Tema2 EDO (Gerardo)

ECUACIONES DIFERENCIALES (0256)

Tema 2:

Ecuaciones Lineales de Orden Superior

2.1- Ecuación Diferencial Lineal de orden n. Solución. Teorema de existencia y unicidad de soluciones. Teoremas sobre la solución de ecuaciones diferenciales lineales.

2.2- Dependencia e independencia lineal de funciones. El Wronskiano. Conjunto fundamental de soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea. Principio de Superposición. Ecuación lineal de segundo orden: construcción de una segunda solución a partir de una conocida

2.3- Operador diferencial lineal. Propiedades.

2.4- Ecuación lineal homogénea de orden n, con coeficientes constantes. Ecuación característica. Solución general.

2.5- Ecuación lineal no homogénea con coeficientes constantes.

2.6- Métodos para hallar soluciones particulares: Coeficientes indeterminados, Variación de parámetros.

2.7- Aplicaciones de ecuaciones lineales de segundo orden: vibraciones mecánicas y eléctricas.

2.8- Ecuaciones lineales con coeficientes variables. Ecuación de Euler homogénea y no homogénea

2.9- Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes variables. Definición de Función Analítica Real en un punto de su dominio. Puntos Ordinarios y Puntos Singulares de una ecuación lineal de segundo orden con coeficientes variables.

2.10- Uso de Series de potencias para hallar soluciones de una ecuación lineal con coeficientes variables. Solución en series de potencias en la vecindad de un punto ordinario. Problemas de valor inicial. Ecuación de Legendre.

2.11- Solución en series de potencias en la vecindad de puntos singulares. Método de Frobenius.

Ecuaciones Lineales de orden “n”. Generalidades

1.- Demuestre que las funciones

y

₁

=

x

2 y

y

₂

=

x

3 son dos soluciones diferentes de la ecuación

x y

2

′′

−

4

xy

′

+

6

y

=

0

y que ambas satisfacen las condiciones iniciales y

( )

0 =0, y′

( )

0 =0. Explique por qué este hecho no contradice el Teorema de Existencia y Unicidad.

2.- En cada uno de los siguientes casos determine si las funciones dadas son linealmente dependientes o linealmente independientes:

a)

f

₁

( )

x

=

5

, f

₂

( )

x

=

cos x, f

2 ₃

( )

x

= −

sen x

2 b)

f

₁

( )

x

=

x, f

₂

( )

x

=

x ln x, f

₃

( )

x

=

x ln x ,x

2

>

0

R: a) Linealmente Dependientes b) Linealmente Independientes

3.- Verifique que las funciones

y

₁

=

x

2 y

y

₂

=

x ln x

2 constituyen un conjunto

fundamental de soluciones para la ecuación

x y

2

′′

−

3

xy

′

+

4

y

=

0

en

(

0

,

+∞

)

. Forme la solución general de la misma.

R:

y

=

C x

₁ 2

+

C x ln x

₂ 2

4.- a) Compruebe que

y

₁

=

e

x

cos x

y

y

₂

=

e

x

senx

constituyen un conjunto fundamental de soluciones para la ecuación

y

′′

−

2

y

′

+

2

y

=

0

.

b) Construya la solución general de a ecuación

c) Determine la solución particular que satisface las condiciones de frontera y

( )

0 =0, y

( )

π =0

R: b)

y

=

C

₁

e

x

cos x

+

C

₂

e

x

senx

, c)

y

=

C

e

x

senx

(infinitas soluciones)

5.- Sabiendo que

y

=

2

es una solución de la ecuación

(

x

−

1

)

y

′′

+

y

′

=

0

, obtenga la solución general de la misma.

R:

y

=

C

₁

+

C ln x

₂

(

−

1

)

6.- Dada la ecuación

x y

2

′′

−

4

xy

′

+

6

y

=

0

, x >0

a) Demuestre que

y

=

x

2 es una solución de la misma b) Determine su solución general

Ecuación lineal homogénea de orden n, con coeficientes constantes. Ecuación característica. Solución general.

1.- Si una ecuación diferencial homogénea con coeficientes constantes es tal que su ecuación característica tiene raíces

m

₁

=

2

, m

₂

=

m

₃

= −

1

¿Cuál es la ecuación?

R:

y

′′′

−

3

y

′

−

2

y

=

0

2.- Obtenga la solución general de cada una de las ecuaciones planteadas a continuación

a)

y

′′ − =

y

0

R: 1 2

x x

y

=

C

e

−

+

C

e

b)

4

y

′′

−

4

y

′

+ =

y

0

R: 2 2

1 2

x x

y

=

C

e

+

C x

e

c)

y

′′

−

8

y

′

+

16

y

=

0

R:

y

=

(

C

₁

+

C x

₂

)

e

4x

d)

y

′′

−

2

y

′

+

2

y

=

0

R:

y

=

(

C cos x

₁

+

C senx

₂

)

e

x

e)

y

′′′

−

8

y

′′

+

16

y

′

=

0

R:

y

=

C

₁

+

(

C

₂

+

C x

₃

)

e

4x

f)

y

′′′

−

21

y

′

+

20

y

=

0

R:

y

=

C

₁

e

x

+

C

₂

e

4x

+

C

₃

e

−5x

g)

_y

( )IV

−

_y

′′′

−

₄

_y

′′

+

₄

_y

′

=

₀

R: y=C₁+C₂

e

x+C₃

e

2x+C₄

e

−2x h)

y

′′′

+

y

′′

−

2

y

=

0

R: y=C₁

e

x+

(

C cos x C senx₂ + ₃

)

e

−x

i)

y

′′ +

25

y

=

0

R:

y

=

C cos x

₁

5

+

C sen x

₂

5

j)

y

( )IV

− =

y

0

R:

y

=

C

₁

e

x

+

C

₂

e

−x

+

C cos x

₃

+

C senx

₄

k)

y

( )IV

−

y

′′′

=

0

R:

y

=

C

₁

e

x

+

C

₂

+

C x

₃

+

C x

₄ 2

l)

y

( )IV

+

4

y

′′

+

4

y

=

0

R:

(

)

|

(

)

|

1 2 2 3 4 2

y= C +C x cos x+ C +C x sen x

3.- Resuelva el problema

y

′′ + =

y

0

, con las condiciones de frontera

a)

y

( )

0

=

0

, y

( )

π =

0

b)

y

( )

0

=

0

, y

( )

π =

1

c)

( )

( )

2

0

0

1

y

=

, y

π

=

R: a) y=Csenx

(

infinitas soluciones

)

b) No tiene solución c)

y

=

senx

4.- Determine los valores del parámetro λ a fin de que el problema de valor en la frontera

y

′′ + λ =

y

0

, y

( )

0

=

0

, y L

( )

=

0

, tenga solución no trivial. (L es una constante tal que L > 0). Sugerencia: considere 3 casos: a) λ >0 (λ=ω2), b) λ =0, c) λ <0 (λ=-ω2) R:

2 2

2 1 2 3

n

n , , ,.... L

π

Ecuación lineal no homogénea de orden n, con coeficientes constantes. Métodos de Coeficientes Indeterminados y Variación de Parámetros.

1.- Resuelva las siguientes ecuaciones usando el método de Coeficientes Indeterminados

a)

y

′′

−

3

y

′

+

2

y

=

60

R: 1 2

2

30

x x

y

=

C

e

+

C

e

+

b)

y

′′

+

4

y

′

+

4

y

=

2

x

+

6

R: ₁ 2 ₂ 2

1

1

2

x x

y

=

C

e

−

+

C x

e

−

+

x

+

c)

_y

′′

−

₃

_y

′

+

₂

_y

=

₄

_x

_e

3x R:

y

=

C

₁

e

x

+

C

₂

e

2x

+

(

2

x

−

3

)

e

3x

d)

y

′′

−

2

y

′

+

5

y

=

e

x

senx

R:

(

₁

2

₂

2

)

1

3

x x

y

=

C cos x

+

C sen x

e

+

e

senx

e)

y

′′

−

2

y

′

= −

4

cos x

+

3

x

R: 2

1 2

2 4 8 3 3

5 5 4 4

x

y=C +C

e

+ cos x+ senx− x − x

f)

_y

′′′

− =

_y

′

₃

_e

2x R: _{1 2 3}

1

2

2

x x x

y

=

C

+

C

e

+

C

e

−

+

e

g)

y

′′

−

2

y

′

+ =

y

e

x R: 2

1 2

1 2

x x x

y=C

e

+C x

e

+ x

e

h)

y

′′ + =

_{( )}

y

4

x

_{( )}

+

10

senx

0 2

y π = , y′ π = R: y= π9 cos x+7senx+4x−5x cos x

i) y′′−6y′+9y=

(

x+1

)

e

3x R: _{1 2}

1

2

1

3 3

2

6

x

y

=



_

C

+

C x

+

x

+

x



_

e





j) y′′+2y′−24y =16−

(

x+2

)

e

4x R:

2

1 2

6 4 4 19 2

20 100 3

x x x x x

y=C

e

− +C

e

−

e

_ + _−

 

k)

_y

′′′

−

_y

′′

+ − =

_y

′

_y

_x

e

x

−

e

−x

+

₇

R: 2

1 2 3 7

4 2 4

x x x x x

y Ce C cos x C senx e e

−

 

= + + + _ − _+ −

 

2.- Utilice el método de Coeficientes Indeterminados para obtener una solución particular de la ecuación dada

a) ( )5 ( )3 2

y

+

y

=

x

R:

(

)

5 3

1

20

60

p

y

=

x

−

x

b)

y

′′ + =

y

6

cos x

2

R:

y

_p

= −

2

cos x

2

c)

y

′′ +

4

y

=

senx sen x

2

R:

1

3

1

10

6

p

d)

y

′′ + =

y

2

xsenx

R:

1

2

1

2

2

p

y

= −

x cos x

+

xsenx

3.- Usando el método de variación de parámetros resuelva las ecuaciones siguientes

a)

y

′′ + =

y

tg x

2

Respuestas

[

]

1 2 2

y=C cos x+C senx+senx ln sec x+tgx −

b)

y

′′ + =

y

sec x

3 1 2

1 2

y=C cos x+C senx− sec x+tgx.senx

c)

y

′′

−

3

y

′

+

2

y

=

sen

( )

e

−x

y

=

C

₁

e

x

+

C

₂

e

2x

−

e

2x

sen

( )

e

−x

d)

y

′′

+

2

y

′

+ =

y

e

−x

ln x

1 2 2 2

1

3

2

4

x

y

=

e

−



_

C

+

C x

+

x ln x

−

x



_





4.- Utilice el método que considere conveniente para resolver las siguientes ecuaciones

a)

_y

′′′

−

₂

_y

′′

− +

_y

′

₂

_y

=

_e

3x

Respuestas

1 2 3

2

3

8

x x

x x

y

=

C

e

+

C

e

+

C

e

−

+

e

b)

y

′′ +

16

y

=

ctg x

4

1 2

[

]

1

4 4 4 4 4

16

y=C cos x+C sen x+ sen x ln cosec x−ctg x

c)

y

′′ + =

y

sec x.tgx

y=C cos x C senx1 + 2 −senx ln cos x +

(

x tgx cos x−

)

d)

y

′′

+

4

y

′

+

4

y

=

cos x

(

_{1 2}

)

2 1

(

3 4

)

25

x

y = C +C x

e

− + cos x+ senx

e)

y

′′ + =

y

cos x

2 _{1 2}

1

1

2

2

6

y

=

C cos x

+

C senx

+ −

cos x

f)

3

2

1

1

x

y

y

y

e

′′

+

′

+

=

+

1 2

(

) (

)

2 2

1

x x x x x

y

=

C

e

−

+

C

e

−

+

e

−

+

e

−

ln

+

e

g)

y

′′′

−

5

y

′′

+

6

y

′

=

2

senx

+

8

_{1 2} 2 ₃ 3 1 1 4

5 5 3

x x

y=C +C

e

+C

e

+ senx− cos x+ x

h)

2

y

′′′

−

13

y

′′

+

24

y

′

−

9

y

=

36

( )

( )

( )

5

0 4 0 0 0

2 y = − , y′ = , y′′ =

2 3 3

2

2

4

5

5

x

x x

y

=

e

−

e

+

x

e

−

i)

_y

′′

−

₆

_y

′

+

₁₃

_y

=

_x

_e

3x

_{sen x}

₂

2

1 2

3

2 2

2 2

8 16

x

x cos x xsen x y=_C cos x+C sen x− + _

e

Aplicaciones de Ecuaciones Lineales: Vibraciones Mecánicas y Eléctricas

1) Se sabe que un cierto resorte se alarga 1 cm cuando se le aplica una fuerza de 10 kgf. Supongamos que se suspende de dicho resorte un peso de 9,8 kgf, el cual desplazamos 3 cm hacia debajo de su posición de equilibrio y lo soltamos con una velocidad inicial nula. Determine la ecuación del movimiento resultante. Tome 1kgf≈ 10 N (kg m/seg2

).

R:

( )

(

)

|

0 03

10 10

x t

=

,

cos

t

2) Un cuerpo de masa 40 kg está colgado de un resorte cuya constante elástica es k=100 kgf/m. Determinar la posición del mismo en un instante t, si se aplica una fuerza externa igual a

5

sen t

2

kgf. Tomar g=10m / seg , x2

( )

0 =0, x′

( )

0 =V₀.

R:

( )

0

1 5 5

5 2

5 42 84

x t = _V − _sen t+ sen t

 

3) Un cuerpo de masa 1 unidad se suspende de un resorte cuya constante es k = 8 unidades. La masa se pone inicialmente en movimiento, a partir de la posición de equilibrio y sin velocidad inicial, debido a que se aplica una fuerza externa F(t)= 16 cos4t. Hallar la ecuación del movimiento de la masa, sabiendo que la fuerza debida a la resistencia del aire es numéricamente igual a 4 veces su velocidad instantánea. Suponga unidades consistentes.

R:

( )

2 2 ₂ 6 ₂ 4 ₄ 2 ₄

5 5 5 5

t

x t =

e

− _ cos t− sen t_+ sen t− cos t

 

4) Un cuerpo de masa 1 se encuentra unido a un sistema resorte-amortiguador. La masa se pone en movimiento desde una posición inicial 5 unidades por debajo de la posición de equilibrio, con una velocidad inicial de 10 unidades dirigida hacia arriba. Determine la posición

x t

( )

y estudie si el movimiento es sobreamortiguado, críticamente amortiguado o subamortiguado. La constante del resorte es k=16 y el coeficiente de amortiguación es 8. Suponga unidades consistentes.

R: x t

( )

=5

e

−4t +10t

e

−4t

5) Un circuito eléctrico simple RCL, con R = 6 ohmnios, L=0,1 henrio y C= 0,02 faradios, tiene un voltaje aplicado E(t) = 6 voltios. Suponiendo que no hay corriente inicial, ni carga inicial cuando se aplica el voltaje por primera vez (t=0), determine la carga resultante en el condensador y la corriente en el circuito.

R:

( )

3

(

50 10

)

2

t t

i t = −

e

− +

e

− ,

( )

3 10 50 3

2 10 50 25

t t

i t

e

e

− −

 

= − _ − _+

 

6) Un circuito simple consta de un inductor de 2 henrios, una resistencia de 16 ohmnios y un condensador de 0,02 faradios conectados en serie con una fuente de F.E.M. que

proporciona un voltaje igual a E(t)= 100 sen3t voltios. Si en t = 0 tanto la carga en el condensador como la corriente eran cero, determine la ecuación para la carga en cualquier instante. ¿Cuál es la carga en estado estacionario?

R:

( )

4 25

(

)

25

(

)

3 3 2 3 3 3 2 3

52 52

t

q t =

e

− cos t+ sen t + − cos t+ sen t , 25

(

3 3 2 3

)

52

est

Ecuaciones Lineales con coeficientes variables. Ecuación de Euler

1.- Resuelva las ecuaciones dadas a continuación

a)

xy

′′

+ =

y

′

0

Respuestas

1 2

y

=

C

+

C ln x

b)

₂₅

_{x y}

2

′′

+

₂₅

_xy

′

+ =

_y

₀

₁ 1 ₂ 1

5 5

y=C cos_ ln x_+C sen_ ln x_

   

c)

_{x y}

2

′′

−

_xy

′

+

₂

_y

=

₀

y

=

x C cos ln x





₁

( )

+

C sen ln x

₂

( )





d)

_{x y}

3

′′′ −

₆

_y

=

₀

y

=

C x

₁ 3

+

C cos

₂

(

2

|

ln x

)

+

C sen

₃

(

2

|

ln x

)

e)

_{x y}

4 ( )4

+

₆

_{x y}

3 ( )3

=

₀

y

=

C

₁

+

C x

₂

+

C x

₃ 2

+

C x

₄ −3

f)

( )

( )

2

1 0 1 4

3

0

y , y

x y

xy

′

= =

′′

+

′

=

₂

2 2

y

= −

x

−

g)

x y

2

′′

−

3

xy

′

+

13

y

= +

4 3

x

2 1

(

)

2

(

)

3 4

3 3

10 13

y= x _C sen ln x +C cos ln x _+ x+

h)

x y

2

′′

+

9

xy

′

−

20

y

=

5

x

−3 ₁ 2 ₂ 10

1

3

7

y

=

C x

+

C x

−

−

x

−

i) x y2 ′′+3xy′+ =y ln x

y

=

x

−1

(

C

₁

+

C ln x

₂

)

+

ln x

−

2

2.- Sabiendo que

1 2

y

=

x

−

cos x

es una solución de la ecuación

2 2 1

0 4

x y′′+xy′+_x − _y=

 

Determine la solución general de la ecuación 2 2

1

32

₀

4

x y

′′

+

xy

′

+



_

x

−



_

y

=

x ,

x

≠





R: 12 12 12

1 2

y

=

C x

−

cos x

+

C x

−

senx

+

x

−

3.- Resolver la ecuación

(

x

2

−

1

)

y

′′

−

2

xy

′

+

2

y

=

x

2

−

1

, sabiendo que

y

=

x

es una solución de la ecuación homogénea asociada.

R: _{1 2}

(

2

1

)

2

1

1

(

2

1

)

2

1

1

2

x

y

C x

C

x

x

x ln

x

ln x

x

+

=

+

+ −

+

+

+

−

Ecuaciones Lineales de orden 2 con coeficientes variables. Método de series de potencias

1.- Para cada una de las ecuaciones dadas a continuación obtenga dos soluciones linealmente independientes en forma de series de potencias centradas en x = 0

a)

y

′′

−

2

xy

′

+ =

y

0

Respuestas

2 4 6

1 0

3 21 1

2 4 6

x x x

y C ...

! ! !

 

= _ − − − _

 

3 5 7

2 1

5 45

3 5 7

x x x

y C x ...

! ! !

 

= _ + + + _

 

b)

(

x

2

+

2

)

y

′′

+

4

xy

′

+

2

y

=

0

( )

2

( )

2 1

1 0 2 1

0 0

1 1

2 2

n _n n _n

n n

n n

x x

y C , y C

+

∞ ∞

= =

− −

=

∑

=

∑

c)

(

x

2

−

1

)

y

′′

−

6

xy

′

+

12

y

=

0

y

₁

=

C

₀

(

1 6

+

x

2

+

x

4

)

, y

₂

=

C x

₁

(

+

x

3

)

d)

(

1

+

x

3

)

y

′′

+

x y

4

=

0

6 9

1 0 1

30 72

x x

y =C _ − + +..._

 ,

7 10

2 1

42 90

x x

y =C _x− + +..._

 

e)

y

′′

−

(

x

+

1

)

y

′

− =

y

0

2 3 4

1 0 1

2 6 6

x x x

y =C _ + + + ..._

 

2 3 4

2 1

2 2 4

x x x

y =C _x+ + + ..._

 

f)

(

x

2

−

1

)

y

′′

+

4

xy

′

+

2

y

=

0

_{1 0} 2 _{2 1} 2 1

0 0

n n

n n

y C x , y C x

∞ ∞

+

= =

=

∑

=

∑

2.- Usando series de potencias centradas en x = 0, resuelva las siguientes ecuaciones

a) Respuestas 0 7 7 n n x x

y x x

n !

e

∞

=

(

)

( )

0 1

( )

0 6

1

0

y , y

x

y

xy

y

,

′ = − =

′′

′

−

−

+ =

b)

( )

( )

2

0

0

1

0

0

y

xy

y

,

y

, y

′′

+

′

−

=

′

=

=

2 1

y= +x

c)

y

′′

+

xy

′

+

x y

2

=

x

4 6 3 5 3 5

0 1 1

12 90 6 40 6 40

x x x x x x y=C _ − + +.._+C _x− − +.._{ } + − +.._

     

3.- Para cada una de las siguientes ecuaciones, determine sus puntos singulares y clasifíquelos como regulares o irregulares.

a)

x y

3

′′

+

4

x y

2

′

+

3

xy

=

0

Respuestas

x = 0 es un punto singular regular

b)

(

x2 −9

)

2 y′′+

(

x+3

)

y′+2y=0 x = -3 es un punto singular regular x = 3 punto singular irregular

c)

(

x

3

+

4

x y

)

′′

−

2

xy

′

+

6

y

=

0

x = 0, x = 2i y x = -2i son puntos singulares regulares

4.- Usando series de potencias centradas en x = 0, obtenga dos soluciones linealmente independientes para cada una de las ecuaciones dadas.

a)

3

xy

′′

+

(

2

−

x y

)

′

− =

y

0

Respuestas

2 3

1 0 1

2 10 80

x x x

y =C _ + + + ..._

 

2 3

1 3

2 1 1

3 18 162

x x x

y =C x _ + + + ..._

 

b)

x x

(

−

1

)

y

′′

+

3

y

′

−

2

y

=

0

(

)

4 2 3

1 0

2

2 1

1 2 3 4

2 1

3 3

y C x x x x ... ,

x x y C = + + + +   = _ + + _  

c)

3

x y

2

′′

−

2

xy

′

− +

(

2

x

2

)

y

=

0

2 4

2

1 0

2 4 6

1 3 2 1 1 26 1976 1

2 40 2640

x x

y C x ... ,

x x x

y C x− ...

d)

(

)

2 2

4

x y

′′

−

4

xy

′

+ −

3 4

x

y

=

0

12 12

1 2

y

=

x chx, y

=

x shx

e)

xy

′′

+ + =

y

′

y

0

( )

( )

1 0 2

0

1

n n

n

x

y

C

n !

∞

=

−

=

∑

,

2 3

2 1 1

5 23 2

4 27

x x

y = y ln x+ y _ x+ + +..._

 

f)

xy

′′

− +

y

′

4

x y

3

=

0

2 2

1 2

y

=

cos x , y

=

senx

g)

xy

′′

+

2

y

′

−

xy

=

0

( )

(

)

2 2 1

1 1

1 0 2 1

0 2 0 2 1

n n

n n

x x

y C x , y C x

n ! n !

+

∞ ∞

− −

= =

= =

+

Ecuaciones de Legendre y Bessel

1.- Obtenga la solución polinómica de cada una de las siguientes ecuaciones

a)

(

1

−

x

2

)

y

′′

−

2

xy

′

+

2

y

=

0

Respuestas

( )

1

y

=

P x

=

x

b)

(

1

−

x

2

)

y

′′

−

2

xy

′

+

12

y

=

0

( )

(

)

3 3

1

5

3

2

y

=

P x

=

x

−

x

2.- Evaluar a)

℘

( )

6

, b)

3

2





℘ −

_

_





(

℘

( )

x

es la función Gamma ) R: a) 120, b)

4

3

π

3.- Sabiendo que

℘ + = ℘

(

x

1

)

x

( )

x

, demuestre que

℘ + +

(

1

v

n

) (

=

v

+

n

)(

v

+ −

n

1

)(

v

+ −

n

2

) (

... v

+

2

)(

v

+ ℘ +

1

) (

v

1

)

4.- La ecuación

x y

2

′′

+

xy

′

+ λ

(

2

x

2

−

v

2

)

y

=

0

se denomina ecuación paramétrica de Bessel. Demuestre que su solución general es

y

=

C J

_{1 v}

( )

λ +

x

C Y

_{2 v}

( )

λ

x

5.- Determine la solución general de las siguientes ecuaciones

a)

9

x y

2

′′

+

9

xy

′

+

(

9

x

2

−

4

)

y

=

0

Respuestas

( )

( )

2 2

3 3

1 2

y

=

C J

x

+

C J

₋

x

b) xy′′+ +y′ xy=0

y

=

C J

_{1 0}

( )

x

+

C Y

_{2 0}

( )

x

c) 2 2

1

0

4

x y

′′

+

xy

′

+



_

x

−



_

y

=

d) d

[ ]

xy x 4 y 0

dx x

 

′ +_ − _ =

 

y

=

C J

1 2

( )

x

+

C Y

2 2

( )

x

6.- Utilice el cambio de variable

( )

1

2

y

=

x

−

v x

, para resolver la ecuación diferencial

x y

2

′′

+

2

xy

′

+ λ

2

x y

2

=

0

, x

>

0

R: 12

( )

( )

1 1 2 1

2 2

y

=

x

−



_

C J

λ +

x

C J

₋

λ

x



_