C ÁLCULO V ECTORIAL
Notas de clase
Profesor: A. Leonardo Bañuelos Saucedo
TEMA III INTEGRALES DE LÍNEA
En el curso de Cálculo Integral se estudió la integral definida de una función , , como el límite de las sumas de Riemann cuando todos los tiende a cero , y ahora se estudiará el concepto de integral de línea, el cual es una1 generalización de la integral vista en Cálculo ]Integral.
Con el fin de que la generalización sea más clara, es necesario introducir los siguientes términos.
Supóngase una curva cuya función vectorial es ; y que y son los vectores de posición de los puntos y respectivamente, entonces:
- La curva es suave si 2 es continua y distinta de en el intervalo .
- La curva es suave parte por parte o a trozos si puede expresarse3 como la unión de un número finito de curvas suaves.
- La curva es cerrada si y son el mismo punto.
- La curva es una curva cerrada simple, si es cerrada y no se cruza a
si misma, i.e., y para en el
intervalo .
- Si la curva no es cerrada, entonces los valores crecientes de indican el sentido positivo de la curva.
- Si la curva es cerrada simple, entonces se recorre en sentido positivo si sigue el sentido contrario al de las manecillas del reloj.
positivo si la región encerrada está siempre a la izquierda con respecto a la trayectoria.
- Una región es simplemente conexa , si no contiene "agujeros" y4 está delimitada por una curva cerrada simple.
Figura 3.1
Considérese ahora una función escalar que represente
1 El intervalo se divide en subintervalos de longitudes
, y en cada subintervalo se selecciona un número .
2 También llamada lisa o simple.
3 También llamado suave por partes, suave por trozos o seccionalmente diferenciable.
4 D ado un conjunto en , si dos puntos y pueden unirse mediante una curva cuyos puntos también pertenecen a entonces el conjunto se llama conexo. Si el segmento es una recta, entonces se llama convexo.
Si un conjunto conexo tiene la propiedad de que todos los puntos encerrados por una curva cerrada cualquiera que esté contenida en , también están contenidos en , entonces se llama simplemente conexo.
una superficie en el espacio, y una función vectorial que represente una curva en el plano, tal como se muestra en la siguiente figura.
Figura 3.2
Donde está definida en el intervalo , y son los vectores de posición de los puntos y respectivamente y la curva pertenece al dominio de .
Si se divide la curva en subarcos de longitudes , de acuerdo con la partición
,
se selecciona un punto en cada subarco, y se denota a la norma de partición (longitud del subarco más largo), entonces, al tomar el límite de las sumas de Riemann cuando la norma tiende a cero se tiene la integral de línea de a lo largo de y de a es:
O bsérvese que si es no negativa, entonces la integral de línea representa geométricamente el área de la superficie del cilindro vertical que se forma siguiendo la curva , por arriba del plano y por debajo de la superficie .
Definición 3.1
Sea una función escalar de variable vectorial
, definida en una región que contiene una curva suave y rectificable , entonces la integral de línea de sobre es5
siempre y cuando el límite exista.
En forma práctica, la integral de línea no se calcula a través de las sumas de Riemann, se calcula convirtiéndola en una integral definida y empleando fórmulas de integración.
Si la función es continua entonces el límite de las sumas de Riemann existe y es independiente de la parametrización utilizada para la curva , siempre y cuando están orientadas en la misma dirección.
5 con longitud de arco finita.
Teorema 3.1 Propiedades de las integrales de línea respecto a la longitud de arco
Las integrales de línea tienen las siguientes propiedades:
1) donde es una constante
2)
3) Inversión de la orientación
Al ir de un punto a un punto de una curva, se tiene que
donde representa a la misma curva que pero en sentido inverso
4) El valor de la integral de línea es independiente de la parametrización utilizada.
5) Si la curva es suave por partes, entonces la integral
se obtiene descomponiendo la curva en curvas suaves y calculando las integrales para cada una de esas curvas
6) Si la curva está definida por la función vectorial , , entonces:
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) Ejemplo 3.1
Obtener , si y es la curva trazada por la
función vectorial
, Resolución
De los datos del ejemplo se tiene
y sustituyendo en la fórmula de la propiedad 6
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 3.2
El tejado de un edificio tiene una altura sobre el suelo dada por ,
y una de las paredes sigue un camino dado por . Obtener el área de la superficie de la pared si .
Resolución
Parametrizando;
Área
Para resolver la integral, si
y , sustituyendo :
Área unidades cuadradas.
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Las integrales de línea de la forma se generalizan para funciones de más de dos variables, aunque claro, la interpretación ya no puede ser la de área bajo una superficie. Una de las principales aplicaciones de este tipo de integrales es en la obtención de la masa de un alambre (descrito por ) cuya densidad está dada por la función escalar .
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) Ejemplo 3.3
Calcular la integral de línea
donde
Resolución
Puesto que , se tiene que:
,
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Obsérvese que la integral de línea se reduce a
, cuando , que es la expresión para calcular la longitud de arco vista en el capítulo anterior.
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) Ejemplo 3.4
Demostrar que la integral de línea de a lo largo de la trayectoria , , dada en coordenadas polares es:
si se sabe que la longitud de arco en coordenadas curvilíneas ortogonales puede
expresarse como .
Resolución
Puesto que los factores de escala para las coordenadas polares son y , entonces la diferencial de la longitud de arco en coordenadas polares es:
y al sustituirla en la integral de línea se tiene:
multiplicando y dividiendo por y escribiendo a en función de y
lo que finalmente se simplifica en:
Q.E.D.
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Una de las principales causa de error al evaluar una integral de línea a lo largo de una trayectoria, consiste en distinguir si la curva es suave o suave por partes. Puesto que no siempre una curva suave por partes se representa a través de una función con varias reglas de correspondencia. Para ejemplificar lo anterior considérese el siguiente ejemplo.
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) Ejemplo 3.5
Evaluar , donde es la trayectoria cuya parametrización es
e interpretar geométricamente el resultado.
Resolución
El resultado representa el área del cilindro que se forma debajo de la superficie
por encima del plano y siguiendo la recta desde el punto al punto considerando ambos lados de la superficie.
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Debe observarse que la función vectorial
describe la recta de identidad del punto al origen y luego, nuevamente al punto , por lo que en realidad es una curva suave por partes. Si se decide integrar de
a , entonces debe cuidarse el hecho de que al ser un módulo, siempre es positivo, por lo que la integral que debe resolverse es:
Las integrales de línea (o curvilíneas) que hasta aquí se han realizado son integrales de funciones escalares con respecto a la longitud de arco; sin embargo, no son las únicas integrales de línea que existen. Otro tipo de integrales de línea son las integrales de campos vectoriales a lo largo de una trayectoria, éstas tienen su principal aplicación en la mecánica, en la obtención del trabajo realizado sobre un cuerpo que se mueve en un campo vectorial de fuerzas.
Antes de introducir la definición matemática de trabajo es necesario recordar el concepto de trabajo realizado por una fuerza. Una fuerza realiza trabajo cuando desplaza un cuerpo una cierta distancia. Considérese el caso más simple mostrado en la figura, en donde el cuerpo es
desplazado una distancia , del punto al punto , por la fuerza horizontal . El trabajo realizado en este ejemplo es fuerza por distancia, i.e.
. . . (3.1) Ahora bien, si la fuerza forma un ángulo con respecto a la horizontal, como se muestra en la siguiente figura,
el trabajo realizado por la fuerza al mover el cuerpo de a es
. . . (3.2)
puesto que solamente efectúan trabajo las fuerzas que tienen la misma dirección del desplazamiento, es decir, la única fuerza que realiza trabajo es la componente horizontal de , que es precisamente .
Obsérvese que para un desplazamiento diferencial, la distancia es reemplazada por en la expresión (3.2) obteniéndose una diferencial de trabajo
. . . (3.3) y recordando que visto en el capítulo anterior se tiene
. . . (3.4)
Donde es módulo de la fuerza
es módulo de la diferencial de desplazamiento
es el ángulo entre y
Por lo que, de la definición del producto punto, la expresión (3.4) se transforma en
. . . (3.5) e integrando en ambos miembros desde el punto hasta el punto a lo largo de la trayectoria se tiene
Definición 3.2
Sea una curva suave orientada en la dirección del movimiento de unas partículas en un campo de fuerzas , entonces el trabajo realizado por el campo de fuerzas al desplazar una partícula a lo largo de es
La expresión es una forma vectorial de la integral de línea de un campo vectorial a lo largo de una trayectoria, que también puede escribirse como
donde es el vector tangente unitaria a la curva en cualquier punto.
Si la curva está definida por la función vectorial
. . . (3.6) que puede expresarse como
. . . (3.7) entonces
. . . (3.8) y si el campo es
. . . (3.9)
entonces de (3.3) y (3.4)
Forma diferencial de la integral de línea
Por otro lado, de (3.1)
. . . (3.10) entonces de (3.4) y (3.5)
Forma paramétrica de la integral de línea
Teorema 3.2 Propiedades de las integrales de línea
Las integrales de línea tienen las siguientes propiedades:
1) donde es una constante
2)
3) Inversión de la orientación.
Al ir de un punto a un punto de una curva, se tiene que
donde representa a la misma curva que pero en sentido inverso
4) El valor de la integral de línea es independiente de la parametrización utilizada.
5) Si la curva es suave por partes, entonces la integral se obtiene descomponiendo la curva en curvas suaves y calculando las integrales para cada una de esas curvas
Antes de resolver problemas físicos que involucren a las integrales de línea, se muestran ejemplos donde se indica la forma de evaluar dichas integrales.
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 3.6
Evaluar donde curva está dada por
Resolución
Empleando la forma paramétrica de la integral de línea, se tiene que
. . . (a)
de la parametrización de la curva se tiene
por lo que
y , ,
sustituyendo en (a)
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Si la integral de línea se realiza a lo largo de una curva cerrada, entonces se utiliza el símbolo , de manera que la integral se escribe
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 3.7
Considérese a como el contorno del cuadrado unitario con vértices en y orientado en sentido positivo. Calcular la integral
. . . (a) Resolución
La trayectoria es:
dividiendo la curva en los segmentos , , y indicados en la figura
se tiene que
... (b) Por otro lado, una parametrización de , está dada por
de donde
al sustituir las expresiones anteriores en (a) y (b) se tiene
Finalmente, la integral de línea a lo largo de la trayectoria cerrada es:
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Debe recordarse que la integral de línea no depende de la parametrización, por lo tanto, es posible utilizar alguna otra y obtener el mismo resultado.
Cuando se desea parametrizar un segmento recta, cuyos puntos inicial y final son conocidos, entonces la siguiente fórmula es de utilidad
Fórmula 3.1
Sea un segmento de recta que va del punto al punto , entonces la parametrización para el intervalo está dada por:
,
Considérese para el mismo ejemplo la parametrización del cuadrado unitario dada por las reglas
Para esta parametrización se tiene
Que es el mismo resultado obtenido anteriormente.
Pueden proponerse parametrizaciones tales como:
Sin embargo, puede observarse que la dificultad al obtener las integrales depende de la parametrización utilizada, por lo que al resolver una integral de línea mediante un parámetro , debe buscarse aquella regla de correspondencia que facilite
el cálculo de la integral.
Las integrales de línea también pueden valuarse a partir de su forma diferencial y sin utilizar alguna parametrización, para observar esto, considérese el campo del ejemplo anterior y la misma trayectoria.
Entonces la integral de línea se puede obtener mediante
... (3.11) por lo que:
Para :
La ecuación cartesiana es , de donde ,
entonces
Para :
La ecuación es ,
Para :
La ecuación es ,
Obsérvese que el sentido en el que se recorre es de a , por lo
que:
Para :
La ecuación ,
En este caso va de a .
Finalmente sustituyendo en (3.11)
Se obtiene el mismo resultado.
Como anteriormente se mencionó, la integral de línea no depende de la parametrización, pero sí depende de el campo y de la trayectoria determinada por . Para visualizar que la integral de línea puede depender de la trayectoria, considérese el siguiente ejemplo.
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 3.8
Evaluar del punto al punto
a) a lo largo de la recta que une dichos puntos;
b) a lo largo de la parábola ; c) a lo largo de la curva . Resolución
a) ;
b) ;
c) ;
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
En este ejemplo, el resultado de la integral de línea, al valuarla de un punto a otro, depende de la trayectoria; sin embargo, existen algunos casos en lo que esto no sucede. Para observar esta diferencia, considérese el siguiente ejemplo.
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 3.9
Evaluar del punto al punto
a) a lo largo de la recta que une dichos puntos;
b) a lo largo de la parábola ; c) a lo largo de la curva . Resolución
a) ,
b) ;
c) ;
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Puede observarse que el resultado de la integral no depende de la trayectoria.
La razón por la que sucede esto es que el campo tiene un característica especial: el campo es conservativo. M ás adelante se estudiarán estos campos.
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) Ejemplo 3.10
Obtener el trabajo realizado por una fuerza constante que actúa sobre una partícula que se desplaza en una trayectoria en sentido opuesto al del reloj y alrededor de un círculo de radio 3 y centro en el origen.
Resolución Sea
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) Ejemplo 3.11
Evaluar donde y es la porción
de la curva en el primer octante de la intersección del plano y el cilindro
del punto al punto .
Resolución
La curva es la intersección del plano y el cilindro
utilizando la parametrización
, ,
entonces
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
CAMPOS CONSERVATIVOS E INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA
Para cualquier trayectoria entre los puntos y , el valor de la integral de línea
es igual a , i.e., la integral no depende de la trayectoria. Al analizar el rotacional del
campo, se observa que:
el campo es irrotacional.
Teorema 3.3
Si el campo vectorial es continuo en una región conexa abierta, entonces el valor de la integral de línea
es independiente de la trayectoria si y sólo si es un campo conservativo.
Un campo vectorial es conservativo cuando es el gradiente de una función escalar , es decir, . Para determinar si es conservativo, considérese la siguiente suposición:
Si es conservativo, entonces existe una función escalar tal que , es decir:
y de las propiedades del rotacional, se sabe que:
por lo que:
Es decir, si el campo es conservativo entonces su rotacional vale cero vector.
El hecho de que el campo sea el gradiente de una función escalar, lleva a otras afirmaciones equivalentes, las cuales se enuncian en el siguiente teorema:
Teorema 3.4
Si el campo es continuo en una región conexa abierta, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:
a) es el gradiente de una función escalar: .
b) La integral , donde es una curva suave por partes definida en el dominio de , sólo depende del punto inicial y final de la trayectoria de .
c) La integral , donde es una curva cerrada suave por partes definida en el dominio de , es igual a cero.
d) es una diferencial exacta.
e) .
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 3.12
Evaluar donde es el triángulo
cuyos vértices son , y . Resolución
Puesto que el campo es conservativo y la trayectoria cerrada, la integral de línea es igual a cero.
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 3.13
Supóngase que una curva está descrita por la función vectorial para . Sean la aceleración, la velocidad y la rapidez ,
y , respectivamente. Aplicando la segunda ley de Newton , demostrar que, en ausencia de fricción, el trabajo realizado por al mover una partícula de masa constante desde un punto en hasta un punto en es igual al cambio de energía cinética:
Ayuda: Recuérdese que
Resolución Puesto que
entonces
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A los campos para los cuales su rotacional es igual a cero vector se les llama conservativos porque en ellos se cumple la ley de la conservación de la energía, la cual indica que, en un campo conservativo la suma de las energías cinética y potencial de un cuerpo se mantiene constante de punto a punto.
Cuando el campo es conservativo y por lo tanto admite función potencial, se puede obtener ésta y emplearla para calcular el valor de la integral de línea.
Si se desea obtener el valor de , donde es una trayectoria no
cerrada y el campo es conservativo, entonces puede escribirse en forma diferencial, teniéndose
donde es una diferencial exacta, i.e., existe una función para la cual
y al sustituir en la integral se tiene , lo que lleva a
La expresión anterior se conce con el nombre de teorema fundamental de las integrales de línea.
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) Ejemplo 3.14
Obtener el trabajo necesario para mover una partícula material desde el punto al punto , a lo largo de cualquier trayectoria, bajo el campo
Resolución
Si por simplicidad se considera la diferencial como o bien el campo como
Entonces, para obtener la función potencial
Por lo tanto, el trabajo pedido es
unidades de trabajo.
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
En ocasiones, simplemente se pregunta si una expresión es o no diferencial exacta, como se ilustra en el siguiente ejemplo.
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) Ejemplo 3.15
Sea la expresión
Determinar si es una diferencial exacta y, de ser posible, obtener la función cuya diferencial es la expresión dada.
Resolución
Para que sea diferencial exacta, debe cumplirse que o bien:
de donde
Por lo que sí es una diferencial exacta.
La función para la cual es la expresión dada en el enunciado es
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 3.16
Dado .
a) Determinar todos los valores de , , para que el campo sea conservativo.
b) Determinar los únicos valores de , , para que , del punto
al punto sea igual a ( ).
Resolución
a) Para que sea conservativo y por igualdad de vectores y
Si , , el campo es conservativo.
b) Se obtiene primero la función potencial
Entonces: , ,
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) Ejemplo 3.17
a) Determinar los valores y para que el campo de fuerzas dado por
sea un campo conservativo.
b) Se quiere desplazar una partícula a través del campo y a lo largo de un segmento del eje equis. Determinar el punto contenido en dicho eje para el cual el trabajo realizado por el campo al desplazar una partícula del origen a ese punto es .
Resolución
a)
De donde y
b) Para esta trayectoria:
El punto pedido es:
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) Ejemplo 3.18
Obtener el trabajo realizado por el campo al desplazar una partícula de masa unitaria a lo largo de la trayectoria mostrada en la figura, desde el punto h a s ta e l p u n to ,s i e l ca m p o e s , d o nd e
.
Resolución
Se tiene que
Y puesto que , el campo es conservativo y su función potencial es precisamente , por lo que el trabajo está dado por:
unidades de trabajo.
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Las integrales de línea pueden calcularse cuando el campo y la trayectoria están dados en otros sistemas coordenadas. Cuando el campo es conservativo, se puede obtener la función potencial y emplearla para calcular el valor de la integral, pero debe recordarse que si el campo vectorial es
. . . (3.12) y la función escalar es , la relación entre ellos es:
pero
. . . (3.13) y deben de igualarse (3.12) y (3.13) para obtener la función potencial.
Para verificar que el campo es conservativo debe calcularse el rotacional, según la expresión:
y obtenerse .
Cuando el campo no es conservativo, es posible evaluar la integral de línea recordando que en coordenadas curvilíneas
por lo que la integral de línea queda:
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 3.19
Determinar el trabajo realizado por el campo vectorial
al desplazar a una partícula desde el punto hasta el punto , a lo largo de la trayectoria dada por la curva
El campo está definido en coordenadas polares.
Resolución
La parametrización de la trayectoria está dada por:
, , de donde
Por lo que:
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
BIBLIOGRAFÍA
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