Transformaci´on de Abel para las sumas de productos (un tema de an´alisis real)

Transformaci´ on de Abel para las sumas de productos (un tema de an´ alisis real)

Egor Maximenko

http://www.egormaximenko.com

Instituto Polit´ecnico Nacional Escuela Superior de F´ısica y Matem´aticas

M´exico

2021-12-09

Proposici´on (sobre sumas telesc´opicas)

Sean x0, . . . , xn elementos de alg´un grupo conmutativo. Entonces

n

X

k=1

(xk− x_k−1) = xn− x₀.

Demostraci´on.

n

X

k=1

(x_k− x_k−1)

=

n

X

k=1

x_k −

n

X

k=1

x_k−1 =

n

X

k=1

x_k −

n−1

X

j =0

x_j

=





n−1

X

k=1

x_k



+ x_n− x₀−





n−1

X

j =1

x_j



 = x_n− x₀.

Proposici´on (sobre sumas telesc´opicas)

Sean x0, . . . , xn elementos de alg´un grupo conmutativo. Entonces

n

X

k=1

(xk− x_k−1) = xn− x₀.

Demostraci´on.

n

X

k=1

(x_k− x_k−1) =

n

X

k=1

x_k −

n

X

k=1

x_k−1

=

n

X

k=1

x_k −

n−1

X

j =0

x_j

=





n−1

X

k=1

x_k



+ x_n− x₀−





n−1

X

j =1

x_j



 = x_n− x₀.

Proposici´on (sobre sumas telesc´opicas)

Sean x0, . . . , xn elementos de alg´un grupo conmutativo. Entonces

n

X

k=1

(xk− x_k−1) = xn− x₀.

Demostraci´on.

n

X

k=1

(x_k− x_k−1) =

n

X

k=1

x_k −

n

X

k=1

x_k−1 =

n

X

k=1

x_k −

n−1

X

j =0

x_j

=





n−1

X

k=1

x_k



+ x_n− x₀−





n−1

X

j =1

x_j



 = x_n− x₀.

Proposici´on (sobre sumas telesc´opicas)

Sean x0, . . . , xn elementos de alg´un grupo conmutativo. Entonces

n

X

k=1

(xk− x_k−1) = xn− x₀.

Demostraci´on.

n

X

k=1

(x_k− x_k−1) =

n

X

k=1

x_k −

n

X

k=1

x_k−1 =

n

X

k=1

x_k −

n−1

X

j =0

x_j

=





n−1

X

k=1

xk



+ xn− x₀−





n−1

X

j =1

xj





= x_n− x₀.

Proposici´on (sobre sumas telesc´opicas)

Sean x0, . . . , xn elementos de alg´un grupo conmutativo. Entonces

n

X

k=1

(xk− x_k−1) = xn− x₀.

Demostraci´on.

n

X

k=1

(x_k− x_k−1) =

n

X

k=1

x_k −

n

X

k=1

x_k−1 =

n

X

k=1

x_k −

n−1

X

j =0

x_j

=





n−1

X

k=1

xk



+ xn− x₀−





n−1

X

j =1

xj



 = xn− x₀.

El truco principal en este tema

ab − cd =

ab − ad + ad − cd = a(b − d ) + (a − c)d .

El truco principal en este tema

ab − cd = ab − ad + ad − cd =

a(b − d ) + (a − c)d .

El truco principal en este tema

ab − cd = ab − ad + ad − cd = a(b − d ) + (a − c)d .

Proposici´on (transformada de Abel para las sumas) Sean U₀, . . . , U_n, V₁, . . . , V_nelementos de un anillo. Entonces

U_nV_n− U₀V₀=

n

X

k=1

U_k(V_k − V_k−1) +

n

X

k=1

(U_k− U_k−1)V_k−1.

Demostraci´on. Para cada k en {1, . . . , n},

U_kV_k− U_k−1V_k−1 = U_k(V_k − V_k−1) + (U_k − U_k−1)V_k−1.

Sumamos sobre k. En el lado izquierdo tenemos una suma telesc´opica.

Proposici´on (transformada de Abel para las sumas) Sean U₀, . . . , U_n, V₁, . . . , V_nelementos de un anillo. Entonces

U_nV_n− U₀V₀=

n

X

k=1

U_k(V_k − V_k−1) +

n

X

k=1

(U_k− U_k−1)V_k−1.

Demostraci´on. Para cada k en {1, . . . , n},

U_kV_k− U_k−1V_k−1 =

U_k(V_k − V_k−1) + (U_k − U_k−1)V_k−1.

Sumamos sobre k. En el lado izquierdo tenemos una suma telesc´opica.

Proposici´on (transformada de Abel para las sumas) Sean U₀, . . . , U_n, V₁, . . . , V_nelementos de un anillo. Entonces

U_nV_n− U₀V₀=

n

X

k=1

U_k(V_k − V_k−1) +

n

X

k=1

(U_k− U_k−1)V_k−1.

Demostraci´on. Para cada k en {1, . . . , n},

U_kV_k− U_k−1V_k−1 = U_k(V_k − V_k−1) + (U_k − U_k−1)V_k−1.

Sumamos sobre k. En el lado izquierdo tenemos una suma telesc´opica.

Proposici´on (transformada de Abel para las sumas) Sean U₀, . . . , U_n, V₁, . . . , V_nelementos de un anillo. Entonces

U_nV_n− U₀V₀=

n

X

k=1

U_k(V_k − V_k−1) +

n

X

k=1

(U_k− U_k−1)V_k−1.

Demostraci´on. Para cada k en {1, . . . , n},

U_kV_k− U_k−1V_k−1 = U_k(V_k − V_k−1) + (U_k − U_k−1)V_k−1.

Sumamos sobre k. En el lado izquierdo tenemos una suma telesc´opica.

U₀

U₁

U2

U3

V₀

V₁

V2

V3

U1(V1− V₀) + (U1− U₀)V0

U₁V₁− U₀V₀

U₂(V₂− V₁) + (U₂− U₁)V₁ U2V2− U₁V1

U3(V3− V₂) + (U3− U₂)V2

U₃V₃− U₂V₂

U₃V₃− V₀V₀=

3

X

k=1

U_k(V_k− V_k−1) +

3

X

k=1

(U_k − U_k−1)V_k−1

U₀

U₁

U2

U3

V₀

V₁

V2

V3

U1(V1− V₀) + (U1− U₀)V0

U₁V₁− U₀V₀

U₂(V₂− V₁) + (U₂− U₁)V₁ U2V2− U₁V1

U3(V3− V₂) + (U3− U₂)V2

U₃V₃− U₂V₂

U₃V₃− V₀V₀=

3

X

k=1

U_k(V_k− V_k−1) +

3

X

k=1

(U_k − U_k−1)V_k−1

U₀

U₁

U2

U3

V₀

V₁

V2

V3

U1(V1− V₀) + (U1− U₀)V0

U₁V₁− U₀V₀

U2(V2− V₁) + (U2− U₁)V1

U2V2− U₁V1

U3(V3− V₂) + (U3− U₂)V2

U₃V₃− U₂V₂

U₃V₃− V₀V₀=

3

X

k=1

U_k(V_k− V_k−1) +

3

X

k=1

(U_k − U_k−1)V_k−1

U₀

U₁

U2

U3

V₀

V₁

V2

V3

U1(V1− V₀) + (U1− U₀)V0

U₁V₁− U₀V₀

U2(V2− V₁) + (U2− U₁)V1

U2V2− U₁V1

U3(V3− V₂) + (U3− U₂)V2

U₃V₃− U₂V₂

U₃V₃− V₀V₀=

3

X

k=1

U_k(V_k− V_k−1) +

3

X

k=1

(U_k − U_k−1)V_k−1

U₀

U₁

U2

U3

V₀

V₁

V2

V3

U1(V1− V₀) + (U1− U₀)V0

U₁V₁− U₀V₀

U2(V2− V₁) + (U2− U₁)V1

U2V2− U₁V1

U3(V3− V₂) + (U3− U₂)V2

U₃V₃− U₂V₂

U₃V₃− V₀V₀=

3

X

k=1

U_k(V_k − V_k−1) +

3

X

k=1

(U_k − U_k−1)V_k−1

Repetimos la f´ormula demostrada:

UnVn− U₀V0=

n

X

k=1

U_k(V_k − V_k−1) +

n

X

k=1

(U_k− U_k−1)V_k−1.

Podemos despejar una de las sumas:

n

X

k=1

U_k(V_k − V_k−1) = UnVn− U₀V0−

n

X

k=1

(U_k − U_k−1)V_k−1.

Repetimos la f´ormula demostrada:

UnVn− U₀V0=

n

X

k=1

U_k(V_k − V_k−1) +

n

X

k=1

(U_k− U_k−1)V_k−1.

Podemos despejar una de las sumas:

n

X

k=1

U_k(V_k− V_k−1) = UnVn− U₀V0−

n

X

k=1

(U_k− U_k−1)V_k−1.

A veces, hay que trabajar con ´ındices que empiezan no desde 0, sino desde otro n´umero entero.

Proposici´on (transformada de Abel para las sumas) Sean p, q ∈ Z, p ≤ q.

Sea A un anillo, y sean Up, . . . , Uq, Vp, . . . , Vq elementos de A.

Entonces

q

X

k=p+1

U_k(V_k − V_k−1) = UqVq− U_pVp−

q

X

k=p+1

(U_k− U_k−1)V_k−1.

La demostraci´on es similar a la anterior.

A veces, hay que trabajar con ´ındices que empiezan no desde 0, sino desde otro n´umero entero.

Proposici´on (transformada de Abel para las sumas) Sean p, q ∈ Z, p ≤ q.

Sea A un anillo, y sean Up, . . . , Uq, Vp, . . . , Vq elementos de A.

Entonces

q

X

k=p+1

U_k(V_k − V_k−1) = UqVq− U_pVp−

q

X

k=p+1

(U_k− U_k−1)V_k−1.

La demostraci´on es similar a la anterior.

Proposici´on

Sean p, q ∈ Z, 0 ≤ p ≤ q.

Sea A un anillo, y sean U_p, . . . , U_q, v₀, . . . , v_q elementos de A.

Pongamos

V_j :=

j

X

k=0

v_k.

Entonces

q

X

k=p+1

U_kv_k = U_qV_q− U_pV_p−

q

X

k=p+1

(U_k − U_k−1)V_k−1.

Es un corolario de la proposici´on anterior. vk = Vk − V_k−1.

Proposici´on

Sean p, q ∈ Z, 0 ≤ p ≤ q.

Sea A un anillo, y sean U_p, . . . , U_q, v₀, . . . , v_q elementos de A.

Pongamos

V_j :=

j

X

k=0

v_k.

Entonces

q

X

k=p+1

U_kv_k = U_qV_q− U_pV_p−

q

X

k=p+1

(U_k − U_k−1)V_k−1.

Es un corolario de la proposici´on anterior.

vk = Vk − V_k−1.

Proposici´on

Sean p, q ∈ Z, 0 ≤ p ≤ q.

Sea A un anillo, y sean U_p, . . . , U_q, v₀, . . . , v_q elementos de A.

Pongamos

V_j :=

j

X

k=0

v_k.

Entonces

q

X

k=p+1

U_kv_k = U_qV_q− U_pV_p−

q

X

k=p+1

(U_k − U_k−1)V_k−1.

Es un corolario de la proposici´on anterior. vk =

Vk − V_k−1.

Proposici´on

Sean p, q ∈ Z, 0 ≤ p ≤ q.

Sea A un anillo, y sean U_p, . . . , U_q, v₀, . . . , v_q elementos de A.

Pongamos

V_j :=

j

X

k=0

v_k.

Entonces

q

X

k=p+1

U_kv_k = U_qV_q− U_pV_p−

q

X

k=p+1

(U_k − U_k−1)V_k−1.

Es un corolario de la proposici´on anterior. vk = Vk − V_k−1.

Ejemplo

Sea x ∈ (0, 2π). Demostremos la convergencia de la serie

∞

X

k=1

e^{k i x} k .

Apliquemos el criterio de Cauchy (para series) y la transformada de Abel. Usamos la f´ormula para la suma de la progresi´on geom´etrica (finita) para calcular las sumas parciales de e^{k i x}:

V_n:=

n

X

k=0

e^{k i x} = e^{(n+1) i x}−1 e^{i x}−1 =

e^{(n+1) i x2}



e^{(n+1) i x2} − e^{−(n+1) i x2}



e^{i x2} 

e^{i x2} − e^{−i x2} = e^inx2 sen^(n+1)x₂ sen^x₂ .

Ejemplo

Sea x ∈ (0, 2π). Demostremos la convergencia de la serie

∞

X

k=1

e^{k i x} k .

Apliquemos el criterio de Cauchy (para series) y la transformada de Abel.

Usamos la f´ormula para la suma de la progresi´on geom´etrica (finita) para calcular las sumas parciales de e^{k i x}:

V_n:=

n

X

k=0

e^{k i x} = e^{(n+1) i x}−1 e^{i x}−1 =

e^{(n+1) i x2}



e^{(n+1) i x2} − e^{−(n+1) i x2}



e^{i x2} 

e^{i x2} − e^{−i x2} = e^inx2 sen^(n+1)x₂ sen^x₂ .

Ejemplo

Sea x ∈ (0, 2π). Demostremos la convergencia de la serie

∞

X

k=1

e^{k i x} k .

Apliquemos el criterio de Cauchy (para series) y la transformada de Abel.

Usamos la f´ormula para la suma de la progresi´on geom´etrica (finita) para calcular las sumas parciales de e^{k i x}:

V_n:=

n

X

k=0

e^{k i x} =

e^{(n+1) i x}−1 e^{i x}−1 =

e^{(n+1) i x2}



e^{(n+1) i x2} − e^{−(n+1) i x2}



e^{i x2} 

e^{i x2} − e^{−i x2} = e^inx2 sen^(n+1)x₂ sen^x₂ .

Ejemplo

Sea x ∈ (0, 2π). Demostremos la convergencia de la serie

∞

X

k=1

e^{k i x} k .

Apliquemos el criterio de Cauchy (para series) y la transformada de Abel.

Usamos la f´ormula para la suma de la progresi´on geom´etrica (finita) para calcular las sumas parciales de e^{k i x}:

V_n:=

n

X

k=0

e^{k i x} = e^{(n+1) i x}−1 e^{i x}−1 =

e^{(n+1) i x2}



e^{(n+1) i x2} − e^{−(n+1) i x2}



e^{i x2} 

e^{i x2} − e^{−i x2} = e^inx2 sen^(n+1)x₂ sen^x₂ .

Ejemplo

Sea x ∈ (0, 2π). Demostremos la convergencia de la serie

∞

X

k=1

e^{k i x} k .

Apliquemos el criterio de Cauchy (para series) y la transformada de Abel.

Usamos la f´ormula para la suma de la progresi´on geom´etrica (finita) para calcular las sumas parciales de e^{k i x}:

V_n:=

n

X

k=0

e^{k i x} = e^{(n+1) i x}−1 e^{i x}−1 =

e^{(n+1) i x2}



e^{(n+1) i x2} − e^{−(n+1) i x2}



e^{i x2} 

e^{i x2} − e^{−i x2} =

e^inx2 sen^(n+1)x₂ sen^x₂ .

Ejemplo

Sea x ∈ (0, 2π). Demostremos la convergencia de la serie

∞

X

k=1

e^{k i x} k .

Apliquemos el criterio de Cauchy (para series) y la transformada de Abel.

Usamos la f´ormula para la suma de la progresi´on geom´etrica (finita) para calcular las sumas parciales de e^{k i x}:

V_n:=

n

X

k=0

e^{k i x} = e^{(n+1) i x}−1 e^{i x}−1 =

e^{(n+1) i x2}



e^{(n+1) i x2} − e^{−(n+1) i x2}



e^{i x2} 

e^{i x2} − e^{−i x2} = e^inx2 sen^(n+1)x₂ sen^x₂ .

Ejemplo

Hemos calculado las sumas parciales de e^{k i x}:

V_n :=

n

X

k=0

e^{k i x} = e^inx2 sen^(n+1)x₂ sen^x₂ .

La condici´on x ∈ (0, 2π) implica que sen^x₂ > 0.

Las sumas parciales |Vn| son acotadas (por un n´umero que no depende de n):

|V_n| ≤ 1 sen^x₂.

Ejemplo

Hemos calculado las sumas parciales de e^{k i x}:

V_n :=

n

X

k=0

e^{k i x} = e^inx2 sen^(n+1)x₂ sen^x₂ .

La condici´on x ∈ (0, 2π) implica que sen^x₂ > 0.

Las sumas parciales |Vn| son acotadas (por un n´umero que no depende de n):

|V_n| ≤ 1 sen^x₂.

Ejemplo

Hemos calculado las sumas parciales de e^{k i x}:

V_n :=

n

X

k=0

e^{k i x} = e^inx2 sen^(n+1)x₂ sen^x₂ .

La condici´on x ∈ (0, 2π) implica que sen^x₂ > 0.

Las sumas parciales |Vn| son acotadas (por un n´umero que no depende de n):

|V_n| ≤ 1 sen^x₂.

Ejemplo

Ahora consideramos un “trozo” de la serie y aplicamos la transformada de Abel:

q

X

k=p+1

e^{k i x}

k =

q

X

k=p+1

Vk− V_k−1

k = Vq

q −Vp

p −

q

X

k=p+1

 1 k − 1

k − 1

 V_k−1.

Acotamos estos trozos: 

q

X

k=p+1

e^{k i x} k

≤ 1

q sen^x₂ + 1

p sen^x₂ + 1 sen^x₂

q

X

k=p+1

 1 k − 1− 1

k



= 2

p sen^x₂.

La ´ultima expresi´on tiende a cero, cuando p tiende al infinito. Por el criterio de Cauchy, la serie P∞

k=1 e^{k i x}

k converge.

Ejemplo

Ahora consideramos un “trozo” de la serie y aplicamos la transformada de Abel:

q

X

k=p+1

e^{k i x}

k =

q

X

k=p+1

Vk− V_k−1

k = Vq

q −Vp

p −

q

X

k=p+1

 1 k − 1

k − 1

 V_k−1.

Acotamos estos trozos:

q

X

k=p+1

e^{k i x} k

≤ 1

q sen^x₂ + 1

p sen^x₂ + 1 sen^x₂

q

X

k=p+1

 1 k − 1− 1

k



= 2

p sen^x₂.

La ´ultima expresi´on tiende a cero, cuando p tiende al infinito. Por el criterio de Cauchy, la serie P∞

k=1 e^{k i x}

k converge.

Ejemplo

Ahora consideramos un “trozo” de la serie y aplicamos la transformada de Abel:

q

X

k=p+1

e^{k i x}

k =

q

X

k=p+1

Vk− V_k−1

k = Vq

q −Vp

p −

q

X

k=p+1

 1 k − 1

k − 1

 V_k−1.

Acotamos estos trozos:

q

X

k=p+1

e^{k i x} k

≤ 1

q sen^x₂ + 1

p sen^x₂ + 1 sen^x₂

q

X

k=p+1

 1 k − 1− 1

k



= 2

p sen^x₂.

La ´ultima expresi´on tiende a cero, cuando p tiende al infinito.

Por el criterio de Cauchy, la serie P∞ k=1 e^{k i x}

k converge.

Ejemplo

Ahora consideramos un “trozo” de la serie y aplicamos la transformada de Abel:

q

X

k=p+1

e^{k i x}

k =

q

X

k=p+1

Vk− V_k−1

k = Vq

q −Vp

p −

q

X

k=p+1

 1 k − 1

k − 1

 V_k−1.

Acotamos estos trozos:

q

X

k=p+1

e^{k i x} k

≤ 1

q sen^x₂ + 1

p sen^x₂ + 1 sen^x₂

q

X

k=p+1

 1 k − 1− 1

k



= 2

p sen^x₂.

La ´ultima expresi´on tiende a cero, cuando p tiende al infinito.

Por el criterio de Cauchy, la serie P∞ k=1 e^{k i x}

k converge.