1.- Recordando lo básico.
2.- Sistema de Numeración.
3.- Números Primos y Compuestos.
4.- Divisibilidad.
5.- Máximo común divisor y mínimo común
Múltiplo.
6.- Operaciones en Z.
7.- Potenciación y Radicación
8.- Números Racionales.
9.- Operaciones en Q.
10.- Número decimal.
11.-Fraccion Generatriz.
12.-Números Irracionales y Reales.
13.-Valor absoluto.
14.- Razones.
DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NUMERAL 4675 = 4000 + 600 + 70 + 5
= 4 x 103 + 6x102 + 7x 10 + 5 3427 = 3000 + 400 + 20 + 7
=3x103 + 4x102 + 2x10 + 7
FACTORIZACIÓN O DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO Descomponer en factores: a) 240 240 2 120 2 60 2 30 2 15 3 5 5 1 240 = 24 x 3 x 5 POTENCIACIÓN
Propiedades: a b 0 Ejemplo Aplicativo 1)
a
mx
a
n
a
mn 1)32x33 323 35 243 2) m n n m a a a 2) 2 2 4 2 2 3 1 2 1 3 3) n n a 1 a 3) 3 1 31 4)
am n am xn 4)
23 2 23.2 26 64 5)
ab
n
a
nx
b
n 5)
2
x
3
2
2
2x
3
2
36
6) n a n b a b a 6) 64 27 4 3 4 3 3 3 3 ECUACIONES DE PRIMER GRADOUna ecuación es una relación de igualdad que establece entre 2 expresiones algebraicas que tienen como mínimo una variable.
Recordando lo básico
b) 140 140 2 70 2 35 5 7 7 1 140 = 22 x 5 x 7 OBSERVA: ¡Qué fácil es aprender!Los orígenes empíricos de la matemática egipcia la despojaron de las fantasias de la magia. La rigurosa experiencia como fuente de la Aritmética puede
comprobarse en el
documento matemático más antiguo que se posee: el papiro descubierto por Rhind en el siglo XIX, que el escriba Ahmes (A´hmes (A’ h – mose) copió en 1650 A.C., de una obra anterior. Este papiro, llamado de Rhind o Ahmes, figura en el Museo Británico.
Thales era un hombre esencialmente práctico: comerciante, hábil en ingeniería, astrónomo, geómetra, estadista. Se le incluye por tradición entre los Siete Sabios.
Como lo que ahora llamaríamos ingeniero, estuvo dirigiendo obras hidráulicas y se dice que desvió el curso del río Halis mediante la construcción de diques.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Calcular: A = - 25 – 17 – 5 (6 – 7) - 3 (- 5) B = -15 + 19 – 6 (8 – 7) – 2 (-3) Hallar: A x B 2. Si: M = 4 – 15 + 19 – 2 (16 – 23) N = -19 – 35 – 3 (5 – 7) – ( - 8) Hallar: M x N 3. Descomponer 420 en:
I. El producto de 2 factores Z+ consecutivos: ... II. El producto de 4 factores Z+ consecutivos. ... III.El producto de 5 factores Z+ consecutivos. ... IV.El producto de 7 factores Z+ consecutivos. ...
4. Descomponer 1260 en:
I. El producto de 2 factores Z+ consecutivos. ... II. El producto de 6 factores Z+
... III. El producto de 7 factores Z+
... IV. El producto de 10 factores Z+
... 5. Si:
6
5
3
x
8
M
3
2
3
2
x
2
3
3
4
N
3
2
3 2
Hallar: M – N 6. Si:
3 3 3125
64
2
5
A
3 2 22
x
3
3
x
121
144
B
Hallar: A + B7. Colocar verdadero (V) o falso (F), según corresponda: 0 0 4 16 2 I. ( )
20 0 9 3 II. ( ) 4 0 5 0 3 2 2 x 2 III. ( ) 8. Hallar un número cuyo cuadrado, disminuidoen 119 es igual a 25.
9. Si “n” entero positivo, además n(n+2)=80, hallar “n”.
10. De lo anterior, hallar “n”. Si n(n + 1) = 210
11. Si se sabe que la suma de 3 números enteros consecutivos es igual a 30, hallar el número mayor:
12. Una persona tiene S/.2000 y otra S/.7500 cada una ahorra anualmente S/.5000, ¿dentro de cuántos años la fortuna de la primera será el doble de la segunda?
13. Se compra cierto número de relojes por S/.5625, sabiendo que el número de relojes comprados es igual al precio de unos relojes en soles, ¿Cuántos relojes se han comprado?
14. Si la suma de 2 números es 38 y su diferencia 12, hallar el número menor.
15. ¿Cuál es la edad actual de un padre que duplica la edad de su hijo y hace 24 años su edad era 10 veces que la edad de su hijo?
16. La suma de los cuadrados de 2 números es 125. Si uno de ellos es el doble del otro, hallar el número menor.
17. ¿Cuál es el número cuyo cuadrado aumentado en 30 es igual 430?
(1616 – 1716)
Lingüista, filósofo y matemático alemán en 1698 propuso utilizar: (.) El punto como signo de multiplicar. (, ) La coma para separar la parte entera de la decimal.
Número: Ente matemático nos permite cuantificar los elementos de la naturaleza
Numeral: Es la representación de un número mediante símbolos o guarismos.
5, CINCO, V, ...
Cifra: Son símbolos que por convención se utilizan para representar un numeral.
CIFRAS= DÍGIT OS=GUARISMOS=T IPO DE IMPRENTA SISTEMA DE NUMERACIÓN
Conjunto de reglas que permiten formar, expresar y representar números.
BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN POSICIONAL Es un entero positivo mayor que la unidad que indica la cantidad de unidades que formará una unidad del orden inmediato superior.
VALOR ABSOLUTO DE UNA CIFRA (VA) Es el valor que representa la cifra.
VALOR RELATIVO DE UNA CIFRA (VR)
Es el valor que tiene la cifra por la posición que ocupa.
Ejemplo:
Indique el VA y VR de las cifras que se indican por Un circulo.
LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS
Sistema Decimal: Es aquel sistema que emplea base 10, se le llama también sistema décuplo, según la historia el 10 se debe a los dedos de las manos
Este sistema emplea al representar sus números las cifras del 0 al 9. Del 1 al 9 se les llama “cifras significativas”: mientras al 0 (cero) se le llama “cifra auxiliar”.
PRINCIPALES SISTEMA DE NUMERÁCIÓN
OBSERVACIÓN:
Toda cifra de un numeral es necesariamente menor que su base y además es un entero no negativo.
Cifra: {0; 1; 2; 3; …; (b - 1)}
Consecuencia:
Cifra máxima = Base -1 Cifra < Base Cifra mínima = 0
Base = {2; 3; 4; 5; …}
CAMBIO DE BASE
1. DE BASE DIFERENTE A BASE 10
Este método denominado “Descomposición Polinómica” ) n ( abcde = a.n4 + b.n3 + c.n2 + d.n + e Ejemplos: 1234(n) = 1.n3 + 2.n2 + 3.n + 4 60(13) = 6 . 133 + . 132 + 0.13 + 2. DE BASE 10 A BASE DIFERENTE DE 10
Este método denominado “Divisiones Sucesivas”
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1.- Expresar 12345 a base 10
a) 194 b) 149 c) 491 d) 914 e) 419
2.- Expresar 31425 a base 8
a) 573018 b) 375018 c) 753018 d) 103578 e) 105378
3.- Expresar 1342526 al sistema decimal
a) 12326 b) 12623 c) 12362 d) 12632 e) 16232
4.- Expresar 2314 al sistema quinario
a) 332245 b) 422335 c) 223345 d) 224335 e) 334225
5.- Hallar en base 15, el equivalente de 0 (12)
a) 5785(15) b) 5875(15) c) 8575(15) d) 7585(15) e ) 5578(15)
6.- Hallar “n” si: 1668 = 226n
a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10
7.- Calcular el valor de “b”, si: b4071 6b
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
8.- Si: ab5a7; Calcular el valor de: (a + b)
a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 4
9.- Si: 11156abc7 ; Hallar: (a + b + c)
a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13
10.- Si los numerales están bien escritos:
110 ,aaa1 , 2 ,21bc 5 b ; Calcular: (a.b.c) c
a) 18 b) 6 c) 24 d) 36 e) 15
11.- El mayor numeral de dos cifras del sistema decimal, escribirlo en
el sistema binario.
a) 1000102 b) 11000112 c) 10010112 d) 11000012 e) 10002
12.- Representar en el sistema cuaternario, el mayor numeral de tres
cifras diferentes del sistema decimal.
a) 331324 b) 331234 c) 332314 d) 231324 e) 213234
13.- Convertir: 54326 al sistema decimal.
a ) 1243 b) 1242 c) 1244 d) 1424 e) 1024
14.- Convertir: 1122334 al sistema senario.
a) 104226 b) 104236 c) 120236 d) 102436 e) 102346
15.- Convertir: 0,1345 al sistema decimal.
a) 0,352 b) 0,25 c) 0,353 d) 0,232 e) 0,233
16.- Convertir: 0,432 al sistema quinario.
a) 0,2035 b) 0,2025 c) 0,2045 d) 0,2015 e) 0,2005
17.- Hallar “n” , en: 114(n) = 2346
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
18.- ¿En qué sistema de numeración se cumple? 54 + 43 = 130
a) Quinario b) Senario c) Heptal d) Octal e) Nonario
19.- Hallar “x” , en: 123x = 53(x+2)
a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 4,5
20.- Hallar: “a + b” , en: ab7ba9
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
21.- Hallar la representación decimal del mayor numeral de cuatro
cifras diferentes del sistema senario.
a) 1244 b) 1442 c) 1241 d) 1243 e) 1245
22.- convertir: 34216 al sistema nonario.
a) 10839 b) 10849 c) 10089 d) 10489 e) 10249
23.- Convertir: 0,216 al sistema quinario.
a) 0,2015 b) 0,1025 c) 0,1035 d) 0,2035 e) 0,2045
24.- Convertir: 0,3425 al sistema decimal.
a) 0,677 b) 0,767 c) 0,776 d) 0,778 e) 0,678
25.- ¿En qué sistema de numeración se cumple? 34 + 21 = 110
a) Quinario b) Senario c) Heptal d) Octal e) Nonario
26.- Hallar “a” en: a75(8)25a
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
27.- Hallar “n” en: 455(n) = 354(n+1)
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 4
28.- Hallar “x + y” , en: 3(2 )x(6)4x( )y
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
29.- Hallar: “a y b” , en: bbaa(7)a b a(2 )
a) 4 ; 3 b) 3 ; 1 c) 4 ; 1 d) 1 ; 2 e) 2 ; 3
30.- Si: a + b = 9 ... (1); ab ba 9 ... (2) Hallar: (a2 + b2 )
a) 41 b) 42 c) 43 d) 37 e) 38
31.- ¿En qué sistema de numeración se cumple? 63 + 15 = 100
a) Quinario b) Senario c) Heptal d) Opta e) Nonario
32.- Si a un número de 2 cifras, se le invierte el orden de sus cifras,
se obtiene un segundo número que excede en 9 unidades al cuádruplo del primero. Dar como respuesta la suma de las cifras de dicho número.
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
33.- Un numeral capicúa de tres cifras del sistema quinario se
escribe en base “x” como a a3 . Calcular ( x + a) , Si “x” es la cifra central del numeral capicúa.
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
34.- Al convertir 0,1025 al sistema decimal, se obtuvo 0,abc ;
Hallar: E = a + b + c
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
35.- Hallar un número de tres cifras que cumpla las siguientes
condiciones: la primera sea el doble de la tercera y la segunda sea el triple de la primera. Dar como respuesta la suma de las cifras del número.
a) 12 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
36.- El cuádruplo de un número es de la forma ab , pero si al número se le multiplica por tres y luego se le divide entre dos se obtiene ba. Hallar: ( a – b ).
a) 1 b) 5 c) 2 d) 3 e) 8
37.- Una persona nació en el año 19aa y en el año 19bb cumplió (4 a + 5 b) años. ¿Cuál fue el año en que tuvo ( a + b )2 años
de edad?.
a) 1981 b) 1976 c) 1967 d) 1971 e) 1955
38.- Convertir: 0,528 al sistema quinario.
a) 0,2325 b) 0,2345 c) 0,3215 d) 0,3245 e) 0,2315
39.- El número telefónico de Rosita es capicúa. Si la primera cifra se
multiplica por 11, se le añade la segunda; luego todo se multiplica por 11 y finalmente añadimos la tercera cifra y obtenemos 985. ¿Cuál es el número telefónico de Rosita? a) 985589 b) 640046 c) 816618 d) 327723 e) 648846
40.- Si: ab(7)ba(12)ab0(6); Hallar: ( a + b )
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
41.- Si:121( )n ab ; Tal que: a + b = 13. Hallar el valor de: (n + a)
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
42..- Si:35x( )n x14(8); Determinar el valor de: “x + n”
43.- Si: aba(6)x x3 4( )a; Hallar el valor de: “a + b + x”
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
44.- Si: 146( )n abc(n1); Hallar: “a + b + c”
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
45.- Hallar un número que sea igual a 6 veces la suma de sus cifras.
Dar como respuesta la diferencia de sus cifras
a) 1 b) 5 c) 2 d) 15 e) 8
46.- Una persona nació en 19ab observa que en 19ba cumplirá (a + b) años. ¿ En qué cumplió (axb) años?.
a) 1955 b) 1963 c) 1938 d) 1965 e) 1970
47.- Hallar un número de 2 cifras tal que al sumarle el mismo
número pero con las cifras invertidas se obtiene 11 veces la diferencia de dichos números. Dar como respuesta el producto de sus cifras.
a) 28 b) 20 c) 24 d) 30 e) 35
48.- Si: N = 2(17)4 + 4(17) + 2(17)3 + 26, ¿como se escribe el número N en base 17?.
a) 22509 b) 22095 c) 22059 d) 23509 e) 22490
49.- El número 800. ¿En qué base se representa 1331?.
a) Base18 b) Base19 c) Base20 d) Base21 e) Base 22
50.- ¿En qué base 68877 se representa como un número de tres
cifras diferentes y lo mayor posible?
a) Base39 b) Base40 c) Bas41 d) Base42 e) Base 43
51.- Hallar (m + n + p), si: m00m(6)np1
a) 15 b) 14 c) 13 d) 12 e) 11
52.- Hallar el valor de ( x + y ), si: aaaa(5)xy(8)
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
53.- Hallar (a + b), si: (ab a)( b a)( b)abab(6)
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 3 54.- Si 400803(m) = 30034342(n) y m + n = 14. Hallar: “m – n” a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 55.- Hallar: (a + b + c), si: ab c7 ( )n 856(9) a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 56.- Efectuar: 666666(7) + 555555(7) + 442244(7) + 2233344(7) a) 2454505(7) b) 2554505(7) c) 2454515(7) d) 2453505(7) e) 2453215(7)
57.- Si: 2xx(3 )x x x6 (7) , determine el valor de “x”.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
58.- Si: m00m(6)np1 , determine “m + n + p”
a) 13 b) 14 c) 10 d) 11 e) 12
59.- Si: 3ab bca 1000 , determine abc
a) 120 b) 100 c) 196 d) 138 e) 172
60.- Si la suma de los complementos aritméticos de aby ba es 79. Calcular: “a + b”
a) 13 b) 15 c) 9 d) 11 e) 12
61.- Hallar el mayor número de 4 cifras tal que la suma de sus cifras
sea igual a 17. Dar como respuesta el número expresado en base 8.
a) 7433(8) b) 47211(8) c) 36710(8) d) 23110(8) e) 16313(8)
62.- ¿En que sistema de numeración se cumple que el menor
número de 3 cifras es igual a 6 veces la base?
a) 8 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
63.- El número 764 esta escrito en el sistema de base ocho. ¿Cómo
se escribiría en el sistema ternario?
a) 200112(3) b) 101212(3) c) 210111(3) d) 101112(3) e) 210112(3)
64.- Un número de dos cifras de base 7 al convertirse a base 4 se
representa por las dos cifras pero dispuestas en el orden inverso. Dicho número es:
a) 13 b) 12 c) 11 d) 10 e) 9
65.- La suma de las dos cifras de un número en base decimal es 11 y
si al número se le aumenta 27, el orden de su cifras se invierte. Hallar la suma de los cuadrados de las cifras del número. a) 65 b) 73 c) 61 d) 85 e) 72
66.- Hallar: “a + b” ; si: ab(8)ba(9)1ab(7)
a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4
67.- Hallar el valor de “n”; si: 102( )n 234(7)
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
68.- Hallar el valor de “n”; si: 401( )n 203(n2)
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
69.- ¿Cómo se escribe en base 9 el menor de los siguientes
números? 7 3a 8 ; 545b ; 6 5b a
a) 2529 b) 3529 c) 3339 d) 4189 e) 1289
70.- Escriba en base 9 el número:x x( 3)(x2)(6)
a) 147(9) b) 174(9) c) 135(9) d) 186(9) e) 153(9)
71.- Representar en el sistema octal, el menor número de tres cifras
diferentes del sistema senario.
a) 56(8) b) 46(8) c) 72(8) d) 11(8) e) 16(8)
72.- Expresar: N = 4x174 + 6x173 + 9x172 + 56? A base 17 a) 46956(17) b) 46953(17) c) 40695(17 d) 46935(17) e) 46933(17)
73.- Si los siguientes numerales están bien representados, calcular:
“mxnxp” 1 1m(4) ; nn( )p ; 12p(m)
a) 5 b) 6 c) 12 d) 18 e) 15
74.- Hallar: “a + b + c”, si los numerales están correctamente escritos: 256( )a ; 2 4a ( )b ; 43b( )c ; 75c a) 24 b) 22 c) 32 d) 20 e) 36 75.-Hallar el valor de “n”; si A) 1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 12 12 12 12 n 21 veces = 46
I. NÚMEROS SIMPLES
Son aquellos que tienen a lo más dos divisores.
I.A. La unidad
Es el único entero positivo que posee un solo divisor, el mismo.
I.B. Número primo
También llamado “Primo absoluto”, es aquel que posee exactamente dos divisores el mismo y la unidad.
II. NÚMEROS COMPUESTOS
Son aquellos que poseen más de dos divisores.
Observación:
1. La unidad es un divisor universal. 2. El número 2 es el único primo
absoluto par.
El 2 y el 3 son los únicos primos consecutivos.
III. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI (PESI)
También denominados primos relativos o “coprimos”, y son aquellos números que poseen como único divisor común a la unidad. Ejm: ¿12, 10 y 15 son PESI? Divisores 12 : 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 10 : 1 , 2 , 5 , 10 15 : 1 , 3 , 5 , 15
El único divisor común de 12, 10 y 15 es la unidad, por lo tanto son PESI.
IV. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA
ARITMÉTICA
Todo número compuesto se descompone en una multiplicación de potencias de exponentes enteros positivos de sus divisores primos.
Ejm:
24 = 23 x 3
882 = 2 x 32 x 72
720 = 24 x 32 x 5
* Observación:
A esta descomposición se le conoce con el
nombre de DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA.
La descomposición canónica de un número
es única.
V. PRINCIPALES FÓRMULAS
Cantidad de Divisores (C.D.)
CD(N) = ( + 1) ( + 1) ( + 1) …
Ejm:
Hallar la cantidad de divisores de 180. 180 = 22 . 32 . 5 CD(180) = (2 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 18 Suma de Divisores (S.D.) SD(N) = ... 1 C 1 C 1 B 1 B 1 A 1 A 1 1 1 Ejm:
Hallar la suma de divisores de 180. 180 = 22 . 32 . 5 SD(180) = 546 1 5 1 5 1 3 1 3 1 2 1 23 3 2
Suma de las inversas de los divisores (S.I.D.)
SID(N) =
N SD(N)
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1.- Determinar el número de divisores de 90.
a) 9 b) 10 c) 12 d) 13 e) 14
2.- ¿Cuántos divisores menos tiene 240 que el número 720?
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 15
3.- Cuantos divisores más tiene A que B, si: A2 .3 .72 2 ; B5.7 .112
a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10
4.- ¿Cuántos ceros debe tener: A300...0, para que admita 72 divisores?
a) 3 b) 6 c) 4 d) 5 e) 10
5.- Determinar “n”, sabiendo que 40n
tiene 65 divisores. a) 5 b) 6 c) 3 d) 2 e) 4
6.- Si A4 .63 2 y B4 .62 3, ¿Cuántos divisores comunes tienen A y B?
a) 24 b) 16 c) 32 d) 28 e) 20
7.- Hallar el menor número que tiene 12 divisores. De cómo resultado
la suma de sus cifras
a) 4 b) 5 c) 6 d) 9 e) 10
8.- ¿Cuántos divisores de 30 son número primos?
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
9.- La suma de divisores de 35 es:
a) 36 b) 42 c) 48 d) 45 e) 54
10.- ¿Cuántos divisores múltiplos de 5 tiene el número 130?
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
11.- Si 12 .8n
tiene 60 divisores. ¿Cuánto vale “n”?
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
12.- ¿Cuánto divisores de 72 tiene raíz cuadrada exacta?
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
13.- De todos los números que dividen a 56. ¿Cuántos son pares?
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
14.- ¿Cuántos divisores de 84, tienen dos cifras?
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
15.- ¿Cuántos divisores de 150, son múltiplos de 5?
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
16.- Si 9.10a
W tiene 27 divisores, hallar cuantas cifras tiene W. a) 9 b) 7 c) 6 d) 3 e) 8
17.- ¿Cuántos ceros debe tener W200...0, para que admita 56 divisores?
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
18.- Si “W” tiene 1 369 divisores, determinar el valor de “n”, donde: 10.10 .10 .10 ...102 3 4 n
W
a) 10 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
19.- ¿Cuántos divisores múltiplos de 6 tiene el número 720?
a) 12 b) 13 c) 14 d) 16 e) 18
10.- Encontrar el valor de “a”, si 4a4a3tiene 28 divisores. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 2
21.- Hallar “n” para que el número de divisores de “N” sea el doble que el número de divisores de “M”. Si 30n
N y 15.18n
M
a) 9 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
22.- Calcular el valor de “n” si se sabe que 9.122n
tiene 33 divisores más que el número 13.12n
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
23.- Al multiplicar 3 .52 a
por 8 su número de divisores se incrementa en 45. Hallar el valor de “a”.
a) 6 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
24.- ¿Cuántos divisores múltiplos de 20 tiene el número 240?
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
25.- ¿Cuántos factores tiene N2 .3.52 3 son múltiplos de 100? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
26.- Si 8k 8k 2
A tiene 88 divisores, ¿Cuántos divisores tiene
2
8k
?
a) 27 b) 28 c) 26 d) 25 e) 64
27.- Si el número de divisores de los números 300n
y 16.90n son iguales, hallar “n”
a) 6 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
28.- Hallar “k”, sabiendo que 8.12k
N tiene 40 divisores. a) 6 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
29.- Hallar “k”, sabiendo que 6.15k
N ; tiene 112 divisores. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 5
30.- ¿Cuántos divisores múltiplos de 5 tiene 360?
a) 16 b) 12 c) 24 d) 14 e) 18
31.- Hallar la suma de todos los divisores propios de 360
a) 820 b) 810 c) 960 d) 720 e) 760
32.- Hallar la suma de las inversas de todos los divisores de 120.
a) 3 b) 6 c) 9 d) 4 e) 8
33.- Si: 6n
tiene 30 divisores más que 7n. ¿Cuántos divisores tiene
8n ?
a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20
34.- Si 2.3 .7a b
N tiene 40 divisores múltiplos de 9 y 30 divisores múltiplos de 2. Hallar: (a + b)
a) 4 b) 5 c) 8 d) 9 e) 12
35.- Halla “N” 20.10n
N sabiendo que el producto de sus divisores es 2 .109 27veces el número.
a) 1000 b) 2000 c) 3000 d) 4000 e) 5000
36.- El número 2x23 5x
A tiene 30 divisores: Hallar “x” a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
37.- Hallar el valor de “x” sabiendo que el número N tiene el mismo número de divisores que 63 000. 2 6.28x
N
a) 10 b) 12 c) 30 d) 40 e) 21 38.- ¿Cuántos divisores tiene el número 108 800?
a) 40 b) 50 c) 60 d) 70 e) 54
39.- ¿Cuántos divisores menos tiene 360 que el número 1800?
a) 12 b) 2 c) 6 d) 10 e) 5
40.- La suma de los divisores de 144 es:
a) 288 b) 312 c) 366 d) 403 e) 503
41.- La suma de los divisores de 360 es.
42.- El producto de divisores de 18 es:
a) 2916 b) 5832 c) 8748 d) 1166 e) 5020
43.- Hallar “x” sabiendo que el número 1125.15x
A tiene el doble de divisores que el número 2016.
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
44.- La suma de los divisores de 2 5 7x 2
C es 3720. Hallar la suma de los divisores de 2x
a) 15 b) 31 c) 7 d) 63 e) 24
45.- El producto de los divisores de R2 .7x es 21 952. Hallar “R”
a) 28 b) 56 c) 112 d) 224 e) 144
46.- ¿El número 2 64 x
A tiene 8 divisores menos que el número
4
6 2x
B . Hallar su diferencia?
a) 6912 b) 2196 c) 6294 d) 1926 e) 1026
47.- La suma de las inversas de los divisores de 2 3 5x1 x
T es 3,25. El número es:
a) 72 b) 180 c) 144 d) 360 e) 120
48.- Calcular el número de divisores de 1080
a) 32 b) 30 c) 35 d) 36 e) 40
49.- Calcular la suma de divisores del número 600.
a) 1860 b) 1380 c) 4002 d) 4102 e) 3430
50.- ¿Cuántos divisores de más posee el 720 que el 150?
a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 e) 12
51.- ¿Cuántos números compuestos posee el número 2400?
a) 32 b) 33 c) 36 d) 39 e) 43
52.- Calcular la suma de divisores compuestos del número 200.
a) 450 b) 452 c) 457 d) 465 e) 446
53.- Siab es primo ¿Cuánto divisores tiene ababab? a, b 3. a) 16 b) 32 c) 8 d) 24 e) 36
54.- ¿Cuántos divisores de 1200 son múltiplos de 12?
a) 8 b) 9 c) 11 d) 10 e) 14
55.- Hallar “n” si se sabe que el número 189n
tiene 133 divisores. a) 5 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
56.- Si 15 .10n n1
tiene 160 divisores. ¿Cuánto vale n?
a) 2 b) 3 c) 6 d) 7 e) 8
57.- Hallar “a” si se sabe que: 25.45a
N tiene 117 divisores. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
58.- Si: N4a2.4a tiene 29 divisores. Hallar “a”
a) 1 b) 3 c) 5 d) 4 e) 8 59.- Hallar (a + b) si 5 .6a b
N tiene 143 divisores compuestos. a) 7 b) 6 c) 5 d) 9 e) 8
60.- ¿En qué cifra termina el producto de los 47 primos números
primos?
a) 1 b) 3 c) 5 d) 0 e) F.D.
61.- ¿Cuál es el menor número que tiene 8 divisores compuestos?
a) 48 b) 32 c) 72 d) 60 e) Ninguna
62.- Halle la suma de todos los divisores compuestos de:
2 13 2
15 .2 .63
N
a) 48 b) 32 c) 72 d) 60 e) Ninguna
63.- Hallar la suma de los divisores de 540 que sean múltiplos de 6.
a) 1504 b) 1600 c) 1404 d) 1540 e) 144
64.- Hallar la suma de los divisores de 4680 que sean primos con
351.
a) 30 b) 40 c) 60 d) 80 e) 90
65.- ¿Cuántos números menores que 300 son primos con 300?
a) 30 b) 80 c) 140 d) 200 e) 300
66.- ¿Cuántas cifras ceros es necesarios colocar a la derecha del
número 35 para que el número resultante tenga 112 divisores? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
67.- Si:
" "
30.30.30...30
n factores
M , tiene 343 divisores. Hallar “n” a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
68.- Si a un número de la forma 2 .3a b
N , se le multiplica por 2, el número de divisores aumenta en 3, y si se le divide por 6, su número de divisores disminuye en 8. Hallar el número. a) 144 b) 288 c) 298 d) 882 e) 972
69.- ¿Cuántos de los siguientes números son primos?
14(9); 21(7); 35(8); 17(9); 79(12)
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
70.- Hallar “x” si: N2x2x12x22x32x4, tiene 20 divisores no primos.
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
71.- El número 2x4.3 .7x1
B , tiene 30 divisores pares. Hallar el valor de “B”
a) 336 b) 2016 c) 4032 d) 8064 e) 12096
72.- ¿Cuántos divisores de 240 no son múltiplos de 6?
a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 20
73.- La suma de los divisores de 36.9k
N es 84. ¿Cuántos divisores tiene “N”? a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 30 74.- El producto de divisores de 2 .3x A es 1728. Hallar el valor de “A + x”. a) 7 b) 14 c) 27 d) 52 e) 96
75.- ¿Cuántos de los diversos de 360 tiene 2 cifras?
a) 10 b) 12 c) 16 d) 14 e) 13
76.- ¿Cuántos ceros se deben poner a la derecha de 9 para que el
resultado tenga 239 divisores compuestos?
a) 6 b) 8 c) 9 d) 5 e) 4 77. Hallar la cantidad de divisores compuestos de:
i) N = 23 x 7 x 132
a) 20 b) 21 c) 23 d) 24 e) 3 ii) N = 53 x 72
a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 2 78. Hallar la cantidad de divisores compuestos de:
i) N = (23 x 3)2
a) 21 b) 20 c) 19 d) 12 e) 18 ii) N = (72 x 5)2
a) 15 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6 79. ¿Cuántos divisores primos tiene: (, , 1)?
i) N = 2 x 7 x 3 x 5 +
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 ii) N = 2 + x 7 x 13
a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0
80. Dos números primos suman 14. Calcular el producto de estos dos números.
a) 22 b) 26 c) 33 d) 34 e) 35 81. Indicar la pareja de números PESI :
La divisibilidad es una parte de la teoría de los números que analiza las condiciones que
debe tener un número para que sea divisible por otro.
¿Y cuándo un número es divisible por otro? Se dice que “A” es divisible por “B”, si al dividir “A” entre “B” la división resulta exacta (cociente entero y residuo cero).
“A” es divisible por “B”
A B
0 q cociente entero residuo cero
1. Definición de Divisor
Se dice que B es divisor de A, cuando lo
divide en forma entera y exacta.
Es decir: Si A B 0 k Donde: A es un entero B es un número natural k es un número entero Se lee: B es divisor de A A es divisible por B 2. Definición de MÚLTIPLO
Se dice que A es múltiplo de B, cuando lo
contiene un número entero y exacto de
veces.
A = B(k) : A es múltiplo de B. Notación: A = B
OBSERVACIONES
Cero es múltiplos de todos los números naturales.
La unidad es divisor o factor de cualquier número entero.
Todo número tiene infinitos múltiplos pero finitos divisores.
3. NÚMEROS NO DIVISIBLES
Sabemos que un número es divisible por otro cuando la división es entera y exacta. Pero cuando dicha división
tiene residuo, diremos que el dividendo
es múltiplo del divisor más el residuo.
Es decir: A B r q A = Bq + r Ejemplo: 43 7 43 = 7 (6) + 1 1 6 43 = 7 + 1 43 7 43 = 7(7) - 6 6 7 43 = 7 - 6 Nótese:
Por defecto Por exceso
7 + 1 = 7 - 6 suman 7
4. OPERACIONES CON MÚLTIPLOS
a) n nn b) n nn c) n xnn d) (n)E n e) n n n
Divisibilidad
5. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Llamamos Criterios de Divisibilidad a ciertas reglas prácticas que aplicadas a las cifras de un numeral permitirán determinar su divisibilidad respecto a cierto módulo.
A. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD ENTRE 3 Ó 9 3 abcd a + b + c + d = 3 9 abcd a + b + c + d = 9
B. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD ENTRE 11
abcde = 11
a – b + c – d + e = 11
C. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD ENTRE POTENCIAS DE 2 2 abcde e = 2 4 abcde de 4 8 abcde cde 8
D. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD ENTRE POTENCIAS DE 5 5 abcde e = 0 o 5 25 abcde de25 125 abcde cde125
E. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD ENTRE 7
g f e d c b a 1 3 2 1 3 2 1 a – 2b – 3c – d + 2e + 3f + g = 7
F. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD ENTRE 13
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Indique verdadero o falso según corresponda:
a) 35 = 5 ( ) b) 5 = 1 5 ( ) c) 48 = 4 ( ) d) 111 = 3 ( ) e) 48 = 9 ( ) f) 10 = 1000 ( ) g) 36 = 5 + 2 ( ) h) 38 = 5 + 3 ( ) i) 43 = 6 - 5 ( ) j) 50 = 7 + 1 ( )
2. Indique verdadero o falso según corresponde:
a) 42 = 6 ( ) b) 39 = 13 + 3 ( ) c) 55 = 11 ( ) d) 11 = 8 ( ) e) 100 = 3+ 1 ( ) f) 100 = 3 - 1 ( ) g) 150 = 5 ( ) h) 30 = 4 + 2 ( ) i) 33 = 11 + 3 ( ) j) 67 = 7 + 5 ( )
1.- Si el número 375x es divisible por 4. Hallar la suma de los valores que toma “x”
a) 12 b) 16 c) 10 d) 8 e) 9
2.- El número 2 45x y es divisible por 72. Hallar el valor de “x + y” a) 11 b) 6 c) 7 d) 8 E) 10
3.- ¿Cuál es el valor de “x” si se sabe que el numeral 2 45x y es divisible entre 72?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
4.- Calcular: (a + b). Si: 5ab46a es divisible entre 24. a) 7 b) 6 c) 5 d) 10 e) 11
5.- Si:N4(2 )32 4m m es múltiplo de 11. Hallar “m”.
a) 3 b) 2 c) 0 d) 1 e) 5
6.- ¿Cuántos números de la forma: 9 33b son múltiplos de 7? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
7.- Halar “z”, si 52 15z es múltiplo de 13.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7
8.- Hallar “a + b”, si a542ba es múltiplo de 45.
a) 12 b) 7 c) 8 d) 10 e) 11
9.- Si el número 15ab98 s múltiplo de 99. Hallar “a2 + b2” a) 72 b) 81 c) 36 d) 89 e) 54
10.- Si el número 5 58x y es divisible entre 88, ¿cuál es el residuo de dividirlo entre 9?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
11.- El número 1245x es divisible por 8. Hallar “x”
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
12.- ¿Cuántos números de la forma 3 2x y son múltiplos de 36? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
13.- Si el número 8126y es múltiplo de 3. Dar la suma de los valores
de “y”
a) 15 b) 18 c) 21 d) 9 e) 24
14.- El número 47 2x es múltiplo de 4. Los posibles valores de “x” son:
a) 2; 4; 6; 7; 9 b) 4; 5; 6; 7 c) 0; 4; 8 d) 0; 4; 5; 7; 9 e) 1; 3; 5; 7; 9
15.- ¿Hallar “x” para que el número 475x sea múltiplo de 8? a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) T.A.
16.- Los números: 36 50;218 67;12 31x y z son divisibles por 9. Hallar la suma de los valores de x , y , z
a) 9 b) 10 c) 8 d) 12 e) 15
17.- Los números: 536 34;2814 5;3 7042x y z son múltiplos de 11. Hallar x – y + z a) 4 b) 5 c) 9 d) 10 e) 8 18.- En el número 2 7 13 o x . Hallar la cifra “x” a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0
19.- El número 5473x es múltiplo de 12. Hallar el complemento aritmético del número xx.
a) 22 b) 66 c) 77 d) 44 e) 55 20.- Si 47xy es divisible por 45, el valor de “x” puede ser: a) 3 ó 5 b) 4 ó 6 c) 2 ó 5 d) 2 ó 7 e) 3
21.- El número 21 3x y36o . ¿Qué valores puede tomar “x”?
a) 2 ó 4 b) 1 ó 6 c) 3 ó 6 d) 1 ó 4 e) 4
22.- En el número 56x y múltiplo de 72, x es una cifra par. Entonces el valor de, E = 2x + 5y, es:
a) 14 b) 22 c) 56 d) 38 e) 54
23.- Hallar “a”, si 52 15a , es múltiplo de 13.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7 24.- Si se cumple: º 88 23b 7 ; º 98 827c 11 Además: 2 2 7 b c P . Hallar “p” a) 3 b) 1/4 c) 2/7 d) 3/4 e) 81
25.- Hallar “x + y” en: y64 0 64x y 72º
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
26.- Calcular: (a + b). Si: 5ab46a es divisible entre 24. a) 5 b) 6 c) 12 d) 18 e) 15
27.- Si el número: 5 10x y es divisible por 12. ¿Cuál es el valor de “x + y”? a) 6 b) 7 c) 9 d) 5 e) 8 28.- Si: 1 2 3 .... 10 9 o a a a a . Hallar: “a” a) 12 b) 13 c) 15 d) 10 e) 14
29.- Hallar el residuo que deja la siguiente división: 16766711 a) 6 b) 7 c) 5 d) 3 e) 2
30.- Hallar el residuo de la siguiente división: 38287 a) 4 b) 2 c) 3 d) 1 e) 5
31.- ¿Cuál es el residuo al dividir: 98
68UNI 11
a) 2 b) 1 c) 8 d) 7 e) 3
32.- Hallar el residuo de dividir
754 436
8 11
a) 2 b) 3 c) 1 d) 0 e) 4
33.- Calcular a + b + c + m + n + p sabiendo que todas son
significativas y diferentes entre sí y que abc es el mayor posible y mnp el menor posible. Además:728 6 2
mnp abc o
a) 18 b) 25 c) 29 d) 30 e) 31
34.- Hallar el residuo de dividir N entre 5;
120 104
102 N
a) 1 b) 2 c) 3 d) 0 e) 4
35.- ¿Cuántos valores toma “a” para que se cumpla la igualdad:
1 3 o
a a ?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 1. ¿Cuántos números de 2 cifras son divisible por 11?
a) 11 b) 10 c) 9 d) 8 e) 7 2. El mayor número de 2 cifras es un múltiplo de:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 3. Relaciona correctamente: 91 es múltiplo de 8 154 es múltiplo de 3 2000 es múltiplo de 13 1941 es múltiplo de 11
4. Indicar la suma de cifra del mayor número que sea
8. I. 648 II. 1000 III. 2008 IV. 7580 a) 18 b) 1 c) 10 d) 20 e) 9
5. Si el siguiente número 453x es divisible por 7, calcular el valor de “x”.
a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3
6. Del 1 al 3000. ¿Cuántos números no son múltiplos de 11? a) 272 b) 273 c) 2727 d) 2728 e) 2726
7. Del 240 al 1500. ¿Cuántos números son
15?
8. ¿Cuántos múltiplos de 7 están comprendidos entre 30 y 300? a) 36 b) 37 c) 38 d) 39 e) 40
9. ¿Cuántos múltiplos de 13, que no terminan en 5, hay entre 800 y 1000?
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
10. ¿Cuántos números de 4 cifras múltiplos de 8 que terminan en 6, existen?
a) 220 b) 225 c) 230 d) 250 e) 300
11. ¿Por qué número es siempre divisible un número de la forma
abba?
a) 2 b) 7 c) 13 d) 11 e) 9
12. ¿Un número de la forma (3a)(3b)ab es siempre múltiplo de ?
a) 41 b) 43 c) 11 d) 17 e) 9 13. ¿Cuántos números pares de 3 cifras se convierten en
múltiplos de 32 al sumarles 20 unidades?
a) 28 b) 27 c) 30 d) 32 e) 40
14. Si el número 92a es múltiplo de 13 más 5. Calcular “a” a) 8 b) 7 c) 6 d) 9 e) 11
15. Si el siguiente número 162a es divisible por 8. ¿Cuál es el valor de “a”?
a) 5 b) 4 c) 3 d) 6 e) 7
16. ¿Cuántos números del 1 al 100 son
9 + 3?
a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 10 17. ¿Cuántos números de 3 cifras son divisibles por 14?
a) 61 b) 62 c) 63 d) 64 e) 65 18. ¿Cuántos números de 3 cifras son divisibles por 7?
a) 127 b) 128 c) 129 d) 130 e) 124
1. ¿Cuántos números d 4 cifras son múltiplos de 8 pero no de 6?
a) 40 b) 36 c) 31 d) 28 e) N.A.
2. Del 1 al 200. ¿Cuántos números son
12? a) 17 b) 18 c) 15 d) 14 e) 16 3. Si el numeral 58101x es 7 hallar “x” a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0
4. ¿Cuántos números de dos cifras son
5? a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21 5. Hallar el menor dígito “p” que cumple:
3p + 19 = 4 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 6. Hallar “n” si cumple: 17 n 127 a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 7. Hallar “a” si:
37 a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9
1. Sabiendo que 7xy22 es divisible entre 7 y que la
suma de sus cifras es 25. ¿Cuál es el valor de “y”? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
2. ¿Cuántos números de la forma 1ababa son divisibles entre 28?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 3. Si 13a2ba es divisible entre 63. ¿Cuál es la suma
de todos los posibles valores de a y b?
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)
1. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)
Es el mayor divisor que tienen en común dos o más números. Ejm: Hallar el MCD de 12 y 18 Divisores 12 : 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 18 : 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 divisores comunes de 12 y 18: 1, 2, 3, 6 Pero el mayor es 6.
6 es el máximo común divisor de 12 y 18. MCD (12, 18) = 6
2. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)
Es el menor múltiplo que tienen en común dos o más números. Ejm: Hallar el MCM de 12 y 18. Múltiplos 12 : 12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 72 , … 18 : 18 , 36 , 54 , 72 , … Múltiplos comunes de 12 y 18: 36 y 72, … Pero el menor es 36:
36 es el mínimo común múltiplo de 12 y 18.
MCM (12, 18) = 36
3. MÉTODOS DE CÁLCULO DEL MCD Y MCM
I. Por descomposición canónica
Hallar el MCD y MCM de 40 y 60.
Paso 1: Descomposición canónica
Paso 2: Comparación: Para el MCD 23 > 22 22 5 = 5 5 Para el MCM 23 > 22 23 5 = 5 5 3
II. Por descomposición simultánea
Hallar el MCD y MCM de 60 y 84 60 - 84 2 30 - 42 2 15 - 21 3 5 - 7
Mcd y mcm
40 2 20 2 10 2 5 5 1 = 23 x 5 60 2 30 2 15 3 5 5 1 = 22 x 3 x 5Coloco a los menores o iguales
¿Qué pasa con el 3? Como no hay con quien compararlo no se coloca
MCD (40, 60) = 22 x 5 = 20
Coloco a los mayores o iguales
¿Qué pasa con el 3? Como no hay con quien compararlo se coloca
MCM (40, 60) = 23 x 5 x 3 = 120
Como 5 y 7 son PESI entonces:
La descomposición simultánea para el MCD llega a su fin.
MCD (60 y 84) = 22
x 3 = 12
Para el MCM
Se sigue dividiendo, no importa si solo uno tiene divisores diferentes del otro. 60 - 84 2 30 - 42 2 15 - 21 3 5 – 7 5 1 1 – 7 7 2 1 - 1
La descomposición simultánea para el MCM llega a su fin cuando se obtienen puros unos.
CONCLUSIONES
Para el MCD:
La descomposición simultánea acaba cuando se obtienen números PESI.
Para el MCM:
La descomposición simultánea llega a su fin cuando se obtienen puros unos.
Además: Para 2 números: MCM(A, B) x MCD(A, B) = A x B EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Hallar el MCD de: i) 72 y 86 ii) 135 y 90 iii) 54 y 144 2. Hallar el MCD de A y B si: A = 22 x 33 x 7 x 1110 B = 23 x 34 x 56 x 1310 a) 2 x 32 b) 22 x 34 c) 23 x 33 d) 22 x 33 e) 24 x 33 3. Hallar el valor de “n” si el MCD de A y B tiene 15 divisores. A = 2nx 34 B = 2n–1 x 32 x 52 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 4. Hallar el valor de “n” si el MCD de A y B tiene 24 divisores. A = 3n x 52n+1 x 7 B = 32n x 2 x 5n + 2 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 5. Hallar el MCD de A y B: A = 4 x 9 x 15 B = 2 x 6 x 14 a) 12 b) 10 c) 4 d) 6 e) 18 6. Si MCD(5a,4b) = 14. Hallar (a + b) a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 7. Si MCD (7a,(2a)a) = 6. Hallar “a” a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
8. Un negociante tiene 3 barriles de vino de 360, 480 y 600 litros, desea venderlos en recipientes pequeños de modo que no sobre ni falte vino en ninguno de los barriles. ¿Cuál es la máxima capacidad de los recipientes?
a) 60 b) 80 c) 100 d) 120 e) 140 9. Calcular el MCM de: i) 360 y 150 ii) 82 y 7 iii) 27 y 54 10. Hallar el MCM de A y B si: A = 23 x 54 x 76 B = 22 x 5 x 11 a) 23 x 54 x 76 x 11 d) 54 x 76 x 22 x 11
b) 22 x 5 e) 54 x 116 x 7 c) 23 x 11 x 76
11. Hallar el valor de “n” si el MCM de A y B, tiene 60 divisores.
A = 2n + 1 x 34 x 7 B = 22n x 35
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
12. Hallar el valor de “n” si el MCM de A y B tiene 48 divisores (“n” es un número primo)
A = nn x 23 x 112 B = n x 11 x 22 a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 7 13. Si MCM (9a,4b) = 90. Hallar (a + b) a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10 14. Si MCM (9a,2a) = 196 a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4 15. El MCM de A y 36 es 180 y su MCD es 9. Hallar el valor de A. a) 45 b) 30 c) 35 d) 40 e) 48
16. Colocar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
i) MCD significa “mínimo común divisor” ii) El MCM de dos números contiene
exactamente a dichos números siempre. iii) El MCM y MCD de dos números pueden
ser iguales. 17. Hallar el MCD de A y B si: A = 72 x 113 x 5 B = 52 x 7 x 13 a) 25 b) 30 c) 35 d) 40 e) 65 18. Hallar el MCD de A y B: A = 16 x 3 B = 8 x 15 a) 20 b) 16 c) 24 d) 30 e) 35 19. Si MCD (5a,1b) = 6 Hallar (a + b) a) 2 b) 5 c) 3 d) 4 e) 6 20. Si MCD (1a7,1(2a)9) = 21 Hallar el valor de “a”
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
21. Hallar el valor de “n” si el MCD de A y B tiene 12 divisores.
A = 2n x 75
B = 22n x 72
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
22. Hallar el valor de “n” si el MCD de A y B tiene 20 divisores. A = 7n x 11 x 132 B = 2 x 72n x 11 x 13 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 23. Hallar el MCD de A y B si: A = 6 x 14 x 72 B = 21 x 11 x 9 a) 33 x 2 b) 33 x 7 c) 23 x 3 d) 23 x 32 e) 11 x 32
24. Relacione correctamente ambas columnas: I. 24 y 48 A) Su MCD es 24 II. 21 y 16 B) Su MCD es 1 III. 26 y 52 C) Su MCD es 26 25. Hallar el MCM de A y B si: A = 32 x 7 x 11 B = 2 x 72 x 3 a) 2 x 7 x 3 b) 2 x 3 x 7 x 11 c) 72 x 3 d) 7 x 11 x 32 e) 2 x 32 x 72 x 11
26. Hallar el valor de “n” si el MCM de A y B tiene 56 divisores.
A = 11n – 1 x 13n B = 11n + 2 x 132
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
27. Hallar el valor de “n” si el MCM de A y B tiene 60 divisores. A = 73 x 14 B = 7 x 2n x 3 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 2. Hallar (a + b) si MCM(10a,17b) = 525 a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 3. Hallar “a” si MCM ((2a)5,a7) = 135 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
4. El producto de dos números es 1750 y su MCM es 350. Hallar su MCD.
La primera operación aritmética que se conoció fue la suma. Para resolver esta operación siempre se recurría a elementos concretos, puesto que no se había llegado a un grado suficiente de abstracción matemática. En América, los incas, que alcanzaron un elevado nivel de cultura, practicaban la suma haciendo nudos en unas cuerdas de vivos colores que iban juntando hasta formar el llamado equipo.
ADICIÓN
Es una operación directa que consiste en reunir un conjunto de cantidades homogéneas en una sola: cada una de las cantidades se denomina sumando y al resultado suma.
Donde; etc., son los sumandos; y S es la suma.
SUSTRACCIÓN
Es la operación en la que dadas dos
cantidades llamadas minuendo (M), sustraendo (S) respectivamente, se trata de hallar una tercera cantidad llamada diferencia (D).
M – S = D M = D + S M + S + D = 2M COMPLEMENTO ARITMÉTICO (CºA)
Es lo que le falta a un número para ser su respectiva unidad inmediata superior.
CA(abc)1000abc
La operación resultaba muy compleja para los antiguos. Los griegos se auxiliaban de la tabla pitagórica, que ya conocían antes de nacer Pitágoras. Los babilonios empleaban tablas de cuadrados. Entre los romanos, la operación era lenta y trabajadora, como se observa en la ilustración, debido a su notación numeral. el signo de
multiplicar, Cruz de San Andrés, se atribuye a W. Oughtred, hacia 1647.
MULTIPLICACIÓN
Podemos afirmar que en la práctica la
multiplicación es una operación que abrevia la suma.
Regla de Signos para la Multiplicación de Números Enteros
Si dos números enteros tienen el MISMO
SIGNO, su producto tendrá SIGNO
POSITIVO.
Si dos números enteros tienen DISTINTO
SIGNO, su producto tendrá SIGNO
NEGATIVO.
DIVISIÓN
Dividir es calcular el número de veces que contiene un número llamado dividendo (D) a otro llamado Divisor (d). Este "Número de veces" recibe el nombre de cociente (q)
División Exacta.- Si el DIVIDENDO (D) contiene una cantidad EXACTA de veces al divisor (d), entonces tenemos una DIVISIÓN EXACT S n a 3 a 2 a 1 a ...
Operaciones en Z
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Hallar los números enteros a colocar en los casilleros
1. (+1) - = (+3) - (-2)
2. (+8) - (-2) - = (+3)
3. - (+2) = (+3)
4. - (-6) = (-2)
5 .Si: Hallar el valor de (a+b+c)
6 .Si:
Hallar el valor de (a+b) 7 .Hallar la suma:
S=5+17+29+41+...
(30 sumandos)
8.Hallar la suma de todos los números de tres cifras que empiezan y terminan en cifra 7. Dar como respuesta la suma de sus cifras.
9. La suma de los términos de una sustracción es 964. La suma de las cifras del minuendo es:
10.La diferencia entre los complementos aritméticos de un número de 4 cifras y otro de 3 cifras es 5 380. Si la suma de dichos números es 4 780.
Hallar la suma de las cifras del menor.
11.Sabiendo que
y además a+c=11. Hallar el valor de (a+2c)
12.Después de vender una moto perdiendo $120 preste $200 y me quede con $380. ¿Cuánto me había costado la moto?
13.Jefrey nació en 1888 se casó en el año 1924; dos años después nació su primer hijo y murió cuando su hijo tenía 38 años. ¿En qué año murió?
14.Si recibiera $ 2480 podría comprarme un auto Mazda último modelo de $ 11500. ¿Cuánto tengo?
15.El menor de dos números es 15239 y la diferencia entre ambos es 257. Hallar el mayor.
16.El mayor de dos números es 3592 y la diferencia entre ambos es 649. Hallar el menor y dar como respuesta la menor cifra empleada en su escritura.
17.La suma de dos números es 2491 y la mitad del menor es 521. Hallar el mayor.
18.¿En cuánto excede la suma de 193 y 249 a la diferencia entre 1982 y 1647?
19.Si Enrico tuviera 10 años menos tendría 36 años y si María Fe tuviera 13 años más tendría 28 años. ¿Cuánto más joven es María Fe que Enrico?
20.Rocio gastó S/. 20 soles en comprarse golosinas y 2 soles más en comprar un polo. ¿Cuánto gastaría si se compra 6 polos?
21.Jorge gastó S/. 10 en comprarse un CD en la "Cachina" y 30 soles más en comprarse un teléfono celular en el mismo sitio. ¿Cuánto gastaría en comprarse tres CD y un teléfono celular?
22.Lula se pone a dieta. El primer mes bajó 1200 gr, el segundo mes bajo 400 gr más que el mes anterior y el tercer mes, subió 900 gr por comerse tortas y dulces. ¿Cuántos gramos bajó Lula hasta el tercer mes?
23.En un juego un apostador gana S/. 60 y luego pierde S/. 85, después gana S/. 72 y por último vuelve a perder S/. 35. ¿Cuánto ganó o perdió?
24.Si Pablo nació en el centenario de la independencia del Perú. ¿Qué edad cumplirá en el año 2001?
25.¿Cuánto costó lo que al venderse en S/. 2937 deja una ganancia de S/. 129?
26.¿Cuánto costó lo que al venderse en $ 600 deja una pérdida de $ 123?
27.Rómulo gastó al comprar por partes su computadora $490. Si quiere ganar $ 230, ¿A cuánto lo tiene que vender?
28. (+2)(+7) - = +6 29. (-1)(+5) + (-3)(-2) = 30. (-7)(+2) - (+3) = 31. (-5)(-6) ¸ (-2) +7 =
32.Le preguntan a Javier por su edad y éste responde: Si al doble de mi edad le suman 4, obtienen 40 años. ¿Cuál es la edad de Javier?
33.Un sargento quiere formar a sus soldados en 5 filas de 6 cada una, pero observa que le faltarían 4 soldados, entonces los forman en 4 filas de 5. ¿Cuántos le sobran ahora?
34.La suma de dos números es 406, su cociente es 2 y el resto 91. ¿Cuáles son los números?
EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE MULTIPLICACION
1. Efectuar: A = (2 + 2 + 2 + 2 + … + 2) (3 + 3 + … + 3) a) 200 b) 240 c) 100 d) 150 e) 120 2. Efectuar: B = [(-3) + (-3) + (-3) + … + (-3)] x [(-2) (5)] a) -33 b) -10 c) 330 d) -330 e) -110
5088
accc
abcc
922 5 b 9 a b 3 a b 2 a b 1 a ... mn
4
cba
abc
8 veces 5 veces 11 veces3. Entre Toño y Jorge tienen S/. 126. Si la cantidad que tiene Toño es 17 veces la que tiene Jorge. ¿Cuánto más tiene Toño que Jorge?
a) 129 b) 112 c) 17 d) 34 e) 68
4. Las edades de Olinda y Manuela suman 78 años. Si la edad de Olinda es el doble que la de Manuela. ¿Cuál es la edad de Olinda?
a) 26 años b) 52 c) 13 d) 39 e) 42
5. Entre dos personas tienen S/. 400 si la cantidad que tiene una de ellas es el triple de lo que tiene la otra. Hallar la cantidad mayor.
a) S/. 100 b) 200 c) 150 d) 250 e) 300
6. Alberto tiene 10 años y Lucho tiene el triple de su edad. ¿En cuánto se diferencian sus edades? a) 20 años b) 40 c) 15 d) 25 e) 30
7. Cecilia va de compras, y gasta el triple de lo que gastó Paco más S/. 10. Si Paco gasto S/. 30, ¿Cuánto gastó Cecilia?
a) S/. 60 b) 70 c) 80 d) 100 e) 80
8. Carola compra 6 polos y Susan la tercera parte de la que compró Paula que fueron el doble de las que compró Carola. ¿Cuántos polos compraron en total? a) 20 b) 16 c) 12 d) 14 e) 22
9. Francisco tiene S/. 30 y Lucía tiene el doble de lo que tiene el menos S/. 10. Calcular la diferencia de dinero que tienen.
a) S/. 60 b) 70 c) 50 d) 20 e) 30
10. Le preguntan a Juan Pablo por su edad y este responde si el doble de mi edad le suman 8, obtienen 40 años. ¿Cuál es la edad de Juan Pablo?
a) 48 años b) 50 c) 32 d) 24 e) 18
11. Un teniente quiere formar a sus soldados en 6 filas de 7 cada, pero observa que le faltarían 4 soldados, entonces la forma en 7 filas de 5. ¿Cuántos soldados le sobran ahora?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
12. Se tiene una multiplicación de 2 factores. Si se triplica uno de ellos y se duplica el otro. ¿En cuánto varía el producto inicial?
a) 5 veces b) 6 c) 2 d) 3 e) 4
13. El producto de 2 números es 396, si se añaden 3 unidades al multiplicador, el producto aumenta en 66 unidades. Hallar el factor mayor.
a) 25 b) 18 c) 7 d) 22 e) 66
14. Si a 2 números enteros se le aumenta y disminuye 6 unidades respectivamente. El producto de ellos aumenta en 204 unidades. Hallar la diferencia de los números.
a) 60 b) 80 c) 40 d) 50 e) 100
15. En qué cifra termina el resultado de multiplicar:
E = 2(2 + 1) (22 + 1) (23 + 1) (24 + 1) … (224 + 1)
a) 1 b) 4 c) 2 d) 5 e) 0
EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE LA DIVISION 1. En una división el cociente es 78. El divisor
27 y el residuo 19. Calcular el dividendo
a) 2125 b) 2106 c) 2123 d) 2120 e) 2115
2. En una división el cociente es 83, el divisor 65 y el residuo 54. Calcular el dividendo.
a) 5449 b) 5445 c) 5495 d) 5395 e) 5415
3. En una división el cociente es 19. El divisor 37 y el residuo es mínimo. Calcular el dividendo.
a) 703 b) 702 c) 721 d) 704 e) 720
4. Calcular el dividendo si se sabe que en una división el cociente resulto 31, el divisor 23 y el residuo resultó mínimo.
a) 713 b) 712 c) 731 d) 714 e) 733
5. Calcular el dividendo si se sabe que en una división el cociente resultó 53, el divisor es 37. El residuo resultó máximo.
a) 1997 b) 1996 c) 1961 d) 1962 e) 1998
6. Calcular el dividendo si se sabe que en una división en cociente resultó 49, el divisor es 21 y el residuo resultó mínimo.
a) 1029 b) 1030 c) 1031 d) 1059 e) 1050
7. En una división el cociente es 37, el divisor 52, calcular el dividendo si se sabe que el residuo resultó máximo.
8. En una división el cociente es 63, el divisor 49, calcular el dividendo si se sabe que el residuo resultó máximo.
a) 3135 b) 3134 c) 3087 d) 3088 e) 3098
9. En una división el cociente es 73, el divisor es 84, calcular el dividendo si se sabe que el residuo resultó máximo.
a) 6215 b) 6124 c) 6130 d) 6131 e) 6214
10. Hallar la suma de cifras del cociente que se obtienen al dividir el número 47 256 entre 12. Siendo los términos de su división números enteros.
a) 12 b) 13 c) 23 d) 22 e) 21
11. Al dividir 8743 entre 13, la suma de sus cuatro términos es:
a) 9435 b) 8763 c) 8948 d) 9415 e) 8838
12. Al dividir A entre B el cociente fue 7 y el residuo el más grande posible. El más grande posible. Si A + B = 107. Hallar A x B
a) 107 b) 95 c) 1120 d) 1140 e) 1020
13. En una división inexacta el cociente es 8 y el residuo 20. Al sumar el dividendo con el divisor con el cociente y con el residuo se obtiene 336. Hallar el dividendo.
a) 256 b) 20 c) 320 d) 276 e) 308
14. Si: W + R = 410
Además al dividir W entre R se obtiene 20 de cociente y 11 de residuo.
Hallar: W – R
a) 391 b) 372 c) 399 d) 389 e) 381
15. La suma de dos números es 13, su cociente es 1 y el residuo 3. Hallar el mayor de dichos números. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
16. Calcular la edad de Luis sabiendo que si al triple de la edad que tendría dentro de 3 años se le resta el triple de la que tuvo hace 3 años, se obtiene el triple de su edad.
a) 2 años b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
17. El producto de 3 números enteros
consecutivos es igual a 35 veces el segundo. La suma de los números es:
a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 e) 24
18. Se repartieron 858 soles en partes iguales entre 37 pobres y sobraban 7 soles. ¿Cuánto le correspondió a cada uno?
a) 23 soles b) 30 c) 32 d) 40 e) 45
19. Un niño tendrá 17 años dentro de 4 años, ¿Qué edad tuvo hace 8 años?
a) 4 años b) 7 años c) 5 años
d) 21 años e) 13 años
20. ¿Cuánto te tardará en cortar una pieza de tela de 70 m. de largo, en trozos de 10 m., si se emplea 5 seg. en hacer cada corte?
a) 45 seg. b) 35 c) 40 d) 30 e) 50
21. Una persona tiene 4000 soles y otra 1500 soles cada una ahorra 200 soles mensuales. ¿Dentro de cuántos meses, la cantidad que habrá acumulado la primera será el doble de la segunda?
a) 4 b) 5 c) 7 d) 9 e) 8
22. Por cada docena de manzanas que compro me obsequian una manzana. Si he recibido 780 manzanas, ¿Cuántas decenas compré?
a) 85 b) 60 c) 68 d) 72 e) 75
23. Dos números enteros de distintos signos dan como producto -432 y como cociente -3, ¿Cuál es la diferencia positiva de ambos números?