Ley de Gauss

1.3. Teorema de Gauss

La ley de Coulomb y el principio de superposición permiten de una manera completa describir el campo

electrostático de un sistema dado de cargas en el vacío. Sin embargo, las propiedades del campo

electrostático se pueden expresar en una forma más general, sin necesidad de tener en cuenta la

representación coulombiana del campo de una carga puntual.

Introduzcamos una nueva magnitud física que caracteriza el campo eléctrico: el flujo

Φ

del vector

intensidad del campo eléctrico. El concepto de flujo del vector es análogo al concepto de flujo del

vector velocidad

al estudiar la corriente del líquido no comprimible. Supongamos que en el espacio

donde se ha creado un campo eléctrico se encuentra cierta superficie suficientemente pequeña

Δ

. El

producto del módulo del vector

con el área

Δ

y el coseno del ángulo a entre el vector y la normal

a la superficie, se denomina flujo elemental del vector intensidad a través del elemento de superficie

Δ

(fig. 1.3.1):

ΔΦ

· Δ

Δ cos

Δ

,

donde

es el módulo de la componente normal del campo

Figura 1.3.1. Sobre la definición de flujo

ΔΦ

.

Cuando el elemento de superficie tiende a cero,

Δ

0

, tenemos que el

flujo elemental

a través de

una porción de superficie de área dS, es igual a la magnitud física escalar definida por la igualdad

dΦ

·

d cos

d

.

El flujo total del campo eléctrico a través de la superficie S se halla sumando o integrando todos los flujos

elementales:

Φ

·

cos

En este caso todos los vectores , normales a las áreas dS, deben dirigirse a un mismo lado de la

superficie S.

Analicemos ahora una superficie cualquiera cerrada S. Si dividimos esta superficie en superficies

elementales

Δ

, definimos los flujos elementales

ΔΦ

del campo

a través de estas superficies

elementales, y luego sumamos, como resultado obtenemos el flujo total

Φ

del vector

a través de la

superficie cerrada S (fig. 1.3.2):

Φ

ΔΦ

,

figura 1.3.2.

Cálculo del flujo a través de cualquier superficie cerrada S.

O en forma integral

Φ

·

cos

Teorema de Gauss

:

El flujo del vector intensidad del campo electrostático

a través de

cualquier superficie cerrada

es

igual a la suma algebraica de las cargas eléctricas

, , … ,

,

que se encuentran dentro de dicha

superficie, dividida entre la constante eléctrica :

Φ

·

1

.

En el caso del campo en un medio con permeabilidad dieléctrica tenemos

Φ

·

1

.

En este caso se introduce el

vector desplazamiento eléctrico

y el teorema de Gauss toma

la forma

Φ

·

.

Para demostrar el teorema de Gauss veamos primero una superficie esférica

en el vacío, en cuyo

centro se encuentra una carga puntual q. El campo eléctrico en cualquier punto de la esfera es

perpendicular a dicha superficie y es igual en módulo a

1

4

donde R es el radio de la esfera . El flujo

Φ

a través de la superficie esférica es igual al producto del

campo

por el área de la esfera

4

. Por consiguiente

Φ

Rodeemos ahora la carga puntual con cualquier superficie cerrada y analicemos una esfera auxiliar de

radio

(fig. 1.3.3).

Figura 1.3.3.

Flujo del campo eléctrico de una carga puntual a través

de una superficie cerrada cualquiera S que encierra la

carga.

Veamos el cono con un pequeño ángulo sólido

ΔΩ

en su vértice. Este cono abarca sobre la esfera un

área pequeña

Δ

y sobre la superficie S – un área

ΔS

. Los flujos elementales

ΔΦ

y

ΔΦ

a través de

estas áreas son iguales ya que

ΔΦ

E ΔS , ΔΦ

EΔS cos α

EΔS

Pero

ΔS

ΔS cos α

es el área abarcada por el cono con ángulo sólido

ΔΩ

sobre la superficie de la

esfera de radio r.

Como

/

/

y

Δ /Δ

/

entonces

ΔΦ /ΔΦ

1

, es decir

ΔΦ

ΔΦ

. De donde se deduce

que el flujo total del campo eléctrico de una carga puntual a través de cualquier superficie que encierra

esta carga, es igual al flujo

Φ

a través de la superficie esférica auxiliar:

Φ

Φ

De la misma manera se puede mostrar que si la superficie cerrada S no abarca la carga puntual q,

entonces el flujo

Φ

0

. Este caso está representado en la fig. 1.3.2. Todas las líneas del campo de la

carga puntual atravisan por completo la superficie cerrada S. Dentro de la superficie S no hay cargas, por

eso en esta región las líneas de campo no terminan ni comienzan.

La generalización del teorema de Gauss para el caso de cualquier distribución de cargas surge del

principio de superposición. El campo de cualquier distribución de cargas se puede representar como la

suma vectorial de los campos eléctricos de las cargas puntuales. El flujo total

Φ

de un sistema de

cargas a través de una superficie cerrada cualquiera S será igual a la suma de los flujos

Φ

de los

campos eléctricos de cada una de las cargas por aparte. Si la carga se encuentra dentro de la

/

De esta manera el teorema de Gauss se ha demostrado.

El teorema de Gauss es una consecuencia de la ley de Coulomb y el principio de superposición. Pero si

aceptamos la afirmación contenida en este teorema como un axioma inicial, entonces es la ley de

Coulomb la que viene a ser consecuencia del teorema de Gauss. Por eso el teorema de Gauss a veces

se llama formulación alternativa de la ley de Coulomb.

Usando el teorema de Gauss se puede en muchos casos calcular fácilmente la intensidad del campo

eléctrico alrededor de un cuerpo cargado si la distribución dada de cargas tiene cierta simetría y la

estructura general del campo se puede predecir con anticipación. Para esto hay que elegir una superficie

cerrada del tal modo que en la expresión del flujo, el vector

E

(o el vector

D

) se pueda sacar fuera del

signo de la integral de superficie. Esto se puede hacer, por ejemplo, para los campos creados por cargas

muy simples simétricamente situadas (línea, plano, esfera, etc., cargados.)

Como ejemplo nos puede servir el problema de hallar el campo de un cilindro hueco largo de paredes

delgadas y radio R, cargado homogéneamente con densidad lineal de carga . Este problema tiene

simetría axial, por lo cual el campo eléctrico tiene que estar dirigido en dirección del radio. Por eso, para

aplicar el teorema de Gauss se elige una superficie cerrada S en forma de cilindro coaxial de cierto radio

r y longitud l, cerrado en sus partes transversales. (fig. 1.3.4).

Figura 1.3.4.

Cálculo del campo de un cilindro cargado

homogéneamente. OO' – eje de simetría.

Cuando r = R todo el flujo del campo eléctrico va a pasar a través de la superficie principal del cilindro,

cuya área es igual a

2

, ya que el flujo por las dos bases es igual a cero. Por el teorema de Gauss no

da como resultado:

De donde

2

Como se puede apreciar, este resultado no depende del radio R del cilindro cargado, lo que significa que

podemos aplicar este resultado al hallazgo del campo de un hilo largo cargado homogéneamente.

Para hallar el campo dentro del cilindro cargado, hay que construir una superficie cerrada para el caso

cuando r < R. Debido a la simetría del ejercicio el flujo del vector intensidad a través de la superficie

principal del cilindro, debe ser en este caso también igual a

Φ

2

. De acuerdo al teorema de Gauss, este flujo es proporcional a la carga que se encuentra

dentro de la superficie cerrada. Dicha carga es igual a cero. De aquí se deduce que el campo eléctrico

dentro del cilindro hueco cargado homogéneamente es igual a cero.

De la misma manera se puede aplicar el teorema de Gauss para determinar el campo eléctrico en

muchos otros casos, cuando la distribución de las cargas tiene cierta simetría, por ejemplo simetría con

respecto a un centro, a un eje o a un plano. En cada uno de estos casos hay que elegir una superficie

gaussiana cerrada conveniente. Por ejemplo en el caso de simetría central, la superficie gaussiana

puede ser una superficie esférica con centro en el punto de simetría. En el caso de simetría axial la

superficie gaussiana puede ser un cilindro coaxial cerrado por los lados transversales (como en el

ejemplo anterior). Si la distribución de cargas no tiene ninguna simetría y la estructura general del campo

no se puede predecir, entonces el teorema de Gauss no facilita el problema de hallar el campo.

Veamos un ejemplo más sobre la distribución simétrica de cargas. Hallemos el campo de un plano

cargado homogéneamente con densidad de carga superficial (fig. 1.3.5).

Figura 1.3.5.

Campo de un plano cargado homogéneamente.

– densidad superficial de la carga. S –

superficie gaussiana cerrada.

En este caso la superficie gaussiana S es conveniente elegirla en forma de cilindro de cierta longitud,

cerrada por los lados transversales. El eje del cilindro está dirigido perpendicularmente al plano cargado,

y sus lados transversales localizados a una misma distancia de él. Por simetría, el campo en cualquier

punto del plano cargado debe estar dirigido en dirección de la normal al mismo plano. Por el teorema de

Gauss tenemos:

2 Δ

Δ

,

2

hallando el campo, hasta el plano debe ser de dimensiones mucho menores que las dimensiones del

plano.

El lector puede demostrar de la misma manera que el vector desplazamiento,

,

sobre una

superficie metálica a una distancia infinitesimal de ella es

, es decir igual a la magnitud de la carga

desplazada por el campo desde dentro del conductor, en unidad de superficie. De aquí surge el nombre

de “vector desplazamiento eléctrico”. De igual manera el campo eléctrico en medio de las placas de un

capacitor es la suma de los campos correspondientes a cada una de las placas:

2

2

Al comparar los ejemplos del campo sobre una superficie metálica con el de un plano surge a primera

vista cierta contradicción: en ambos casos tenemos superficies cargadas, pero en ellas el campo se

diferencia en el doble. En realidad no hay ninguna contradicción. En el caso del plano, obtuvimos el

campo generado solamente por las cargas del plano, mientras que en el caso de la superficie, el campo

sobre ella, es la suma de el campo de las cargas de la superficie más el campo que empuja las cargas

hacia la superficie, éste puede ser un campo externo de cargas negativas que no se ve a primera vista.

Ecuación de Poisson:

En el cálculo vectorial se muestra que el límite de la relación del flujo de cualquier vector

a través de

una superficie cerrada S con la magnitud del volumen encerrado por la superficie, cuando

0

no

depende de la forma de la superficie S. El límite de esta relación lleva el nombre de divergencia del

vector

y se denota por

div

.

Es decir, por definición (primeros dos términos) y aplicando el teorema

de Gauss (tercer término) obtenemos

div

lim

La ecuación div

se llama ecuación de Poisson.

Recomendaciones a la solución de problemas utilizando la ley de Gauss:

1. Leer el problema y sacar del texto la mayor cantidad de datos posible.

2. Determinar si el campo tiene algún tipo de simetría, y si lo tiene, determinar el tipo de simetría

(por ejemplo para una carga puntual la simetría es central, es decir el campo sale de un centro o

un punto, para un cuerpo cilíndrico cargado, la simetría es cilíndrica, para una esfera cargada la

simetría es central ya que todo el campo converge a un punto, el centro de la esfera, etc.)

3. Dibujar una superficie gaussiana con radio desde el centro de simetría hasta el punto donde se

quiere hallar el campo. La superficie gaussiana debe ser simétrica y acomodada al problema

dado para facilitar los cálculos. En cada caso hay que elegir una superficie gaussiana cerrada

conveniente. Por ejemplo en el caso de simetría central, la superficie gaussiana puede ser una

superficie esférica con centro en el punto de simetría. En el caso de simetría axial la superficie

gaussiana puede ser un cilindro coaxial cerrado por los lados transversales (como en el ejemplo

anterior). Si la distribución de cargas no tiene ninguna simetría y la estructura general del campo

no se puede predecir, entonces el teorema de Gauss no facilita el problema de hallar el campo.

4. Escribir la expresión del teorema de Gauss para la superficie gaussiana:

Φ

·

1

.

5. En el caso de campos de cuerpos con dimensiones infinitas, se reemplaza la carga por la

densidad de carga de acuerdo a las fórmulas de densidad lineal, superficial, volumétrica de

carga.

6. Tener en cuenta en qué partes de la superficie gaussiana el campo es paralelo o perpendicular

a la superficie. Allí donde es paralelo a la superficie (o perpendicular a la normal), el flujo es

igual a cero.