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Sentido numérico
Sentido numérico
Silvia García
ISBN: 978-607-7675-51-8 D.R. © Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación
José Ma. Velasco 101, Col. San José Insurgentes, Delegación Benito Juárez, C.P. 03900, México, D.F. Coordinación general
Rebeca Reynoso Angulo Editora
María Norma Orduña Chávez Corrección de estilo Teresa Ramírez Vadillo Diseño y formación Martha Alfaro Aguilar Ilustraciones Rocío Padilla
Esta publicación estuvo a cargo de la Dirección General Adjunta. El contenido, la presentación, así como la disposición en conjunto y de cada página de esta obra son propiedad del editor. Se autoriza su reproducción parcial o total por cualquier sistema mecánico o electrónico para fines no comerciales y citando la fuente de la siguiente manera: García, Silvia (2014). Sentido numérico. Materiales para
Apoyar la Práctica Educativa. México: INEE. Impreso y hecho en México
Prólogo Presentación Introducción
1. Aritmética: resultados de los ExcalE
Contenidos aritméticos de mayor dificultad
Preescolar Tercero de primaria
Sexto de primaria
Tercero de secundaria
Respuestas razonables y no razonables: aplicando el sentido numérico
Preescolar Tercero de primaria Sexto de primaria Tercero de secundaria
2. ¿Qué es el sentido numérico?
Aritmética y sentido numérico
Hacia el concepto del sentido numérico El enfoque de resolución de problemas y el desarrollo del sentido numérico Aspectos del cálculo relacionados con el sentido numérico
3. Estimación
Reflexión sobre la práctica
4. Cálculo mental
Reflexión sobre la práctica
5. Cálculo escrito
6. Uso de la calculadora
Reflexión sobre la práctica
7. Activar el sentido numérico de los alumnos
Sistema decimal de numeración La recta numérica
Estimación Cálculo mental Cálculo escrito Uso de la calculadora
8. Juegos para desarrollar el sentido numérico
Lotería con dados
Lotería con las tablas de multiplicar Un juego con dados
Yo tengo… ¿quién tiene...? Cambiando la unidad El laberinto
Guerra de cartas con números negativos
9. Algunas ideas para evaluar el sentido numérico Bibliografía 7 9 15 19 22 23 25 28 30 33 34 35 36 37 45 47 57 63 66 71 80 87 96 105 127 135 143 146 151 154 158 161 165 173 176 177 179 180 182 186 187 191 201
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l Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación (INEE) tiene como objetivo generar y difundir información sobre distintos componentes del Sistema Educa-tivo Nacional, a fin de que sea posible tomar decisiones que contribuyan a su mejora. Algunas de esas decisiones son de política educativa y otras se relacionan con lo que sucede en las escuelas y en los salones de clase.Desde su creación, el INEE ha producido gran cantidad de estudios para dar a co-nocer a públicos diversos los resultados de sus evaluaciones. A mediados de 2007 dio inicio a la elaboración de materiales expresamente dirigidos a profesores y directivos escolares. Para tal fin ha buscado la colaboración de especialistas que, además de un adecuado dominio de su disciplina, tengan conocimiento cercano del quehacer docente en escuelas de educación básica. A ellos, se les ha invitado a desarrollar textos en torno a algunos de los problemas identificados en las evaluaciones aplicadas por el Instituto, y así ofrecer a los maestros formas novedosas de reflexionar y atenderlos.
Como parte del proceso de elaboración, los textos son revisados por un Comité Técnico conformado por reconocidos expertos y por un Comité Didáctico integrado por profesores de educación básica que laboran en distintos tipos de escuelas públicas; estos últimos prueban los materiales en sus aulas y, con base en sus resultados, hacen consideraciones respecto de las fortalezas y debilidades de las propuestas, así como sugerencias para enriquecerlas.
Con este nuevo título de la subserie Materiales para Apoyar la Práctica Educativa (MAPE), denominado Sentidonumérico, se brindan herramientas creativas para mejorar
la enseñanza de las Matemáticas en la educación básica, proponiendo formas nove-dosas de apoyar el aprendizaje de los estudiantes. En esta ocasión se incluye un CD con actividades y juegos que pueden ser adaptados a las necesidades del grupo y a la intención didáctica de cada docente.
Al poner estos textos a su alcance, el Instituto refrenda su convicción de que la evaluación puede contribuir efectivamente a mejorar la calidad educativa. Es nuestro deseo que esta nueva publicación sea de utilidad para los profesores y que en ella encuentren retroalimentación valiosa para ofrecer a los niños y jóvenes mexicanos más y mejores oportunidades de aprendizaje.
Annette Santos del Real
Directora General de Difusión y Fomento a la Cultura de la Evaluación, INEE
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entido numérico es el nombre del libro que tiene en sus manos. Forma parte dela subserie Materiales para Apoyar la Práctica Educativa (MAPE), producida y difundida por el Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación (INEE) con la finalidad de “evaluar para mejorar”.
La elaboración y aplicación de pruebas, así como el registro y la publicación de re-sultados de los Exámenes de la Calidad y el Logro Educativo (excale) son etapas de
un proceso que continúa con un análisis minucioso de los resultados a partir del cual se investiga y se hacen propuestas didácticas concretas para desarrollarse en el salón de clases. La edición de este material forma parte de dicho proceso, que continuará cuando usted conozca la propuesta, la analice y la concrete en la práctica educativa a partir de las necesidades de su grupo.
Desde hace algunos años se pretende que la manera en que se aborden los conte-nidos aritméticos dentro del salón de clases sea a partir de la resolución de problemas, pues no es lo mismo que los niños repitan hechos numéricos aprendidos de memoria y sin sentido a que desarrollen competencias numéricas que les permitan aplicarlos en di-ferentes situaciones. De ahí que este material está referido al desarrollo de una habilidad para el manejo de los números, que si bien se vincula directamente con los contenidos de la aritmética, su objetivo va más allá de aprender técnicas y procedimientos, pues busca que los alumnos desarrollen una flexibilidad de pensamiento que les permita tran-sitar por diferentes representaciones numéricas.
En este sentido, no sólo es importante que los estudiantes conozcan hechos nu- méricos, como saber que 5 x 10 = 50, sino que puedan ver 50 como la mitad de 100 o el doble de 25, y que desarrollen un pensamiento reversible, por ejemplo, que se den cuenta que si 16 x 30 = 480 entonces 480 ÷ 16 = 30 y 480 ÷ 30 = 16.
Eficiencia y eficacia numérica es parte de lo que se busca, y para ello la autora, Silvia García, propone actividades concretas y da orientaciones precisas en términos del desarrollo de habilidades de pensamiento, como el cálculo escrito, el cálculo mental, la estimación y el uso de la calculadora. Cada actividad que presenta da pie a la reflexión
y ampliación, pues deja abierta la posibilidad de bajar o subir el nivel de complejidad de acuerdo con las necesidades del grupo y de proponer nuevas ideas para el desarrollo.
Actividades que invitan al uso de la calculadora sin ningún prejuicio, aceptando que en nuestro tiempo la tecnología es esencial y por ello es necesario fomentar su uso como herramienta de aprendizaje al estudiar regularidades y propiedades numéricas, entre otros temas.
Recuerde que se trata de una propuesta susceptible de ser ampliada y mejorada, por lo que podrá participar aportando y compartiendo sus ideas con sus compañeros de trabajo.
¡Adelante!
María Esther Amador Gómez
Directora del Club de Recreación Matemática Grand Apprenti
—No importa —le tranquilizó el anciano—. Aquí entra
todo el que realmente quiere. ¡Pero quién sabe
dónde está el paraíso de los números! Por eso
son los menos quienes lo encuentran.
Hans Magnus Enzensberger
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n la antigua Grecia los pitagóricos pensaban que todo era número y el matemá-tico Gauss opinaba que la aritmética es la reina de las matemáticas. Los pen-samientos anteriores son producto de la fascinación que ejercen los números cuando realmente se les comprende, cuando tenemos la oportunidad de entrar, como se menciona en el epígrafe, en su paraíso. Es probable que para muchos de nuestros alumnos estas ideas resulten muy alejadas de su experiencia, pero estar en el mundo de los números puede convertirse en una experiencia llena de satisfacciones y sor-prendernos y deleitarnos con toda la belleza que encierra trabajar con ellos.Leamos el siguiente fragmento de una clase de cuarto grado de primaria (Saucedo y Hermosillo, 2004).
Maestro: El animal más grande que existe es la hembra adulta de la ballena azul. Con sus 120 000 kilos pesa aproximadamente lo mismo que 20 elefantes o 30 hipopótamos o 40 rinocerontes. Luis Armando, ¿cuánto pesará un elefante? Bueno, vamos a ver, Christian.
Christian: 100 kilos. Maestro: ¿Cómo le hiciste? Christian: Hice una resta.
Maestro: ¿Qué cantidad quitaste? Christian: 120 000 kilos a 20 elefantes.
¿Christian relacionó bien los datos del problema? Una vez que decidió qué operación tenía que realizar, ¿la resolvió correctamente? ¿Podríamos decir que Christian tiene de- sarrollado su sentido numérico? Muchos de nosotros hemos vivido situaciones similares con nuestros alumnos. ¿Qué tanto influimos los maestros para que la aventura de aprender los números y sus relaciones sea o no una experiencia grata y significativa para los alumnos?
A partir de 2006, en los programas oficiales de secundaria de Matemáticas, aparece un eje denominado Sentido numérico y pensamiento algebraico, y desde 2009 lo en-contramos también en educación primaria. ¿Qué es el sentido numérico? ¿Se trata sólo de un cambio de etiqueta de los contenidos aritméticos o este cambio de nombre tiene implicaciones disciplinarias y didácticas?
Los contenidos sobre los números y las operaciones básicas son de los que más trabajan los maestros, les dedican gran parte del tiempo en las clases de Matemáti- cas. Y sin embargo, los resultados de los Exámenes para la Calidad y el Logro Educativo (excale) que aplica el INEE revelan que muchos de los estudiantes de los grados
evalua-dos presentan limitaciones y dificultades en la comprensión y el manejo de los números. Asimismo, las actitudes de nuestros alumnos hacia el trabajo con los números son, con mucha frecuencia, negativas.
El principal propósito de este material es mostrar a los docentes que el desarrollo del sentido numérico puede dotar de significado a los conocimientos que los alumnos constru-yen en sus clases de aritmética y, con ello, que vivan con agrado el trabajo con los números. Este libro está conformado por nueve capítulos. En el primero se mencionan los contenidos de aritmética que, de acuerdo con los resultados de los excale, resultan
difíciles para los alumnos de preescolar, primaria y secundaria. Asimismo, se muestra la gran riqueza que tiene aplicar el sentido numérico al dar respuesta a reactivos de opción múltiple y la importancia de que los alumnos desarrollen la habilidad de identificar si la respuesta que dan a un problema es o no razonable.
En el segundo capítulo se trata de dar respuesta a la pregunta ¿qué es el sentido numérico?, una interrogante que no es fácil de responder. En los apartados 3 a 6 se presentan aspectos del cálculo relacionados con el sentido numérico: estimación, cálculo mental, cálculo escrito y uso de la calculadora. Aunque las actividades de estos capítulos están dirigidas a los maestros, si se consideran pertinentes y se ha-cen las adecuaciones necesarias, algunas de ellas se pueden aplicar a los alumnos. Estos cuatro capítulos contienen una sección que se ha denominado Reflexión sobre la práctica, en la que se presentan situaciones escolares relacionadas con el sentido numérico. Esta sección se incluye porque se considera que el maestro es un profe-sional de la educación y no un técnico al que se le tiene que decir lo que debe hacer;
mediante la reflexión sobre la propia práctica y la de otros es que el maestro puede construir nuevas ideas y explorar distintas maneras de realizar su práctica docente.
Los últimos capítulos sugieren actividades para trabajar con los alumnos, con ejem-plos que el maestro podrá enriquecer a partir de su experiencia y conocimientos. Se incluyen ejercicios sobre el sistema decimal de numeración porque se considera que su conocimiento es básico para desarrollar el sentido numérico con enteros y decimales; sobre la recta numérica se presentan ejercicios porque constituye un valioso recurso para la comprensión de algunos contenidos relacionados con los números. También se ofrecen actividades que promueven la habilidad de estimar o hacer cálculos mentales o escritos, sin dejar de lado una serie de tareas que requieren el uso de la calculadora. Y para mostrar que la matemática recreativa también contribuye al desarrollo del sentido numérico, en el capítulo 8 encontrará varios juegos que permiten a los alumnos hacer un uso flexible y creativo de los números naturales, los decimales y las fracciones. Final-mente, se aportan algunas ideas para la evaluación del sentido numérico. Para apoyar- lo en la implementación de la propuesta puede tener acceso a las actividades y los juegos en versión electrónica en un formato que le permitirá modificarlos para su adap-tación al grado y nivel en el que trabaja tanto en el CD que se incluye en este ejemplar como en la página del INEE.
Esperamos que este material sea una herramienta útil en su quehacer docente para lograr que sus alumnos vivan con agrado su ingreso al mundo de los números.
Aritmética: resultados
de los E
xcalE
D
esde hace algunos años las evaluaciones externas nacionales e internaciona-les han estado presentes en el salón de clases de los distintos niveinternaciona-les educa-tivos. Entre las que se hacen a los alumnos de educación básica de nuestro país se encuentran los Exámenes de la Calidad y el Logro Educativo (excale) que llevaa cabo el Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación (INEE).
Estas pruebas se aplican a muestras representativas de alumnos de educación básica, por lo que, a diferencia de otras evaluaciones en las que los resultados se dan por alumno, escuela o zona, los resultados de los excale no se usan para hacer
señalamientos de carácter individual; su propósito es evaluar al Sistema Educativo Nacional en su conjunto, para detectar, entre otras cosas, áreas de conocimiento en las que haya deficiencias.
A la fecha el INEE ha aplicado exámenes de matemáticas a alumnos de tercero de preescolar, tercero y sexto de primaria y tercero de secundaria. En el caso de preescolar la muestra se elige entre alumnos que asisten a escuelas rurales públicas, urbanas públicas, privadas y centros comunitarios; mientras que para primaria se agregan a las anteriores las escuelas indígenas. En secundaria participan estudiantes de escuelas privadas, generales, técnicas y telesecundarias.
Para las intenciones de este trabajo se analizaron los resultados que los excale
arro-jaron sobre el aprendizaje de la aritmética, lo que se refiere a Número en preescolar, a Los números, sus relaciones y sus operaciones en primaria y a Aritmética en secundaria.
El referente principal para la elaboración de los excale son los programas oficiales
vigentes en el momento de su aplicación. En el caso de las matemáticas, los conteni-dos relacionaconteni-dos con aritmética constituyen una pieza fundamental en los programas oficiales de educación básica y, por lo tanto, en los reactivos que conforman los excale.
La tabla siguiente resume las evaluaciones de matemáticas que el INEE ha aplicado, el número de alumnos evaluados y el porcentaje de reactivos que evalúan directamente los números, sus relaciones y sus operaciones.
Nivel Grado Año de aplicación de alumnosNúmero evaluados Porcentaje de reactivos de aritmética Preescolar Tercero 2007 10 305 65 Primaria Tercero 2006 55 312 62.5 2010 70 434 60.82 Sexto 2005 47 858 63.84 2009 11 999 48.75 Secundaria Tercero 2005 52 251 34.37 2008 80 525 44.48
Se observa que en preescolar y en tres de las cuatro aplicaciones de primaria los contenidos aritméticos rebasan la mitad del examen. Y a pesar de que en secundaria el porcentaje de reactivos de aritmética representa menos de la mitad, es el área con mayor número de reactivos: por ejemplo, en la aplicación de 2008, 44.8% del examen corres-pondió a Aritmética, siendo el área con mayor presencia, muy por encima de Geometría, que representó 26.8%, y Álgebra, que ocupó 21.3%.
En este apartado se exponen los contenidos aritméticos que, de acuerdo con los resultados de los excale, tienen mayor dificultad de aprendizaje. Para cada grado y
nivel se presentan tablas de los contenidos que tienen los porcentajes de aciertos más bajos y se ofrecen ejemplos de los reactivos con los que fueron evaluados (INEE, http:// www.inee.edu.mx).
Tabla 1
Tabla 2
En el campo formativo Pensamiento matemático del programa de preescolar se encuen-tra el aspecto de Número, que abarcó 65% de los reactivos del examen. Debido a que los alumnos de esta edad aún no saben leer ni escribir, en la aplicación de la prueba se tomaron todas las medidas necesarias para asegurar que los alumnos no tuvieran problemas para comprender la tarea que se les proponía; una de estas medidas fue, por supuesto, plantear las consignas de manera oral.
El preescolar es el nivel que presenta menos dificultades. Un gran porcentaje de los alumnos evaluados resolvió correctamente las tareas que les plantearon los excale.
Por ejemplo, 98% de los niños contó en voz alta una colección menor a 21 elementos sin equivocarse; 95% dijo en orden la serie numérica de uno en uno hasta el 30, y 88% escribió en orden un tramo de la serie numérica menor a 30.
Los contenidos evaluados que resultaron más difíciles, se muestran en la siguien- te tabla.
Preescolar. Tercer grado (2007)
Contenido temático Porcentaje de aciertos Escribe números que sabe en orden ascendente, sin equivocarse,
empezando desde 1 y llegando a un rango entre 31 y 89 17 Utiliza los números para representar cantidades mayores a 13,
pero menores a 21 36
Distingue todos los números de las letras en un texto 40
El contenido de mayor dificultad de todo el examen fue el conteo y su representa-ción simbólica de números mayores a 31. A continuarepresenta-ción se presenta el reactivo ejemplo para este contenido (recuérdese que las indicaciones se dieron de manera oral).
Se trata de un reactivo difícil para los pequeños debido a que involucra no sólo saber la serie numérica en un rango mayor a 31, sino también su representación simbólica. Aun así, 17% de los alumnos pudo escribir en orden y correctamente la serie numérica hasta un número mayor a 31.
De los alumnos, 36% resolvió una tarea similar a la siguiente, en la que tenían que contar colecciones de más de 13 elementos.
Reactivo
Escribe en las líneas los números que te sepas de manera ordenada, sin saltarte ningún número, empezando desde el 1, como si estuvieras contando: 1, 2, 3… así, hasta el que te sepas.
En cada una de las rayas escribe cuántos pájaros hay en cada recuadro.
1
Reactivo 2
Se observa que este tipo de tareas exige dominar los principios del conteo:
Correspondencia uno a uno: decir un número por cada pajarito que se señala.
Irrelevancia del orden: empezar por el pajarito que se elija y contar en la direc-ción deseada.
Orden estable: decir la serie numérica en orden: 1, 2, 3…
Cardinalidad: saber que el último número que se dice indica el número de pajari-tos que hay.
Este reactivo también implica controlar la colección para estar seguro de que no que-dó un objeto sin contar, ni que se contó un objeto dos veces. Una forma de hacerlo es, por ejemplo, ir tachando los objetos que ya se han contado; otra es siguiendo un orden.
Por último, este reactivo también demanda que los niños sepan simbolizar el último número que dijeron al contar.
El programa de educación primaria vigente en 2006 y 2010 estaba organizado en ejes programáticos, siendo el de mayor extensión el denominado Los números, sus relacio-nes y sus operaciorelacio-nes. Los alumnos de tercero de primaria resolvieron exitosamente varias tareas de este eje. Por ejemplo, en la aplicación de 2006, 81% pudo calcular una suma de tres sumandos sin transformación o escribir números de tres cifras con ce-ros intermedios, mientras que poco menos de 80% resolvió ciertos tipos de problemas aditivos. En la aplicación de 2010, 80% logró identificar cómo se escribe un número de cuatro cifras y resolver sumas con tres sumandos sin transformación.
No obstante, también tuvieron dificultades para realizar algunas tareas. En las siguien-tes tablas se muestran los contenidos aritméticos de más bajo porcentaje de aciertos. Tercero de primaria
Sólo la quinta parte de los alumnos evaluados pudo resolver un reactivo en el que se tiene que descubrir el patrón que sigue una secuencia decreciente para identificar los números que la completan.1
1 En todos los reactivos presentados la respuesta correcta es el inciso A. Así aparecen en el Explorador Excale del
portal del INEE. En los Excale resueltos por los alumnos, los incisos de las respuestas correctas varían.
Primaria. Tercer grado (2006)
Contenido temático Porcentaje de aciertos Generalizar e identificar constantes aditivas de una cifra en
secuencias numéricas decrecientes 20
Identificar la equivalencia de fracciones 24
Identificar el problema que se puede resolver con una operación
dada con números de dos cifras 33
Tabla 3
Primaria. Tercer grado (2010)
Contenido temático Porcentaje de aciertos
Identificar fracciones equivalentes 26
Generalizar e identificar constantes aditivas de una cifra en
secuen-cias numéricas decrecientes 30
Identificar fracciones a partir de su representación gráfica
emplean-do modelos continuos 32
Cabe preguntarse si la dificultad se deba a que este tipo de tareas probablemente se trabajan poco en la escuela, pues el tema de patrones se ha introducido sólo re-cientemente. Más allá de la dificultad aritmética, que no es mucha, resolver bien estos ejercicios supone entender “de qué se tratan”, lo cual no es obvio para los alumnos.
Aproximadamente la cuarta parte de los niños pudo resolver un reactivo como el siguiente.
¿Qué números van en las rayitas? , 155, 145, , 125 A. 165 y 135
B. 160 y 140 C. 154 y 146 D. 156 y 144
Tres amigos compraron plátanos. Daniela compró medio kilo, Luis compró dos cuartos de kilo y Pepe cuatro octavos de kilo.
¿Quién compró menos cantidad de plátano?
A. Todos compraron lo mismo B. Daniel C. Pepe D. Luis Reactivo 3 Reactivo 4
Puesto que en este grado se inicia el estudio de las fracciones, el reactivo que se presentó incluía medios, cuartos y octavos, que son las que algunas investigaciones señalan como las de más fácil comprensión para los niños: mitad, la mitad de la mitad (cuartos) y la mitad de los cuartos (octavos); también puede observarse que no se usó la simbología. Las fracciones constituyen uno de los contenidos que resultan más difíciles de aprender y, como se verá más adelante, esta dificultad persiste hasta tercer grado de secundaria.
El programa vigente en las dos aplicaciones de los excale de sexto de primaria era el
de 1993, que, como se mencionó, incluía el eje Los números, sus relaciones y sus operaciones. El reactivo de este eje con mayor porcentaje de aciertos en la aplicación de sexto de primaria de 2005 fue ordenar números naturales de cuatro cifras (83%). En la aplicación de 2009 este contenido aumentó su porcentaje de aciertos a 89%. Sin embargo, dado que se inicia la lectura de números de cuatro cifras en tercero de primaria, aunque aparentemente el porcentaje es alto, lo esperable sería que la totali-dad de los alumnos de sexto grado pudiera resolver este tipo de tareas.
Por otro lado, a continuación se enlistan los contenidos de este eje que resultaron de mayor complejidad para los estudiantes de sexto grado.
Primaria. Sexto grado (2005)
Contenido temático Porcentaje de aciertos
Ordenar fracciones menores a la unidad 25
Comparar números decimales hasta centésimos 26 Convertir un decimal a su equivalente fraccionario 26 Resolver problemas que impliquen sumas de fracciones 26 Tabla 5
Primaria. Sexto grado (2009)
Contenido temático Porcentaje de aciertos Ordenar de forma ascendente números decimales hasta milésimos 18
Resolver problemas de fracciones que relacionan dos números
que representan la parte y el todo 18
Resolver problemas que implican una suma de fracciones
de diferente denominador (tercios y cuartos) 24 Resolver problemas que implican una suma de fracciones
de diferente denominador (medios y octavos) 26 Tabla 6
De lo que se lee en ambas tablas se concluye que los contenidos aritméticos de ma-yor dificultad se refieren a la comprensión y el manejo de los decimales y las fracciones.
En cuanto a decimales, sólo la cuarta parte reconoce dos números decimales que representan la misma cantidad.
En la siguiente tabla se muestra el peso de cinco pacientes de un doctor:
¿Quién pesa lo mismo que Isabel? A. Claudia B. Rosa C. Teresa D. Yolanda Nombre Peso en Kg Isabel 48.30 Rosa 48.03 Claudia 48.3 Teresa 48.003 Yolanda 48.030 Reactivo 5
Y también alrededor de la cuarta parte de los sustentantes resuelve problemas de fracciones como el siguiente:
Los alumnos de sexto grado llevan cuatro años estudiando las fracciones y tres resolviendo tareas que involucran los llamados números con punto. A pesar de lo anterior, los resultados de los excale muestran que los estudiantes que terminan su
educación primaria tienen grandes problemas con la resolución de problemas que implican el manejo de las fracciones comunes y los decimales.
Al momento de escribir este material el INEE ha realizado dos evaluaciones a alumnos de tercero de secundaria, la primera en 2005 y la segunda en 2008. Al aplicar ambas el programa vigente era el de 1993, que incluía la parte de Aritmética. Pese a los resultados que pudieran esperarse por tratarse de un nivel en que los estudiantes inician estudios de matemáticas más generales que la aritmética (como el álgebra), los contenidos relacio-nados con números y sus operaciones no resultaron sencillos para los sustentantes. Por ejemplo, el reactivo de aritmética con el más alto porcentaje de aciertos en 2005 apenas alcanzó 61%, que fue la resolución de problemas con el máximo común divisor, en tanto que la resolución de problemas con operaciones básicas no llegó a 60%. En la aplica-ción de 2008 hubo un aumento en el porcentaje de aciertos en las tareas de aritmética:
De un listón que mide 35 de metro, Laura utilizó 105 de metro para hacer un moño. ¿Cuánto listón le sobró? A. 101 de metro B. 25 de metro C. 85 de metro D. 102 de metro Tercero de secundaria Reactivo 6
93% de los alumnos evaluados resolvió correctamente problemas de operaciones bási-cas con números hasta centésimos y 79% resolvió sumas con transformación cuando los sumandos aparecen en forma desordenada.
Las siguientes dos tablas muestran los contenidos de aritmética que tuvieron ma-yor dificultad. Cada tabla presenta cinco contenidos temáticos que resultaron muy difí-ciles para los estudiantes; algunos fueron resueltos por menos de 20% de los alumnos que participaron en la evaluación.
Secundaria. Tercer grado (2005)
Contenido temático Porcentaje de aciertos Resolver problemas que impliquen calcular raíz cuadrada
hasta centésimos 12
Resolver problemas de equivalencia de fracciones de hora
expresadas con decimales a minutos 15
Resolver problemas que impliquen sumar, restar y comparar fracciones 21
Identificar fracciones equivalentes 22
Ordenar fracciones 23
Tabla 7
Secundaria. Tercer grado (2008)
Contenido temático Porcentaje de aciertos Identificar en conjuntos de cantidades representados en tablas aquellos
que mantienen una relación inversamente proporcional entre sí 4 Resolver problemas que impliquen calcular raíz cuadrada hasta milésimos 14 Resolver problemas de equivalencia de fracciones de hora expresadas
con decimales a minutos 15
Resolver problemas que impliquen sumar, restar o comparar fracciones 23 Tabla 8
Al igual que en sexto grado, se observa que las fracciones siguen siendo un conteni-do muy difícil para los estudiantes. Un problema como el siguiente sólo lo puconteni-do resolver la cuarta parte de los alumnos que terminan la educación secundaria, es decir, escolares que llevan seis años estudiando las fracciones comunes.
Un hombre gastó su sueldo de la siguiente manera:
1 5en el pago de su renta, 1 4en el pago de alimentos y 1 8en pagos de diversos servicios.
¿Qué fracción del total de su sueldo le quedó después de realizar estos pagos? A.
B. C. D.
Y menos de la cuarta parte identificó fracciones equivalentes en un reactivo como el siguiente:
¿Cuál de los siguientes números es equivalente a 117
468? 3 17 14 17 23 40 17 40 A. B. C. D. 351 468 3 4 1 4 4 Reactivo 7 Reactivo 8
Aparentemente este reactivo es difícil debido a que el numerador y el denominador de la fracción 117468 son números relativamente grandes y no son decenas o centenas cerradas (números que terminan en ceros). Un análisis hecho con más detenimiento mostrará que en realidad no se trata de un problema que implique hacer operaciones laboriosas, aun cuando en la fracción aparecen números del orden de las centenas. Si lo que se pide es un número equivalente a la fracción 117
468, podemos ver que:
wEste número no equivale al que se muestra en la opción D, pues es una fracción con el mismo denominador y el numerador 117 no es el mismo que 351.
wTampoco puede ser el número 4 de la opción C porque 117 es menor que 468, por lo que se trata de una fracción menor que la unidad.
wY como 117 es mucho menor que 468 no representa las tres cuartas partes. wLa opción correcta debe ser A, lo cual puede comprobarse si se multiplica
117 por 4.
El análisis de las opciones incorrectas del reactivo anterior permite observar la impor-tancia del sentido numérico para identificar respuestas no razonables a una operación o problema. Esto se tratará en el siguiente apartado.
Si se analizan los reactivos de opción múltiple se toma conciencia de la gran riqueza que implica desarrollar en los estudiantes su sentido numérico, pues uno de los muchos beneficios que conlleva su desarrollo tiene que ver con la resolución de reactivos de opción múltiple. No obstante, cabe subrayar que no es la única razón ni, por supuesto, la más importante. La intención primordial es que los estudiantes sean competentes al enfrentarse a problemas que impliquen el uso de los números.
A continuación se presentan algunos reactivos de los excale de los diferentes grados
y niveles y se analiza la manera en que pueden resolverse empleando el sentido numé-rico (INEE, http://www.inee.edu.mx). Los reactivos de opción múltiple constituyen una oportunidad de desarrollar la habilidad de identificar resultados no razonables para los
Respuestas razonables y no razonables: aplicando el sentido numérico
problemas, lo que es, sin lugar a dudas, una herramienta importante al aplicar el sentido numérico para resolver operaciones y problemas aritméticos.
Se sugiere que antes de leer lo que se expone de cada reactivo el lector lo resuel-va, para que las explicaciones dadas tengan más sentido y sean comprendidas con mayor facilidad.
Considere el siguiente reactivo:
Poco menos de la mitad de los pequeños de tercero de preescolar a los que se les aplicó el examen pudo dar respuesta a este reactivo (46%). Es muy probable que los alumnos más adelantados hayan trabajado con el número de vasos y de niñas y obtenido la diferencia (3 para 7 faltan 4), para después buscar la tarjeta que tuviera ese
Siete niñas quieren tomar agua, pero sólo hay tres vasos. ¿Cuántos vasos faltan para que cada niña tenga un vaso?
Encierra en un círculo la tarjeta que tiene los vasos que faltan para que cada niña tenga un vaso.
Preescolar
Reactivo 9
Miguel quiere regalar una bolsa con 15 canicas a cada uno de sus 8 primos. Miguel desea saber cuántas canicas necesita para llenar las bolsas, ¿cuál de las siguientes operaciones debe resolver?
número de vasos. No obstante, hay otras maneras de resolverlo. Por ejemplo, poniendo en correspondencia uno a uno a las niñas y los vasos que hay. Los alumnos que van desarrollando su sentido numérico seguramente descartaron de manera inmediata las opciones donde hay uno o dos vasos porque al repartir los tres vasos que hay entre las niñas se observa que quedan más niñas sin vaso de aquéllas a las que ya se les asignó uno, por lo que el resultado no puede ser igual ni menor que 3. En este reactivo 54% de los niños eligió una respuesta poco razonable al problema.
Un reactivo interesante para analizar la presencia del sentido numérico en la resolución de un problema, que fue contestado por 42% de los sustentantes, es el siguiente: Tercero de primaria A. 15 × 8 B. 8 15 C. 15 + 8 D. 15 - 8 Reactivo 10
¿Cuál es el resultado correcto al resolver la operación 1 5+ 1 2? A. B. C. D.
Se espera que los alumnos de este grado identifiquen plenamente los símbolos de las cuatro operaciones básicas. El sentido numérico está presente de la siguiente manera:
wLa práctica continua de la estimación permite que los niños se den cuenta de que se requiere mucho más de 15 canicas, pues Miguel dará esa misma cantidad a cada uno de sus 8 primos.
wLas operaciones 15 ÷ 8 y 15 - 8 arrojan un número menor que 15.
wLa operación 15 + 8 apenas da 23, que no le alcanzaría ni para dos primos. El reactivo anterior también sirve para mostrar que si logramos que los alumnos desarrollen su sentido numérico disminuirá el número de ellos que, ante un problema, se pregunte ¿es de suma?, ¿es de resta?, pues si llegan a resolver bien la operación que ellos consideraban correcta, pero encuentran un resultado no razonable, buscarán por sí mismos su error y se darán cuenta de que la operación elegida no los conduce a un resultado razonable. Es decir, el sentido numérico, expresado en la capacidad de estimar la magnitud de un resultado, proporciona una forma de controlar los resultados.
Sólo 30% de los estudiantes de sexto grado resolvió correctamente un reactivo como el siguiente: Sexto de primaria 1 5+ 1 2= 7 10 1 5+ 1 2= 2 7 1 5+ 1 2= 2 10 1 5+ 1 2= 3 6 Reactivo 11
Juan mezcló 1
2 litro de agua con 1
3 de litro de jugo de naranja.
¿Qué cantidad de mezcla obtuvo? A.
B. C. D.
Es claro que se puede resolver con el algoritmo convencional de la suma de fraccio-nes, pero también se puede encontrar el resultado usando el sentido numérico, razonando de otras maneras; una de ellas es la siguiente:
wSe está sumando 21+1
5, por lo tanto, el resultado debe ser más de un medio.
wEsta idea permite considerar poco razonables todos los distractores, pues 2
7 y 2 10
son cantidades menores que un medio y3
6 es un medio.
De los alumnos que terminan su educación primaria, 70% eligió un resultado poco razonable al reactivo. Si nuestros estudiantes de educación primaria desarrollaran su sentido numérico, en muchos casos (no en todos) podrían resolver reactivos como el anterior sin necesidad de aplicar el algoritmo convencional para sumar dos fracciones con diferente denominador, al identificar si las opciones que se presentan son o no res-puestas lógicas a lo que se pregunta.
Los estudiantes de tercero de secundaria no están en mejores condiciones; incluso en los egresados de este nivel la comprensión y el manejo que muestran de las fracciones sigue siendo motivo de preocupación: sólo 23% pudo resolver un reactivo como el siguiente: Tercero de secundaria 5 6 2 5 1 6 5 5 Reactivo 12
¿Cuál es el resultado de la siguiente operación? A. 560 B. 530 C. 210 D. 245 35 16 x
El problema implica sumar dos fracciones que podríamos considerar muy fáciles de manejar: 21 y 13. Convirtiendo a sextos tendríamos: 36 y 26, que sumados dan 65. No obstante, se puede razonar de la siguiente manera:
wEl resultado debe ser más de 12 litro, puesto que se está agregando una cantidad a 12 litro; además, debe ser menor que un litro porque 31 es menor que 21, por lo tanto, entre las dos cantidades de líquido no se completa un litro.
wSin hacer la suma de la cantidad de agua más la de jugo de naranja se observa que las opciones B y C no pueden ser la respuesta al problema porque son menores que medio litro. También la opción D resulta ilógica porque es un litro exacto. De nuevo se observa que un porcentaje muy alto (77%) de los estudiantes que terminan su educación secundaria eligen respuestas que no son razonables para el problema planteado. Si bien el desarrollo del sentido numérico permite reconocer algu-nas respuestas que no son razonables, no siempre es posible ni deseable resolver los reactivos haciendo uso sólo de este tipo de razonamientos.
Consideremos el siguiente reactivo, que sólo 37% de los alumnos de tercero de primaria contestó correctamente:
Reactivo 13
En este reactivo los estudiantes pueden notar que la respuesta debe ser mayor a 350 porque se está multiplicando 35 por un número mayor que 10, pero aunque des-carten dos opciones no podrán dar la respuesta correcta entre 560 y 530 haciendo uso sólo de la estimación; tendrán que resolver la operación para elegir el resultado exacto.
Con lo anterior no se pretende, de ninguna manera, promover la idea de que debemos enseñar a los estudiantes a responder reactivos de opción múltiple a partir de la identifica-ción de respuestas no razonables sólo con el propósito de obtener buenos resultados en los exámenes. Lo que se intenta mostrar es la importancia que tiene el sentido numérico para resolver problemas tanto en el aula como en la vida cotidiana. Asimismo, identificar respuestas no lógicas o poco razonables a una situación problemática constituye una habilidad muy útil para determinar la factibilidad del resultado tanto de los problemas es-colares como de los de la vida cotidiana.
Explique cómo un alumno pone en juego su sentido numérico al contestar los siguientes reactivos, identificando las respuestas que podría descartar por no ser factibles.
Óscar tenía 4 trompos y su papá le regaló 3. Encierra con un círculo el cuadro donde están los trompos que ahora tiene Óscar.
1
A C T I V I D A D E S para el maestro
2
Sebastián guardó 196 canicas en un frasco. De todas las que guardó 79 son negras y las demás son blancas.
¿Cuántas canicas son blancas? a) 117
b) 127 c) 265 d) 275
Luis tiene 72 limones y los quiere poner en bolsitas con 8 limones cada una, ¿cuántas bolsitas necesita?
a) 9 bolsitas b) 576 bolsitas c) 80 bolsitas d) 8 bolsitas
3
4
5
En México hay 2.6 millones de vendedores ambulantes. ¿Cuántos vendedores ambulantes representan la parte decimal del número subrayado?
a) 600 000 b) 0.6 c) 6.0 d) 6 000 000
Un boleto para el partido Pumas-América cuesta $130.00. ¿Cuál será su precio si se compra con 30% de descuento? a) $91.00
b) $39.00 c) $30.00 d) $100.00
¿Qué es el sentido
numérico?
L
a expresión sentido numérico aparece por primera vez en la bibliografía especia-lizada en la enseñanza de las matemáticas a finales de los años ochenta y con mayor fuerza en la década de los noventa. Antes de intentar conceptualizar este término, reflexionemos cuál es su relación con la aritmética.Después del breve recorrido del capítulo 1, en el que, a partir de los resultados de los excale, se mostraron algunas de las dificultades y errores en el aprendizaje de la
aritmé-tica, se puede concluir que aún hay carencias importantes en la comprensión, el uso y manejo de los números que se estudian a lo largo de la educación básica. Los factores que han propiciado tal situación son muchos y de distinta índole; uno de ellos es la forma en que se trabajan los contenidos aritméticos en el aula.
En efecto, la manera en que los estudiantes viven la aritmética dentro del salón de clases propicia que construyan ciertas creencias y actitudes hacia ella. Por ejemplo, si, guiados por el trabajo escolar, los alumnos creen que la aritmética es un conjunto de técnicas que el maestro les debe explicar: cómo sumar, cómo restar, cómo multiplicar, etcétera, entonces su actitud ante ella será pasiva, en espera de que el maestro les indique cómo hacer las cosas, aunque no comprendan por qué las tienen que hacer así. Si, por el contrario, se les deja en libertad de abordar los problemas haciendo uso de sus conocimientos previos, entonces ellos mismos podrán proponer otras estrate-gias, otras maneras de operar y manejar los números, además de construir conocimien-tos con significado.
Otra creencia que puede resultar un obstáculo en el aprendizaje de la aritmética es que los alumnos piensen que en matemáticas sólo hay una manera de hacer las operaciones, que esa manera es “la mejor”. Entonces, al enfrentarse a un problema en que identifiquen la operación que lo resuelve, inmediatamente procederán a resolver
ésta sin detenerse a pensar si hay un procedimiento más práctico que el algoritmo convencional que les enseñaron.
Es claro que las creencias de los docentes también influyen en cómo se aborda la aritmética en el salón de clase. Por ejemplo, los maestros que piensen que lo importante al resolver problemas aritméticos es que los estudiantes obtengan la respuesta correcta en lugar de darle sentido a lo que aprenden, pondrán énfasis en la enseñanza de algorit-mos y técnicas de manera mecánica, sin dar espacio a que sus alumnos comprendan lo que hacen ni desarrollen su habilidad de interpretar los resultados que obtienen.
Parte de la problemática detectada en los resultados de los excale y en el análisis
de los reactivos puede subsanarse si la enseñanza de la aritmética incluye, como parte fundamental, el desarrollo del sentido numérico en los alumnos. Lo anterior no sólo be-neficiaría el aprendizaje de la aritmética, pues el sentido numérico puede considerarse de manera transversal: está presente en problemas del eje Forma, espacio y medida referentes al cálculo de perímetros, áreas y volúmenes; en el eje Manejo de la infor-mación en los cálculos aritméticos para obtener medidas de tendencia central o de dispersión, y también al interpretar datos numéricos en tablas y gráficas; en álgebra, por ejemplo, en el manejo de monomios, polinomios y en la resolución de ecuaciones, así como en el análisis del comportamiento de las funciones. Se puede asegurar que siempre que se tenga que resolver un problema que involucre números se puede hacer uso del sentido numérico.
Veamos tres ejemplos donde el sentido numérico está presente al resolver proble-mas aritméticos. El primero se refiere a una sustracción con números naturales,1 en el segundo se trabajan fracciones y en el tercero, decimales.
Raúl quiere llenar un álbum de 704 estampas. Si ya tiene 199, ¿cuántas le faltan?
Para resolver este problema podemos restar 704-199 y para resolver esta ope-ración con uno de los algoritmos convencionales se escriben los dos números en forma vertical, cuidando que queden unidades con unidades, decenas con decenas y centenas con centenas. Después se procede a resolver la sustracción, por ejemplo:
Lo anterior parece demasiado sofisticado para una operación que puede resol-verse utilizando estrategias de cálculo mental.
En la recta numérica esto podría bosquejarse de la siguiente manera:
0
199 200
704
7 0 4
1 9 9
5 0 5
6 9 1 4
–
7 0 4
1 9 9
–
199
para
200
es
1
,
200
para
704
son
504
.
Sumamos
1 + 504
,
el resultado es
505.
Otra manera de resolver la sustracción anterior es haciendo uso de una propie-dad que indica que si sumamos el mismo número al minuendo y sustraendo el resultado no se altera.
También se puede resolver sumando 1 al 199 y, en lugar de restar 199, se resta 200 y después se agrega 1 al resultado.
En los tres últimos procedimientos observamos un uso flexible y creativo de los números, de algunas propiedades y de las relaciones entre ellos. Y también se observa que estos procedimientos, para el caso particular de 704-199, son mucho más prácticos que el algoritmo convencional.
Si a los dos números que
queremos restar,
704
y
199,
les sumamos
1
, obtenemos
705
y
200
.
Resolvemos
705-200=505.
A 704 le quito 200 y quedan
504
, pero como sólo le tenía
que quitar 199, a
504
le tengo
Don Manuel tiene un terreno en el que utiliza las cuatro quintas partes para sembrar. Si en la mitad de esas cuatro quintas partes siembra maíz, ¿qué parte del terreno completo la ocupa con este cereal?
Este problema se puede resolver con la multiplicación 1 2×
4
5. El algoritmo
conven-cional para resolver multiplicaciones de fracciones es multiplicar numerador por numerador y denominador por denominador.
Muchos de nuestros alumnos se aprenden de memoria y mecánicamente este algoritmo sin comprender por qué se hace así.
Dado que el problema habla de “la mitad de las cuatro quintas partes”, es posible no referirse a la multiplicación de fracciones (12×4
5) y trabajar directamente con la
idea intuitiva 12 de 45. A partir de esta interpretación se puede calcular el resultado sin necesidad de aplicar el algoritmo de la multiplicación, simplemente tomando la mitad de la cantidad de quintos.
X
1
2
5
4
X1
2
4
5
X=
4
10
=
5
2
1 2de
45es la
mitad
de
4 5, esto es
2 5.
Gráficamente 4
5 se puede representar como:
Y la mitad es 2
5.
También se puede entender gráficamente por qué, al aplicar el algoritmo conven-cional, 1
2× 4 5 da
4
10, tal como se muestra a continuación.
A partir de los 4
Se toma 1
2 de esos 4
5, lo cual puede hacerse trazando una línea horizontal sobre
la superficie morada:
Cada uno de los pedacitos en que quedó divido el entero es 1
10 porque se de-ben contar los dos pedacitos blancos que también forman parte de la unidad. Entonces, se observa que 1
2 de esos 4
5 son 4 pedacitos morados, es decir, 4
décimos. De ahí que:
No todas las multiplicaciones de fracciones se pueden resolver sin recurrir al algo-ritmo convencional, depende de los números involucrados. Lo importante aquí es destacar que si los alumnos tienen claro lo que significa la operación que resuelven y comprenden las fracciones involucradas podrán, en muchos casos, prescindir de al-goritmos convencionales y encontrar el resultado haciendo uso de esa comprensión.
X
1
Lilia tiene 3.72 metros de listón y va a hacer moños. Para cada moño ocupa 0.5 metros de listón. ¿Cuántos moños puede hacer?
Este problema se puede resolver con la división 3.72 entre 0.5. En la aritmética hay una técnica para resolver divisiones en las que ambos números tienen punto decimal. Esta técnica consiste en correr el punto a la derecha el mismo número de lugares en dividendo y divisor, de tal manera que este último quede como un número entero. Después se hace la división normalmente y “se sube el punto” a donde corresponda.
El algoritmo anterior funciona para todas las divisiones en las que el dividendo y el divisor tienen punto decimal. Es probable que no comprendamos bien la razón de algunos de sus pasos. Por ejemplo:
w¿Qué propiedad de las divisiones permite tachar el punto del divisor y recorrer un lugar el punto del dividendo?
w¿Por qué dividir 3.72 entre 0.5 equivale a dividir 37.2 entre 5? w¿Por qué al hacer la división “se sube” el punto?
w¿Qué valor relativo tiene el 20, que es el penúltimo residuo de la división? Las respuestas respectivas a estas preguntas son:
wLa propiedad en juego es: si dividendo y divisor se multiplican por el mismo número el cociente no se altera.
wPorque aplicando la propiedad anterior, el dividendo y el divisor se multipli-caron por 10.
wPorque se empiezan a dividir los décimos. w2 décimos.
0.5 3.72
0.5 3.7
.
2
5 37
.
2
5 37
7
.
.
2
44
2 2
2 0
0
En el desarrollo del sentido numérico se promueve que los alumnos, además de entender el procedimiento anterior, construyan otros procedimientos que, en algunos casos, resulten más prácticos y adecuados a ciertos contextos. Por ejemplo, para este caso se puede buscar cuántas veces cabe 0.5 en 3.72.
Gráficamente se observa:
Salen 7 moños y el pedazo que resta es poco menos de la mitad de medio metro. Veamos otra forma de resolver la división en juego. Ya anteriormente se observó que de 1 metro se obtienen 2 moños. Observe que el número de moños se obtiene con la división:
0.5 m
3.72 m
÷
1 0.5
=
2
0.5 y 0.5 dan 1 metro. De cada metro
se sacan 2 moños. De 2 metros,
4 moños; de 3 metros, 6 moños; de
0.72 se saca 1 moño. Son 7 moños.
¿Cuántos moños de medio metro se obtienen si se tienen 2 metros de listón?, ¿y si se tienen 3 metros?, ¿4 metros?, ¿10 metros?, ¿20 metros? Es muy probable que ya se haya dado cuenta de que el resultado de dividir un número entre 0.5 es el doble de ese número:
Entonces, ¿cuál es el resultado de 3.72 ÷ 0.5?
Es el mismo resultado que se obtuvo al resolver la división usando el algoritmo convencional para dividir números con punto decimal.
÷
2 0.5
=
4
÷
3 0.5
=
6
÷
4 0.5
=
8
÷
10 0.5
=
20
÷
20 0.5
=
40
3 . 7 2
3 . 7 2
+
7 . 4 4
3.72 ÷ 0.5 debe ser el
doble
de
3.72
. Entonces
puedo sumar
3.72 + 3.72.
Otra cuestión importante en el desarrollo del sentido numérico es saber interpretar el resultado obtenido. ¿Qué significado tiene en esta operación el número 7.44? Como se mencionó anteriormente, al resolver la división 3.72 entre 0.5 se encuentra cuántas veces cabe el 0.5 en el 3.72. Como 7.44 es muy cercano a 71
2, concluimos que 0.5
cabe en 3.72, aproximadamente, 7 veces y media.
Los ejemplos anteriores muestran lo enriquecedor que resulta dar oportunidad de usar el sentido numérico en la resolución de problemas y lo que aporta al conocimiento de los números, sus relaciones y sus operaciones. Pero ¿qué es el sentido numérico? En el siguiente apartado se tratará de dar respuesta a esta pregunta.
Para la pregunta ¿qué es el sentido numérico? no existe una respuesta única, ni inme-diata, ni sencilla. En la bibliografía sobre el tema se encuentran diferentes posturas a partir de la consideración de que el sentido numérico es una habilidad, una intuición, comprensión, conocimiento o razonamiento acerca de los números.2
Hacia el concepto del sentido numérico
2 Adaptado de Bernabe (2008). 3 Citado por Bernabe (2008).
Intuición
SENTIDO NUMÉRICOHabilidad
Comprensión
Razonamiento
Capacidad
A continuación se ofrecen algunas definiciones de sentido numérico que dan diferentes autores.3
Habilidad y propensión para el uso de los números y las operaciones en formas flexibles para hacer juicios cuantitativos y para desarrollar estrategias eficientes con los números y los métodos cuantitativos (Mcintosh, Reys y Reys, 1997).
Es una buena intuición acerca de los números y de sus relaciones. Es no algorítmico, genera múltiples soluciones, así como una eficiente aplicación con base en múltiples criterios (Van de Walle y Browman, 1993).
Capacidad de resolver diferentes problemas a partir del uso de estrategias múltiples y seleccionar la más adecuada para generar claridad en el trabajo que hace (Trafton y Hartman,1997).
Una comprensión de los números y de sus múltiples relaciones, del reconocimiento relativo de las magnitudes de los mismos, de los efectos de las operaciones y el desarrollo de referentes sobre cantidades y medidas
(Sowder, 1988).
Razonar con cantidades a fin de poder captar la magnitud de los números, comparar números grandes, comprender los números en diferentes contextos (Friel, 2000).
Hay autores que integran las ideas anteriores al considerar el sentido numérico como comprensión y habilidad, o bien como conocimiento, habilidad e intuición acerca de los números.
El sentido numérico se refiere a la comprensión general que tiene una persona sobre los números y las operaciones, junto con la habilidad para usar esta comprensión de forma flexible para hacer juicios matemáticos y para desarrollar estrategias numéricas (Bruno, 2000).
El sentido numérico consiste en los conocimientos, las habilidades y las intuiciones que una persona desarrolla acerca de los números y sus operaciones, junto con la habilidad e inclinación hacia el empleo del conocimiento numérico de manera flexible para formular proposiciones matemáticas, desarrollar estrategias útiles para manipular números, realizar operaciones y resolver problemas (Sánchez, Hoyos y López, 2011).
Comprensión
y habilidad
Habilidad
Intuición
Capacidad
Comprensión
Razonamiento
Conocimiento,
habilidad
e intuición
Otros autores definen el sentido numérico a partir de la idea de red conceptual:
RED CONCEPTUAL
En términos de estructura, se hace referencia a que el sentido numérico es una red conceptual bien organizada, propia de cada individuo, por la cual es capaz de relacionar números y propiedades de las operaciones para resolver problemas de manera flexible y creativa (Castro, Castro y Rico, 2004).
La idea de sentido numérico se basa en la posesión por parte de los estudiantes de una red conceptual que relaciona los conceptos de agrupamiento y valor de posición con la habilidad de usar las magnitudes absolutas y relativas de los números para:
• Emitir juicios sobre la racionalidad de resultados producidos en problemas numéricos.
• La posibilidad de generar algoritmos no convencionales. • Relacionar los números con las propiedades de las operaciones, etc. (Linares, 2001).
SENTIDO NUMÉRICO
Permite emplear los números con flexibilidad
y creatividad al resolver operaciones o problemas.
Conjunto de conocimientos, intuiciones
y habilidades que una persona desarrolla acerca
de los números.
Es personal, cada individuo desarrolla su propia red
conceptual formada a partir de la comprensión que tiene de los números.
Permite hacer juicios matemáticos y desarrollar
estrategias numéricas propias.
No resulta sencillo resumir todas las ideas expuestas anteriormente; no obstante, el siguiente diagrama es un intento de hacerlo.
Sustracción
En cambio, si las tareas propuestas logran que los estudiantes aprendan las rela-ciones entre las operarela-ciones pueden construir redes conceptuales como la siguiente: ¿Cómo lograr que los estudiantes tengan una red conceptual sobre los números lo más amplia posible? Cuando en clase se trabaja la matemática de manera fragmen-tada, la red conceptual que los estudiantes construyen también está fragmentada. Por ejemplo, si se enseñan las operaciones básicas sin relacionarlas entre sí, los estudiantes tienen una red conceptual como la siguiente:
Resolver la división es buscar cuántas veces cabe el divisor en el dividendo; se puede resolver sumando varias
veces el divisor Son operaciones
inversas
La multiplicación puede considerarse una suma
de sumandos iguales
Son operaciones inversas
Una división puede resolverse por sustracciones sucesivas
Multiplicación
División
Adición
Adición
Sustracción
Multiplicación
División
Del mismo modo, a partir de la manera en que han trabajado en sus clases de aritmética muchos alumnos conocen los números naturales, los decimales y las fracciones sin considerar las relaciones entre ellos.
Naturales
Decimales
Fracciones
Decimales
Los naturales, los decimales y las fracciones pertenecen al mismo conjunto numérico llamado: números racionales
Naturales
Los decimales son una extensión de los naturales
para números menores que la unidad
Los decimales pueden escribirse como fracciones con
denominador 10, 100, 1000...
Hay fracciones decimales y fracciones no decimales. Las primeras pueden escribirse de manera exacta usando la notación
con punto
Fracciones
Dividir un número natural entre otro da lugar
a las fracciones
En cambio, una mayor comprensión de los números permite que el alumnado en-cuentre esas relaciones, construyendo redes conceptuales similares a la siguiente:
Cuando los alumnos ingresen a secundaria estudiarán los números negativos y podrán seguir enriqueciendo esta red conceptual, ampliando sus conocimientos de los números naturales, los enteros y los racionales. Es importante elegir secuencias didácticas adecuadas con el propósito de que los estudiantes tengan claridad de la relación entre todos los conjuntos numéricos y que formen una red conceptual a partir de la cual comprendan que se trata de conjuntos de números que están relacionados entre sí pues unos son subconjuntos de otros. Un número puede ser natural, entero y racional al mismo tiempo. Esto se muestra en el siguiente diagrama.
Los números racionales son todos aquellos que pueden escribirse como una fracción cuyo numerador y denominador son números enteros y el denominador nunca puede ser cero. Los números enteros pueden ser positivos o negativos. Los números natura-les son los que se utilizan para contar.
El 5 es número natural; también es un entero positivo y un número racional por-que puede escribirse como una fracción, por ejemplo 10
2 . En cambio, -5 no es un
número natural, sino un entero negativo y un racional porque puede escribirse como una fracción, por ejemplo −15
3. Mientras que 2.5 no es natural ni entero, pero sí es un
racional porque se puede escribir como fracción, por ejemplo 1025.
Números naturales
Números enteros
Números racionales
Con una enseñanza de la aritmética que considere como parte fundamental de ella el desarrollo del sentido numérico se busca que los alumnos conozcan estas relacio-nes entre los números, sus propiedades y sus operaciorelacio-nes, lo que les ayudará a usar los números con flexibilidad y creatividad al enfrentarse a situaciones problemáticas.
El desarrollo del sentido numérico puede o no favorecerse en la escuela, dependerá de muchos factores, siendo sin duda uno de los más importantes el tipo de tareas que el maestro proponga a los alumnos y la manera en que les invite a acercarse a ellas. ¿Cómo promover en los alumnos el desarrollo de su sentido numérico? ¿Favorece el enfoque de resolución de problemas el desarrollo del sentido numérico de los estudian-tes? Sobre ello reflexionaremos a continuación.
A partir de la reforma educativa de 1993 se da un nuevo impulso, desde una perspectiva distinta, al añejo propósito de dar a la resolución de problemas un papel destacado en el aprendizaje de las matemáticas.
En este enfoque la resolución de problemas no sólo es el propósito de aprender ma-temáticas sino también el medio para hacerlo. Se promueve que los alumnos se enfrenten a problemas utilizando procedimientos propios; no se trata de enseñarles de entrada a resolver el problema, sino que ellos construyan estrategias personales haciendo uso de sus conocimientos previos.
“Cuando los alumnos tienen libertad para buscar la manera de resolver un problema, por lo general encuentran al menos una forma de aproximarse al resultado. Esto, a su vez, puede generar en el grupo una valiosa diversidad de procedimientos” (SEP, 1995).
El enfoque de resolución de problemas y el desarrollo del sentido numérico
Aunque en los programas de la reforma de 1993 no aparece explícitamente la expre-sión sentido numérico, puede observarse que el enfoque de resolución de problemas, propuesto tanto en esos programas como en los actuales, favorece su desarrollo al dejar que los alumnos resuelvan los problemas en completa autonomía, antes de enseñarles la herramienta matemática que los resuelve de manera eficiente. Asimismo, el enfoque destaca y valora la existencia de procedimientos alternativos al convencional.
Por ejemplo, en el problema:
Gaby tiene 8 canicas, juega y gana 5. ¿Cuántas tiene ahora?
La herramienta matemática más eficiente para resolverlo es la suma 5 + 8; no obs-tante, este problema puede ser resuelto por alumnos que sepan contar hasta el 13 y que no hayan estudiado aún la suma, incluso si no saben leer y escribir y se les plantea de manera oral.
Don Raúl mezcló 21
2 litros de pintura roja con 2 1
4 litros de pintura blanca.
¿Qué cantidad de líquido tiene en total la mezcla?
Si el problema se plantea cuando los alumnos han estudiado los medios y los cuar-tos, aunque no se haya estudiado la suma de fracciones mixtas, y se deja en total libertad de resolverlo, los estudiantes buscarán diferentes estrategias para obtener el resultado. No es necesario haber estudiado cómo convertir una fracción mixta en impropia ni cómo sumar fracciones mixtas con algoritmos convencionales bus-cando el común denominador. Por ejemplo, pueden sumar los enteros y luego las fracciones; como un medio es igual a dos cuartos, el resultado es:
+
2 1
+
2
=
4
+
4
1
3 3
4
Si el dólar está a 13.20 pesos, ¿cuál es el precio en pesos de un producto que vale 14 dólares?
¿Será indispensable saber multiplicar números decimales para resolver este proble-ma? La respuesta es no. Hay otras maneras de calcular lo que se pide; por ejemplo:
wDe 10 dólares son $132. wDe 2 dólares son $26.40. wDe 4 dólares son $52.80.
wDe 14 dólares son $132 + $52.80 = $184.80.
El procedimiento alterno que se ha mostrado es posible porque, en este caso, el multiplicador (número de dólares) es entero. Como ya se ha comentado, muchas veces los procedimientos alternos se aplican sólo en algunos casos, pero esto no les quita su valor. En resumen, son útiles pero no suficientes, y de ahí se deduce la importancia de conocer también los algoritmos convencionales que permiten resolver cualquier operación sin importar los números que se tienen que operar.
Otra característica del enfoque de resolución de problemas que favorece el desarrollo del sentido numérico son las confrontaciones o puestas en común que se sugiere hacer después de que los alumnos hayan resuelto un problema.
Que los alumnos conozcan las diferentes formas de solución que encontraron sus compañeros para un mismo problema tiene un gran valor didáctico, ya que les permite darse cuenta de que para resolver un problema existen varios cami-nos, algunos más largos y complicados que otros, pero lo importante es acercar-se a la solución. Les permite también percataracercar-se de sus errores y favorece que por sí mismos valoren sus resultados (SEP, 1995).
No sólo el hecho de ver que hay diferentes procedimientos para resolver la misma operación o el mismo problema enriquece su sentido numérico, también es enriquecedor para su conocimiento de los números tratar de comprender el procedimiento que siguie-ron otros compañeros: ¿cómo maneja los números el otro compañero?, ¿qué relaciones usa?, si no llega al resultado correcto ¿qué error cometió?, etcétera.
Ante un problema matemático, una persona con sentido numérico decide si es suficien-te con estimar el resultado o, en caso de que requiera el resultado exacto, si lo puede calcular mentalmente, por escrito, usando la calculadora o combinando dos o más de estos recursos. El siguiente esquema resume lo anterior en una adaptación a lo ex-presado por Parra (1994):
Aspectos del cálculo relacionados con el sentido numérico
Cálculo que
se requiere
Respuesta
aproximada
Respuesta
exacta
Estimación
Problema
Cálculo
Se espera que los alumnos, al resolver una operación o un problema, hagan una estimación del resultado y, además, que no siempre los resuelvan haciendo uso de los algoritmos con cálculo escrito, sino que también utilicen el cálculo mental y, ¿por qué no?, la calculadora.
En los siguientes capítulos se abordarán estos cuatro aspectos del cálculo relacio-nados con el sentido numérico:
1
2
Escriba con sus propias palabras lo que entiende por sentido numérico.
Reflexione:
a) Con la manera en que trabajo los números, sus relaciones y operaciones, ¿promuevo el desarrollo del sentido numérico en los alumnos?
b) ¿Cuánto he influido para que mis alumnos tengan o no actitudes positivas ante el trabajo con los números?
Redacte un problema y una manera de resolverlo sin usar algoritmos convencionales, utilizando el sentido numérico.
Identifique en un libro de texto de matemáticas del nivel en el que trabaja. a) Una actividad que usted considere que, a partir de las
preguntas que se plantean, desarrolla el sentido numérico. b) Argumente su elección.
3
4
A C T I V I D A D E S para el maestro
Plantee una división y resuélvala usando sumas o restas.
Considere el siguiente problema:
Una falda que cuesta $250 tiene un descuento de 25%. ¿Cuánto cuesta la falda con el descuento?
a) Resuelva el problema de forma tradicional, usando el cálculo de porcentajes con multiplicación.
b) Resuelva el problema haciendo uso de su sentido numérico, calculando el porcentaje de una manera diferente.
En un libro de texto del nivel en el que trabaja (preescolar, primaria o secundaria) identifique una actividad en la que se promueva: a) La estimación.
b) El cálculo mental. c) El cálculo escrito. d) El uso de la calculadora.
En el mismo libro de texto de la actividad anterior haga una valoración rápida de a cuál de los cuatro aspectos del cálculo relacionados con el sentido numérico es al que se le dedica el mayor porcentaje de actividades.
