Tesis de Maestría en Ingeniería Electrónica y de Computadores

(1)

Tesis de Maestr´ıa en Ingenier´ıa

Electr´

onica y de Computadores

Presentado a

LA UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

FACULTADO DE INGENIER´

IA

DEPARTAMENTO DE INGENIER´

IA

EL´

ECTRICA Y ELECTR ´

ONICA

por

David Sebasti´

an Pulido Su´

arez

titulada

Filtros reconfigurables pasabanda

implementados en tecnolog´ıa de gu´ıa de

onda integrada al sustrato (SIW)

Asesor: Néstor Misael Peña Traslaviña Co-asesor: Omar Ariel Nova Manosalva

(2)

´

_Indice

1. Resumen ejecutivo 5

2. Introducci´on 6

3. Objetivos 10

4. Dise˜no de filtros en tecnolog´ıa SIW 11

4.1. M´etodo de s´ıntesis para filtro de orden N . . . 11

4.2. Implementaci´on en tecnolog´ıa SIW . . . 16

5. An´alisis de sensibilidad global de la estructura 20 6. Principio de reconfigurabilidad en frecuencia y ancho de banda 21 7. Resultados 24 7.1. Simulaci´on circuital . . . 24

7.2. An´alisis de sensibilidad global . . . 27

7.3. Reconfigurabilidad en frecuencia y ancho de banda . . . 29

7.4. Simulaci´on electromagn´etica . . . 33

7.4.1. Caracterizaci´on de discontinuidades en tecnolog´ıa SIW . . 33

7.4.2. Transici´on de tecnolog´ıa microstrip a SIW . . . 35

7.4.3. Filtro en tecnolog´ıa SIW . . . 36

8. Estructura reconfigurable en tecnolog´ıa SIW con VO2 39

9. Conclusiones y trabajo futuro 42

(3)

´

_{Indice de figuras}

1. Esquem´atico transmisor/receptor utilizado para la

implementa-ci´on de protocolos WiFi y 5G (Tomado de [1]). . . 6

2. Divisi´on de canales especificada en el est´andar IEEE802.11b/g/n utilizado en el protocolo WiFi. . . 6

3. Anchos de banda especificados en el est´andar IEEE802.11 para las bandas de 2,4[GHz] y 5[GHz] para cada versi´on a/n/ac. . . . 7

4. Publicaciones relacionadas con filtros reconfigurables en bases de datos de la IEEE. . . 8

5. Par´ametros de dispersi´on de una red de dos puertos. . . 11

6. Red de resonadores acoplados. . . 13

7. Matriz transversal de acoples N + 2. . . 15

8. Representación gráfica de la matriz transversal de acoples N + 2. 15 9. Representación gráfica de la matriz Folded Canonical Form para un orden N = 4 sin ceros de transmisión finitos. . . 16

10. Red de resonadores acoplados por inversores de impedancia. . . . 17

11. Equivalente el´ectrico de un inversor de impedancias. . . 17

12. Estructura de una l´ınea de transmisi´on en tecnolog´ıa de gu´ıa de onda integrada al sustrato (SIW). . . 19

13. Representaci´on circuital para un filtro de orden N = 4. . . 19

14. Simulaci´on circuital filtro dise˜nado orden N = 2. . . 26

17. Medidas de sensibilidad para filtro de orden N = 2 en el par´ ame-tro f0. . . 28

18. Medidas de sensibilidad para filtro de orden N = 2 en el par´ ame-tro BW . . . 28

19. Filtro de orden N = 2, reconfigurado en frecuencia sin afectar el ancho de banda. . . 30

20. Filtro de orden N = 2, reconfigurado en ancho de banda sin afectar la frecuencia central. . . 31

25. Estructura de una carga inductiva en una l´ınea de transmisi´on en tecnolog´ıa SIW. . . 34

26. Inductancia calculada para iris inductivo implementado en tec-nolog´ıa SIW. . . 34

(4)

27. Estructura de una carga capacitiva en una l´ınea de transmisi´on en tecnolog´ıa SIW. . . 35 28. Capacitancia calculada para iris capacitivo implementado en

tec-nolog´ıa SIW. . . 35 29. Estructura de transici´on microstrip-SIW implementada con lustr=

5,5[mm], wustr= 2,55[mm], wustr1= 3,5[mm], ltrans= 10[mm]. . 36

30. Parámetros de dispersión de la estructura de transición microstrip-SIW implementada. . . 36 31. Estructura implementada en tecnolog´ıa SIW para filtro de orden

N = 2. . . 37 32. Par´ametros de dispersi´on de la estructura implementada en

tec-nolog´ıa SIW para filtro de orden N = 2. . . 37 33. Filtro de orden N = 2, reconfigurado en frecuencia sin afectar el

ancho de banda en simulaci´on electromagn´etica. . . 38 34. Filtro de orden N = 2, reconfigurado en ancho de banda en

si-mulaci´on electromagn´etica. . . 38 35. Estructura implementada en tecnolog´ıa SIW con V O2para filtro

de orden N = 2. . . 39 36. Reconfigurabilidad en frecuencia de la estructura implementada

en tecnolog´ıa SIW con V O2para filtro de orden N = 2. . . 40

37. Reconfigurabilidad en ancho de banda de la estructura implemen-tada en tecnolog´ıa SIW con V O2 para filtro de orden N = 2. . . 40

(5)

1. Resumen ejecutivo

En este trabajo se presenta una metodolog´ıa de diseño de filtros pasaban-da reconfigurables en frecuencia y ancho de banpasaban-da. La metodolog´ıa parte de la s´ıntesis general de filtros basada en la matriz de acople, la cual es implementa-da en tecnolog´ıa de gu´ıa de onimplementa-da integraimplementa-da al sustrato (SIW). Inicialmente, se realiza un análisis de sensibilidad global para estimar el efecto de las variables f´ısicas que describen el filtro, en los parámetros de frecuencia y ancho de banda. A partir de esto, se plantea un principio que permita determinar funciones que relacionen los parámetros eléctricos del filtro y las variables f´ısicas. A partir del proceso de s´ıntesis, se obtienen estas funciones, aproximando las expresiones obtenidas a un primer orden e invirtiendo el sistema resultante. A partir de las funciones obtenidas, se plantea un esquema de solución que permite calcular el cambio requerido en los parámetros f´ısicos para reconfigurar la estructura en frecuencia y ancho de banda de forma independiente. La metodolog´ıa se prueba para filtros de orden N = 2, N = 4 y N = 6 en simulación circuital, obteniendo filtros que pueden ser reconfigurados en frecuencia y ancho de banda de forma independiente. Se realizan simulaciones electromagnéticas para probar el prin-cipio en un filtro de orden N = 2, manteniendo la consistencia de los resultados de simulación circuital. Finalmente, se presenta una estructura reconfigurable en frecuencia y ancho de banda utilizando el material de fase controlada (PCM) V O2, mostrando resultados satisfactorios.

(6)

2. Introducci´

on

Las comunicaciones inalámbricas han acelerado el intercambio de informa-ción en todo el mundo, buscando aumentar los anchos de banda y la cantidad de bandas de frecuencia disponibles en el espectro para garantizar mayores ve-locidades de transmisión. Por esta razón, el diseño de los dispositivos utilizados en la capa f´ısica de los sistemas de telecomunicaciones modernos (ver figura 1), deber´ıan poder adaptarse a los cambios que propone la evolución de las mismas.

Figura 1: Esquem´atico transmisor/receptor utilizado para la implementaci´on de protocolos WiFi y 5G (Tomado de [1]).

Los protocolos utilizados en las comunicaciones inal´ambricas utilizan diferen-tes canales con diferendiferen-tes anchos de banda [2], como lo es el caso de WiFi, el cual opera en 26 canales de 20[M Hz] de ancho de banda absoluto o F BW = 0,37 % de ancho de banda fraccional (802.11a ver figura 2), 12 canales de 40[M Hz] de ancho de banda absoluto con F BW = 0,73 % (802.11n) y 6 canales de 80[M Hz] de ancho de banda absoluto con F BW = 1,45 % (802.11ac ver figura 3).

Figura 2: Divisi´on de canales especificada en el est´andar IEEE802.11b/g/n uti-lizado en el protocolo WiFi.

Para poder satisfacer los requerimientos de estos protocolos, se deber´ıan po-der tener filtros reconfigurables en la capa f´ısica, buscando que para distintas frecuencias centrales, se mantenga el ancho de banda constante, y a su vez, que

(7)

Figura 3: Anchos de banda especificados en el est´andar IEEE802.11 para las bandas de 2,4[GHz] y 5[GHz] para cada versi´on a/n/ac.

de las publicaciones realizadas en filtros reconfigurables, mostrando un aumento en los últimos años. De la misma forma, se encuentra la misma tendencia al refi-nar la búsqueda con tecnolog´ıas de gu´ıa de onda, como se muestra en la figura 4b. Cómo se mencionó anteriormente, los protocolos de comunicación actuales requieren de la reconfigurabilidad en frecuencia manteniendo el ancho de banda constante. Los trabajos [3], [4] desarrollan metodolog´ıas de diseño para conse-guir esta caracter´ıstica, partiendo del modelamiento del filtro como una red de resonadores acoplados. De la misma forma, se encuentran trabajos que imple-mentan filtros reconfigurables en ancho de banda, manteniendo la frecuencia central fija [5], [6]. Adicionalmente, se han publicado técnicas novedosas para la reconfiguración en frecuencia y ancho de banda sin mantener constante ninguno de los dos parámetros [7]-[10]. En este trabajo se presenta un principio que per-mite reconfigurar filtros pasabandas en frecuencia y ancho de banda de forma independiente, partiendo del modelamiento del filtro por medio de la matriz de acoples y su implementación en una l´ınea de transmisión con discontinuidades en derivación.

Adicionalmente, uno de los desaf´ıos m´as grandes en el campo de los filtros reconfigurables, es mantener un alto factor de calidad Q, al agregar elementos que permitan reconfigurar la estructura [11]. En este trabajo, se utiliza la tecno-log´ıa de gu´ıa de onda integrada al sustrato (SIW) ya que esta permite mantener un factor de calidad alto para las tecnolog´ıas planares[12]. Como elemento re-configurable, se proponen materiales que puedan ser incorporados dentro de la estructura del filtro. En la tabla 1 se muestra un comparativo de los posibles elementos que pueden permitir la reconfigurabilidad de la estructura.

(8)

(a) N´umero de publicaciones realizadas en revistas de la IEEE para filtros reconfigurables.

(b) N´umero de publicaciones realizadas en revistas de la IEEE para filtros reconfigurables implementados en tecno-log´ıa de gu´ıa de onda.

Figura 4: Publicaciones relacionadas con filtros reconfigurables en bases de datos de la IEEE.

De la tabla 1, se observa que los materiales que tienen cambio de fase con-trolado (PCM) mantienen un alto factor de calidad, permitiendo su implemen-tación dentro de la estructura del filtro, y a su vez, logrando el mayor rango en frecuencia. Por estas razones, en este trabajo se utilizarán los materiales PCM como los elementos que permiten la reconfigurabilidad. Estos materiales permi-ten cambiar entre material conductor y material aislante ante un est´ımulo de temperatura o corriente directa [13][14]. Uno de estos materiales, es el dióxido de vanadio V O2, que corresponde al material escogido en este trabajo, que

per-mite su implementaci´on directamente en la estructura del filtro reconfigurable dise˜nado [14].

(9)

Parámetro Mecánico/Piezoeléctrico Semiconductor Ferroeléctrico Ferromagnético MEMS PCM Factor de calidad Q Alto Bajo Medio Alto Alto Alto Rango de reconfiguración Medio Bajo Medio Amplio Medio Medio Velocidad de reconfiguración Lento Rápido Rápido Rápido Moderado Moderado

Tamaño Grande Pequeño Pequeño Muy grande Pequeño Pequeño Rango en frecuencia [GHz] <20 <30 <3 <20 <40 <100

Tabla 1: Comparación de métodos de reconfiguración en filtros (adaptado de [11]).

pasabanda, que permita su implementación en tecnolog´ıa SIW. Esto se presenta en las sección 4, de la cual luego se realiza un estudio de sensibilidad global que permita entender el comportamiento de la estructura de filtro, al cambiar las variables f´ısicas dentro de un rango. El estudio de sensibilidad se presenta en la sección 5. Posterior a esto, se calculan las funciones que modelan los cambios en frecuencia y ancho de banda, alrededor de un punto de operación, a partir de cambios en las variables f´ısicas. De estas funciones, se puede definir un sistema de ecuaciones inverso, que permita calcular el cambio requerido en las variables f´ısicas para lograr un cambio en frecuencia o ancho de banda estipulado. Este principio de reconfigurabilidad se presenta en la sección 6. El principio de re-configurabilidad se implementa para filtros de orden N = 2, N = 4, N = 6 y se valida con simulaciones circuitales y electromagnéticas para el filtro de orden N = 2. Los resultados se presentan en la sección 7. A partir de este principio y conociendo los cambios en las variables f´ısicas, se diseña una estructura de fil-tro reconfigurable en frecuencia y ancho de banda, utilizando el material PCM V O2, el cual se presenta en la sección 8 junto con su validación por medio de

(10)

3. Objetivos

Objetivo principal

Desarrollar una metodolog´ıa de s´ıntesis, diseño, simulación, fabricación y va-lidación de una estructura de filtro pasabandas reconfigurable en frecuencia y ancho de banda.

Objetivos espec´ıficos

Implementar la metodolog´ıa de filtro reconfigurable en frecuencia y ancho de banda sobre la tecnolog´ıa de gu´ıa de onda integrada al sustrato (SIW). Se escoge esta tecnolog´ıa, para mantener un alto factor de calidad en las estructuras dise˜nadas.

Utilizar un proceso de s´ıntesis general de filtros, que permita su implemen-taci´on en tecnolog´ıa SIW, encontrando funciones que permitan cuantificar el efecto de las variables f´ısicas de la estructura en los par´ametros frecuen-cia central y ancho de banda.

El principio de reconfigurabilidad en frecuencia y ancho de banda desa-rrollado, debe permitir mantener el ancho de banda fijo para variaciones en la frecuencia central, y viceversa, debe mantener una frecuencia central para distintos anchos de banda.

Integrar el di´oxido de Vanadio V O2 en la estructura reconfigurable

(11)

4. Dise˜

no de filtros en tecnolog´ıa SIW

4.1. M´

etodo de s´ıntesis para filtro de orden N

El método de s´ıntesis utilizado permite calcular los parámetros de dispersión de una red dos puertos, de tal forma, que se obtenga una respuesta de filtro pa-sabanda teniendo en cuenta una fuente y una carga como se muestra en la figura 5. La caracter´ıstica pasabanda del filtro corresponde a una de tipo Chebyshev, teniendo en cuenta respuestas de tipo asimétrico. Se escoge esta caracter´ıstica debido a que la pendiente de corte es alta en comparación con otras caracter´ısti-cas y para valores menores a 0,5 dB mantiene un rizado constante en la banda pasante [15]. Una vez se hayan calculado los parámetros de dispersión, se puede calcular la matriz transversal de acoples, que permite modelar esta red de dos puertos en términos matriciales, facilitando, la implementación del proceso de s´ıntesis en tecnolog´ıa SIW [11].

Figura 5: Par´ametros de dispersi´on de una red de dos puertos.

El proceso de s´ıntesis parte de unas especificaciones de entrada que permiten calcular polinomios que cumplan estas caracter´ısticas y describan los par´ametros S de una red de dos puertos. Dichas especificaciones de entrada est´an descritas por (1).

N ⇒ Orden del filtro fo⇒ Frecuencia central [Hz]

BW ⇒ Ancho de banda (Chebyshev) [Hz] Rl⇒ P´erdidas por retorno [dB]

L ⇒ Número de ceros de transmisión finitos nf z ⇒ n-ésimo cero de transmisión finito

(1)

El cálculo de los polinomios se hará en función de la frecuencia angular ω del prototipo pasabajas, teniendo en cuenta que los ceros de transmisión nf z se especifican en esta misma variable. Para una red de dos puertos sin pérdidas, los polinomios de transmisión y reflexión se pueden expresar como una función racional de dos polinomios de orden N como se escribe de (2) a (4)[11].

(12)

S11= F (ω) rE(ω) (2) S21= P (ω) E(ω) (3) = √ 1 10Rl/10− 1 P (ω)r F (ω) ω=±1 (4)

Donde es una constante que normaliza el polinomio S21(ω) al rizado en

la banda pasante evaluado en ω = ±1 [11]. Teniendo especificados los ceros de transmisi´on nf z, se puede calcular el polinomio P (ω) como en (5).

P (ω) =

L

Y

n=1

(ω − nf zn) (5)

Cabe aclarar que en el caso en que no se especifiquen ceros de transmisión, el polinomio quedará P (ω) = ω. Para el cálculo de los demás polinomios, F (ω) y E(ω), se recurre al polinomio de filtraje C(ω) (6) que tiene por polos las ra´ıces de P (ω) y por ceros las ra´ıces de F (ω) [11].

C(ω) =F (ω)

P (ω) (6)

Para la caracter´ıstica pasabanda de tipo Chebyshev, se puede calcular C(ω) como en (7)[11]. C(ω) = cosh N X n=1 cosh-1xn(ω) (7) xn(ω) = ω − 1/nf zn 1 − ω/nf zn (8) A partir del c´alculo del polinomio C(ω), se puede calcular F (ω) utilizando F (ω) = P (ω)C(ω).

Finalmente, para el c´alculo del polinomio E(ω), se recurre al criterio de ortogonalidad de una red pasiva, sin p´erdidas y rec´ıproca (9)[11].

S11(s)S12(s)∗+ S21(s)S22(s)∗= 0 (9)

Donde la variable s corresponde a s = jω y se puede obtener (10).

(13)

Adicionalmente, se puede notar que se cumple (11) al multiplicar (3) por S21(s)∗ en ambos lados de la expresi´on.

E(ω)E(ω)∗ = P (ω)

2

2_S

21(ω)S21(ω)∗

(11) Finalmente, calculando S21(ω)S21(ω)∗ con (10) y utilizando para calcular

E(ω)E(ω)∗ en (11), se puede calcular el polinomio E(ω) utilizando N ra´ıces con el mismo signo en la parte imaginaria del polinomio calculado en (11) [16]. Una vez calculados los polinomios que describen el comportamiento del pro-totipo pasabajas de acuerdo a las especificaciones (1), se procede a calcular la matriz transversal de acoples. Esta matriz, permite modelar la red de dos puer-tos (ver figura 6a) como una red de resonadores acoplados como se muestra en la figura 6b. Para esto se requiere del c´alculo de los par´ametros de admitancia YN descritos por (12)

(a) Par´ametros de admitancia normalizados (Yl= Ys= 1[1/Ω]) para una red

de dos puertos incluyendo fuente s y carga l con dimensi´on N + 2.

(b) Red en serie de resonadores acoplados (tomado de [11] ).

Figura 6: Red de resonadores acoplados.

[YN] =

y11(s) y12(s)

y21(s) y22(s)

(14)

Donde los polinomios yij(s) son calculados para una red fuente s y carga l

de 1Ω, los cuales est´an descritos por (13) [11].

Para N par : y21(s) = y12(s) = P (s) m1(s) y22(s) = y11(s) = n1(s) m1(s) Para N impar : y21(s) = y12(s) = P (s) n1(s) y22(s) = y11(s) = m1(s) n1(s) (13) Donde

m

1

(s) = Re(e

0

+ f

0

) + j Im(e

1

+ f

1

)s + Re(e

2

+ f

2

)s

2

+ ...

(14)

n1(s) = j Im(e0+ f0) + Re(e1+ f1)s + j Im(e2+ f2)s2+ ... (15)

Con eiy fi, i = 0, 1, 2, 3, ..., N como los coeficientes complejos normalizados, de

los polinomios E(s) y F (s), con respecto al valor del N − ´esimo t´ermino eN y

fN. Cabe resaltar, que para cumplir el criterio de ortogonalidad (9) en el cambio

de variable de ω a s, el polinomio P (s) debe ser multiplicado por j para el caso en que N − L sea un n´umero par [11].

Para extraer la matriz de acople de los polinomios de admitancia yij(s), se

requiere realizar una descomposici´on en fracciones parciales para obtener (16).

y21(s) = r21,1(s) (s − λ1) + r21,2(s) (s − λ2) + ... + +r21,N(s) (s − λN) y22(s) = r22,1(s) (s − λ1) + r22,2(s) (s − λ2) + ... + +r22,N(s) (s − λN) (16)

A partir de esta descomposici´on, se calculan las posiciones de la matriz transversal N + 2 (ver figura 7) de acuerdo a (17) [11].

Msk= Mks= r21,k √ r22,k , k = 1, 2, ..., N Mlk= Mkl= √ r22,k Mkk= −λk (17)

(15)

Figura 7: Matriz transversal de acoples N + 2.

Como resultado se obtiene una matriz que describe una red como la de la figura 8, que tiene los N resonadores acoplados a la fuente y a la carga, con una autoresonancia (Mkk) diferente de 0 para todos ellos.

Figura 8: Representación gráfica de la matriz transversal de acoples N + 2. Una red como la que describe la matriz transversal N + 2 impone restric-ciones en su implementación f´ısica. Por este motivo es necesario transformar esta matriz, de tal forma que represente otra topolog´ıa de red, sin cambiar la respuesta de filtro. Para realizar estas transformaciones, se aplican transforma-ciones de similaridad que consisten en multiplicar la matriz original (M0) por

una matriz de rotaci´on (Rr) como en (18) [17].

Mr= RrM0RrT (18)

La matriz de rotaci´on se define como una matriz de dimensi´on [N +2×N +2] con un pivote [i, j](i 6= j). El pivote permite calcular las posiciones Rii= Rjj =

cos ψr y Rji = −Rij = sin ψr con ψr como el ángulo de rotación. Las demás

posiciones de la matriz son uno en la diagonal principal y cero en el resto de la matriz [17]. La matriz Mr tiene los mismos valores propios que la matriz

original M0, lo que permite mantener la respuesta del filtro en una secuencia de

(16)

Utilizando una secuencia de pivotes y ángulos de rotación apropiados, se puede obtener una matriz que permite su implementación f´ısica. En este traba-jo se utilizará la topolog´ıa Folded Canonical Form, que puede ser implementada en tecnolog´ıa SIW [11]. La topolog´ıa escogida se ilustra en la figura 9 para un orden N = 4 sin ceros de transmisión finitos.

Figura 9: Representación gráfica de la matriz Folded Canonical Form para un orden N = 4 sin ceros de transmisión finitos.

En la tabla 2, se presenta un ejemplo de pivotes y ´angulos para transformar la matriz transversal N +2 en una matriz tipo Folded Canonical Form para N = 4. En la cual se puede notar que el procedimiento general consiste en eliminar los acoples de la fuente con N − 1 resonadores, luego eliminar los acoples de N − 2 resonadores con la carga y finalmente, eliminar N − 3 acoples entre resonadores no contiguos. Elemento a ser eliminado Pivote [i, j] ψr= tan−1(cMkl/Mmn) k l m n c Ms4 [3,4] s 4 s 3 -1 Ms3 [2,3] s 3 s 2 -1 Ms2 [1,2] s 2 s 1 -1 M2l [2,3] 2 l 3 l 1 M3l [3,4] 3 l 4 l 1 M13 [2,3] 1 3 1 2 -1

Tabla 2: Secuencia de pivotes y ´angulos para la transformaci´on de la matriz transversal N + 2 en una matriz tipo Folded Canonical Form para un filtro de orden N = 4 (adaptado de [11] ).

4.2. Implementaci´

on en tecnolog´ıa SIW

La matriz de acoples transformada a la topolog´ıa Folded Canonical Form permite la implementaci´on del filtro especificado en (1), teniendo en cuenta que esta red se puede modelar como una serie de resonadores en cascada conec-tados a trav´es de inversores de impedancia, como se muestra en la figura 10 [18].

(17)

Figura 10: Red de resonadores acoplados por inversores de impedancia. Para la implementación en tecnolog´ıa SIW, se utiliza el equivalente eléctrico de un inversor de impedancias, el cual consiste en una reactancia X en deriva-ción ubicada en el medio de una l´ınea de transmisión de longitud φ, como se muestra en la figura 11 [15]. De este modo, el filtro constará de una l´ınea de transmisión en tecnolog´ıa SIW con reactancias en derivación, permitiendo que la implementación del filtro se encuentre en especificar los valores de las reac-tancias y de las longitudes eléctricas de las secciones de l´ıneas de transmisión que componen la estructura.

Figura 11: Equivalente el´ectrico de un inversor de impedancias.

Al igualar las matrices de impedancia de la reactancia en derivación ubicada en el medio de una l´ınea de transmisión y el inversor de impedancia, se obtiene que los valores de reactancia X están dados (19) y la longitud eléctrica φ está dada por (20) [15]. 1 |X| = K − 1 K (19) φ = − tan−1(2X) (20)

(18)

elementos Mi,j de la matriz de acoples con (21)[15]. Ks1= Ms1 √ α KN l= MN l √ α Kij = Mij α (21)

Con α (22) como el factor de escalamiento del prototipo pasabajas a pasabandas en una gu´ıa de onda [11].

α = λg1+ λg2 nπ(λg1− λg2) (22) Con λg1= λ1 q 1 − (λ1 2a) 2 λg2= λ2 q 1 − (λ2 2a)2

Donde λ1 y λ2 se calculan con las frecuencia de corte bajo del filtro y alto del

filtro, es decir, f1 = f0− (BW/2) y f2 = f0+ (BW/2) respectivamente.Para

el c´alculo de las longitudes de onda λ1 y λ2, la velocidad de propagaci´on debe

ser calculada teniendo en cuenta los parámetros constitutivos del sustrato de la gu´ıa (SIW). El valor de n corresponde a la cantidad de medias longitudes de onda en la dirección de propagación de la l´ınea de transmisión. Finalmente, la variable a corresponde al ancho de la gu´ıa de onda integrada al sustrato, dada por (23)[12]. a = w − 1,08d 2 s + 0,1 d2 w (23)

Con d como el diámetro de las v´ıas, s la separación entre estas y w la distancia entre las paredes de v´ıas que forman la l´ınea de transmisión en tecnolog´ıa SIW como la de la figura 12.

(19)

Figura 12: Estructura de una l´ınea de transmisi´on en tecnolog´ıa de gu´ıa de onda integrada al sustrato (SIW).

A partir de esto, se pueden especificar las reactancias Xij (24) y las

longi-tudes el´ectricas θj (25) que describen la estructura f´ısica del filtro[15].

1 |Xij| = Kij− 1 Kij (24) θj= nπ + 1 2 cot−1 ₁ 2|Xij| + cot−1 ₁ 2|Xjk| (25) Teniendo en cuenta que la topolog´ıa de la matriz de acoples es Folded Ca-nonical Form, la estructrua del filtro va a estar dada por una secuencia de N secciones de l´ınea de transmisi´on en tecnolog´ıa SIW con N + 1 reactancias en derivaci´on. En la figura 13 se ilustra la estructura para un filtro de orden N = 4.

(20)

5. An´

alisis de sensibilidad global de la

estructu-ra

Una vez se tiene la estructura de filtro definida, se propone realizar un an´ ali-sis de sensibilidad global para definir el efecto de las variables f´ısicas VN =

[XS1, X12, ..., XN l, θ1, θ2, ..., θN] en la frecuencia central f0 y ancho de banda

BW del filtro obtenido en el proceso de s´ıntesis presentado en la sección 4. Este análisis permitirá entender el comportamiento general de estas variables en un rango determinado, en función de los parámetros f0y BW . El método de

sen-sibilidad global implementado se denomina el método de Morris[19], del cual se podrá determinar qué variables:

Son despreciables en su efecto en f0 o BW .

Generan un cambio lineal y aditivo para f0o BW .

Generan un cambio no lineal para f0o BW .

El análisis de sensibilidad requiere del cálculo de tres medidas de sensibili-dad, La media de los efectos elementales (aproximación por diferencias finitas al gradiente de f0 y BW en la dirección de la variable l) µl para la variable l,

la desviaci´on est´andar σlde los de los efectos elementales µl para la variable l

y la media del valor absoluto de los efectos elementales µ∗_l para la variable l. A partir de estas medidas de sensibilidad se podr´a afirmar que:

Si µl y µ∗l tienen un valor grande para el par´ametro f0 o BW , en

compa-ración a las otras variables, la variable l tendrá un efecto importante en ese parámetro.

Si µl ≈ 0 y µ∗l tiene un valor grande para el par´ametro f0 o BW , en

comparación a las otras variables, la variable l tendrá un efecto importante en ese parámetro y además el efecto elemental tiene cambios de signo. Si σl µl el efecto elemental tiene una pequeña variación en el rango

determinado.

(21)

6. Principio de reconfigurabilidad en frecuencia

y ancho de banda

El an´alisis de sensibilidad global presentado en la secci´on 5 permite estimar el efecto de las variables f´ısicas en la frecuencia central f0y el ancho de banda

BW . Sin embargo, este an´alisis no permite proponer un principio de reconfigu-rabilidad, ya que aproxima el gradiente de f0 y BW en un rango amplio para

variaciones en las variables f´ısicas VN = [XS1, X12, ..., XN l, θ1, θ2, ..., θN]. Esta

aproximación impide conocer el comportamiento de la estructura alrededor un punto de operación espec´ıfico, y a su vez, impide el cálculo de las variaciones re-queridas para reconfigurar la respuesta del filtro en frecuencia o ancho de banda. Para entender lo que ocurre localmente, se realiza un proceso de linealización, donde se calculan funciones que modelan el comportamiento de los parámetros f0 y BW en términos de las variables f´ısicas VN (26).

f0(XS1, X12, ..., XN l, θ1, θ2, ..., θN)

BW (XS1, X12, ..., XN l, θ1, θ2, ..., θN)

(26)

Estas funciones se calculan a partir del proceso de s´ıntesis, utilizando la frecuen-cia central como f0+ ∆f donde ∆f es una variable de variaci´on que permite

modelar el comportamiento de la estructura alrededor de f0. De la misma forma

se utiliza el ancho de banda como BW + ∆BW con ∆BW como la variable de variaci´on en ancho de banda alrededor de un punto de operaci´on . Utilizando las expresiones que describen la estructura del filtro, (24) y (25), se obtiene un sistema de ecuaciones como el de (27).

XS1(f0+ ∆f, BW + ∆BW ) X12(f0+ ∆f, BW + ∆BW ) .. . XN l(f0+ ∆f, BW + ∆BW ) θ1(f0+ ∆f, BW + ∆BW ) θ2(f0+ ∆f, BW + ∆BW ) .. . θN(f0+ ∆f, BW + ∆BW ) (27)

Posteriormente, se calcula la aproximaci´on de Taylor multivariable de primer orden para todas las expresiones de (27), tomando ∆f y ∆BW como variables [20]. Obteniendo un sistema de ecuaciones lineales dado por (28).

(22)

d XS1= XS1(f0, BW ) + ys1,1∆f + ys1,2∆BW d X12= X12(f0, BW ) + y12,1∆f + y12,2∆BW .. . d XN l= XN l(f0, BW ) + yN l,1∆f + yN l,2∆BW b θ1= θ1(f0, BW ) + w1,1∆f + w1,2∆BW b θ2= θ2(f0, BW ) + w2,1∆f + w2,2∆BW .. . c θN = θN(f0, BW ) + wN,1∆f + wN,2∆BW (28)

Formando la matriz auxiliar R como se escribe en (29), a partir de las cons-tantes yij,m y wj,mcon m = 1, 2 que corresponden al gradiente de las funciones

de reactancia Xij y longitud el´ectrica θjcon respecto a la frecuencia para m = 1

y al ancho de banda para m = 2, se puede calcular el sistema de (26) aplicando (30). R =ys1,1 y12,1 ... yN l,1 w1,1 w2,1 ... wN,1 ys1,2 y12,2 ... yN l,2 w1,2 w2,2 ... wN,2 (29) ∆f ∆BW = [RRT]−1R               ∆XS1 ∆X12 .. . ∆XN l ∆θ1 ∆θ2 .. . ∆θN               (30)

Con dXij− Xij(f0, BW ) = ∆Xij y bθ1− θ1(f0, BW ) = ∆θj. A partir de este

procedimiento se encuentra un sistema de ecuaciones como el de (31) y (32) que permite entender el comportamiento del filtro alrededor de f0y BW en funci´on

de las variaciones en las variables f´ısicas VN.

∆f = a1∆XS1+ a2∆X12+ ... + aN +1∆XN l

+ aN +2∆θ1+ aN +2∆θ2+ ... + a2N +1∆θN

(23)

Donde los coeficientes de (31), a, y de (32), b, corresponden a los que se obtienen de realizar la operaci´on matricial [RRT]−1R. Con el sistema de ecua-ciones obtenido, se pueden calcular soluecua-ciones que permitan hacer variaecua-ciones en frecuencia de ρf sin afectar el ancho de banda (∆f = ρf, ∆BW = 0) y

vice-versa, realizar variaciones en el ancho de banda de ρBW sin afectar la frecuencia

central del filtro (∆f = 0, ∆BW = ρBW).

Dado que el sistema obtenido, es un sistema sobre determinado, para encon-trar esta solución se requiere igualar algunas variables a cero. En la tabla 3 se muestra la discriminación de estas variables para los filtros diseñados en este trabajo. Esta discriminación se realiza para N = 2, N = 4 y N = 6, mostrando las variables que permiten calcular las variaciones requeridas para la reconfigu-ración del filtro en frecuencia y ancho de banda de forma independiente.

N Requerimiento de reconfigurabilidad Variables de la base Variables en cero 2 (∆f = ρf, ∆BW = 0) ∆X12,∆θ1 ∆XS1 (∆f = 0, ∆BW = ρBW) ∆X12,∆θ1 ∆XS1 4 (∆f = ρf, ∆BW = 0) ∆XS1, ∆θ1= ∆θ2 ∆X12, ∆X23 (∆f = 0, ∆BW = ρBW) ∆X12, ∆θ1= ∆θ2 ∆XS1, ∆X23 6 (∆f = ρf, ∆BW = 0) ∆X12= ∆X23, ∆θ1= ∆θ2= ∆θ3 ∆XS1, ∆X34 (∆f = 0, ∆BW = ρBW) ∆X12= ∆X23, ∆θ1= ∆θ2= ∆θ3 ∆XS1, ∆X34

Tabla 3: Discriminaci´on de variables para la reconfiguraci´on en frecuencia y ancho de banda de filtros de orden 2, 4 y 6.

(24)

7. Resultados

7.1. Simulaci´

on circuital

Utilizando el m´etodo de s´ıntesis presentado en 4.1, se calcula la matriz de acoples N + 2 de tipo Folded Canonical Form a partir de las especificaciones dadas por (33) para filtros de orden N = 2, 4 y 6. No se especifican ceros de transmisi´on para obtener estructuras como la de la figura 13.

N = [2, 4, 6] fo= 17[GHz]

BW = 0,5[GHz] Rl= 22[dB]

(33)

En (34), se presentan los valores relevantes de la matriz obtenida para cada orden N = 2, 4 y 6. Para N = 2 ⇒ Ms1= M2l= 1,3047 M12= −1,8432 Para N = 4 ⇒ Ms1= M4l= 1,0822 M12= M34= 0,9600 M23= 0,7268 Para N = 6 ⇒ Ms1= M6l= 1,0435 M12= M56= −0,8806 M23= M45= −0,6251 M34= 0,5942 (34)

Dado que el filtro va a ser implementado a lo largo de una l´ınea de trans-misión en tecnolog´ıa SIW, se diseña una l´ınea de transmisión que permita una propagación T E10en la frecuencia de operación del filtro y en el ancho de banda

BW que este ocupe. En este caso se obtiene que para un sustrato con εr= 10,2

y tan δ = 0,0023 con w = 5,08[mm], las frecuencias del modo fundamental corresponde a fT E10 = 9,231[GHz] y el siguiente modo dominante estar´ıa en

fT E20= 18,462[GHz].

Teniendo la l´ınea de transmisi´on en tecnolog´ıa SIW, se calculan las reactan-cias Xij (24) y las longitudes el´ectricas θj(25) que describen la estructura f´ısica

del filtro. Los valores de las reactancias se desnormalizan con la impedancia de onda del modo transversal el´ectrico ZT E, la cu´al es la impedancia caracter´ıstica

(25)

(35) para cada orden N = 2, 4 y 6. Para N = 2 ⇒ Xs1= X2l= 51,2568[Ω] X12= −12,5892[Ω] θ1= θ2= 357,2176◦ Para N = 4 ⇒ Xs1= X4l= 53,7298[Ω] X12= X34= 13,3198[Ω] X23= 10,0456[Ω] θ1= θ4= 335,93◦ θ2= θ3= 350,5644◦ Para N = 6 ⇒ Xs1= X6l= 56,8567[Ω] X12= X56= −14,3833[Ω] X23= X45= −10,1583[Ω] X34= 9,6507[Ω] θ1= θ6= 346,2945◦ θ2= θ5= 369,8980◦ θ3= θ4= 360,2029◦ (35)

Para validar el proceso de s´ıntesis e implementaci´on, se simula la estructura con secciones de l´ınea de transmisi´on de longitud f´ısica lj interrumpidas por

inductancias Lij o capacitancias Cij seg´un el efecto que describa la reactancia

Xij. Para calcular la longitud f´ısica, se utiliza la constante de propagaci´on β

de la l´ınea de transmisi´on en tecnolog´ıa SIW [21], para obtener que lj = θj/β.

Para calcular las inductancias y capacitancias se utiliza (36).

Para Xij > 0 ⇒ Lij= Xij 2πf0 Para Xij < 0 ⇒ Cij= − 1 2πf0Xij (36)

Finalmente, las variables que permiten simular los filtros dise˜nados, se en-cuentran en (37) y los resultados de estas simulaciones se muestran en la figura 14 para el filtro de orden N = 2, en la figura 15 para el filtro de orden N = 4 y

(26)

en la figura 16 para el filtro de orden N = 6. Para N = 2 ⇒ Ls1= L2l= 0,4284[nH] C12= 0,6913[pF ] l1= l2= 6,375[mm] Para N = 4 ⇒ Ls1= L4l= 0,5031[nH] L12= L34= 0,1247[nH] L23= 0,0941[nH] l1= l4= 6,138[mm] l2= l3= 6,405[mm] Para N = 6 ⇒ Ls1= L6l= 0,5323[nH] C12= C56= 0,6509[pF ] C23= C45= 0,9217[pF ] L34= 0,0903[nH] l1= l6= 6,327[mm] l2= l5= 6,759[mm] l3= l4= 6,581[mm] (37)

En las figuras 14 y 15 se obtiene que la frecuencia central y el ancho de banda coinciden con las especificaciones, mientras que las p´erdidas por retorno son un poco menores a la especificaci´on Rl= 22,33[dB] para N = 2 y Rl = 22,83[dB]

para N = 4. Para el caso de orden N = 6 (ver figura 15) se cumplen los requerimientos en frecuencia y ancho de banda, sin embargo, las p´erdidas por retorno son mayores con Rl= 17,91[dB].

(27)

Figura 15: Simulaci´on circuital filtro dise˜nado orden N = 4.

Figura 16: Simulaci´on circuital filtro dise˜nado orden N = 6.

7.2. An´

alisis de sensibilidad global

Una vez se tiene una simulaci´on circuital que permita evaluar cambios en la frecuencia central f0y ancho de banda BW debidos a cambios en las variables

f´ısicas VN, se implementa el m´etodo de Morris para un filtro de orden N = 2 con

tres variables de entrada que son Ls1, C12 y l1, que a su vez constituyen todas

las variables que controlan la respuesta del filtro. Estas variables se normalizan y discretizan formando un conjunto de 200 simulaciones que permiten entender el comportamiento general de estas variables en el rango de la tabla 4, en funci´on de los par´ametros f0y BW .

Variable Rango Rangos en Porcentaje % Unidades

Ls1 [0.05-1.5] [11.7-350] [nH]

C12 [0.05-1.5] [7.25-217] [pF ]

l1 [6-6.5] [94-102] [mm]

(28)

Las medidas de sensibilidad obtenidas para f0se muestran en la figura 17 y

para BW en la figura 18.

Figura 17: Medidas de sensibilidad para filtro de orden N = 2 en el par´ametro f0.

(29)

la aproximaci´on del gradiente de estas funciones, se encuentra muy disperso en el rango especificado. Adicionalmente, se encuentra que para el par´ametro frecuencia central f0, en orden decreciente, las variables con mayor impacto son

l1, Ls1y C12. Para el par´ametro ancho de banda BW , se encuentra que el orden

decreciente es C12, Ls1y l1.

Los resultados de este an´alisis de sensibilidad global, permiten organizar, en magnitud, los efectos promedio de los cambios realizados en las variables f´ısicas dentro del rango especificado en la tabla 4. Sin embargo, no permiten cuantificar los cambios requeridos en las variables f´ısicas, para reconfigurar el filtro en frecuencia central y ancho de banda alrededor de un punto de operaci´on espec´ıfico.

7.3. Reconfigurabilidad en frecuencia y ancho de banda

Utilizando el principio descrito en la secci´on 6, se encuentran los sistemas de ecuaciones que permiten entender el comportamiento del filtro alrededor de f0= 17[GHz] y BW = 0,5[GHz] en funci´on de las variaciones en las variables

f´ısicas VN para los ´ordenes N = 2, N = 4 y N = 6. Cabe resaltar que el n´umero

de variables para el caso sin ceros de transmisión siempre será N + 1, ya que la estructura será simétrica para la fuente y la carga. El sistema de ecuaciones para N = 2 está dado por (38).

∆f = −1,7554 × 10−1∆LS1

+ 5,2511 × 10−2∆C12− 1,869∆l1

∆BW = 8,7850 × 10−2∆LS1

− 2,4647 × 10−1∆C12− 3,5102 × 10−2∆l1

(38)

Con ∆f y ∆BW como las variaciones en [GHz] obtenidas al variar ∆LS1

en [nH], ∆C12en [pF ] y ∆l1en [mm]. En general, estas ser´an las unidades para

las variaciones en inductancia, capacitancia, longitud f´ısica y frecuencia para los sistemas presentados en esta sección. Para N = 2 se observa que los resultados del sistema de ecuaciones, coinciden con el análisis de sensibilidad presentado en la sección 7.2.

El sistema de ecuaciones para N = 4 est´a dado por (39) y para N = 6 est´a dado por (40). ∆f = −9,5930 × 10−1∆LS1 − 3,6641 × 10−1∆L12− 2,7443 × 10−1∆L23 − 7,6353 × 10−1∆l1− 1,0519∆l2 ∆BW = 8,3384 × 10−1∆LS1 3,2860 × 10−1∆L122,4603 × 10−1∆L23 − 1,9621 × 10−1∆l1− 3,7065 × 10−2∆l2 (39)

(30)

∆f = 3,7981 × 10−2∆LS1 − 4,6623 × 10−2∆C12− 6,5702 × 10−2∆C23 5,3500 × 10−3∆L34− 5,8793 × 10−1∆l1 − 6,1990 × 10−1∆l2− 6,0937 × 10−1∆l3 ∆BW = 9,9825 × 10−2∆LS1 − 2,0100 × 10−1∆C12− 2,8175 × 10−1∆C23 + 2,6878 × 10−2∆L34− 5,3363 × 10−2∆l1 + 1,6148 × 10−2∆l2+ 3,5770 × 10−2∆l3 (40)

Los sistemas se resuelven de acuerdo a la tabla 3 con ρf = 0,25[GHz] y

ρBW = −0,1[GHz], buscando que la frecuencia central del filtro aumente la

mitad del ancho de banda para la reconfiguraci´on en frecuencia, y disminuya un 0,58 % de ancho de banda fraccional para la reconfigurabilidad en ancho de banda. Las soluciones obtenidas para ambos casos prueban que el filtro de orden dos se puede reconfigurar en frecuencia sin afectar el ancho de banda, como se muestra en la figura 19, con ∆C12 = 0,019[pF ] y ∆l1 = −0,1332[mm]. De la

misma forma, el mismo filtro se puede reconfigurar en ancho de banda sin afectar la frecuencia de operaci´on con ∆C12= 0,1757[pF ] y ∆l1= −0,0105[mm], como

se muestra en la figura 20.

Figura 19: Filtro de orden N = 2, reconfigurado en frecuencia sin afectar el ancho de banda.

Al reconfigurar en frecuencia central f0 manteniendo el ancho de banda,

se logra desplazar la respuesta del filtro ∆f = 0,249[GHz] con una m´ınima

variaci´on en ancho de banda ∆BW = −0,0031[GHz], manteniendo las p´erdidas

(31)

Figura 20: Filtro de orden N = 2, reconfigurado en ancho de banda sin afectar la frecuencia central.

Por otro lado, al reconfigurar en ancho de banda BW manteniendo la fre-cuencia central, se logra disminuir el ancho de banda en ∆BW = −0,0964[GHz],

con un desplazamiento en frecuencia central de ∆f = −0,015[GHz] y mostrando

un aumento en las p´erdidas por retorno, incumpliendo una de las especificaciones dadas en (33).

Para el filtro de orden N = 4 se realiza el mismo procedimiento, utilizando la base propuesta en la tabla 3, y se obtiene que su reconfiguraci´on en frecuencia central est´a dada por los cambios en ∆Ls1 = −0,0184[nH] y ∆l1 = ∆l2 =

−0,1251[mm]. El resultado de la simulaci´on circuital al aplicar estos cambios se observa en la figura 21.

De la reconfiguraci´on en frecuencia central para el filtro de orden N = 4, se puede notar que se aumenta la frecuencia central f0 en ∆f = 0,25[GHz] con

una m´ınima variaci´on en ancho de banda ∆BW = −0,001[GHz], incumpliendo

la restricci´on de p´erdidas por retorno alrededor de las especificaciones dadas en (33).

(32)

cambie su ancho de banda BW sin afectar la frecuencia central, se obtiene el resultado que se muestra en la figura 22 con ∆L12 = −0,02526[pF ] y ∆l1 =

∆l2= 0,0418[mm]. En esta se observa que, como en el filtro de orden N = 2,

se disminuye el ancho de banda ∆BW = −0,1[GHz], se desplaza en frecuencia

∆f = −0,005[GHz] y se aumenta el nivel de p´erdidas por retorno.

Finalmente, para el filtro de orden N = 6, se presenta la respuesta al recon-figurar en frecuencia en la figura 23 y al reconrecon-figurar en ancho de banda en la figura 24.

Para reconfigurar el filtro de orden N = 6 en frecuencia, se requiere que ∆C12 = ∆C23 = 0,021[pF ] y ∆l1 = ∆l2 = ∆l3 = −0,1389[mm]. Al aplicar

(33)

Al reconfigurar el filtro de orden N = 6 en ancho de banda, se requiere que ∆C12= ∆C23= 1658[pF ] y ∆l1 = ∆l2 = ∆l3= −0,036[mm]. Al aplicar estos

cambio se obtiene que la frecuencia central no se desplaza y se afecta el ancho de banda en ∆BW = −0,095[GHz], aumentando en mayor medida las p´erdidas

por retorno.

7.4. Simulaci´

on electromagn´

etica

7.4.1. Caracterización de discontinuidades en tecnolog´ıa SIW Para implementar la estructura del filtro en una simulación electromagn´ eti-ca, es necesario implementar cargas inductivas y capacitivas a lo largo de una l´ınea de transmisión en tecnolog´ıa SIW. De acuerdo a [22], las discontinuidades a lo largo de una gu´ıa de onda pueden tener efectos inductivos o capacitivos, para este trabajo se utilizan los principios de iris inductivo y capacitivo para ob-tener las capacitancias en inductancias en derivación calculadas en la sección 7.1. Para calcular el valor de inductancia o capacitancia de estas discontinui-dades, se implementa una estructura de gu´ıa de onda que permita realizar un procedimiento de de-embedding. Este procedimiento consiste en ajustar el plano de referencia en la simulación electromagnética para calcular los parámetros de dispersión de la red de dos puertos en el plano en que se ubica la discontinuidad a lo largo de la gu´ıa de onda [23]. A partir de los parámetros de dispersión de la discontinuidad, se puede calcular el valor de su admitancia Yd(41)[24], y a

partir de ´esta, el valor de la capacitancia Cd o inductancia Ld(42).

Yd= 1 Z0 (1 − S11)(1 − S22) − S12S21 2S21 (41)

(34)

Para Im(Yd) > 0 ⇒ Cd = Im(Yd) 2πf0 Para Im(Yd) < 0 ⇒ Ld = − 1 (2πf0) Im(Yd) (42)

La estructura utilizada en este trabajo, que permite implementar una in-ductancia en derivación a lo largo de una gu´ıa de onda, se muestra en la figura 25. La cual consta de dos v´ıas metalizadas distanciadas entre s´ı una distan-cia de dL[mm]. Las v´ıas tienen un diámetro de 0,5mm y el sustrato utiliza-do para implementar la gu´ıa tiene como parámetros constitutivos εr = 10,2 y

tan δ = 0,0023.

Figura 25: Estructura de una carga inductiva en una l´ınea de transmisi´on en tecnolog´ıa SIW.

El valor de la inductancia obtenido al variar la distancia entre las v´ıas dL, se muestra en la figura 26. A partir de esta caracterización, se puede implementar una inductancia en derivación a lo largo de una l´ınea de transmisión, ajustando la distancia entre v´ıas de acuerdo al valor calculado en la sección 7.1.

(35)

consta de dos placas paralelas, separadas 0,25[mm] entre s´ı, ubicadas en el medio de la gu´ıa de onda. En esta caso la variable que permite controlar el valor de la capacitancia es el ancho de esta placas paralelas lstrip.

Figura 27: Estructura de una carga capacitiva en una l´ınea de transmisi´on en tecnolog´ıa SIW.

La capacitancia calculada para la estructura de la figura 27 con el proceso de de-embedding, se muestra en la figura 28.

Figura 28: Capacitancia calculada para iris capacitivo implementado en tecno-log´ıa SIW.

7.4.2. Transici´on de tecnolog´ıa microstrip a SIW

La estructura de l´ınea de transmisión del filtro, requiere de una transición de tecnolog´ıa SIW a otra tecnolog´ıa que permita su medición f´ısica. En este caso se escoge la tecnolog´ıa microstrip como tecnolog´ıa de acceso a la estructura. Esta tecnolog´ıa permite realizar mediciones utilizando conectores coaxiales diseñados para la medición de dispositivos fabricados en tecnolog´ıas planares. La transición microstrip-SIW diseñada se muestra en la figura 29.

(36)

Figura 29: Estructura de transici´on microstrip-SIW implementada con lustr =

5,5[mm], wustr= 2,55[mm], wustr1= 3,5[mm], ltrans= 10[mm].

Donde la l´ınea microstrip de acceso se calcula para que tenga una impedan-cia caracter´ıstica de 50[Ω]. Adicional a esto, para lograr una l´ınea de transmisión con las menores pérdidas de inserción, se añaden paredes formadas por v´ıas que confinen los campos y permitan una transición más suave. Finalmente, se agrega una sección microstrip que var´ıa su ancho a medida que se acerca a la gu´ıa de onda, ajustando la adaptación de impedancias entre ambas tecnolog´ıas.

Los parámetros de dispersión de esta transición implementada se muestra en la figura 30. Mostrando una respuesta satisfactoria como l´ınea de transmisión, con pérdidas de inserción menores a 1,03[dB] y pérdidas por retorno menores a 20,82[dB].

Figura 30: Parámetros de dispersión de la estructura de transición microstrip-SIW implementada.

(37)

Ls1= L2l= 0,4284[nH], Lstrip = 1,575[mm] que corresponde a la capacitancia

de C12= 0,6913[pF ] y la longitud f´ısica de l1= l2= 6,572[mm], la cual debe ser

ajustada teniendo en cuenta las discontinuidades. La estructura implementada para el filtro de orden N = 2 se muestra en la figura 31.

Figura 31: Estructura implementada en tecnolog´ıa SIW para filtro de orden N = 2.

Los par´ametros de dispersi´on del filtro de orden N = 2 implementado en tecnolog´ıa SIW se muestran en la figura 32.

Figura 32: Par´ametros de dispersi´on de la estructura implementada en tecno-log´ıa SIW para filtro de orden N = 2.

El principio de reconfigurabilidad presentado en la sección 6 se prueba con simulación electromagnética, obteniendo que para lograr la reconfiguración de la frecuencia central f0en ρf= 0,25[GHz], se debe ajustar ∆Lstrip = 0,01[mm] y

∆l1= ∆l2= −0,1332[mm], obteniendo la respuesta que se observa en la figura

(38)

Figura 33: Filtro de orden N = 2, reconfigurado en frecuencia sin afectar el ancho de banda en simulaci´on electromagn´etica.

De la reconfiguraci´on en frecuencia se obtiene que se logra desplazar la res-puesta del filtro ∆f = 0,235[GHz], manteniendo el ancho de banda fijo y las

p´erdidas por retorno menores a la especificaci´on dada en (33).

Del mismo modo, se prueba el principio de reconfigurabilidad en ancho de banda BW con ρBW = −0,1[GHz], para el cual se debe ajustar ∆Lstrip =

−0,19[mm] y ∆l1= ∆l2= −0,005[mm], obteniendo la respuesta que se observa

en la figura 34.

Figura 34: Filtro de orden N = 2, reconfigurado en ancho de banda en simulaci´on electromagn´etica.

Al reconfigurar en ancho de banda BW manteniendo la frecuencia central, se logra disminuir el ancho de banda en ∆BW = −0,098[GHz], con un

(39)

8. Estructura reconfigurable en tecnolog´ıa SIW

con VO2

Una vez se ha probado el principio de reconfigurabilidad a partir de simu-laciones electromagnéticas, se procede a diseñar una estructura reconfigurable utilizando materiales PCM como lo es el dióxido de vanadio V O2, el cual cambia

entre aislante y conductor ante un est´ımulo por temperatura o corriente directa [14]. Para modelar el efecto de este material en ambos estados, se utiliza una conductividad de σa= 20[S/m] en la fase aislante y de σm= 50000[S/m] en la

fase de conductor [13].

Teniendo esto en cuenta, se busca igualar los cambios f´ısicos requeridos para reconfigurar frecuencia y ancho de banda con los cambios de fase del material V O2. En este trabajo se muestra el dise˜no de una estructura reconfigurable de

orden N = 2 utilizando este material. Para esto, se debe poder modificar la longitud eléctrica de la sección de l´ınea de transmisión, y además, se debe poder cambiar el ancho de las placas paralelas que componen la capacitancia, es decir, poder modificar Lstrip.

La estructura propuesta se muestra en la figura 35, modificando la longitud eléctrica por medio de la disminución de la constante de propagación de la gu´ıa de onda β, disminuyendo el ancho de la gu´ıa, agregando paredes de V O2. Para

modificar la capacitancia, se agregan cintas de V O2 en ambos extremos de las

placas paralelas, cambiando directamente la variable el ancho de estas.

Figura 35: Estructura implementada en tecnolog´ıa SIW con V O2 para filtro de

orden N = 2.

Con la estructura dise˜nada, se pretende reconfigurar la frecuencia central f0

en ρf= 0,25[GHz], manteniendo el ancho de banda, utilizando el material en el

estado de conductor para las paredes y las placas paralelas. Tambi´en, permite reconfigurar en ancho de banda BW con ρBW = 0,1[GHz], con las paredes y

placas paralelas de V O2 en estado aislante. Cabe resaltar que el filtro de orden

N = 2 dise˜nado, se obtiene con las paredes en estado aislante y las placas paralelas en conductor. En la tabla 5 se resume la configuraci´on de las secciones de V O2agregadas a la estructura, para reconfigurar frecuencia y ancho de banda

(40)

Reconfigurabilidad Estado de paredes de V O2 Estado de cintas de V O2

Caso base Aislante Conductor

Frecuencia f0 Conductor Conductor

Ancho de banda BW Aislante Aislante

Tabla 5: Configuraci´on de secciones de V O2 para obtener reconfigurabilidad en

frecuencia y ancho de banda.

Figura 36: Reconfigurabilidad en frecuencia de la estructura implementada en tecnolog´ıa SIW con V O2 para filtro de orden N = 2.

Figura 37: Reconfigurabilidad en ancho de banda de la estructura implementada en tecnolog´ıa SIW con V O2 para filtro de orden N = 2.

En las figuras 36 y 37 se muestra el resultado de la simulaci´on electromagn´ eti-ca con la reconfigurabilidad en frecuencia y ancho de banda. A partir de esto, se obtiene un filtro que se reconfigura en frecuencia, logrando un desplazamiento en frecuencia de ∆f = 0,25[GHz] con un m´ınimo desplazamiento en ancho de

banda ∆BW = −0,005[GHz]. Por otro lado, al reconfigurar ancho de banda

se obtiene un aumento de ancho de banda de ∆BW = 0,1[GHz], aumentando

(41)

Estas mediciones se har´an en el momento en que se encuentre la estructura fabricada.

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9. Conclusiones y trabajo futuro

En este trabajo se desarrolla un proceso de s´ıntesis general de filtros sin-tonizados asincrónicamente, basado en el cálculo de la matriz de acoples. Este proceso de s´ıntesis permite modelar una red de dos puertos como un filtro que cumple unas especificaciones dadas. Este proceso de s´ıntesis se implementa en una l´ınea de transmisión en tecnolog´ıa de gu´ıa de onda integrada al sustrato (SIW), utilizando el equivalente eléctrico de un inversor de impedancias que permite implementar una red de resonadores acoplados. En este trabajo, se de-fine que la matriz de acoples sea de tipo Folded Canonical Form, buscando que la red de resonadores acoplados se encuentren en cascada y la implementación se logre utilizando una l´ınea de transmisión con discontinuidades en derivación. Una vez se tiene una estructura definida para un filtro de orden N , se pro-cede a estudiar el efecto de cambios realizados en las variables f´ısicas sobre la frecuencia central f0 y el ancho de banda BW con un análisis de sensibilidad

global utilizando el método de Morris. A partir de este análisis se logran cuanti-ficar los efectos de las variables f´ısicas en los parámetros del filtro, permitiendo entender a gran escala el comportamiento de la estructura.

El principio de reconfigurabilidad de frecuencia y ancho de banda propuesto en este trabajo, permite modelar, por medio de funciones, el comportamiento de una estructura de filtro diseñado con la secciones 4.1 y 4.2 alrededor de un punto de operación en frecuencia y ancho de banda. Las funciones encontradas son lineales y se pueden resolver para realizar variaciones en frecuencia y ancho de banda de forma independiente. Esto se valida por medio de simulaciones cir-cuitales (N = 2, N = 4, N = 6) y electromagnéticas (N = 2) en tecnolog´ıa SIW. Los resultados de reconfigurabilidad para las estructuras implementadas, muestran que efectivamente se desplaza la respuesta del filtro en frecuencia, manteniendo el ancho de banda y las pérdidas por retorno. Sin embargo, para la reconfiguración en ancho de banda, se afecta el ancho de banda de acuerdo al objetivo, manteniendo la frecuencia central y aumentando las pérdidas por retorno. Esto muestra que la reconfigurabilidad en ancho de banda es posible, pero tiene un mayor desaf´ıo. Este problema de desadaptación en las pérdidas por retorno, se puede corregir involucrando una mayor cantidad de variables en la base de la solución para el principio de reconfigurabilidad, utilizando el cálculo que se obtiene directamente del proceso de s´ıntesis e implementación presentado en las secciones 4.1 y 4.2 respectivamente.

Adicionalmente, se presenta una estructura reconfigurable en frecuencia y ancho de banda con V O2, el cual permite implementar en un solo filtro, tres

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que permitan realizar mayor cantidad de variaciones tanto en frecuencia central, como en ancho de banda. Para lograr esto, se propone discretizar los conduc-tores a partir de arreglos de este material que puedan activarse y desactivarse de acuerdo al comportamiento especificado en las soluciones obtenidas para la reconfiguraci´on.

Durante el desarrollo de este trabajo, se realizan un conjunto de herramien-tas software que permiten implementar el principio de reconfigurabilidad para filtros de orden N, incluyendo la s´ıntesis, la implementación, la simulación y el cálculo del sistema de ecuaciones lineal (inverso). Con este conjunto de herra-mientas, se permite al usuario implementar la metodolog´ıa de diseño de filtros pasabanda reconfigurables en tecnolog´ıa SIW, presentada en este trabajo. Los códigos desarrollados se adjuntan en la sección 10.

Como trabajo futuro, se plantea inicialmente, fabricar y validar la estruc-tura diseñada para los tres casos presentados en la sección 8. A partir de la validación a nivel de mediciones f´ısicas, se propone un principio de reconfigura-bilidad en frecuencia y ancho de banda, adicionando ceros de transmisión finitos, que permitan aumentar la pendiente de rechazo, manteniendo el orden del filtro. Adicionalmente, se plantea evaluar el principio de reconfigurabilidad presentado para mayores rangos de variación, tanto en frecuencia como en ancho de banda para determinar los rangos de validez para el principio presentado en este traba-jo. Considerando aumentar el orden de la aproximación de Taylor, y planteando soluciones para el problema inverso. Finalmente, se propone desarrollar un pro-yecto que permita fabricar la estructura reconfigurable con el material V O2,

resolviendo los desaf´ıos que esta presenta, al ser un material que se encuentra en una etapa preliminar de desarrollo para los circuitos de microondas.

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Referencias

[1] RF Technologies: Connectors and Solutions, nov. de 2019. direcci´on: https: //www.qualcomm.com/products/rf.

[2] ((IEEE Draft Standard for Information Technology - Telecommunications and Information Exchange Between Systems - Local and Metropolitan Area Networks - Specific Requirements - Part 11: Wireless LAN Medium Access Control (MAC) and Physical Layer (PHY) Specifications)), IEEE Draft PREVmb/D3.0, March 2010 (Revision of IEEE Std 802.11-2007, as amended by IEEE Std 802.11k-2008, IEEE Std 802.11r-2008, IEEE Std 802.11y-2008, IEEE Std 802.11w-2009 and IEEE Std 802.11n-2009), p´_{ags. 1-2228, ago. de 2010, issn: null.}

[3] G. Basavarajappa y R. R. Mansour, ((Design Methodology of a Tunable Waveguide Filter With a Constant Absolute Bandwidth Using a Single Tuning Element)), IEEE Transactions on Microwave Theory and Techni-ques, vol. 66, n.o_{12, p´}

ags. 5632-5639, dic. de 2018, issn: 1557-9670. [4] C. Arnold, J. Parlebas y T. Zwick,((Reconfigurable Waveguide Filter with

Variable Bandwidth and Center Frequency)), IEEE Transactions on Mi-crowave Theory and Techniques, vol. 62, n.o_{8, p´}_{ags. 1663-1670, ago. de}

2014, issn: 1557-9670. doi: 10.1109/TMTT.2014.2332298.

[5] ——, ((Reconfigurable Waveguide Filter with Variable Bandwidth and Center Frequency)), IEEE Transactions on Microwave Theory and Tech-niques, vol. 62, n.o_{8, p´}_{ags. 1663-1670, ago. de 2014, issn: 1557-9670. doi:}

10.1109/TMTT.2014.2332298.

[6] B. Yassini, M. Yu y B. Keats,((A Ka -Band Fully Tunable Cavity Filter)), IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, vol. 60, n.o_12,

p´_{ags. 4002-4012, dic. de 2012, issn: 1557-9670. doi: 10.1109/TMTT.2012.} 2224367.

[7] D. Psychogiou y R. Gomez-Garcia,((Multi-Mode-Cavity-Resonator-Based Bandpass Filters With Multiple Levels of Transfer-Function Adaptivity)), IEEE Access, vol. 7, p´_{ags. 24 759-24 765, 2019, issn: 2169-3536. doi: 10.} 1109/ACCESS.2019.2900059.

[8] M. Esmaeili y J. Bornemann,((Novel Tunable Bandstop Resonators in SIW Technology and Their Application to a Dual-Bandstop Filter with One Tunable Stopband)), IEEE Microwave and Wireless Components Letters, vol. 27, n.o_{1, p´}_{ags. 40-42, ene. de 2017, issn: 1558-1764.}

[9] B. You, S. Lu, L. Chen y Q. J. Gu, ((A Half-mode Substrate-Integrated Filter With Tunable Center Frequency and Reconfigurable Bandwidth)), IEEE Microwave and Wireless Components Letters, vol. 26, n.o_{3, p´}_{ags. 189-191,}

(45)

[10] J. C. Bohorquez, B. Potelon, C. Person, E. Rius, C. Quendo, G. Tanne y E. Fourn,((Reconfigurable Planar SIW Cavity Resonator and Filter)), en 2006 IEEE MTT-S International Microwave Symposium Digest, jun. de 2006, p´_{ags. 947-950. doi: 10.1109/MWSYM.2006.249873.}

[11] R. Cameron, R. Mansour y C. Kudsia, Microwave Filters for Communica-tion Systems: Fundamentals, Design and ApplicaCommunica-tions. Wiley, 2007, isbn: 9780471450221.

[12] Feng Xu y Ke Wu,((Guided-wave and leakage characteristics of substra-te insubstra-tegrasubstra-ted waveguide)), IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, vol. 53, n.o_{1, p´}_{ags. 66-73, ene. de 2005, issn: 1557-9670. doi:}

10.1109/TMTT.2004.839303.

[13] J. Jiang, G. Chugunov y R. R. Mansour,((Fabrication and characterization of VO2-based series and parallel RF switches)), en 2017 IEEE MTT-S International Microwave Symposium (IMS), ene. de 2017, p´ags. 278-280. doi: 10.1109/MWSYM.2017.8059096.

[14] Z. Su, M. Vaseem, S. Yang, K. Klionovski y A. Shamim, ((Fully Printed VO2 Switch Based Reconfigurable PIFA Antenna)), en 2018 IEEE Inter-national Symposium on Antennas and Propagation USNC/URSI Natio-nal Radio Science Meeting, jul. de 2018, p´_{ags. 1683-1684. doi: 10.1109/} APUSNCURSINRSM.2018.8609245.

[15] G. Matthaei, L. Young y E. Jones, Microwave Filters, Impedance-matching Networks, and Coupling Structures, ´ep. Artech House microwave library. Artech House Books, 1980.

[16] O. A. Nova Manosalva y J. C. Bohórquez Reyes, ((Módulo filtro-antena basado en cavidades fabricadas mediante tecnolog´ıa de gu´ıa de onda in-tegrada al substrato (Substrate Integrated Waveguide, SIW))), Tesis de mtr´ıa., Universidad de los Andes, Bogotá, 2010.

[17] C. Fröberg, Introduction to Numerical Analysis, ép. Addison-Wesley world student series edition. Addison-Wesley Publishing Company, 1965. [18] O. A. Nova, J. C. Bohórquez y N. M. Peña,((An approach to filter-antenna

integration in SIW technology)), en 2011 IEEE Second Latin American Symposium on Circuits and Systems (LASCAS), feb. de 2011, p´ags. 1-4. doi: 10.1109/LASCAS.2011.5750291.

[19] A. Saltelli, M. Ratto, T. Andres, F. Campolongo, J. Cariboni, D. Gatelli, M. Saisana y S. Tarantola, Global Sensitivity Analysis: The Primer. Wiley, 2008, isbn: 9780470725177.

[20] W. R. Inc., Mathematica, Version 11.3, Champaign, IL, 2018. [21] _{D. Pozar, Microwave Engineering. Wiley, 2004, isbn: 9780471448785.} [22] N. Marcuvitz, Waveguide Handbook: Office of Scientific Research and

De-velopment ; National Defense Research Committee, ´ep. Radiation Labo-ratory Series. McGraw-Hill Book Company, 1951.

(46)

[23] H. Xu y E. Kasper,((A de-embedding procedure for one-port active mm-wave devices)), en 2010 Topical Meeting on Silicon Monolithic Integrated Circuits in RF Systems (SiRF), ene. de 2010, p´_{ags. 37-40. doi: 10.1109/} SMIC.2010.5422795.

[24] J. Hong y M. Lancaster, Microstrip Filters for RF / Microwave Appli-cations, ´ep. Wiley Series in Microwave and Optical Engineering. Wiley, 2004, isbn: 9780471464204.

(47)

10. Anexos

C´

odigo desarrollado en Mathematica para

obte-ner matriz inversa de filtro de orden 2

1 #!/ u s r / b i n / env w o l f r a m s c r i p t 2 ( ∗ : : Package : : ∗ ) 3 ( ∗ : : P a ra me t ro s c o n s t i t u t i v o s : : ∗ ) 4 u=4∗Pi ∗10ˆ −7; 5 e = 1 0 . 2 ∗ ( 8 . 8 5 4 1 8 7 8 1 7 ∗ 1 0 ˆ − 1 2 ) ; 6 ( ∗ : : V e l o c i d a d de p r o p a g a c i o n : : ∗ ) 7 c=1/S q r t[ u∗ e ] ;

8 ( ∗ : : Numero de medias l o n g i t u d e s de onda p a r a cada

s e c c i o n de TRL : : ∗ ) 9 n=2; 10 ( ∗ : : D i m e n s i o n e s g u i a SIW : : ∗ ) 11 a = 0 . 0 0 5 0 8 ; 12 ( ∗ : : V a l o r e s m a t r i z de a c o p l e s : : ∗ ) 13 M12= 1 . 3 0 4 7 ; 14 M23= −1.8432; 15 ( ∗ : : P ar a me t ro s de f r e c u e n c i a y ancho de banda : : ∗ ) 16 f c =17; 17 bw= 0 . 5 0 0 ∗ ( 1 / 2 . 5 3 1 2 2 5 1 9 4 ) ∗ ( 1 ) ; 18 ( ∗ : : C a l c u l o de l o n g i t u d e s f s i c a s y d i s c o n t i n u i d a d e s : : ∗ ) 19 Bet=S q r t[ ( ( ( 2 ∗ Pi ∗ ( ( f c+f ) ∗ 1 0 ˆ 9 ) ) / c ) ˆ 2 ) −(( Pi / a ) ˆ 2 ) ] ; 20 f 1 =(( f c+f ) ∗ 1 0 ˆ 9 ) −(((bw+BW) ∗ 1 0 ˆ 9 ) / 2 ) ; 21 f 2 =(( f c+f ) ∗ 1 0 ˆ 9 ) + ( ( (bw+BW) ∗ 1 0 ˆ 9 ) / 2 ) ; 22 lambda1=F u l l S i m p l i f y[ c / f 1 ] ; 23 lambda2=F u l l S i m p l i f y[ c / f 2 ] ; 24 l g 1=F u l l S i m p l i f y[ lambda1 /S q r t[ 1 − ( ( lambda1 / ( 2 ∗ a ) ) ˆ 2 ) ] ] ; 25 l g 2=F u l l S i m p l i f y[ lambda2 /S q r t[ 1 − ( ( lambda2 / ( 2 ∗ a ) ) ˆ 2 ) ] ] ; 26 a l f a=F u l l S i m p l i f y[ ( l g 1+l g 2 ) / ( n∗ Pi ∗ ( l g 1 −l g 2 ) ) ] ; 27 BS1=F u l l S i m p l i f y[ ( M12/S q r t[ a l f a ] ) −(S q r t[ a l f a ] / M12) ] ; 28 B12=F u l l S i m p l i f y[ ( M23/ a l f a ) −( a l f a /M23) ] ;

29 Theta=F u l l S i m p l i f y[ ( n∗ Pi ) + ( 0 . 5 ∗ (ArcCot[ BS1/2]+ArcCot[ B12

/ 2 ] ) ) ] ;

30 LS1=F u l l S i m p l i f y[( − u ) / ( BS1∗ Bet ) ] ;

31 C12=F u l l S i m p l i f y[ ( B12∗ Bet ) / ( ( ( 2 ∗ Pi ∗ ( ( f c+f ) ∗ 1 0 ˆ 9 ) ) ˆ 2 ) ∗u ) ] ; 32 LE1=F u l l S i m p l i f y[ Theta / Bet ] ;

33 LS1Teo=LS1 / . { f −> 0 , BW −> 0} 34 C12Teo=C12 / . { f −> 0 , BW −> 0} 35 LETeo=LE1 / . { f −> 0 , BW −> 0}

36 ( ∗ : : C a l c u l o de e x p a n s i o n e s de T a y l o r m u l t i v a r i a b l e : : ∗ ) 37 aproxLS1=ExpandAll[Normal[S e r i e s[ LS1 /(1∗10ˆ −9) , { f , 0 , 1 } , {

(48)

BW, 0 , 1 } ] ] ] ; 38 a=C o e f f i c i e n t L i s t[ aproxLS1 , { f ,BW} ] [ [ 1 , 1 ] ] ; 39 c=C o e f f i c i e n t L i s t[ aproxLS1 , { f ,BW} ] [ [ 2 , 1 ] ] ; 40 b=C o e f f i c i e n t L i s t[ aproxLS1 , { f ,BW} ] [ [ 1 , 2 ] ] ; 41 ( ∗ Plot3D [ { LS1 /(1∗10ˆ −9) , aproxLS1 } , { f , − 0 . 5 , 0 . 5 } , {BW , − 0 . 0 3 , 0 . 0 3 } ] ∗ ) 42 aproxC12=ExpandAll[Normal[S e r i e s[ C12 /(1∗10ˆ −12) , { f , 0 , 1 } , { BW, 0 , 1 } ] ] ] ; 43 d=C o e f f i c i e n t L i s t[ aproxC12 , { f ,BW} ] [ [ 1 , 1 ] ] ; 44 h=C o e f f i c i e n t L i s t[ aproxC12 , { f ,BW} ] [ [ 2 , 1 ] ] ; 45 g=C o e f f i c i e n t L i s t[ aproxC12 , { f ,BW} ] [ [ 1 , 2 ] ] ; 46 ( ∗ Plot3D [ { C12 /(1∗10ˆ −12) , aproxC12 } , { f , − 0 . 5 , 0 . 5 } , {BW , − 0 . 0 3 , 0 . 0 3 } ] ∗ )

47 aproxLE1=ExpandAll[Normal[S e r i e s[ LE1/(1∗10ˆ −3) , { f , 0 , 2 } , {

BW, 0 , 1 } ] ] ] ;

48 i=C o e f f i c i e n t L i s t[ aproxLE1 , { f ,BW} ] [ [ 1 , 1 ] ] ; 49 k=C o e f f i c i e n t L i s t[ aproxLE1 , { f ,BW} ] [ [ 2 , 1 ] ] ; 50 j=C o e f f i c i e n t L i s t[ aproxLE1 , { f ,BW} ] [ [ 1 , 2 ] ] ;

51 ( ∗ Plot3D [ { LE1/(1∗10ˆ −3) , aproxLE1 } , { f , − 0 . 5 , 0 . 5 } , {BW

, − 0 . 0 3 , 0 . 0 3 } ] ∗ )

52 ( ∗ : : C a l c u l o de m a t r i z i n v e r s a : : ∗ ) 53 DeltaLS1 =(LS1Teo /(1∗10ˆ −9) )+l s 1 −a ; 54 DeltaC12 =(C12Teo /(1∗10ˆ −12) )+c12−d ; 55 DeltaLE=(LETeo/(1∗10ˆ −3) )+l e −i ; 56 auxM={{b , c } , { g , h } , { j , k } } ; 57 sqM=T r a n s p o s e[ auxM ] . auxM ; 58 d e t=Det[ sqM ] ; 59 invM=I n v e r s e[ sqM ] ; 60 MatTemp=invM .T r a n s p o s e[ auxM ] ; 61 prueba=invM . sqM

62 ( ∗ r e s=ExpandAll [ MatrixForm [ invM . T r a n s p o s e [ auxM ] . T r a n s p o s e

[ { { DeltaLS1 , DeltaC12 , DeltaLE } } ] ] ] / . { l s 1 −> 0 , c1 2 −> 0 , l e −> 0} ∗ )

63 r e s=MatrixForm[ MatTemp .T r a n s p o s e[ { { DeltaLS1 , DeltaC12 ,

DeltaLE } } ] ] ;

64 r e s=ExpandAll[MatrixForm[ MatTemp .T r a n s p o s e[ { { DeltaLS1 ,

DeltaC12 , DeltaLE } } ] ] ] 65 ( ∗ : : C a l c u l o de v a l o r e s o b j e t i v o r e c o n f i g BW: : ∗ ) 66 ( ∗ LS1Rec=LS1 / . { f −> 0 , BW −> 0 . 2 5 0 ∗ ( 1 / 2 . 5 3 1 2 2 5 1 9 4 ) ∗ ( 1 / 1 . 5 4 ) } 67 LERec=LE1 / . { f −> 0 , BW −> 0 . 2 5 0 ∗ ( 1 / 2 . 5 3 1 2 2 5 1 9 4 ) ∗ ( 1 / 1 . 5 4 ) }

(49)

71 LERec=LE1 / . { f −> 0 . 2 5 , BW −> 0} 72 C12Rec=C12 / . { f −> 0 . 2 5 , BW −> 0} 73 ( ∗ : : C a l c u l o de v a l o r e s o b j e t i v o r e c o n f i g f d e l t a s : : ∗ ) 74 DLS1=(LS1Rec−LS1Teo ) /(1∗10ˆ −9) 75 DC12=(C12Rec−C12Teo ) /(1∗10ˆ −12) 76 DLE=(LERec−LETeo ) /(1∗10ˆ −3)

C´

odigo desarrollado en Mathematica para

obte-ner matriz inversa de filtro de orden 4

1 #!/ u s r / b i n / env w o l f r a m s c r i p t 2 ( ∗ : : Package : : ∗ ) 3 ( ∗ : : P ar a me t ro s c o n s t i t u t i v o s : : ∗ ) 4 u=4∗Pi ∗10ˆ −7; 5 e = 1 0 . 2 ∗ ( 8 . 8 5 4 1 8 7 8 1 7 ∗ 1 0 ˆ − 1 2 ) ; 6 ( ∗ : : V e l o c i d a d de p r o p a g a c i o n : : ∗ ) 7 c=1/S q r t[ u∗ e ] ;

8 ( ∗ : : Numero de medias l o n g i t u d e s de onda p a r a cada

s e c c i o n de TRL : : ∗ ) 9 n=2; 10 ( ∗ : : D i m e n s i o n e s g u i a SIW : : ∗ ) 11 a = 0 . 0 0 5 0 8 ; 12 ( ∗ : : V a l o r e s m a t r i z de a c o p l e s : : ∗ ) 13 MS1= 1 . 0 8 2 2 ; 14 M12= 0 . 9 6 ; 15 M23= 0 . 7 2 6 8 ; 16 ( ∗ : : P ar a me t ro s de f r e c u e n c i a y ancho de banda : : ∗ ) 17 f c =17; 18 bw = 0 . 5 0 0 ∗ ( 1 / 1 . 3 4 ) ∗ ( 1 ) ; 19 ( ∗ : : C a l c u l o de l o n g i t u d e s f i s i c a s y d i s c o n t i n u i d a d e s : : ∗ ) 20 Bet=S q r t[ ( ( ( 2 ∗ Pi ∗ ( ( f c+f ) ∗ 1 0 ˆ 9 ) ) / c ) ˆ 2 ) −(( Pi / a ) ˆ 2 ) ] ; 21 f 1 =(( f c+f ) ∗ 1 0 ˆ 9 ) −(((bw+BW) ∗ 1 0 ˆ 9 ) / 2 ) ; 22 f 2 =(( f c+f ) ∗ 1 0 ˆ 9 ) + ( ( (bw+BW) ∗ 1 0 ˆ 9 ) / 2 ) ; 23 lambda1=F u l l S i m p l i f y[ c / f 1 ] ; 24 lambda2=F u l l S i m p l i f y[ c / f 2 ] ; 25 l g 1=F u l l S i m p l i f y[ lambda1 /S q r t[ 1 − ( ( lambda1 / ( 2 ∗ a ) ) ˆ 2 ) ] ] ; 26 l g 2=F u l l S i m p l i f y[ lambda2 /S q r t[ 1 − ( ( lambda2 / ( 2 ∗ a ) ) ˆ 2 ) ] ] ; 27 a l f a=F u l l S i m p l i f y[ ( l g 1+l g 2 ) / ( n∗ Pi ∗ ( l g 1 −l g 2 ) ) ] ; 28 BS1=F u l l S i m p l i f y[ ( MS1/S q r t[ a l f a ] ) −(S q r t[ a l f a ] / MS1) ] ; 29 B12=F u l l S i m p l i f y[ ( M12/ a l f a ) −( a l f a /M12) ] ; 30 B23=F u l l S i m p l i f y[ ( M23/ a l f a ) −( a l f a /M23) ] ;

31 Theta1=F u l l S i m p l i f y[ ( n∗ Pi ) + ( 0 . 5 ∗ (ArcCot[ BS1/2]+ArcCot[ B12

/ 2 ] ) ) ] ;