1Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 34

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Soluciones a los ejercicios y problemas

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ú l t i p l o s y d i v i s o r e s

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Encuentra cuatro parejas múltiplo-divisor entre los siguientes números:

• 143 y 13 • 124 y 31 • 364 y 13 • 364 y 52

2

_{Responde justificando tu respuesta.}

a) ¿Es 132 múltiplo de 11? b) ¿Es 11 divisor de 132? c) ¿Es 574 múltiplo de 14? d) ¿Es 27 divisor de 1 542? a) Sí, 132 = 12 · 11 b) Sí, 132 : 11 = 12 c) Sí, 574 = 41 · 14

d) No, 1 542 = 57 · 27 + 3 8 división con resto.

3

_Calcula.

a) Los cinco primeros múltiplos de 10. b) Los cinco primeros múltiplos de 13. c) Los cinco primeros múltiplos de 31.

a) 10, 20, 30, 40 y 50. b) 13, 26, 39, 52 y 65. c) 31, 62, 93, 124 y 155.

4

_Calcula.

a) Todos los divisores de 18. b) Todos los divisores de 23. c) Todos los divisores de 32.

a) 1, 2, 3, 6, 9 y 18. b) 1 y 23. c) 1, 2, 4, 8, 16 y 32. 13 52 31 180 364 124 12 143

M

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5

_{Copia estos números y selecciona:}

a) Los múltiplos de 2. b) Los múltiplos de 3. c) Los múltiplos de 5. a) 66, 90, 156, 220 y 708. b) 66, 90, 105, 156 y 708. c) 90, 105, 220 y 315.

6

_{Copia estos números, rodea con un círculo los múltiplos de 3 y tacha los}

múltiplos de 9: 33 41 54 87 108 112 231 341 685 33 41 54 87 108 112 231 341 685

ú m e r o s p r i m o s y c o m p u e s t o s

7

Escribe:

a) Los diez primeros números primos.

b) Los números primos comprendidos entre 50 y 60. c) Los números primos comprendidos entre 80 y 100. d) Los tres primeros números primos mayores que 100.

a) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29. b) 53 y 59.

c) 83, 89 y 97. d) 101, 103 y 107.

8

Mentalmente, sin lápiz ni papel, separa los números primos de los com-puestos: • Primos: 7, 17, 31, 41 y 67. • Compuestos: 4, 10, 15, 24 y 51. 67 51 41 31 24 17 15 10 7 4

N

708 421 315 220 156 105 103 90 71 66 Pág. 2

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9

_{Descompón, mentalmente, en el máximo número de factores las}

siguien-tes cantidades:

• 6 = 2 · 3 • 8 = 23 • 10 = 2 · 5

• 14 = 2 · 7 • 15 = 3 · 5 • 18 = 2 · 32

• 20 = 22· 5 • 24 = 23· 3 • 25 = 52 • 27 = 33 _{• 30 = 2 · 3 · 5 • 42 = 2 · 3 · 7}

10

_{Descompón en factores primos.}

a) 48 b) 54 c) 90 d) 105 e) 120 f ) 135 g) 180 h) 200 i) 250 a) 48 = 24· 3 b) 54 = 2 · 33 c) 90 = 2 · 32· 5 d) 105 = 3 · 5 · 7 e) 120 = 23· 3 · 5 f ) 135 = 33· 5 g) 180 = 22_{· 3}2_{· 5 h) 200 = 2}3_{· 5}2 _{i) 250 = 2 · 5}3

11

_{Descompón en el máximo número de factores:}

a) 378 b) 1 144 c) 1 872

a) 378 = 2 · 33_{· 7 b) 1 144 = 2}3_{· 11 · 13 c) 1 872 = 2}4_{· 3}2_{· 13}

í n i m o c o m ú n m ú l t i p l o y m á x i m o c o m ú n d i v i s o r

12

_Calcula.

a) Los diez primeros múltiplos de 10. b) Los diez primeros múltiplos de 15.

c) Los primeros múltiplos comunes de 10 y 15. d) El mínimo común múltiplo de 10 y 15.

a) 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 y 100. b) 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135 y 150. c) 30, 60, 90, … d) 30

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Calcula mentalmente. a) mín.c.m. (2, 3) b) mín.c.m. (6, 9) c) mín.c.m. (4, 10) d) mín.c.m. (6, 10) e) mín.c.m. (6, 12) f ) mín.c.m. (12, 18) a) mín.c.m. (2, 3) = 6 b) mín.c.m. (6, 9) = 18 c) mín.c.m. (4, 10) = 20 d) mín.c.m. (6, 10) = 30 e) mín.c.m. (6, 12) = 12 f ) mín.c.m. (12, 18) = 36

M

42 30 27 25 24 20 18 15 14 10 8 6 Pág. 3

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14

_Calcula. a) mín.c.m. (12, 15) b) mín.c.m. (24, 60) c) mín.c.m. (48, 54) d) mín.c.m. (90, 150) e) mín.c.m. (6, 10, 15) f ) mín.c.m. (8, 12, 18) a) mín.c.m. (12, 15) = 60 b) mín.c.m. (24, 60) = 120 c) mín.c.m. (48, 54) = 432 d) mín.c.m. (90, 150) = 450 e) mín.c.m. (6, 10, 15) = 30 f ) mín.c.m. (8, 12, 18) = 72

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_Escribe:

a) Todos los divisores de 18. b) Todos los divisores de 24.

c) Los divisores comunes de 18 y 24. d) El máximo común divisor de 18 y 24.

a) 1, 2, 3, 6, 9 y 18. b) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. c) 1, 2, 3 y 6. d) 6

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_{Calcula mentalmente.} a) máx.c.d. (4, 8) b) máx.c.d. (6, 9) c) máx.c.d. (10, 15) d) máx.c.d. (12, 16) e) máx.c.d. (16, 24) f ) máx.c.d. (18, 24) a) máx.c.d. (4, 8) = 4 b) máx.c.d. (6, 9) = 3 c) máx.c.d. (10, 15) = 5 d) máx.c.d. (12, 16) = 4 e) máx.c.d. (16, 24) = 8 f ) máx.c.d. (18, 24) = 6

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_Calcula. a) máx.c.d. (36, 45) b) máx.c.d. (48, 72) c) máx.c.d. (105, 120) d) máx.c.d. (135, 180) e) máx.c.d. (8, 12, 16) f ) máx.c.d. (45, 60, 105) a) máx.c.d. (36, 45) = 9 b) máx.c.d. (48, 72) = 24 c) máx.c.d. (105, 120) = 15 d) máx.c.d. (135, 180) = 45 e) máx.c.d. (8, 12, 16) = 4 f ) máx.c.d. (45, 60, 105) = 15 Pág. 4

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r o b l e m a s

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_{¿De cuántas formas distintas se pueden envasar 80 botes de mermelada}

en cajas iguales? Indica, en cada caso, el número de cajas necesarias y el núme-ro de botes por caja.

Los 80 botes se pueden envasar de las 10 formas distintas que corresponden a las di-ferentes formas de descomponer 80 en dos factores.

80 = 24· 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 5 8 las descomposiciones en 2 factores son:

2 · 40 16 · 5

4 · 20 1 · 80

8 · 10

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Un rollo de cable mide más de 150 m y menos de 200 m. ¿Cuál es su lon-gitud exacta, sabiendo que se puede dividir en trozos de 15 m y también en tro-zos de 18 m?

La longitud del rollo es de 180 m.

mín.c.m. (15, 18) = 90 8 El primer múltiplo de 90 comprendido entre 150 y 200 es 180.

20

Un agricultor riega su campo cada 10 días y lo fumiga cada 18. ¿Cada cuánto tiempo le coinciden ambos trabajos en la misma jornada?

Cada 90 días.

mín.c.m. (10, 18) = 90

21

De cierta parada de autobús parten dos líneas, A y B, que inician su acti-vidad a las 7 h de la mañana. La línea A presta un servicio cada 24 minutos, y la línea B, cada 36 minutos. ¿A qué hora vuelven a coincidir en la parada los autobuses de ambas líneas?

A las 8 h 12 min. mín.c.m. (24, 36) = 72

72 min = 1 h + 12 min 8 7 h + (1 h + 12 min) = 8 h + 12 min

22

Se desea dividir dos cuerdas de 20 m y 30 m en trozos iguales, lo más grandes que sea posible, y sin desperdiciar nada. ¿Cuánto medirá cada trozo?

Cada trozo medirá 10 metros. máx.c.d. (20, 30) = 10 8 cajas de 10 botes 10 cajas de 8 botes 1 caja de 80 botes 80 cajas de 1 bote 4 cajas de 20 botes 20 cajas de 4 botes 16 cajas de 5 botes 5 cajas de 16 botes 2 cajas de 40 botes 40 cajas de 2 botes

P

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23

_{Para pavimentar el suelo de una nave de 12,3 m de largo por 9 m de}

an-cho, se han empleado baldosas cuadradas, que han venido justas, sin necesidad de cortar ninguna. ¿Qué medida tendrá el lado de cada baldosa, sabiendo que se han empleado las mayores que había en el almacén?

30 cm de lado.

8 máx.c.d. (90, 123) = 3

3 dm = 30 cm = 0,3 m

24

Julia ha formado el cuadrado más pequeño posible uniendo piezas rec-tangulares de cartulina, de 12 cm por 18 cm. ¿Cuánto mide el lado del cuadra-do? ¿Cuántas piezas ha empleacuadra-do?

El lado del cuadrado mide 36 cm y se han empleado 6 piezas. mín.c.m. (12, 18) = 36

(36 cm) : (12 cm) = 3 8 Caben 3 anchos del rectángulo en el lado del cuadrado. (36 cm) : (18 cm) = 2 8 Caben 2 largos del rectángulo en el lado del cuadrado. 3 · 2 = 6 piezas

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Se desea envasar 125 botes de conserva de tomate y 175 botes de conser-va de pimiento en cajas del mismo número de botes, y sin mezclar ambos pro-ductos en la misma caja. ¿Cuál es el mínimo número de cajas necesarias? ¿Cuántos botes irán en cada caja?

• Se necesitan 12 cajas como mínimo. • Habrá 25 botes en cada caja.

Los divisores comunes de 125 y 175 son 5 y 25. Podemos envasar en cajas de 5 o de 25 botes. Para utilizar un mínimo número de cajas envasaremos en cajas de 25 botes.

8 5 + 7 = 12 cajas en total

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_{En un horno de bollería se han fabricado 2 400 magdalenas y 2 640}

man-tecados, que se desean comercializar en bolsas con el mismo número de unida-des y sin mezclar ambos productos. ¿Cuántas magdalenas o cuántos manteca-dos se pueden poner en cada bolsa, teniendo en cuenta que el número debe ser superior a 15 e inferior a 30?

Se pueden poner 16, 20 ó 24 unidades por bolsa.

8

8 24_{= 16 2}3_{· 3 = 24 2}2_{· 5 = 20}

Divisores comunes de 2 400 y 2 640 que son mayores de 15 y menores de 30 ° ¢ £ 2 400 = 25_{· 3 · 5}2 2 640 = 24· 3 · 5 · 11 ° ¢ £ 125 : 25 = 5 8 5 cajas de tomates 175 : 25 = 7 8 7 cajas de pimientos ° ¢ £ 12,3 m = 123 dm 9 m = 90 dm Pág. 6

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r o f u n d i z a

27

_{Se dice que dos números son primos entre sí cuando su único divisor}

co-mún es la unidad. Por ejemplo:

Son primos entre sí. Escribe otras tres parejas de números primos entre sí.

Por ejemplo:

• 4 y 15

• 14 y 15

• 22 y 39

28

_{Justifica la siguiente afirmación:}

Si a es múltiplo de b y b es múltiplo de c, entonces a es múltiplo de c.

8 a = ? · c

a = (k · h ) · c

8 a = k · b = k · (h · c) = (k · h) · c 8 a es múltiplo de c.

29

Demuestra que si a es divisor de b y b es divisor de c, entonces a es divisor de c. 8 c = ? · a c = (m · n) · a 8 c = b · n = (a · m) · n = (m · n) · a 8 a es divisor de c.

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_{Si m es múltiplo de n, calcula:} a) mín.c.m. (m, n) b) máx.c.d. (m, n) a) mín.c.m. (m, n) = m b) máx.c.d. (m, n) = n ° ¢ £ b = a · m c = b · n ° ¢ £ b = a · m c = b · n ° ¢ £ a = k · b b = h · c ° ¢ £ b = k · b b = h · c 22 = 2 · 11 39 = 3 · 13 ° ¢ £ 14 = 2 · 7 15 = 3 · 5 ° ¢ £ 4 = 22 15 = 3 · 5 ° ¢ £ ° ¢ £ 32 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 35 = 5 · 7

P

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u m a y r e s t a d e n ú m e r o s e n t e r o s

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_{Calcula mentalmente.} a) 5 – 9 b) 5 – 11 c) 13 – 9 d) 22 – 30 e) 21 – 33 f ) 46 – 52 g) –8 – 14 h) –21 – 15 i) –33 – 22 j) –13 + 18 k) –22 + 9 l) –37 + 21 a) – 4 b) – 6 c) 4 d) –8 e) –12 f ) – 6 g) –22 h) –36 i) –55 j) 5 k) –13 l) –16

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_Calcula. a) 5 – 8 – 4 + 3 – 6 + 9 b) 10 – 11 + 7 – 13 + 15 – 6 c) 9 – 2 – 7 – 11 + 3 + 18 – 10 d) –7 – 15 + 8 + 10 – 9 – 6 + 11 a) –1 b) 2 c) 0 d) –8

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_{Quita paréntesis y calcula.}

a) (+5) – (–3) – (+8) + (– 4) b) –(–7) – (+5) + (–6) + (+4) c) +(–9) – (+13) – (–11) + (+5) d) –(+8) + (–3) – (–15) – (+6) – (+2) a) – 4 b) 0 c) – 6 d) – 4

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Calcula. a) 3 – (5 + 7 – 10 – 9) b) 4 + (8 – 6 – 10) – (6 – 10 + 4) c) (7 – 11 – 4) – (9 – 6 – 13) d) –(6 – 3 – 5) – (– 4 – 7 + 15) a) 10 b) – 4 c) 2 d) –2

35

_Opera. a) 16 + [3 – 9 – (11 – 4)] b) 8 – [(6 – 9) – (7 – 13)] c) (6 – 15) – [1 – (1 – 5 – 4)] d) (2 – 12 + 7) – [(4 – 10) – (5 – 15)] e) [9 – (5 – 17)] – [11 – (6 – 13)] a) 3 b) 5 c) –18 d) –7 e) 3

S

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_{Quita paréntesis y calcula.}

a) 6 –

(

5 – [4 – (3 – 2)]

)

b) 6 –

(

7 – [8 – (9 – 10)]

)

c) 10 +

(

11 – [12 + (13 – 14)]

)

d) 10 –

(

9 + [8 – (7 + 6)]

)

e) [(3 – 8) – 5] +

(

–11 + [7 – (3 – 4)]

)

a) 4 b) 8 c) 10 d) 6 e) –13

u l t i p l i c a c i ó n y d i v i s i ó n d e n ú m e r o s e n t e r o s

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Opera aplicando la regla de los signos.

a) (–5) · (–6) b) (–21) : (+3) c) (– 4) · (+7) d) (+42) : (–6) e) (–6) · (–8) f ) (+30) : (+5) g) (+10) · (+5) h) (–63) : (–9) i) (–9) · (–5) j) (+112) : (–14) a) 30 b) –7 c) –28 d) –7 e) 48 f ) 6 g) 50 h) –8 i) 45 j) –8

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_{Obtén el valor de x en cada caso:}

a) x · (–9) = +9 b) (–5) : x = –1 c) (–5) · x = – 45 d) x : (– 4) = +3 e) x · (+6) = – 42 f ) (+28) : x = –7 a) x = –1 b) x = 5 c) x = 9 d) x = –12 e) x = –7 f ) x = – 4

39

_Calcula. a) (–2) · [(+3) · (–2)] b) [(+5) · (–3)] · (+2) c) (+6) : [(–30) : (–15)] d) [(+40) : (– 4)] : (–5) e) (–5) · [(–18) : (–6)] f ) [(–8) · (+3)] : (– 4) g) [(–21) : 7] · [8 : (– 4)] h) [6 · (–10)] : [(–5) · 6] a) 12 b) –30 c) 3 d) 2 e) –15 f ) 6 g) 6 h) 2

p e r a c i o n e s c o m b i n a d a s c o n n ú m e r o s e n t e r o s

40

_Calcula. a) 5 – 4 · 3 b) 2 · 9 – 7 c) 4 · 5 – 6 · 3 d) 2 · 8 – 4 · 5 e) 16 – 4 · 7 + 2 · 5 – 19 f ) 5 · 6 – 21 – 3 · 7 + 12 a) –7 b) 11 c) 2 d) – 4 e) –21 f ) 0

O

M

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_{Opera dentro del paréntesis y, después, multiplica.}

a) 3 · (9 – 11) b) –5 · (4 – 9) c) 5 · (9 – 4) – 12 d) 1 + 4 · (6 – 10) e) 6 · (8 – 12) – 3 · (5 – 11) f ) 4 · (13 – 8) + 3 · (9 – 15) a) 3 · (9 – 11) = 3 · (–2) = – 6 b) –5 · (4 – 9) = –5 · (–5) = 25 c) 5 · (9 – 4) – 12 = 5 · 5 – 12 = 25 – 12 = 13 d) 1 + 4 · (6 – 10) = 1 + 4 · (– 4) = 1 – 16 = –15 e) 6 · (8 – 12) – 3 · (5 – 11) = 6 · (– 4) – 3 · (– 6) = –24 + 18 = –6 f ) 4 · (13 – 8) + 3 · (9 – 15) = 4 · 5 + 3 · (– 6) = 20 – 18 = 2

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Calcula y observa que el resultado varía según la posición de los paréntesis.

a) 17 – 6 · 2 b) (17 – 6) · 2 c) (–10) – 2 · (–3) d) [(–10) – 2] · (–3) e) (–3) · (+5) + (–2) f ) (–3) · [(+5) + (–2)] a)17 – 6 · 2 = 17 – 12 = 5 b) (17 – 6) · 2 = 11 · 2 = 22 c) (–10) – 2 · (–3) = –10 + 6 = – 4 d) [(–10) – 2] · (–3) = (–12) · (–3) = 36 e) (–3) · (+5) + (–2) = –15 – 2 = –17 f ) (–3) · [(+5) + (–2)] = (–3) · (+3) = –9

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_{Calcula paso a paso.}

a) 5 · (– 4) – 2 · (–6) + 13 b) –6 · (+4) + (–3) · 7 + 38 c) (–2) · (+8) – (–5) · (–6) + (–9) · (+4) d) –(–9) · (+5) · (–8) · (+7) – (+4) · (–6) a) 5 · (– 4) – 2 · (–6) + 13 = –20 + 12 + 13 = –20 + 25 = 5 b) –6 · (+4) + (–3) · 7 + 38 = –24 – 21 + 38 = – 45 + 38 = –7 c) (–2) · (+8) – (–5) · (–6) + (–9) · (+4) = –16 – 30 – 36 = –82 d) –(–9) · (+5) · (–8) · (+7) – (+4) · (–6) = –2 496 Pág. 10

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_Opera. a) 5 · [11 – 4 · (11 – 7)] b) (– 4) · [12 + 3 · (5 – 8)] c) 6 · [18 + (– 4) · (9 – 4)] – 13 d) 4 – (–2) · [–8 – 3 · (5 – 7)] e) 24 – (–3) · [13 – 4 – (10 – 5)] f ) 6 · (7 – 11) + (–5) · [5 · (8 – 2) – 4 · (9 – 4)] a) 5 · [11 – 4 · (11 – 7)] = 5 · [11 – 4 · 4] = 5 · [11 – 16] = 5 · (–5) = –25 b) (– 4) · [12 + 3 · (5 – 8)] = (– 4) · [12 + 3 · (–3)] = (– 4) · [12 – 9] = (– 4) · 3 = –12 c) 6 · [18 + (– 4) · (9 – 4)] – 13 = 6 · [18 + (– 4) · 5] – 13 = 6 · [18 – 20] – 13 = = 6 · (–2) – 13 = –12 – 13 = –25 d) 4 – (–2) · [–8 – 3 · (5 – 7)] = 4 + 2 · [–8 – 3 · (–2)] = 4 + 2 · [–8 + 6] = = 4 + 2 · [–2] = 4 – 4 = 0 e) 24 – (–3) · [13 – 4 – (10 – 5)] = 24 + 3 · [13 – 4 – 5] = 24 + 3 · 4 = 24 + 12 = 36 f ) 6 · (7 – 11) + (–5) · [5 · (8 – 2) – 4 · (9 – 4)] = 6 · (– 4) + (–5) · [5 · 6 – 4 · 5] = = –24 – 5 · [30 – 20] = –24 – 5 · 10 = –24 – 50 = –74

45

Calcula paso a paso. a) 10 : [8 – 12 : (11 – 9)] b) 6 : (13 – 15) – [(8 – 4) : (–2) – 6 : (–3)] a) 10 : [8 – 12 : (11 – 9)] = 10 : [8 – 12 : 2] = 10 : [8 – 6] = 10 : 2 = 5 b) 6 : (13 – 15) – [(8 – 4) : (–2) – 6 : (–3)] = 6 : (–2) – [4 : (–2) + 2] = = –3 – [–2 + 2] = –3

o t e n c i a s d e n ú m e r o s e n t e r o s

46

Calcula. a) (–2)1 b) (–2)2 c) (–2)3 d) (–2)4 _{e) (–2)}5 _{f ) (–2)}6 g) (–2)7 h) (–2)8 i) (–2)9 a) –2 b) 4 c) –8 d) 16 e) –32 f ) 64 g) –128 h) 256 i) –512

47

_Calcula. a) (–5)4 b) (+4)5 c) (–6)3 d) (+7)3 e) (–8)2 f ) (–10)7 a) 625 b) 1 024 c) –216 d) 343 e) 64 f ) –10 000 000

P

Pág. 11

1

Soluciones a los ejercicios y problemas

48

_Observa… (–2)3_{= (–2) · (–2) · (–2) = –8 (+2)}3_{= (+2) · (+2) · (+2) = +8} –23= –2 · 2 · 2 = –8 +23= +2 · 2 · 2 = +8 …y calcula. a) (–3)4 b) (+3)4 c) –34 d) +34 a) 81 b) 81 c) –81 d) 81

49

_{Expresa como potencia de un único número.}

a) 104_{: 5}4 _{b) 12}7_{: (– 4)}7 _{c) (–9)}6_{: 3}6 d) 26· 26 e) (– 4)5· (–2)5 f ) 24· (–5)4 a) 104: 54= (2 · 5)4: 54= (24· 54) : 54= 24 b) 127_{: (– 4)}7_{= (3 · 4)}7_{: (– 4)}7_{= (3}7_{· 4}7_{) : (– 4)}7_{= –3}7 c) (–9)6: 36= 312: 36= 36 d) 26_{· 2}6_{= 2}12 e) (– 4)5· (–2)5= –(45) · (–25) = 45· 25= 210· 25= 215 f ) 24_{· (–5)}4_{= 2}4_{· 5}4_{= (2 · 5)}4_{= 10}4

50

_{Reduce a una sola potencia.}

a) x4_{· x}6 _{b) m}3_{· m}4 c) m8: m6 d) x7: x6 e) (x2₎5 _{f ) (m}4₎3 g) [a10: a6]2 h) (a · a3)3 i) (x5_{: x}2_{) · x}4 _{j) (x}6_{· x}4_{) : x}7 a) x4· x6= x10 b) m3· m4= m7 c) m8_{: m}6_{= m}8_{: m}6_{= m}2 _{d) x}7_{: x}6_{= x} e) (x2)5= x10 f ) (m4)3= m12 g) [a10_{: a}6_]2_{= a}8 _{h) (a · a}3₎3_{= a}12 i) (x5: x2) · x4= x7 j) (x6· x4) : x7= x3

51

Expresa como una potencia única.

a) 43· 4 b) 52· (–5)3 c) (–6)8_{: (–6)}5 _{d) 7}8_{: (–7)} e) (52· 54) : 53 f ) [74· (–7)4] : (–7)6 g) (24₎3_{: 2}9 _{h) (– 4)}7_{: (4}2₎2 i) [(–3)4]3: [(–3)3]3 j) (52)5: [(–5)3]2 a) 43· 4 = 44 b) 52· (–5)3= –55 c) (–6)8_{: (–6)}5_{= –6}3 _{d) 7}8_{: (–7) = –7}7 e) (52· 54) : 53= 53 f ) [74· (–7)4] : (–7)6= 72 g) (24₎3_{: 2}9_{= 2}3 _{h) (– 4)}7_{: (4}2₎2_{= – 4}3 i) [(–3)4]3: [(–3)3]3= –33 j) (52)5: [(–5)3]2= 54 Pág. 12

1

Soluciones a los ejercicios y problemas

52

_{Opera y calcula.} a) [29_{: (2}3₎2_{] · 5}3 b) 102: [(52)3: 54] c) 63_{: [(2}7_{: 2}6_{) · 3]}2 d) [(62)2· 44] : (23)4 a) [29_{: (2}3₎2_{] · 5}3_{= [2}9_{: 2}6_{] · 5}3_{= 2}3_{· 5}3_{= 10}3_{= 1 000} b) 102_{: [(5}2₎3_{: 5}4_{] = 10}2_{: [5}6_{: 5}4_{] = 10}2_{: 5}2_{= (10 : 5)}2_{= 2}2_{= 4} c) 63: [(27: 26) · 3]2= 63: [2 · 3]2= 63: 62= 6 d) [(62)2· 44] : (23)4= [64· 44] : (23)4= [6 · 4]4: (23)4= [3 · 23]4: (23)4= = [(3 · 23_{) : 2}3_]4_{= 3}4_{= 81}

a í c e s d e n ú m e r o s e n t e r o s

53

Calcula. a) b) c) d) e) f ) g) h) i) a) ±7 b) ±7 c) No existe. d) ±15 e) ±15 f ) No existe. g) ±50 h) ±50 i) No existe.

54

Calcula las raíces siguientes:

a) b) c)

d) e) f )

g) h) i)

a) ±x b) ±x c) No existe.

d) ±a2 e) ±a2 f ) No existe.

g) ±m3 h) ±m3 i) No existe.

55

Calcula, si existen, estas raíces:

a) b) c) d) e) f ) a) 1 b) –1 c) 4 d) ±5 e) No existe. f ) ±10 4 √10 000 4 √–625 4 √625 3 √64 3 √–1 3 √1 √–m6 √(–m)6 √m6 √–a4 √(–a)4 √a4 √–x2 √(–x)2 √x2 √–2 500 √502 √2 500 √–225 √225 √152 √– 49 √72 √49

R

Pág. 13

1

Soluciones a los ejercicios y problemas

56

_Calcula.

a) b) c)

a) a b) ±x c) m

57

Observa el ejemplo y razona, en cada caso, de manera similar.

• = x3_{, puesto que (x}3₎4_{= x}3 · 4_{= x}12 a) b) c) a) = a4, ya que (a4)3= a4 · 3= a12 b) = m2, ya que (m2)5= m2 · 5= m10 c)√x10= ±x5, ya que (x5)2= x10 y (–x5)2= x10 5 √m10 3 √a12 √x10 5 √m10 3 √a12 4 √x12 5 √m5 4 √x4 3 √a3 Pág. 14

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

PÁGINA 76

p l i c a c i ó n d e c o n c e p t o s

1

El cubo pequeño está construido con dados amarillos. Para formar el cubo grande, recubrimos el anterior de dados rojos.

¿Qué fracción de los dados del cubo grande son amarillos? ¿Y rojos?

de los dados del cubo grande son amarillos y son rojos.

• Cubo pequeño: 33_{= 27 dados, todos amarillos.}

• Cubo grande: 53= 125 dados en total:

2

_{Calcula mentalmente.}

a) de 60 b) de 90 c) de 120

d) de 35 e) de 18 f ) de 100

a) de 60 = 40 b) de 90 = 9 c) de 120 = 90

d) de 35 = 10 e) de 18 = 10 f ) de 100 = 60

3

_{¿Cuántos gramos son?}

a) de kilo b) de kilo c) de kilo

a) de kilo = 750 g b) de kilo = 600 g c) 7 de kilo = 350 g 20 3 5 3 4 7 20 3 5 3 4 3 5 5 9 2 7 3 4 1 10 2 3 3 5 5 9 2 7 3 4 1 10 2 3 27 • 27 de 125 dados son amarillos 8 — 125

98

• resto: 125 – 27 = 98 de 125 son rojos 8 — de dados rojos 125 ° § § ¢ § § £ 98 125 27 125

A

Pág. 1

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

4

_{¿Cuántos minutos son?}

a) de hora b) de hora c) de hora

a) de hora = 50 min b) de hora = 15 min c) de hora = 48 min

5

_{¿Qué fracción de hora son?}

a) 5 minutos b) 24 minutos c) 360 segundos

a) 5 min = de h = de hora

b) 24 min = de h = de hora

c) 360 s = de h = de hora

r a c c i o n e s y d e c i m a l e s

6

_{Expresa en forma decimal.}

a) b) c)

d) e) f )

a) = 3,5 b) = 0,54 c) = 0,104

d) = 1,1

)

6 e) = 0,

)

4 f ) = 0,

)

45

7

Pasa a forma fraccionaria.

a) 1,1 b) 0,13 c) 0,008 d) 0,

)

8 e) 1,8

)

f ) 2,

)

8 g) 0,

)

24 h) 0,0

)

2 i) 0,1

)

3 a) 1,1 = b) 0,13 = c) 0,008 = d) 0,

)

8 = e) 1,

)

8 = f ) 2,8 =

)

g) 0,

)

24 = h) 0,02 =

)

i) 0,1

)

3 = 2 15 1 45 24 99 26 9 17 9 8 9 8 1 000 13 100 11 10 5 11 4 9 7 6 13 125 27 50 7 2 5 11 4 9 7 6 13 125 27 50 7 2

F

1 10 360 3 600 2 5 24 60 1 12 5 60 4 5 3 12 5 6 4 5 3 12 5 6 Pág. 2

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

q u i v a l e n c i a d e f r a c c i o n e s

8

_Escribe:

a) Una fracción equivalente a 4/10 que tenga por numerador 6. b) Una fracción equivalente a 15/45 que tenga por denominador 12. c) Una fracción que sea equivalente a 35/45 y tenga por numerador 91.

a) , ya que = =

b) , ya que = =

c) , ya que = =

9

_{Calcula x en cada caso:}

a) = b) = c) = d) =

a) = 8 x = 55 b) = 8 x = 15

c) = 8 x = 117 d) = 8 x = 42

10

Reduce a común denominador.

a) 1, , , b) , , ,

a) 1, , , 8 , , , b) , , , 8 , , ,

11

Ordena de menor a mayor.

a) ; 0,6; ; ; 1,

)

1 b) ; ; ; a) 0,6 < < 1,1 < <

)

ya que 0,6 < 0,9 = < 1,1 < 1,4 = < 1,5 = b) < < < ya que = ; = ; = ; = 45 30 3 2 35 30 7 6 20 30 2 3 18 30 3 5 3 2 7 6 2 3 3 5

)

3 2

(

)

7 5

(

)

9 10

(

3 2 7 5 9 10 7 6 3 2 3 5 2 3 7 5 3 2 9 10 4 30 5 30 6 30 10 30 2 15 1 6 1 5 1 3 14 24 9 24 20 24 24 24 7 12 3 8 5 6 2 15 1 6 1 5 1 3 7 12 3 8 5 6 91 169 x 78 11 99 13 x x 35 21 49 15 x 6 22 91 169 x 78 11 99 13 x x 35 21 49 15 x 6 22 7 9 13 · 7 13 · 9 91 117 91 117 1 3 4 · 1 4 · 3 4 12 4 12 2 5 3 · 2 3 · 5 6 15 6 15

E

Pág. 3

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

u m a y r e s t a d e f r a c c i o n e s

12

_{Calcula mentalmente.} a) 1 – b) 1 + c) – d) 1 – e) 1 + f ) – g) – h) – i) + a) 1 – = b) 1 + = c) – = d) 1 – = e) 1 + = f ) – = g) – = h) – = i) + =

13

Calcula y simplifica. a) – + b) + – c) – + d) – 2 + – a) – + = = b) + – = = c) – + = = d) – 2 + – = = 0

14

Calcula y simplifica. a) – + – b) – + – c) – + – d) – – + e) – – – f ) – + – a) – + – = = = b) – + – = = – = – c) – + – = = – = – 5 12 50 120 51 – 44 + 78 – 135 120 9 8 13 20 11 30 17 40 1 32 3 96 39 – 20 + 34 – 56 96 7 12 17 48 5 24 13 32 1 24 3 72 22 – 30 + 32 – 21 72 7 24 4 9 5 12 11 36 25 117 23 78 5 26 23 78 2 15 4 27 1 5 2 3 11 12 13 22 31 66 21 44 9 8 13 20 11 30 17 40 7 12 17 48 5 24 13 32 7 24 4 9 5 12 11 36 0 6 5 6 3 2 4 3 1 9 2 18 1 2 5 9 1 6 2 5 6 15 2 15 1 5 1 3 2 5 4 10 1 10 1 5 1 2 5 6 3 2 4 3 1 2 5 9 1 6 2 15 1 5 1 3 1 10 1 5 1 2 3 8 1 8 1 4 1 8 1 8 1 4 1 6 1 3 1 2 1 6 1 6 1 3 4 3 1 3 2 3 1 3 1 10 1 10 1 5 11 10 1 10 9 10 1 10 1 8 1 4 1 8 1 4 1 3 1 2 1 6 1 3 1 3 1 3 1 10 1 5 1 10 1 10

S

Pág. 4

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

d) – – + = = = e) – – – = = = f ) – + – = =

PÁGINA 77

15

_Opera. a) 2 – 1 + b) 1 – – 2 – c) – – – d) 3 – – – + – e) – 2 – – f ) 3 – – – 2 – + g) – – – – – h) – – + – + – a) 2 – 1 + = 2 – = = b) 1 – – 2 – = – = – = – = – c) – – – = – = – = = d) 3 – – – + – = – + = = = e) – 2 – – = – 2 – = – 2 + = = = f ) 3 – – – 2 – + = 3 – – 2 – = – = = g) – – – – – = – – – = – = = = = h) – – + – + – = – – – + = = – – = + – = = 11 30 22 60 9 30 5 60 7 12 9 30 –5 60 7 12

]

–8 30 17 30

[

]

11 15 13 20

[

7 12

]

)

23 30 1 2

(

17 30

[

]

)

8 15 1 5

(

13 20

[

7 12 23 30 92 120 135 – 43 120 43 120 27 24

]

1 24 2 5

[

]

5 24 4 3

[

]

)

5 6 7 8

(

2 5

[

]

)

1 6 3 8

(

4 3

[

17 24 58 – 41 24 41 24 29 12

]

7 24

[

]

7 12

[

]

)

1 8 1 6

(

[

]

)

1 6 3 4

(

[

1 3 2 6 7 – 12 + 7 6 7 6 7 6

]

7 6

[

7 6

]

)

1 3 3 2

(

[

7 6 34 15 136 60 160 – 9 – 15 60 –5 20 3 20 8 3

)

7 20 1 10

(

)

3 5 3 4

(

)

1 3

(

13 21 8 + 5 21 –5 21 8 21 9 – 14 21 15 – 7 21

)

2 3 3 7

(

)

1 3 5 7

(

1 2 2 4 3 4 1 4 8 – 5 4 4 – 3 4

)

5 4

(

)

3 4

(

2 5 10 – 8 5 8 5

)

3 5

(

]

)

23 30 1 2

(

17 30

[

]

)

8 15 1 5

(

13 20

[

7 12

]

)

5 6 7 8

(

2 5

[

]

)

1 6 3 8

(

4 3

[

]

)

1 8 1 6

(

[

]

)

1 6 3 4

(

[

]

)

1 3 3 2

(

[

7 6

)

7 20 1 10

(

)

3 5 3 4

(

)

1 3

(

)

2 3 3 7

(

)

1 3 5 7

(

)

5 4

(

)

3 4

(

)

3 5

(

43 234 69 – 45 + 69 – 50 234 25 117 23 78 5 26 23 78 5 27 25 135 90 – 27 – 20 – 18 135 2 15 4 27 1 5 2 3 1 3 44 132 63 – 62 – 78 + 121 132 11 12 13 22 31 66 21 44 Pág. 5

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

ultiplicación y división de fracciones

16

_{Calcula y simplifica.} a) · 14 b) : 4 c) · d) : e) · f ) : g) · h) : i) : a) · 14 = b) : 4 = = c) · = – = –2 d) : = – e) · = = f ) : = = g) · = = h) : = = i) : =

17

_{Resuelto en el libro de texto.}

18

Calcula y reduce. a) b) c) d) a) = 1 : = 6 b) = 6 : = = 9 c) = : = = d) = : = =

19

_{Opera y reduce.} a) · 3 · b) : 5 : c) · : d) : · a) · 3 · = = 2 b) : 5 : = : = = 1 3 70 210 105 10 7 2

)

10 21

(

7 2 330 165

)

22 15

(

5 11 4 9

)

14 15 7 20

(

)

20 13 15 26

(

8 9

)

10 21

(

7 2

)

22 15

(

5 11 3 10 6 20 4 3 2 5 2 — 5 4 — 3 1 2 5 10 1 5 1 10 1 — 10 1 — 5 18 2 2 3 6 2 — 3 1 6 1 1 — 6 2 — 5 4 — 3 1 — 10 1 — 5 6 2 — 3 1 1 — 6 27 224 28 (–9) –3 8 – 4 5 –528 660 12 11 (– 48) 55 –11 30 –396 1 260 (–77) 36 6 35 2 3 20 30 2 5 4 15 3 10 18 60 9 20 2 3 3 5 (–5) 11 3 11 4 2 4 (–7) 7 2 1 10 2 20 2 5 42 7 3 7 28 (–9) –3 8 12 11 (– 48) 55 (–77) 36 6 35 2 5 4 15 9 20 2 3 (–5) 11 3 11 4 (–7) 7 2 2 5 3 7

M

Pág. 6

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

c) · : = · = = d) : · = · = =

peraciones combinadas

20

_Calcula. a) 7 – 6 · b) 3 · – c) – · d) · – e) · – f ) · – a) 7 – 6 · = 7 – 2 = 5 b) 3 · – = – = = c) – · = – = = d) · – = – = e) · – = – = 0 f ) · – = · = =

21

Calcula y compara los resultados de los cuatro apartados.

a) · – · b) · – · c) · – · d) · – · a) · – · = – = b) · – · = · · = = c) · – · = – · = · = d) · – · = · – = · =

Los resultados son diferentes. La situación de los paréntesis altera el resultado de la operación.

22

_{Opera y reduce.} a) 1 – · 2 – b) 1 – : 1 + c) – · 1 + d) – : + 2

)

5 1 4

(

)

1 2 3 5

(

)

2 3

(

)

3 5 2 3

(

)

1 8

(

)

1 4

(

)

3 5

(

)

5 7

(

29 48 29 24 1 2

)

3 24 4 3

(

1 2

)

3 4 1 6 4 3

(

1 2 3 8 3 4 3 6 3 4

)

1 6 4 6

(

3 4

)

1 6 4 3 1 2

(

7 16 21 48 3 4 7 6 1 2 3 4

)

1 6 4 3

(

1 2 13 24 3 24 4 6 3 4 1 6 4 3 1 2

)

3 4 1 6 4 3

(

1 2 3 4

)

1 6 4 3 1 2

(

3 4

)

1 6 4 3

(

1 2 3 4 1 6 4 3 1 2 1 10 6 60 2 15 3 4

)

2 5 8 15

(

3 4 2 5 24 60 2 5 8 15 3 4 4 21 2 7 10 21 2 7 5 7 2 3 5 8 15 24 15 24 5 4 5 6 3 4 5 4 9 10 18 20 3 20 21 20 3 20 7 20 1 3

)

2 5 8 15

(

3 4 2 5 8 15 3 4 2 7 5 7 2 3 5 6 3 4 5 4 3 20 7 20 1 3

O

1 6 420 2 520 4 9 105 280 4 9

)

14 15 7 20

(

1 3 1 560 4 680 195 520 8 9

)

20 13 15 26

(

8 9 Pág. 7

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

e) – – · + f ) 1 + – : – g) – – + · h) – + – : a) 1 – · 2 – = · = = b) 1 – : 1 + = : = = c) – · 1 + = · = = d) – : + = : = = e) – – · + = – · = + = = f ) 1 + – : – = 1 + : = 1 – = = g) – – + · = – · = – = = h) – + – : = – + : = – + = = =

23

Resuelto en el libro de texto.

PÁGINA 78

24

_{Opera paso a paso.}

a) 4 · 1 – – : 3 b) – : 7 + · 2 c) 5 · + – 2 : d) + · – – : – e) 1 – · – – · 1 + f ) – – : – 1 : – a) 4 · 1 – – : 3 = 4 · – : 3 = – : 3 = 3 : 3 = 1 b) – : 7 + · 2 = : 7 + · 2 = + · 2 = · 2 = 1 c) 5 · + – 2 : = 5 · – 2 : = – 2 : = :3 = 1 2 3 2 3 2

]

7 2

[

3 2

]

7 10

[

3 2

]

)

2 5 3 10

(

[

1 2

]

1 3 1 6

[

]

1 3 7 6

[

]

1 3

)

1 2 5 3

(

[

]

1 2 7 2

[

]

1 2 7 8

[

]

1 2

)

1 8

(

[

)

3 14 1 2

(

]

)

3 10

(

)

2 5 1 4

(

2 7

[

]

)

3 7

(

)

2 5 3 4

(

2 3

[

)

2 5

(

]

)

1 4 2 3

(

)

3 4 5 6

(

3 5

[

)

1 2 1 3

(

3 2

]

)

2 5 3 10

(

[

]

1 3

)

1 2 5 3

(

[

]

1 2

)

1 8

(

[

5 12 175 420 –35 + 210 420 70 140 1 12 7 10 7 20 1 12 7 10

)

2 5 3 4

(

)

1 3 1 4

(

1 8 165 1 320 33 88 15 30 3 11 11 8 15 30 3 11

)

5 8 3 4

(

)

3 15 7 10

(

3 7 45 105 60 105

)

–3 20

(

)

3 35

(

)

2 5 1 4

(

)

1 5 2 7

(

2 3 440 660 55 220 5 12

)

11 10

(

)

–5 22

(

5 12

)

7 10 2 5

(

)

1 2 3 11

(

5 12 2 13 20 130 13 20 1 10

)

2 5 1 4

(

)

1 2 3 5

(

1 9 5 45 5 3 1 15

)

2 3

(

)

3 5 2 3

(

2 3 24 36 9 8 3 4

)

1 8

(

)

1 4

(

2 5 14 35 7 5 2 7

)

3 5

(

)

5 7

(

7 10

)

2 5 3 4

(

)

1 3 1 4

(

3 11

)

5 8 3 4

(

)

3 15 7 10

(

)

2 5 1 4

(

)

1 5 2 7

(

)

7 10 2 5

(

)

1 2 3 11

(

5 12 Pág. 8

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

d) + · – – : – = · – : = · – = = · = e) 1 – · – – · 1 + = · – · = · – = = · = f ) – – : – 1 : – = – : : = = – : = : =

25

_{Resuelto en el libro de texto.}

26

Opera y reduce. a) b) c) d) a) = = : = 2 b) = = : = = c) = = = d) = = = : = 4 3 1 4 1 3 1 — 3 1 — 4 1 1 — : — 15 5 7 7 — : — 12 3 2 1 1

(

— – —

)

: — 5 3 5 5 2 7

(

— – —

)

: — 4 3 3 1 2 1/2 1 5 3 — · — 6 5 3 4 — · — 4 3 1 1 3

(

— + —

)

— 2 3 5 1 1 4

(

— + —

)

— 2 4 3 1 10 6 60 5 6 1 12 1 — 12 5 — 6 1 1 — – — 3 4 1 1 – — 6 7 20 7 10 7 — 10 7 — 20 3 1 – — 10 3 2 — – — 4 5 2 1 1

(

— – —

)

: — 5 3 5 5 2 7

(

— – —

)

: — 4 3 3 1 1 3

(

— + —

)

— 2 3 5 1 1 4

(

— + —

)

— 2 4 3 1 1 — – — 3 4 1 1 – — 6 3 1 – — 10 3 2 — – — 4 5 1 4 4 14 1 14 4 14

]

3 14 2 7

[

4 14

]

)

–7 10

(

)

–3 20

(

2 7

[

)

3 14 1 2

(

]

)

3 10

(

)

2 5 1 4

(

2 7

[

1 10 1 6 3 5

]

1 2 2 3

[

3 5

]

10 7 7 20 2 3

[

3 5

]

)

3 7

(

)

2 5 3 4

(

2 3

[

)

2 5

(

1 3 2 5 5 6

]

1 5 3 5

[

5 6

]

)

5 12

(

)

1 12

(

3 5

[

5 6

]

)

1 4 2 3

(

)

3 4 5 6

(

3 5

[

)

1 2 1 3

(

Pág. 9

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

otencias y fracciones

27

_{Calcula el valor de estas potencias, entregando el resultado en forma de}

fracción o, si es el caso, de número entero:

a) 2 b) 2 c) 0 d) –1 e) –2 f ) –1 a) 2= = b) 2= = c) 0= 1 d) –1= e) –2= 32_{= 9 f )} –1_{= 10}

28

_Calcula. a) 2–2 b) (–2)–2 c) –2 d) – –2 e) 2–3 f ) (–2)–3 g) –3 h) – –3 a) 2–2= = b) (–2)–2= = c) –2= 22= 4 d) – –2= (–2)2= 4 e) 2–3= = f ) (–2)–3= = – g) –3= 23= 8 h) – –3= (–2)3= –8

29

Expresa sin usar potencias negativas.

a) x–2 b) x–3 c) x– 4 d) e) f ) a) x–2= b) x–3= c) x– 4= d) = x2 e) = x3 f ) 1 = x3 x–4 1 x–3 1 x–2 1 x4 1 x3 1 x2 1 x–4 1 x–3 1 x–2

)

1 2

(

)

1 2

(

1 8 1 (–2)3 1 8 1 23

)

1 2

(

)

1 2

(

1 4 1 (–2)2 1 4 1 22

)

1 2

(

)

1 2

(

)

1 2

(

)

1 2

(

)

1 10

(

)

1 3

(

4 3

)

3 4

(

)

3 4

(

1 16 1 42

)

1 4

(

1 4 1 22

)

1 2

(

)

1 10

(

)

1 3

(

)

3 4

(

)

3 4

(

)

1 4

(

)

1 2

(

P

Pág. 10

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

30

_{Reduce a una potencia única.}

a) a5_{· a}2 _{b) a · a}2_{· a}3 _{c) x}5_{· x}–3 d) x–2_{· x}5 _{e) a}2_{· f ) · a}–3 g) x3_{· x}–2_{· x h) x}–2_{· x}–2_{· x}–2 _i) j) k) l) a) a5_{· a}2_{= a}7 _{b) a · a}2_{· a}3_{= a}6 _{c) x}5_{· x}–3_{= x}2 d) x–2_{· x}5_{= x}3 _{e) a}2_{· = a}2_{· a}2_{= a}4 _{f ) · a}–3_{= a}2_{· a}–3_{= a}–1 g) x3_{· x}–2_{· x = x}2 _{h) x}–2_{· x}–2_{· x}–2_{= x}– 6 _{i) = = a}2 j) = = a–3 k) = = x l) = = x

31

Simplifica. a) x3_· 5 _{b) x}3_: 5 _c) 4_{· b}4 d) 3: a3 _{e) (a}2₎3_· 7 _{f )} 3_: 3 a) x3· 5= = x–2 b) x3: 5= x3· x5= x8 c) 4· b4= = a4 d) 3: a3= = b–3 e) (a2)3· 7= = a–1 f ) 3: 3= : = = a3

32

Escribe con todas sus cifras estas cantidades:

a) 37 · 107 b) 64 · 1011 c) 3,5 · 1013 d) 26 · 10–5 e) 5 · 10–7 _{f ) 2,3 · 10}–8 a) 37 · 107_{= 370 000 000 b) 64 · 10}11_{= 6 400 000 000 000} c) 3,5 · 1013= 35 000 000 000 000 d) 26 · 10–5= 0,00026 e) 5 · 10–7= 0,0000005 f ) 2,3 · 10–8= 0,000000023 a9 a6 1 a9 1 a6

)

1 a3

(

)

1 a2

(

a6 a7

)

1 a

(

a3 b3_{· a}3

)

a b

(

a4· b4 b4

)

a b

(

)

1 x

(

x3 x5

)

1 x

(

)

1 a3

(

)

1 a2

(

)

1 a

(

)

a b

(

)

a b

(

)

1 x

(

)

1 x

(

x–1 x–2 x–1 x2_{· x}–4 x–2 x–3 x2_{· x}–4 x–3 a5 a8 a · a4 a3_{· a}5 a7 a5 a3· a4 a5 1 a–2 1 a–2 x–1 x2· x–4 x2· x–4 x – 3 a · a4 a3· a5 a3· a4 a5 1 a–2 1 a–2 Pág. 11

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

33

_{Expresa en forma abreviada como se ha hecho en los ejemplos.}

• 5 300 000 000 = 53 · 108 • 0,00013 = 13 · 10–5 a) 8 400 000 b) 61 000 000 000 c) 0,0007 d) 0,00000025 a) 8 400 000 = 84 · 105 b) 61 000 000 000 = 61 · 109 c) 0,0007 = 7 · 10– 4 _{d) 0,00000025 = 25 · 10}–8

roblemas con números fraccionarios

34

_{Un barco lleva recorridas las tres décimas partes de un viaje de 1 700}

mi-llas. ¿Cuántas millas le faltan todavía por recorrer?

Le faltan por recorrer 1 190 millas.

• Recorridas: 8 Faltan: de 1 700 = = 1 190 millas.

35

Por tres cuartos de kilo de cerezas hemos pagado 1,80 €. ¿A cómo está el kilo?

El kilo de cerezas está a 2,40 €.

• de kg son 1,80 € 8 de kg son = 0,60 € • 1 kg = de kg son 4 · 0,60 = 2,40 €

36

_{Julio ha contestado correctamente a 35 preguntas de un test, lo que}

su-pone 7/12 del total. ¿Cuántas preguntas tenía el test?

El test tiene 60 preguntas.

• son 35 preguntas 8 son = 5 preguntas.

• El total son 8 12 · 5 = 60 preguntas.

37

_{Amelia ha gastado 3/8 de sus ahorros en la compra de un teléfono móvil}

que le ha costado 90 €. ¿Cuánto dinero le queda todavía?

Le quedan 150 €.

• son 90 € 8 son = 30 €

• Le quedan , que son 5 · 30 € = 150 €5 8 90 3 1 8 3 8 12 12 35 7 1 12 7 12 4 4 1,80 3 1 4 3 4 7 · 1 700 10 7 10 3 10

P

Pág. 12

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

PÁGINA 79

38

_{Durante un apagón de luz, se consumen tres décimas partes de una vela}

de cera. Si el cabo restante mide 21 cm, ¿cuál era la longitud total de la vela?

La longitud de la vela era de 30 cm.

• Consume 8 quedan , que son 21 cm.

• es = 3 cm, y el total es 8 10 · 3 = 30 cm

39

_{El muelle de un resorte alcanza, estirado, 5/3 de su longitud inicial. Si}

es-tirado mide 4,5 cm, ¿cuánto mide en reposo?

El resorte en reposo mide 2,7 cm.

• de la longitud son 4,5 cm 8 es = 0,9 cm

• El total, , es 3 · 0,9 = 2,7 cm

40

_{La tercera parte de los 240 viajeros que ocupan un avión son europeos, y}

2/5, africanos. El resto son americanos. ¿Cuántos americanos viajan en el avión?

Viajan 64 americanos.

• Europeos y africanos: + = de 240 pasajeros.

• El resto serán de 240 8 · 240 = 64 americanos.

41

_{Bernardo tiene 1 500 € en su cuenta y gasta 2/5 en una cadena musical y}

la cuarta parte de lo que le queda en una colección de discos. ¿Qué fracción le queda del dinero que tenía? ¿Cuánto le queda?

Le queda del dinero, que son 675 €. 1

— del resto, discos 4 2 — cadena 5 9 9 Quedan — de 1 500 8 — · 1500 = 675 € 20 20 9 20 4 15 4 15 11 15 2 5 1 3 3 3 4,5 5 1 3 5 3 10 10 21 7 1 10 7 10 3 10 Pág. 13

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

42

_{Un granjero tiene a finales de mayo unas reservas de 2 800 kg de pienso}

para alimentar a su ganado. En junio gasta 3/7 de sus existencias, y en julio, 3/4 de lo que le quedaba. ¿Cuántos kilos de pienso tiene a primeros de agosto?

Tiene 400 kg de pienso.

43

Dos problemas similares.

a) De un tambor de detergente de 5 kg se han consumido 3 kg. ¿Qué fracción queda del contenido original?

b) De un tambor de detergente de 5 kg se han consumidos dos kilos y tres cuar-tos. ¿Qué fracción queda del contenido original?

a) Quedan del tambor.

b) Quedan del tambor.

2 kg

9

Quedan — del total 20 3 3 — de kg 8 Gasta 2 y — kg 4 4 9 20 5 kg 2 Quedan — del total

5 3

Gasta 3 kg, — del total 5 2 5 3 — resto 4 3 — Julio 7 4 1 1

Quedan — = — del total 8 — · 2800 = 400 kg

28 7 7

Pág. 14

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

44

_{Un frasco de perfume tiene una capacidad de 1/20 de litro. ¿Cuántos}

fras-cos se pueden llenar con un bidón que contiene tres litros y medio?

Se pueden llenar 70 frascos.

• 3,5 l = 3 + l = l en el bidón.

• : = 70 8 70 frascos.

45

_{Una empresa comercializa jabón líquido en envases de plástico con una}

capacidad de 3/5 de litro. ¿Cuántos litros de jabón se necesitan para llenar 100 envases?

Se necesitan 60 l.

• (100 envases) · l cada envase = = 60 l

46

_{La abuela ha hecho dos kilos y cuarto de mermelada y con ella ha}

llena-do seis tarros iguales. ¿Qué fracción de kilo contiene cada tarro?

Cada tarro contiene de kg.

• 2 kg y cuarto 8 2 + kg = kg

• kg : (6 tarros) = = de kg cada tarro.

47

Virginia recibe el regalo de un paquete de discos. En la primera semana escucha 2/5 de los discos, y en la segunda, 4/5 del resto. Si aún le quedan tres sin escuchar, ¿cuántos discos había en el paquete?

Había 25 discos.

4

2.ª semana: — del resto 5

3

8 Quedan —, que son 3 discos 8 Había 25 discos 25

2

1.ª semana: — del total 5 3 8 9 4 · 6

)

9 4

(

9 4

)

1 4

(

3 8 100 · 3 5

)

3 5

(

1 20 7 2 7 2

)

1 2

(

Pág. 15

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

48

_{Un jardinero poda el lunes 2/7 de sus rosales; el martes, 3/5 del resto, y}

el miércoles finaliza el trabajo podando los 20 que faltaban. ¿Cuántos rosales tiene en total en el jardín?

El jardín tiene 70 rosales.

8 total, ; que son 35 · 2 = 70 rosales.

49

Una familia gasta 2/5 de su presupuesto en vivienda y 1/3 en comida. Cubiertos estos gastos, aún le quedan 400 € cada mes. ¿A cuánto ascienden sus ingresos mensuales?

Los ingresos mensuales son de 1 500 €. • Vivienda y comida: + =

• Quedan 1 – = , que son 400 € 8 serán = 100 € • El total, , son 15 · 100 = 1 500 €.

50

Una amiga me pidió que le pasase un escrito al ordenador. El primer día pasé 1/4 del trabajo total; el segundo, 1/3 de lo restante; el tercero, 1/6 de lo que faltaba, y el cuarto lo concluí, pasando 30 folios. ¿Puedes averiguar cuán-tos folios tenía el escrito?

El escrito tenía 72 folios.

30

8 Quedan 30 folios, — = 6 folios cada cuadro 8 5 8 Total = 6 · 12 = 72 folios 1 1.er _{día, — 6} 4 1

2.º día, — del resto 3

1

8 3.er _{día, — del resto}

6 6 6 6 6 6 15 15 400 4 1 15 4 15 11 15 11 15 1 3 2 5 35 35 3

Martes, — del resto 5

10 1 20

Miércoles, —; que son 20 rosales 8 — serán — = 2 rosales

35 35 10

2 Lunes, — 7

Pág. 16

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

tros problemas

51

_{María recoge en su huerta una cesta de manzanas. De vuelta a casa, se}

en-cuentra a su amiga Sara y le da la mitad de la cesta más media manzana. Después, pasa a visitar a su tía Rosa y le da la mitad de las manzanas que le que-daban más media manzana. Por último, se encuentra con su amigo Francisco y vuelve a hacer lo mismo: le da la mitad más media.

Entonces se da cuenta de que tiene que volver a la huerta porque se ha queda-do sin nada.

¿Cuántas manzanas cogió, teniendo en cuenta que en ningún momento partió ninguna?

Cogió 7 manzanas. Comprobamos:

• Sara recibe: 7 + = 4 manzanas 8 sobran 3

• Rosa recibe: 3 + = 2 manzanas 8 sobra 1

• Francisco recibe: 1 + = 1 manzana 8 sobra 0

52

En el baile, tres cuartas partes de los hombres están bailando con tres quintas partes de las mujeres. ¿Qué fracción de los asistentes no está bailando?

No bailan de los asistentes.

(*) Teniendo en cuenta que el n.° de hombres y mujeres que baila ha de ser igual, ya que bailan por parejas.

6

— del total bailan 9

3 1

— = — del total no bailan 9 3 HOMBRES BAILAN (*) MUJERES 3 — de hombres bailan 4 3 — de mujeres bailan 5 1 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

O

Pág. 17

Unidad 3. Las fracciones

° § § § § ¢ § § § § £

3

Soluciones a los ejercicios y problemas

53

_{Un arriero tiene en su cuadra una mula, un burro y un caballo. Cuando}

lleva a trabajar la mula y el caballo, pone 3/5 de la carga en la mula y 2/5 en el caballo. Sin embargo, cuando lleva el caballo y el burro, pone 3/5 de la carga en el caballo y 2/5 en el burro.

¿Cómo distribuirá la carga hoy si lleva los tres animales y tiene que transpor-tar una carga de 190 kg?

La mula llevará 90 kg, el burro, 40 kg, y el caballo, 60 kg.

• Si el burro lleva una carga de 1:

— Carga del caballo, carga del burro = · 8

— Carga de la mula, carga del caballo 8

La proporción es: burro 4, caballo 6, mula 9.

Total: 4 + 6 + 9 = 19 8 burro , caballo , mula .

• Mula: de la carga = · 190 = 90 kg • Caballo: de la carga = · 190 = 60 kg • Burro: de la carga = 4 · 190 = 40 kg 19 4 19 6 19 6 19 9 19 9 19 9 19 6 19 4 19 9 4 3 2 3 2

)

2 5 3 2 3 5

(

3 2 Pág. 18

Unidad 3. Las fracciones

° § § § § ¢ § § § § £

2

Soluciones a los ejercicios y problemas

PÁGINA 54

i s t e m a d e n u m e r a c i ó n d e c i m a l

1

Copia y completa. a) 5 décimas = … milésimas b) 2 milésimas = … millonésimas c) 6 cienmilésimas = … centésimas d) 8 millonésimas = … milésimas a) 5 décimas = 500 milésimas b) 2 milésimas = 2 000 millonésimas c) 6 cienmilésimas = 0,006 centésimas d) 8 millonésimas = 0,008 milésimas

2

Ordena de menor a mayor en cada caso: a) 5,1; 5,099; 4,83; 4,9; 4,99

b) 0,21; 0,03; 0,15; 0,209; 0,101; 0,121

a) 4,83 < 4,9 < 4,99 < 5,099 < 5,1

b) 0,03 < 0,101 < 0,121 < 0,15 < 0,209 < 0,21

3

_{Escribe el número asociado a cada letra:}

A = 2,20 B = 2,26 C = 2,38 D = 2,40

M = –0,18 N = –0,10 P = 0,05 R = 0,20

4

_{Copia y completa la tabla.}

N Ú M E R O _2,)_{7 5,29}) _4,6)₅₁ A P R O X I M A C I Ó N A L A S U N I D A D E S A P R O X I M A C I Ó N A L A S D É C I M A S A P R O X I M A C I Ó N A L A S C E N T É S I M A S A P R O X I M A C I Ó N A L A S M I L É S I M A S A 2,23 B 2,3 C D M N 0 P 0,1 R

S

Pág. 1

2

Soluciones a los ejercicios y problemas

p e r a c i o n e s c o n n ú m e r o s d e c i m a l e s

5

Calcula. a) 3,2 – 1,63 – 0,528 b) 0,85 + 1,23 – 0,638 – 0,4 c) 3,458 – (6,7 – 4,284) d) 5,2 – (2,798 + 1,36) a) 3,2 – 1,63 – 0,528 = 3,2 – 2,158 = 1,042 b) 0,85 + 1,23 – 0,638 – 0,4 = 2,08 – 1,038 = 1,042 c) 3,458 – (6,7 – 4,284) = 3,458 – 2,416 = 1,042 d) 5,2 – (2,798 + 1,36) = 5,2 – 4,158 = 1,042

6

Multiplica con la calculadora y aproxima el producto a las centésimas.

a) 2,63 · 0,84 b) 4,11 · 3,13

c) 0,635 · 4,22 d) 0,27 · 0,086

a) 2,63 · 0,84 = 2,21 b) 4,11 · 3,13 = 12,86 c) 0,635 · 4,22 = 2,68 d) 0,27 · 0,086 = 0,02

7

_{Divide con la calculadora y aproxima el cociente a las milésimas.}

a) 62,35 : 12 b) 5,27 : 153 c) 48,542 : 2,1 d) 5,7 : 0,045 a) 62,35 : 12 = 5,196 b) 5,27 : 153 = 0,034 c) 48,542 : 2,1 = 23,115 d) 5,7 : 0,045 = 126,667

8

Opera. a) 5,8 – 3,2 · 1,6 – 0,29 b) (5,8 – 3,2) · 1,6 – 0,29 c) 5,8 – 3,2 · (1,6 – 0,29) d) 5,8 – (3,2 · 1,6 – 0,29) a) 5,8 – 3,2 · 1,6 – 0,29 = 5,8 – 5,12 – 0,29 = 5,8 – 5,41 = 0,39 b) (5,8 – 3,2) · 1,6 – 0,29 = 2,6 · 1,6 – 0,29 = 4,16 – 0,29 = 3,87 c) 5,8 – 3,2 · (1,6 – 0,29) = 5,8 – 3,2 · 1,31 = 5,8 – 4,192 = 1,608 d) 5,8 – (3,2 · 1,6 – 0,29) = 5,8 – (5,12 – 0,29) = 5,8 – 4,83 = 0,97

O

N Ú M E R O _2,7) _5,)_{29 4,651}) A P R O X I M A C I Ó N A L A S U N I D A D E S 3 5 5 A P R O X I M A C I Ó N A L A S D É C I M A S 2,8 5,3 4,7 A P R O X I M A C I Ó N A L A S C E N T É S I M A S 2,78 5,29 4,65 A P R O X I M A C I Ó N A L A S M I L É S I M A S 2,778 5,293 4,652 Pág. 2

2

Soluciones a los ejercicios y problemas

9

_{Obtén con la calculadora y aproxima el resultado a las centésimas.}

a) b) c) a) = 29,17 b) = 3,65 c) = 16,20

p e r a c i o n e s e n e l s i s t e m a s e x a g e s i m a l

10

_{Expresa en horas.} a) 48 min b) 66 min c) 6 120 s a) 48 min = (48 : 60) h = 0,8 h b) 66 min = (66 : 60) h = 1,1 h c) 6 120 s = (6 120 : 3 600) h = 1,7 h

11

_{Pasa a forma compleja.}

a) 12 639'' b) 756,25' c) 45,15°

a) 12 639'' = 3° 30' 39''

b) 756,25' = 12° 36' 15''

c) 45,15° = 45° + (0,15 · 60)' = 45° 9'

12

Pasa a horas, minutos y segundos.

a) 8,42 h b) 123,45 min c) 12 746 s

a) 8,42 h = 8 h + (0,42 · 60)min = 8 h 25,2 min = 8 h 25 min + (0,2 · 60)s = = 8 h 25 min 12 s b) 123,45 min = 2 h 3 min 27 s c) 12 746 s = 3 h 32 min 26 s 12 746 s 60 26 s 212 min 60 32 min 3 h 123,45 min 60 3,45 min 2 h

3,45 min = 3 min + (0,45 · 60)s = 3 min 27 s 756,25' 60 36,25' 12° 36,25' = 36' + (0,25 · 60)'' = 36' 15'' 12 639'' 60 39'' 210' 60 30' 3°

O

√262,3 √13,29 √851 √262,3 √13,29 √851 Pág. 3

2

Soluciones a los ejercicios y problemas

13

_Calcula. a) 37° 50' 18'' + 25° 39' b) 53° 27' 46'' + 39° 43' 32'' c) (3 h 13 min) – (1 h 52 min 28 s) d) (4 h 16 min 24 s) – (2 h 39 min 51 s) a) 37° 50' 18'' + 25° 39' = 62° 89' 18'' = 63° 29' 18'' b) 53° 27' 46'' + 39° 43' 32'' = 92° 70' 78'' = 93° 11' 18''

c) (3 h 13 min) – (1 h 52 min 28 s) = (2 h 72 min 50 s) – (1 h 52 min 28 s) = = 1 h 20 min 32 s

d) (4 h 16 min 24 s) – (2 h 39 min 51 s) = (3 h 75 min 84 s) – (2 h 39 min 51 s) = = 1 h 36 min 33 s

14

Calcula. a) (14 min 16 s) · 8 b) (26° 52' 10'') · 5 c) (59° 46' 18'') : 6 d) (2 h 25 min 36 s) : 12

a) (14 min 16 s) · 8 = 112 min 128 s = 1 h 54 min 8 s b) (26° 52' 10'') · 5 = 130° 260' 50'' = 134° 20' 50'' c) (59° 46' 18'') : 6 = 9° 57' 43'' d) (2 h 25 min 36 s) : 12 = 0 h 12 min 8 s 2 h 25 min 36 s 12 |_Ä8· 60 _{120 min 0 h 12 min 8 s} 145 min 1 min |_Ä8· 60 _{60 s} 96 s 0 s 59° 46' 18'' 6 5° 9° 57' 43'' |_Ä8· 60 _300' 346' 4' |_Ä8· 60 _240'' 258'' 0'' Pág. 4

2

Soluciones a los ejercicios y problemas

a r a i r m á s l e j o s

15

Continúa en tres términos cada serie: a) 2,37 - 2,16 - 1,95 - 1,74 - … b) 5 - 1 - 0,2 - 0,4 - … c) 0,24 - 1,2 - 6 - 30 - … a) 2,37 - 2,16 - 1,95 - 1,74 - 1,53 - 1,32 - 1,11 b) 5 - 1 - 0,2 - 0,4 - 0,008 - 0,0016 - 0,00032 c) 0,24 - 1,2 - 6 - 30 - 150 - 750 - 3 750

16

Calcula cada resultado con un error menor que una centésima: a) 4,

)

6 + 6,4

)

8 b) 6 – 2,

)

29

c) 4,2864 · 0,03 d) 6,28 : 9

Redondeando a las centésimas el error será < 0,005: a) 4,6 + 6,4

)

8 = 4,67 + 6,49 = 11,16

)

b) 6 – 2,29 = 6 – 2,29 = 3,71

)

c) 4,2864 · 0,03 = 0,13 d) 6,28 : 9 = 0,70

r o b l e m a s c o n n ú m e r o s d e c i m a l e s

17

_{¿Cuánto cuestan dos kilos y ochocientos gramos de manzanas a 1,65 € el}

kilo?

Cuestan 4,62 €.

2 kg + 800 g = 2,8 kg 8 (2,8 kg) · (1,65 €/kg) = 4,62 €

PÁGINA 55

18

_{¿Cuánto pagaré si compro 1,083 kg de salmón a 9,75 €/kg? (Atención al}

redondeo).

Pagaré 10,56 €.

(1,083 kg) · (9,75 €/kg) = 10,55925 € 8 10,56 €

19

_{Una llamada telefónica a Canadá de 13,5 min ha costado 9,45 €. ¿Cuál}

es el precio por minuto?

El precio es de 0,70 €/min. (9,45 €) : (13,5 min) = 0,70 €/min

P

(· 5) Ä8 (: 5) Ä8 (–0,21) ÄÄ8

P

Pág. 5

2

Soluciones a los ejercicios y problemas

20

_{Para fabricar 3 500 dosis de cierto medicamento, se necesitan 1,96 kg de}

principio activo. ¿Cuántos gramos de principio activo lleva cada dosis?

Cada dosis lleva 0,56 g de principio activo.

1,96 kg = 1 960 g 8 (1 960 g) : (3 500 dosis) = 0,56 g/dosis

21

_{Hemos gastado 6,08 € en la compra de un trozo de queso que se vende a}

12,80 €/kg. ¿Cuánto pesa la porción adquirida?

Pesa 475 g.

(6,08 €) : (12,80 €/kg) = 0,475 g

22

_{Una sandía de 2 kilos y 625 gramos ha costado 4,2 €. ¿A cómo sale el kilo?}

1,6 €/kg

(4,2 €) : (2,625 kg) = 1,6 €/kg

23

Para celebrar una fiesta, trece amigos adquieren: — 6 botellas de refresco a 1,65 € la botella.

— 1,120 kg de jamón a 27,75 €/kg. — 5 barras de pan a 0,85 € la barra. — 350 g de cacahuetes a 9,60 €/kg. — 0,8 kg de patatas fritas a 5,80 €/kg. ¿Cuánto debe poner cada uno?

Cada uno debe poner 4,10 € y sobrarán 0,07 €. — Refrescos: 6 · 1,65 € = 9,9 € — Jamón: (1,120 kg) · (27,75 €/kg) = 31,08 € — Pan: 5 · 0,85 € = 4,25 € — Cacahuetes: (0,350 kg) · (9,60 €/kg) = 3,36 € — Patatas fritas: (0,8 kg) · (5,80 €/kg) = 4,64 € Total: 53,23 € 53,23 : 13 = 4,0946…

Si cada uno pone 4,09 €, el total no es suficiente 8 cada uno tiene que poner 4,10€ y sobrarán 0,07 €.

24

_{Una empresa inmobiliaria adquiere un terreno rectangular de 125,40 m}

de largo y 74,60 m de ancho por 350 000 €. Después, lo urbaniza, con un cos-te de 62 528,43 €. Y, por último, lo divide en parcelas y lo pone a la venta a 52,75 € el metro cuadrado. ¿Qué beneficio espera obtener?

Espera obtener un beneficio de 80 939,38 €. • Paga por terrenos: 350 000 €

• Paga por urbanizar: 62 528,43 €

• Gana en venta: (52,75 €/m2_{) · (125,40 m · 74,60 m) = 493 467,81 €}

Beneficio = 493 467,81 € – 350 000 € – 62 528,43 € = 80 939,38 €

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