Soluciones. cotg 5 2, 2 5 TRIGONOMETRÍA. 1. Ejercicio 79, página 92, apartados a), b), c), g), h), i).

(1)

– 1 –

TRIGONOMETRÍA 1. Ejercicio 79, página 92, apartados a), b), c), g), h), i).

2. Ejercicio 80, página 92, apartados a), b), c).

3. Ejercicio 88, página 93.

6. Ejercicio 99, página 93, apartados b), c).

7. Ejercicio 106, página 94, apartados a), b).

8. Ejercicio 57, página 87, apartados a), b), c).

Soluciones

1. a) 3

2 b) 2

2 c) 1

2 g) 3 h) 2 i) -2

2. a) 2

cos 3, 5

tg 2 , 3 5

cosec

5 , 3

sec 2, 2 5

cotg 5

b) 1

sen 4 , 15

tg 15 , cosec 4 , 4 15

sec 15 , cotg 15

c) 3

cos 3 , tg 2 , 6

cosec

2 , sec 3 , 2

cotg 2

3. a) sen( ) 0, 994 b) cos( ) 0, 805 c) tg( ) 0, 738

4. a) 3

sen 2

5, 4

cos 2

5 , 3

tg 2 4

b) 3

sen 2

5, 4

cos 2

5 , 3

tg 2 4

(2)

– 2 –

5. 30

sen 2 6 , 6

cos 2 6 , tg 5

2 6.

7. a)

x 45º 180º k

b) x 180º ,k x 60º 360º ,k x 300º 360ºk

8. a) 60º, b 5, 22 dm, c 7, 04 dm, Área 18,1 dm²

b) 29º 29 ' 55, 34 '', 70º 30 ' 4, 66 '',c 9, 57 m, Área 23, 57 m² c) 28º 57 '18 '', 46º 34 ' 3 '', 104º 28 ' 39 '', Área 72, 62 cm ² 9. a) 4º 34 ' 26 '' b) Recorrido 1567,5 m

10. 2,2 m

11. Las alturas son 16 m y 28 m.

12. El área es, aproximadamente, 86, 04 cm².

13. El perímetro es, aproximadamente, 21,1 cm. El área es, aproximadamente. 13,13 cm². 14. La distancia es, aproximadamente, 27873,12 km.

(3)

– 3 –

VECTORES 1. Ejercicio 67, página 116.

7. Ejercicio 49, página 115, apartado a).

8. Ejercicio 12, página 107, apartados a) y b).

14. Ejercicio 61, página 15. Apartados a), b), c) y d).

15. Ejercicio 62, página 115, apartados a) y c).

16. Ejercicio 63, página 116, apartado a).

Soluciones

1. a 2 ,v b 2 ,u c 4u 4 ,v d u 3v

2. 1 3 3

2 , 2 2

a u v b u v

3. a) (77, 36) b) 11

0, 20 c) 7 69

6 10,

4. a) OA: (2,5), AB: (5, 0), BC: (1, 7), CO: ( 8,2), OB: (7,5), AC: (6, 7) c) OA AB: (7,5), OA 2AB 3BC: (9,26)

5. a) u : ( 13, 3) b) v : (4, 2)

c) w: ( 24, 5) d) x : ( 31, 5)

(4)

– 4 –

6. a) k = -21 b) No existe ningún valor de k. c) k = 0

7. a 6, b 3, c 3 5

8. a) Están alineados. b) No están alineados.

9. u 5 v 5

u v 11

10. k = 1

11. a) (2 , 3 ), cont t t b) (3 , 2 ), cont t t c) 2 13 3 13

13 , 13 d) 3 13 2 13

13 , 13

12. u : ( 6,8) y v : (6, 8)

13. a: (12, 5) y b : ( 12, 5)

14. a) 14, 25º b) 178, 6º

c) 180º d) 90º

15. a) 87 7761

m 32 c) 3

m 2

16. 29,74º, 116,57º, 33,69º

(5)

– 5 –

GEOMETRÍA ANALÍTICA 1. Ejercicio 66, página 138.

7. Ejercicio 80, página 139. Apartados a), b) y c).

9. Ejercicio 84, página 139. Apartados a), b), c) y d).

17. Ejercicio 105, página 140. Apartados a), b), d) y e).

Soluciones

1. a) P r Q₁, r . Por ejemplo, R:(11, -3) ₁ b) P r Q₂, r . Por ejemplo, R:(-2,1) ₂ c) P r Q₃, r . Por ejemplo, R:(-7, 3) ₃ d) P r Q₄, r . Por ejemplo, R:(-1, 2) ₄

2. a) 3

: 1 2

r x

y b) 2

: 3 7

r x

y c) 3 3

: 3

r x y

(6)

– 6 –

d) 2 2

: 5

r x

y e) 2 3

: 7

r x y

3. a) Ecuación continua: 3 4

1 2

x y

Ecuación general: 2x y 10 0

b) Ecuación continua: 2 5

3 6

x y

Ecuación general: 2x y 9 0

c) Ecuación continua:

3 4

x y

Ecuación general: 4x 3y 0 d) Ecuación continua:

3 1

2

x y

Ecuación general: x 6y 0

e) Ecuación continua: 2 7

7 1

x y

Ecuación general: x 7y 47 0

4. a) Vector director: v : (3, 2) Vector normal: n : ( 2, 3) b) Vector director: 3

: ,1

v 2 Vector normal: 3

: 1, 2 n

c) Vector director: v : 7, 4 Vector normal: n : 4, 7 d) Vector director: v : 0, 1 Vector normal: n : 1, 0 e) Vector director: v : 3, 2 Vector normal: n : 2, 3

5. Punto medio: 3

: , 1

M 2

Ecuación normal: 3

2 4( 1) 0

x 2 y

Ecuación general: 2x 4y 7 0

6. 3 2 3 15

3 3

y x

7. a) y 2x 4 b) 1 10

3 3

y x c) 3 9 2 3

3 3

y x

8. a) Paramétricas: 3 3

6 2

x

y General: 2x 3y 24 0

Explícita: 2 3 8

y x

b) Paramétricas:

3 3

x

y General: 3x y 3 0

Explícita: y 3x 3

(7)

– 7 –

c) Paramétricas: 2 4 2 x

y General: 2x 4y 4 0

Explícita: 1 2 1

y x

9. a) Coincidentes b) Secantes c) Coincidentes d) Secantes

10. a) P : (5, 0) b) 3 : 2,

P 2 c) 28 5

: ,

9 3

P d) P : (2, 2)

11. a) 2x 5y 26 0 b) y 4 c) x 1 d) 2x y 0

e) x 3y 14 0 f) y 2 g) y x 5

12. a) 2x y 3 0 b) x 4 c) y 3

d) x y 0 e) 2x y 2 0 f) 3x 2y 13 0

13. a) k 2 b) 2

k 3 c) No pueden ser paralelas.

14. m = n = 2 Punto de intersección: 3

: 1, P 2

15. La distancia es 17 unidades.

16. La distancia es 113

2 unidades.

17. a) 13

13 b) 7 5

5 d) 0 e) 9 74

148

18. a) 63, 43º b) 71, 57 c) 26, 57

d) 18, 43 e) 726, 57

(8)

– 8 –

CÓNICAS 1. Ejercicio 38, página 162.

4. Ejercicio 41, página 162, apartados a), b) y c).

5. Ejercicio 54, página 163, excepto el apartado i).

7. Ejercicio 56, página 163, excepto el apartado i).

Soluciones

1. x² y² 2x 8y 8 0 2. x² y² 6x 2y 0 3. x² y² 6x y 9 0

4. a) C : (2, 3) r = 2 b) No es la ecuación de una circunferencia.

c) 3

: , 0

C 2 3

r 2

5. a)

2 2

25 16 1

x y

b)

2 2

25 9 1

x y

c)

2 2

16 7 1

x y

d)

2 2

36 9 1

x y

e)

2 2

25 21 1

x y

f)

2 2

4 16 1 3

x y

g)

2 2

25 16 1

x y

h)

2 2

5 9 1

x y

6. a) a = 13, b = 12, c = 5, 5

e 13.Vértices: A:(13, 0), A’:(-13, 0), B:(0, 12), B’:(0,-12).

Focos: F:(5, 0), F’:(-5, 0) b) a = 5, b = 4, c = 3, 3

e 5.Vértices: A:(5, 0), A’:(-5, 0), B:(0, 4), B’:(0, -4).

Focos: F:(3, 0), F’:(-3, 0)

7. a)

2 2

9 16 1

x y

b)

2 2

16 9 1

x y

c)

2 2

4 12 1

x y

(9)

– 9 –

d)

2 2

36 9 1

x y

e)

2 2

576 324 1

25 25

x y

f)

2 2

9 81 1 16

x y

g)

2 2

4 9 1

x y

h)

2 2

81 9 1

x y

8. a) a = 12, b = 5, c = 13, 13

e 12.Vértices: A:(12, 0), A’:(-12, 0). Focos: F:(13, 0), F’:(-13, 0) Asíntotas: 5

y 12x , 5

y 12 x b) a = 8, b = 6, c = 10, 5

e 4 . Vértices: A:(8, 0), A’:(-8, 0). Focos: F:(10, 0), F’:(-10, 0) Asíntotas: 3

y 4x , 3

y 4 x

(10)

– 10 –

NÚMEROS COMPLEJOS 1. Ejercicio 3, página 171.

4. Ejercicio 59, página 185, excepto el apartado j).

Soluciones

1. z₁ 2, argz₁ 120 z₂ 2, argz₁ 30

1 2

z , argz₁ 240 z₂ 2, argz₂ 330

1 2

z , arg z₁ 300 z₂ 2,

arg z2 210

2. a)

5 i

b)

8 6i

c) 1 i d

d) 1 4

10 5i e) 1 5

2 2i f) 1 7

25 25i

3. 24

a 5

4. a) z 4₆₀ b) z 2₁₃₅ c)

315

4 2

z d) z 2₂₇₀ e)

120

1 z 2 f)

45

2 2

z g) z 2₃₃₀ h) z 2225 i)

45

2 z 2

5. a) 2i 2₉₀ 2 cos 90 isen 90 b) i 1₂₇₀ 1 cos 270 isen 270 c) 0. No tiene forma polar ni trigonométrica.

d) 1 i 245 2 cos 45 isen 45

(11)

– 11 –

6. a)

405

4 2 b) 2 75 c) 16₁₂₀ d) 2₂₇₀

7. ¹⁵ ¹⁵

450 90

2 2

8. 1 , 1 , 1 , 1₁₂ ₈₄ ₁₅₆ ₂₂₈, 1₃₀₀

9. z₁ 2 ,₄₅ z₂ 2₁₃₅,z₃ 2₂₂₅,z₄ 2₃₁₅

10. z1 2 ,45 z2 2105,z3 2165,z4 2225,z5 2285,z6 2345

(12)

– 12 –

FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD 1. Ejercicio 9, página 199.

2. Ejercicio 61, página 218, apartados a), b), c), d), e), y f).

5. Ejercicio 64, página 218, apartados a), b), c) y d).

11. Ejercicio 97, página 221, apartados d), e), g), h), i), j), y k).

12. Ejercicio 33, página 209, apartados a) y c).

Soluciones

1. a) ₂ 3

( ) 4

g x

h x x g [ 3, ) \ ( 2, 2)

D h

b) 3

( )( )

2 f g x x

x D f g( ) [ 3, ) \ 2

c)

2

3 3

( )( )

1

x x

g f x

x

1 37 1 37

( ) , ( 1,1) ,

6 6

D g f

d)

2

( )( ) 1

2 f g h x x

x D f( g h) ( , 1] [1, ) \ 2, 2

2. a) (f t x)( ) 2x² x 3 D f( t)

b) f ( ) ² 2 ² 4

x x x x

h f \ 2, 2

D h

(13)

– 13 –

c) 1

( )( )

2 8

h g x

x D h g( ) [2, 4) (4, )

d) (g t x)( ) 2x² 2 D g t( ) e)

2 2

( )( )

4

x x

f h x

x D f h( ) \ 2, 2

f)

2

( ) 2 1

f x x

t x x f \ 1,1

D t

3.

4. a)

lim ( )0 0

x f x b)

lim ( )1 2

x f x c)

lim ( )2 3

x f x

d) lim ( ) no existe3

x f x e)

lim ( )4 2

x f x f)

lim ( )5 0

x f x

g) (0)f 0 h) (1)f 2 i) (2)f 1

j) (3)f 2 k) (4) no existef l) (5)f 0

5. a) b) c) d)

6. a) 3

2 b) c) 1 d) 0 e) 0

f) 0 g) 1

2 h) 0

7. a) 1

2 b) 1 c) d) 0

8. a) 0 b) 0 c) 1 d)

9. a) 0 b) 3

4 c) 0 d) No existe

10. a)

lim ( )0 0

x f x b)

lim ( ) no existe1

x f x c)

lim ( )

1

x

f x

d)

1

lim ( ) 1

x

f x

e)

lim ( )3 5

x f x f)

4

lim ( ) 7

x

f x

g)

lim ( )

4

7

x

f x

h)

lim ( )4 7

x f x i)

lim ( )5 6 5

x f x

(14)

– 14 –

11. d) e) 1 g) 1

2 h) -3 i) e ²

j) 16 k)

12. a) La recta x = -3 es asíntota vertical por la izquierda y por la derecha.

La recta x = 3 es asíntota vertical por la izquierda y por la derecha.

El eje horizontal es asíntota horizontal por la izquierda y por la derecha.

c) El eje vertical es asíntota vertical por la izquierda y por la derecha.

La recta 2

y 3 es asíntota horizontal por la izquierda y por la derecha.

13. La gráfica de la función f es c); la de la función h es a); la de la función g es d) y la de la función j, b).

14. a) La función es continua en todo . b) La función es continua en \ 1 c) La función es continua en \ 1,1

15. a) f es continua en todo . b) f es continua en \ 1 . c) f es continua en \ 0

16. a = -1, b = 1

(15)

– 15 –

DERIVADAS

5. Ejercicio 21, página 235, apartados a), b), c), d) y e).

9. Ejercicio 113, página 255, apartados d), e), f), g) y h).

11. Ejercicio 103, página 254..

Soluciones

1. f '(3) 1

2. 1

4 1

y x

(16)

– 16 –

3. a) '( )f x 0 b) f x'( ) 4x³ 3

c) f x'( ) 4x³ 3 d) f x'( ) 20x³ 6x² 14x

e) ² 5

'( ) 2 3

f x x x 4

f) f x'( ) 54x⁵ 60x⁴ 8x³ 30x² 6x 2

4. a) '( )f x 12x 31 b) f x'( ) 24x⁷ 42x⁵ 20x³ 2x

c) f x'( ) 6x⁵ 30x⁴ 4x³ 54x² 12x d) f x'( ) 25x⁴ 56x³ 9x ² e)

2

3 2

6 2 5

'( )

2 2 5 3

x x

f x

x x x

f)

8 7 4 3

17 16 144 128 64

'( ) 2 1

x x x x

f x x

5. a) 1 ₂

'( ) ( 3)

f x x b)

2

2 2

'( ) 5

( 5)

f x x x

c) 2 ₂

'( ) ( 3)

f x x d)

4 2

2 2

4 1

'( ) ( 1)

x x

f x x

e)

4 3 2

2 2

4 2 6 5

'( ) ( 2 1)

x x x x

f x x x

6. ₂4 ₂

'( ) ( 1)

f x x

x

2

2 3

4( 3 1)

''( )

( 1)

f x x

x

7. a)

3 2 2

'( ) 3 3 5 2 9 5

f x x x x b)

2 4

12( 3)

'( ) ( 1)

f x x

x

c) 2 2

'( ) 3 f x 3

x x d)

3

4

'( ) 2 1 f x x

x

e) ₅

2

4(6 1) '( )

3 f x x

x x

f) 2

'( ) 2

2 1

f x x

x x

g) 3 ₃ 2

'( ) 2

x x

f x x h)

2

2 1

'( ) 1

f x x x

8. a) '( ) 2

e x

f x x b) f x'( ) e^x² ⁵^x ²(2x 5)

c) f x'( ) 2 ²^x³ ^x² ⁴ ln 2 ( 6x² 2 )x d) 5 ⁵ ¹ '( ) 2

f x ex

e) ²

2

ln 3 (2 1)

'( ) 3

2

x x

f x x

x x f) 1

'( ) ^x ln

f x e x

x

g) ₂2 4

'( ) 4 1

f x x

x x h) 2₂ 5

'( ) 2( 5 )

f x x

x x

(17)

– 17 –

i) 6 ln(6 4)

'( ) 3 2

f x x

x j)

2 3

4 2

'( ) ln 5 ( )

f x x

x x

k) ln ₂ 1

'( ) ln f x x

x l) 9

'( ) ( 4)(2 1)

f x x x

9. d) ₂4 ₂1

'( ) cos (2 )

f x x

x x

e) 1 ² ³

'( ) 12 sen 4

f x 2 x x x

x

f) f x'( ) 6 sen (x ² x² 4)cos(x² 4) g) f x'( ) 3 sen( ) 2 cos( )x² x² x⁴ x ² h) f x'( ) e ^xsen( )x³ 3x e² ^xcos( )x ³

10. a)

2

'( ) 1 1

x

f x e

x e

b) 2

1 1

'( ) 2

1 2 2

f x x

x x

11. 11

y x 4

12. No, pues f tiene un máximo relativo en ese punto.

13. a) p es decreciente en el intervalo 5

,2 y es creciente en el intervalo 5

2, .

Tiene un mínimo relativo en 5 x 2.

b) r es creciente en ( , 0) (1, ) y decreciente en el intervalo (0,1) Tiene un máximo relativo en x = 0 y un mínimo relativo en x = 1.

c) t es creciente en ( 1,1) (3, ) y decreciente en ( , 1) (1, 3).

Tiene mínimos relativos en x = -1 y en x = 3, y un máximo relativo en x = 1.

d) q es creciente en su dominio \ 1 ^.

No tiene extremos relativos.

e) s es decreciente en el intervalo 1

,2 y es creciente en el intervalo 1

2, .

Tiene un mínimo relativo en 1 x 2.

f) u es decreciente en el intervalo ( , 0) y es creciente en el intervalo (0, ).

Tiene un mínimo relativo en x = 0.

(18)

– 18 –

a) b) c) d)

e) f)

14. 1 3 6

, , , 1

5 10 5

a b c d

15. a) f es cóncava en .

b) f es cóncava en ( , 2) y convexa en (2, ) . Tiene un punto de inflexión en x = 2.

c) f es cóncava en 3 3

3 , 3 y convexa en 3 3

, ,

3 3 .

Tiene puntos de inflexión en 3 3

3 y en 3

x x .

d) f es cóncava en 2 2

, 0,

2 2 y convexa en 2 2

, 0 ,

2 2 .

Tiene puntos de inflexión en 2 2

, en 0 y en

2 2

x x x

16. 1 3 3

8 8

y x

17. a) El valor máximo se alcanza en x = 0 y vale 10 , mientras que el valor mínimo se alcanza en 3

x y vale 1.

b) El valor máximo se alcanza en x = 5 y vale 10; el valor mínimo se alcanza en x = 2 y vale -2 c) El valor máximo se alcanza en x = 4 y vale 16; el valor mínimo se alcanza en x = -1 y en x = 2 y

vale -4.

18. Los números pedidos son x = 4, y = 16.

19. Las dimensiones de la parcela son x = 50 m, y = 100 m.

(19)

– 19 –

FUNCIONES ELEMENTALES

1. Ejercicio 8, página 267, apartados a) y e).

Soluciones

1. a) Dominio:

domf Continuidad:

f es continua en todo . Simetrías

f no es simétrica respecto del eje y.

f no es simétrica respecto del origen.

Puntos de corte con los ejes.

Eje x: (0, 0), (1, 0) y (2, 0).

Eje y: (0, 0) Asíntotas.

Horizontales

xlim , lim

x . Por tanto, f no tiene asíntotas horizontales.

Verticales

No tiene, pues es continua en todo .

Crecimiento, decrecimiento y extremos relativos.

f es creciente en el intervalo 3 3

1 ,1

3 3

f es decreciente en 3 3

,1 1 ,

3 3

f tiene un mínimo relativo en 3

1 3

x que vale 4 3

9 . Tiene un máximo relativo en 1 3

x 3 , que vale 4 3 9 . Curvatura y puntos de inflexión.

f es convexa en el intervalo ( ,1) . Es cóncava en el intervalo (1, ).

f tiene un punto de inflexión en x = 1.

(20)

– 20 –

e) Dominio:

domf Continuidad:

f es continua en todo . Simetrías

Es simétrica respecto del eje y.

Eje x: Corta en los puntos 2, 0 ,(0, 0), 2, 0 . Eje y: (0, 0)

Asíntotas.

Horizontales

xlim , lim

x . Por tanto, f no tiene asíntotas horizontales.

Verticales

No tiene, pues es continua en todo .

f es creciente en 1, 0 1,

f es decreciente en , 1 0,1

f tiene un mínimo relativo en x = -1 que vale-1; un máximo relativo en x = 0, que vale 0 y un mínimo relativo en x = 1, que vale-1.

Curvatura y puntos de inflexión.

f es convexa en 3 3

, ,

3 3 . Es cóncava en el intervalo 3 3

3 , 3 .

f tiene puntos de inflexión en 3

x 3 y en . 3

x 3

2. a)

Dominio:

domf \ 1,1

Continuidad:

f es continua en su dominio.

Simetrías

f es simétrica respecto del origen.

Eje x: (0, 0)).

Eje y: (0, 0)

(21)

– 21 –

Asíntotas.

Horizontales

lim 0

x , lim 0

x . Por tanto, la recta y 0 es asíntota horizontal tanto por la derecha como por la izquierda.

Verticales

1

lim

x ,

1

lim

x . Por tanto, la recta x 1 es asíntota vertical tanto por la izquierda como por la derecha.

1

lim

x ,

1

lim

f es decreciente en ( , 1) ( 1,1) (1, ) f no tiene máximos ni mínimos relativos.

Curvatura y puntos de inflexión.

f es cóncava en ( , 1) (0,1). Es convexa en ( 1, 0) (1, ) . f tiene un punto de inflexión en x =01.

b) Dominio:

domf \ 3, 3

Continuidad:

f es continua en su dominio.

Simetrías

f es simétrica respecto del eje y.

Eje x: No corta Eje y: 4

0,9

Asíntotas.

Horizontales

lim 1

x , lim 1

x . Por tanto, la recta y 1 es asíntota horizontal tanto por la derecha como por la izquierda.

Verticales lim3

x ,

lim3

x ,

lim3

(22)

– 22 –

f es creciente en ( , 3) ( 3, 0) f es decreciente en (0, 3) (3, )

f tiene un máximo relativo en x = 0, que vale 4 9 . Curvatura y puntos de inflexión.

f es convexa en ( , 3) (3, ) . Es cóncava en el intervalo ( 3, 3).

f no tiene puntos de inflexión.