Diseño computarizado de losas macizas en dos direcciones utilizando el método de los coeficientes

(1)

Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ingeniería

Escuela de Ingeniería Civil

DISEÑO COMPUTARIZADO DE LOSAS MACIZAS EN DOS DIRECCIONES UTILIZANDO EL MÉTODO DE LOS COEFICIENTES

Diego Antonio Seisdedos Javier

Asesorado por el Ing. Mario Rodolfo Corzo Ávila

(2)

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA

FACULTAD DE INGENIERÍA

TRABAJO DE GRADUACIÓN

PRESENTADO A LA JUNTA DIRECTIVA DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA

POR

DIEGO ANTONIO SEISDEDOS JAVIER

ASESORADO POR EL ING. MARIO RODOLFO CORZO ÁVILA

AL CONFERÍRSELE EL TÍTULO DE

INGENIERO CIVIL

(3)

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA

NÓMINA DE JUNTA DIRECTIVA

DECANO Ing. Pedro Antonio Aguilar Polanco VOCAL I Ing. Angel Roberto Sic García

VOCAL II Ing. Pablo Christian de León Rodríguez VOCAL III Inga. Elvia Miriam Ruballos Samayoa VOCAL IV Br. Raúl Eduardo Ticún Córdova VOCAL V Br. Henry Fernando Duarte García SECRETARIA Inga. Lesbia Magalí Herrera López

TRIBUNAL QUE PRACTICÓ EL EXAMEN GENERAL PRIVADO

DECANO Ing. Murphy Olympo Paiz Recinos EXAMINADOR Ing. Marco Antonio García Díaz EXAMINADOR Ing. Nicolás de Jesús Guzmán Sáenz EXAMINADOR Ing. Rafael Enrique Morales Ochoa SECRETARIO Ing. Hugo Humberto Rivera Pérez

(4)

HONORABLE TRIBUNAL EXAMINADOR

En cumplimiento con los preceptos que establece la ley de la Universidad de San Carlos de Guatemala, presento a su consideración mi trabajo de graduación titulado:

Tema que me fuera asignado por la Dirección de la Escuela de Ingeniería Civil, con fecha 16 de octubre de 2013.

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

ACTO QUE DEDICO A:

(11)

AGRADECIMIENTOS A:

Dios

Mis padres

Mis hermanos

Mis abuelos

Mi abuela

Mi bisabuelo

Mis padrinos

Mi familia

Mis amigas

Mi alma mater

Por todo.

Jorge Luis Seisdedos Petry y Sofía Lorena Javier Ibáñez.

Jennifer Sofía Ricco Javier, Khrystopher Abraham Ricco Javier y Marcelo Gabriel Seisdedos Javier.

María Sofía Petry Etchart y Antonio Seisdedos Sánchez, por el amor casi infinito que nos tuvieron siempre.

Dora Ibáñez Girón.

Julio Romeo Cifuentes.

Pablo Enrique Bonilla Cruz y Vanessa Rogelia Javier Ibáñez.

Tíos y primos en general.

Leslie Morales y Madelyn Cruz.

(12)

Mis amigos de la universidad

Mi asesor

Mis amigos de prácticas finales

Eduardo Barrios, Giuliann Locón, José Gramajo Karina Gonzalez, Luis Fernando Mejicanos, Narda Pacay, y Telma Sequén.

Mario Rodolfo Corzo Ávila.

José Valdez, José Bolívar, Helen Castañeda y Evelyn Contreras.

(13)

I

ÍNDICE GENERAL

ÍNDICE DE ILUSTRACIONES ... IX LISTA DE SÍMBOLOS ... XI GLOSARIO ... XVII RESUMEN... XXIII OBJETIVOS ... XXV INTRODUCCIÓN ...XXVII

1. PARÁMETROS DE DISEÑO DE LOSAS ... 1

1.1. Generalidades sobre losas ... 1

1.2. Losas macizas ... 1

1.3. Losas macizas en dos sentidos ... 2

1.3.1. Comportamiento mecánico ... 2

1.3.2. Espesores mínimos ... 3

1.3.3. Rigidez de vigas de apoyo ... 4

1.3.3.1. En marcos rígidos especiales resistentes a momento ... 4

1.3.3.2. En estructuras de mampostería ... 6

1.3.4. Inercia de vigas y losas ... 6

1.3.4.1. Inercia de vigas ... 6

1.3.4.2. Inercia de losas ... 8

1.3.5. Limitaciones del refuerzo ... 9

1.3.5.1. Refuerzo mínimo en elementos sometidos a flexión ... 9

1.3.5.2. Refuerzo por retracción y temperatura ... 10

(14)

II

1.3.5.3. Refuerzo máximo ... 11

1.3.5.4. Separación del refuerzo ... 13

1.3.5.4.1. Separación mínima ... 13

1.3.5.4.2. Separación máxima ... 14

1.3.6. Configuración del refuerzo ... 14

1.3.6.1. Bastón, tensión y riel ... 14

1.3.6.2. Tensores y rieles corridos ... 15

1.3.7. Determinación del área de acero ... 16

1.3.8. Verificación de fuerza cortante ... 17

1.3.9. Balance de momentos flectores ... 18

1.3.9.1. Balance por promedio ... 18

1.3.9.2. Balance por rigidez ... 19

1.4. Recubrimiento ... 20

1.5. Longitud de desarrollo ... 20

1.5.1. Limitaciones de la longitud de desarrollo ... 21

1.5.2. Longitudes de desarrollo usuales ... 21

2. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES – MÉTODO 3 DEL ACI ... 23

2.1. Bases teóricas... 23

2.2. Limitaciones ... 32

2.3. Descripción general del método ... 33

2.3.1. Distribución transversal de momentos en la losa .... 33

2.3.2. Determinación de momentos ... 34

2.3.2.1. Para momentos negativos desarrollados en los bordes de la losa ... 34

2.3.2.2. Para momento positivo generado por carga muerta ... 35

(15)

III

2.3.2.3. Para momentos positivos generados

por carga viva... 35

2.3.2.4. Momentos positivos totales ... 36

2.3.3. Fuerza cortante en el apoyo... 36

2.4. Consideraciones especiales ... 37

3. CARGAS ... 39

3.1. Cargas muertas ... 39

3.1.1. Peso de los materiales ... 39

3.1.2. Pisos ... 39

3.1.3. Tabiques y particiones ... 40

3.1.4. Equipos fijos ... 40

3.1.5. Sobrecarga ... 40

3.2. Cargas vivas ... 41

3.3. Otras cargas ... 44

3.3.1. Cargas de lluvia ... 44

3.3.2. Aspectos volcánicos ... 44

3.4. Combinación de carga ... 45

4. DEFLEXIONES ... 47

4.1. Deflexiones en losas ... 47

4.2. Cálculo de deflexiones ... 47

4.2.1. Deflexiones por carga viva ... 48

4.2.2. Deflexiones por carga muerta ... 49

4.3. Deflexiones adicionales a largo plazo ... 49

4.4. Deflexión total ... 50

4.5. Momento de inercia efectivo ... 51

(16)

IV

5. DISEÑO METODOLÓGICO ... 53

5.1. Ingreso de datos ... 54

5.1.1. Geometría de losa ... 54

5.1.2. Propiedades de los materiales... 54

5.1.3. Cargas actuantes ... 55

5.1.3.1. Cargas muertas ... 55

5.1.3.2. Cargas vivas ... 55

5.1.3.3. Carga de lluvia ... 55

5.1.3.4. Carga por ceniza volcánica ... 55

5.1.3.5. Factores de amplificación de cargas .... 55

5.1.3.6. Combinación de carga a utilizar ... 56

5.1.3.6.1. Combinación de carga a utilizar ... 56

5.1.3.7. Duración de la carga sostenida (para deflexiones) ... 56

5.1.3.8. Otros parámetros ... 56

5.1.4. Continuidad en losas ... 56

5.1.5. Casos típicos de continuidad en tableros ... 57

5.1.5.1. Tableros de 1x1 ... 57

5.1.5.2. Tableros de 2x2 ... 58

5.1.5.3. Tableros de 3x3 ... 58

5.2. Espesor de losa ... 58

5.2.1. Dimensión efectiva de losas y perímetro efectivo ... 59

5.2.1.1. Dimensión efectiva de losas ... 59

5.2.1.2. Perímetro efectivo de losa ... 59

5.2.2. Predimensión de elementos ... 59

5.2.2.1. Espesor de losa ... 60

5.2.3. Sección de vigas de apoyo ... 60

(17)

V

5.2.3.2. Altura de viga ... 60

5.2.3.3. Altura libre de viga ... 61

5.2.4. Relación de rigidez relativa entre viga y losa ... 61

5.2.4.1. Módulo de elasticidad de concreto ... 61

5.2.4.2. Sección efectiva, Inercia de sección y relación de rigideces ... 62

5.2.4.2.1. Sección efectiva de viga ... 62

5.2.4.2.2. Altura de eje centroidal de sección de viga ... 63

5.2.4.2.3. Inercia de franja de viga ... 64

5.2.4.2.4. Inercia de franja de losa ... 64

5.2.4.3. Relación de rigidez relativa viga-losa ... 64

5.2.5. Espesor de losa ... 65

5.2.5.1. Relación de luces ... 65

5.2.5.2. Espesor de losa ... 65

5.3. Momentos flectores ... 65

5.3.1. Integración de cargas... 66

5.3.1.1. Carga muerta ... 66

5.3.1.1.1. Peso propio de losa ... 66

5.3.1.1.2. Carga muerta total... 66

5.3.1.1.3. Carga de lluvia ... 66

5.3.1.2. Carga de ceniza volcánica ... 67

5.3.1.3. Amplificación y combinación de cargas ... 67

(18)

VI

5.3.2.1. Determinación de momentos de

flexión y cargas actuantes ... 67

5.3.2.1.1. Coeficientes de momento y distribución de carga ... 68

5.3.3. Momentos flectores ... 68

5.3.4. Distribución de carga ... 69

5.3.5. Ubicación de momentos y consideración de continuidad ... 69

5.3.5.1. Ubicación de momentos ... 70

5.3.5.2. Eliminación de momentos negativos que no tienen continuidad ... 70

5.3.6. Balance de momentos flectores ... 71

5.3.6.1. Momentos a balancear ... 71

5.3.6.2. Balance de momentos flectores ... 72

5.3.6.2.1. Balance por promedio ... 72

5.3.6.2.2. Balance por rigidez ... 73

5.3.7. Verificación de fuerza cortante ... 73

5.3.7.1. Tipo de concreto ... 73

5.3.7.2. Fuerza cortante resistente del concreto ... 73

5.3.7.3. Conclusión ... 73

5.4. Refuerzo de acero por flexión ... 74

5.4.1. Peralte efectivo y franja de diseño ... 74

5.4.1.1. Peralte efectivo ... 74

5.4.1.2. Base efectiva de losa ... 74

5.4.2. Restricciones del acero de refuerzo ... 75

5.4.2.1. Área de acero mínimo... 75

(19)

VII

5.4.2.3. Espaciamiento mínimo entre barras

paralelas ... 76

5.4.3. Determinación del área de acero ... 76

5.4.4. Configuración de refuerzo ... 76

5.5. Deflexiones ... 77

5.5.1. Momento de inercia efectivo ... 77

5.5.2. Factor dependiente del tiempo para cargas sostenidas ... 77

5.5.3. Verificación de continuidad en al menos uno de los bordes de losa ... 77

5.5.3.1. Cálculo de deflexiones por carga y según condición de apoyo ... 77

5.5.3.1.1. Cálculo de momentos positivos generados por cargas de servicio ... 78

5.5.4. Factor para deflexiones adicionales debidas a efectos de largo plazo ... 78

5.5.5. Cálculo de deflexiones ... 78

5.5.5.1.1. Para losas con bordes continuos: ... 78

5.5.5.1.2. Para losas con bordes discontinuos ... 79

5.5.6. Deflexión de losa ... 79

5.5.6.1. Deflexión inmediata ... 80

5.5.6.2. Deflexión a largo plazo ... 80

5.5.6.3. Deflexión promedio ... 80

5.6. Presentación de resultados ... 80

5.6.1. Espesor de losa ... 80

(20)

VIII

5.6.3. Deflexiones... 81

5.7. Hojas auxiliares ... 82

CONCLUSIONES ... 83

RECOMENDACIONES ... 85

BIBLIOGRAFÍA ... 87

(21)

IX

ÍNDICE DE ILUSTRACIONES

FIGURAS

1. Sección de viga de borde a considerar ... 7

2. Sección de viga intermedia a considerar ... 7

3. Sección de losa de borde a considerar ... 8

4. Sección de losa intermedia a considerar ... 8

5. Matriz de ingreso de datos de continuidad en losas ... 57

6. Matriz de ubicación de momentos negativos y positivos en losas ... 70

7. Matriz de presentación de configuración de refuerzo en resultados ... 81

TABLAS I. Separación mínima del refuerzo ... 13

II. Valores de λ según el tipo de concreto ... 17

III. Recubrimientos mínimos del concreto ... 20

IV. Coeficientes para momentos negativos, lado corto - Ca(-) ... 25

V. Coeficientes para momentos negativos, lado largo - Cb(-) ... 26

VI. Coeficientes para momentos positivos debidos a carga viva, lado corto – Ca(+)L ... 27

VII. Coeficientes para momentos positivos debidos a carga viva, lado largo – Cb(+)L ... 28

VIII. Coeficientes para momentos positivos debidos a carga muerta, lado corto – Ca(+)D ... 29

IX. Coeficientes para momentos positivos debidos a carga muerta, lado largo – Cb(+)D ... 30

(22)

X

X. Relación de la carga que se transmite hacia la dirección corta – Wa ... 31 XI. Relación de la carga que se transmite hacia la dirección larga – Wb ... 32 XII. Cargas vivas especificadas ... 42 XIII. Valores de 𝛏 según el tiempo de análisis (en meses)... 50 XIV. Deflexión máxima admisible ... 52 XV. Matriz de momentos a balancear en tableros 2 x 2 ... 71 XVI. Matriz de momentos a balancear en tableros 3 x 3 ... 72

(23)

XI

LISTA DE SÍMBOLOS

Símbolo Significado

y Altura al centroide de viga

yc Altura al centroide geométrico de sección efectiva de viga

dw Altura de agua empozada en losas de cubierta

ht Altura libre de viga de apoyo

h Altura o peralte de viga de apoyo

bw Ancho de la base bajo análisis de losas, igual a 1 metro.

As Área de acero de refuerzo

Ast Área de acero mínima por retracción y temperatura

A Área de sección transversal de una viga

bviga Base de viga de apoyo

b Base efectiva de viga

Dl Carga muerta debido al peso propio de la losa.

D Carga muerta total

CU Carga última

AR Carga uniformemente distribuida correspondiente a la carga de arena volcánica.

PL Carga uniformemente distribuida correspondiente a la carga de lluvia.

L Carga viva

(24)

XII

Ca(-) Coeficiente para momento negativo en la dirección corta.

Cb(-) Coeficiente para momento negativo en la dirección larga.

Ca(+)D Coeficiente para momento positivo debido a carga muerta en el sentido corto.

Cb(+)D Coeficiente para momento positivo debido a carga muerta en el sentido largo.

Ca(+)L Coeficiente para momento positivo debido a carga viva en la dirección corta.

Cb(+)L Coeficiente para momento positivo debido a carga viva en la dirección larga.

ρb Cuantía balanceada

ρ' Cuantía del refuerzo de compresión evaluada sobre la sección bruta.

ΔD Deflexión vertical debida a carga muerta

ΔL Deflexión vertical debida a carga viva

ΔT Deflexión vertical total

db Diámetro de varilla de acero de refuerzo

Lx Distancia horizontal a ejes en planta

Ly Distancia vertical a ejes en planta

T Duración de la carga sostenida (para deflexiones) M2 En balance de momentos es el momento de mayor

magnitud.

M2 bal En balance de momentos es el momento de mayor magnitud balanceado.

M1 En balance de momentos es el momento de menor magnitud.

(25)

XIII

M1 bal En balance de momentos es el momento de menor magnitud balanceado.

f2 En balance de momentos es un factor de balance del momento mayor.

f1 En balance de momentos es un factor de balance del momento menor.

dAV Espesor de arena volcánica esperado, según

cercanía de volcanes generadores de ceniza. S Espaciamiento del refuerzo principal a flexión

hf Espesor de losa

ξ Factor dependiente del tiempo para cargas

sostenidas.

γD Factor de magnificación de carga muerta

γL Factor de magnificación de carga viva

λ Factor de modificación en función del peso del concreto (liviano o normal).

Ψt Factor de modificación en función de la localización del refuerzo.

Ψe Factor de modificación en función del revestimiento del refuerzo.

ϕ Factor de reducción de resistencia

λΔ Factor para deflexiones adicionales debidas a efectos de largo plazo.

Va Fuerza cortante transmitida en el sentido corto Vb Fuerza cortante transmitida en el sentido largo

Vc Fuerza cortante que resiste el concreto

kfg Kilogramo fuerza, es una unidad de fuerza

ld Longitud de desarrollo

(26)

XIV

lx Luz libre de la losa, a rostros interiores de vigas, en el sentido horizontal.

ly Luz libre de la losa, a rostros interiores de vigas, en el sentido vertical.

la Luz libre de la losa en la dirección de mayor dimensión.

lb Luz libre de la losa en la dirección de menor dimensión.

l Luz libre de la viga o losa en una dirección

m Metro, es una unidad de longitud

mm Milímetro, es una unidad de longitud

Ec Módulo de elasticidad del concreto

Ecl Módulo de elasticidad del concreto de losas

Ecv Módulo de elasticidad del concreto de vigas de apoyo.

Mbal Momento balanceado

Ig Momento de inercia de la sección bruta del elemento con respecto al eje que pasa por el centroide, sin tener en cuenta el refuerzo.

IL Momento de inercia de losas

Iv Momento de inercia de vigas de apoyo

Ie Momento de inercia efectivo

Ma(-) Momento de flexión negativo en el sentido corto Mb(-) Momento de flexión negativo en el sentido largo Ma(+) Momento de flexión positivo total en el sentido corto Ma(+)D Momento de flexión positivo debido a carga muerta

en el sentido corto.

Mb(+)D Momento de flexión positivo debido a carga muerta en el sentido largo.

(27)

XV

Ma(+)L Momento de flexión positivo debido a carga viva en el sentido corto.

Mb(+)L Momento de flexión positivo debido a carga viva en el sentido largo.

Mb(+) Momento de flexión positivo total en el sentido largo Ms Momento de servicio. Son calculados con cargas sin

factores de magnificación.

d Peralte efectivo, distancia de la fibra extrema a compresión al centroide del refuerzo a tensión.

P Perímetro efectivo de losa

γw Peso específico del agua

wc Peso específico del concreto simple

γCR Peso específico del concreto reforzado

γAV Peso específico de la arena volcánica húmeda wlosa Peso propio de la losa

in Pulgada, es una unidad de longitud

rec Recubrimiento

Wa Relación de fuerza cortante que se transmite en el sentido corto.

Wb Relación de fuerza cortante que se transmite en el sentido largo.

β Relación de la dimensión larga y la dimensión corta de las luces libres de la losa.

αf Relación entre la rigidez a flexión de la viga de apoyo, contra la franja de losa bajo análisis.

f´c Resistencia a la compresión del concreto

fy Resistencia a la fluencia del acero

I Segundo momento de área o inercia de sección con respecto al eje que pasa por el centroide.

(28)

XVI

wotras Sumatoria de peso de acabados, tabiquería y otras cargas.

β1 Valor de modificación del rectángulo equivalente de

(29)

XVII

GLOSARIO

ACI American Concrete Institute.

AGIES Asociación Guatemalteca de Ingeniería Estructural y Sísmica.

Área de acero Área de la sección transversal del refuerzo.

Balance de momentos Procedimiento con base en el equilibrio estático de momentos en losas continúas.

Carga factorada Se le ha aplicado un factor de sobrecarga por razones de seguridad.

Carga muerta Es permanente, en una estructura y sobre la que se tiene una buena idea de su magnitud y posición en el tiempo.

Carga viva Esta no es permanente en una estructura y de la cual no se conocen ni su magnitud, ni su posición en el tiempo.

(30)

XVIII Coeficientes de

momento

Factores numéricos menores a la unidad, dependientes de la geometría de la losa y condiciones de apoyo. Son utilizados para determinar los momentos positivos y negativos en una losa, según el método de los coeficientes.

Coeficientes de distribución de carga

Factores numéricos menores a la unidad, dependientes de la geometría de la losa y condiciones de apoyo. Son utilizados para determinar la distribución de carga vertical en una losa, según el método de los coeficientes.

Concreto de peso normal

Concreto con un peso específico entre 2 155 y 2 560 kgf/m3_{. Por lo general se utiliza un valor entre 2 315 y} 2 400 kgf/m3_.

Concreto de peso liviano

Concreto con agregado liviano que tiene un peso específico entre 1 440 y 1 840 kgf/m3_.

Continuidad Cuando el apoyo de lado de la losa aporta suficiente restricción rotacional.

Cuantía balanceada Cuantía de refuerzo que produce condiciones balanceadas de deformación unitaria del concreto y acero.

Deflexión Distancia vertical entre un punto en una viga horizontal, antes de aplicársele carga al mismo punto, luego de la aplicación de la carga.

(31)

XIX

Espaciamiento Separación del refuerzo principal por flexión.

Fuerza cortante Esfuerzo interno o resultante de las tensiones paralelas a la dirección de la fuerza externa.

Inercia de sección También denominado segundo momento de área, es una propiedad geométrica de la sección transversal de elementos estructurales.

Longitud de desarrollo Longitud embebida del refuerzo en el concreto que se requiere, para desarrollar la resistencia de diseño del refuerzo en una sección crítica.

Losa Elemento estructural de espesor reducido respecto de sus otras dimensiones usado como techo o piso. Generalmente horizontal y armado en una o dos direcciones, según el tipo de apoyo existente en su contorno. Usado también como diafragma rígido para mantener la unidad de la estructura frente a cargas horizontales de sismo.

Losa maciza Losa de sección transversal llena, de poco espesor, cuyos bordes descansan sobre vigas relativamente rígidas. Esto con refuerzo en una o dos direcciones ortogonales.

(32)

XX Método de diseño por

factores de carga y resistencia

Método de diseño que consiste en aplicar factores de magnificación de cargas y de disminución de resistencia de los materiales.

Módulo de elasticidad Relación entre el esfuerzo normal y la deformación unitaria correspondiente. Esto para esfuerzos de tracción o compresión menores que el límite de proporcionalidad del material.

Momento flector Es la reacción inducida en un elemento estructural cuando se aplica una fuerza o momento externo al elemento haciendo que el elemento se flexione.

Momento nominal Valor teórico sin aplicación de factores de magnificación de cargas.

Número de barra Tipo de nomenclatura de diámetro de barras. Indica el diámetro nomimal de la barra de refuerzo en octavos de pulgada.

Panel Un panel de losa es un área de la misma que está limitada por los ejes de las columnas, vigas o muros que existan en sus bordes.

Perímetro efectivo Perímetro de losa calculado con las luces libres de la misma.

Predimensión Dimensión preliminar de un elemento estructural para realizar análisis estructurales iniciales.

(33)

XXI

Recubrimiento Distancia entre la superficie externa del refuerzo y la superficie externa más cercana del concreto expuesto a la intemperie.

Resistencia nominal Resistencia de un elemento o una sección transversal calculada con las disposiciones e hipótesis del método de diseño por resistencia, antes de aplicar el factor de reducción de resistencia.

Resistencia requerida Resistencia que un elemento o una sección transversal debe tener para resistir las cargas amplificadas o los momentos y fuerzas internas correspondientes combinadas.

Rigidez Medida de la oposición que presenta un cuerpo a algún tipo de deformación.

Sobrecarga Carga que contempla el peso de tabiques, particiones y acabados tales como pisos, acabados en techos y terminaciones.

Viga Elemento estructural que trabaja fundamentalmente a flexión y cortante.

(34)

(35)

XXIII

RESUMEN

En esta investigación se presenta de manera ordenada y abundante el conjunto de procedimientos para diseñar una losa maciza o tradicional en dos sentidos utilizando en método de los coeficientes o método 3 del ACI. El procedimiento abarca desde el ingreso de datos necesarios para arrancar el diseño, hasta la presentación de resultados.

Se empieza con el ingreso de datos tales como la geometría de las losas, las propiedades de los materiales, las cargas de diseño, los factores de magnificación de cargas a utilizar, la duración de cargas sostenidas, las condiciones de apoyo en losas y otros parámetros.

Se continúa determinando el espesor mínimo de losa en función de la relación de rigidez a flexión de las vigas de apoyo y la losa en sí.

Con el espesor de losa definido se realiza la integración de cargas actuantes y se procede a calcular los momentos de flexión actuantes en función de las condiciones de apoyo, la geometría en planta de la losa y las solicitaciones de carga. Además de los balances de momentos en losas debido al equilibrio interno del sistema estructural y la consideración de momentos negativos presentes en los bordes de losa que no tienen continuidad.

Con las solicitudes de momento se calcula el refuerzo necesario para cubrir tanto las demandas de carga como las restricciones del refuerzo mínimo y espaciamientos máximos. Con esto se brinda una configuración recomendada de refuerzo.

(36)

XXIV

Por motivos principalmente de particiones móviles dentro de los ambientes debajo de las losas, se calculan las deflexiones totales causadas. Esto debido a deflexiones inmediatas y las adicionales a largo plazo.

Finalizando con la presentación de resultados: espesor de losa, configuraciones de refuerzo y deflexiones totales a cierto tiempo.

(37)

XXV

OBJETIVOS

General

Desarrollar una serie de hojas de cálculo que realicen el diseño estructural de tableros de losas macizas en dos direcciones utilizando el Método de los Coeficientes y las especificaciones de los reglamentos ACI y AGIES en vigencia.

Específicos

1. Diseñar libros de cálculo para el diseño de tableros de losas macizas en dos sentidos (tableros de 1×1, 2×2 y 3×3 paneles).

2. Determinar los parámetros críticos en el diseño de losas macizas en dos sentidos.

3. Determinar las dimensiones mínimas de vigas de apoyo en losas, para que estas sean dos veces o más rígidas que las franjas de losa continuas.

4. Determinar la configuración de refuerzo óptima necesaria, para resistir las solicitaciones de carga.

(38)

(39)

XXVII

INTRODUCCIÓN

Uno de los problemas más usuales, en el diseño de losas macizas en dos sentidos, es lo tedioso que puede resultar la iteración de todo el proceso de análisis. Debido a que no se cumplen los requerimientos de resistencia o las condiciones de servicio como las deflexiones a largo plazo.

El proceso de análisis y diseño de las losas macizas en dos sentidos se automatizó mediante el uso de hojas de cálculo (utilizando el programa Microsoft Excel). Esto para conseguir resultados prácticamente instantáneos y se evitaron iteraciones utilizando criterios, restricciones y limitaciones del código ACI 318S-11.

Un objetivo paralelo que se puede obtener mediante las hojas de cálculo es la determinación de qué parámetros influyen más o son más delicados a la hora de diseñar una losa maciza en dos direcciones. Gracias a que se pueden alterar las condiciones iniciales, como la geometría de la losa y las propiedades de los materiales, y observar el comportamiento estructural de la losa.

Para el análisis estructural se utilizó el Método de los coeficientes o Método 3 del ACI 318-63. Esto debido a dos razones, su simplicidad y aplicación directa y la confiabilidad que brinda con respecto a los resultados del análisis estructural. Lo anterior es por el hecho de haberse utilizado exitosamente a lo largo de los años.

Como respaldo al uso de este método se puede decir con firmeza que está permitido para el diseño y análisis de losas en dos direcciones en las

(40)

XXVIII

versiones actuales del código ACI 318. Además está incluido en el Reglamento colombiano de construcción sismo resistente, NSR-10, Título C debido a su éxito continuo a través de los años.

(41)

1

1. PARÁMETROS DE DISEÑO DE LOSAS

1.1. Generalidades sobre losas

Una losa es un elemento estructural plano, de espesor reducido respecto de sus dimensiones en planta. Esta permite tanto suministrar superficies de apoyo a las cargas verticales como proporcionar suficiente rigidez estructural. Actúa como diafragma rígido para mantener la unidad de la estructura frente a cargas horizontales.

Son utilizadas como techos o entrepisos, generalmente horizontales (sin inclinación) y reforzadas en una o dos direcciones. Esto dependiendo de factores a mencionar como el tipo de apoyo existente en su contorno, la geometría de la misma, entre otros.

1.2. Losas macizas

También conocidas como tradicionales, son las que están conformadas únicamente de concreto y barras de refuerzo de acero. Son muy comunes en edificios debido a la sencillez que presentan para ser construidas y la alta adaptabilidad que tienen ante diseños irregulares.

Sus bordes pueden estar apoyados sobre vigas, muros de carga o muros de mampostería. La condición es que sean suficientemente rígidos y con deflexiones muy pequeñas en comparación con las de la losa.

(42)

2

Dependiendo de la configuración de sus apoyos, y su geometría en planta, pueden dividirse en losas en uno o dos sentidos. En la mayoría de los casos, ambos tipos de losas se diseñan para cargas que se suponen uniformemente distribuidas completamente sobre la superficie de apoyo.

1.3. Losas macizas en dos sentidos

Son las que están apoyadas sobre sus cuatro bordes o tienen una relación entre longitud y ancho menor a dos unidades.

1.3.1. Comportamiento mecánico

Las losas en dos sentidos tienen una acción estructural en dos direcciones. Estas presentan una superficie deformada en forma de domo esférico y en cualquier punto de la losa existen momentos flectores en dos direcciones ortogonales.

Por lo general, las losas macizas en dos direcciones están apoyadas sobre vigas perimetrales a lo largo de sus cuatro bordes. Estas vigas se caracterizan por ser suficientemente rígidas. Además de trabajar monolíticamente con la losa, para transferir flexión, torsión y esfuerzos cortantes.

Además, la rigidez de las vigas de borde garantiza que, bajo la acción de cargas, estas no sufren deformaciones considerables.

(43)

3 1.3.2. Espesores mínimos

Sirven para garantizar que las deflexiones que la losa sufrirá durante su servicio estén dentro de los límites admisibles.

Su cálculo está en función de varios valores, pero principalmente de la relación de rigidez entre las losas y las vigas de apoyo αf. Según el valor que arroje esta relación se deberán utilizar tablas o fórmulas que brinden el espesor mínimo de la losa.

Esta relación de rigideces se hace utilizando la rigidez a flexión de una sección de viga. Así como la rigidez a flexión de una franja de losa limitada lateralmente por los ejes centrales de los paneles adyacentes (si los hay), a cada lado de la viga.

Dicha relación de rigideces se calcula de la siguiente manera:

αf=

E_cv⋅ I_v Ecl⋅ Il

[Ec. 1]

Donde αf es la relación entre la rigidez a flexión de la viga de apoyo contra la franja de losa bajo análisis. Ecv y Ecl es el módulo de elasticidad del concreto de las vigas de apoyo y de las losas respectivamente (en kilogramos fuerza por centímetro cuadrado). IV y Il es la inercia de las vigas de apoyo y de las losas respectivamente (en centímetros a la cuarta potencia).

Por lo general, mientras más pequeño sea el valor de αf, mayor será el espesor de losa mínimo. Debido que en la práctica, por la economía del

(44)

4

concreto, se apunta siempre a losas de espesores pequeños que cumplan con requerimientos de servicio y resistencia. Se busca que los valores de αf sean mayores a 2 unidades.

Teniendo en cuenta lo anterior, para valores de alfa (αf) mayores a 2 unidades, el espesor mínimo de losas puede calcularse como:

h_f ≥ℓ (0.8 + f_y 14000) 36 + 9β

[Ec. 2]

Donde hf es el espesor de la losa (en metros), ℓ es la luz libre (medida a rostros interiores de las vigas) en la dirección larga de la losa (en metros), fy es la resistencia a la fluencia del acero (en kilogramo fuerza por centímetro cuadrado) y beta (β) es la relación de la dimensión larga y la dimensión corta de las luces libres de la losa.

1.3.3. Rigidez de vigas de apoyo

Con el fin de garantizar que las vigas de apoyo aporten una rigidez suficiente para que la relación de rigidez entre vigas y losa alfa (αf) ascienda a un valor mayor a 2 unidades. Estas deben cumplir las siguientes consideraciones:

1.3.3.1. En marcos rígidos especiales resistentes a momento

Siempre y cuando se utilice una base mínima de viga de 0,25 m como lo especifica el ACI 21.5.1.3 (estructuras sismo resistentes, elementos sometidos

(45)

5

a flexión en pórticos especiales resistentes a momento), se deben utilizar los siguientes peraltes de viga:

 En losas de borde

En losas de borde con luces libres de hasta 9 m de longitud, utilizar un peralte de viga mayor o igual a tres veces el espesor de losa:

h ≥ 3hf

[Ec. 3]

 En losas intermedias

Con luces libres de hasta 5 m de longitud, utilizar un peralte de viga mayor o igual a tres veces el espesor de la losa:

h ≥ 3hf

[Ec. 4]

Con luces libres de hasta 8 m de longitud, utilizar un peralte de viga mayor o igual a 3,5 veces el espesor de la losa:

h ≥ 3,5hf

[Ec. 5]

Para más información, revisar el título Relación entre la rigidez a flexión de viga y losa en la sección de anexos.

(46)

6

1.3.3.2. En estructuras de mampostería

En los casos en los que se diseñe con estructuras de mampostería, se sugiere que las vigas de corona o remate. Sobre las cuales se apoya la losa, tengan un peralte mayor o igual a dos veces el espesor de losa con el fin de para garantizar suficiente rigidez.

h ≥ 2h_f

[Ec. 6]

1.3.4. Inercia de vigas y losas

A continuación, se presentan la forma en la que se calcula la inercia en el caso de vigas y el de losas:

1.3.4.1. Inercia de vigas

Según el ACI 318S-11, en la sección 13.2.4, cuando las vigas y las losas forman parte de un sistema monolítico o totalmente compuesto, a la viga se le incluye porciones de losa como si fueran alas. Esta porción adicional es igual a la distancia de la proyección a 45º desde la viga hacia la losa, como se presenta a continuación:

(47)

7

Figura 1. Sección de viga de borde a considerar

Fuente: elaboración propia, empleando AutoCAD.

Figura 2. Sección de viga intermedia a considerar

(48)

8

1.3.4.2. Inercia de losas

En el caso de la inercia de losas, la longitud de la misma debe limitarse lateralmente por los ejes centrales de los paneles adyacentes a cada lado de la viga. Esto si es que los hay, como se ilustra en las siguientes figuras:

Figura 3. Sección de losa de borde a considerar

Fuente: elaboración propia, empleando AutoCAD.

Figura 4. Sección de losa intermedia a considerar

(49)

9

1.3.5. Limitaciones del refuerzo

A continuación, se presentan las limitaciones mínimas y máximas de acero de refuerzo en losas recomendables.

1.3.5.1. Refuerzo mínimo en elementos sometidos a flexión

En losas en dos sentidos, la cantidad mínima de refuerzo se aplica debido a la restricción de espesor mínimo de losa. Se tiene una sección transversal mayor a la requerida por las consideraciones de resistencia. Y cuando la cantidad de refuerzo a tracción es muy pequeña, el tipo de falla puede ser del tipo repentina.

Para evitar dicha falla se requiere una cantidad mínima de refuerzo a tracción. Esto tanto en las regiones de momento positivo como en las de momento negativo, que pueden ser la siguiente:

As ≥ 0.8√fc ′

fy bwd

[Ec. 7]

A_s ≥ 14 f_y bwd

[Ec. 8]

Donde As es el área de acero de refuerzo, fy es la resistencia a la fluencia del acero (en kilogramo fuerza por centímetro cuadrado), f´c es la resistencia a la compresión del concreto (en kilogramo fuerza por centímetro cuadrado), bw

(50)

10

es la base bajo análisis de losa igual a 1 m y d es el peralte efectivo de la losa (en metros).

1.3.5.2. Refuerzo por retracción y temperatura

En las losas macizas se debe proporcionar refuerzo suficiente para resistir los esfuerzos por retracción del concreto y cambios de temperatura. Este refuerzo sirve para minimizar fisuración y amarrar la estructura para que actúe como se supone en el diseño. Se coloca perpendicular al refuerzo por flexión. Está en función del tipo de refuerzo que se utilice.

En la mayoría de los casos típicos, este valor es superado por el refuerzo mínimo en elementos sometidos a flexión.

Para refuerzo con barras corrugadas con una resistencia a la fluencia de 2 800 y 3 500 kgf/cm2_{, se debe utilizar:}

Ast = 0,002bwhf

[Ec. 9]

Para refuerzo con barras corrugadas con una resistencia a la fluencia de 4 200 kgf/cm2_{, se debe utilizar:}

Ast = 0,0018bwhf

[Ec. 8]

Donde Ast es el área de acero de refuerzo mínima por retracción y temperatura (en metros cuadrados), bw es la base bajo análisis de losa igual a 1 m y hf es el espesor de losa (en metros).

(51)

11

1.3.5.3. Refuerzo máximo

La cantidad máxima de refuerzo a tracción en elementos sometidos a flexión está limitada con una cantidad máxima. El objetivo es garantizar un comportamiento y falla del tipo dúctil.

Esto para que la deformación unitaria en el acero a tracción exceda en gran medida la deformación unitaria de fluencia cuando el concreto alcance su deformación unitaria última. Se presentan las losas deflexiones grandes y amplias advertencias de una falla inminente.

El área de acero máxima se puede calcular como una fracción de la cuantía balanceada, que viene siendo:

ρ_b=0,85β1fc′ f_y (

6120 6120 + f_y)

[Ec. 9]

Donde ρb es la cuantía balanceada de refuerzo, β1 es un factor adimensional en función de la resistencia a compresión del concreto, f´c es la resistencia a la compresión del concreto (en kgf/cm2_{) y f}

y es la resistencia a la fluencia del acero (en kgf/cm2_).

El ACI 318S-11 indica que para la mayoría de diseños estructurales, siempre y cuando no se requieran grandes cantidades de ductilidad. Utilizar como límite superior del refuerzo una cuantía igual a 0,75ρb garantiza un comportamiento dúctil.

(52)

12

A_s ≤ 0,75ρ_b

[Ec. 10]

Ahora bien, si el diseño requiere una ductilidad mayor, como en el caso de las estructuras sismo resistentes, se sugiere que la cuantía del refuerzo a tracción esté por debajo del 0,50ρb

As ≤ 0,50ρb

[Ec. 11]

El valor β1 es un factor que relaciona la altura del bloque rectangular equivalente de esfuerzos de compresión con la profundidad del eje neutro. Esto depende de la resistencia a compresión del concreto y se puede calcular de la siguiente manera:

 Para concretos con fć menores o iguales a 280 kg/cm2, β1 es igual a 0,85  Para concretos con fć mayores o iguales a 560 kg/cm2, β1 es igual a 0,65  Para concretos con fć entre a 280 y 560 kg/cm2, β1 se calcula de la

siguiente manera:

𝛽1 = 0,85 − 0,05 (

𝑓_𝑐′_{− 280} 1400 )

[Ec. 12]

(53)

13

1.3.5.4. Separación del refuerzo

A continuación se presentan los límites de separación de refuerzo en losas.

1.3.5.4.1. Separación mínima

Los límites mínimos de separación de refuerzo se establecen con objetivos tanto estructurales como de construcción. Estructurales ya que evitan concentración de barras de refuerzo en un mismo plano que puedan causar agrietamiento por esfuerzo cortante o retracción. De construcción para permitir el flujo rápido y considerablemente libre del concreto que se encuentra entre los espacios comprendidos entre barras de refuerzo y entre las barras y el encofrado, para evitar huecos.

Dependiendo la condición de las barras, se tienen las siguientes separaciones mínimas:

Tabla I. Separación mínima del refuerzo

Condición Separación mínima

En barras paralelas de una capa d_b

25 mm Entre capas en refuerzos de dos o más capas 25 mm

(54)

14

1.3.5.4.2. Separación máxima

Los límites de separación máxima del refuerzo se establecen con el fin de reducir agrietamientos y prevenir la existencia de cargas concentradas en áreas pequeñas de la losa. Esta separación es medida de centro a centro del refuerzo.

Para losas macizas en dos sentidos, el espaciamiento del refuerzo en las secciones críticas no debe exceder 2 veces el espesor de la losa.

S ≤ 2hf

[Ec. 13]

1.3.6. Configuración del refuerzo

El refuerzo se puede configurar de varias maneras para resistir los momentos flectores generados en las losas. En la práctica se utilizan los dos siguientes métodos:

1.3.6.1. Bastón, tensión y riel

Se refuerza con tres líneas de refuerzos principales, coloquialmente llamados bastón, tensión y riel o temperatura:

 El bastón cubre parte de la demanda de momento negativo generado en los apoyos de la losa, se coloca en la cama alta del refuerzo. Por lo general se dejan con una longitud de ¼ de la luz libre en ese sentido de la losa.

(55)

15

 El riel se coloca en la cama inferior de la losa, por debajo del bastón, a lo largo de toda su longitud. Cubre principalmente los esfuerzos por retracción y temperatura y en menor parte la demanda del momento positivo generado en las franjas centrales de la losa.

 La tensión se coloca en la cama superior de la losa, intercalado con los bastones. A esta barra se le realiza un doblez a 45º hacia abajo, a una distancia de 1/5 de la luz libre en ese sentido en cada extremo del refuerzo. El doblez se contrarresta al llegar al límite inferior permitido por el recubrimiento del concreto (cama inferior). Este refuerzo sirve para cubrir la demanda del momento positivo presente en las franjas centrales de la losa.

Cabe destacar que los bastones, rieles y tensiones se dejan embebidos en el apoyo, con un gacho estándar a 90º o a 180º dependiendo de la geometría de las vigas de apoyo, y una longitud de desarrollo en función del diámetro de barra que se utilice y otros parámetros.

1.3.6.2. Tensores y rieles corridos

En la construcción de losas macizas de gran escala, como las presentes en edificios, se suele utilizar una configuración de refuerzo un poco más cómoda de ensamblar y construir. Esto por medio de tensores y rieles:

 En la cama superior de la losa se colocan tensores que resisten las solicitaciones de momento negativo generados en los apoyos de la losa. Se cortan a una longitud igual a ¼ de la luz libre en ese sentido de la losa, medidos desde el rostro interior de la viga de apoyo hacia el centro de la losa.

(56)

16

 En la cama inferior de la losa se colocan rieles corridos que resisten las solicitaciones de momento positivo generadas en las franjas centrales de la losa y cubrir los requisitos de refuerzo mínimo por contracción y temperatura.

Cabe destacar que tanto los tensores como los rieles se dejan embebidos en el apoyo, con un gacho estándar a 90º o a 180º dependiendo de la geometría de las vigas de apoyo, y una longitud de desarrollo en función del diámetro de barra que se utilice y otros parámetros.

1.3.7. Determinación del área de acero

Para la determinación del área de acero necesaria se utilizará la siguiente fórmula. Se obtiene a través del análisis elástico de flexión en vigas rectangulares, utilizando una distribución rectangular equivalente de los esfuerzos a compresión del concreto. El análisis se realizará con una base igual a una franja de diseño de losa igual a 1 metro de ancho.

A_s =0,85fc′bwd

f_y (1 − √1 −

2MU ϕ0,85f_c′_b

wd2)

[Ec. 14]

Donde f´c es el esfuerzo a compresión del concreto (en kilogramos fuerza por centímetro cuadrado), fy es el esfuerzo a la fluencia del acero (en kilogramos fuerza por centímetro cuadrado), bw es la base bajo análisis de la losa igual a 1 m. d es el peralte efectivo de la losa (en centímetros), MU es el momento de flexión último solicitante (en kilogramos fuerza por metro) y ϕ es el factor de reducción de resistencia (adimensional).

(57)

17

1.3.8. Verificación de fuerza cortante

El código ACI especifica que la resistencia nominal al cortante proporcionada por el concreto puede calcularse de la siguiente manera:

ϕVc = ϕ0.53λ√fc′bwd

[Ec. 15]

Donde ϕ es un factor de reducción de resistencia (adimensional), λ es un factor de modificación en función del peso del concreto (adimensional), f´c es el esfuerzo a compresión del concreto (en kilogramos fuerza por centímetro cuadrado), bw es la base bajo análisis de la losa igual a 1 m y d es el peralte efectivo de la losa (en m).

Para el cálculo de la resistencia a cortante del concreto, el valor de ϕ puede usarse igual a 0,75 según el ACI 318S-11, sección 9.3.2.3.

El factor λ cubre la posibilidad de resistencias a cortante bajas debido a la baja resistencia a tracción del concreto de peso liviano. El ACI318S-11 recomienda utilizar los siguientes valores:

Tabla II. Valores de λ según el tipo de concreto

Tipo de concreto Λ

Peso normal 1,00

Peso liviano de arena de peso normal 0,85 Otros concreto de peso liviano 0,75

(58)

18

El tipo de concreto se clasifica según el peso específico de la siguiente manera:

 Concreto de peso normal - concreto con un peso específico entre 2 155 y 2 560 kgf/m3_{. Por lo general se utiliza un valor entre 2 315 y 2 400 kg/m}3_.  Concreto liviano - concreto con agregado liviano que tiene un peso

específico entre 1 440 y 1 840 kgf/m3_.

1.3.9. Balance de momentos flectores

En losas continuas, para cumplir con las condiciones de equilibrio estático en las vigas de apoyo, se realiza un balance de momentos negativos. Según qué tan grande sea la diferencia entre los dos momentos a balancear se utiliza el método de promedio o el de rigidez:

1.3.9.1. Balance por promedio

Cuando el momento menor a balancear es mayor o igual a 0,8 veces el momento mayor a balancear. Se puede realizar el balanceo a través de un promedio:

M_bal= M1+ M2 2

Donde M1 es en momento a balancear de menor magnitud y M2 es el

momento a balancear de mayor magnitud (ambos en kilogramo fuerza por metro).

(59)

19

1.3.9.2. Balance por rigidez

Cuando el momento menor a balancear es menor a 0,8 veces el momento mayor a balancear, se realiza el balanceo a través de un balance por rigidez. El balance por rigidez consiste en tomar en cuenta la luz libre de las losas que se están balanceando. El fin es distribuir de una manera con más sentido estructural los mismos.

Este tipo de balance utiliza dos factores que están en función de la luz libre, siendo de la siguiente manera:

f₁ = 1 ℓ₁ 1 ℓ1+ 1ℓ2

f2 = 1 ℓ2 1 ℓ₁+ 1ℓ₂

Donde ℓ1 es la luz libre de la losa con el momento menor (en m), ℓ2 es la luz libre de la losa con el momento mayor (en m).

Calculados los factores de distribución se calculan ambos momentos balanceados, que resultan siendo idénticos:

M1 bal = M1+ f2(M2− M1)

M2 bal= M2+ f1(M2− M1)

(60)

20 1.4. Recubrimiento

Es la distancia entre la superficie externa del refuerzo y la superficie externa más cercana del concreto. Se utiliza para garantizar adherencia entre el refuerzo y el concreto y para proteger las barras de refuerzo contra los agentes de oxidación que puedan causar corrosión del acero, como para brindar protección contra la abrasión y el fuego.

Se mide desde la superficie del concreto hasta la superficie exterior del acero. Para el caso de losas macizas (concreto construido en sitio y refuerzo no pre esforzado), el recubrimiento no debe ser menor que los valores descritos en la siguiente tabla:

Tabla III. Recubrimientos mínimos del concreto

Condición Recubrimiento de

concreto, en mm Concreto expuesto al suelo o a la intemperie. Barras

de refuerzo número 5 y menores.

40 Concreto no expuesto a la intemperie ni en contacto

con el suelo. Barras de refuerzo número 11 y menores.

20

Fuente: ACI 318S-11 7.7.1

1.5. Longitud de desarrollo

A grandes rasgos, esta es la longitud del refuerzo que necesita estar introducida dentro del concreto más allá de la sección crítica. Esto para que el refuerzo pueda desarrollar correctamente toda la resistencia de diseño, garantizando suficiente adherencia y agrietamientos pequeños cerca del refuerzo.

(61)

21

Debido a la geometría y la configuración de refuerzo usual en losas macizas, se puede utilizar la siguiente expresión como la longitud mínima de desarrollo:

ℓd = db(

f_yΨ_tΨ_eλ 6,6√fc′

)

[Ec. 16]

Donde db es el diámetro nominal de varilla de acero de refuerzo (en metros), fy es la resistencia a la fluencia del acero (en kilogramos fuerza por centímetro cuadrado), Ψt es un factor de modificación en función de la localización del refuerzo (adimensional), Ψe es un factor de modificación en función del revestimiento del refuerzo (adimensional), λ es un factor de modificación en función del peso del concreto (adimensional) y f´c el esfuerzo a compresión del concreto (en kilogramos fuerza por centímetro cuadrado).

1.5.1. Limitaciones de la longitud de desarrollo

El ACI 318S-11 indica en la sección 12.2.1 que la longitud de desarrollo no debe ser para ningún caso menor que 0,30 m.

1.5.2. Longitudes de desarrollo usuales

Por lo general, en losas macizas se pueden asumir los factores Ψt=1,0 ya que siempre habrá menos de 30 cm de concreto fresco debajo de la longitud de desarrollo, Ψe=1,0 para barras de refuerzo sin recubrimiento epóxico y λ=1,0 para concreto de peso normal. Resultando la expresión de la siguiente manera:

(62)

22

ℓd = db( fy 6,6√fc′

)

Donde los esfuerzos están en dados en kilogramos fuerza por centímetro cuadrado y el diámetro nominal de la varilla de acero en metros.

(63)

23

2. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES – MÉTODO 3 DEL ACI

También es conocido como Método 3 del Código ACI, es un método de análisis estructural aplicable a losas macizas en dos direcciones.

Fue originalmente propuesto por Henry Marcus en 1929 en el artículo publicado bajo el nombre Vereinfachte Berechnung Biegsamer Platten (en español, cálculo simplificado de placas flexibles). Años más tarde, en 1944, fue presentado en Estados Unidos de América por Paul Rogers en el artículo

Two-Way Reinforced Concrete Slabs (en español, losas de concreto reforzado en

dos sentidos).

A pesar de que ya no forma parte del código ACI después la versión de 1963, se permite su uso según la disposición del código ACI en donde se establece que "Se permite diseñar un sistema de losas mediante cualquier procedimiento que satisfaga las condiciones de equilibrio y compatibilidad geométrica, si se demuestra que la resistencia de diseño en cada sección es por lo menos igual a la resistencia requerida en las secciones 9.2 y 9.3, y se cumplen todas las condiciones de servicio incluyendo los límites especificados para las deformaciones”1

2.1. Bases teóricas

El método se basa en la idea de que bajo la acción de carga, una losa con apoyos rígidos en todos sus extremos, se deflecta formando una superficie en forma de elipsoidal. Esto es con curvatura en las dos direcciones

1_{Reglamento ACI 318S-08. Sección 13.5.1}

(64)

24

perpendiculares a los bordes. Esta deformación genera momentos flectores y torsionales en las dos direcciones.

Presenta tablas de coeficientes basados en la determinación de los momentos flectores en losas bidireccionales. Esto por medio de la teoría de elasticidad considerando la reducción de los momentos por efecto de la redistribución inelástica de tensiones. En consecuencia, el momento de diseño para cada dirección es menor que el máximo obtenido por elasticidad para esa misma dirección.

Estas tablas de coeficientes están en función de la geometría, las condiciones de apoyo de la losa y del tipo de carga bajo análisis, resultando el siguiente conjunto de tablas:

 Coeficientes para momentos negativos

 Coeficientes para momentos positivos en función de la carga

o Coeficientes para momentos positivos debidos a la carga muerta, donde se consideran todos los bordes continuos.

o Coeficientes para momentos positivos debidos a la carga viva, donde se analiza el caso en el que la carga viva se aplica únicamente en la losa bajo análisis. Para obtener el momento positivo máximo posible se supone que los bordes continuos ofrecen solo un 50 % de restricción rotacional.

(65)

25

Tabla IV. Coeficientes para momentos negativos, lado corto - Ca(-)

β Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso4 Caso 5 Caso 6 Caso 7 Caso 8 Caso 9 0.50 0,000 0,086 0,000 0,094 0,090 0,097 0,000 0,089 0,088 0.55 0,000 0,084 0,000 0,092 0,089 0,096 0,000 0,085 0,086 0.60 0,000 0,081 0,000 0,089 0,088 0,095 0,000 0,080 0,085 0.65 0,000 0,077 0,000 0,085 0,087 0,093 0,000 0,074 0,083 0.70 0,000 0,074 0,000 0,081 0,086 0,091 0,000 0,068 0,081 0.75 0,000 0,069 0,000 0,076 0,085 0,088 0,000 0,061 0,078 0.80 0,000 0,065 0,000 0,071 0,083 0,086 0,000 0,055 0,075 0.85 0,000 0,060 0,000 0,066 0,082 0,083 0,000 0,049 0,072 0.90 0,000 0,055 0,000 0,060 0,080 0,079 0,000 0,043 0,068 0.95 0,000 0,050 0,000 0,055 0,079 0,075 0,000 0,038 0,065 1.00 0,000 0,045 0,000 0,050 0,075 0,071 0,000 0,033 0,061

(66)

26

Tabla V. Coeficientes para momentos negativos, lado largo - Cb(-)

β Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso4 Caso 5 Caso 6 Caso 7 Caso 8 Caso 9 0,50 0,000 0,006 0,022 0,006 0,000 0,000 0,014 0,010 0,003 0,55 0,000 0,007 0,028 0,008 0,000 0,000 0,019 0,014 0,005 0,60 0,000 0,010 0,035 0,011 0,000 0,000 0,024 0,018 0,006 0,65 0,000 0,014 0,043 0,015 0,000 0,000 0,031 0,024 0,008 0,70 0,000 0,017 0,050 0,019 0,000 0,000 0,038 0,029 0,011 0,75 0,000 0,022 0,056 0,024 0,000 0,000 0,044 0,036 0,014 0,80 0,000 0,027 0,061 0,029 0,000 0,000 0,051 0,041 0,017 0,85 0,000 0,031 0,065 0,034 0,000 0,000 0,057 0,046 0,021 0,90 0,000 0,037 0,070 0,040 0,000 0,000 0,062 0,052 0,025 0,95 0,000 0,041 0,072 0,045 0,000 0,000 0,067 0,056 0,029 1,00 0,000 0,045 0,076 0,050 0,000 0,000 0,071 0,061 0,033

(67)

27

Tabla VI. Coeficientes para momentos positivos debidos a carga viva, lado corto – Ca(+)L

(68)

28

Tabla VII. Coeficientes para momentos positivos debidos a carga viva, lado largo – Cb(+)L

(69)

29

Tabla VIII. Coeficientes para momentos positivos debidos a carga muerta, lado corto – Ca(+)D

(70)

30

Tabla IX. Coeficientes para momentos positivos debidos a carga muerta, lado largo – Cb(+)D

(71)

31

Tabla X. Relación de la carga que se transmite hacia la dirección corta – Wa

β Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso4 Caso 5 Caso 6 Caso 7 Caso 8 Caso 9 0.50 0.940 0.940 0.760 0.940 0.990 0.970 0.860 0.890 0.970 0.55 0.920 0.920 0.690 0.920 0.980 0.960 0.810 0.850 0.950 0.60 0.890 0.890 0.610 0.890 0.970 0.950 0.760 0.800 0.940 0.65 0.850 0.850 0.530 0.850 0.960 0.930 0.690 0.740 0.920 0.70 0.810 0.810 0.450 0.810 0.950 0.910 0.620 0.680 0.890 0.75 0.760 0.760 0.390 0.760 0.940 0.880 0.560 0.610 0.860 0.80 0.710 0.710 0.330 0.710 0.920 0.860 0.490 0.550 0.830 0.85 0.660 0.660 0.280 0.660 0.900 0.830 0.430 0.490 0.790 0.90 0.600 0.600 0.230 0.600 0.880 0.790 0.380 0.430 0.750 0.95 0.550 0.550 0.200 0.550 0.860 0.750 0.330 0.380 0.710 1.00 0.500 0.500 0.170 0.500 0.830 0.710 0.290 0.330 0.670

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Tabla XI. Relación de la carga que se transmite hacia la dirección larga – Wb

Fuente: NILSON, Arthur H. Diseño de Estructuras de Concreto. p 381.

2.2. Limitaciones

Este método es únicamente aplicable a losas cuyos paneles están apoyados en sus cuatro bordes sobre muros o sobre vigas suficientemente rígidas ante deflexiones verticales.

Una viga de apoyo se considera rígida ante la losa cuando el parámetro αf es mayor o igual a 2 (ver inciso 1.3.3, Rigidez de vigas de apoyo). Este valor asegura que, bajo la acción de cargas, únicamente la losa sufre deformaciones verticales y no los apoyos.

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En el caso que los apoyos no se consideren rígidos, se dice que la rigidez torsional es despreciable y debe considerarse que la losa tiene un apoyo no continuo. En este último caso el momento negativo de diseño de la losa, en el borde discontinuo debe ser considerado, para efectos de diseño, igual a un tercio del momento positivo de diseño en ese sentido.

2.3. Descripción general del método

A continuación se presentan el procedimiento general del método de los coeficientes.

2.3.1. Distribución transversal de momentos en la losa

Para la distribución de momentos en la sección transversal de la losa, el método divide la losa, en cada sentido. Esto es en franjas de columnas y franjas centrales:

 Las franjas de borde o de columna son franjas de diseño con un ancho a cada lado del eje de la columna igual un cuarto del ancho del panel. Las franjas de columna incluyen las vigas, si las hay.

 Las franjas centrales son franjas de diseño limitadas por dos franjas de columna. En otras palabras, es una franja de diseño con ancho de la mitad del panel.

El método indica que los momentos de diseño en la franja de columnas son menores que los de la franja central. Estos deben reducirse gradualmente de su valor total hasta un tercio del momento en el borde de la losa. Esta

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suposición implica que puede existir una reducción del refuerzo de la losa cerca de sus apoyos.

2.3.2. Determinación de momentos

Los momentos de diseño de la franja central deben calcularse usando los factores tabulados desde la tabla III hasta la tabla X. Se utilizan las siguientes ecuaciones:

2.3.2.1. Para momentos negativos desarrollados en los bordes de la losa

Para el cálculo de momentos negativos desarrollados en los bordes de la losa puede utilizarse la siguiente ecuación:

M_a(−) = C_a(−) ⋅ CU ⋅ ℓ_a2

[Ec. 17]

Donde Ca(-) es el coeficiente de momento negativo en el sentido corto, CU es la carga última (en kfg/m2_{) y}_ℓ

a la luz libre en el sentido corto (en m).

Mb(−) = Cb(−) ⋅ CU ⋅ ℓb2

[Ec. 18]

Donde Cb(-) es el coeficiente de momento negativo en el sentido largo y ℓb la luz libre en el sentido largo (en m).

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2.3.2.2. Para momento positivo generado por carga muerta

Para el cálculo de momentos positivos generados por cargas muertas puede utilizarse la siguiente ecuación:

Ma(+)D = Ca(+)D ⋅ γDD ⋅ ℓa2

[Ec. 19]

Donde Ca(+)D es el coeficiente de momento positivo para carga muerta en el sentido corto. γD es el factor de magnificación de carga muerta y D es la carga muerta (en kfg/m2_).

Mb(+)D = Cb(+)D ⋅ γDD ⋅ ℓb2

[Ec. 20]

Donde Cb(+)D es el coeficiente de momento positivo para carga muerta en el sentido largo.

2.3.2.3. Para momentos positivos generados por carga viva

Para el cálculo de momentos positivos generados por cargas vivas pueden utilizarse las siguientes ecuaciones:

Ma(+)L = Ca(+)L ⋅ γLL ⋅ ℓa2