Estimação e Construção de Intervalos de Confiança
27-11-2010
Considere-se a variável “grau do nó” de cada um dos tipos de situações de risco do Risks Interconnection Map, representada na seguinte tabela:
A média populacional é 18,33 e o desvio padrão 6,267.
Retirou-se uma seguinte amostra de dez tipos de situações de risco, resultante na seguinte colecção de dados.
Pretende-se que:
a) Calcule a estimativa pontual para a média populacional.
b) Calcule e interprete o intervalo de confiança a 90% para a média populacional com base na média amostral estimada na alínea anterior e assumindo:
Alínea a):
Assumindo que a média populacional é desconhecida e que dispomos apenas da seguinte amostra de dados:
18 15 33 21 24 14 14 6 13 11
A estimativa pontual da média populacional é calculada a partir da média amostral, isto é, da média dos dados acima apresentados. Para facilitar o cálculo da média torna-se útil a
ordenação dos dados e a construção da tabela de frequências: Dados Ordenados: 6 11 13 14 14 15 18 21 24 33
A partir dos dados ordenados torna-se, agora, mais fácil construir a tabela de frequências:
Grau Fi Fi Grau x fi
6 1 0,1 0,6
11 1 0,1 1,1
13 1 0,1 1,3
14 2 0,2 2,8
15 1 0,1 1,5
18 1 0,1 1,8
21 1 0,1 2,1
24 1 0,1 2,4
33 1 0,1 3,3
Assim, a média amostral é de 16,9.
Alínea b):
Assumindo que se conhece o desvio padrão populacional, este é 6,267, então utiliza-se a distribuição normal para calcular o intervalo de confiança. A fórmula geral é dada por:
Os elementos que já conhecidos, e que não precisamos de calcular, são:
Falta-nos, somente, calcular o valor de :
Para um nível de confiança de 90% o valor de é dado por: , assim, temos que calcular o valor de . Considere-se, para o efeito, a seguinte representação gráfica:
Nas “abas” acumula, em cada lado 5% de probabilidade, enquanto que no centro acumula 90%, assim, procura-se o valor da função de distribuição correspondente a uma probabilidade de 5% para a cauda superior e encontra-se o valor 1,645. Assim, temos: .
Temos, agora, todos os elementos necessários para o cálculo do intervalo de confiança, assim, para os limites do intervalo obtemos o seguinte resultado:
90%
.
A interpretação do intervalo é a seguinte: com 90% de confiança, a média populacional encontra-se no intervalo .
Seria incorrecta a afirmação de que com 90% de probabilidade a média populacional se encontra no intervalo , a probabilidade de 90% refere-se a um elevado número de amostras retiradas da população e tem uma interpretação frequencista em relação ao cálculo dos intervalos de confiança, a partir do momento em que se obtém um intervalo concreto a média populacional ou se encontra no intervalo ou não, a probabilidade, neste último caso, é 0 ou 1, assim, para a interpretação de um intervalo concreto utiliza-se o termo
confiança.
Assumindo, agora, que se desconhece o desvio padrão populacional, tem que se trabalhar com o desvio padrão amostral, que neste caso é cerca de 7,578. Dado que estamos a trabalhar com pequenas amostras temos que utilizar a distribuição t-Student e não a normal padrão. Dado que a dimensão da amostra é de 10 elementos, o número de graus de liberdade é de 9. Assim, temos de consultar a tabela da t-Student para 9 graus de liberdade. Para 5% de probabilidade temos o valor 1,833, assim, os limites do intervalo são dados por:
;
Assim, com 90% de confiança, a média populacional encontra-se no intervalo
.
Alínea c):
Assumindo que a variância populacional é o parâmetro desconhecido a ser estimado, a fórmula geral para o intervalo de confiança é dada por:
em que e são, respectivamente, para a distribuição do Qui-Quadrado com graus de liberdade, o limiar à esquerda onde acumula , e o limiar à direita cuja probabilidade de ser excedido é também .
Assim, para o cálculo do intervalo, dispomos da seguinte informação:
Falta-nos, apenas, o cálculo dos valores e . Dado o nível de confiança ser 90%, sabemos que , logo, temos que consultar a tabela da distribuição do Qui-Quadrado com 9 graus de liberdade.
O valor de é consultada na tabela dos valores à direita, para 5% e 9 graus de liberdade o valor correspondente é: 16,919. Por seu turno, para 5% e 9 graus de liberdade o valor correspondente à esquerda é 3,325.
Assim, temos: e . Podemos, agora, calcular o valor dos limites do intervalo de confiança:
Considere-se, uma vez mais, a variável “grau do nó” de cada um dos tipos de situações de risco do Risks Interconnection Map, representada na seguinte tabela:
Retirou-se a seguinte amostra aleatória de 20 observações 15
Procura-se inferir acerca da proporção populacional de casos com grau superior a 18. Assim, pretende-se que:
1. Calcule a estimativa pontual.
2. Construa o intervalo de confiança a 95%.
Resolução:
Em primeiro lugar, note-se que, neste caso concreto, conhecemos a população, assim, sabemos que 0,472 é a proporção de situações de risco com grau superior a 18 (este valor vem das frequências relativas acumuladas até 18 (inclusive) 0,528, assim temos 1 – 0,528 = 0,472, que é a proporção de casos com grau superior a 18).
Contudo, assumindo que não se conhecia a população, se apenas tivéssemos acesso à amostra, teríamos de aplicar inferência estatística, a partir da proporção amostral.
Ordenando os dados da amostra obtém-se (os casos com grau superior a 18 foram destacados a azul): 6 6 11 13 15 15 16 16 18 19 19 20 20 21 21 21 22 22 22 31
assim, resolvida. Trata-se, agora, de calcular o intervalo de confiança para a proporção populacional.
A fórmula geral para o intervalo é a seguinte:
Dado que o estimador segue uma distribuição normal, para se determinar o valor de torna-se necessário consultar a tabela da normal padrão. Neste caso concreto temos, para um nível de confiança de 95%, um valor para , o que significa que temos que procurar o valor correspondente a que, neste caso, é dado por 1,96 (valor correspondente a uma probabilidade de 0,025 na tabela dos valores especiais).
Assim, temos, para o intervalo de confiança:
Assim, com uma confiança de 95% a proporção populacional situa-se no intervalo
