CAPITULO 3
3
PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
3.1 Introducción
En este capítulo se verán algunos principios básicos del procesamiento digital de señales, necesarios para entender la manera en cómo operan los convertidores A/D (analógico/digital), y D/A (digital/analógico) de un sistema digital tal como lo es un DSP, así como el fenómeno de aliasing, en el cual deben considerarse tanto la frecuencia de muestreo de los convertidores del procesador como la frecuencia de la señal que se requiere procesar con objeto de no causar distorsión sobre ella. También se incluye la definición de la transformada Z, herramienta indispensable para el diseño e implementación de filtros digitales, así como los filtros FIR e IIR. Finalmente se explica el procedimiento de diseño de un filtro Butterworth utilizando la transformación bilinear, ya que es el método usado en el software de diseño de los filtros del demodulador de AM.
3.2 Muestreo de una señal analógica
Aunque las señales provistas por la naturaleza son analógicas, gran parte del procesamiento de señales es hecho digitalmente. Los sistemas digitales son usados para procesamiento porque son de bajo costo, precisos, y pueden ser implementados rápidamente. Para poder llevar a cabo esto, debemos proveer dispositivos para la adquisición y conversión de datos que sirvan como interfaz entre el mundo de las señales analógicas y el mundo del procesamiento digital de señales [1].
Antes de que cualquier procesamiento pueda ser realizado, la señal analógica es muestreada y las representaciones digitales de cada muestra son desarrolladas [2].
Muestreo o sampling es el proceso de convertir una señal analógica continua, en pulsos de amplitudes discretas a intervalos específicos de muestreo (señal discreta). Estos pulsos de amplitudes discretas son cuantificados en valores digitales basados en la longitud de palabra usada. Un convertidor analógico-digital (A/D), muestrea y cuantifica una señal de entrada continua [2].
Una señal discreta puede ser obtenida por el muestreo de una señal analógica en los tiempos , k = 0, 1, 2, . . . . Este proceso es ilustrado en la Figura 3-1, donde se ha tomado , lo cual significa que las muestras son espaciadas uniformemente. A esto se le llama sampling o muestreo, donde T es el periodo de muestreo. La frecuencia de muestreo esta dada por [1]:
k t kT tk = T fs = 1 Hz
Figura 3-1 Muestreo de una señal analógica
Si (t) es la entrada analógica al sistema de muestreo, entonces la señal de salida muestreada será el producto:
a f ) ( * t fa ) ( ) ( ) ( * t s t f t fa = a a
Lo cual da origen a una señal modulada. La señal modulante (t) es un tren de funciones impulso espaciadas uniformemente dada por:
a S
(
t nT)
t S n a a =∑
− ∞ −∞ = δ ) (Donde δa(t) es la función impulso analógico definido por:
(
−τ)
=0 δa t t ≠τ(
τ
) ( )
( )
( )
τ
δ
at
−
f
at
dt
=
f
at
dt
=
f
a∫
∞ ∞ −Donde fa
( )
t es continua en t =τ . El proceso de muestreo instantáneo es análogo al proceso de modulación por impulso:(
t
nT
)
t
f
t
f
n a a a=
∑
−
∞ −∞ =δ
)
(
)
(
*
(
t
nT
)
t
f
n a a−
=
∑
∞ −∞ =δ
)
(
f
nT
(
t
nT
)
n a a−
=
∑
∞ −∞ =δ
)
(
De la última formula se deduce que la señal muestreada puede ser representada como un tren de impulsos con amplitudes , valor de la enésima muestra de [1].
) (nT
3.3 Reconstrucción de una señal analógica
En muchos casos es necesario convertir una señal muestreada de regreso a una señal analógica basada en la descripción provista por los valores muestreados. La extrapolación puede ser usada con aceptable exactitud si la función muestreada no posee cambios rápidos. De otra manera, errores grandes e impredecibles pueden ocurrir entre las muestras. En consecuencia la frecuencia de muestreo es un factor importante en la cantidad de error que aparece en la reconstrucción de datos [1].
Los dispositivos que reconstruyen datos continuos de una secuencia de muestras o números son generalmente llamados data holds, extrapoladores, filtros de demuestreo, o filtros de reconstrucción. Para construir un data hold, es necesario asumir una forma particular para la función que será reconstruida a partir de sus muestras. Una forma comúnmente usada en el sistema de control es un polinomio en tiempo. Si el polinomio extrapolador es una constante, un polinomio de grado cero, entonces el extrapolador es un
hold de orden cero [1].
El resultado de aplicar una señal muestreada a un circuito hold de orden cero es mostrado en la Figura 3-2. El efecto de pasar una señal analógica como la de la Figura 3-1 a través de un sistema de muestreo y un circuito hold de orden cero (equivalentemente, un
Figura 3-2 Señal a la salida de un circuito hold de orden cero.
Figura 3-3 Señal a la salida de un circuito sample-and-hold.
3.4 Procesamiento digital de una señal analógica
La ilustración que muestra como puede ser utilizado el procesamiento digital de señales es la Figura 3-4. La señal analógica x(t) es pasada a través de un convertidor A/D, resultando la señal digital x̃(kT). Esta señal digital es después procesada por un procesador digital de señales cuya salida es ỹ(kT). La señal digital procesada es después convertida a señal analógica y(t) por un convertidor D/A [1].
Figura 3-4 Procesamiento de una señal analógica utilizando un procesador digital de señales.
3.5 Aliasing
En el proceso de muestreo de una señal analógica se debe tomar en cuenta que la frecuencia de muestro de los convertidores debe tener como mínimo el doble de frecuencia de la señal a ser muestreada con objeto evitar el fenómeno de aliasing, el cual provoca que la señal original de información sea distorsionada, tal y como se verá a continuación.
Primero consideremos el caso cuando Xa(t) es limitado en banda con la frecuencia más alta Ωa menor o igual a π/T. Como ilustración considérese la función Xa(jΩ) mostrada en la Figura 3-5(a). Para esta señal, las funciones Xa(jΩ + j2πk/T) no se traslapan y es mostrada en la Figura 3-5(b). La importancia de este caso radica en que desde que no hay traslape, el espectro Xa(jΩ) puede ser recuperado de mediante un filtro pasa-baja que bloquee todas las frecuencias por arriba de π/T [1].
) (ej T X Ω ) (ej T X Ω
El segundo caso de interés se da cuando Xa(t) contiene una frecuencia mayor que
π/T. En este caso, las funciones Xa(jΩ + j2πk/T) se traslapan y no se puede recuperar
Xa(jΩ) de . Este caso es ilustrado en la Figura 3-6. Las frecuencias altas de
Xa(jΩ) son reflejadas dentro de las frecuencias bajas de , resultando en el
fenómeno llamado aliasing [1]. ) (ej T X Ω ) (ej T X Ω
Figura 3-5 (a) Gráfica de Xa(jΩ) y (b) gráfica de , la cual corresponde a la señal muestreada.
) (ej T
X Ω
Figura 3-6 (a) Grafica de Xa(jΩ) y (b) gráfica correspondiente a cuando
existe el aliasing.
) (ej T
X Ω
3.6 La transformada Z
Aplicando la transformada Z a una ecuación lineal e invariante en el tiempo como la Ecuación (3.1) donde las constantes ak y bm con a0 ≠0, transforma la ecuación de
diferencia en una ecuación algebraica en las transformadas z de y(n) y x(n). Conociendo
x(n) y su transformada Z nos permite resolver la ecuación algebraica para la transformada Z de y(n) y así encontrar y(n). En muchos casos, no se conoce x(n) pero se puede obtener
información importante del comportamiento del sistema desde las transformadas Z de y(n) y x(n) [1].
∑
∑
(3.1) = =−
=
−
M m m N k ky
n
k
b
x
n
m
a
0 0)
(
)
(
3.7 Definición de la transformada ZDada una secuencia x(n), se define la transformada Z por:
∑
∞ −∞ = −=
=
n nz
n
x
z
X
n
x
Z
{
(
)}
(
)
(
)
Donde se asume que Z es una variable compleja. Si x(n) es una secuencia causal, x(n)=0 para n<0, entonces su transformada Z es [1]:
∑
∞ = −=
=
0)
(
)
(
)}
(
{
n nz
n
x
z
X
n
x
Z
3.8 Realización de sistemas digitales
Si aplicamos la transformada Z a un sistema como el de la Ecuación (3.1), obtenemos [1]:
∑
∑
= − = −=
M m m m N k k kz
Y
z
b
z
X
z
a
0 0)
(
)
(
∑
∑
= − = − = = N k k k M m m m z a z b z X z Y z H 0 0 ) ( ) ( ) (3.9 Estructuras recursivas y no recursivas
Los métodos para la realización de sistemas digitales puede ser dividido en dos clases,
recursivas y no recursivas. La relación entre la entrada y la salida para una realización recursiva tiene la forma [1]:
y(n)= F[ y(n - 1), y(n - 2), . . . , x(n), x(n - 1), . . .]
Para el sistema descrito por la Ecuación (3.1), la realización recursiva tiene la forma:
∑
∑
= =−
+
−
−
=
M m m N k kx
n
m
a
b
k
n
y
a
a
n
y
0 0 1 0)
(
)
(
)
(
(3.2)La muestra de salida actual y(n) es función sólo de salidas pasadas y de las muestras de entrada presente y pasadas. La relación entrada-salida para una realización no
recursiva tiene la forma [1]:
),...] 1 ( ), ( [ ) (n =F x n x n− y
Para un sistema lineal e invariante en el tiempo, esta relación será:
∑
=−
=
M m mx
n
m
a
b
n
y
0 0)
(
)
(
(3.3)Se debe hacer notar que la Ecuación 3.2 corresponde a un sistema IIR y la Ecuación 3.3 corresponde a un sistema FIR.
3.9.1 Ejemplo de un sistema FIR de segundo orden
Consideremos un sistema FIR de segundo orden descrito por la Ecuación (3.4) [1]. ) 2 ( ) 1 ( ) ( ) (n =b0x n +b1x n− +b2x n− y (3.4)
Este sistema FIR es representado por la Figura 3-7 [1].
Figura 3-7 Diagrama a bloques para el sistema de la Ecuación (3.4).
Cada retraso de la señal es representado por , lo cual quiere decir que la señal después del retraso tiene el valor anterior al existente actualmente antes del retraso.
1 −
z
En el diagrama podemos observar como la salida depende del valor presente y valores pasados de la entrada.
3.9.2 Ejemplo de un sistema IIR de segundo orden
Este sistema es de especial interés para la presente tesis debido a fueron utilizados filtros IIR de segundo orden para el diseño e implementación en la tarjeta del demodulador de AM, las razones por las cuales se eligió este tipo de filtro serán expuestas más adelante en el Capítulo 5.
La Ecuación (3.5) muestra un sencillo ejemplo de un sistema IIR de segundo orden, en el que como podemos observar, la salida depende directamente tanto de la entrada presente, como de los valores pasados en la salida [1].
) 2 ( ) 1 ( ) ( ) (n =x n −a1y n− −a2y n− y (3.5)
La Figura (3-8) muestra el diagrama a bloques correspondiente a este sistema
Figura 3-8 Diagrama a bloques para el sistema de la Ecuación (3.5).
Con ayuda del diagrama podemos ver que se tienen dos mallas con un elemento de retraso en cada una de ellas. Las salidas de cada sumador son:
)] 2 ( ) 1 ( [−a1y n− −a2y n− y )] 2 ( ) 1 ( [ ) (n + −a1y n− −a2y n− x
3.10 Introducción a los tipos de filtros
Un filtro es un dispositivo que se encarga de permitir el paso de señales cuyas frecuencias se encuentren dentro de su banda de paso y rechazar aquellas cuyas frecuencias caigan dentro de la banda de rechazo.
Sea una señal pasada a través del filtro o no, está determinada por la función del sistema [1]:
)
(
)
(
)
(
e
jw=
H
e
jw∠
φ
ω
H
Para frecuencias en la banda de paso, la magnitud o amplitud H(ejw) es relativamente grande e idealmente constante. La banda de rechazo está caracterizada por la magnitud H(ejw), la cual es relativamente pequeña e idealmente es cero. La respuesta en magnitud de un filtro pasa-bajas ideal es ilustrado en la Figura 3-9 (a). Las frecuencias en la banda de paso, 0< ω <ωc, son filtradas, mientras que las frecuencias más altas en la banda de rechazo, ω < ωc, son bloqueadas. La frecuencia ωc entre las dos bandas es la
frecuencia de corte [1].
Figura 3-9 (a) Magnitudes ideal y práctica de un filtro pasa-bajas. (b) Una especificación de magnitud típica de un filtro pasa-bajas y una respuesta típica
Como sabemos, en la práctica es imposible de obtener la respuesta ideal. Un problema central en el diseño de filtros es obtener una respuesta práctica que sea una aproximación a la respuesta ideal. Una aproximación real, es la respuesta representada por la línea remarcada de la Figura 3-9 (a). En la Figura 3-9 (b), la banda de paso es la banda de frecuencias, 0< ω <ω1, donde A1 ≤ H(ej ) ≤ A
ω
. La banda de rechazo es la banda, ω >ω2, donde 0 H(e ) A2
j ≤
≤ ω
. La banda de frecuencias, ω1< ω <ω2, entre la banda de paso y la de rechazo se le conoce como banda de transición. Generalmente nunca es menor que
1
A
2 /
A . La frecuencia de corteωc es usualmente ω1, la frecuencia de la banda de paso, o ω3dB, la frecuencia a la cual H(ejω)=A/ 2 [1].
Hay muchos tipos de filtros. Los más populares son el Butterworth, Chebyshev, Chebyshev inverso, y el elíptico. Las magnitudes típicas de respuesta de estos filtros son mostradas en la Figura 3.9 (b) para un filtro Butterworth y en la Figura 3.10 para Chebyshev, Chebyshev inverso, y filtro elíptico. La frecuencia de corte para los filtros Butterworth y Chebyshev inverso es ωc=ω3dB, y para los filtros Chebyshev y elípticoωc=ω1 [1].
Los otros tipos comunes de filtros son el pasa-altas (el cual deja pasar altas frecuencias y rechaza las bajas), pasa bandas (el cual deja pasar una banda de frecuencias y rechaza otras), y rechaza-banda (el cual bloquea una banda de frecuencias y permite el paso de otras). Las respuestas en magnitud ideales de estos tipos de filtros se muestran en la Figura 3-11 [1].
Figura 3-10 (a) Respuesta de un Chebyshev de sexto orden. (b) Respuesta de un Chebyshev inverso de sexto orden. (c) Respuesta de un elíptico de sexto orden.
Figura 3-11 Respuestas prácticas e ideales (a) pasa-altas, (b) pasa-banda, y (c) rechaza-banda.
3.11 Ejemplo de diseño de un filtro Butterworth utilizando la aproximación Bilinear
A continuación se mostrará la manera en como un filtro de este tipo puede ser diseñado. Este tipo de filtro es de especial interés para el presente trabajo debido a que fue utilizado para la implementación de los filtros digitales del demodulador de AM, esto con la ayuda de software para el diseño de filtros digitales [1].
Las condiciones del filtro a diseñar son las siguientes:
1 ) ( 8 . 0 ≤ H ejω ≤ 0≤ω≤0.2π (3.6) 2 . 0 ) (ejω ≤ H 0.6π ≤ω≤π
Comparando estas condiciones con las condiciones de magnitud que debe satisfacer un filtro pasa-bajas digital y que son:
1 ) ( 1 ≤ ≤ ω j e H A 0≤ω≤ω1 2 ) (e A H jω ≤ ω2 ≤ω≤π
Nos damos cuenta que:
π ω1 =0.2 ω2 =0.6π 8 . 0 1 = A A2 =0.2
En el proceso del diseño del filtro, se deben obtener las condiciones analógicas de magnitud correspondientes: 1 ) ( 1 ≤ H jΩ ≤ A a 0≤Ω≤Ω1 2 ) (j A Ha Ω ≤ Ω2 ≤Ω
Los valores de y dependen del método de diseño usado. Si se usa la transformación bilinear entonces las frecuencias estarán relacionadas por:
1 Ω Ω2 2 tan 2 ω T = Ω
Para determinar los parámetros del filtro analógico se requieren cocientes de frecuencias analógicas tales como Ω2 /Ω1. Para la transformación bilinear se obtiene:
) 2 / tan( ) 2 / tan( ) 2 / tan( ) / 2 ( ) 2 / tan( ) / 2 ( 1 2 1 2 1 2 ω ω ω ω = = Ω Ω T T
Sustituyendo los valores anteriormente obtenidos para ω2 y ω1 en la última ecuación vemos que el cociente para las frecuencias analógicas es:
235 . 4 3249 . 0 376 . 1 ) 2 / tan( ) 2 / tan( 1 2 1 2 = = = Ω Ω ω ω
Y la fórmula para obtener el orden que deberá tener este circuito está dada por:
) / log( ] 1 ) / 1 /[( ] 1 ) / 1 log[( 2 1 1 2 2 1 2 2 Ω Ω − − ≥ A A N 235 . 4 log ) 1 64 . 0 / 1 /( ) 1 04 . 0 / 1 log( 2 1 − − ≥ 3 . 1 ≥
Por lo que el orden del filtro que se requiere es N = 2.
Y la frecuencia de corte analógica será:
N c A T 2 / 1 2 1 1 ] 1 ) / 1 [( ) 2 / tan( ) / 2 ( − = Ω ω 4 / 1 ) 1 64 . 0 / 1 ( 3249 . 0 2 − = T ) 3752 . 0 ( 2 T =
La función del filtro analógico puede ser ahora obtenida tomando N=2. Para ganancia unitaria, tomamos B1 =1:
2 1 2 2 ) ( c c c a s b s s H Ω + Ω + Ω =
en donde b1 =2sen(π/4)=1.4142. Cuando es aplicada la transformada bilinear a esta función, la función digital de transferencia, que se obtiene es:
2 12 1 11 2 1 10 1 ) 1 ( ) ( − − − + + + = z a z a z A z H 2 1 2 1 3651 . 0 0281 . 1 1 ) 1 ( 0842 . 0 − − − + − + = z z z Dado que: 1 1 1 2 2 10 ( /2) [( /2) ( /2) 1] − + Ω + Ω Ω = T T c T b A c c c 1 2 2 ] 1 ) 4142 . 1 )( 3752 . 0 ( ) 3752 . 0 [( ) 3752 . 0 ( + + − = 0842 . 0 ) 5983 . 0 ( ) 3752 . 0 ( 2 = = 1 1 1 2 1 2 11 2[( /2) 1][( /2) ( /2) 1] − + Ω + Ω − Ω = T c T c T b a c c c 0281 . 1 − = 1 1 1 2 1 1 2 12 [( /2) ( /2) 1][( /2) ( /2) 1] − + Ω + Ω + Ω − Ω = T c T b T c T b a c c c c 3651 . 0 =
Figura 3-12 (a) Respuesta en magnitud y (b) respuesta en fase de las condiciones de la Ecuación 3.6 usando la transformación bilinear.
