Sustituciones trigonométricas

Sustituciones trigonométricas

Cuando tenemos expresiones dentro del integrando de la forma a² −u² , a² +u² ,

2

2 a

u − , ( es constante) se requiere de las sustituciones trigonométricas. Los siguientes son ejemplos generalizados que nos permite entender tales sustituciones.

a

Ejemplo1: Resolver la integral

∫ ₋ ^du

u a

1

El cambio de variable que se establece es:

Por que :

2

2 u

a −

siguiente rma:

θ asen

u =

La expresión , se reduce de la fo

a sen θ = u

Derivando (1),

θ θ d a

du = cos

Sustituyendo en la integral,

∫ ₋ ^θ _θ ^{d θ}

asen a

a

2

2

( )

cos

Factorizando a² y extrayendo la raíz cuadrada,

∫ ₋ ^θ _θ ^{d θ}

sen a

a

)

( 1

cos

Simplificando a y utilizando la identidad 1− sen²

θ

θ

∫ ^θ

_θ ^{d θ}

cos

cos

Y simplificando toda la expresión, queda como integral, c d

= +

∫ ^{θ θ}

Volviendo de nuevo a la variable

u

a

sen

θ =

θ

a Como resultado de la integral, tenemos que:

∫ _{− u}

a

1 du

= c

a sen⁻¹(u)+

Ejemplo2: Resolver la integral

∫ ₊ ^du

u a

1

El cambio de variable que se establece es:

Por que :

θ aTan

u =

La expresión a² +u² , se reduce de la siguiente forma:

Tan θ =

Derivando (2),

= sec

la integral,

θ θ d a

du

Sustituyendo en

∫ ₊ ^θ _θ ^{d θ}

a a

a

2 2

2

) tan ( sec

Factorizando a² y extrayendo la raíz cuadrada,

∫ ^a ₊ ^sec

^θ _θ ^{d θ}

a 1 (tan )

Simplificando y utilizando la identidad a 1+tan²

θ

θ

∫ ^θ _θ ^{d θ}

Sec

sec

Y simplificando toda la expresión, queda como integral, c

d

= + +

∫ ^{sec θ θ ln sec θ tan θ}

Volviendo de nuevo a la variable

u

a

Tan

θ =

− u

θ

Y del triangulo anterior,

a u a^{2 2}

sec +

θ =

Como resultado de la integral, tenemos qu

∫ ₊ ^du

u a

1

= c

a u u

a² + ² + + ln

Ejemplo3: Resolver la integral

∫ ₋ ^du

a u

1

El cambio de variable que se establece es:

Por que :

θ sec a

u =

La expresión u² −a² , se reduce de la siguiente forma:

θ sec

Derivando (3),

θ θ

θ d

a

du = sec tan

Sustituyendo en la integral,

∫ ^θ _{θ −} ^{θ d θ}

a a

a

2

)

sec (

tan sec

Factorizando a² y extrayendo la raíz cuadrada,

∫ ^θ _{θ −} ^{θ d θ}

a a

1 ) (sec

tan sec

2

Simplificando a y utilizando la identidad 1+tan²

θ

θ

∫ ^θ

_θ ^{θ d θ}

tan tan sec

Y simplificando toda la expresión, queda como integral, c

d

= + +

∫ ^{sec θ θ ln sec θ tan θ}

Volviendo de nuevo a la variable

u

a

=

θ

sec

− u

θ

Y del triangulo anterior,

a a u^{2 2}

tan θ = −

Como resultado de la integral, tenemos que:

∫ ₋ ^du

a u

1

= c

a u a

u²− ² + + ln

NOTA: para los términos antes mencionados siempre use la sustitución recomendada