Respuesta temporal de etapas bicuadráticas

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS

INDUSTRIALES Y DE TELECOMUNICACIÓN

UNIVERSIDAD DE CANTABRIA

CARACTERÍSTICAS DE LA RESPUESTA TEMPORAL

DE LAS FUNCIONES BICUADRÁTICAS

José M. Drake

CTR (Computadores y Tiempo Real) Dpto. de Electrónica y Computadores

RESPUESTA TEMPORAL DE DE LA FUNCIÓN BICUADRATICA.

FUNCION DE PASO BAJO

1 2

2 )

( _{2 2 2}

2

+       +       = + +

=

n n

n n

n LP

s s

K s

s K s

G

ω ξ ω

ω ξω

ω

Función Sobreamortiguada (ξ>1)

(

1

)(

2

)

2 1 2

2

2

2 )

(

p s p s

p p K s

s K s

G

n n

n

LP = _{+ +}

+ +

=

ω ξω

ω

Respuesta Impulsiva: r(t)= δ(t)

    

 

 −

− − −

= p t p t

p p

p Kp t

c( ) 1 2

1 2

2

1

ε

ε

Respuesta a un escalón: r(t)= u(t)

(

)

_

  

 

− −

−

= _p −pt _p −pt

p p K t

c 1 2

1 2

1 2

1 1 )

(

ε

ε

K=1.0 p =1.0 p =5.0

1

2

Respuesta impulsiva

Respuesta a un escalón

p2

p1 jβ

-jβ −α

ωn

RESPUESTA TEMPORAL DE DE LA FUNCIÓN BICUADRATICA.

FUNCION DE PASO BAJO

1 2

2 )

( _{2 2 2}

2

+       +       = + +

=

n n

n n

n LP

s s

K s

s K s

G

ω ξ ω

ω ξω

ω

Función Crítica (ξ=1)

(

)

2

2

2 2

2

2 )

(

n n n

n n LP

s K s

s K s

G

ω ω ω

ξω ω

+ = + +

=

Respuesta Impulsiva: r(t)= δ(t) t n

n

t K t

c( )= ω 2

ε

−ω1

Respuesta a un escalón: r(t)= u(t)

(

)

_

  

 

+ −

−

=K nt t

t

c( ) 1

ε

ω 1 ω_n

K=1.0 =1.0

=5.0

ξ ωn

Respuesta impulsiva

RESPUESTA TEMPORAL DE DE LA FUNCIÓN BICUADRATICA.

FUNCION DE PASO BAJO

1 2

2 )

( _{2 2 2}

2 +       +       = + + = n n n n n LP s s K s s K s G ω ξ ω ω ξω ω

Función Subamortiguada (0<ξ<1)

(

)

2 2 2 2 2 2 2 ) ( 2 ) ( β α β α ω ξω ω + + + = + + = s K s s K s G n n n LP

Respuesta Impulsiva: r(t)= δ(t)

(

t

)

K

( )

t

K t

c n t

n t

n n β

ξ ω ξ

ω ξ

ω

_ε

_ξω

_ε

_α

sin 1 1 sin 1 ) ( 2 2 2 − − − = − − =

Respuesta a un escalón: r(t)= u(t)

(

)

(

)

( )

( )

          − − + − − =                 − + − − = =                 − − + − − − =

























− − − ξ ξ β ξ ε β ξ ξ β ξ ε ξ ω ξ ξ ξ ω ξ ε α α ξω 2 1 1 sin 1 1 sin 1 cos 1 1 1 sin 1 1 cos 1 1 ) ( 2 2 2 2 2 2 2 tg t K t t K t t K t c t t n n t n K=1.0 =0.2 =1.0 ξ ωn Respuesta impulsiva Respuesta a un escalón

Características de la respuesta temporal del sistema subamortiguado.

K=1.0 =0.2

=1.0 ξ ωn

1+ 1 1-ξ2

1- 1 1-ξ2

1- ε

-αt

1-ξ2

1+ ε

-αt

1-ξ2

t =p π/β

t = tg (- )r - 1

M =Kp

-π ξ/ 1

-ε ξ ₂

1 β αβ

2π β

1+Mp

π β t =p

ωnε -αt

1-ξ2

−ωnε -αt

1-ξ2

β 2π

Respuesta a una rampa lineal: r(t)= t u(t)

    

  

    

  

− − −

− −

+ −

= − _{sin 1 2} − ₍ 1 ₎

1 2

) (

2 1

2

2 ξ

ξ ξ

ω ξ

ω ω

ξ ξω

tg t t

K t

c _n

n t n

n

e

K=1 x=0.2 w =2n

K=1 x=1 w =2n

K=1 x=1.25 w =2n

RESPUESTA TEMPORAL DE DE LA FUNCIÓN BICUADRATICA.

FUNCION DE PASO BANDA

1 2

2 )

( _{2 2 2}

+       +      

     

= + +

=

n n

n n

n n LP

s s

s K

s s

s K s

G

ω ξ ω

ω ω

ξω ω

Función Sobreamortiguada (ξ>1)

(

1

)(

2

)

2 1 2

2 ₂ )

(

p s p s

s p p K s

s

s K s

G

n n

n

LP = _{+ +}

+ +

=

ω ξω

ω

Respuesta a un Impulsiva: r(t)= δ(t)

    

 

 −

− − −

= p p t p p t

p p

p p K t

c( ) ₂ 2 ₁ 1

1 2

2

1

ε

ε

Respuesta a un Escalón: r(t)= u(t)

    

 

 −

− − −

= p t p t

p p

p p K t

c( ) 1 2

1 2

2

1

ε

ε

p2

p1 jβ

-jβ −α

ωn

φ=cos- 1ξ

K=1 p1=1.0 p2=4.0 Respuesta impulsiva

RESPUESTA TEMPORAL DE DE LA FUNCIÓN BICUADRATICA.

FUNCION DE PASO BANDA

Función Crítica (ξ=1)

(

)

2

2 2 ₂

) (

n n n

n n LP

s s K s

s Ks s

G

ω ω ω

ξω ω

+ = + +

=

Respuesta Impulsiva: r(t)= δ(t)

(

)

t

n

n t n

K t

c( )= ω 1−ω

ε

−ω Respuesta a un escalón: r(t)= u(t)

t n t n K

t

c( )= ω

ε

−ω1

Respuesta a una rampa lineal:

(

)

_

  

 

+ −

−

= K nt t

t

c _n

n

ω ω

ω 1

ε

1

) (

K=1 =1.0

=1.0

ξ ω_n

Respuesta impulsiva

Respuesta a un escalón

RESPUESTA TEMPORAL DE DE LA FUNCIÓN BICUADRATICA.

FUNCION DE PASO BANDA

Función Subamortiguada (0<ξ<1)

(

)

2 2 2 2 2

2 _{2 ( )}

) ( β α β α ω ξω ω + + + = + + = s Ks s s Ks s G n n n LP

Respuesta Impulsiva: r(t)= δ(t)

                − − + − − = − − ξ ξ ξ ω ξ

ω

ε

ξω 2 1 2

2 1 1 sin 1 )

(t K t tg

c n nt _n

Respuesta a un escalón: r(t)= u(t)

(

t

)

K

( )

t

K t c t n t n β ξ ξ ω ξ α ξω

ε

ε

sin 1 1 sin 1 ) ( 2 2 2 − − − = − − =

Respuesta a una rampa lineal: r(t)= t u(t)

(

)

(

)

( )

( )

          − − + − − =                 − + − − = =                 − − + − − − =

























− − − ξ ξ β ξ ε ω β ξ ξ β ξ ε ω ξ ω ξ ξ ξ ω ξ ε ω α α ξω 2 1 1 sin 1 1 sin 1 cos 1 1 1 sin 1 1 cos 1 1 ) ( 2 2 2 2 2 2 2 tg t K t t K t t K t c t n t n n n t n n K=1.0 =0.2 =1.0 ξ ωn Respuesta impulsiva Respuesta a un escalón

RESPUESTA TEMPORAL DE DE LA FUNCIÓN BICUADRATICA. FUNCION DE PASO ALTO

1 2

2 )

( ₂

2

2 2

2

+       +      

     

= + +

=

n n

n n

n LP

s s

s K

s s

Ks s

G

ω ξ ω

ω ω

ξω

Función Sobreamortiguada (ξ>1)

(

1

)(

2

)

2

2 2

2

2 )

(

p s p s

Ks s

s

Ks s

G

n n

LP = _{+ +}

+ +

=

ω ξω

Respuesta a un Escalón: r(t)= u(t)

    

 

 −

− − −

= p p t p p t

p p

K t

c( ) ₂ 2 ₁ 1

1 2

ε

ε

Respuesta a una Rampa Lineal: r(t)= t u(t)

    

 

 −

− − −

= p t p t

p p

K t

c( ) 1 2

1 2

ε

ε

p2

p1 jβ

-jβ −α

ωn

φ=cos- 1ξ

K=1 p1=1.0 p2=4.0 Respuesta a un escalón

Respuesta a una rampa lineal

RESPUESTA TEMPORAL DE DE LA FUNCIÓN BICUADRATICA.

FUNCIÓN DE PASO ALTO

Función Crítica (ξ=1)

(

)

2 2

2 2

2

2 )

(

n n

n LP

s s K s

s

Ks s

G

ω ω

ξω + = +

+ =

Respuesta a un Escalón: r(t)= u(t)

(

)

t

nt n K

t

c( )= 1−ω

ε

−ω

Respuesta a una Rampa Lineal: r(t)= t u(t) t

n

t K t

c( )=

ε

−ω1

Respuesta a una Rampa Parabólica: r(t)= 0.5 t2 u(t)

(

)

_

  

 

+ −

−

=K nt t

t

c( ) 1

ε

ω 1 ω_n

K=1 =1.0

=1.0

ξ ωn

Respuesta a un escalón

Respuesta a una rampa lineal

RESPUESTA TEMPORAL DE DE LA FUNCIÓN BICUADRATICA. FUNCION DE PASO ALTO

Función Subamortiguada (0<ξ<1)

2 2 2 2 2 2 ) ( 2 ) ( β α ω

ξω + = + +

+ = s Ks s s Ks s G n n LP

Respuesta a un Escalón: r(t)= u(t)

                − − + − − = − − ξ ξ ξ ω ξ ξω

ε

2 1 2 2 1 1 sin 1 )

(t K t tg

c nt _n

Respuesta a una Rampa Lineal: r(t)= t u(t)

(

t

)

K

( )

t

K t c t n n t n n β ξ ω ξ ω ξ ω α ξω

ε

ε

sin 1 1 sin 1 ) ( 2 2 2 − − − = − − =

Respuesta a una Rampa Parabólica: r(t)= 0.5 t2 u(t)

(

)

(

)

( )

( )

          − − + − − =                 − + − − = =                 − − + − − − =

























− − − ξ ξ β ξ ε ω β ξ ξ β ξ ε ω ξ ω ξ ξ ξ ω ξ ε ω α α ξω 2 1 1 sin 1 1 sin 1 cos 1 1 1 sin 1 1 cos 1 1 ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 tg t K t t K t t K t c t n t n n n t n n K=1.0 =0.2 =1.0 ξ ωn

Respuesta a un escalón Respuesta a una rampa lineal

RESPUESTA TEMPORAL DE DE LA FUNCIÓN BICUADRATICA.

FUNCION DE BLOQUEO DE BANDA

(

)

1 2

1

2 )

( ₂

2

2 2

2 2

+       +      

    

  

+      

= + +

+ =

n n

n

n n

n LP

s s

s K

s s

s K s

G

ω ξ ω

ω ω

ξω ω

La función de bloqueo de banda se puede expresar como:

2 2

2

2 2

2

2 2

) ( )

( )

(

n n

n n

n HP

LP BS

s s

K s

s

Ks s

G s G s G

ω ξω

ω ω

ξω + + + +

+ = +

=

2 2 ₂

2 1

) ( 2 1 ) (

n n

n BP

BS

s s

s K s

G s

G

ω ξω

ω ξ ξ

+ +

− = −

=

Su respuesta temporal puede deducirse de la respuesta temporal de las funciones precedentes.

p2

p1 jβ

-jβ −α

ωn