Introducci´on a los n´umeros reales

Prof. Yoel Guti´errez

1 Introducci´on

Una teor´ıa matem´atica cuenta en su origen con conceptos primitivos (no definidos) a par- tir de los cuales pueden ser definidos los otros conceptos que vayan surgiendo. En nuestro caso, consideraremos los n´umeros reales como un concepto primitivo. Las proposiciones que, sin demostrar, se aceptan como ciertas se llaman axiomas y junto con los conceptos primitivos constituyen el punto de arranque y base de una teor´ıa matem´atica.

Muchos de los resultados m´as importantes en Matem´aticas se llaman teoremas. En con- traste con los axiomas o definiciones que se dan por supuestos, los teoremas si requieren de una demostraci´on. Un teorema es una proposici´on compuesta por otras dos. Una de ellas llamada premisa o hip´otesis implica la otra que se llama conclusi´on o tesis. La cadena de razonamientos l´ogicos que permiten deducir la tesis a partir de la hip´otesis constituye lo que se llama demostraci´on del teorema.

Un teorema recibe el nombre de lema cuando por si mismo no tiene mucha trascendencia en la teor´ıa que se esta desarrollando pero va a ser usado, inmediatamente despu´es de su formulaci´on, en la demostraci´on de otro teorema de marcada importancia.

Un teorema recibe el nombre de corolario de otro teorema cuando es una consecuencia inmediata de ´el.

En algunos casos se nos pide si una afirmaci´on como la siguiente:

Para cualesquiera n´umeros reales a, b, c y d se cumple que

si a > b y c > d, entonces a + c > b + d, es verdadera o falsa.

Ante una situaci´on como ´esta es natural que comencemos probando con algunos casos particulares para observar si para ellos la proposici´on se cumple o no se cumple.

Ahora bien, las consecuencias de esta forma de proceder son muy distintas seg´un que las pruebas sean positivas o negativas.

En efecto, si comprobamos que la proposici´on se cumple para todos los casos particulares que probemos a lo m´as que podemos llegar es a sospechar que es cierta, pero con ello no hemos demostrado que la proposici´on lo es, pues, ¿qu´e sucede con los casos no considerados?

1

Si por el contrario, comprobamos que para un caso particular la proposici´on no se cumple, este solo contraejemplo ya basta para refutarla.

Mientras no se diga lo contrario, las letras a,b,c,...u,v,w,x,y,z que aparecen en los axiomas y teoremas representan n´umeros reales cualesquiera.

2 Axiomas de cuerpo

Junto con el conjunto de los n´umeros reales se supone la existencia de dos operaciones lla- madas adici´on y multiplicaci´on, tales que para cada par de n´umeros reales x e y se puede formar la suma de x e y, que es otro n´umero real designado por x + y y el producto de x por y designado por xy o x.y. Estas dos operaciones satisfacen los siguientes axiomas:

1. PROPIEDAD CONMUTATIVA. x + y = y + x, xy = yx.

2. PROPIEDAD ASOCIATIVA. x + (y + z) = (x + y) + z, x(yz) = (xy)z.

3. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA. x(y + z) = xy + xz.

4. EXISTENCIA DE ELEMENTOS NEUTROS. Existen dos n´umeros reales distintos, que se indican por 0 y 1 tales que para cada n´umero real x se tiene: 0 + x = x + 0 = x y 1.x = x.1 = x.

5. EXISTENCIA DEL INVERSO ADITIVO. Para cada n´umero real x existe un ´unico n´umero real −x tal que (−x) + x = x + (−x) = 0.

6. EXISTENCIA DEL INVERSO MULTIPLICATIVO. Para cada n´umero real x 6= 0 existe un ´unico n´umero real x⁻¹ = 1

x 6= 0 tal que x⁻¹x = xx⁻¹ = 1.

Las propiedades anteriores se han descrito, principalmente, en t´erminos de suma y multi- plicaci´on. Ahora podemos definir las operaciones b´asicas de resta y divisi´on en t´erminos de las de suma y multiplicaci´on, respectivamente.

2.1 Resta

La diferencia a − b de dos n´umeros reales a y b, se define como a − b = a + (−b)

En forma alternativa decimos que

a − b = c ←→ c + b = a

2.2 Divisi´on

El cociente a ÷ b de dos n´umeros reales a y b, se define como a ÷ b = a.1

b b 6= 0 Tambi´en podemos decir que

a ÷ b = c ←→ c.b = a, b 6= 0.

De los axiomas y definiciones anteriores se pueden deducir todas las leyes usuales del

´algebra elemental. Las m´as importantes de ellas se recogen a continuaci´on como teoremas.

2.3 Teoremas

1. LEY DE CANCELACI ´ON PARA LA SUMA. Si a + b = a + c, entonces b = c.

2. −a = (−1)a.

3. −(−a) = a.

4. −(a + b) = (−a) + (−b).

5. a(b − c) = ab − ac.

6. 0.a = a.0 = 0.

7. LEY DE CANCELACI ´ON PARA LA MULTIPLICACI ´ON. Si ab = ac y a 6= 0, entonces b = c.

8. Si a 6= 0, entonces (a⁻¹)⁻¹ = a.

9. Si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0.

10. Si aa = a, entonces a = 0 o a = 1.

11. (−a)b = −(ab) y (−a)(−b) = ab.

Observaciones

Las siguientes propiedades b´asicas de la igualdad se usan frecuentemente en el ´algebra.

1. si a = b, entonces a + c = b + c.

2. si a = b, entonces ac = bc.

3. si a = b y c = d, entonces a + c = b + d.

4. si a = b y c = d, entonces ac = bd.

3 Productos notables y Factorizaci´on de polinomios

Los productos notables son multiplicaciones entre polinomios que, debido a la frecuen- cia con que aparecen, se realizan en forma directa mediante la aplicaci´on de mecanismos preestablecidos. A continuaci´on se enumeran los m´as utilizados

1. (x + y)² = x²+ 2xy + y². 2. (x − y)² = x²− 2xy + y². 3. (x + y)(x − y) = x²− y².

4. (x + a)(x + b) = x²+ (a + b)x + ab.

5. (x + y)³ = x³+ 3x²y + 3xy²+ y³. 6. (x − y)³ = x³− 3x²y + 3xy² − y³.

Factorizar un polinomio significa escribirlo como el producto de varios polinomios m´as simples. Los principales casos de factorizaci´on son:

1. El proceso inverso de todos los productos notables dados anteriormente. Por ejemplo:

x² + 2xy + y² = (x + y)².

2. Factor com´un. Es todo factor que se repite en cada uno de los t´erminos de un polinomio y que constituye el m´aximo com´un divisor de ellos. Para aplicar esta factorizaci´on, expresamos el polinomio dado como el producto del factor com´un por otro polinomio de forma tal que la aplicaci´on de la propiedad distributiva genere el polinomio inicial. En su forma m´as simple, se representa:

ax + ay + az = a(x + y + z)

3. Suma y diferencia de cubos:

x³+ y³ = (x + y)(x²− xy + y²) x³− y³ = (x − y)(x²+ xy + y²)

4 Axiomas de orden

Este grupo de axiomas tiene que ver con un concepto que establece un orden entre los n´umeros reales. Este orden nos permite decidir si un n´umero real es mayor o menor que otro.

Supondremos que existe un cierto subconjunto R⁺ ⊂ R, llamado conjunto de n´umeros positivos, que satisfacen los tres axiomas de orden siguientes:

1. Si x e y pertenecen a R⁺, lo mismo ocurre a x + y y xy.

2. Para todo real x se cumple s´olo una de las tres condiciones siguientes:

x = 0, x ∈ R⁺ o − x ∈ R⁺.

3. 0 no pertenece a R⁺.

Ahora se pueden definir las relaciones <, >, ≤ y ≥ llamados respectivamente: menor que, mayor que, igual o menor que e igual o mayor que, de la manera siguiente:

1. x < y significa que y − x es positivo.

2. y > x significa que x < y.

3. x ≤ y significa que x < y o x = y.

4. y ≥ x significa que x ≤ y.

Observaciones

1. R⁺ = {x ∈ R/x > 0}.

2. Si un n´umero real distinto de cero no pertenece a R⁺, entonces pertenece a los reales negativos, que se denota por R⁻. Es decir

R⁻ = {x ∈ R/x < 0}

3. El par de desigualdades simult´aneas x < y, y < z se escriben frecuentemente en la forma m´as breve x < y < z; interpretaciones an´alogas se dan a las desigualdades compuestas x ≤ y < z, x < z ≤ y, x ≤ y ≤ z.

De los axiomas de orden se pueden deducir todas las reglas usuales para operar con desi- gualdades, las m´as importantes se dan a continuaci´on como teoremas.

4.1 Teoremas

1. Para a y b n´umeros reales cualesquiera se verifica una y s´olo una de las tres relaciones siguientes:

a < b, b < a o a = b 2. Si a < b y b < c, entonces a < c.

3. Si a < b, entonces a + c < b + c.

4. Si a < c y b < d, entonces a + b < c + d.

5. Si a < b y c > 0, entonces ac < bc.

6. Si a < b y c < 0, entonces ac > bc.

7. Si ab > 0, entonces se tiene a > 0 y b > 0, o bien a < 0 y b < 0.

8. Si ab < 0, entonces se tiene a > 0 y b < 0, o bien a < 0 y b > 0.

9. Si a 6= 0, entonces a² > 0.

10. Si a y b son reales positivos, entonces:

(a) a < b, si y s´olo si, a² < b². (b) a < b, si y s´olo si, √

a <√ b.

4.2 Interpretaci´on geom´etrica de los n´umeros reales como puntos de una recta

Para representar los n´umeros reales por medio de los puntos de una recta, se elige un punto para representar al 0 y otro a la derecha del 0 para representar el 1, como se indica en la figura.

0 1

-1 2 3 x

Esta elecci´on determina la escala. Cada n´umero real corresponde a uno y s´olo un punto de la recta y, rec´ıprocamente, cada punto de la recta a un n´umero real y s´olo uno. Por esta raz´on la recta se denomina frecuentemente recta real o eje real, y es costumbre utilizar las palabras n´umero real y punto como sin´onimos. Por eso se dice muchas veces el punto x en vez del punto correspondiente al n´umero real x.

4.3 Intervalos

Son subconjuntos de R que se usan frecuentemente para describir soluciones de desigual- dades de una variable. Dados dos n´umeros reales a y b tales que a < b, el intervalo abierto (a, b) es el conjunto de los n´umeros reales comprendidos entre a y b; este conjunto no contiene a ninguno de los extremos a y b. El intervalo cerrado [a, b] es el conjunto de los n´umeros reales entre a y b, y, adem´as, los extremos a y b. A continuaci´on se indican la amplia variedad de posibilidades.

(a, b) = {x ∈ R/a < x < b}, [a, b] = {x ∈ R/a ≤ x ≤ b}, (a, b] = {x ∈ R/a < x ≤ b}, [a, b) = {x ∈ R/a ≤ x < b},

(a, +∞) = {x ∈ R/x > a}, [a, +∞) = {x ∈ R/x ≥ a},

(−∞, b) = {x ∈ R/x < b}, (−∞, b] = {x ∈ R/x ≤ b}.

En las figura 2.a y 2.b se ilustran gr´aficamente el intervalo acotado (a, b] y el no acotado [a, +∞).

( ] [

Figura 2.a Figura 2.b

a b a

En forma an´aloga se representan gr´aficamente el resto de los intervalos.

5 Ecuaciones e inecuaciones cuadr´aticas

5.1 Ecuaciones cuadr´aticas

Uno de los m´etodos para resolver ecuaciones de la forma ax²+ bx + c = 0,con a 6= 0, es el de completar el cuadrado, el cual se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1 Resolver la ecuaci´on x²+ 3x − 10 = 0 soluci´on. Sumamos 10 a cada miembro de la ecuaci´on

x²+ 3x = 10 Sumamos h1

23 i₂

= 9

4 a cada miembro

x²+ 3x +9

4 = 10 + 9 4

Factorizamos el lado izquierdo ³ x +3

2

´₂

= 49 4 Aplicamos ra´ız cuadrada a cada lado y despejamos x

x +3 2 = ±

r49 4 x = −3

2 ±7 2 Por consiguiente

x = 2 o x = −5

Observaciones

1. La t´ecnica que acabamos de usar se llama completar al cuadrado. Este proceso se puede ampliar al caso en que el coeficiente de x² sea un n´umero distinto de 1.

2. El proceso de completar el cuadro se puede resumir como sigue:

Para completar el cuadrado en expresiones cuadr´aticas, como x² + bx, se suma el cuadrado de la mitad de b. As´ı

x² + bx +³ b 2

´₂

=

³ x + b

2

´₂

3. En la soluci´on del ejercicio anterior aplicamos ra´ız cuadrada en ambos miembros. La base para hacerlo es la siguiente propiedad

Si n² = k, entonces n =√

k o bien n = −√

k; esto es, n = ±√ k

4. Aplicando el m´etodo de completar el cuadrado se obtiene la f´ormula cuadr´atica:

Si ax²+ bx + c = 0, con a 6= 0, entonces x = −b ±√

b²− 4ac la cual se puede emplear en todos los casos. 2a

(a) Si b²− 4ac > 0, entonces ax²+ bx + c = 0 tiene dos soluciones reales.

(b) Si b²− 4ac = 0, entonces ax²+ bx + c = 0 tiene una ´unica soluci´on real.

(c) Si b²− 4ac < 0, entonces ax²+ bx + c = 0 no tiene soluciones reales.

5.2 Inecuaciones cuadr´aticas

Son inecuaciones de la forma ax²+ bx + c > 0, ax²+ bx + c < 0, ax²+ bx + c ≥ 0 o bien ax²+ bx + c ≤ 0.

Para resolver esta inecuaciones, anal´ıticamente, seguiremos los siguientes pasos:

1. Determinamos la ra´ıces del polinomio ax²+ bx + c

2. Si el polinomio tiene dos ra´ıces reales distintas, digamos x₁ y x₂, factorizamos el polinomio

ax²+ bx + c = a(x − x₁)(x − x₂) y aplicamos las propiedades de las desigualdades.

3. Si el polinomio tiene una ´unica ra´ız real, digamos x₁, factorizamos el polinomio ax² + bx + c = a(x − x₁)²

y usamos el hecho que a² ≥ 0 para todo a ∈ R, para resolver la inecuaci´on planteada.

4. Si el polinomio no tiene ra´ıces reales se cumple que b² − 4ac < 0. Completando el cuadrado se tiene que

ax²+ bx + c = a(x + b

2a)²−b²− 4ac 4a de lo cual se concluye que

(a) Si a > 0, entonces ax²+ bx + c > 0 para todo x ∈ R.

(b) Si a < 0, entonces ax²+ bx + c < 0 para todo x ∈ R.

6 Valor absoluto

En el c´alculo es frecuente tener que operar con desigualdades. Son de particular importan- cia las que se relacionan con la noci´on de valor absoluto.

Si x es un n´umero real, el valor absoluto de x es un n´umero real no negativo que se designa por |x| y se define como sigue:

|x| =

( x, si x ≥ 0,

−x, si x < 0.

Si los n´umeros reales est´an representados geom´etricamente en la recta real, el n´umero |x|

se denomina distancia de x a 0.

Observaciones

1. |a − b| representa la distancia entre los puntos a y b sobre la recta num´erica.

2. Si x1 e x2 son los extremos de un intervalo de la recta num´erica, la coordenada del punto medio es

x1+ x2

2

6.1 Teoremas

(a) |x| = | − x|.

(b) |x| = |y|, si y s´olo si, x = y o x = −y.

(c) Si a ≥ 0, entonces |x| = a, si y s´olo si, x = a o x = −a.

(d) |x|² = x². (e) |x| =√

x². (f) −|x| ≤ x ≤ |x|.

(g) |xy| = |x||y|.

(h)

¯¯

¯x y

¯¯

¯ = |x|

|y|, con y 6= 0.

(i) |x + y| ≤ |x| + |y|.

(j) ||x| − |y|| ≤ |x − y|.

(k) |x| < a, si y s´olo si, −a < x < a.

(l) |x| > a, si y solo si, x < −a o x > a.

7 ejercicios

7.1 Productos notables, factorizaci´on de polinomios y racio- nalizaci´on

(a) Diga si cada una de las siguientes proposiciones es verdadera o falsa. Si es falsa, corrija el lado derecho para llegar a una igualdad correcta.

i. 5 7− 2

3 = 3 4. ii. 2x + y

y − 2x = −2(x + y x − y).

iii. 3ax − 5b

6 = ax − 5b

2 .

iv. x + x⁻¹

xy = x + 1 x²y . v. x⁻¹+ y⁻¹ = y + x

xy . vi. 2

3 4

= 8 3.

(b) Descomponer en factores.

i. 3b²x + 6bx². ii. x(a + 1) − a − 1.

iii. 4y³− 1 − y²+ 4y.

iv. a⁶− 2a³b³+ b⁶. v. 100m²n⁴− 1

16x⁸. vi. x²+ 2xy + y²− 1.

vii. x⁴+ x²− 2.

viii. t²+ t − 2.

ix. x⁴− 5x − 50.

x. 1 − (2a − b)³.

(c) Realice las operaciones indicadas y simplifique.

i. 2

x− x − 1 x² − 1

2x. ii. x − y

x + y +x + y

x − y + 4xy x²− y². iii. x⁻²+ y⁻²

x⁻¹+ y⁻¹. iv.

x

x−3 −_x2−4x+3² 5

x−1 +_x−3⁵ . v.

a+x a−x − ^b+x_b−x

2

a−x − _b−x² .

vi. 1

x − ¹

x−_x+1^x2

.

(d) Racionalizar los denominadores.

i. 10

√5. ii. x − y

√3

y −√³ x.

iii. x

√x + 1 −√ x. iv. 4

3 +√ 3.

v. x

√3

−9x².

vi. 2

1 −√³ x.

7.2 Ecuaciones lineales

(a) Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones.

i. 5x − 2

3 +6x − 3

2 = 3x − 5 6 . ii. 3x + 1

2 = 2x − 1 3 . iii. 1

2(x − 1) − (x − 3) = 1

3(x + 3) +1 6. iv. (3 − x

2) − (1 − x

3) = x + x 2. v. 3x −1

2(1 + 2x) = 4x − 3 2 .

(b) Cada uno de los lados iguales de un tri´angulo is´osceles tiene 3 cent´ımetros m´as de longitud que la base del tri´angulo. El per´ımetro mide 21 cent´ımetros. Encuentre la longitud de cada lado.

(c) La longitud de un rect´angulo mide 1 cent´ımetro menos que 3 veces la anchura.

Si se le aumentan 6 cent´ımetros a la longitud y se le aumentan 5 cent´ımetros a la anchura, la longitud ser´a el doble de la anchura. Encuentre las dimensiones del rect´angulo.

(d) Tomas gana 475 d´olares semanales m´as una comisi´on del 4% sobre sus ventas.

Si en una semana sus ingresos totales fueron de 520 d´olares. ¿Cu´ales fueron sus ventas en esa semana?

(e) Tenemos las instrucciones de un truco matem´atico. Primero, trate de resolverlo.

A continuaci´on, use representaciones algebraicas de cada frase y explique por qu´e funciona este truco.

Piense un n´umero.

Sume 2.

Multiplique el resultado por 3.

sume 9.

Multiplique lo obtenido por 2.

Divida el resultado entre 6.

Reste el n´umero con el que empez´o.

El resultado es 5.

7.3 Ecuaciones cuadr´aticas

(a) Si ax²+ bx + c = 0, con a 6= 0, demuestre, aplicando el m´etodo de completaci´on del cuadrado, que

x = −b ±√

b²− 4ac

2a .

(b) Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones.

i. x²− x + 2 = 0.

ii. x²− 3x − 10 = 0.

iii. 2x²+ 3x − 2 = 0.

iv. 1x²− 2x − 4 = 0.

v. x⁴− 5x²+ 4 = 0.

vi. 3x⁴− 13x⁻7 = 0.

vii. x²+ 2√

3x + 2 = 0.

(c) La piscina en el patio posterior de una casa tiene forma rectangular, con 10 metros de anchura y 18 metros de longitud. Est´a rodeada por un pasillo de an- chura uniforme, cuya ´area mide 52 metros cuadrados. ¿Cu´anto mide la anchura del pasillo?

(d) La longitud de una pieza rectangular de cart´on tiene 2 cent´ımetros m´as que la anchura. Se forma una caja abierta cortando en cada esquina un cuadrado de 4 cent´ımetros de lado y doblando los lados hacia arriba. si el volumen de la caja es de 672 cm³, encuentre las dimensiones de la pieza original de cart´on.

(e) La longitud de un rect´angulo es 3 cm. mayor que su ancho. el ´area es de 70 cm². Determines las dimensiones del rect´angulo.

7.4 Ecuaciones racionales

(a) Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones i. 5

x − 2+ 6

2x − 4 = 5 2(x − 2). ii. x + 1

x − 1− 2

x²− x = 4 x. iii. 2

x− 5 x = 6.

iv. x + 4 2x − 10 = 8

7.

v. 1

3x − 1 + 1

3x + 1 = 0.

vi. x + 1

x − 1− 2

x(x − 1) = 4 x. vii. 5

x²− 9 = 2

x + 3 − 2 x − 3.

(b) Un tubo puede vaciar un tanque en dos horas. Otro tubo lo puede vaciar en 4 horas. ¿cu´anto tiempo se necesita para vaciar el tanque usando ambos tubos?

(c) Trabajando juntas, Alma y Julia pueden pintar su cuarto en 3 horas. Alma tarda 5 horas en pintarlo sola. ¿Cu´anto tiempo tarda Julia en pintarlo ella sola?

7.5 desigualdades e inecuaciones lineales

(a) Determine en cada caso la verdad o falsedad. Demuestre con un contraejemplo las proposiciones falsas.

i. Si x < 2, entonces x es negativo.

ii. si 0 < x, entonces x < x². iii. si a < b, entonces a² < b². iv. Si x < 0, entonces p

(−x)² = −x.

v. √

x² = x.

vi. Si x > 1 y y > 2, entonces x + y > 3.

vii. Si x < 5 y y < 6, entonces xy < 30.

viii. Si a < b y c < d, entonces a − c < b − d.

(b) Hallar el conjunto soluci´on de cada una de las siguientes inecuaciones.

i. 4x − 7 < 3x + 5.

ii. −2 < 1 − 5x ≤ 4.

iii. 2 + 3x < 5x + 1 < 16.

iv. 3

2(x − 2) + 1 > −2(x − 4).

v. 2x + 1

4 −4x + 4

2 ≥ x + 1 3 . vi. x + 2 ≤ x − 2

3 . vii. 3

2(x − 1) − 2 ≤ 1 3x − 1.

viii. (x + 2)(x − 5) < (x + 1)². ix. −2 ≤ 5 − 3x

8 ≤ 1

2.

(c) Considere el conjunto de todos los rect´angulos cuyo largo es una unidad menos que tres veces su ancho. Encuentre los anchos posibles de todos los rect´angulos cuyos per´ımetro sean menores que 150 cent´ımetros.

(d) Las temperaturas Fahrenheit (F) y las temperaturas Celsius (C) est´an relacio- nadas por la f´ormula C = ⁵₉(F − 32). Durante un determinado periodo, la temperatura en grados Celsius vari´o entre 25 y 30. ¿Cu´al fue la variaci´on en grados Fahrenheit durante dicho periodo?

(e) En un peque˜no negocio, una familia emplea a dos trabajadores que s´olo cola- boran unas horas por semana. La cantidad total de los salarios que pagan a estos empleados var´ıa de 128 a 146 D´olares por semana. Si un empleado ga- na 18 D´olares m´as que el otro. ¿cu´ales son las posibles cantidades ganadas semanalmente por cada uno de los empleados?

(f) Una tienda tiene tres empleados de tiempo parcial a los cuales se les paga un total semanal de 210 a 252 d´olares. Dos de ellos ganan lo mismo y el tercero gana 12 d´olares menos que los otros. Determine los sueldos posibles semanales que gana cada uno de ellos.

(g) Resuelva los siguientes sistemas de inecuaciones i.

( (x − 1)(x³+ 2) < x⁴− x³ 3x + 1 > 0

ii.







 x − 1

3 +2(x + 1) 6 > 2x 2x − 1

2 + 3x − 1

3 < x − 1

7.6 Inecuciones cuadr´aticas

(a) Hallar el conjunto soluci´on de cada una de las siguientes inecuaciones.

i. x²+ x − 12 < 0.

ii. x²− 5x + 6 > 0.

iii. x < x². iv. x⁴− 2x² ≥ 0.

v. (x − 6)²(x − 3) > 0.

vi. x² < x³. vii.

³ x −1

2

´₂

< 25 4 − 2x.

(b) Se construye una caja recortando unos cuadrados de lado x unidades en cada esquina de una pieza de carton de 1o cm de ancho y de 15 cm de largo. Determine el valor de x para que el volumen de la caja sea menor que 63 cm³

(c) Resuelva los siguientes sistemas de inecuaciones

i.

( x + 5 > 0 x²− 3x + 2 > 0 ii.

( x²− 2√

2x + 2 > 0 x²+ 3x − 1 < 0

iii.









x²+ 3

3 − x < 2x + 1 3x

2 +2x − 1

3 < x²+ 1

7.7 Inecuaciones racionales

(a) Hallar el conjunto soluci´on de cada una de las siguientes inecuaciones.

i. 5

3 − x < 0.

ii. 2x − 1 x − 3 > 1.

iii. 5 x < 3

4. iv. − 2

x + 1 > 0.

v. 3

(x − 2)² > 0.

vi. −2

x²+ 2 > 0.

vii. 4x − 1 3 − x ≤ 3

2. viii. 2

x − 1 ≤ 4 − 3 1 − x. ix. 2x

x + 1 + 3x > 3x²+ 1 x + 1 .

(b) La Ley de Boyle establece que para un cierto gas a temperatura constante P.V = 400, donde P es la presi´on a la que esta sometida el gas y V su volumen.

Si tenemos que el volumen del gas var´ıa a un rango de valores mayores o iguales que 20 y menores ques que 49. ¿Cu´al es el rango correspondiente de variaci´on para la presi´on P ?

(c) La f´ormula _R¹ = _R¹₁+_R¹₂+_R¹₃ da la resistencia total R de un circuito el´ectrico que contiene tres resistencias R₁, R₂ y R₃ conectadas en paralelo. Si 10 ≤ R₁ ≤ 20, 20 ≤ R₂ ≤ 30 y 30 ≤ R₃ ≤ 40, encuentre el rango de valores para R.

7.8 Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto

(a) Determine en cada caso la verdad o falsedad. Demuestre con un contraejemplo las proposiciones falsas.

i. Si tanto x como y son negativos, entonces |x + y| = |x| + |y|.

ii. Si x < 5, entonces |x| < 5.

iii. |a| − |b| = a − b.

iv. Si a < b, entonces |a − b| = b − a.

(b) Demuestre la regla del producto, |xy| = |x||y| para el caso en que x < 0 y y > 0.

(c) Demuestre la regla del cociente, |^x_y| = ^|x|_|y| para el caso en que x < 0 y y < 0.

(d) ¿Bajo que condiciones |x + y| = |x| + |y|?¿Cu´ando no es cierta esa igualdad?

(e) Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones.

i. |4x − 3| = 7.

ii. |2x + 1| = −1.

iii. |4 − 2x| = 0.

iv. |7x| = 4 − x.

v. |2x − 5| = |3x + 5|.

vi. 2x + 3 = |4x + 1|.

vii. |x|

x = −1.

viii. |x|

x = 1.

ix. x²− 2|x| − 3 = 0.

x. |x²− 4|

2 − x = 2.

(f) Hallar el conjunto soluci´on de cada una de las siguientes inecuaciones.

i. |x + 2| < 3.

ii. |2x − 6| ≥ 10.

iii. |2x − 5| < |x + 4|.

iv. |x

2 − 1| ≤ 1 2. v. |6 − 10x| < −1.

vi. |3x − 1| ≥ −2.

vii. |x| > −2 + x 2. viii. x − 1

|x −¹₂| < 2.

ix. |3x − 4|

2x − 5 ≥ 0.

x. |x − 1| ≤ x + 1 2 . xi. 1 ≤ |4 − x| < 2.

(g) resuelva los sistemas de ecuaciones siguientes.

i.

( |x| < −x

|x + 2| > 1 ii.

( |x| > x 2x − 1 > 3

7.9 Ecuaciones e inecuaciones irracionales

(a) Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones i. √

x + 2 =√

2x − 5.

ii. 1

√x = 3.

iii. √

x + 16 − x = 4.

iv. 2x = 1 +√

1 − 2x.

v. √

x − 1 −√

2x − 9 =√ x − 4.

vi. √

x + 1 +√

x − 4 = 5.

vii. √ x −√⁴

x = 2.

(b) Hallar el conjunto soluci´on de cada una de las siguientes inecuaciones.

i. √

2x − 1 < 1 2. ii. √

4x + 2 > 5.

iii. 1 2+

r1

4+ x < 1 + x.

iv. √

x + 1 +√

1 − x ≥√ 2 + x.

v. 2 −√ x + 3 x − 1 < 1

3.