Método de aproximación en el dominio del tiempo para la síntesis de funciones mediante circuitos eléctricos

METODO

DE

APROIDIACION

EN

EL

DOMINIO DEL TIEMPO

PARA

LA

SINTESIS DE

FUN

ClONES

MEDIANTE

CIRCIDTOS ELECTRICOS

LA SINTESlS DE FUNClONES MEDIANTE CIRCUITOS ELECTRlCOS

lng.

Efraln

_Asenjo

Secci6n Alta TCIlJi6n

y Maquinu. J.I.EL

RESUMEN

Se _presenta un metodc de _aproximaci6n de fundanes en el dominio del _ticmpo.

La_aproximacion se realiza haciendo U50de las series de Fourier e introduciendo un factor

de _{amorttguamtento comun para los} distintos termlncs. La funci6n _{queda aproximada} as{ _por

media desinusoides_{amortiguadas.} Varios _ejemplos Ilustran el metodo,

ABSTRA.CT

A method (or the _{approximation} of functions in the time domain is _presented. This

approximation is attained _{by using} a Fourier series and _introducing a _damping factor wkich

is thesamefor all itsterms.Thus,thefunction is_{approximatedby damped}sinusoides.

Several _examples illustratethe method.

El

_problema

de sfntesis en el dominio del

_tiempo

consiste en encontrar un

circuito que tenga una_respuesta dadaenel

_tiempo

_parauna funci6n de entrada

conocida en el

_tiempo.

Para _que esto sea

_posible,

la funci6n que relaciona Ia respuesta y la entrada conocidas debe ser realizable. Esto en

_general

no ocurre

y se hace _{necesario, por} 10 tanto,

_aproximar

dicha funci6n _pot una _que sea

realizable.

Hasta ahora se han desarrollado

_{principalmente}

metodos de sintesis en el

dominio de 1a frecuencia. Ademas, como existe una relaci6n entre el dominio del

_tiempo

_{y el de} la frecuencia a traves de los transformsde _{Fourier y}

_Laplace.

un metodo

_posible

_{para resolver} el

_problema

es transformar los datos del domi­ nio del

_tiempo

al dominio de la frecuencia _y

_aproximar

la funci6n en est.

dominio. Sin

_embargo,

se ha encontrado _que una buena

_aproximaci6n

en el

dominio de la frecuencia

_puede

dar una mala

_aproximacion

en el dominio

del

_tiempo

_yes

_aqul

donde interesa controlar loserrores. De ahi laconveniencia de

_aproximar

la funci6n en el dominio del

_tiernpo,

funci6n _que

_luego

se

_puede

sintetizar, ya sea

_pasando

al dominio de I. frecuencia

_(caso

_general)

0 directa­

mente en el dominio del

_tiempo

si el circuito

_{correspondiente}

es ficilmente reconocible.

- 126

-Sea _g

_(I)

la _respuesta de un circuito a un

_impulso

de entrada", Se tratara de

_aproximar

_g

_(I)

mediante sinusoides

_amortiguadas

de

_igual

coeficiente de

amortiguamiento.

Sup6ngase

que interesa

aproximar g(1)

de I = 0 a I entonces la funci6n

_g,(l)

_{delinida por:}

</2.

Se considerara

(

_g,(I)

l

g,(I)

g(l)

o

(0

< I _<

_./2)

(I

>

./2)

y se analizara la

_{siguiente peri6dica h(l)}

de

_periodo

r:

h(l)

= e"

_g,(l)

(0

_< I _<

r) (a

_>

0)

la _que se ilustra en la

_figura

1.

Desarrollando la funci6n anterioren serie de Fourier. se obtiene una _expre­

si6n de la forma:

co co

h(l)

== A. +:ll

_A.

cos n w t ₊ :ll

B.

sen n wI

"=1 n=l

EI

_significado

de este _{desarrollo para los} diferentes intervalos de

_tiempo

es el

_siguiente:

Para 0 _< I _<

_</2,

co 00

h(l)

== e"'

_g,(t)

= A. + :ll

A.

cos n w I ₊ :ll

B.

sen n w I

,.=1 "=1

de donde:

co

g,(l)

=

_g(l)

==A. e:" :ll

A.

e-" cos n w

₊

:ll

_B.

«: sen n w I fI= _{1 n}"t

Se obtiene asf para el intervalo indicado, una

_aproximaci6n

_{para g}

_(I)

_que

sera tanto

_mejor

cuanto _mayor sea el _{numero de terrninos que} se considere

en el desarrollo de Fourier.

Para

_./2

_< t _< "

_h(l)

== 0

Un mimero finite de terminos en el desarrollo de Fourier da una funcion h'

_(I)

_que es

_{aproximadarnente}

cero en dieho intervale.

y como

hO(I)

"" 0

hOlt)

::: c"

_{gO ,(t)}

"" 0

e" _> 1

_(a>

₀₎

·Si setiene la _respuesta a una funci6n deentrada arbitrarla se_puede encontrar la _respuesta a

un _Impulsemediante metodosnumericcs. Ref.: E.A. Guillemin _"Synthesisof Passive Networks"

- _J.

g(t)

o

9,(

t)

t

o

_t

h( t)

t

- 128

-resuIta

_{gO ,(1)}

"'" 0

Para r _< t < 2,.

_hO(I)

es eI mismo que para 0 < t _< r _pero

_g°,(I)

_apa­ rece mucho mas reducido debido aI factor e:".

Loanteriorse ilusrra enla

_ligura

2.

1ft)

o

.­

s,

f

n

t

o

t

Fig.

2

Resumiendo,

la funci6n

_g0,(!)

obtenida es una

_aproximaci6n

de

_g(l)

_para o < I <

t/2,

que es _{el Intervale que interesa: y}

para

tiempos

mayores que

l/2

Ia

_exponencial

e:" reduce

_{apreciablemente}

el valor de

_gO,(I),

con 10 cual el error

enIa

_{aproxirnacion}

de

_g(l)

tienden a cero _para 1 suficientemente

_grande.

Se hace

notar_{que aunque el} errorfuera

_grande

en la zona I _>

_l/2,

no

_importarta,

_pues se

_{quiere aproximar}

bien

_g(l)

el intervale 0 _< I _<

_t/2

solamente.

Se ha _{supuesto por}

_simpJicidad

_que el

_semiperfodo

de 1. funci6n

_h(t)

es

inter-valeen el eual se

_quiere

_aproximar

_g(t),

_siempre

_que se _{mantenga la}

_aproxima­

cionde

_g(l)

eneste intervalo.

Ademas, se ha considerado una funci6n

_peri6dica

auxiliar

_h(t)

tal que

hit)

= 0 _para

T/2

_< I _< T. Esta eleccion conviene

_siempre

_que

g(O')

== O. Si

g(O')

¥= 0 conviene

_elegir

una funci6n

_{peri6dica h(t)}

_{tal que}

_h(O')

= h

(t-).

Todo esto se hace _{para evitar} una discontinuidad en

_h(1)

_para t = t _{ya que si}

h(O')

¥= h

(T-)

, h

(T-)

¥= h

(t')

y se hace mas diflcil obtener una buena

aproxi­

macion, Como interesa

_{aproximar g(t)}

5610 en cierto _intervale, se

_{puede elegir}

h(l)

en forma arbitraria fuera de dicho intervalo _y en

_particular

se

_{puede elegir}

hit)

tal_que h

_(t-)

=

h(O')

_{ya que} r es mayorqueel intervalo en el cual interesa

aproximar

g(I).

Para

_g(O')

= 0 tambien se

_podrfa

usar el _{criterio indicado para}

g(O')

¥= 0,0sea, hacers610

_h(O')

= h

_(r')

en vez de

_{elegit hit)}

= 0 _{para todo}

el

_semiperiodo

_t/2

< t _< r.

Dado que la funci6n

_h(l)

_que se debe usar es arbitraria fuera del intervalo

en el cual interesa

_aproximar

_{g(t) (excepto}

el hacer

_h(O')

=

h(t-)

_por conve­

niencia)

, se

podrfa

pensar en encontrar una funci6n

h(t)

tal que el error en e1

intervalo _que interesa sea mfnimo

_{cumpliendose,}

adernas, la condid6n

_h(O')

= h

(t-).

En el caso en _quese desee

_aproxirnar

un

_pulse

_g(l)

_que es cero _para t _{> t"}

es_muy conveniente laelecciondet = 2 _{I, Y} de

h(t)

=' 0 _para

_T/2

_< t _< r,

Aproximaci6n

de un

_{pulso triangular lipo}

diente de sierra. EI

_pulso

se muestra en la

_figura

�.

,

---«»

()

- 1'30

-La funci6n

_g(1)

est. _{definida por:}

{

g(l)

g(l)

==== I0

(0

< I _<

₁₎

(I

>

₁₎

Elijase

r== 2

segundos.

Entonces:

_g,(I)

=

_g(l)

₍₀

_< I <

1)

Se _{observa que}en este caso

_g,(I)

==

g(I).

EI valor de a se determinara

_{posteriormerue.}

La funci6n

_{periodica h(l)}

con

_pedodo

r == 2

segundos

est. dada, _por 10 tan­

to, por la

_expresi6n:

h(l)

== e"

_g,(I)

= e"

_g(l)

₍₀

_< I _<

₂₎

osea:

{

h(l)

h(l)

== Ie"0

(0

< I _<

₁₎

(1

< I _<

₂₎

Con 1a elecci6n anterior se

_cumple

Ia condici6n

_h(O')

== h

_(r)

_pues:

h(O')

= e"

g(O')

== 0 _Y h

(r)

= e "

_g(2')

== 0

Adernas,

_h(l)

= 0 para

<12

_< I < r.

Desarrollando en serie de Fourier, Sf tiene:

00 co

h(l)

== A, + :£

A.

cos n w I ₊ :£ B.sen n w I

n=I n=J

en _que:

w

A. == --_.

2"

h(l)

iu

W

All

==

---"

h(l)

cos n w I dl

W BII =

-_-"

h(l)

sen n w I dt

2" de donde, _{considerando que} (I) :::: --_,

r

A, -

!

f:

h(l)

dl ==

_!

f:

e' _(a

-1)

1

A. - +

A.

-f:

h(1)

COS" n t dl

-f·:

te·'cosJln,dt

A.

ae' e' [a'

-(n

n')]

-

(-1)'

-

(-1)'

+ a' +

(n

n)'

[a' +Alt

n)')'

a'

-(n n)'

[a' +

(n n)']'

B.

-f:

hi'i

sen " n t dt

f:

te·'Jen:rcntdt

(-1)··'---0' ₊

_{(" n)'}

+

(-I)'

_{[a' +}

₍₁₁

_n)']'

2 a 11 n

[a' +

(11

n

_),]'

De las

_expresiones

de

_A.

_y

_B.

se

_puede

deducir que conviene

_elegir

a < 2 para obtener una buena

_aproximacion

con un numero reducido de terminos, Si a < 1 la

_aproximaci6n

de

_g(l)

_para 0 < I < t es aun

_mejor.

Sin

_embargo,

la

_aproximacion

_para t _> t es _{pear pues} 1a atenuaci6n

_disminuye.

En realidad,

esto

_irnporta

5610 si inreresa

_aproximar

el

_pulso

_{para todo} t. Se

_elegira

a. = 1

como un buen

_compromiso.

Introduciendo a == _1; n == _1,2, ... 7 en las

expresiones

deA., A. Y B" se

obiiene:

A,

=

A,

= A, = A, =

A,

� A, "'"

A,

"'"

A,

_ 0,5 - 0,529 0,108 - 0,072 o o o o

B, = 0,588

B, = - 0,408

B, = 0,202

B,

= - 0,198 B, = 0,15J

B, = _0,V8

B, = 0,117

Por 10tanto:

g'(I)

=

e-'h'(I)

= eo' [0.5 _ 0.529 cos 11I + 0.588sen"I + 0.108 cos2 "t

- 0.408_sen 2_"I - 0.072 cosJ _"I0.202senJ _"I - 0.198_sen 4_"I

+ 01H sen 5 " I - O.VB_sen 6 ₁₁ I

+ 0.117sen 7 "

Il

-

l�2-,

o I t(S'gl

Fig.

,

Aproximaci6n

de tm

_pulso

_Iriangular.

Se desea

_aproximar

un

_{pulso triangular}

simetrico de altura 0.5 y duracior 1

_segundo.

el _que se muestra en la

_figura

5.

'.J-- _

gft)

•••

Fig. 5

La funci6n

_g(l)

_{esta definida par:}

I

g(l)

-

(0

< 1 <

0.5)

g(l)

- 1·1

(0.5

< 1 <

1)

l

g(l)

- 0

(I

>

1)

En este casoconviene

_elegir

e;::: 1

segundo.

a= 2 _Y

g,(I)

=

_g(l)

_para'todo I.

La funci6n

_{peri6dica h(l)}

de

_perlodo

, = 1

segundo

esta definida por:

h(t)

-

(l.t)

e"

(OS

< 1 <

1)

o sea

{

h(l)

- t e"

(0

< <

0.5)

con 10 cualse

_cumple

la condici6n

_h(O')

=

h("c)

_pues

h(O')

= e"

_g(O')

= 0 _y

h(,-)

= 0"

_g(r)

= 0

£1 desarrollo de

_h(t)

en serie de Fourier tiene la forma conocida: Los coeficientes valen:

A. _

2"

[1

h(t)

dt

2". 0

fO.5

=

0

t e,l dt

•

j

1

(1-1)

e" dl

+ + 0.74

• 0.5

(0,5

h(t)

cos2 "t dl =2

t

Ie" cos2" nIdI

₊

v

2

r

_{(1-I)e"c052"nl}

dl

_ 0,5

)2"en

A.=

_{(- 1)}

---­

[4

+

4

_("

_n)']'

_{[4 +}4

_{(" n)'l'}

2,,"

r

t B.= �

f°,5

h(t)sen2"nldl::::2

•

Ie" sen2"nIdi₊

2

f

1

(1

-

I)

e" sen 2" nidi

0.5

4.

_[4

- 4

("

n)']

2

_[4

- 4

(n

n)'l

[4 +4

_{(" n)'l'}

-+

[4 +4

_{(n n)'l'}

2e'

_[4

- 4

("

n)']

[4 +4

_{(" n)'l'}

Tomando los terminosdela serie de Fourierhastan =),seobtiene:

A,

= 0,74

At

= -

0,521

A, =

-0,035

A,

= -

0,085

A.

= - 0,008

A,

:::: -

0,0027

Bt

= - 0)69

B, = - 0,0114

B,

:::: - 0,0161

B.:::

- OPOU

B,

::: -

0,0037

- 1�4

-g,'(I)

=

e-'hO(I)

= e-I'

_[0.74

- 0.521 cos2" I- 0.369_sen 2"

1-0.0)5 cos""I- 0.0114sen., ,,1- 0.085 _cos6"_I

-0.0161 sen 6"1-0.008cos8"1- 0.0015sen 8It

1-0.0027 cos10"I - 0.0037 _sen 10 It

II

El resultadosemuesrraenla

_figura

6.

gO(I)

•

FI,. •

APROXIMACION DE UN PULSO RECTANGULAR

El

_pulso

se rnuestra en I.

_figura

_7.

gil}

o

Fig.

7

L. _{funci6n g}

_(I)

_{esta definida por:}

g(l)

=1

g(l)

=0

(0

< I _<

₁₎

J

g

,(I)

-lI(t) (0< t<1)

"\.g,(t)-(t-I)e·.'

(t>l)

La funci6nperi6dica h(t)deperfcdc r = 2

segundo.

esta definida por:

h(rJ-e··

_g,(t)

(0<t<2)

o sea,

{

h(l)

=e"

h(1)

=

_(I

-I)

(0<1<1)

(1

< 1 <

2)

Con laelecci6nanteriorse

_rumple

I.condici6n

h(O')

=

h(t')

_pues:

h(G')

=

_g,(O')

= 1 I

_h(t")

= e"

g,(2')

= e"

₍₂

-1)e'" = 1.

Loscoeficientes de Ia seriedeFourier valen:

h(l)dl

=

_t

J'

:

e" dt ₊

_t

J':

(I-l)dl

_1_

_(e'

_-1)

₊

_t

2a

4.=:

.l'

�

h(t)cosnntdt

J:"

cosn 1(1 dt ₊

j:(I_l)<OS

nntdt

A.=

A....=

Q ,

1

---[

(

-IT

e

-I]

+

--[1

-(-

IT]

a' ₊

_(n

1()'

(n n)'

ll.=

"n

[(_1)"",'+1]-_1-Q' _+(1(n)' lin

d._{4" 4.}

r B.se obtiene:

4,

= 1,105

A,

= - 0,141

4, = o,on

A,

= _

0,019

4,

= 0

Ai

� 0

A.

"" 0

4,

"" °

B, = 0,757

B, = - 0,.'26

B, = 0,284

B,

= - 0,21J

B. = 0)72

-

136-Por 10 tanto:

g,O(I)

=

e"hO(I)

= eo'

[1,105

_ 0,141 _CDS"

,+ 0,757sen"

_,+

0,043 cos2"I

-

0,426

_sen2"1-

0,019

_cosJ"

,+

0)281

sen J "I-

0)21J

_sen 1ftI

+ 0,172sen5"1-_0,144sen6"I _{+ 0,1Z4}sen 7"

_I]

La

_figura

8 muestra la

_aproximacion

obtenida,

,"(1)

1 J

fCU,]

•

Fig. ,

En el

_ejemplo

anterior se

_eligio

h

_(I),

de tal _{modo que} se

_cumpliera

la condicion h

_(0')

= h

_(").

Para

apreciar

la convenienda de que dicha condi­

ci6n se

_cumpla

se resolver! el

_problema

sin tornar dicha

_precauci6n.

La _{fund6n g}

_(t)

esta delinida

_igual

_que antes _por:

{

get)

get)

== I0

(0

< I _<

_I)

(I

>

I)

Lafuncion

_{periodica h(l)}

de

_perfodo

e =2

segundo,

estadefinida por:

h(l)

= e"

_gil)

=

_e"g(t)

₍₀

_< I _<

₂₎

o sea.

{

h(l)

=e"

h(l)

=0

(0<1<1)

(I

<

1<2)

En este caso:

h(O')

=I

h(,,)

=0

.'

_.h(O')

_<F

_h(,,)

EIdesarrollo deFourierdalos

_siguientes

resultados:

A.= 1

_{(e' -1)}

2a

A..==

"

[.

h(l)cosn"ldl=

j"

-"

" , . ,

A,,= a

_[(-1)e'-1]

a'

₊

_{(n "J}

B,,= "

j

,

,

h(1)senn"ldl=

j>'

"

, , ,

B.= "n

_[(-11""'+1)

a'+("nJ

e·'cos nntdt

e"senn"tdl

Tal como en e1 caso _anterior,

_elljase

a = 1. Introduciendo 105 valores n = 1, 2, ... 7 en las

expresiones

de A..A. Y B. se obtiene:

A.

=

0,86

A,

= - 0)42

A. = 0,00

A,

= - 0,041

A,

_ 0

A,

_ 0

A,

"" 0

A, "" 0

B, = 1,075

B, = - 0,267

B, = ₀₎₉

B,

= -

0)36

B,

= 0,236

B, = - 0,091

B, = ₀₎₆₉

Por 10 tanto:

a»

=

e-'hO(I)

= e:'

_[0,86

- 0)42_cos"t

+ 1,075 sen"1

_{+ OjH3}

cos_2"I

-0,267

sen 2", - 0/)41 _cos 3",

+ 0)9 sen 3",

-0)36 sen 4"t

+ 0,236sen5"1 - 0,091 _sen 6"1

+

0,169sen 7"

_I]

La

_aproximacion

_{que result.}seilustraen1.

_Iigura

9.

- 138

-La

_{aproxirnacion}

obtenida en la

_figura

8 _para el intervalo _que interesa

(0

< t _<

₁₎

es

_mejor.

Se hace notar _{que si} interesara

_aproximar

_g

_(I)

_para

todo t habria dudas en cuanto a cual resultado es mas _{conveniente, ya}