En un triangle isòsceles, els costats iguals fan 7 cm i l altre fa 4 cm. Calcula n l àrea.

8

En un triangle isòsceles, els costats iguals fan 7 cm i l’altre fa 4 cm. Calcula’n l’àrea.

Agafem el costat desigual com a base, b= 4 cm, i calculem l’altura, h, mitjançant el teorema de Pitàgores.

Considerant aquesta part del triangle, apliquem el teorema de Pitàgores i aïllem h.

Calculem l’àrea amb la fórmula general:

Àrea=

Àrea base altura 2

= ⋅

4

La hipotenusa d’un triangle rectangle fa 12 cm i un dels catets fa 7,5 cm. Calcula la longitud de l’altre catet.

5

L’àrea d’un triangle rectangle és 12 cm2_{i un dels catets fa 6 cm.} Troba la longitud de la hipotenusa.

6

Una escala de 5 metres de llargada està recolzada a una paret, de manera que la base està situada a 4 metres de la paret. A quina alçada arriba l’escala?

7 h h base_{= 4 cm} 7 cm 7 cm 7 cm 2 cm 72_{= 2}2_{+ h}2 5 m 4 m h= x 831110 _ 0337-0344.qxd 20/7/07 17:32 Página 340

8

OBJECTIU 3

CALCULAR ÀREES DE POLÍGONS I DE FIGURES CIRCULARS

ÀREES DE QUADRILÀTERS

Àrea del quadrat Àrea del triangle Àrea del rectangle

A= l ⋅ l A= b ⋅ a

Àrea del paral·lelogram Àrea del trapezi Àrea del rombe

A= b ⋅ h A = D⋅d 2 A = ⎛B+b h ⎝ ⎜⎜⎜ 2 ⎞_⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ A = base⋅altura = b⋅h 2 2 l l B b b b a h h

Calcula l’àrea dels polígons següents:

a) Trapezi de bases 12 cm i 8 cm, i altura 5 cm. b) Rombe de diagonals 12 cm i 9 cm.

c) Rombe de diagonal gran 8 cm i costat 5 cm.

1

ÀREA D’UN POLÍGON REGULAR

• Un polígon és regular quan els costats tenen la mateixa longitud i els angles són iguals. • L’àrea d’un polígon regular és igual a la meitat del producte del perímetre per l’apotema:

A = P ⋅a 2

ÀREA D’UN POLÍGON QUALSEVOL

Si el polígon del qual volem calcular l’àrea no és regular, la fórmula anterior no ens serveix. Podem trobar-ne l’àrea si el dividim en triangles o figures d’àrees conegudes, després calculem l’àrea de cada una de les figures i sumem les àrees resultants.

h h D d PROPOSTES PER A L’ADAPTACIÓ CURRICULAR

Calcula l’àrea del pentàgon regular següent:

Costat: l

Perímetre:P= l + l + l + l + l = 5l Apotema:a

Veiem que són cinc triangles iguals:

Àrea del pentàgon= A1+ A2+ A3+ A4+ A5

Àrea del pentàgon= l⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ = ⋅a l a l a l a l a l a P a

2 2 2 2 2

5

2 2

Àrea base altura 2

= ⋅ = ⋅l a 2

8

EXEMPLE

Calcula l’àrea de les figures següents:

a) b)

El primer que hem de fer és dividir la superfície en polígons dels quals sapiguem calcular l’àrea.

Calculem l’àrea total:

a) A1=

冧

→ A = b) A1=

冧

→ A = A2= A2= A3= A4= 2 8 cm 2 cm 4,5 cm 5 cm G F GF GF GF G F 2,5 cm G F 4,5 cm 12 cm 5 cm 14 cm A1 A3 A4 A2 G F G F G F GF GF 9 cm 3 cm l l l l l l a A1 A5 A2 A3 A4 a A2 A1 a) b) 831110 _ 0337-0344.qxd 20/7/07 17:32 Página 342

Àrea del cercle Àrea del sector circular

Àrea de la corona circular

8

␣ r r R r A= π⋅r ⋅α 2 360 A=␲⋅ r2 A=␲⋅ (R2_{− r}2₎

Calcula l’àrea d’un cercle el diàmetre del qual és igual que el perímetre d’un quadrat de 7 cm de costat.

3

Determina l’àrea d’un sector circular d’amplitud un angle recte i de radi 10 cm. 4

Troba l’àrea d’una corona circular limitada per dues circumferències de radis 2 cm i 1 cm. 5

PROPOSTES PER

8

Calcula l’àrea de les figures següents:

a) b) 6 5 cm 40° 1,5 cm 1 cm 4 cm 2 cm 2 cm 4 cm 8,5 cm 90° 831110 _ 0337-0344.qxd 20/7/07 17:32 Página 344

Cossos geomètrics

9

INTRODUCCIÓ

Els cossos geomètrics estan presents en múltiples contextos de la vida real, per això és important estudiar-los. És interessant construir diferents cossos geomètrics a partir del seu desenvolupament en paper o cartó i, d’aquesta manera, facilitar l’aprenentatge i el raonament posteriors del procés d’obtenció d’àrees i volums, sense necessitat d’aprendre’n les fórmules de memòria.

En el cas dels poliedres regulars, cal parar una atenció especial a estudiar els prismes i les piràmides, de manera que en caracteritzem els elements i n’assenyalem les semblances i les diferències. També estudiarem els cossos que s’obtenen quan es fa girar una figura al voltant d’un eix, els cossos de revolució: el cilindre, el con i l’esfera.

L’aplicació del teorema de Pitàgores a l’espai és un dels continguts de la unitat que pot presentar més dificultats; per això s’explica, pas a pas, en diversos exercicis en els quals es guia l’alumne perquè els completi.

RESUM DE LA UNITAT

• Un poliedre és un cos geomètric limitat per quatre polígons o més, anomenats cares del poliedre. Els costats i els vèrtexs de les cares són les arestes i els vèrtexs del poliedre.

• En tots els poliedres convexos es compleix la fórmula d’Euler: C+ V = A + 2.

• Un poliedre és regular si les seves cares són polígons regulars iguals: tetraedre, octaedre, icosaedre, cub i dodecaedre.

• Per calcular longituds en l’espai, i sempre que es formin triangles rectangles, podem aplicar el teorema de Pitàgores.

PROPOSTES PER

A L’ADAPTACIÓ CURRICULAR

1. Classificar poliedres.

2. Diferenciar els elements i els

tipus de prismes i piràmides.

3. Conèixer i aplicar el teorema

de Pitàgores a l’espai.

4. Calcular l’àrea de prismes

i piràmides.

5. Calcular l’àrea de cossos

rodons.

6. Calcular el volum de cossos

geomètrics.

• Cares, arestes i vèrtexs.

• Poliedres còncaus, convexos i regulars. • Fórmula d’Euler.

• Prismes: elements i tipus. • Piràmides: elements i tipus. • Càlcul de la diagonal d’un ortoedre. • Càlcul de l’altura d’una piràmide.

• Aplicació del teorema de Pitàgores a l’espai per calcular longituds.

• Àrea lateral i àrea total d’un prisma recte. • Àrea lateral i àrea total d’una piràmide recta.

• Utilització de les fórmules de les àrees de prismes i piràmides per resoldre problemes geomètrics.

• Àrea lateral i àrea total: cilindre i con. • Àrea d’una esfera.

• Volum de l’ortoedre, del prisma i del cilindre. • Volum del con i de la piràmide.

• Volum de l’esfera.

• Utilització de les fórmules de les àrees de cilindres, cons i esferes per resoldre problemes geomètrics.

• Utilització de les fórmules de les àrees de cossos geomètrics per resoldre problemes.

OBJECTIU 1

CLASSIFICAR POLIEDRES

9

• Un poliedre és un cos geomètric que està limitat per quatre polígons o més. El polígons que limiten el poliedre s’anomenen cares.

Els costats de les cares s’anomenen arestes. Els vèrtexs de les cares s’anomenen vèrtexs.

• Poliedre convex: quan en prolonguem les cares, • Poliedre còncau: quan en prolonguem les cares, no tallen el poliedre. alguna talla el poliedre.

• Poliedres regulars: totes les cares són polígons regulars iguals i en cada vèrtex s’uneixen el mateix nombre de cares.

Només hi ha cinc poliedres regulars:

Tetraedre Cub Octaedre Dodecaedre Icosaedre

Aresta Cara Cara Vèrtex

FÓRMULA D’EULER

En tots els poliedres convexos es compleix sempre una relació, coneguda amb el nom de fórmula d’Euler, que vincula el nombre de cares (C), el nombre d’arestes (A) i el nombre de vèrtexs (V ):

C ++ V = A + 2

N. de cares N. de vèrtexs N. d’arestes

Comprova que es compleix la fórmula d’Euler per al tetraedre.

N. de cares = 4 N. de vèrtexs = 4 N. d’arestes = 6 C + V = A + 2 → 4 + 4 = 6 + 2 → 8 = 8

EXEMPLE

Comprova que la resta de poliedres regulars verifiquen la fórmula d’Euler: 1 POLIEDRE Cub Octaedre Dodecaedre Icosaedre

CARES VÈRTEXS ARESTES FÓRMULA D’EULER:

C ₊V ₌A _{+ 2}

NOM: CURS: DATA:

9

OBJECTIU 2

DIFERENCIAR ELS ELEMENTS I ELS TIPUS DE PRISMES I PIRÀMIDES

PRISMES

• Un prisma és un poliedre que té dues cares, que són polígons iguals i paral·lels entre si, anomenades bases; les altres cares laterals són paral·lelograms.

• L’altura d’un prisma és la distància entre les bases. • Prisma recte: les cares laterals són totes rectangles

i, per tant, perpendiculars a les bases. • Prisma oblic: les cares laterals no són totes

rectangles.

• Segons la forma de la base, els prismes es classifiquen en triangulars, quadrangulars, pentagonals...

• Prisma regular: és un prisma recte que té com a bases polígons regulars.

• Paral·lelepípedes: són els prismes que tenen com a bases paral·lelograms. • Ortoedre: és un paral·lelepípede recte.

PIRÀMIDES

• Una piràmide és un poliedre que té com a base un polígon i les cares laterals són triangles que concorren en un vèrtex comú, anomenat vèrtex de la piràmide.

• L’altura d’una piràmide és la distància del vèrtex a la base.

• Piràmide recta: les cares laterals són • Piràmide obliqua: les cares laterals no són totes totes triangles isòsceles. triangles isòsceles.

• Segons la forma de la base, les piràmides es classifiquen en triangulars, quadrangulars, pentagonals...

• Piràmide regular: és una piràmide que té com a base un polígon regular.

• Apotema: és l’altura de qualsevol de les cares laterals d’una piràmide regular.

Base Base Altura Aresta Cara lateral

Prisma recte Prisma oblic

Prisma pentagonal regular

Base Altura Aresta Vèrtex Apotema F F F PROPOSTES PER A L’ADAPTACIÓ CURRICULAR

OBJECTIU 3

CONÈIXER I APLICAR EL TEOREMA DE PITÀGORES A L’ESPAI

9

El teorema de Pitàgores es pot aplicar a tots els contextos en què es formen triangles rectangles. Té moltes aplicacions per calcular longituds de cossos a l’espai.

• Càlcul de la diagonal d’un ortoedre, conegudes les longituds dels costats, m, n i p.

CA= CD=

• Càlcul de l’altura d’una piràmide quadrangular regular, conegudes les longituds del costat de la base i l’aresta a. h2_{= a}2_{− OV}2_{= a}2₋ l l 2 2 2 2 → h = a - 2 m2 ₊ n2 ₊ p2 m2 ₊ n2 B C D p A m n a _h O V l

Calcula la diagonal de l’ortoedre de la figura.

• Considerem la cara inferior de l’ortoedre:

• Apliquem el teorema de Pitàgores:

h2_{= 3}2_{+ 5}2 _{→ h}2_{= 9 + 25 → h}2_{= 34 → h = → h = 5,83 cm}

• Comprovem que la diagonal és la hipotenusa de:

• Apliquem el teorema de Pitàgores:

x2_{= 3}2_{+ 5,83}2 _{→ x}2_{= 9 + 34 → x}2_{= 43 → x = → x = 6,56 cm} La diagonal fa x = 32₊32₊52 ₌ 43 = 6,56 cm. 43 43

EXEMPLE

3 cm 3 cm h 3 cm

Vista des de dalt

3 cm 5 cm 3 cm 5 cm 3 cm x 5,83 cm 5,83 cm 5 cm 5 cm F F

NOM: CURS: DATA:

Troba l’aresta d’un cub si saps que la diagonal fa 12 cm. (Recorda que en un cub tots els costats tenen la mateixa mida.) 2

9

Calcula la diagonal d’aquest ortoedre: 1

• Considerem la base i apliquem el teorema de Pitàgores:

• Ara tenim:

• Apliquem el teorema de Pitàgores:

Donada una piràmide de base quadrada, de 7 cm de costat i de 10 cm d’aresta lateral, calcula la diagonal. 3 10 cm 7 cm 7 cm h 10 cm 10 cm h h 7 cm d d2_{= … + …} 102_{= + h}2 d_/2= d_/2 12 cm 2 cm 4 cm 5 cm G F PROPOSTES PER A L’ADAPTACIÓ CURRICULAR

OBJECTIU 4

CALCULAR L’ÀREA DE PRISMES I PIRÀMIDES

9

ÀREA DE PRISMES RECTES

Per calcular l’àrea d’un prisma recte ens fixem en el seu desenvolupament: el prisma recte està format per un rectangle i dos polígons que en són les bases.

• Àrea lateral: és l’àrea del rectangle, un dels costats del qual coincideix amb el perímetre de la base i l’altre amb l’altura del prisma.

AL= perímetre de la base ⋅ altura = PB⋅ h

• Àrea total: és la suma de l’àrea lateral i l’àrea de les bases.

AT= àrea lateral + 2 ⋅ àrea de la base = PB⋅ h + 2 ⋅ AB

Perímetre de la base: PB 2 cm x 2 cm 8 cm 2 cm 2 cm 8 cm 3,1 cm 2 cm A5 A4 A2 A3 A1 x 3,1 cm 8 cm 3,1 cm B h h

Donat aquest prisma recte de base un triangle rectangle, calcula’n l’àrea total. 1

• Per trobar el valor de x, que és un dels catets del triangle rectangle, apliquem el teorema de Pitàgores:

(3,1)2_{= x}2_{+ 2}2

x=

...

• Per calcular l’àrea total determinem l’àrea de cada una de les sis cares del prisma, i després les sumem per obtenir l’àrea total:

A1= A2= A3=

A4= A5=

Àrea total= A1+ A2+ A3+ A4+ A5=

A1, A2, A3són rectangles. La seva àrea és el producte de base per altura.

A4, A5són triangles rectangles. L’àrea és la base per l’altura dividit

per 2, o sigui, el producte dels catets dividit per 2.

F

F

NOM: CURS: DATA:

9

A5 A4 A2 A1 A3 A6 8 cm h 7 cm 7 cm 7 cm 7 cm 7 cm 8 cm 8 cm 8 cm 2 cm 16,5 cm 6,4 cm 9,5 cm Base = rectangle 8 cm 8 cm 8 cm

Calcula l’àrea del prisma oblic de base quadrangular de la figura. 2

Troba l’àrea lateral i l’àrea total d’un ortoedre de 6,4× 9,5 cm de base i 16,5 cm d’altura.

3

• Per trobar el valor de h apliquem el teorema de Pitàgores:

• Per calcular l’àrea total determinem l’àrea de cada una de les sis cares del prisma, i després les sumem:

A1=

...

⋅

...

= A4=

...

⋅

...

=

A2=

...

⋅

...

= A5=

...

⋅

...

=

A3=

...

⋅

...

= A6=

...

⋅

...

=

Àrea total= A1+ A2+ A3+ A4+ A5+ A6=

Àrea lateral = perímetre de la base ⋅ altura =

Àrea total = àrea lateral + 2 ⋅ àrea de la base =

F

2 cm

PROPOSTES PER

9

ÀREA DE PIRÀMIDES RECTES

Per trobar l’àrea d’una piràmide recta ens fixem en el seu desenvolupament: està formada per la base i tants triangles com costats té la base.

• Àrea lateral: és l’àrea formada per la suma de les àrees dels triangles. • Àrea total: és la suma de l’àrea lateral i l’àrea de la base: AT= AL+ AB.

• Si el polígon de la base és regular, el càlcul és més senzill, perquè totes les cares laterals són iguals i només cal trobar l’àrea d’un triangle i multiplicar pel nombre de triangles per obtenir l’àrea lateral.

Calcula l’àrea de la piràmide de base quadrada de la figura. Has de tenir en compte que la base és un polígon regular. 4

Apliquem el teorema de Pitàgores per calcular la longitud de h:

52₌ 2_{+ h}2 A1= = A2= A3= A4= A5= Àrea total= A1+ A2+ A3+ A4+ A5= base altura 2 ⋅ 5 cm 3 cm 3 cm 3 cm 5 cm 5 cm 5 cm 5 cm 3 cm A5 h h A1 A2 A3 A4 F F 831110 _ 0345-0356.qxd 20/7/07 17:36 Página 352

9

OBJECTIU 5

CALCULAR L’ÀREA DE COSSOS DE REVOLUCIÓ

ÀREA DEL CILINDRE

Per trobar l’àrea del cilindre ens fixem en el seu desenvolupament: està format per un rectangle i dos cercles.

• Àrea lateral: és un rectangle en què un dels costats és igual a la longitud de la circumferència de la base (2␲r) i l’altre és l’altura (h).

AL= perímetre de la base ⋅ altura = 2␲r ⋅ h

• Àrea total: l’obtenim sumant l’àrea lateral i les àrees de les dues bases.

AT= 2␲rh + 2␲r2= 2␲r(h + r)

Completa l’exercici i troba l’àrea total del cilindre. 1

Àrea = ␲r2_{= És igual que el perímetre deA} 1. Perímetre = 2␲r = 2 ⋅ ␲ ⋅ 3 = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 3 A1= ␲r2= A2= 2␲r ⋅ h = A3= ␲r2= Àrea total = A1+ A2+ A3= h h 2␲r r 3 cm 3 cm 3 cm 10 cm 10 cm A2 A1 A3 r F F F F F F F PROPOSTES PER A L’ADAPTACIÓ CURRICULAR

9

ÀREA DEL CON

Per trobar l’àrea del con ens fixem en el seu desenvolupament: està format per un sector circular i un cercle, que és la base.

• Àrea lateral: la calculem com si fos l’àrea d’un triangle, en el qual la longitud de la base és la de la circumferència (2␲r) i l’altura és el radi del sector.

• Àrea total:AT= ␲rg + ␲r2= ␲r(g + r)

AT = ⋅ = r ⋅g = rg

longitud de la base altura

2

2 2

π _π

L’àrea lateral del con de la figura és: 2

L’àrea total del con anterior és:

a) 20 cm2 _{b) 50,24 cm}2 _{c) 36,55 cm}2 _{d) 37,68 cm}2 3

L’àrea d’una esfera de radi 15 cm és:

a) 2.826 cm3 _{b) 28,26 cm}2 _{c) 2.826 cm}2 _{d) 14,13 cm}2 5

Troba l’àrea total d’un con der= 5 cm i h = 12 cm. 4

ÀREA DE L’ESFERA

L’àrea d’una esfera de radi r és igual a quatre vegades l’àrea del cercle del mateix radi que l’esfera:

A = 4␲r2 g h r _r 2␲r g g _{= 4 cm} r = 2 cm

Calcula l’àrea d’una esfera de radi 10 cm.

A = 4␲r2_{= 4␲ ⋅ 10}2_{= 1.256 cm}2

EXEMPLE

F a) 8 cm2 b) 25,12 cm2 c) 12,56 cm2 d) 34 cm2 F 831110 _ 0345-0356.qxd 31/7/07 18:09 Página 354

9

OBJECTIU 6

CALCULAR EL VOLUM DE COSSOS GEOMÈTRICS

VOLUM DE L’ORTOEDRE

Si un ortoedre té de dimensions m, n i p, el volum V és igual a l’àrea de la base (m ⋅ n) per l’altura p.

V= àrea de la base ⋅ altura = m ⋅ n ⋅ p

VOLUM DEL PRISMA

V= àrea de la base ⋅ altura = ABase⋅ h

VOLUM DEL CILINDRE

V= àrea de la base ⋅ altura = ␲r2_{⋅ h}

m h p n h r

Calcula el volum d’un ortoedre de dimensions 3 cm, 4 cm i 8 cm.

V = 3 ⋅ 4 ⋅ 8 = 96 cm3

Troba el volum d’un prisma recte de 15 cm d’altura i base triangular regular de 3 cm de costat.

Per calcular l’altura hem d’aplicar el teorema de Pitàgores: 32_{= 1,5}2_{+ h}2 _{→ h = 2,6 cm}

V = àrea de la base ⋅ altura = ⋅ h = ⋅ 15 = 58,5 cm3 Determina l’àrea d’un cilindre de 7 cm d’altura i 4 cm de radi de la base.

V = ␲r2_{⋅ h = ␲ ⋅ 4}2_{⋅ 7 = 351,68 cm}3 3 2 6⋅ , 2 base altura 2 ⋅

EXEMPLE

3 cm 3 cm h

El volum d’un ortoedre de dimensions 4 cm, 8 cm i 12 cm, respectivament, és:

a) 384 cm3 _{b) 24 cm}3 _{c) 192 cm}3 _{d) 768 cm}3 1

El volum d’un prisma hexagonal regular de 10 cm d’aresta bàsica i 8 cm d’altura és:

a) 2.078,4 cm3 _{b) 4.156,8 cm}3 _{c) 480 cm}3 _{d) 692,8 cm}3 2

El volum d’un cilindre de 6 cm d’altura i 3 cm de radi de la base és:

a) 56,52 cm3 _{b) 169,56 cm}3 _{c) 113,04 cm}3 _{d) 339,12 cm}3 3 1,5 cm F PROPOSTES PER A L’ADAPTACIÓ CURRICULAR

9

VOLUM DEL CON

El volum d’un con és igual a la tercera part de l’àrea de la base, que és un cercle (␲r2_),

per l’altura (h).

VOLUM DE LA PIRÀMIDE

El volum de la piràmide es calcula igual que el d’un con, però tenint en compte que la base pot ser un polígon qualsevol.

VOLUM DE L’ESFERA

El volum d’una esfera és: V = 4 .

3 3 πr h h r

Calcula el volum d’un con de 10 cm

d’altura i 2 cm de radi de la base. = 41,87 cm3

Troba el volum d’una piràmide de 8 cm d’altura i base regular triangular de 2 cm de costat.

Per calcular l’àrea del triangle de la base apliquem el teorema de Pitàgores:

22_{= 1}2_{+ h}2 _{→ h = 1,73 cm →V} = ABase⋅h = ⋅ = _{4,61 cm}3 3 1 73 8 3 , ABase = ⋅ = cm2 2 1 73 2 1 73 , , V = πr h = π⋅ ⋅ 2 2 3 2 10 3

EXEMPLE

Calcula el volum d’una esfera de 3 cm de radi. _{V =} 4 r ₌ ⋅ ⋅ = 113,04 cm3 3 4 3 3 3 3 π π

EXEMPLE

El volum d’un con de 15 cm d’altura i 12 cm de radi de la base és:

a) 4.069,44 cm3 _{b) 2.260,8 cm}3 _{c) 6.782,4 cm}3 _{d) 1.356,48 cm}3 4

El volum d’una piràmide de base quadrangular de 8 cm de costat i 8 cm d’altura és igual a:

a) 170,67 cm3 _{b) 85,33 cm}3 _{c) 341,34 cm}3 _{d) 42,68 cm}3 5

El volum d’una esfera de 7 cm de radi és:

a) 718,01 cm3 _{b) 143,603 cm}3 _{c) 1.436,03 cm}3 _{d) 339,12 cm}3 6

El volum d’una esfera de 2.826 cm2_{d’àrea és:}

a) 14.130 cm3 _{b) 42.390 cm}3 _{c) 28.260 cm}3 _{d) 86.340 cm}3 7 V = πr h 2 3 V = ABase ⋅h 3 831110 _ 0345-0356.qxd 31/7/07 18:09 Página 356

Moviments i semblances

10

PROPOSTES PER

A L’ADAPTACIÓ CURRICULAR

1. Determinar els elements

d’un vector.

2. Reconèixer els diferents

moviments.

3. Distingir semblances

i homotècies.

4. Operar amb escales.

• Eixos de coordenades.

• Vector: components, mòdul, direcció i sentit.

• Moviments: translació, girs, simetria respecte a un punt i simetria respecte a un eix.

• Semblances. Polígons semblants.

• Càlcul de la figura transformada d’una altra mitjançant una translació de vector vជ.

• Obtenció de la figura transformada d’una altra mitjançant un gir de centre O i angle α.

• Determinació de la figura transformada d’una altra per una simetria central de centre O.

• Obtenció de la figura transformada d’una de donada per una simetria d’eixe.

• Escales gràfiques i numèriques.

OBJECTIUS

CONTINGUTS

INTRODUCCIÓ

Aquesta unitat té un component gràfic molt important, per això convé començar-la amb l’aportació

d’exemples reals, sobretot en contextos de tipus artístic, perquè els alumnes puguin assimilar els conceptes de moviments i semblances que s’hi expliquen.

Iniciem l’exposició amb la definició de vector i els seus elements: mòdul, direcció i sentit. Després en

calculem els components i el mòdul en un sistema de coordenades.

A continuació estudiarem els moviments al pla, que són transformacions que conserven les distàncies i els angles: translacions, girs i simetries, respecte a un punt i respecte a una recta o un eix. A la unitat es proposen diversos exercicis per obtenir les coordenades de la figura transformada. Posteriorment tractarem les semblances, que conserven la forma però no la mida. Una de les aplicacions reals de les semblances són les escales i l’ús que tenen en diferents contextos. Són molt útils per treballar i representar mapes, plànols, etc. Cal que quedin clares les diferències conceptuals entre moviments i semblances, i les aplicacions d’aquestes últimes: figures semblants i polígons semblants.

RESUM DE LA UNITAT

• Dos punts A i B determinen un vector fix. A és l’origen i B és l’extrem del vector.

• Els elements d’un vector són el mòdul (longitud del segment AB), la direcció (la de la recta AB) i el sentit (el que va del punt A al punt B). • Donats A (x1,y1) i B (x2,y2), els components del

vector són (x2− x1,y2− y1).

• Una translació de vector vជ transforma qualsevol puntP en un altre punt P', de manera que PP'té el mateix mòdul, direcció i sentit que vជ.

• Un gir de centre O i angleα és el moviment que associa a cada punt P un altre punt P'situat a la mateixa distància de O que el punt P, de manera que l’angle que formen PP'ésα.

• Simetria respecte a un punt O és el moviment que associa a cada punt P un altre punt P', a la mateixa distància de O, de manera que P, O i P'estan alineats.

• Simetria respecte a un eix e és el moviment que associa a cada punt P un altre punt P', de manera quePP'és perpendicular a e, i les distàncies de P iP'a l’eix e són iguals.

• Les semblances transformen un figura en una altra de la mateixa forma però de mida diferent. • L’escala és la raó de semblança entre l’original

Considera els punts A(1, 3) i B(3, 1).

Els components del vector ABជ són: (3 − 1, 1 − 3) = (2, −2). La primera coordenada (2) representa el desplaçament en l’eix X. La segona coordenada (-2) representa el desplaçament en l’eix Y.

EXEMPLE

OBJECTIU 1

DETERMINAR ELS ELEMENTS D’UN VECTOR

10

EIXOS DE COORDENADES

Els eixos de coordenades estan formats per dues rectes: una d’horitzontal i l’altra vertical. • La recta horitzontal és l’eix de les abscisses o eix X.

• La recta vertical és l’eix d’ordenades o eix Y.

• El punt on es tallen els eixos s’anomena origen de coordenades.

PUNTS

Els punts estan representats al plànol per dues coordenades: la primera n’indica la situació a l’eix X, i la segona, la posició a l’eix Y: A(x, y).

VECTORS I ELS SEUS COMPONENTS

Dos punts A i B determinen un vector fix ABជ. A: origen del vector.

B: extrem del vector.

Components del vector ABជ: els obtenim calculant la diferència entre les coordenades de l’extrem B

i de l’origen A: ABជ = (x2− x1,y2− y1).

Mòdul del vectorABជ: |ABជ| és la longitud del segment AB.

El mòdul d’un vector ABជ(x, y) és |ABជ| = .

Direcció del vectorABជ: és la direcció de la recta AB.

Sentit del vectorABជ: és el que va de l’origen (A) a l’extrem (B).

x2₊y2 F A(x1,y1) B(x2,y2) A B ABជ 3 2 1 −2 −3 −3 −2 −1 1 2 3 Y X F F F

Donats els punts de coordenades A (2, 3), B (−1, 4), C(0, 6) i D(−3, 7):

a) Troba els components dels vectors ABជ i CDជ.

b) Quin mòdul tenen els vectors ACជ i BDជ?

1

NOM: CURS: DATA:

10

OBJECTIU 2

RECONÈIXER ELS DIFERENTS MOVIMENTS

MOVIMENTS

Són les transformacions geomètriques que conserven les distàncies i els angles.

TRANSLACIÓ

Una translació és un desplaçament ordenat mitjançant un vector.

El traslladat A'd’un punt A(x, y) mitjançant un vector vជ(v1,v2) és: A'(x+ x1,y+ y1).

Donats els punts A(2, 1), B(2, 3) i C(4, 4), trasllada’ls segons el vector vជ(6, 1).

TrasllademA(2, 1): A' = A + vជ= (2, 1) + (6, 1) = (8, 2)

TrasllademB (2, 3): B' = B + vជ= (2, 3) + (6, 1) = (8, 4)

TrasllademC (4, 4): C' = C + vជ= (4, 4) + (6, 1) = (10, 5)

A',B'iC'són la translació dels punts A, B i C mitjançant el vector vជ(6, 1). Si dibuixem A, B, C, A',B',C', podem observar el que ha passat:

EXEMPLE

B A 1 1 A' C' C v ជ B' Y X

a) Quines coordenades tenen els vectors AAជ'iBBជ'?

b) Quines són les coordenades del vector de translació que transformaABCD en A'B'C'D'?

Un quadrat té com a vèrtexs els punts A(−1, 1), B(1, 1), C(1, −1) i D(−1, −1). Calcula’n el trasllat pel vectorvជ(4, −2).

1 El quadrilàter ABCD s’ha traslladat i hem obtingut A'B'C'D'. 2 B A X Y D C B' A' D' C' 1 1 PROPOSTES PER A L’ADAPTACIÓ CURRICULAR

10

GIR

• Un gir és un moviment angular de ␣ graus, respecte d’un punt determinat anomenat centre de gir.

• Els girs no tenen una expressió senzilla en el pla cartesià, com passa amb les translacions. Només passa això en casos concrets:

– Gir de centre (0, 0) i angle 90°: transforma P (x, y) en P'(−y, x) – Gir de centre (0, 0) i angle 180°: transforma P (x, y) en P'(−x, −y) – Gir de centre (0, 0) i angle 270°: transforma P (x, y) en P'(y,−x)

Gira el punt A(5,− 4) respecte del punt (0, 0) un angle de 90°, 180° i 270°.

Gir de 90º: A(5,−4) → A'(4, 5) Gir de 180º: A(5,−4) → A'(−5, 4) Gir de 270º: A(5,−4) → A'(−4, −5)

EXEMPLE

Els vèrtexs d’un triangle són els punts de coordenades A(2, 1), B (−1, 4) i C(3, 5).

a) Determina el transformat de ABC, A'B'C', per un gir de centre l’origen i angle 90°. b) Calcula el transformat de A'B'C'per un gir de centre l’origen i angle 90°.

c) Troba el transformat de ABC per un gir de centre l’origen i angle 180°.

3

L’estrella de puntes A, B, C, D, E i F s’ha girat amb centre al punt O. Completa la taula indicant-ne l’angle de gir.

4 A O B C D E

F FIGURA ORIGINAL FIGURA FINAL ANGLE DE GIR

EFABCD FABCDE CDEFAB DEFABC BCDEFA ABCDEF 831110 _ 0357-0368.qxd 20/7/07 17:38 Página 360

10

Els vèrtexs d’un triangle són els punts A(2, 3), B (−3, 5) i C(6, 7).

a) Determina el transformat de ABC, A'B'C', per una simetria central amb l’origen com a centre. b) Calcula’n el transformat per una simetria amb el punt A com a centre.

6

Escriu les coordenades dels punts A', B' i C'.

Al triangle de vèrtexs A(2, 3), B (5, 1) i C (4, 6) s’hi aplica una simetria central, amb l’origen com a centre, i es converteix en el triangleA'B'C'. Dibuixa els triangles ABC i A'B'C'.

7

De les lletres majúscules següents, digues quines tenen centre de simetria i indica’l.

M N O P S T

5

SIMETRIA RESPECTE A UN PUNT

La simetria respecte a un punt és un gir de 180° respecte d’aquest punt, que s’anomena centre de simetria. 180º Centre de simetria Y X PROPOSTES PER A L’ADAPTACIÓ CURRICULAR

10

Observa els dos primers exemples i dibuixa la figura simètrica en el tercer cas. 8

Troba els eixos de simetria de les figures següents: 9

SIMETRIA RESPECTE A UN EIX

Un punt és simètric d’un altre respecte a un eix quan està a la mateixa distància de l’eix i se situa sobre la mateixa perpendicular a l’eix.

Q A A' A' B' A Eix de simetria Eix de simetria Eix de simetria

Eix de simetria Eix de simetria

No són eixos de simetria B A C C C' B C C' B' Q' Q" P' P

Sí que és simètric respecte a l’eix.

No és simètric respecte a l’eix.

P" Sí que és simètric respecte a l’eix. Eix Eix No és simètric respecte a l’eix. F _F 831110 _ 0357-0368.qxd 20/7/07 17:38 Página 362

10

Representa, en cada sistema de coordenades, el triangle de vèrtexs A (−2, 1), B (2, 5) iC (3,−2). Aplica-hi el moviment que s’indica en cada cas i dibuixa el triangle que en resulta.

10

L’hexàgonABCDEF gira 240° amb centre a O. Escriu al costat de cada vèrtex la nova lletra que hi correspon després que es faci el gir.

11

Quines són les coordenades del triangle que s’obté quan apliquem al triangle de vèrtexs A= (0, 0), B = (0, 4), C = (4, 0) una translació de vector (5, −3)?

A= (0, 0) → A'= ( , ) B= (0, 4) → B'= ( , ) C= (4, 0) → C'= ( , ) 12 Y X Simetria respecte a X Y X Translació de vector (3,−1) Y X Simetria respecte a Y Y X Gir de 180° CentreO a) b) d) c) A B C D E F O PROPOSTES PER A L’ADAPTACIÓ CURRICULAR

OBJECTIU 3

DISTINGIR SEMBLANCES I HOMOTÈCIES

10

Les semblances transformen una figura en una altra figura amb la mateixa forma però, en general, de mida diferent.

Es diferencien de les translacions i els girs en el fet que no són moviments.

G F

G F

POLÍGONS SEMBLANTS

Dos polígons són semblants si cada angle i el seu transformat són iguals, i el quocient entre cada costat i el seu homòleg és constant. Aquesta quantitat és la raó de semblança.

Són semblants. Són semblants.

Troba la longitud dels costats que falten a la figura 2, si saps que és semblant a la figura 1.

Com que les figures 1 i 2 són semblants, hi ha una relació de proporcionalitat entre les longituds dels seus costats, o sigui, són directament proporcionals.

FIGURA 1 3 cm 1 cm 2 cm 3,3 cm FIGURA 2 4,5 cm x y z = = = 3x= 4,5 3y= 9 3z= 14,85 x= = 1,5 cm y= = 3 cm z= 14 85 = 4,95 cm 3 , 9 3 4 5 3 , 3,3 z 3 4 5, 2 y 3 4 5, 1 x 3 4 5,

EXEMPLE

3 cm 2 cm 4,5 cm x y z 1 cm 3,3 cm F F F FIGURA 1 FIGURA 2

NOM: CURS: DATA:

10

Calcula les longituds dels costats que falten en aquestes figures, si saps que són semblants.

FIGURA 1

FIGURA 2

FIGURA 1 2,1 3,7 1 FIGURA 1 FIGURA 1

FIGURA 2 1 x y FIGURA 2 FIGURA 2

ᎏᎏ = ᎏᎏ ᎏᎏ = ᎏᎏ

x= y=

1

Determina si un polígon de costats 4 cm, 7 cm i 5 cm és semblant a un altre de costats 60 cm, 105 cm i 75 cm.

2

Els costats d’un triangle fan 6 cm, 9 cm i 13 cm, i els d’un altre triangle fan 12 cm, 18 cm i 26 cm. Són semblants?

3

Un triangle té com a costata= 3 cm i b = 8 cm. Un altre que és semblant té com a costats b'= 40 cm i c' = 50 cm. Calcula la longitud dels costats dels dos triangles.

4 3,7 3,7 1 ₈ 1,5 y y x 2,1 x x x _{y y} 1 5 10 2 6 3 2 2 F _F PROPOSTES PER A L’ADAPTACIÓ CURRICULAR

10

Dibuixa un polígon semblant al de la figura, si saps que la raó de semblança és 1. 2 5

Els polígons ABCDE i A'B'C'D'E' són semblants. Amb l’ajut d’un regle calcula la raó de semblança entre tots dos.

6

Els triangles següents són semblants i la seva raó de semblança és . Calcula la base i l’altura de A'B'C'. Calcula l’àrea de ABC i l’àrea de A'B'C'. Quina és la raó de proporcionalitat entre les àrees?

3 2 7 A B D E C A' B' C' D' E' A 3 cm 2 cm B C A' B' C' 831110 _ 0357-0368.qxd 20/7/07 17:38 Página 366

10

OBJECTIU 4

OPERAR AMB ESCALES

• L’escala és la raó de semblança entre l’objecte real i la seva representació. • Les escales es fan servir en plànols, mapes, maquetes, etc.

• L’escala pot ser numèrica o gràfica:

Escala numèrica: 1:3.000 → 1 cm al plànol són 3.000 cm a la realitat. Escala gràfica:

0 30 60 90 120 m

Observa el dibuix següent a escala 1:200 i calcula la mida del despatx. 1

Dues ciutats A i B estan separades entre si per 60 km. A quina distància es troben en un mapa a escala 1:400.000?

2

Si en un mapa a escala 1:90.000 veiem que dos llocs A i B estan separats per 2 cm, quina distància els separa a la realitat?

3

Per saber quant fa el despatx a la realitat agafem un regle i mesurem x i y:

Mapa 1 Realitat 200 a b b= a= 1 200 = b 1 200 = a Escala 1:200

Mida presa al plànol: 1 cm en el plànol Despatx Sala de reunions Secretaria Arxiu x y Mida real: 200 cm reals F F F F F PROPOSTES PER A L’ADAPTACIÓ CURRICULAR

10

Algunes fotocopiadores redueixen o amplien els originals. Aquestes reduccions

o ampliacions s’expressen a la màquina amb percentatges. Una reducció del 90 % indica que 100 cm de l’original es converteixen en 90 cm a la fotocòpia, i que 1 cm de l’original es converteix en 0,9 cm a la fotocòpia.

Hem fotocopiat amb una reducció al 80 % un plànol fet a escala 1:600. Quina és l’escala de la fotocòpia?

1 cm del plànol es converteix en 0,8 cm de la fotocòpia. 0,8 cm de la fotocòpia representen 600 cm de la realitat.

冧

. L’escala és 1:750. a) Quina és l’escala de la fotocòpia si es fa al 75 %?

b) Quina és l’escala de la fotocòpia si es fa al 120 %?

c) I l’escala de la fotocòpia si es fa al 125 %? x = 600 = 0 8, 750 0,8→ 600 1→ x 4

El dibuix següent mostra la forma i la mida que té un parc al plànol d’una ciutat. També s’ha dibuixat l’escala que apareix al plànol. Troba les mides dels dos costats indicats al dibuix. 5 2 cm 2,3 cm 0 1 2 3 4 5km 1.000 m 831110 _ 0357-0368.qxd 20/7/07 17:38 Página 368

Funcions

11

INTRODUCCIÓ

El concepte de funció és un dels més importants que es tracten en aquest curs i, encara que no presenta una dificultat especial, de vegades planteja problemes als alumnes.

Per això, la unitat comença explicant com es determina si una relació entre magnituds és funció o no ho és, i també les diferents formes d’expressar una funció: mitjançant text, taula, fórmula i gràfica, i dedica una atenció especial a l’anàlisi d’aquestes últimes. És important treballar les diverses expressions d’una funció, i assenyalar que totes són equivalents i expressen el mateix. Un cop determinat que la relació entre dues magnituds és una funció, el pas següent és diferenciar entre variable independent i dependent. L’anàlisi de les característiques de les funcions centrarà la resta de la unitat. Estudiarem el domini i el recorregut de la funció, la continuïtat

o la discontinuïtat, intervals en què la funció creix o decreix i la determinació dels valors on assoleix un màxim o un mínim.

RESUM DE LA UNITAT

• Una magnitud és una característica que es pot mesurar i expressar amb un nombre.

• Una funció és una correspondència entre variables que associa a cada valor d’una variable un únic valor de l’altra.

• Una variable independent és la que pot prendre qualsevol valor. La variable dependent depèn del valor que pren la variable independent.

• Domini: conjunt de tots els valors que pot prendre la variable independent.

• Recorregut: conjunt de tots els valors que pot prendre la variable dependent.

• Gràfica d’una funció: representació del conjunt de punts del pla que la defineixen.

• Funció periòdica: la seva gràfica es repeteix cada cert interval; f (x)= f(x + T), on T és el període.

1. Distingir relacions funcionals

entre magnituds.

2. Conèixer les diferents

expressions d’una funció.

3. Calcular el domini

i el recorregut d’una funció.

4. Distingir entre funcions

discontínues i contínues.

5. Estudiar el creixement

i el decreixement, els màxims i els mínims d’una gràfica.

6. Reconèixer les funcions

periòdiques.

• Variables. • Relació funcional.

• Expressió d’una funció mitjançant text, taula, gràfica o expressió algebraica.

• Obtenció d’expressions a partir d’altres. • Variable independent i variable dependent. • Domini i recorregut d’una funció.

• Funció contínua. • Funció discontínua.

• Resolució de problemes: equació, variables i representació gràfica.

• Funció creixent i funció decreixent.

• Obtenció dels intervals de creixement i decreixement d’una funció. • Màxims i mínims.

• Funció periòdica.

OBJECTIUS

CONTINGUTS

PROPOSTES PER

OBJECTIU 1

DISTINGIR RELACIONS FUNCIONALS ENTRE MAGNITUDS

11

Quines característiques són magnituds? Marca-ho amb una creu.

a) El nombre de pàgines d’un llibre. b) El color de la tapa d’una llibreta. c) El preu d’un disc compacte. d) L’altura d’un edifici.

1

De les parelles de magnituds, quines estan relacionades? Marca-ho amb una creu.

a) L’alçada dels alumnes de classe i la seva nota de Matemàtiques. b) El coeficient intel·lectual d’una persona i el seu lloc de naixement. c) El nombre d’entrades de cine i el seu import.

d) La velocitat d’un cotxe i el temps invertit en un trajecte.

2

Dels parells de magnituds següents, digues quins representen una funció. Identifica’n la variable dependent i la independent:

a) El volum d’un cub i la seva aresta. b) L’edat d’una persona i el seu color d’ulls.

c) L’import del rebut de la llum i la quantitat d’electricitat que es gasta. d) L’edat d’una persona i la seva talla de camisa.

e) El nombre de diagonals i el nombre de costats d’un polígon. f) L’edat d’un pare i l’edat del seu fill.

3

• Magnitud és qualsevol característica que es pot mesurar i el valor de la qual es pot expressar amb un nombre.

• Una relació entre dues magnituds és una manera d’associar una sèrie de valors d’una magnitud amb una sèrie de valors de l’altra. Per exemple:

– El consum de gasolina d’un cotxe associat a la distància recorreguda. – El preu del menú d’un restaurant depèn dels plats escollits.

– El preu de les entrades de cine està relacionat amb el nombre d’amics amb qui hi anem.

• En una relació entre magnituds, els seus valors canvien, i per això les magnituds s’anomenen variables.

• Si en una relació entre dues magnituds, cada valor de l’una està associat a un únic valor de l’altra, diem que aquesta correspondència o relació és una funció.

– Les magnituds nombre de kilos de taronges i cost representen una funció. A una certa quantitat de kilos només hi correspon un preu.

– El coeficient intel·lectual d’una persona i el seu lloc de naixement no representen una funció. A un cert coeficient hi poden correspondre diversos llocs de naixement.

• La variable independent (x) pot prendre qualsevol valor, i el valor de la variable dependent (y) depèn

del que prengui la variable independent.

NOM: CURS: DATA:

11

OBJECTIU 2

CONÈIXER LES DIFERENTS EXPRESSIONS D’UNA FUNCIÓ

Una companyia telefònica cobra al rebut una quota fixa de 0,13 € en cada trucada i 0,15 € per cada minut. Troba la taula, la gràfica i la fórmula que expressa la relació entre l’import del rebut de telèfon i el nombre de minuts.

1

La relació entre dues variables es pot expressar de maneres diferents:

• Mitjançant un text: descripció verbal i/o escrita que expressa la relació entre dues variables. És el que acostumem a anomenar enunciat del problema.

• Mitjançant una taula: els valors de les variables independent i dependent s’organitzen en forma de taula.

• Mitjançant una gràfica: ens dóna una visió qualitativa de la relació que hi ha entre les variables. Pot ser una representació en uns eixos de coordenades.

• Mitjançant una fórmula o expressió algebraica: podem calcular quin valor de la variable dependent correspon a un valor de la variable independent.

N. DE MINUTS (x)

IMPORT DEL REBUT (y)

5

5

X Y

Un grup d’amics van al cinema i compren bosses de crispetes. Una bossa val 1,50 €, dues bosses valen 3 € i cinc bosses valen 7,50 €.

Ara expressarem aquest exemple de les quatre maneres que hem vist:

• Mitjançant un text: l’import que cal pagar en euros és el producte d’1,50 pel nombre de bosses de crispetes que s’han comprat.

• Mitjançant una taula: el nombre de bosses és la variable independent i l’import és la variable dependent.

• Mitjançant una gràfica: hem triat una gràfica de punts en un sistema d’eixos de coordenades.

• Mitjançant una fórmula o expressió algebraica: si anomenem y l’import en euros i x el nombre de bosses de crispetes, la fórmula és: y= 1,5 ⋅ x.

EXEMPLE

N. DE BOSSES IMPORT (€) 1 1,50 2 3 3 4,50 … … 10,5 9 7,5 6 4,5 3 1,5 1 2 3 4 5 6 7 N. de bosses Import ( € ) Y X PROPOSTES PER A L’ADAPTACIÓ CURRICULAR

11

La gràfica d’una funció és la representació del conjunt de punts que defineixen aquesta funció.

La taula següent expressa la relació entre el costat d’un quadrat i la seva àrea. Troba la gràfica i la fórmula que representa la relació entre les dues magnituds. 2

Donada la funció mitjançant la fórmula y= x2_{+ 1, troba’n la taula i la gràfica.} 3 COSTAT ÀREA 2 4 4 16 6 36 8 64 10 100 x y=f(x) −3 −2 1 0 1 2 3 (−3)2_{+ 1 = 10} 5 5 X Y 5 5 X Y

Donada la funció mitjançant la fórmula y= x2_{− 2, troba’n la taula i la gràfica.} 4 x y=f(x) 5 5 X Y

Expressa, mitjançant una fórmula, la relació que hi ha entre les magnituds següents:

a) El radi d’una circumferència i la seva longitud. b) El costat d’un quadrat i la seva àrea.

c) El radi d’una esfera i el seu volum.

5

11

OBJECTIU 3

CALCULAR EL DOMINI I EL RECORREGUT D’UNA FUNCIÓ

Donada la funció que associa a cada nombre enter la seva quarta part més 5 unitats:

a) Troba’n la fórmula o expressió algebraica. b) Calcula f (2) i f (0).

c) És possible trobar la imatge de ? d) Determina’n el domini.

2 3 1

Donada la relació que associa a cada nombre real l’invers de la suma d’aquest nombre més 5:

a) És una funció? Si ho és, determina’n la fórmula.

b) Es pot calcularf (−2), i f(−5)? c) Determina’n el domini i el recorregut.

f 1 3 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞_⎠⎟⎟⎟⎟ 2

• Una relació entre dues magnituds és una funció si a cada valor de la variable independent hi associem un únic valor de la variable dependent: f (x )= y.

• El valor de la variable independent el solem representar amb x, i també en diem original.

• El valor de la variable dependent el solem representar amb y, i també en diem imatge.

• El domini d’una funció és el conjunt de tots els valors que pot prendre la variable x. • El recorregut d’una funció és el conjunt de tots els valors que pren la variable y.

Donada la funció f (x)= 2x + 3, calcula les imatges per a x = 0 i x = −1.

f (0)= 2 ⋅ 0 + 3 = 3 f (−1) = 2 ⋅ (−1) + 3 = 1

Troba el domini i el recorregut de la funció: f (x)= 3x − 7.

El domini i el recorregut de la funció són el conjunt dels nombres reals, perquè la variable x pot prendre com a valor qualsevol nombre real, i per a cadascun d’aquests nombres reals, la variable y té com a valor també un nombre real.

EXEMPLE

PROPOSTES PER

A L’ADAPTACIÓ CURRICULAR

OBJECTIU 4

DISTINGIR ENTRE FUNCIONS DISCONTÍNUES I CONTÍNUES

11

FUNCIÓ DISCONTÍNUA

Una funció és discontínua quan no la podem dibuixar d’un sol traç; els punts en què hem d’aixecar el llapis del paper s’anomenen punts de discontinuïtat.

FUNCIÓ CONTÍNUA

Una funció és contínua si podem dibuixar-ne la gràfica d’un sol traç; o sigui, no presenta punts de discontinuïtat.

Estudia la relació que hi ha entre l’edat d’en Joan i la paga setmanal que li donen els seus pares, tenint en compte aquestes dades. Des que va néixer fins als 10 anys no va rebre paga setmanal, des dels 10 anys fins als 12 va rebre 5 € setmanals, des dels 12 anys fins als 15 va rebre 8 €, des dels 15 anys fins als 20 va rebre 10 € i a partir dels vint anys ja no va rebre paga setmanal. Fes la taula que relaciona les dues magnituds i la gràfica. Com és la funció que has obtingut, contínua o discontínua?

1

Un venedor de mobles té un sou base de 650 € i per cada moble que ven cobra una comissió de 100 €.

a) Representa la gràfica que expressa el sou en funció de la quantitat de mobles venuts. b) La funció és contínua o discontínua?

2

Donada la funció que associa a cada nombre real el seu quàdruple més 2 unitats:

a) Escriu-ne l’expressió algebraica. b) Representa gràficament la funció. c) És contínua o discontínua? 3 Y X Y X

NOM: CURS: DATA:

Donada la funció següent, estudia’n els intervals de creixement i decreixement:

Sempre es comença estudiant l’eix X, d’esquerra a dreta.

• A l’interval [−10, −5], la funció creix amb una taxa de creixement de:

冧

→ f(−10) − f(−5) = 4 – 1 = 3

• A l’interval [−5, −2], la funció decreix amb una taxa de decreixement de:

冧

→ f(−5) − f(−2) = 4 − 1 = 3 • Hi ha una discontinuïtat des de x= −2 fins a x = 1.

• A l’interval [1, 3], la funció no creix ni decreix, es manté constant. f (−5) = 4 f (−2) = 1 f (−10) = 1 f (−5) = 4

EXEMPLE

11

OBJECTIU 5

ESTUDIAR EL CREIXEMENT I EL DECREIXEMENT, ELS MÀXIMS I ELS MÍNIMS

Representa una funció que tingui les característiques següents:

a) És creixent als intervals [2, 5] i [7, 9]. b) És decreixent a [5, 7].

c) És constant a [0, 2].

1

Donada la funció representada per la gràfica següent, estudia’n la continuïtat i el creixement: 2

Donada una funció f (x ) i dos valors x1ix2, de manera que x1< x2:

• Si f (x2)− f(x1)> 0, la funció és creixent entre x1ix2.

• Si f (x2)− f(x1)< 0, la funció és decreixent entre x1ix2.

5 5 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 4 3 2 1 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Y X 0 Y X PROPOSTES PER A L’ADAPTACIÓ CURRICULAR

11

• Una funció té un màxim en un punt si, a l’esquerra d’aquest punt, la funció és creixent i a la dreta és decreixent. • Una funció té un mínim en un punt,

si a l’esquerra d’aquest punt, és decreixent i a la dreta és creixent.

Donada la funció y= x2_{− 4, fes una taula de valors, representa-la i estudia si és contínua,} on és creixent i decreixent, i si té màxims i mínims.

3

La taula següent mostra la quantitat de medicament en sang que té una persona després de prendre un xarop.

a) Fes una gràfica a partir de la taula. b) La funció representada, és contínua? c) És creixent o decreixent? d) Té màxim o mínim? 4 X X Y Y a a Màxim Mínim Creixent Creixent Decreixent Decreixent TEMPS (hores) QUANTITAT (mg/dl) 1 90 2 75 3 60 4 5 6 7 45 30 15 0 831110 _ 0369-0378.qxd 20/7/07 17:40 Página 376

11

OBJECTIU 6

RECONÈIXER LES FUNCIONS PERIÒDIQUES

En una funció periòdica, la gràfica es repeteix cada cert interval, que anomenem període; o sigui, f (x)= f(x + T), on T és el valor del període.

Un tren surt d’Albada a les 12 hores i es dirigeix a velocitat constant a Borà, on arriba

al cap de 40 minuts. S’hi atura durant 20 minuts i, després, surt de Borà en direcció a Albada, on arriba al cap de 50 minuts. S’hi atura 10 minuts i a l’hora en punt torna a sortir cap a Borà.

a) Representa gràficament aquesta situació (posa el temps a l’eix d’abscisses i, a l’eix de coordenades, la distància del tren respecte d’Albada).

b) És periòdica aquesta funció? Quin període té?

1

La quantitat de pluja que cau en un indret depèn de la seva situació i de l’època de l’any. Inventa’t les dades i dibuixa una gràfica. És una funció periòdica? Té màxims i mínims? 2

Analitza com varia la profunditat de l’aigua en una platja al llarg del temps.

Aquesta funció és periòdica perquè, si prenem la gràfica a l’interval [3, 15], veiem que es repeteix exactament igual en l’interval [15, 27] i es continua repetint en [27, 39], i així de manera successiva. La longitud de l’interval que es repeteix s’anomena període:

冧

→ En aquest cas, el període és 12. [3, 15] →03− 15 = 12 [15, 27] → 27 − 15 = 12 [27, 39] → 39 − 27 = 12

EXEMPLE

0 9 6 3 3 9 15 21 27 33 39 45 Altura (metres) Hores PROPOSTES PER A L’ADAPTACIÓ CURRICULAR

11

La gràfica mostra com varia la tensió arterial mínima d’una persona al llarg d’uns quants dies.

a) És una funció periòdica? Si ho és, indica’n el període. b) En quins intervals és creixent? I decreixent?

c) Quan es dóna un màxim? I un mínim?

3

Observa la gràfica que mostra les hores de llum solar en un indret el mes de gener durant 5 anys consecutius.

a) És una funció periòdica? b) Quin període té?

c) Quins són els intervals de creixement?

4 16 12 8 4 1 2 3 4 5 Dies Tensió 2003 2004 2005 2006 2007 Hores de sol 15 12 831110 _ 0369-0378.qxd 20/7/07 17:40 Página 378

Funciones de proporcionalidad

12

INTRODUCCIÓ

La representació gràfica de funcions

de proporcionalitat és una de les maneres més directes d’entendre i verificar la relació entre variables. Aquestes gràfiques s’utilitzen en l’àmbit científic per interpretar i modelitzar les lleis que regeixen alguns fenòmens.

Cal mostrar als alumnes que, amb l’aprenentatge d’aquestes funcions i gràfiques, es poden descriure fenòmens naturals i, en alguns casos, fins i tot predir-los.

És important que els alumnes tinguin clara la relació entre l’expressió algebraica d’una funció de

proporcionalitat i la seva representació gràfica, i que siguin capaços d’obtenir-ne una a partir de l’altra.

El càlcul de l’equació d’una recta presenta també una certa dificultat segons les dades, per la qual cosa cal insistir en com l’obtenim, i també aprendre a distingir si dues rectes donades són paral·leles o secants.

RESUM DE LA UNITAT

• Funció proporcionalitat directa o funció lineal: y= mx. La gràfica és una recta de pendent m que passa per l’origen de coordenades. • Funció afí: y= mx + n. La gràfica és una recta

de pendent m. L’ordenada a l’origen és n.

• Si el pendent d’una recta és positiu, m> 0, la recta és creixent; si el pendent d’una recta és negatiu, m< 0, la recta és decreixent.

• Equació d’una recta que passa per dos punts: calculem el pendent de la recta; substituïm les coordenades d’un dels punts donats a l’equació general de la recta, i obtenim l’ordenada a l’origen; després, amb els valors del pendent i l’ordenada, escrivim l’equació de la recta.

• Rectes paral·leles: tenen igual pendent.

• Rectes secants: tenen pendent diferent. Es tallen en un punt que obtenim de manera gràfica o analítica.

• Funció de proporcionalitat inversa: y= k/x. La gràfica és una hipèrbola i és creixent si k< 0, i decreixent si k> 0.

1. Conèixer la funció

de proporcionalitat directa.

2. Conèixer la funció afí.

3. Obtenir l’equació de la recta

que passa per dos punts.

4. Distingir les rectes paral·leles

i les rectes secants.

5. Conèixer la funció

de proporcionalitat inversa.

• Funció lineal o de proporcionalitat directa. • Pendent d’una recta.

• Reconeixement i representació de funcions de la forma y= mx. • Resolució de problemes reals representats per funcions lineals. • Funció afí.

• Pendent d’una recta.

• Comparació de rectes en funció del seu pendent, segons el creixement i el decreixement.

• Ordenada a l’origen. • Representació gràfica.

• Equació de la recta que passa per dos punts.

• Càlcul de l’equació d’una recta que passa per dos punts, coneguts el pendent i l’ordenada a l’origen, o el pendent i un punt per on passa.

• Posició relativa de dues rectes respecte als seus pendents.

• Determinació de si dues rectes són paral·leles o secants, de manera gràfica i analítica.

• Punt de tall de dues rectes secants.

• Funció de proporcionalitat inversa. • Representació gràfica.

• Resolució de problemes reals representats per funcions de proporcionalitat inversa.

OBJECTIUS

CONTINGUTS

PROPOSTES PER

Observa la taula i determina si la relació entre les magnituds és de proporcionalitat directa.

• El nombre de bosses de crispetes i els diners que costen són magnituds directament proporcionals, perquè si es compren el doble de bosses es duplicarà el cost...

• La constant de proporcionalitat és:

• L’expressió algebraica de la funció la podem expressar de la forma: y= m ⋅ x → y = 2 ⋅ x en què x és la quantitat de bosses de crispetes i y és l’import en euros.

• La representació gràfica d’aquesta funció és una recta que passa per l’origen de coordenades i té de pendent m= 2.

Per representar-la hem de marcar en uns eixos de coordenades els punt (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)… i unir-los mitjançant una recta.

m= 2 = = = … = 1 4 2 6 3 2.

EXEMPLE

OBJECTIU 1

CONÈIXER LA FUNCIÓ DE PROPORCIONALITAT DIRECTA

12

• Un funció de proporcionalitat directa o funció lineal s’expressa de la forma:

y= m ⋅ x, en què m és un nombre qualsevol.

• La representació gràfica d’aquestes funcions és una recta que passa per l’origen

de coordenades.

• La inclinació d’aquesta recta respecte de l’eix d’abscisses (X) està representada pel nombre m, que s’anomena pendent. Com més gran sigui m, més inclinada estarà la recta respecte de l’eix X, o sigui, més gran serà l’angle que aquesta recta forma amb l’horitzontal.

• Si entre dues magnituds hi ha una relació de proporcionalitat directa, la funció que representa aquesta relació és una funció lineal.

BOSSES DE CRISPETES IMPORT (€)

1 2 3 4 5 6

2 4 6 8 10 12

Digues si aquests parells de valors són magnituds directament o inversament proporcionals. Quines es poden representar amb una funció lineal?

a) Un nombre i el seu oposat. e) Un nombre i el doble del seu invers.

b) Un nombre i el seu invers. f) Un nombre i el triple de l’oposat del seu invers. c) Un nombre i el seu triple. g) Un nombre i el doble de l’invers de l’oposat. d) Un nombre i la seva meitat. h) Un nombre i l’invers del seu triple.

1 5 5Y (1, 2) (2, 4) (3, 6) X 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

NOM: CURS: DATA:

12

Compara les funcions que representen la relació entre el nombre de fotocòpies que s’han fet a diversos establiments i el seu import. Fes la taula de valors, la funció lineal

i la gràfica corresponent.

Establiment 1: cada fotocòpia val 2 cèntims d’euro.

Constant de proporcionalitat →

Funció de proporcionalitat o funció lineal→ y = 2x

Establiment 2: cada fotocòpia val 3 cèntims d’euro.

Constant de proporcionalitat→ m =

Funció de proporcionalitat o funció lineal→ y =

Establiment 3: cada fotocòpia val 1,5 cèntims d’euro.

Constant de proporcionalitat→ m =

Funció de proporcionalitat o funció lineal→ y =

m= 2 = = = = 1 4 2 6 3 8 4 2 2 5 5Y (1, 2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (2, 4) (3, 6) (4, 8) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X X Y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 5 5 X Y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 5 5 N. DE FOTOCÒPIES IMPORT (cènt.) 1 1 ⋅ 2 = 2 1 1 ⋅ 3 = 3 2 2 ⋅ 2 = 4 3 3 ⋅ 2 = 6 4 4 ⋅ 2 = 8 … … N. DE FOTOCÒPIES IMPORT (cènt.) 1 1 ⋅ 1,5 = 1,5 2 2 ⋅ 1,5 = 3 N. DE FOTOCÒPIES IMPORT (cènt.) PROPOSTES PER A L’ADAPTACIÓ CURRICULAR

OBJECTIU 2

CONÈIXER LA FUNCIÓ AFÍ

12

• Una funció afí s’expressa de la forma:

y= m ⋅ x + n, en què m i n són dos nombres qualssevol. m: pendent de la recta.

Sim> 0, la recta és creixent.

Sim< 0, la recta és decreixent.

• n: ordenada a l’origen.

• La representació gràfica d’aquestes funcions és una recta que no passa per l’origen de coordenades, sinó pel punt (0, n).

• Les funcions de proporcionalitat directa o funcions lineals són un cas particular de les funcions afins quann= 0.

Donades les funcions y= 2x − 1 i y = −3x + 4:

a) Determina’n el pendent. b) Troba la coordenada a l’origen. c) Representa-les gràficament. d) Quina té un pendent més gran?

e) Com són les rectes, creixents o decreixents?

Funció 1 Funció 2 a) m1= 2 m2= −3 b) n1= −1 n2= 4 c)

EXEMPLE

d) m1>m2 e) m1>0 → Creixent m2<0 → Decreixent x y 0 −1 1 1 2 3 −1 −3 x y 0 4 1 1 2 −2 −1 7 5 5Y X 5 5 Y X 7 6 5 4 3 2 1 −2 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 7 6 5 4 3 2 1 −1 −2 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8

NOM: CURS: DATA:

La Rosa ha pagat 6.000 € d’entrada per comprar un pis i ha d’abonar 600 € mensuals.

a) Fes una taula que reflecteixi el que ha pagat al cap d’1, 2, 3, ..., 6 mesos.

b) Escriu una funció que expressi els diners pagats en funció del nombre de mesos transcorreguts.

c) Representa la gràfica de la funció. d) Quin és el pendent? e) I l’ordenada a l’origen? 2 X

El pendent d’una funció de la forma y = mx + n és 3 i la seva ordenada a l’origen és 2. Representa-la.

a) Escriu la funció.

b) Troba el valor de y per a x= −2,5.

3

12

9.000 8.400 7.800 7.200 6.600 9.600 6.000 1 2 3 4 5 6 Mesos Diners

Classifica les funcions en lineals i afins, i escriu el valor del pendent i l’ordenada a l’origen. a) y= −0,7x → Funció lineal c) m= −0,7 n = 0 b) y = 1x+ d) y= −3,5x − 3 2 3 y = −1x 3 1 MESOS DINERS 0 1 2 3 4 5 6 Y PROPOSTES PER A L’ADAPTACIÓ CURRICULAR

12

5

5

Y

X

De les funcions anteriors: • Quines són creixents? • Quines són decreixents?

• Hi ha cap característica en l’expressió de les funcions y = 5x − 1, y = 3x − 1, y = x − 1, y = −x − 1, y = −3x − 1 que indiqui quines són creixents i quines decreixents?

Calcula la taula de valors d’aquestes funcions i representa-les als eixos de coordenades.

y = 5x − 1 y = 3x − 1 y = x − 1 y = −x − 1 y = −3x − 1 4 x y= 5x− 1 −3 5 ⋅ (−3) − 1 = −15 − 1 = −16 −2 5 ⋅ (−2) − 1 = −10 − 1 = −11 −1 5 ⋅ (−1) − 1 = − 5 − 1 = −6 0 5 ⋅ 0 − 1 = 0− 1 = −1 1 5 ⋅ 1 − 1 = 5− 1 = 4 2 5 ⋅ 2 − 1 = 10 − 1 = 9 3 5 ⋅ 3 − 1 = 15 − 1 = 14 x y= 3x− 1 −3 −2 −1 0 1 2 3 x y= −x− 1 −3 −2 −1 0 1 2 3 x y_{= −3}x_{− 1} −3 −2 −1 0 1 2 3 x y=x − 1 −3 −2 −1 0 1 2 3 Funció 1 Funció 2 Funció 4 Funció 5 Funció 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10 −11 −12 −13 −14 −15 −15 −14 −13 −12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 831110 _ 0379-0390.qxd 20/7/07 17:43 Página 384

12

OBJECTIU 3

• Per representar una recta només cal conèixer dos punts pels quals passa.

• Per trobar l’equació de la recta y= mx + n que passa per dos punts, conegudes les seves coordenades A(x1,y1);B(x2,y2), ho farem així:

1r Calculem el valor del pendent→ m =

2n Substituïm les coordenades d’un dels punts a l’equació general de la recta, i obtenim el valor de l’ordenada a l’origen,n:

y1= mx1+ n → n = y1− mx1

o bé:

y2= mx2+ n → n = y2–mx2

3r Substituïm els valors obtinguts per al pendent (m) i l’ordenada a l’origen (n) a l’equació general de la recta. y y x x 2 1 2 1 − −

Escriu l’equació de la recta que passa pels punts A(2, −1) i B(−3, − 4) i representa-la.

1

Troba l’equació de la recta que passa pel punt A(2, −1) i té pendent m = −2. Fes una taula de valors i representa-la. 2

Calcula l’equació de la recta que passa pels punts A(3, 2) i B(4, 0).

1r Calculem el valor del pendent:

m=

2n Obtenim el valor de l’ordenada a l’origen substituint, per exemple, el punt A: 2= −2 ⋅ 3 + n → n = 8

3r Substituïm els valors obtinguts:

y= mx + n ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→m= −2, n = 8 y = −2x + 8 0 2 4 3 2 − − = −

EXEMPLE

OBTENIR L’EQUACIÓ DE LA RECTA QUE PASSA PER DOS PUNTS

−2 −4 −6 6 4 2 −7 −5 −3 −1 1 3 5 7 5 5 −2 −4 −6 6 4 2 −7 −5 −3 −1 1 3 5 7 5 5 PROPOSTES PER A L’ADAPTACIÓ CURRICULAR