci´on (57) se reemplaza en la oferta de trabajo, la cual esta descrita por la siguiente ecuaci´on:

(20)

γn

1 − h_ssbht=wbt−bct (58) Al igualar la oferta de trabajo con la demanda de trabajo en el salario real se tiene:

γ_n

h_ss 1 − h_ss

| {z }

=m1

bh_t = yb_t− bh_t−bc_t

m1bht = ybt− bht−bct

(1 + m1)bht = ybt−bct (59) Eliminando la inversi´on i_t: de la ley del movimiento del capital se despeja la inversi´on y se reemplaza en el equilibrio del mercado de bienes.

Ley de movimiento del capital :

bkt+1 = (1 − δ)bkt+ δbit

δbi_t = bk_t+1− (1 − δ)bk_t bi_t = 1

δ[bk_t+1− (1 − δ)bk_t] (60) Equilibrio en el mercado de bienes :

ybt = css

yssbct+ iss

yss

bit

|{z}

Ecu. (60)

yb_t = c_ss

y_ssbc_t+ i_ss y_ss

1

δ[bk_t+1− (1 − δ)bk_t]

(61) Eliminando la tasa de interés real r_t: de la demanda de capital se despeja la tasa de interés y luego se reemplaza en la ecuación de Euler.

Demanda de capital :

bk_t = yb_t−br_t

br_t = yb_t− bk_t (62)

Ecuaci´on de Euler :

−bct = Et[βrssbrt+1−bct+1] bc_t = E_t[bc_t+1− βr_ss br_t+1

|{z}

Ecu. (62)

]

bct = Et[bct+1− βr_ss[ybt+1− bkt+1]] (63) Con estas reducciones el sistema estar´ıa compuesto por cinco ecuaciones:

(21)

(1 + m1)bht = byt−bct (64) byt = css

yssbct+ iss

yss

1

δ[bkt+1− (1 − δ)bkt]

(65) bc_t = E_t[bc_t+1− βr_ss[by_t+1− bk_t+1]] (66) Funci´on de producci´on :

byt = bat+ αbkt+ (1 − α)bht (67) Choque de productividad :

ba_t = φba_t−1+ _t (68)

[B] Reducción de sistema II: el sistema podr´ıa reducirse aún más. De la ecuación (64) se despeja el trabajo bht y se introduce en la ecuación (67) (función de producción).

Equilibrio en el mercado de trabajo :

(1 + m₁)bh_t = yb_t−bc_t bh_t =

1

1 + m₁

[yb_t−bc_t] (69) Funci´on de produci´on :

ybt = bat+ αbkt+ (1 − α) bht

|{z}

Ecu. (69)

yb_t = ba_t+ αbk_t+ (1 − α)

1

1 + m1

[yb_t−bc_t]

1 − 1 − α 1 + m1

ybt = bat+ αbkt−

1 − α 1 + m1

bct

m₁+ α 1 + m₁

ybt = bat+ αbkt−

1 − α 1 + m₁

bct (70)

Con estas reducciones adicionales el sistema estar´ıa compuesto por cuatro ecuaciones:

m₁+ α 1 + m1

byt = bat+ αbkt−

1 − α 1 + m1

bct (71)

byt = css

y_ssbct+ iss

y_ss

1

δ[bkt+1− (1 − δ)bkt]

(72) bct = Et[bct+1− βr_ss[byt+1− bkt+1]] (73) Choque de productividad :

ba_t = φba_t−1+ _t (74)

[C] Reducción de sistema III: el sistema previo de cuatro ecuaciones aún puede reducirse en una ecuación más. Para ello se despeja el productoyb_t de la ecuación (71) y se reemplaza en la ecuación (72) y (73).