Prof Griselda Medina Dra Noemi Sogari Página 1 SERIE DE PROBLEMAS 2:
Propiedades Del Campo Eléctrico- Ley De Gauss
Introducción:
Ley de Coulomb:
El valor de la fuerza con que se atraen o se repelen dos cargas puntuales en reposo es directamente proporcional al producto de dichas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.
𝑭
⃗⃗
=
𝒌. 𝒒𝟏 .𝒒𝟐𝒓𝟐 ; donde K= constante de proporcionalidad=8,89.10
9
N.m2/C
Campo Eléctrico:
Se define el vector campo E
o intensidad de campo eléctrico en cualquier punto en el espacio como la fuerza eléctrica F
que actúa sobre una unidad de carga de prueba positiva (q0 ) colocada
en dicho punto, dividida la magnitud de la carga prueba.
E=
𝒒𝑭⃗⃗ 𝟎[
𝑵 𝑪
]
Flujo de Campo Eléctrico:
Si consideramos un campo uniforme tanto en magnitud como en dirección tal como muestra la figura. El producto de la magnitud del campo eléctrico E y el área de la superficie A perpendicular al campo recibe el nombre de flujo eléctrico ∅𝒆
∅𝒆𝒍é𝒄𝒕𝒓𝒊𝒄𝒐 = 𝑬. 𝑨 ⌈
𝑵. 𝒎
𝟐𝑪
⌉
El flujo de campo eléctrico es proporcional al número de líneas de campo eléctrico que penetran una superficie.
Prof Griselda Medina Dra Noemi Sogari Página 2 Entonces el flujo eléctrico será:
∅𝒆 = 𝑬. 𝑨. 𝑪𝒐𝒔𝜽
El campo eléctrico puede variar sobre la superficie considerada. Por lo tanto, si consideramos una superficie general dividida en un gran número de elementos pequeños, cada uno de área ∆𝐀.
El flujo eléctrico ( ∆∅𝐞 ) a través de este elemento es: ∆∅𝑒 = 𝐸𝑖. ∆𝐴𝑖. 𝑐𝑜𝑠 ө = Ei.∆𝐴𝑖
Entonces, al sumar todas las contribuciones de todos los elementos se obtiene el flujo total a través de la superficie:
∅𝐞 = 𝐥𝐢𝐦
∆𝑨𝒊→𝟎
∑ 𝑬𝒊. ∆𝑨𝒊 =
∫
𝑬. 𝒅𝑨
𝒔𝒖𝒑𝒆𝒓𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆Por lo general; se estudia el flujo a través de superficies cerradas, la que se define como una que divide el espacio en una región interior y en otra exterior, de manera que uno no puede moverse de una región a otra sin cruzar la superficie.
Prof Griselda Medina Dra Noemi Sogari Página 3 Los vectores ∆𝑨𝒊 apuntan en diferentes direcciones en los diversos elementos de superficie, pero en cada punto son normales a la superficie, y por convención siempre apuntan hacia afuera.
Por tanto en:
1. Las líneas de campo están cruzando las superficies desde el interior hacia fuera y
ө
< 𝟗𝟎.Por lo tanto el flujo, ∆∅𝒆 = 𝑬𝒊. ∆𝑨𝒊 a través de estos elementos es positivo.2. Las líneas de campo rozan la superficie, perpendicular al vector ∆𝑨𝒊, por tanto
ө
=90° y el flujo es cero.3. Las líneas de campo atraviesan la superficie desde el exterior hacia el interior, 180
> ө >
90 y el flujo se vuelve negativo puesto que cosө
es negativo.El flujo neto a través de la superficie es proporcional al número de líneas que abandona la superficie. Si salen más líneas de las que entran, el flujo neto es positivo. Si entran más líneas de las que salen, el flujo neto es negativo.
El flujo neto ∅𝑒 a través de una superficie cerrada puede escribirse como:
∅𝒆 = ∮ 𝑬. 𝒅𝑨
Ley de Gauss:
Consideramos una superficie gaussiana esférica de radio r rodeando una carga puntual positiva q+. Cuando la carga eléctrica se encuentra en el centro de la esfera, el campo eléctrico E= 𝑲.𝒒𝒓𝟐 , es normal a la superficie y constante en magnitud en todas partes.
Como las líneas de campo apuntan radialmente hacia afuera y por ello son perpendiculares a la superficie en cada punto de la misma. Se considera que el flujo neto a través de la superficie gaussiana es:
∅𝒆 = ∮ 𝑬. 𝒅𝑨 = 𝑬. ∮ 𝒅𝑨 = 𝑲. 𝒒
𝒓𝟐 . (𝟒𝝅𝒓𝟐) =
𝟏. 𝒒
𝟒𝝅𝜺𝟎.𝒓𝟐. (𝟒𝝅𝒓
𝟐) = 𝒒
𝜺𝟎
∅𝒆 =
𝒒
𝜺
𝟎PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA 1:
Se tiene carga distribuida en un volumen esférico de radio R, con densidad 𝜌 = 𝑎. 𝑟 donde a es una constante y 0 < r < R:
a) Encontrar el valor de la carga total del volumen;
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SOLUCIÓN:
En este caso se está en presencia de cargas eléctricas distribuidas en un volumen esférico, de manera que la distribución no es uniforme, sino que depende de la distancia al centro de la esfera, dado que la densidad volumétrica de cargas es una función lineal de “r”.
El problema requiere calcular la carga total distribuida en el volumen y el campo E en todas las regiones, (interior y exterior del volumen esférico cargado).
Por la alta simetría que se presenta, en este caso una esfera, es posible calcular el campo E por Ley de Gauss.
La configuración del campo E como campo vectorial, será de dirección radial y sentido hacia fuera de la esfera por ser la carga positiva
a) Cálculo de la carga:
La función densidad volumétrica de carga es: 𝜌 = 𝑎. 𝑟, una función lineal de la variable radial r.
El valor total de la carga distribuida en el volumen esférico se calcula mediante la suma de todos los diferenciales de volúmenes de carga que forman la esfera cargada, partiendo del concepto de densidad volumétrica de carga:
𝜌(𝑟) =𝑑𝑄
𝑑𝑉
Hacer la suma, significa, resolver la siguiente integral:
𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∫𝑟=0𝑟=𝑅𝜌(𝑟)𝑑𝑉 [1]
El volumen de la esfera es 𝑉 =43𝜋𝑟3 ⇒ hallando el diferencial de volumen: 𝑑𝑉 = 4𝜋𝑟2
Reemplazando en [1] la expresión de la función densidad y el dV:
𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∫𝑟=0𝑟=𝑅𝑎𝑟4𝜋𝑟2𝑑𝑟= 4𝜋𝑎 ∫𝑟=0𝑟=𝑅𝑟3𝑑𝑟 = 4𝜋𝑎 [𝑟
4
4]𝑟=0 𝑟=𝑅
= 𝜋𝑎𝑅4 (R = constante) [2]
b) Expresiones de campo E:
i. Región dentro de la esfera 𝒓 < 𝑹 Aplicando la ley de Gauss:
∯ 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝑆
⃗⃗⃗⃗ =
𝑄𝑖𝜀0 [3]
se integra para una superficie gaussiana esférica, concéntrica con la distribución de cargas, y con radio r < R; es decir que la esfera gaussiana está en la región donde se quiere calcular el campo E.
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Debido a la dirección y sentido del campo E y el vector asociado dS saliente de la gaussiana, el producto escalar de estos dos vectores permite escribir directamente el producto de sus módulos, ya que al tener la misma dirección y sentido, el coseno corresponde a un ángulo de cero grado:
∯ 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗ = ∯ 𝐸𝑑𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝐸𝑑𝑠
Como el campo es constante sobre cada gaussiana que se considere, sale del integrando y la integral sólo suma todos los dS resultando el área toral de la gaussiana, que en este caso corresponde al área de la esfera 4𝜋𝑟2. De este modo, el flujo del campo es:
𝐸. 4𝜋𝑟
2=
𝑄𝑖𝜀0 [4]
El 𝑄𝑖 que se debe utilizar es el que queda dentro de la superficie gaussiana considerada, es decir dentro del volumen esférico de r < R. Para calcularlo, se tiene presente el concepto de densidad volumétrica de carga y se trabaja como en el ítem a), tomando los extremos de integración correspondientes:
𝑄𝑖 = ∫𝑟=0𝑟=𝑟𝜌(𝑟)𝑑𝑉 = ∫𝑟=𝑟𝑎𝑟4𝜋𝑟2𝑑𝑟
𝑟=0 = 4𝜋𝑎 ∫ 𝑟3𝑑𝑟
𝑟=𝑟
𝑟=0 = 4𝜋𝑎 [
𝑟4 4]𝑟=0
𝑟=𝑟
= 𝜋𝑎[𝑟4− 0]
𝑸𝒊 = 𝝅𝒂𝒓𝟒 [5]
Reemplazando [5] en [4]
𝐸
14𝜋𝑟
2=
𝜋𝑎𝑟4𝜀0 ⇒
𝐸
1=
𝑎 4𝜀0
𝑟
2
r < R Dirección radial y sentido hacia
afuera de la esfera
ii. Región exterior a la esfera r > R:
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Procediendo de manera análoga a la región anterior, la carga que encierra la gaussiana en el exterior es la total, calculada en [2].
Partiendo de la expresión de Gauss:
∯ 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗ =𝑄𝑖
𝜀0
Aplicando las mismas consideraciones que se tuvieron en cuenta anteriormente sobre el primer miembro de la igualdad y con la carga total calculada se llega a:
𝐸
24𝜋𝑟
2=
𝜋𝑎𝜀0 ⇒
𝐸
2=
𝑎𝑅4 4𝜀0
1
𝑟2 r < R Dirección radial y sentido hacia fuera de la
esfera.
Análisis de la condición de frontera:
¿Qué pasa para r = R, con el valor del campo E? Verifiquemos hallando su valor con las dos expresiones.
𝐸
1(𝑟 = 𝑅) =
𝑎4𝜀0
𝑅
2 y
𝐸
2(𝑟 = 𝑅) =
𝑎𝑅44𝜀0
1 𝑅2
=
𝑎 4𝜀0
𝑅
2 ⇒ 𝐸
1 = 𝐸2 𝑒𝑛 𝑟 = 𝑅
Es decir que los dos campos convergen al mismo valor, conforme r → R.
El campo E1 es una función cuadrática en r y positiva por lo cual envuelve al eje positivo de E, y
la función de E2 es una inversa del cuadrado de r, por lo cual tiende a cero a medida que r
tiende a infinito.
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𝑎 4𝜀0𝑅
2
Como se observa en el gráfico, no hay discontinuidad en el empalme de las dos funciones. Esto se debe a que la carga está distribuida uniformemente dentro de la esfera debido a que no se trata de un cuerpo conductor. Se verá en el caso de cuerpos conductores que no se verifica esta situación.
PROBLEMA 2:
Un cilindro conductor de radio a, que tiene una carga total de +q está rodeado por un cascarón cilíndrico también conductor de radio b, de carga total -2q, coaxial con él. Empleando el teorema de Gauss encontrar:
a) La distribución de carga en el cascarón conductor
b) El campo E en todas la regiones, r < a, a < r < b y r > b
SOLUCIÓN:
En este caso se tiene un sistema formado por dos cilindros concéntricos conductores, cada uno con carga eléctrica. El interior con carga positiva +q y el exterior con carga negativa -2q. El problema requiere calcular la distribución de cargas en el cascarón exterior y el campo E en todas las regiones, es decir, para r < a, a < r < b y r > b
Por la alta simetría que se presenta, en este caso cilíndrica, es posible calcular el campo E empleando la Ley de Gauss.
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a) Cálculo de la distribución de carga en el cascaron conductor interior:
Como los dos son cuerpos conductores, la carga que contienen se distribuirá en sus superficies. Debido a que el cuerpo interior está cargado y en sus inmediaciones está un cuerpo conductor (cilindro exterior), que en este caso también está cargado, se producirá el fenómeno de inducción eléctrica. Esto es, el cascarón conductor exterior sufrirá una distribución o reacomodamiento de sus cargas debido a la presencia del cuerpo cargado en sus inmediaciones.
La carga total de todo el sistema es +q + (-2q) = -q , la que deberá conservarse por la Ley de conservación de la carga.
Por inducción la carga deberá distribuirse de la manera indicada en el siguiente gráfico:
La carga positiva del cilindro de radio a atrae hacia la pared interior del cilindro de radio b a la carga -q, lo que asegura E = 0 en el interior del cilindro externo que es un conductor.
Esto puede justificarse aplicando la Ley de Gauss haciendo la siguiente consideración:
Supongamos que el cilindro exterior tuviera un pequeño espesor infinitesimal de manera que podamos considerar una superficie gaussiana cilíndrica, concéntrica cuyo radio sea b < r < b + ∆r, y calculamos el flujo del campo eléctrico a través de esa superficie. Como el campo eléctrico en el interior de un conductor es siempre cero, el flujo a través de la superficie gaussiana será cero, y eso lleva a concluir que la suma de cargas interiores a la superficie debe ser cero, lo que obliga a que sobre la superficie interior del cilindro de radio b se distribuya una carga igual y opuesta a la que contiene el cilindro de radio a.
∯ 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗ =𝑄𝑖
𝜀0 = 0 𝑄𝑖 = 0 = +𝑞 + (−𝑞)
Con esta configuración hacia el interior, queda libre en el exterior – q.
Prof Griselda Medina Dra Noemi Sogari Página 9 b) Cálculo de las expresiones de los campos E:
Región 1 (0 < r < a) Aplicando Ley de Gauss:
∯ 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝑆⃗⃗⃗⃗ =𝑄𝑖
𝜀0
Se integra para una superficie gaussiana cilíndrica concéntrica a los conductores que se coloca en la región donde se quiere hallar el campo, o sea, dentro del cilindro (r < a). Debido a la dirección y sentido del campo E y el vector asociado a dS saliente de la gaussiana, el producto escalar de estos dos vectores permite escribir directamente el producto de sus módulos, ya que al tener la misma dirección y sentido, el coseno corresponde a un ángulo de cero grado.
Y para la región de las tapas (bases) del cilindro el campo E y el vector asociado a dS forman 90º, por lo cual el producto escalar aquí es nulo ya que el cos 90º = 0. Lo que implica que solo la superficie lateral del cilindro contribuye al flujo del campo E.
𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 = ∯ 𝐸𝑑𝑆𝑐𝑜𝑠0º
𝐿𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙
+ ∯ 𝐸𝑑𝑆1𝑐𝑜𝑠90º
𝑡𝑎𝑝𝑎1
+ ∯ 𝐸𝑑𝑆2𝑐𝑜𝑠90º
𝑡𝑎𝑝𝑎2
Prof Griselda Medina Dra Noemi Sogari Página 10 𝐸 . 2𝜋𝑟𝐿 = 𝑄𝑖
𝜀0
La carga 𝑄𝑖 que se debe utilizar es la que queda dentro de la gaussiana considerada, es decir dentro del volumen cilíndrico de r < a, y como no se encierra carga dentro de esta gaussiana, entonces, según, [1] el flujo del campo E es nulo, lo que implica campo:
𝐸1 = 0 r < a
Razonando análogamente, es decir, considerando la superficie gaussiana colocada en la región que interesa y sabiendo que solo genera flujo su superficie lateral, debido a las cargas interiores que encierre, analizamos el resto de las regiones:
Región 2 (a < r < b):
Para una gaussiana cilíndrica en esta región la expresión [1] se escribe:
𝐸
2. 2𝜋𝑟𝐿 =
+𝑞𝜀0
⇒
𝐸2 = 𝑞 2 𝜋 𝐿 𝜀0
1 𝑟
a < r < b, dirección radial y sentido hacia fuera del cilindro interior, porque la carga fuente es de signo positivo.
Región 3 (dentro del cilindro)
Por ser conductor, las cargas sobre él se redistribuyen por inducción. Para una gaussiana cilíndrica en esta región la expresión [1] se escribe:
𝐸
32𝜋𝑟𝐿 =
+𝑞+(−𝑞)𝜀0
= 0
, implica 𝐸3 = 0 , como es de esperarse dentro de un conductor.Región 4 (r > b):
Para una gaussiana cilíndrica en esta región la expresión [1] se escribe:
𝐸
42𝜋𝑟𝐿 =
+𝑞+(−2𝑞)𝜀0
=
−𝑞
𝜀0, implica
𝐸
4= −
𝑞 2𝜋𝐿𝜀0
1 𝑟
r > b, dirección radial y sentido hacia adentro del cilindro exterior, porque la carga fuente es de signo negativo.
Para finalizar, analizamos las expresiones de los campos E en los bordes de los cilindros o fronteras de las regiones:
𝐸1 = 0 hasta el borde de r = a
𝐸
2(𝑟 = 𝑎) =
𝑞𝑎𝜋𝐿𝜀0
1
𝑎 y
𝐸
2(𝑟 = 𝑏) =
𝑞 2𝜋𝐿𝜀01 𝑏
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𝐸
4(𝑟 = 𝑏) = −
𝑞2𝜋𝐿𝜀0
1
𝑏 en r = b y luego decae como
𝐸
4= −
𝑞 2𝜋𝐿𝜀01
𝑟 de r = b
hasta infinito.
Los comportamientos hallados se pueden observar en el siguiente gráfico:
Como puede observarse, los conductores (a diferencia de los no conductores) producen discontinuidad en el campo E. En cada una de las fronteras ( r = a y r = b ) el campo E pasa de un valor dado a otro distinto. Y se puede demostrar que la magnitud del salto es igual a la densidad de carga sobre cada cilindro conductor.
Problemas para resolver en clase
1) Un campo eléctrico con una magnitud de 3.50 kN/C es aplicado a lo largo del eje x. Calcule el flujo eléctrico a través de un plano rectangular de 0.350 m de ancho y 0.700 m de largo asumiendo que (a) el plano es paralelo al plano yz; (b) el plano es paralelo al plano xy; (c) el plano contiene el eje y y su normal hace un ángulo de 40º con el eje x.
2) En una región del espacio sin cargas, un contenedor es puesto en un campo eléctrico. Un requerimiento para el flujo eléctrico total a través de la superficie del contenedor sea cero es que a) el campo debe ser uniforme
b) El contenedor debe ser simétrico
c) El contenedor debe estar orientado en una cierta manera, o
d) el requerimiento no existe (el flujo total es cero sin importar otras consideraciones) Justifique la respuesta
Prof Griselda Medina Dra Noemi Sogari Página 12 4) El campo eléctrico en toda la superficie de un cascarón esférico delgado de radio de 0.750 m es de 890 N/C y apunta radialmente hacia el centro de la esfera.
a) ¿Cuál es la carga neta dentro de la superficie esférica?
b) ¿Qué se puede concluir acerca de la naturaleza y distribución de la carga dentro del cascarón esférico?
c) Explique por qué el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada que encierra una carga dada es independiente del tamaño o forma de la superficie
5) Una esfera de radio 6 cm posee una densidad de carga volumétrica uniforme ρ=450 nC/m3. a) ¿Cuál es la carga total de la esfera?
Determinar el campo eléctrico en: b) r = 2 cm
c) r = 5,9 cm d) r = 6,1 cm e) r = 10 cm,
f) Representar gráficamente la función campo E(r)
Problemas complementarios
1) Calcule el flujo del campo eléctrico creado por una carga Q a través de una superficie esférica de radio R, si la carga está:
a) En el centro de la esfera.
b) En un punto interior cualquiera. c) En un punto exterior;
d) Estos resultados pueden extenderse si en lugar de una superficie esférica se considera una superficie cerrada de forma arbitraria? ¿Por qué?
e) Si la carga total dentro de una superficie cerrada es conocida pero la distribución de la carga no es especificada, ¿se puede usar la ley de Gauss para encontrar el campo eléctrico? Explique
2) Dos esferas sólidas, ambas de radio R, tienen cargas totales idénticas, Q. El material de unas de las esferas es buen conductor, mientras que la otra es un aislante. Si la carga en la esfera aislante está uniformemente distribuida en todo su volumen interior, ¿cómo se comparan los campos eléctricos en el interior de estas dos esferas? ¿Son idénticos los campos en el interior de ambas esferas? Justifica la respuesta.
3) Considere una caja triangular dentro de un campo eléctrico horizontal de magnitud E = 7,80x104 N/C como se muestra en la figura 2. Calcule el flujo eléctrico a través de:
a) La superficie rectangular vertical b) La superficie inclinada
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4) En un hilo largo y muy fino tenemos distribuida uniformemente una carga positiva. Sabiendo que es la carga por unidad de longitud del hilo, calcular la intensidad del campo eléctrico a una distancia r de él. Enumerar las propiedades de las líneas del campo E.
5) Calcular la intensidad del campo eléctrico creado por una placa delgada, indefinida y uniformemente cargada con una densidad superficial de carga σ en un punto fuera de ella, utilizando la ley de Gauss.
6) Calcular el campo eléctrico creado por una esfera hueca de radio a, en la que se halla distribuida uniformemente una carga positiva con densidad para
a) r < a b) r > a
7) Hallar la intensidad del campo eléctrico dentro y fuera de un cilindro infinitamente largo, cargado con densidad uniforme. El radio del cilindro es R.
8) Un modelo simple pero muy preciso de una molécula de hidrógeno es aquel que considera dos cargas puntuales de carga +e colocadas en el interior de una esfera de radio R que contiene una carga -2e distribuida en todo el volumen de la misma. Los dos puntos se colocan simétricamente con respecto al centro tal como indica la figura. Encontrar la distancia a, medida desde el centro, donde la fuerza neta sobre cualquier carga es cero.
9) Un volumen cilíndrico de longitud L en forma de casquete de radio interior a = 20 cm y exterior b = 40 cm presenta una distribución volumétrica de cargas dada por r =10-9/π Coul/m3. Calcular:
Prof Griselda Medina Dra Noemi Sogari Página 14 10) Suponga que una carga positiva Q está distribuida uniformemente en un volumen esférico de radio a. Este volumen está rodeado por una distribución volumétrica concéntrica esférica en forma de casquete, de radio interior b y exterior c. En este casquete se halla distribuida uniformemente una carga Q1.-
a) Encuentre las expresiones de las densidades volumétricas de carga de cada uno de los volúmenes cargados;
b) Si la misma carga Q estuviese distribuida en cada uno de los volúmenes, se tendría la misma densidad volumétrica de carga?. Justifique
c) Determine aplicando el teorema de Gauss, las expresiones del campo eléctrico para las siguientes regiones:
0 < r < a; a < r < b; b < r < c; r > c.
Bibliografía
1) TIPLER – MOSCA - Fisica para la Ciencia y la Tecnologia 2) SERWAY, R- Fisica- Vol 1 y 2. Ed Mc Graw Hill- Espana 3) KIP – Fundamentos de Electricidad y Magnetismo
4) BERKELEY PHYSICS COURSE – Vol. 2
5) SEARS F.– Fundamentos de Física II. Electricidad y Magnetismo 6) FEYMMAN – Electricidad y Magnetismo
7) SEARS, ZEMANSKY, YOUNG, FREEDMAN – Física
8) LILLIAN C. MCDERMOTT - TUTORIALES PARA FISICA INTRODUCTORIA – Pearson Universitario Español.
