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Integral indefinida
Idea y conceptosAcabamos de aprender a derivar funciones:
→ Derivando → = 2
→ Derivando → = 3
Ahora vamos a estudiar el proceso contrario: conocida la derivada tenemos que encontrar la función, primitiva, que hubo que derivar para obtenerla:
2 → ¿Qué función hubo que derivar? → 2 =
3 → ¿Qué función hubo que derivar? → 3 =
Practica completando las siguientes tablas:
Observa que puede haber varias funciones que tengan la misma derivada: 2 → Derivando → 2 = 6
2 + 5 → Derivando → 2 + 5 = 6 2 + 8 → Derivando → 2 + 8 = 6 2 − 1 → Derivando → 2 − 1 = 6
Entonces, si tenemos que calcular la primitiva de 6 hemos de tener en cuenta que no es única:
6 = 2 + ú ! " Notación:
Se suele utilizar la notación diferencial # Pondremos: 6 = 2 + $ % $& % 2 4 6 ( 2 $ % $& % 9 * 3 + 6 5 $ % $& % ( 5 $ % $& % 2 + 6 6 2
Cálculo de primitivas Integral
http://matematicas-tic.wikispaces.com Lamberto Cortázar Vinuesa 2015 http://alumnosdelamberto.wikispaces.com Página 2 de 12 Cálculo integral INTEGRAL DE UN NÚMERO 4 = 4 + , = , +
Cuando en una integral aparece un número multiplicando a una función, el número puede “salir” de la integral:
-$ % .% = - $ % .% TIPO POTENCIAL
= 14 4 = 14 /+ = / 4 +
− 2 = 18 8 − 2 = − 28 /+
En general, si dentro de una integral hay una potencia y lo que la multiplica es la
derivada de la base (salvo constantes), tenemos una integral inmediata de tipo potencial: $ % 0∙ $& % .% =$ % 023 0 + 3 + 4; 0 ≠ −3 %0.% = %023 0 + 3 + 4; 0 ≠ −3 INTEGRAL DE UN POLINOMIO − 5 + 2 = − 5 + 2 − 5 + 2 = 3 − 5 2 + 2 +
Aplicamos que la integral de la suma de funciones es la suma de las integrales: $ + 7 − 8 .% = $ .% + 7 .% − 8 .%
viene de derivar /. La derivada de / es 4 Multiplicamos y dividimos por 4
Observa estos ejemplos y practica: 1 = 9 = 9 2: −2 + 1 = 9: −1 = − 9:= −1+ √2 = √2 √ = √2 <= = √2 < =2: :+ 1= √2 > = =23 √2 >=+ ……… 1 5 2 3 − 3 − 2 + 3 4 − 1 5 ? 6 − 4 7 3/ 8 2 − 3 9 1/ 10 − 1 11 + 1 12 √ 12 √ 13 − 4 14 −3 + 4 − 1 15 2 + 56 16 3 2 + 1 17 − + 5 − 1 18 + 11 19 − 2 + 5 20 2 21 + 1 / 22 3 + 1 22 3 + 1 23 − + 4 − 2 24 B 5 − 3 C 25 + 7 − 2 26 D1 − 1E 27 >? 28 2 −2 29 √ − 30 D2 − 1 √ E Busca las soluciones:
− + 11 − 2 − 318 4 − 2/ 32 /+ / 20 − 9 2 5 F = 2 > =− 3 ( 15 35 F > − / 4 + 2 − 2 2 − 2√ 3 − + 3 + 12 − + − 2√ 5 3 −31 − 4 3 − 2 − 1 9 + 1 3 +72 − 2 − 1 2 − − 3 +52 − / 4 +23 + 5 − 3 2 + 5 / 8 − 13 3 − 3 / 4 − 2 + 6 + / 4
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TIPO LOGARITMO
Para que una integral sea del tipo logaritmo debe haber una fracción en la que el numerador es la derivada del denominador (salvo constantes).
$′ %
$ % .% = H0|$ % | + 4
Se pone el valor absoluto de la función porque los logaritmos solo tienen sentido para valores positivos. 3
% .% = H0|%| + 4 Observa estos ejemplos:
1 2 =12 2 =2 12 |2 | + 2 − 2 − 2 + 1 = | − 2 + 1| + − 2 + 1 = D − 2 +1E = 2 − 2 + | | + Se hace la división − 1 + 1 = D1 − + 1E2 = − 2 | + 1| + Practica 31 5 32 51 33 3 − 6− 3 + 2 34 3 + 2 35 2+ 2 36 + 2 37 + 2 37 + 2 38 − 1 39 − 11 40 1 41 2 9: 42 − 1 42 − 1 43 1 +J J 44 3 − 21 45 /− 3 Busca las soluciones:
| − 3 + 2| 2 | | 2 + 2 | | 1 6 |3 + 2| |1 + J| 2 3 | + 2| 13 |3 − 2| | |5 12 | − 1| | − 1| | | 1 3 | − 1| 14 | /− 3| 5 | | | + 2|2
TIPO EXPONENCIAL
Para que una integral sea del tipo exponencial debe haber una función exponencial por la derivada del exponente (salvo constantes).
K$ % $′ % .% = K$ % + 4 K% .% = K%+ 4 L$ % $′ % .% =L$ % H0L + 4 L% .% = L% H0L + 4 Observa estos ejemplos:
J 2 =12 J = 12 J+ 5J = 5J 5 + ∙ J=9: =12 2 ∙ J=9: = 12 J=9: + Practica 46 J 47 J9: 48 ∙ J= 49 3 J 50 J=9J ∙ 2 − 1 51 2 J9: 52 MNJ 52 MNJ 53 9J 54 9 J2: 55 2 ∙ J>9: 56 ∙ 9J= 57 2J 57 2J 58 ∙ 2J= 59 60 OPNJ ∙ ! Busca las soluciones:
1 4 J = MN|J| 1 2 2 J9: 2 1 2 J 12 2 J= 2 −32J OPNJ J9: 2 3 J>9: −13 9 J2: 1 2 3 J 3 − 9J J =9J −12 9J=
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Integral definida
Idea y conceptos
La integral definida de una función en el intervalo Q , ST viene dada por la conocida Regla de Barrow:
$ % U
L .% = QV % TL
U = V U − V L donde F(x) es la función que resulta de integrar f(x).
Observa cómo se utiliza: / : = W 3 X: / =43 −13 =64 − 13 =633 − + 2 − 1 Y = W− 3 + − XY = − 2 3 + 2 − 2 − B03 + 0 − 0C = −23 Practica calculando las siguientes integrales definidas que hemos encontrado en exámenes de selectividad de diversas comunidades autónomas:
Murcia 2014 61 − 3 − 1 : Aragón 2015 62 D3+ (J+ 8 E : Madrid 2015 63 : 4 − 2 − 2 + 2 9:
64) Si la derivada de una función es #& = 3 + 2
Calcúlese la expresión de f(x) sabiendo que su gráfica pasa por el punto (1, 4). País Vasco 2015
65) Calcular los valores de los parámetros a y b para que la curva de ecuación
Z = # = − + S
presente un extremo relativo en el punto (2, 6). Una vez hallados a y b, calcular
# : Zaragoza 2015 66 D + 3 +6− 2E : = 35 6 + 6 2 67 D3+ (J+ 8 E : = 3 2 + :Y− ( 5 + 12 Madrid 2014 68 4 + Y = 2 2 69 4 − 3 − 2 = 41 Madrid 2012 70) Dada la función # = 2 − 1− 1 calcular # ( = 10
71) Dada la función # = , calcular el valor de a para que
# : Y = 1 (a=3) Madrid 2011 72 3− 2 =32 72
Sigue practicando con funciones definidas a trozos: Madrid 2010
73) Se considera la función real de variable real definida por: # = [−3 + 32 −1 < < 1≤ −1
^ ≥ 1
`
Calcúlese la integral definida # :
9: = 4 ! ó
Madrid 2013
74) Dada la función real de variable real
# = b− − 3 + 5 ≤ 1> 1` Calcúlese # Y = 11 2 ! ó Madrid 2014
75) Dada la función real de variable real
# = d −4 + 2 − 1 ≤ 0 1 + 1 > 0 ` Calcúlese # : 9: = −1 − 3 2 ! ó 76) Se considera la función real de variable real definida por: # = e − 2− 2 1 ≤ ≤ 3< 1 + 4 > 3 ` Calcúlese # Y = − 3 2 +143 ! ó Madrid 2011
77) Dada la función real de variable real
# = d
1 ≤ −1
− S
4 > −1
`
Calcúlese el valor de b para que #
http://matematicas-tic.wikispaces.com http://alumnosdelamberto.wikispaces.com Aplicación al cálculo de áreas
La integral definida se utiliza para el cálculo de áreas de recintos limitados por curvas dadas por funciones. Observa estos ejemplos:
- Calcular el área del recinto limitado por la parábola
OX. Hacer una representación gráfica aproximada de dicha área.
- Calcular el área encerrada entre las parábolas #
Representamos las parábolas y hallamos sus puntos de corte: −
Entre = −1 Z 2 g(x) está por encima de
f ^ # 9: 9: W 2 3 4 X 9: g(x) f(x)
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Aplicación al cálculo de áreas
La integral definida se utiliza para el cálculo de áreas de recintos limitados por curvas dadas por funciones. Observa estos ejemplos:
Calcular el área del recinto limitado por la parábola Z
OX. Hacer una representación gráfica aproximada de dicha área.
lar el área encerrada entre las parábolas
2 1 Z ^ 5
Representamos las parábolas y hallamos sus puntos de corte:
2 1 5 → 2; 1
está por encima de f(x). El área entre ambas curvas 5 9: 9: 2 1 9: 2 223 2 4 ∙ 2 g 2 31 1 4 2 8 0 → 2; h / 2 8 9 W 3 4 3 4 8 ∙ 4 g 23 2 8 ∙
Representamos la parábola hallando los puntos de corte con el eje OX:
El área encerrada por la parábola con el eje OX viene dada por: Lamberto Cortázar Vinuesa 2015
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La integral definida se utiliza para el cálculo de áreas de recintos limitados por curvas
2 8 y el eje
viene dada por:
2 2 4 ∙ 1 i 9 4 8 X 9 / 2 i 36 Representamos la parábola hallando los puntos de corte con el
- Calcular el área del recinto limitado por la parábola Z 4 + 5, el eje OX y las rectas = −2 Z = 2. Hacer la representación gráfica de dicha área.
- Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de # = 2 − 6 y la recta de ecuación Z = 8 − 6. (Madrid 2011)
Puntos de corte de las gráficas: 2 − 6 = 8 − 6 → = 0, = ±2
# − ^ = 2 − 8
El área pedida es suma de dos áreas:
h:= 2 − 8 Y 9 = W / 2 − 4 X9 Y = 8 h = 2 − 8 Y = W / 2 − 4 XY= −8 h = |h:| + |h | = 8 + 8 = 16 − − 4 + 5 = 0 → = −5; = 1 h:= − − 4 + 5 : 9 = W− 3 − 2 + 5 X9 : = 18 h = − − 4 + 5 : = W− 3 − 2 + 5 X:= − 10 3 h = k−103 k =103 h = 18 +103 =643
Representamos la parábola hallando los puntos de corte con el eje OX:
El área pedida es suma de dos áreas:
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Practica: Murcia 2012
78) Calcular el área comprendida entre
rectas 0 Z 2
(Solución: h 1 ) Murcia 2011
79) Calcular el área comprendida entre
rectas 1 Z
(Solución: h :/ )
80) Calcular el área comprendida entre
Hacer una representación aproximada de dicha área. (Solución: h : (
+ )
Murcia 2010
81) Calcular el área comprendida entre
rectas 3, Z 2
Pista: Á m
82) Calcular el área del recinto limitado por la parábola Hacer una representación aproximada de dicha área. (Solución: h n )
83) Calcular el área comprendida entre la curva
rectas 2 Z
84) Calcular el área comprendida entre la parábola (Solución: h (+ )
Murcia 2009
85) Calcular el área de la región del plano comprendida entre las curvas
Z 3 . Hacer una representación aproximada de dicha área.
(Solución: h :+ ) Murcia 2008
86) Calcular el área limitada por la curva
0 Z 3 . Hacer una representación aproximada de dicha área. (Solución: h ::
: )
Murcia 2007
87) Hallar el área limitada por las curvas (Solución: h +/ )
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Calcular el área comprendida entre la parábola Z 3 2, el eje OX y las
. Hacer una representación aproximada de dicha área.
Calcular el área comprendida entre la parábola Z 2 2, el eje OX y las
1 . Hacer una representación aproximada de dicha área.
Calcular el área comprendida entre la parábola Z 6 y el eje OX.
r una representación aproximada de dicha área.
Calcular el área comprendida entre la parábola Z 6 10 , el eje OX y las
10 . Hacer una representación de dicha área.
m áS p á ^ (Solución: h q )
Calcular el área del recinto limitado por la parábola Z 4
Hacer una representación aproximada de dicha área.
Calcular el área comprendida entre la curva Z 3 2 16 , el eje OX y las
4 . (Solución: h 84 )
Calcular el área comprendida entre la parábola Z 8 y el eje OX.
región del plano comprendida entre las curvas . Hacer una representación aproximada de dicha área.
r el área limitada por la curva Z : 1 , el eje OX y las rectas
. Hacer una representación aproximada de dicha área.
Hallar el área limitada por las curvas Z 4 e Z 4 .
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, el eje OX y las . Hacer una representación aproximada de dicha área.
, el eje OX y las . Hacer una representación aproximada de dicha área.
y el eje OX.
, el eje OX y las . Hacer una representación de dicha área.
)
Z .
, el eje OX y las y el eje OX.
región del plano comprendida entre las curvas Z 4 , e
el eje OX y las rectas . Hacer una representación aproximada de dicha área.
Murcia 2006
88) Hallar el área limitada por la gráfica de # 1 y ^ = 2 + 1 .
(Solución: h = / )
89) Hallar el área encerrada por la curva Z = 4, el eje OX y las rectas = 2 Z = 4. (Solución: h = 4 2 )
Murcia 2013
90) Hallar el área limitada por la gráfica de # = − 3 − + 3, el eje OX y las
rectas = −1 Z = 2. (Solución: h =
/ )
Madrid 2016 (Modelo)
91) Se considera la función real de variable real # = − 4 − 5
a. Represéntese gráficamente la función f.
b. Calcúlese el área de la región acotada del plano delimitada por la gráfica de f y el eje de abscisas. (Solución: h = 36 )
Madrid 2015(Septiembre B)
92) Se considera la función real de variable real # = −8 + 24 − 10
a. Calcúlense los máximos y mínimos locales y represéntese gráficamente la función f.
b. Determínese el área del recinto cerrado comprendido entre la gráfica de f y las rectas = 1, = 2 Z = 4. (Solución: h = :Y )
(Pista: Se trata del área comprendida entre dos funciones: f(x) y g(x)=4) Madrid 2015(Junio A)
93) Sean las funciones reales de variable real # = − 6 , ^ = − 10
a. Represéntese gráficamente las funciones f y g.
b. Calcúlese el área del recinto plano acotado por las gráficas de f y g. (Solución: h =n )
Madrid 2015(Modelo A)
94) Dibújese, de manera esquemática, la región acotada del plano limitada por las gráficas de las curvas
Z = √6 ; Z = 6
y calcúlese el área de la región descrita en el apartado anterior. ( h = 12 ) Madrid 2014(Septiembre A)
95) Se considera la función real de variable real # = 2 J2: a. Esbócese la gráfica de la función f.
b. Calcúlese el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas = 0 Z = 1. (Solución: h = 2 − 1 ) Madrid 2012(Junio B) 96) Se considera la función
( )
> − + − ≤ + − = 1 3 4 1 3 4 2 2 x si x x x si x x x fa. Represéntese gráficamente la función f.
b. Calcúlese el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje OX, el eje OY, y la recta x=2
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Ejercicios con indicaciones de resolución: País Vasco (2014)
97) Dada la curva de ecuación
a. Calcular sus máximos y mínimos relativos y sus puntos de inflexión.
b. Calcular los puntos de corte de dicha curva y el eje OX. Esbozar la gráfica de la función. Calcular el área de la región finita limitada por dicha curva y el eje OX.
98) Dada la curva de ecuación
a. Calcular el valor de los parámetros relativo en el punto (1, 2).
b. Calcular los puntos de corte de dicha curva y el eje OX. Esbozar la gráfica de la función. Calcular el área de la región f
positiva del eje OX.
El punto (1, 2) verifica la ecuación de la curva. Por ser un máximo, la derivada de la función en x=1 debe ser cero.
Valencia 2011 99) Dada la función
#
Calcula el área de la región determinada por la gráfica de la función y las rectas y=0 y x=3
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Ejercicios con indicaciones de resolución:
Dada la curva de ecuación Z 3 2
máximos y mínimos relativos y sus puntos de inflexión.
Calcular los puntos de corte de dicha curva y el eje OX. Esbozar la gráfica de la función. Calcular el área de la región finita limitada por dicha curva y el eje OX.
(Área=27/4 u2
e ecuación Z S
Calcular el valor de los parámetros a y b para que la curva presente un máximo relativo en el punto (1, 2).
Calcular los puntos de corte de dicha curva y el eje OX. Esbozar la gráfica de la función. Calcular el área de la región finita limitada por dicha curva y la parte positiva del eje OX.
………
El punto (1, 2) verifica la ecuación de la curva. Por ser un máximo, la derivada de la función en x=1 debe ser cero.
(Área=27/16 u
b 21 3 0 \ ] 11 \ \ 3`
Calcula el área de la región determinada por la gráfica de la función y las rectas
(Área=11/3 u2)
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máximos y mínimos relativos y sus puntos de inflexión.
Calcular los puntos de corte de dicha curva y el eje OX. Esbozar la gráfica de la función. Calcular el área de la región finita limitada por dicha curva y el eje OX.
2
)
para que la curva presente un máximo Calcular los puntos de corte de dicha curva y el eje OX. Esbozar la gráfica de la
inita limitada por dicha curva y la parte
El punto (1, 2) verifica la ecuación de la curva. Por ser un máximo, la derivada de
(Área=27/16 u2)
`
