Valuación de deuda con riesgo

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(1)VALUACIÓN DE DEUDA CON RIESGO. .. por. Alejandro Segundo Valdés. Tesis ,J.". Doctoral (Ph.D) _l;. ~. · ITESM CAMPUS'CIUDAD DE l\:'D?'~J~ti BIBiIO 1}? f. ¡. Presentada al Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Ciudad de México. Para obtener el grado de Doctor en Filosofía. Junio 21, 2002.

(2) 2. /. Indice. Introducción. l.. Panorama Sobre la Teoría de Valuación de Deuda Corporativa. 1.1. Modelos Basados en el Valor de la Empresa. l.!. 1.2. Modelos Basados en Prucesos de Intensidad. 25. 2.. Moclelus de Tasa de Interés. 7. 36. 2.1. Dinámica de \Iercado. ;37. 2.2. Precios Futuros y Contratos Futuros. 45. 2.3. Cambio de Numerario. 51. 2.4. Fórmula General para Valuar Opciones. 56. 2.5. Modelos de Estructura Temporal de Tasas de Interés. 62. 2.6. J\,fodelos de Difusión para los Procesos de Tasa de Corto Plazo. 65. 2.7. 2.6.1. 1fodelo de Vasicek. 65. 2.6.2. :\fodelo de Hull y White. 68. 2.6.3. T\fodelo Cox-Ingersoll-Ross. 75. ~ludelo Heath-Jarrow-~forton. 8..J:. 2.7.1. La Tasa Forward. 8..J:. 2.7.2. El :vlodelo. 87. 3.. Modelo para Valuación de Deuda con Riesgo. 92. 3.1. El Modelo Heath-Jarrow-Morton con Discontinuidades. 93. 3.2. La Analogía de la Moneda Extranjera. 105. 3.3. El Modelo de Bonos Con Riesgo. 110.

(3) .,. .). 3.3.1. La intuición del Caso Discretu. 110. 3.3.2. La Tasa de Recuperación. 117. 3.3.3. El :\Iudelu en Tiempo Continuo. 125. Conclusiones. 1-!1. Anexu. 1-16. Biuliugrafía. 152.

(4) -l. I11troduc< ·it'n1. El crecimiento de los mercados financieros en los últimos años ha sido aromµañado µor una verdadera explosiún en la complejidad v diversidad de los instrnmentus: diversidad de productos>' multiplicidad de teurías se asuc·ian ele manera casi natmal. El desarrollo reciente de µruductus derivados ha sido crucial µara la diversificacil'.in del riesgo y la multiplicación de inversiones financieras. Los mecanismos legales µara inducir la reducción del riesgo van tomando forma particularizada, y es cada vez más patente su influencia en las decisiones de inversiún financiera. Por otra µarte. las empresas u!Jtienen recursos µara proyectos de inversiún futmas a través de la venta de acciones y la emisión de deuda curµortativa a través de bunos. La existencia de Gonus rurµurativus. rumo un complemento de Gunus emitidos por los gulJiernus. da lugar a la teoría de valuariún singular µara aquéllos. Dato relevante en lus Gunus rorµurntivos es el mnvor riE,sgu explícito que tiene 11n comprador al adquirirlu. Las emµreas que emiten estos instnunentus finanrierus lJ1tsran crear deuda atractiva µara el cunsumidur tíµiru en lus menados rorµurnti ,·us. P,Jr ellu el emisur delJe ofrecer un pago de rendimientos más altu q1 te el µruµrorionadu. lNl. los instrumentos financieros similares considerados libres de riesgu. Sin emuargo. el contrapeso de los rendimientos más altos es el riesgo de inrumµlimiento de los finjus prometidos al comprador del bono. El "fiel de la Galanza" en esta delicada situariún lo ronstitu:ve la teuría de la valuaciún. El traGajo de Blark. v Srholes (197:3). logra resolwr el µroblema de valuariún de uµ-. riunes enroµeas. l~na extensiún natural de este resultadu run:c-isre en valuar l)priullf'S sobre deuda corµorativa o ron riesgu. En efectu. un aii.o desµnés, Merton presenta un modelo que, guiado por la metodolugía de la investigaciún original de Blark ~Schules, µresenta una solnriún particular µara este tiµu de upr·iunes. El muclelu de :Ylertun incluye una partirulariclad: la valuariún de la deuda cuipurativa depende de la estructura de caµital de la emµresa emisora. Los modelos desarrollados con posterioridad µor otros autores insisiten en mayor u.

(5) o. menur grado en dicha estructura. En los años nuventa aparecen los primerus mudelus para deuda con riesgo que se alejan de este paradigma: son modelos que plantean un proceso de intensidad para representar el evento de bancarrota de la empresa emisora. De ahí el numbre ,un el que sun cunocidus en la actualidad: modelos de intensidad. En este trabaju estamus interesados en un mudelu en particular. el mudelu de Jarrow y Tmnbull (1995). En esa investigaciún lus autures cunsidenrn q1te el prucesu de t[bas de rendirnientu en el cuntextu del mudelu Heath-Januw-2\lortun ( 1992). En particular. snpunen que la tasa furward es cunducida pur un µrucesu est(Jcásticu gubernadu pur un movimentu bruwniano. En el mumentu en el qne la empresa incurre en bancarruta el prucesu de tasa funvard tiene un salt.u. Estu del;e ser tumadu E'n cnenta µarn vnl1 tar la deuda cun riesgu. Kuestro interés en dicho modelo es de índole teúricu.. El objdi'/10 en este trabaju. consiste en realizar extensiones sobre el modelo original, en particular: • Se realiza una caracterización de las tasas furward en el cuntexto del mudelu Heath-Jarruw-\Iurton. que contempla la existencia de ,,n movimentus \;ruwnianus independientes :s,- n eventus de saltu. • Se desarrolla el mudelo de valuación de denda r·on riesgu cun múltiples muvimient.us brownianus. • Se pruµune una metudulugía genérica µarn mude lar la tasa de recnµerncil~ll en casu de qne se µresente el eventu de bancarruta u inC11mµlimientu.. Cn casu. particular de la misma indica que la tasa de recuperación puede cunsiderarse simplemente com el promedio histórico de las tasas de recuµeración de la emµresa emisura de denda. o en otro casu. cumu nn prumediu de dichas tasas en emµresas emisuras de la misma calidad crediticia.. El trabaju está urganizadu de la signiente manera. En el ca11íl11./(! I se µ1esent n l.:.t prublemática de la clenda c·un riesgu. Se exµunen las princiµales currientes en teuría <le la valuaciún de estE· tiµu de dendá. :v se. í·,imentan alg:1111us aspectus relevantes p.:1rn tener.

(6) 6 en cuenta en el prucesu de valuación. En el ( 'apít.alo 2 se expcme sistemáticamente. siguiendo a Elliut.t y Kupp (1999). la teuría c¡lle rundnre a lus principales mudelus de tasas de int(•rés: el rapítnlu cunduye cun la expusiciún del rnudelu Heath-Janu,\·~Iurton para deuda sin riesgu. El Capítulo ,'j cuntiene el desarrullu del mudelu. :v lus. pnntus que ya se han señalaclu anteriormente. Pur últirnu se presentan las concl-uszones..

(7) Capítulo 1. Panorama sobre la Teoría de Valuación de Deuda Corporativa.

(8) 8. El problema de la valuación de la deuda corporativa se puede plantear de forma relativamente sencilla: algunas emµresas emiten denda µrivada µara la obten,ión de recursos financieros que les permite. eventualmente. generar ingresos para financiar proyectos de inversión. La cuestión fundamental es ¿nuí.ntu vale la deuda? En principio hay que identificar los elementos que influyen en el valor de una emisión µarticular de deuda rorµorativa. Estos elementus sun:. fl. la tasa de returnu reqnerida. para la deuda liLre de riesgu. es decir. los bonos e instnu;1entus similares emitidus µur el gobierno federal. :v algnnus gobiernos municiµales: la denda µública se suµone liLre. de riesgo; 2) la probabilidad de que la corporación que emite la deuda no satisfaga los pagos comprometidos con el comprador de la deuda, esto es. la probabilidad de incumplimiento (o bancarrota) de la empresa; 3) diversas condiciones estipuladas en el contrato de compra-venta de la deuda. El riesgo de incumplimiento u bancarrota ( cle/úull ri:;k) es relevante µues las emµresas emiten bonos y productos derivados como instrumentos de deuda: la valua,ión de tales instrumentos es crucial µara la teoría financiera. El riesgo de incumplimientu es importante en situaciones en las cnales el emisor de la deuda incnrre en ban,arrota u. en el caso de un producto derivadu. el emisor µnede in,mnµlir. u Lien el vendedor del producto derivado en el mercado secundario no µaga lo :>stiµ1iladu en el ,untrntu de 1. compra-venta. Un ejemplo típico de productos derivados con riesgo de incumµlimiento son los swaps. Los productos derivados para los que hay un riesgo adicional se conocen como Opciones Vulnerables; en este tipo de derivados se puede llegar al incumplimiento ya sea. porque el emisor del activo subyacente cae en Lan,arrota u el qne vende el ,untratu de deuda, el que suscribe el derivado, no µaga lus fi11jus de efedi vo µrometidus (sulm:> este tiµo de derivados véase el traLajo de Johnson y St11lz. 1987). Por incamplirnienlo o bancarruta del,en entenderse escenarius de lo más diverso: µago parcial de lo contratado. pagos fuera de las fechas ,unwnidas o. simplemente. la ausencia total de µagos. Esto hace la diferencia esencial <'ntre los rnudelus de valiw,iún de bonos o derivados considerados comu libres de riesgo y los muclelus de val11a,iún de.

(9) 9. bonos con riesgo de incumplimiento. Mientras en los primerus los flujos de efectivo considerados como µagus se haren con µrobabilidad unitaria. en lus segundos dirha probabilidad es menor a unu. Los modelos sobre deuda corporativa. al incorporar la tasa libre de riesgo,. tienen. como ingrediente también la Estructura Temporal <le 'J'asus de interés µara valores con riesgo 1 . Idealmente. los modelos deberían considerar 1ma tasa corpuratirn liLre de riesgo, muy cercana a la tasa de rendimiento generada por lus bonos corporativos tipificados como "triple A" por las agencias clasificadoras de calidad de crédito. Sin embargo, esto no es posible ni aún para el caso de los mercados financieros desarrollados (Estados Unidos, Japón. Europa); por ello comunmente se usa como una variable proxy la Estructam Tempoml de Thsas de lnteré., derivada de lus Lonus emitidos µvr los gobiernos federales. En relación a la probabilidad de que el emisor de la deuda incurra en incumplimiento en la literatura del tema existen dos aproximaciones posibles. Cn primer enfoque turna. como punto de partida la estructura de capital de la empresa emisora de la deuda. En términos generales, se determina la µrobabilidad de inr1m1¡..ilimientu rvmparandv el valor de los activos de la emµresa cun el nivel de deuda emitida: el valor de mercado de los activos de la corporación constituye el factor principal para determinar la probabilidad de incumplimiento. En los modelos más sencillos se supone que el incumµlimientu tiene lugar cuando el valor de mercado de los activos es muy bajv. en relación al valor de los µasivus. En estos modelos la idea cvnsiste en que el emisvr recibe una opción para incumplir con los pagos esti¡..iulados en el contrato de cumµravent.a: la empresa ejercerá la opción. es decir. nu µagará lo comprometido. si el valvr de sus activos nu es lu suficientemente grande como para cubrir sus vbligaciones de deuda. El segundo enfoque imµlica la mudelaciún del tiemµv de inc1unµlimientv u bancarrvta 1 Por. Estructura. 'Temporal de Tasa.s de Interés se entiende en e~lc 1rabaju la estrucl urn qne relaciona la fecha de vencimiento o madurez de cada hom> con su reudi111i1•uto. En la litl'rat urn de lengua inglesa este concepto se denomina simplemente Term. Structure. Los modelos teúrico~ qnc tratan de dar cuenta de esta relación ( Terrn Structure Models) los llamaremos aquí Modelos de 'J'a.sas de Interés..

(10) 10. como un proceso de intensidad, definidu de furma exógena. Cun ellu se evita qne el fenómeno de incumplimiento dependa de la estructma de raµital de la emµresa emisora. Los dos enfoques para encarar el fenómeno de incumplimiento ha dado lugar al nombre propio de los modelos de valuación de deuda corporativa. En efecto, de acuerdo a la literatura especializada en el tema. el primer enfoque corresponde a Modelos de. Valuación de Deuda con Riesgo Basarlos en la Estrurt·ura de lo t:rnpresa. en tanto qne la segunda aproximación da lugar a los Modelos di' ValnacúS11 de Deuda. t011. Hics.qo. Basados en Proce,,;o,<; de lul r:n:;úüul. Para ambos enfoques muchas veces 1m mudelo µartirular esµecifica la forma fnnciunal de la tasa de recuperación de pagos, una vez que el emisur de la deuda ha rermridu en incumplimientu de sus ubligaciunes. En algunus mudelus senrillus se suµune. c¡11e. la. Tasa de Rer.'llpenu:ión es una fracrión cunstante del valor farinl de la deuda: en utrus. la Tasa de Rec'llperación puede ser modelada como un µrocesu estocásticu. En otros mudelos este problema no es planteado. A<liciunalmente, en tudus los mudelos el valor de la deuda curµurativa dependerá de lus términos y las cundiciunes establecidas en el cuntratu de la deuda. Dichas cunsideraciunes definen las cundiciunes fruntera µara la deducción de una fórmula de valuación. De esta forma. lus tres determinantes esenciales µara el valur de la deuda rurµurativa sun la Probabilidad de lnc'llmplimiento (generalmente llamada Probabilidad rle Banr.arrota), las Tasas de Rer.upern.c·ión y las C'onilú:iones de ( 'oufratación partir11-. lares de la deuda. Lus mudelos que se han elaborado sobre deuda con riesgu asumen el µustuladu rlásiru de trabajar en un mundo con propiedades matemáticas adecuadas: el mundu de estus modelos es libre de arbitraje. En efecto, los agentes económicos se ven invulurrados en prucesos baju una medida martingala de probabilidad equivalente,. Q. Estu. significa que se toma rumu dado nn espariu de µrobabilidad (S1. / . Q) ; tudus lus prucesos están definidus subre este esµaciu :i· además están adaptadus a la filtraciún {F i}. Se µuede decir de utra furma. Cna oporlunúlwl ele ar/Jilmje se define curnu nna.

(11) 11. transacción en algún(os) mercado(s) financieru(s) en la cual existe la posibilidad de ganar dinero sin tomar riesgo alguno. La opurtunidad de arLitraje se genera por la existencia de ··estrategias de trading '' dominantes; por t·anto. se eliminan en principio dichas estrategias. La ausencia de arbitraje se garantiza si existe una medida de µruLabilidad cumo la ya mencionada. Entonces. el riesgo en mudelos de deuda corporativa proviene exclusivamente de las probabilidad de incumplimiento de lus pagos prometidos al poseedor de la deuda. A partir de este momento se considerará algún tipu de mudelu JJara dar cuenta del mercado de bonos libre de riesgo. Este mercado está caracterizado por la cuenta del mercado de dinero B (t) y el precio de los Bonos Cupón Cero libres de riesgo que tienen fecha de vencimiento en T, B (t, T). Los procesos se pueden escribir de furma genérica como:. B(t) = exp (1 r (u) du) 1. para la cuenta de dinero, y. B (t , T). S'ºt = E [ .'._. c,Q ''T. (1.1). l. Ft. ( 1.2). para el precio del Bono Cupón Cero. En estas exµresiones ,,. (11) es el pruceso de la tasa spot y Sf) es el bono sin riesgo. Por el momento, la manera específica de modelar el mercadu libre de riesgu es indiferente; se puede suponer perfectamente cualquier modelo de tasas de interés libre de arbitraje µara bonos. En el capítulo 2 de este traLajo se µresentan algunos de los modelos de tasa de interés que pueden servir para este propúsitu. Consideremos ahora el signiente proLlema. Qneremos caracterizar el prec1u de nn Bono Cupón Cero con riesgo emitido por una rnrporaciún i: Sea Vi (l.,'/') el µrecio en t de ese instrumento cun riesgo emitidu µur la emµresa i, _v que vence en T Además requerimos que tal caracteriza~ión µermita cunocer el preciu del Bonu C11JJÚn Ceru. tanto en el caso de que la empresa emisurn cnmµla los tPnninos del cunt1nlu de comµra-venta o, en su defecto, la emµresa no los cumµla. El caso más sencillu es aquel.

(12) 12 que cunsidera que si se µresenta el eventu de incnrnµlimientu. la fracción recuµerada por el tenedor de la deuda se recibe exclusivamente en la fecha de maduraciún del bono, es decir. en T. Baju este suµuestu. Vi (t. 'J') está determinadu µur:. tTi( V f. rr)= r,L'[B(t) B (T) donde:. (1 {r;>T} + u.ci(7'. ,W. ). · l{r'<T}. )1 F·]t. ( 1.3). ótT....,) = Tasa de recuperación. Ti. = tiempu de bancarrota del emisor.. B (·) = cuenta de dineru.. l{,'>T} - {. l¡,•<T) -{. 1 si. Ti. > ]'. O si. Ti. :S T. l si. Ti. :'.S 'f. Ü. si. Ti>. 'J'.. Si el emisor no cumple sus obligaciones con el tenedur de la deuda, entunces Vi (l, T) =. l. .. 1l. (t) 8i (T,w) F 1 . En caso contrario tenemus V i (t, rT) = E 1 [ BB (1') (t) / 1 . Es E, [ BB (T) claru que B(t) · ro B(f) ., (T) f/ ( l , u.:) < H (T) . µ11es la tasa de recuµeranun turna val u res entre ceru y unu. 13 En este caso /ji (T, w) indica simplemente la frarciún de µagu suLre los flujus µrnmet idos en situación de Lancarruta u incumµlimentu. l'na situaciún más rumµlirada runsiste en que la tasa de reruµerariún se µague en el mumentu de la Lancanuta. en O <. T. :S T. En tal rirrnnstancia la exµresiún qne. sustituye a la ecuación (1.3) es la siguiente:. ( l.--1). Bajo esta hipótesis, si existe incumplimiento del pago de la deuda, se tiene Vi (t., T) =. E1 [ B (t) f} (T 1 • w) f ,] . Por lo cuntrario, si se µaga la deuda completa, entunres B ( Ti) -.

(13) Vi(t , T). =. E t [ BB(t) (T). 1/ rl .. Debe notarse que bajo las dos hipótesis el cumplimiento de los compromisos de deuda nos lleva al mismo precio del Bono Cupón Cero: Vi (t, T). = :. /f).. Cuando esto no. ocurre. el preciu del bono corporativo puede ser distinto. Esta descriµción aún muy general tiene la bondad de ¡..,ermitirnos cambiar de nna hiµútesis a otra µor medio del µroceso de la cuenta del mercadu de dineru. En efectu.. fi" ('l',w) -. 8" (r',w) exµ(.[ r,.du) ,. El µroblema irnµortante es este µnntu consiste en escuger la fui rna fonrional de la t ,isa de recuperaciór.. Esta función se puede tratar de dos formas: l) Corno una cantidad exógena basada primordialmente en las series de tiempo históricas de los pagos dado el evento de incumplimiento, o como una cantidad deducida a través de los µrecios observados en el mercado de deuda corporativa; 2) Como una función del valor de la emµresa emisora. Los Modelo., de lntensid1ul µrivilegian el enfoque de rantidad exógena. mientras que los Afodelo., fandarnenlndo:; en d Vi11or 11' la Hm¡m su nsan rnalqniera de las dos formas de la tasa de recuµerarión. En los Alodelo:; /Jo,.,u,do:; en el Valor de la Rrnpn::;n, el tiemµu de Lancarrota se determina por el pruresu subyacente que descriLe la evolución del valor de la ernµresa: el evento bancarrota ocurre cuando el valor de lus artivus llega a. 1m. valur esperífin,.. En contraste. los Modelos Ba.,ado:; en Proce:;o:; IÍc hil<:11.súlwl traLajan ron µruresus de tipo Poisson µara caracterizar el evento bancarrota; la ventaja de esta alternativa es que el tiempo de incumplimiento. de presentarse, toma µor sorpresa a los agentes económicos. A pesar de que no hay límite estricto entre las dos formas de modelar la deuda ron riesgo. podemos afirmar que los Mo1lelo:; /Ja:;ruio:;. r.11.. d l'alor· de la Brn.¡nr;:;1L tienden a. tratarse como estructmas derivadas del traLa.iu urig;inal ele Black :V Scholes. es derir. como extensiones de la valuarión de opriones. Pur utra µarte. lus Alodelos /fo,:;udos. en Prore1;o:; de ln/.ensúüul elaLoran 1ma estructma parecida a la modelación tí pira de.

(14) 14 los modelos de tasas de interés. A continuación se propurcionará una visión de ambos enfoques o escuelas.. 1.1. l'v'lodelos Basados en el Valor de la E111presa.. Después de la aparición del artículo fundamental de Black \. Schules ( 197J). en el que se muestra la furma de valuar uµciunes euruµeas. el raminu µara la valuariún de deuda corporativa era libre. El primer autor en tratar el problema sistemáticamente fue Robert Merton. con sus artículos de 1973 y 1974.. Modelo de l\terton. Merton (1974) suµune explícitamente lu siguiente: A) Lus merradus financierus sun tales que nu existen impuestus ni costos de transacción. Los artivus finacierus sun divisibles tanto cumu se q11iera. B) Se permiten las ventas en cortu de tudus lus activus. C) Hay competencia perfecta en los mercadus de activos. Lus agentes ecunómicus no influyen en el precio de mercado. D) Existe un mercadu de préstamos en el cual lus agentes µagan la misma tasa de interés r. E) La comµra-venta (el µrucesu de lrwling) de artivus tiene lugar en tiempo runtinuu. F) El valor de la empresa no es alterado µur el rambiu de la estructura de rapital de la emµresa..

(15) 15. C) El µrecio de un bonu de descnentu libre de riesgu que }Jrumete pagar un dúlar en el tiempo i en el futuro es B (. i). = exp { -r ( i) }. donde r es la tasa de interés. instantánea libre de riesgo. Dicha tasa es la misma para toda. i.. H) El proceso del valor de la empresa (V) se describe pur la siguente ecuanun estocástica: d\,~. donde:. n. = (nv~ - Ci.) dt + cr\,~di·v (1). = tasa de returno esµerada.. C = flujos de efectivu que recibe u µaga la emµresa a sus acriunistas y tenedores de deuda. cr. TV. = desviaciún estándar del rendimiento esperadu. = movimiento browniano estándar.. I) La emµresa tiene dos tipos de derechos: 1) un tipo de deuda en forma de bonus. ésta es una deuda homogénea; 2) capital ( equity).. J) Las condiciones del contrato de compra-venta de deuda en forma de Lunos establecen: 1) La empresa µrumete µagar un tutal de /) dúlares a lus cum}Jradures de bonos en una fecha específica T; 2) si la emµresa nu cumµle con lus µagus prnmetidus a los tenedores de la deuda de la emµresa. éstos reciben. en '/'. el valor de la emµresa: 3) la emµresa no µuede emitir más deuda para hacer frente a sus µagus ni µnede µagar dividendus. tampucu le es i.iennitidu cnmlJiat la estructura de caµital antes de la fecha 'J'. Consideremos ahora que existe un activo financiero cuyo valor de mercado (X) depende del valor de la empresa y del tiempo, esto es, X. = F ('V, t) . La. dinámica del. valor de mercado de este activo es: dX. = (n:., x. - e,) r1, + (T_,. x dR~,... ( l.ó). Nótese que Cta·, C:r· cr,r y lV.r cumplen la misma funciún que sus similares n, C. cr. l1F del supuesto (H). Cumu X. = F (V. t). se µuede aµlicar la Regla de Itú y escribir.

(16) 16. , . ) = [ªF r , BF 1 'l ·'liJ'lF] /JF . dX(t - + (. a'\,-C_)-+-rrl dt+rr\,-_-dH av 2 1-Ji-·'l av , ·. at. ( 1.6). Comparando los términos entre (1.5) y (1.6) es fácil ver que:. ( 1.7). Se puede crear nn µortafolio financieru ron tres elementus: el valor de la emµresa. el activo X y la deuda libre de riesgo. Esto se hace de tal forma que la inversiún agregada en el }Jort.afolio sea cero. Si d Y ( t) es el rendimiento instantáneo en dinero del portafolio, entonces,. (·) _ nVdi d ,,, 1 t -. + rrVdH" (t) V. ·. u.•. vr 1. + o.J,Xdl +_\:rra.XdH·J· · T·l· · '2 + TL"~'3 · 1··df. donde ¾'i, ¾'2 , lF3 sun el número de unidades monetarias del portafolio invertidos en la empresa. el activo X y la deuda sin riesgo, respectivamente. Supongamos ahora que escogemos una estrategia particnlar Tl ~1. = lVj. de tal forma. que eliminemos el riesgo. es decir. que dl l" (I) = U: de esta manera el rendimiento del µortafolio medido en moneda (dY (t)) se vuelve determinístico. Por otra µarte, ya que la inversión neta del µurtafolio deber ser ceru. dicha inversitín debe ser tal que no µermita ganancias que µrovengan de oµurtnnidades de aruitraje. est,1 es. el rendimiento esµeradu del µortafolio baju la estrategia H). delw ser nulu. C'un estas dos condiciones. la primera para evitar el riesgo, la segunda para no permitir aruitra,ie. dan lugar al siguiente sistema de ecuaciones:.

(17) 17. rrlFi*. (o - r) vVt. + rT_,.TF; = O. + (ax - r) H'{ = O.. La solución no trivial de este sistema (W/. =/O). existe si. o-r a Si usamos las condiciones ( l. 7) podemos reescribir la expresión anterior de la siguiente manera: ( 1.8). La ecuación (1.8) es muy importante; es una eruación diferencial parcial µara V. Dicha ecuarión deber ser satisfecha por cualquier instrnmentu financieru qne µnecia ser escrito como una función del valor de la em}lresa y del tiem!Jo. Desde luego. la solución de (1.8) requiere que adicionalmente se proporcione una condición inicial y dos condiciones frontera. La forma explícita de las condiciones frontera es lo que caracteriza a cada instrumento financiero en particular. Es notable que en esta ecuación la variable F no de}lende de las características de otro ti}lu de activos nu incluidus en el portafuliu; tamµocu de}lende de las µreferenrias al riesgu de los inversiunistas. Así. si dos inversiunist.as tienen distintas rreenrias a µruµósitu del valur futuru de la empresa, y además tienen funciones de utilidad diferentes. µudrían estar de acuerdo en el precio del activu X. Para el µrublema µarticnlar de deuda que estamus tratandu (' = O debidu al su¡J1Lestu. (.J): además C\. = O, pnes nu hay µagus de cupunes. Entonr·es la ecnación (1.8) se puede escribir para este problema en particular como. 1 2 2 82 F BF 8F - a V ntr 2 + r V nv + -:--J.. 2. ÚV. .. Nótese además que comu l. = 'l' -. U. (/.. ¡)},'. I. entunces -:)rl. 1· F. ,. = O.. = - !·~. Ahura se de Len disrntir las. condiciones frontera y la condición inicial. Las condiciones fruntera vienen de las condiciones de contratu imµuestas en este.

(18) 18 mudelo. Si F (V. t) es el valor del buno curpurati \"LJ y. f. entunces el valur de la empresa está determinadu ¡.,ur V a que F y. f. F ( O, i). f. = F(Vi) + f ( V. i) . Debidu. únicamente µueden tomar valures nu negativos. tenemos que si V = O.. (O.{) = O. Pero rnmu F (v. i) :S V. entunces F (v.[) /V :S =. (V./) es el valur del rapi tal.. l.. La determinaci1Jn de la condiriún inirial se basa en lus s11µ11est1Js (J.1) y (J.2). además del hecho de que los dueños de la empresa designan la administración formal de la corporación para proteger sus intereses. De acuerdo a esto, en la fecha de madurez de la deuda. en T. (i = O) , la empresa tiene dos alternativas: 1) Debe pagar la cantidad. /J a los tenedores de deuda. o bien; 2) si no tiene los rerursos monetarios µara harer frente a sus obligariunes. debe entregar el valur de la empresa restante a s11s deudores. Es evidente que si O < V (T) . la empresa puede afruntar sns ulJligariunes ron los dendures µ11es el valur del caµit.al es simµlemente \' ('r) - /) > O; µur utra µarte. si. D > V (T). el valur del caµital es nulo. Si se µresenta este 1íltimo raso la emµresa inrnmµlirá a sus de11dures. ya qne de utru mudu tendría c¡11t> 1-1agar más dineru <lel que tiene disµunible, y no puede emitir más deuda <'urµuratin1 µara realizm dirhus µagus pues estu nu está permitido por el supuestu (J.:3). Por lu tanto. la cundir·i(,n inicial se pnede escribir como:. F' (V. O) = min{ U. V}. El problema matemático es:. Resolver:. s.a.:. F ( O,. i) = f. (O.[) = O ( l.Y). /<' ( V.. i). ----- < 1 \/. -. F(V, O)= min{D, V}..

(19) 19. El camino que elige Nlerton para solucionar (1.9) ronsiste en transformarlu en un problema de valuación de una opción europea, cuya solución ya la habían propurcionado previamente Black y Scholes (1973). En efecto, para determinar el valor del capital. .f ('V, i). .f (v, i) =. se parte del hecho que. V- F. (v. i) ; sustituyendo en (1.9). es µusible transformar el pruLlema en:. 1. 2 ·2 f-) -. 2¡·. . ,.. 2ª \, av2 + d. Resolver:. .) .. ¡J. .. .. DV - ./; - r.f = O. I (V. O)= max{U. V - U}. s.a.:. (1.10). J (o,i) = o. .r (vi) V. :S l.. Lo notable en (1.10) consiste en que la ecuaciún diferencial estucástica :v la primern restricciún rorresµunden perfectamente cun las expresiunes µara la valuaciún de 1 rna. Opr:ú5n Call. J,}1LTOJ)(;a. tratadas pur Black y Srhules. En (1.10) el valor de la empresa. y D tienen el rol de .. stuck· y el µrecio de ejerricio en el mudelu de Black ~- Schules. Aplicando la fórmula cunucida para. f. (v, i).. C'umu V. (v. .i) =-. \ • --. f. (v. i). entunres. la solución para el proLlema de denda con riesgu es: (l.ll). Donde:. De·-ri d=--. v - [ ~ a 2i - log (d)] 2 h 1 (d, a i) = __L.___ , (TV/. [}a (d.rr t) = ~~ :.! •. h2. -. 2. / -t·. l0g (d)]. --,=-_-- -. ov·t. ---.

(20) 20 Es interesante notar que dadas las condiciones del contrato de deuda, la condiciún inicial en (1.9) µ11ede esniuirse alternativamente romo min{ D, V}=/)+ min{l" - JJ. O}. = /) - max {/) - V O} . en donde la parte derecha de la exµresiún se puede inter:¡Jretar cumo la suma del rnlur de la deuda más una oµciún µut soure el valor de la emµresa. En el modelo de l\lerton la estructura de las tasas de interés con nesgo se µ11ede outener simplemente variando el valor de T. Tal estructura corresponde a la ecuaciún (1.3) , pero con un valor parcial igual a D en vez de l. Si la empresa incurre en inrnmµlimiento ( { Vr < /J} = {T = T}), el µrecio del préstamo con riesgo realizado µor la empresa i es. V;(l.'J'). =. ¡._;1 [ B('f') R(t)_. ya que la tasa de recuperación es ti ('J'). = Vr/ D.. '-:·1/ l · 1. ,. Si. por lo contrario, la emµresa µaga. sus obligaciones. el µrecio del crédito con riesgu es. vi. (t, T). (t) D1f = Et [ BB (T). t. l.. Desarrollos Posteriores.. El trauajo de ~\Ierton da inicio a la investigación suure deuda con riesgu y marra las µantas generales µara est udius µusteriores dentru dE'I marru dE>l r·umµurLLrni,,111 u econúmico-nmtable de la empresa.. En efertu. el riesgu del néditu cur:¡Jur,ir in, st.'. explica y se valúa en el contexto de la tíµica empresa maxirnizaclura de Lenefirius: por otra parte, la identidad contable.

(21) 21. Valor de Acti'l'08 = Valor de Pasú•o.'i. + \/ alo1· del Capital.. es el mecanismo para exµlicar razones del porqué la emµresa puede incnmµlir a s11s dendores. 2 Uno de lus asµertos más urgentes que :derton planteú romo tarea para ulteriores investigaciones fue el de la valuación de deuda ron riesgo que considernrn bonos corporativos ruponados. A diferencia de la deuda libre de riesgo, para la cual un buno cuponado puede valuarse como la suma de los µrecios de Bonos Cuµún Ceru con diferente fecha de vencimiento, el valor de la deuda con riesgo es problemática µues cuando la emµresa inC11mµle en el pago de un cupón. también lo hará ron lus restantes: los pagos parciales de la deuda (ruµunes) no son independientes y. en consecuencia. no se puede determinar el precio de la deuda sumando precios de Bonos Cupón Ceru. l\Ierton no llega a una fórmula cerrada para la solución de este µroblema. Greske (1977) usa la idea de una oµción romµnesta para Yal11ar bonos rorpurativos rupunados. En este modelo en tuda fecha de pagu de rnµún. >' hasta la fecha de vencimiento de l,unu (T), los dueños de la empresa tienen la upriún de pagar el rnpún correspondiente o entregar el valor de la empresa a sus deudores; en el tiempo '/' tienen la opción de recomprar sus derechos a los deudores pagando el principal u, en su defecto, también entregarán el valor de la empresa a los tenedores de deuda. Por supuesto, si la empresa realiza el pago de todos los cnpones retornamos a la estrurtnrn original del modelo de :\Ierton. En el modelo de Creske se suµone que la empresa refinancia cada cuµún pagado run capital; la Lancarruta orurre ruando nu puede emitir nuevo capital. Si D 1 es el monto de los pagos para t. < 1'. entonces la empresa se declarará bancarrot.a Cllando D 1 > ,c.,',, donde S, es el valor del capital para / < '/'. :'.'Jo obstante, la bancarrota puede µresentarse ind11s1J si. !), ~- .'··,',.. La explicaciún de. este fenómeno es que / h· puede se mucho más grande que .'·,,. \. :-;, ligeramentP. mü.\·u1. que Dt; entonces el valor del capital sería tan pequeño que lus dueños de la empr<.>sa pueden decidir no pagar el cupón. Por otra parte, si la empresa puede afrontar cualquier pago cun la liquidación de sus :.!Véase el trabajo de Biihn (1999. 2) que comenta ci-tc· aspecto exte111-rn11c11te..

(22) 22 activos, entonces los d11eñus estarían interesadus en realizar el µago del cuµún siempre y cuando D1. < S\, ya que de no hacerlo el valor del capital se reduce a cero debidu a que los tenedores de la deuda recibirían el valor de la empresa. Greske obtiene fórmulas cerradas para la valuación de este tipo de deuda, sin embargo, el gran problema es el cálculo de las distribuciones normales multivariadas que aparecen en dichas fórmulas. A raíz del t.raLaju de ~Ierton el estudio soLre las cundiciones límite que afectan a la deuda con riesgo se ha extendido. En un artíc11l0 suLre el tema. Black y Cox (1976) est11dian sistemáticamente las cundiciunes de rontratu de la denda curporativa. En particular, en su análisis sobre conuenios de segurúlrul en las cundiriones de cuntratu. desarrollan un modelo en el que la bancarrota de la empresa µ11E:'de presentarse antes de la fecha de vencimiento de la deuda. La idea intuitiva para resolver este pruLlema consiste en considerar una deuda con riesgo caracterizada pur un bono corporativo cuponado; si pensamos en términos discretos, la solución se puede encontrar recursivamente con la condición terminal en cada etapa (cada fecha en la que se paga el cupún) que es determinada por la soluciún de la etapa previa. Si en una fecha determinada la empresa incumple con el pago correspondiente, el d11eñ0 de la deuda rerilJe el valur de lus activos de la emµresa: si nu es así, la emµresa µaga el cnpún y el valur del derecho es el valor corriente menos el cupún. Dichu valor será determinadu en relación al pagu del princiµal en la fecha de madmez del Lunu. El tenedor del derecho puede entonces determinar su decisión úptima; cun tal regla de decisiún es pusi Lle encontrar el valor del dererhu cumu una funciún del valor de la empresa en la etapa previa. Black y Cox establecen que si el valor de la empresa cae hasta un nivel preestablecido, entonces los tenedores de deuda pueden forzar a la empresa a la bancarrota, recibiendo el valor de los activos como pago. Como podemos observar, en este modelo la valuaciún se convierte en un problema de primer tiempo de paro (.firsl-pas.•w_qc-lún1. problem), es decir, en este modelo se determina la µruLalJilidad de el primer tit·mpu en el que el valur del derecho pase a través de cierta "barrera de bancarrutrt'" de.

(23) 23 la emµresa. Adicionalmente, comu era de esµerarse. estos autures muestran que la existencia de este tipo de convenios de seguridad anmentan el valor de la denda rurµorativa. La elaLuración de modelus cun cunvenios de seguridad y cláusnlas de protecciún µara el comµrador de la deuda se ha extendidu en los últimos años. Efectivamente. en lus mercados de deuda corporativa se estaLlecen dichus runvenius .v cláusulas µara µermitirle al tenedor de la deuda actuar en el casu de que las rundiriones de la emµresa emisora se deterioren de alguna forma medible. A diferencia del modelo de :\lertun, en el cual los poseedores de la deuda no pueden intervenir bajo ninguna circunstancia, ya que la bancarrota del emisor tiene lugar en la fecha de vencimiento de la deuda, varios modelos operan con ciertas condiciones límite que posibilitan a los tenedures de deuda forzar a la emµresa a reestrurtnrar s11 rumµosiciún de raµital. u lJien. a liquidar de inmediatu. Ejemµlos de este mudelu qne dirigen run distintas rundiciunes de rontratu son: Cuuµer y Mello (1991). :v Rendleman (1993).. Otra tendencia en la investigación consiste en inrlnir 11n pruresu de la tasa de interés libre de riesgo de forma estocástica. De esta manera, lus mudelos deben cunsiderar la correlación entre el valor de la empresa y la evolución de los rendimientus de la deuda libre de riesgo con distintas fechas de vencimiento. La idea central aquí consiste en concebir los valores de los activos y pasivos de las empresa dependientes de la tasa de interés. Longstaff y Srhwartz (1995) muestran que la existencia de dicha correlación afecta signifirativamente el valor de la deuda <'orµvrnt.iva; adicionalmente, estos autores muestran empíricamente que los márgenes de crédito ( credif spreu.ds) se encuentran runelacionados negativamente ron el nivel de tasu de interés.:¡ Para resumir la direrciún de las investigaciones de lus Modelos Ba.wulos en el \'íd/11· 1 : EI /1.Iárgen rlr Orf.rlito se ddi1w co1110 la difcn•1wia <·11tn· los n·11di111i< 11t11s pagado:-; pur lo:,; hu11u:-; con riesgo y hunrn,; libre:, ck rit>:-;gu. cuu la:,; ini:,111a:-; ÍC'dia:,; dP ve11ci111i<:11t u.,· ta:--a de cupú11 id<'·ut ica:-;. Se han realizado u11 buen número de invesligacione:-;subrc el particular. La cvide11ciaempírirn :-;11gi1Te que la estructura temporal de los márge11es de crédito para bo11os co11 allH calidad crediticia cn-n· monotónicamente, en tanto que tiene forma de joroba para bonos de baja calidad crediticia. Sulire e:,te tema se pue<ll' consultar los trabajos de Saring y Warga ( 198!)) y Biil111 ( 1999, 2)..

(24) 2-l. de la Empresa. µuden cunsidernrse lus siguientes er11ariunes diferenciales esturástirm,, que descriLen lus :µruresus de tasa liLre de riesgu ~- \'alur de la emµiesa respectirnmente:. d\/ (t) = '/" (l) V (t) di+ CTvpdlV 1 (t). + CTv/f-=ty2dll·:l (t). donde -1 < p < les la correlación entre r (t) y V (t); lV 1 (t) y H' 2 (t) son movimientus brownianos estándar inde:µendientes: µr. CTr. CT,. sun funriunes L>ien rumµurtadas q1te deµenden de (r (l) . V (t). l). También se req,:iere 11na funriún K que rararterize el valur límite de V (t) en el r11al la empresa se declara en bancarrota. Adicionalmente. se añade la función de pagu. 8 (/(. t) que determina lus flnjus de efectivu µara lus tenedures dP deuda en el cns() clP Lanrarruta u inrumµlimientu de las uLligaciunes. Existen dus metudulugía µara resolver el :µrublema anterior. La :µrimera de ellas consiste en el uso del enfoque de ecuaciones diferenciales µarriales. Para ello se suµone que para todo t, O < t. ~. T, el valor del Luno se puede exµresar. rumu una funci,Jn F (r 1 • 11;. t) ; F es una funciún continua run primera y segunda derivadas. Aplicandu la regla de Itu µara los dus ecuaciones anteriures se uLtiene:. nF. df,'. f)F. l A2 f-". l)F. l A2 ¡;·. l 8 2 /·'. l. = [ ~)f + --;:;-µr + o".'ltv·.r (t) V (t,) + ~L. ~ur 2 CT; + ;~-) o"-1v.~<T~ + -_;-)· oro0.F<TrCTvfJ di+ e. 01· " v ,i. AF. 1 Ar r dl,,V (l).. _·- ( T. DF. + -¡)\<.T. . _1. pdll. (f) V. ;)¡,·. ._ --- --. +m ---·.<T \ / l -· p'.l<fll" 1 (/). '. Turnando la esperanza, suponiendo que E {dF}. = r (l) Fdt, se llega a:. Finalmente se propurcionan las rundiriunes fruntera µara determinar el ]Jagu a lus.

(25) 25 tenedores de denda en casu de Lancarruta. :v. c1iandu ésta nu se }Jresenta.. Varius artículus se han elalJuradu cun esta }Jrimen1 merudulugía: algunus de ellus se encuentran en Black y Cux (1976). Titman ·y Turuus (1989).. :v. Kim. Ramaswamv :v. Sundaresan (199:3). La segunda metodulogía intenta evaluar la expresiún (l.-!) de forma directa. Parn hacerlo se tiene que calcular la distribución del primer tiempo de paru para V (l). es decir, la distribución del primer tiempo en que V (t) alcanza un límite inferiur (barrera de bancarrota). En algunos modelos, a pesar que 1/ (t) no alcanza dichu límite inferior, es posiLle que el valor de la empresa sea menor a valor del prinripal en T; en este caso hay que calcular la distri buriún de V (T) rundicionada a que V ( /) no ha alcanzadu el límite inferiur. Cn ejemplu de este enfuc¡ue es, pur sup11estu. el modelu de Blark y Cux: otros mudelos que privilegian esta metudología sun el de ~ielsun. Saa-Requeju y· Santa Clara (1993) y el de Lungstaff ~· Schv,'artz ( HJ!:)5).. 1.2. l\1oclelos Basados en Procesos ele Inten:-;iclad.. El verdaderu retu para lus Alodelos lia:;ados cu el l'<1.lor de la J_,,'mpre:;a estriGa en la dispunibilidacl de los datos, particularmente el valur de la empresa es una cantidad abstracta que típicamente nu es observable. Esta sit11a,iún ha llevadu al desarrollu de nuevus modelos. cuya cararterísti,a princiµal radi,a en que la bancarrota se cunsidera un evento ,omµletamente exúgenu. En los Modelo.'i Ha.'iaclo:;. t:11.. JJrnc:e:;us de }·11.lc:nsitlwl la exµlirnciún del µurc¡1w la em-. µresa es llevada a la bancarruta y. µur tantu. incumple en sus pagu::.. estc:Í ai1s1°11te. Ot' hechu en tales mudelos la estrnctura de caµital de la emµresa emisora nu ,i11ega I m rol importante. El divurciu entre la estructura de capital del emisor y el del eventu de banrarruta µermite mudelar el ··incnmµlimientu"' como un eventu imµrede,iGle, gobernado µur un pruceso de tasa de riesgu (hazard rafp,)..

(26) 26 En términus muy generales en estus modelos se µarte del su1mestu que existe un µrureso AJ (t.)= l{ 7 ·<r¡ y un µruresu A. el cual es rreriente y µredecible: estos µrocesos son tales que (M - A) es una martingala. y además ;l (t). = ( >.sds. para un µroresu. .fo. >.. es no negativo y adaptado. Con >. se simboliza el µrucesu <le intensidad de la tasa de riesgo. El ejemµlu más típico en este enfuque es un µrucesu cuyo únicu saltu es el primer salto de un pruceso de Poisson con intensidad ,\. En el proceso de Puissun queremos tener una intensidad de la forma>. (t). = >. · l{M,=O}, tal que la tasa de riesgo. implique la idea de que un salto que ocurre sobre un pequeño intervalo de tiempo es pruporcional a la tasa de riesgu, estu es, lim. ,, .(). [~p (A/111, /¡. A/1 = ll/\/1 =. o)] = >-.. En este runtext.u. la condición que indica que disµunemos de la información hasta el tiempu l, significa que la información está en la filtración generada µur el µruresu .·\ /. De esta forma. el eventu de bancarrota es ol>servado tal y cumu ururre. Una forma intuitiva de ol>servar cúmu afectará la tasa de riesgo el µrucesu es la sigtüente. Consideremos que la tasa instantánea del riesgo de bancarrota (>.) es constante: este supuesto simple nus µermitirá observar cómo >. influirá en el valor de un bonu ron riesgu. Si en el tiemµo l la empresa emisora de la denda nu ha incunidu en bancarruta, entonces la prol>abilidad de bancanuta para el int.errnlu ( l. + 61) es >.dt.. Sea q (l. T) la. prubabilidad de que la emµresa emisora de deuda no incurra en Gancanota antes de T. dado que este evento no ha ocurrido hasta t. Entonres. la µrulJa!Jilidad de l>ancarrota entre. i y (i + Lii) . µara i > t. es >.dt · q ({. T) . Entonces.. <J. (t -+ 6i. T) - e¡ (t. r). >- dt · q ({, '1') . Ahora, para l:::,f .- O. la expresión anterior se µuede esrri Gir rumu:. 8q. 8i = >.q (-t., T ) .. Esta es una ecuación diferencial nu estucástica: con la condición q (T. T) obtiene q. =. t: A(T. 1). 1 se.

(27) '27 Consideremos un Bono Cupón Cero con riesgo en t. que vence en T: ("V (t. T)). El valor de este bono es:. V(t,'í')=B(t.T)e. >.(r 1J.. donde R (t. T) reµresenta el valur de un Bunu Cuµún Cern lilJre de riesgo. :\Iás aiín. el rendimiento al vencimiento del Bono Cupón Ceru con riesgu es:. , R (t. 1) . ·. =-. (t.. I)]. log [B T) e >.(T -"--------=-. (T - t). lug /J (1. '/'). = >. - --- - - -('r - l). .. ( l. l:l). Como puede observarse, tanto el precio como el rendimiento del bono con riesgo sun influidos µor margen,. >.. En particular, nótese que el rendimiento para estos bonos le añade un. >., comparado cun el rendimiento de los Bonos Cupún Cero libres de riesgu;. además dicho margen es con.o;fu:n.tc µara tudas las ferhas ele vencimiento. La µrimera forma de modelar la bancarrota cumu 1m µrucesu de intensidad runsiste en suponer que existe úulependencia estadút.ica entre el µruresu de tasa sµut (r), la función de recuµernciún (h) . y el tiemµo de µaru ( r*) . Este supuesto µerrnite que la estructura temµurnl de las tasas de interés liLres de riesg;u esté seµaracla de la modelación de lus hunos corporativos cun riesgu; en tal casu úniramente es neresariu modelar la tasa de recuperación y el proceso de intensidad. El supuesto de independencia permite asimismo que los precios de los Bonos Cupón Cero libres de riesgo,. H (t. T), sean consistentes con cualquier modelo de tasas de interés escogido. Lu que se busca de entrada es que el precio de un Bono Cupún Cero con riesgo en t sea. \/ (1. T) - E [. l.. ex¡, (- [/, (11) d u) l1 ,. y. \/ (U') - E. [ex¡, (- [,·(u) d11) h ('l'":)I / ,] ,.

(28) 28 para los casos en que nu se presente la bancarrut a u sí ucnna respectivamente. Estus dos casos pueden resumirse cun la expresión:. (l.1-l). Si se supone para (1.14) que r, ó y T* son independientes, y considerando el hechu que la información cundiciunal en t cont.iene el evento M (t) ==. l{T·<t},. entonces (1.14) se. puede escribir rumo:. V (t. T) = t,H (t, T). + l{T.>I} (l -. h,) R (t ,'/') ,'·i (t' 'J')'. donde:. B (t. T) - E [ex¡, ( -. s (t, T). [r (v) dv). l. 1,. = Q [T* > TIT* > t].. A b, se le llama Tw;o, rfr Rffuperación Condicional, en tantu que S (t, T) es la J>rnba-. bilidad de Super'llivencia. En Jarruw y Tmnbull (1995) se µresenta nn mudelu que s1tµune, de entrada. c¡1te la tasa de recnperariún es cunstante, O < b < l. Por otra µarte, r* se distri\Jnye exµunencialmente. Se estaLlere que el valur de nn bunu cun riesgo es:. V ( /. 7') = e ( t) 11 ( I. '/') . donde: e (t). =. 1 si t < T* {. /j. si i. 2'.. T*.. La función e (t) jnega el µaµel de nn tipu de carnLiu ent.re una muneda. :v. utra. En. efecto. en esta estrnctura los Lonus cun riesgu µueden ser I nudeladus rurr1u IJunus.

(29) 29 de moneda extranjera denominados en µesos '"µrumetidus". Si la empresa nu µaga. entonces el tenedor de la denda reril>e únicamente h ( ,•) fJ (. ,*. T): µur utrn µarte.. si la empresa paga los flujos prometidos. el dueño de la denda recibe B (l.. 'f).. El. bono libre de riesgo B (l. T) se modela a través de la curva de tasa forward cun 1m componente de salto. definido µor el proceso A/(/)= 1¡,·<,}· La eruaciún diferencial que usa el modelo es:. df (t, T) = [a (t, T) - 0 (t, T) A] dt: + cr (t. T) dH·· (t). + 0 (l. T) d!VJ (t).. (1.15). El aspecto interesante de este planteamiento consiste en que la dinámica del µrecio de l>ono con riesgo es, en realidad, impactada por dos saltos en caso de bancarrota: el primero es el salto en la tasa fonvard, el segundo es el salto en el proceso e (/) . Unu de los prul>lemas principales de este modelo cunsiste en el suµuesto de nna intensidad de l>anrarruta constante. En efecto, las emµresas emisuras de denda tienen distintas intensidades de l>ancarruta. deµendiendo del hurizunte de tiemµu cunsiderndu; así µur ejemµlu. las emµresas cunsideradas rumo sólidas delwn tener µeq11e11as intensidades en el fotmu cercano de emisiún de la dencla: sin ernLarg;u. la µrulJnlJilidad de lmncarruta del>er ser ma:vur a medida qne su denda madura. Esto es lu q11e lle,·a a Jarrow, Landu y Turnbull (1997) a extender el modelo original y µlantear el nsu de la información de la calidad de crédito de las emµresas µara la valuaciún de la deuda corporativa. En el trabajo de Jarrow. Landu y Turnbull (1997) se caracteriza al µruresu de bancarrota ,un una cadena de :\Iarkuv ,un estadus finitos. q11e currespunden. ,1. In. calidad de crédito de las emµresas. Aquí taml>ién se supone indeµendencia entre el proceso de bancarrota :v el µroceso de la tasa lil>re de riesgo. En µarticular, la distribución del tiemµu de bancarruta. T'.. se mude la run una radena. de :darkov en tiemµu rontinuu ron un número finitu de estadus _.. .,.. = {l. 2 ..... l·(}. El. conjunto S representa tudas las posil>les clases de néditu de ac·uerdu a los nilerius de clasificación de emµresas calificadoras de crédito. Los (A: -1) µrimeros estados corresponden a las calificaciones de las empresas, comenzando µor la Aaa, y terminandu en.

(30) la C (de acuerdo a ?\foody"s). El estado !{ es la bancarrota. La radena de :\Iarkuv. {·,¡, : O '.S t '.S T} se define en términus de sn matriz. genera.dura /\:. >.2.1. /\= >. /(. l. a. 1.1. o. o. o. o. /{. donde >.i.J 2 O. µara tudu i, j: además >.,. =-. L >.,_¡:. I. = l. 2..... /(. .i 1 .i;;. Los términus A, 1 fuera de la diagunal µrinciµal de la marriz /\ representan las tasas de transición o los saltos del tipo de crédito i al t.iµu j. La última fila con tudus lus elementus ceru implica qne el estadu k (la bancarruta) es nn estado absorbente. Dadu un estado inicial 'f/o. =. i, la cadena permanece en dichu estado un lapso de tiemµo. que es exµonenrialmente distribuido ron µarámetro >.i: .la cadena entonces salta al estado j. ron µruLaLilidad >..¡/ >.i. Lus autures obtienen nna matriz de transiriún de µrubaLilidades a través de la matriz generadura /\. La mavur dificultad de este mudelo estriba en que la cadena de \farkuv anment a el númeru de µarámetros a estimar. Jarrow. Landu :v Turnbnll sugieren el uso de las matrices de µruLaLilidad de transiciones históricas disµuniLles en emµresas ralifiraduras. Si lJien ~sta es una s,_,l11(·i,Jn. es incompleta µues su validez emµírica está en juegu.· 1 Pur utra µarte, s11 esrndi,, es relevante µues considera µur µrimera vez la calidad del créditu en la vahta('i<Jn de In deuda corporativa. •1 En. un estudio posterior Jarrow, Landa y Yu (2000), justifican el u::;o de las inte11::;idadl':-; de baucarrota empírica:-; para valuar bono::; con riesgo. Los autores aplican la noción de diversificaC'Í(>II condicional a houus corporativo::; y mues! ra11 q1H' la funciúu rk int.cnsidad <·s la misma bajo la me( !ida martingala y empíricamente. l.'011cluye11 que 1,~ j11slifiC"ndo estimar las i11t.e11::;idades P111píricm, ck ba11carrot.a de ]o:-; datos hi::;túricus 1h• ha11(·,1rruta . .\' usarlos ¡mrn n1hwr lu~ lirn11,s curpurat in,,-,..

(31) :n A la fecha existen varius traLajus de valuación de deuda con riesgo en los rnales se mantiene el supuest.u de inde¡wruleucia estwlí:;firn entre r y ,\, Un mudelo que permite que la tasa liLre de riesgu. :v. la intensidad de Lanranuta. estén correlacionadas es el de Duffie y Singletun ( 1999).. Al igual que en los dus. modelos anteriores. Duffie y Singleton modelan la bancarrota como un pruceso impredecible inducido por una tasa de riesgo; sin embargo, su modelo se distingue pur la parametriza,ión de las pérdidas dada la bancarrota en términos de la redncrión fraccional en el valor de mercadu de la deuda. El modelo considera en general un derechu cuntingente qne \'ence en T. y que paga una cantidad X en esa fecha en casu en que la empresa cumpla sus uLligaciunes cun los tenedures de deuda. Se turna cumo dada una estructura liLre de arbitraje en la que cualquier tipu de artivu fi.nancieru es valuadu en términus de ,. .\· la medida maningala equivalente Q. Duffie y Singleton reemplazan la tasar µur utr..1. que ajusta el prur·esu de tasa de interés sin riesgo a otra tasa, R, que cunsidera el e\'ent.u de Lancanuta. En particular, el valor de mercado del derecho contingente en el tiempo cero lu escri Len comu:. V(O) - E'i/. dunde:. [•xp (- f li(l)dt) x]. H(t) =r(t)+,\(t)L(t) r (t) = tasa libre de riesgo en t. ,\ ( l). = tasa de riesgo de bancarrota en. l.. L (t) = fracción de pérdida del valor de merradu si la bancanuta ocune en t. El término ,\L es la Tasa Media de Pérdida neutral al riesgu del derechu delJidu al evento bancarrota. Lo notable de está formulación consiste en que ,\L es dadu exógenamente, esto es, nu depende del valor del derecho en sí. Esto conduce a que lus mudelus conucidus subre tasa de interés pueden ser aplicables directamente usandu H en lugar der..

(32) 32 Por otra parte, el supuesto típico de los modelos de intensidad en los que la tasa de recnperación y la tasa de intensidad de riesgu no dependen del valor del dererhu contingente V, nu es adecuadu µara ciertu tiµo de instrumentus financierus. En efertu, Duffie y Singletun (1997) muestran que. >. deµende de \' parn el casu de runtrntus. swaps en donde la contraparte tiene distinta calidad de créditu. En su artículu de. 1999 estos autures extienden el análisis µara el casu en que. >. ú. T, dependan del µreriu. V. Lo que muestran es que la hipútesis de ausenria de ar!Jitrc1jc imµlira que \ - es la solución de una. ecuación diferencial parcial nu lineal. Este enfoque lu aµlican Duffie y Singleton (1999) al caso en que el derecho contingente sea un bono corporativo y opciones derivadas de este bono. Lu más relevante de este análisis es lo siguiente: a) Se discuten las implicaciones µrácticas entre considerar la nociún de µérdida de valor de mercadu y la idea de utrus mudelus en lus que la IJancarrota implica la µérdida de una fracción del valor parcial de la deuda cuµurativa. L) Se desarrulla una versiún µara Lonos corµurativus del mudelo Heat h-Jarn1,\'!viorton (1992) utilizandu el µruceso de tasas furward nsuriadus cun H (t) en ,·ez de,,. (l.). En µarticular, se derivan las restrirriunes ele <Írifl nsuales en el mudelu Heath-Jarruw-1\.fortun µara el casu de bonos cun riesgu. c) Para el caso de ·'Lunos rorµorativos que no puedan ser llamados'' ( 1wn-r:nllohle bonds) no se µuede separar la estimación de la tasa de pérdida media>. (l) T.1 (t). Esto muestra que la relación entre. >. (t). y L. (t) es problemática y no µueden. estimarse por separado. Esta es una cuestión nneial: sería pusible hacer estimaciones de. >. (l) y L (t) si se tuvieran distintus instr:unentus de denda pur. µarte del mismu emisur. sin embargo, la escasez <le datus emµíricus al res¡)(-'du nu µennite hacedu. d) Se desarrulla un ejemplo en el que se valúa 11na oµri<ín ¡mt sobre el Lunu rur¡Jurativo cun riesgu. permitiendu qne la tasa li Lre de riesg,J ( r (t)) de riesgo ( >. (l)) estén currelariunadus.. :v la. in1 f'J 1sidnd.

(33) En Lando (1998) se µresenta un modelo en el rnal se usa 1m µruresu de Cox (tamGién conocido como un doble µroceso estocástico de Poissun) µara establecer una estrnctma µara valuar deuda con riesgo. La clave en este modelo es la relación de dependencia entre el proceso de tasa libre de riesgo y las características de la bancarrota en las empresas. La intensidad de bancarrota es un procesu adaµtadu a una filtrarión f3 : ésta runtiene la información relariunada a la estructura terminal de la tasa lil>re de riesgu y de utras varia oles de est adu. Se requiere que Q[banrarruta en (t. l:. + 6.t) JB,] '.:::'.. >.. 16.t. para 6.t .- O, sobre el cun-. junto {T* > t}. Sea f la filtración generada µur el µruceso l¡r·<t}· y se estalJlere q1w. l , = f,. V B1.. Lando desarrolla la estructura requerida µara el modelo :v enrnentra que para prúµusitos de valuación de deuda con riesgo la tasa libre de riesgo, r (1) , deber ser sustituida por la tasa compuesta (r (t.)+ A (t.)). El ejemplo más sencillo de deuda con riesgu es determinar el precio de un Bono Cupón Cero rurporativo qne vence en 'J', en el qne la tasa de recuµeraciún es rero. Para este bunu el µreriv es:. V (t. '1'). = l¡n,¡E [exp (- [. [r (X.,.,). + A (X" , )] dsl B,). l.. En este trabaju de 1998. Landu aµlira su metudulugía al mudelu de J arru,,·. Landu y Turnbull (1997) para µennitir instensidades de trnnsiriún estucástiras entre las. distintas categorías de calidad de rréditu.. En la actualidad hay un campo fértil para la investigación de la deuda cun riesgu. La µrol>lemáti('a qne se µuede percibir sobre el estadu artual de la investigaci1.ín v posibles futuras tendencias se resume en los siguientes µuntus: a) Los Modelos Rasado.'i en el Valor 1lr: la L'm¡H·1·s11 µlantean de una manern intnitiva las razunes que exµliC'an el purqué. 1rnLt. empresa c¡11e emite de11da p11ede.

(34) 3-1. caer en bancarrota: simplemente incumplen sus obligaciones porque el valor de sus activos es insuficiente para cubrir sus comµromisos de deuda. El µrublema con este enfoque es que no todos los activos de nna emµresa sun oLservables ni son mercadeaLles: pur otra parte. para 11tilizar esta térnira es necesario especificar la comµleja estructura de priuridades de liquidación de los µasivus de la empresa, e incluir esta informarión en el µrurern de valnarión; sin embarg;u.. como lu han señalado Junes. :\Iasun y Rusenfeld (198-1). estu nu es senf'illu. b) En los últimus añus se percibe una tendencia a trabajar con .Modelos /Ja.,udo..;. en Proce8os de lnten8idad de bancarrota. Se señala como principal debilidad de estos modelos el hecho que abandonen el mecanismo económico que exµlica el incumµlimiento cun lus tenedores de deuda. ~o ubstante, estus modelus µueden aµlicarse a la valnación de un número mayur de productus derivadus. Es cada vez más rumún en este enfuqne runsiderar la calidad de néditu y los márgenes de créditu en el µrucesu de valuación.. c) Entre lus investigadores subre el tema existe la µerceµción que hay que traLa,iar más subre la validación emµírica de los mudelus. En general, faltan inwstigaciunes relevantes sulJre el testeu sistemátiru de la <lencla rurµurativa. Se p11('<len identificar algunus factures que influyen en esta situación: l) ~o existen <latus en cantidad y calidad suficientes; esto. a su vez. nu permite pur ejemplo determinar adecuadamente las distintas calidades de crédito; 2) los merradus curµurativos sun incompletus. :v trabajan con ineficiencia: 3) en los rcmtratus de deuda. las. condiciones y términos que se establecen sun cada vez más rornµlicadas: ello implica una rnayur rumplejidad para la rnudelación :1 el testeu del mudelu: -1) lus estudius emµíricus turnan cornu tasa liLre <le riesgu la infurrnacil,n qne pru,·iene de la estrnctma temµural de tasas de interés de lus bonus emitidus pur lus gubiernus federales: lu adecnadu sería 11tilizar la tasa rurµurativa libre <le riesgu. sin embargo. ésta no existe cumu tal. d) La modelación tiende a tomar en cuenta utrus tiµu5 de riesgo. curnu µur ejemplu el riesgo a la liquidez; además es necesario µrufundizar la investigación subre.

(35) los determinantes de la cuantía de la µérdida munetaria E'xµerimentada µur lus deudures en rasu de presentarse el eventu de inrurnplimientu..

(36) Capítulo 2. Modelos de Tasa de Interés.

(37) 37. 2.1. Dinánüca de 1nercado.. Suponga un espacio de probabilidad (D, f, P) y H (t), OS t S 'J'. que es un movimiento Browniano. {I. 1}. denota una filtración completa y continua por la derecha generada. por B (t). Consideremos un bono sin riesgo S 0 y un activo con riesgo .'-,' 1 • Supongamos que. dSº(t) Sº(t). = r(t)dt,. dS 1 (t) SI(t). = µ(t)dt + CJ(t)dB(t).. además,. Los prures0s r(t). µ(t), a(t:) son procesos estocásticus adaptados (nótese que en µarticular r(t) es 11na tasa de interés estocástica en general). Considerése ahora una estrategia de trading autofinanciable (Hº, H 1 ). El proceso de valor o de riqueza es:. X(t) = HfSf. + H,1S,1.. Entonces,. dX(t) = H?dSf. + SfdHf + HldS¡ + S¡dHl (por ser autofinanciable). = r 1(X(t) - H,18/)dt+ H,1dS/. Ahora. con 0({). =. J1(t) - r(t) a(t) (lo que requiere que CJ(t) =/. O), bajo la medida P 11 . el. proceso H-' 11 es un movimiento brownianu. dunde. dW! = 0(t)dt. + dJJ U)..

(38) 38 . b aJu . · P 11 , e1 proceso d escuntad u d e riqueza . X (t) y a d emas. , E n consecuencia, es S'º(t),. Esto es, para cualquier estrategia autofinanciable el procesu de riqueza descuntadu. (X 1 /S?) es una martingala uaju la medida Pº. Consideremus un derecho cuntingente h E. L2 (n. f. .. · Ivf (l) .-- E f}. [. Entonces:. T ).. l. h. F , ~. Sr. es una martingala, y usando el Teorema de Representación de ?vlartingala, tenemos. M (t). Sean ahura: fll 1. =. = M (O)+. fot </J (u) dW. 0. (u) .. c..•O, u1cpt. 5·1t .. (J t•-. l'vl (O) = X (O) = E. 0. [- ~:. Sr. 1f. o]. = E0. [-~h S,r. l ·. Podemus ahura escribir. M (t) = X~t) = X(O) + /" H~cr(t) s:~d1't. 0 (n). S(t). Pero. como X( t: ). =. H 1oSt~o. + H1s1 t t,. Jo. entonces con Hº1. Su. = Xt 00 Dt. --. ¡¡1 Sf ( LJº Lf 1) es nna · 1 c,o, r; . 1, ,7t.

(39) 39 estrategia autofi,nanciable que hace la cobertura {hedge} del derecho contingente h.. Esto es,. X (T) = HJsi El precio natural del derecho en t. + H,},S} =. h.. = O es. El precio en t E [O, T] es:. deLido a que(X, /S~)es martingala bajo ptJ. Este concepto puede generalizarse.. Supongamos que tenemos un mercado con n. activos con riesgo: S/, ,','¡, ... , S;'. La dinámica está descrita µor:. dS~. sg =. r(t.)Sfdt;. =. dS/ - S/ b(t)dt+ c.•i ,10. Aqw l:F(t). =. l.. ~ o-.,(t)dW'(t)l ,. s··i·. j,. = (vF1(t), ... , l,Fm(t)). es un movimiento browniano m-dimensional en. (.O. F, P); la fórmula de valuación neutral al riesgo imµlira que existe nna. 1írnra. media neutral al riesgu ptJ . Entonces , el pierio en l ~ T para un derecho h E L2 (í T) es. X (t ). h. 11- l l • = .\-,o¡._•O ., [ si. De ahora en adelante supondremos que estamos trabajando en un mercado don<le existe una única medida neutral al riesgo Pº.. Se elimina el supraíndice O.. Por.

(40) -!O simplicidad se supondrá que hay un único activo con riesgo tal que tiene una dinámica (bajo. P =. P) descrita por la ecuación:. Más aún, supondremos que se tiene asegurado el Teorema de Reµresentaciún de ~lartingala, es decir. para toda martingala (F 1 , P) existe una reµresentación cumu nna integral estucástica con resµecto a lV.. Definición 2.1. Un Bono Cupón Cero con fecha de vencimiento Tes. 11n. clererhu. que paga $1 en T. De la fórmula que ya hemos visto antes, como h. = l,. tenemos. t E [O, T]. para. =E. •Jt.. cu [ si. l. F1 .. 1. Pero como S~. = exp {fo r(u)d'll} , entonces: B(t,'/'). =E. [ exp (- [. r(u)d11) 11. ,]. En consecuencia. dados B(t, T) pesos en t, se puede construir una estrategia de cobertura autofinanciable (H?, H,1) tal que el proceso de riqueza correspondiente. X (t) = Hf. S? + H,1 S,1 tiene un valor unitario en T. X (T) = His~, + ll,}S} = l. Nótese que si la. tasa instantánea es determinística. entonces. B(t. T) = exp (-. j\tu )d11).

(41) -ll. y, dB(t. 1'). = r(t)B(t. T)dt; así que H/ = O.. Definición 2.2. El Precio T-For-ward F(l. T) µara un activu cun riesgu ,._,·i es un. t::; T (y por. precio acordado en. tanto F 1.-medible ). el cual será pagado µur S 1 al. tiempo T. El precio F(t, T) es caracterizado de tal forma que el derecho [S} - F(t, T)] tiene 11n valor descontado de cero bajo la medida neutral al riesgo (martingala) P. Pur tantu: -. s,J. - F(t. T). L' [. Sº. 0-L',. ]. ft. T. =. E. [. (S'} _F(t,'ºT)) C'O. •JT. l ,[. E, [ SJ. c,O F t iJy. = S¡ ºº. Dt. =. -E. f. .',,/.. l. F (lS',º'/')] f 1. Ji. -. t. 'T. [F(t,T) ., 0 Ft Sy. l ( ,.., pues. 1. ,J 1. /S'º .. l , t es una martmga a. •. J'.J) uaJu .. 1.. s/. _ t; [ F (t.c..•OT) . sp -J C'O S'º f 1 0 1.. ,J¡. 'T. = s_"' / _ F (t, T) . .t.,· [ s_',1 I · ] dl c,o c..•O / / ,)1. el. • }t. '"'º. ,Jt.. ,)¡_. ,')'/'. F(t,o1') B( t. '/') S1. = o.. Pur lo tantu.. F(t. T) = .. S/. B(t, T). Debe observarse que el precio forwa.rd puede ser definido para otros derechos. En efecto, suponga que h E L 2 (0, F T) es un derecho contingente con fecha de ejerciriu. T. El Precio T- Forward para h. escrito comu F(h. t., T). es una variable aleaturia. f 1 -medible que cumple:.

(42) -12. E. ¡h-F(h,t,T)I S'º f. l. t. '·T. = O.. En rnnsecuencia, µur un razonamiento similar al anterior se llega a :. h _ st"º E [ si F(h, t, T) -. ( B t,T. l. Ft ). xh (t) B(t, T)'. donde Xh (t) es el precio natural para h en t. En particular, h puede ser un Bono Cupón Cero con madurez en T*. ~. T. Pur tanto:. * , B(t. T*) F (B(t, T ). t, I') = H( .. ) .. l. j. Definición 2.3. Se define una nueva medida de probabilidad Qr, eqaivaluil,· a V. sobre (D. Fr). estableciendo: . (SY-). dQT. dP. Fr -. E [(Sl). I. 1. ]. 1. siB(O, T)" La medida Qr se llama medida forward para la fecha de liquidación T. Se define:. rt := E =E. [. ~~ 1f. I. l. [sfB)0,'1)1 1 ,]. H(t, T) S'? B(O. 1'). :'Jótese que la definición de f 1 tiene dos característiras: a). ft. es F 1 --medible.. b) [ 1 es una martingala en (P, F 1)..

(43) El proceso ft es martingala en (P, Ft); entonces existe un integrando 'l/.' (s, T) tal que. r. ft = 1 + lo 11,(s,T)dvV(s) Ahora,. f.~ > O a.s. para toda. s. Se define:. Entonces,. r. ft = 1 + lo fsf1(s,1')dvV(s). Y así, aplicando la Regla de It6:. r, -. Lema 2.1. exp. (f. f3(s, T) dW (s) -. ~. f /3. (s, T)ds),. Suponga q-ue h E L2 (O, F r ) es -un derecho contingente con fu:/l(J, de. t_J<Tc1.cuJ Pn '/'. Fntonces. F (h, t, T). =. EQr. [hlF r].. Consecuentemente, el precio forward de h es una Ch·-rn.arlin_qula.. Demostración.. C sando la Regla de Bayes:. [hl. E. Ft. QT. ] = E [frhlFt] E [frlFt] E [frh.lF1]. fT. = }:;' [rT ¡ frhlf Pero por la definición de. r,. 1]. r,. S'fB(O.T). _1. fr. H('J'.'/'). = H(l. I')- . S,Y.8(0. F).

(44) 44. 8?. l B(t. T).. si. Entonces:. [1. S? = B(t,T)E sih 1-J l 1 _ sp E [ (sir 1 hj Ft] B(t, T). •. = F(h, t, T).. Considere ahora el Precio T-Forward para el derechu contingente h E L 2 (D./ r) en. t=. o.. Sabemus que pur definiciún:. Xh(O). F(h. O, T) = B(O, 'J'). De acuerdo a la definición de precio T-Forward, éste es el precio. acordadu en l = O. que se pagará en T por el derecho h. El derecho relacionado V = h - F(h, O. T) tiene un precio de cero en t = O. Sin embargo, para t E (O, T] su valor no será ,ero. En efecto. usando la fórmula de valuación para V tenemos. V ( t)- -- ·-S'tOE. [. h - F(h.-O.-T) f QQ . JT. = S? E [ (.S'i). 1. = sf E [ (si). 1. = Xh(t)-S?E = Xh(t) -. (h. l. 1. - F (h. O. T)) 1 F,]. h I F t] -. sf hi [ (s~.). 1. F (1, . o.,I') 1 F ,]. [(sir 1 F(h,O,T)jFt] 1. F(h, O, T)Sf E [ (S~.)- j F t].

(45) -15. = Xh(t) -. F(h, O, T)B(t. J') .. Es posible hacer la cobertura de este derecho de la siguiente furma: a) En t. = O vendo F(h, O, T) Bonos Cupón Cero con madurez T. Esto me propor-. cionará una cantidad F(h, O, T)B(O, T) precio del derechu h en t. = Xh(O) de dinero. donde X 11 (0) es el. = O.. b) Puedo usar ese ingreso para comprar en t. = O el derecho. h. Dicha estrategia no. requiere inversión inicial. c) Si la posición se mantiene hasta el final t. = T, el valor será:. V(T) = Xh(T) - F(t. O. T)B(T, T). = h - F(t, O. T).. 2.2. Precios Futuros y Contratos Futuros.. Suponga que un dererhu h tiene un precio $h en T (por abusu de notación esrriuirnus h para el derechu. :v para s11 precio en '/'). Es ubviu que en '/' nu necesitarnus pagar. nada por comprar un derecho en $h. Por tanto. en T el preciu del derecho es:. G(h, T, T). =. h1. Supongamos que inicialmente tenemos un número finito de fechas de trading: 10 . t 1 ••••• t 11 ; con O =. to < t 1 < · · · < tn = T.. Más aún, supongamos que r(u) es constante para cada intervalo [t:i, ti+ 1 ). Entonces. 1 Hay que nut.ar que estu 8Upone que 110 hay cu8t.o:-; d<' t.ra11:-;acció11 _,. 110 (~slmno:c; disl'HI i<·11<lo la entrega del derecho en sí: aquí se está pensando en un efectivo liquiclabh-..

(46) -16. y S2,;. 1. es l 1.,-mediLle.. Considere el tiemµo t 11 _ 1 y suponga que el precio acordado al tiemµu t 11 derecho (que será entregadu al tiempo T. =. ln) es G(h.t 11. Entonces la diferencia entre el precio acordado en l,, G(h. ln, T) - G(h, ln-1, T). Al tiemµo t,,. 1. 82, ¡ B { De furma similar. en l 11. 11. I,. 'F) . 11. 1 . '/'). 1. (.st)-l [G(h, t,1, T) se estima <:(h. ln. es el estimado en tn. En consecuencia. el valor en t. 8)',E. ftn-i. = tk. 1. = '/' es. y el µreciu en {. 11. h - G(h, i:n-. parn el. 1.'/').. se estima G(h,tn-i,T) dada la información hasta F 1.. diferencia, descontada y condicionada en. (Aquí G(h.. t.. =. 1. 1. _. 1. ,. así que esta. es cero. Esto es, G(h, l,,. 1 . T).. I,. T)]I / ,,,. 1} = O.. Así que,. del preciu del derer·hu h al tiemµv /'J.. de la suma de ajustes futurvs es:. {ES'?;,' [G(h,. !;+1, T). - G(h, lj, T)] f ,, }. = O,. La versiún continua de la última expresión es:. S?E. i. ,]'. [. 1 1 dG(h. U.'/')!/. (S~). t. l. = 1).. ( 2. i). Podemos esniuir: ·I. J\I (t) :=. i. .o. (S~). 1. Entonces, por (2.1), se deduce que para O martingala ( F 1 , P) . En efecto, si s ~ t. dG(h.. <. s. 11.. <. F) . l. < T.. se tiene que :'1 es una.

(47) -!7. E [ Al ( t) 1!vi (s)]. fo' (S~) -. =. E [. =. E [ lo¡8 ( Su. i. dG ( h. n. T) 1 F,;]. ·,o) -l dG. 1. f,;. ]. = l\I(s). Como es martingala, consecuentemente:. =. (. lo. dG. = G(h, t, T) Ya que G(h. '[, 'J'). •. - G(h. O. T).. :E•. u. u. = h, µor tanto G(h, t:, T). =. E. ~. [hlf 1].. Este es el ''precio futuro" en t para el derecho h. Lo anterior motiva la siguiente definición:. El Prer.io T-Futuro Gen el tiemµu l de 11n derecho r·unt ingente. h. que es / r-mediLle. es:. G(/1, t, 1') = 8 [hll. iJ.. Pur definiciun ( ,'(h. t. T) es una martingala bajo P.. Lema 2.2 1. ,_Lu ---. Definición 2.4. a) (8~-). (/). y h están no-r.orrelacionados r:.ondir.ionalmente si sólo si F(h, t. 7'). =.