1 LOGICA: La lógica matemática es una parte de la lógica y las matemáticas, que consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con la ciencias de la computación y la lógica filosófica. La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican nociones intuitivas de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación.
La lógica matemática suele dividirse en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las matemáticas. Actualmente se usan indiferentemente como sinónimos las expresiones: lógica simbólica( o logística), lógica matemática, lógica teorética y lógica formal. La lógica matemática no es la «lógica de las matemáticas» sino la «matemática de la lógica». Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente.
LÓGICA PROPOSICIONAL
Una proposición es cualquier enunciado lógico al que se le pueda asignar un valor de verdad (1) o falsedad (0).
Dada una proposición p, se define la negación de p como la proposición p' que es verdadera cuando p es falsa y que es falsa cuando p es verdadera. Se lee "no p".
A partir de una o varias proposiciones elementales se pueden efectuar diversas operaciones lógicas para construir nuevas proposiciones; en este caso, se necesita conocer su valor de verdad o falsedad en función de los valores de las proposiciones de que se componen, lo cual se realiza a través de las tablas de verdad de dichas operaciones.
Por ejemplo, la tabla de verdad de la negación es la siguiente:
A continuación se describen las principales operaciones lógicas entre dos proposiciones p,q y sus tablas de verdad:
Conjunción: es aquella proposición que es verdadera cuando p y q son verdaderas, y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p q, y se lee "p y q".
p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 p p' 1 0 0 1
2 Disyunción: es aquella proposición que es verdadera cuando al menos una de las dos p o q
es verdadera, y falsa en caso contrario. Se escribe p q, y se lee "p o q".
Disyunción exclusiva: es aquella proposición que es verdadera cuando una y sólo una de las dos p o q es verdadera, y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p q, y se lee "p o q pero no ambas". Se usa muy poco.
p q p q 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0
Condicional: es aquella proposición que es falsa únicamente cuando la condición suficiente p es verdadera y la condición necesaria q es falsa. Se escribe p q, y se lee "si p entonces q". p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1
Bicondicional: es aquella proposición que es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad, y falsa en caso contrario. Se escribe p q, y se lee "si y sólo si p entonces q". p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
Una proposición se dice que es una tautología si su valor de verdad es siempre 1
independientemente de los valores de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p p'. p q p q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0
3 Una proposición se dice que es una contradicción si su valor de verdad es siempre 0
independientemente de los valores de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p p'.
Una paradoja es una proposición a la que no se le puede asignar ningún valor de verdad; suelen estar relacionadas con incorrecciones en el lenguaje lógico. Por ejemplo: p="la proposición p es falsa".
Dos proposiciones p y q se dicen equivalentes si tienen la misma tabla de verdad en función de las proposiciones elementales que lo componen; esta definición equivale a decir que la proposición p q es una tautología. Por ejemplo, las proposiciones
p q y
q' p'
Son equivalentes. Esta ley se llama "ley del contrarrecíproco", y se usa en los
razonamientos por reducción al absurdo. Se pueden obtener fácilmente más "resultados lógicos" a través de su relación con la teoría de conjuntos.
NÚMEROS NATURALES: PRINCIPIO DE INDUCCIÓN
Admitivos como intuitivo el concepto de número natural; así, podemos enumerar los números naturales en orden creciente:
N = { 1,2,3,4,5, ... }
Cuando se quiere demostrar que una proposición relativa a números naturales es cierta, se necesita el Principio de Inducción: "Sea S el conjunto de números naturales para los que la proposición p(n) es cierta; supongamos que
m S y que
n S n+1 S
Entonces S = { m,m+1,m+2, ... }"
(es decir, la propiedad se verifica para todo número natural a partir de m; normalmente se usa con m = 1).
Algunas veces, cuando se quiere demostrar que la proposición es cierta para n+1, es necesario usar que la proposición se verifica para todo k < n+1; en ese caso se utiliza el Principio de Inducción completa: "Sea S el conjunto de números naturales para los que la proposición p(n) es cierta; supongamos que
m S y que
m,m+1, ... ,n S n+1 S
Entonces S = { m,m+1,m+2, ... }"
4 Ejercicio: pruébese por inducción la fórmula del binomio de Newton
(Indicación: utilícense las propiedades de los números combinatorios).
TEORÍA DE CONJUNTOS
Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo.
Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a A. En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a A.
Ejemplos de conjuntos:
: el conjunto vacío, que carece de elementos. N: el conjunto de los números naturales. Z: el conjunto de los números enteros. Q : el conjunto de los números racionales. R: el conjunto de los números reales. C: el conjunto de los números complejos. Se puede definir un conjunto:
o por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos. o por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza. Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensión,
o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo: o A := {1,2,3, ... ,n}
o B := {p Z | p es par}
Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B), y se denota A B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, a A a B.
Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A B y B A; esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad característica).
Para cualquier conjunto A se verifica que A y A A; B A es un subconjunto propio de A si A y B A.
5 El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A, y se
denota (A). Entonces, la relación B A es equivalente a decir B (A). Ejemplos:
Si A = {a,b} entonces (A) = { ,{a},{b},A}. Si a A entonces {a} (A).
Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado U, se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto A B := {a A | a B}. Asimismo, se llama diferencia simétrica entre A y B al conjunto A B := (A B) A
Si A (U), a la diferencia U A se le llama complementario de A respecto de U, y se denota abreviadamente por A' (U se supone fijado de antemano).
Es fácil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se verifica: o ' = U .
o U ' = . o (A')' = A .
o A B B' A' .
o Si A = { x U | p(x) es una proposición verdadera} entonces A' = { x U | p(x) es una proposición falsa}.
Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A o de B, es decir: A B := { x | x A x B}.
Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A y de B, es decir: A B := {x | x A x B}.
Si A y B son subconjuntos de un cierto conjunto universal U, entonces es fácil ver que A B = A B'.
En este caso, la llamadas operaciones booleanas (unión e intersección) verifican las siguientes propiedades :
PROPIEDADES UNION INTERSECCION
1.- Idempotencia A A = A A A = A 2.- Conmutativa A B = B A A B = B A 3.- Asociativa A ( B C ) = ( A B ) C A ( B C ) = ( A B ) C 4.- Absorción A ( A B ) = A A ( A B ) = A 5.- Distributiva A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) 6.- Complementariedad A A' = U A A' =
6 Estas propiedades hacen que partes de U con las operaciones unión e intersección tenga una
estructura de álgebra de Boole.
Además de éstas, se verifican también las siguientes propiedades: o A = A , A = ( elemento nulo ).
o A U = U , A U = A ( elemento universal ).
o ( A B )' = A' B' , ( A B )' = A' B' ( leyes de Morgan ).
Dados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesiano de ambos como el conjunto de pares ordenados:
A B := { (a,b) : a A b B}
Dos pares (a,b) y (c,d) de A B son iguales si a = c y b = d; análogamente, dados cuatro conjuntos A,B,C,D se verifica
A B = C D ( A = C B = D ) Se llama grafo relativo a A B a todo subconjunto G A B.
Dado un grafo G relativo a A B, se llama proyección de G sobre A al conjunto
ProyAG := { a A : (a,b) G, b B}
Análogamente se define la proyección ProyBG de G sobre B.
Por último, los conceptos anteriores pueden generalizarse a familias de conjuntos. Si para cada elemento i de un conjunto (de índices ) I se tiene un conjunto Ai , entonces se
define el conjunto { Ai : i I } y se denomina familia de conjuntos indicada por I. También
se suele denotar por { Ai } i I .
De forma análoga se define una familia de elementos ( ai ) i I .
Dada una familia de conjuntos { Ai } i I se definen:
o i I Ai := { a : a Ai , i I }
o i I Ai := { a : a Ai , i I }
o i I Ai := { (ai) : ai Ai , i I }
Las propiedades de la unión e intersección siguen siendo válidas para familias de conjuntos, y en particular las leyes de Morgan :
( i I Ai )' = i I A'i , (i I Ai )' = i I A'i
9 Contenido: - Diagramas de Venn.
- Leyes del álgebra de conjuntos.
Competencias: - Representa gráficamente conjuntos de la forma adecuada. - Utiliza la teoría de conjuntos en situaciones reales.
Objetivos:
Ilustrar correctamente las operaciones de conjuntos en diagramas de Venn.
Aplicar adecuadamente las leyes del álgebra de conjuntos a través de ejemplos y ejercicios.
Desarrollar las habilidades de construir diagramas de Venn y operaciones con las leyes del álgebra de conjuntos a través de la solución de ejercicios propuestos. Mostrar interés, ética y estética en la realización de las tareas asignados. Desarrollo.
Al Estudiar conjunto y las relaciones entre los mismos, es útil algunas veces representar a través de Diagramas los conjuntos.
Diagramas de Venn: son figuras planas cerradas; normalmente, el conjunto universal se representa por el interior de un rectángulo y los otros se representan por discos incluidos en el rectángulo.
Nota: algunas veces es conveniente sombrear las áreas para representar al conjunto o las operaciones indicadas de conjunto.
Ejemplo 1:
Sean U
a,b,c,d,e,f,g
; A
a,c,e,g
,B
a,b,c,d,e
y C
b,e,f,g
;Represente gráficamente en diagramas de Venn cada una de las siguientes operaciones: 1) AB. RptaAB
a,b,c,e,g
. 1) 2) CB RptaCB
f,g . 3) BC RptaBC
b,e . 4) C C RptaCC
a,c,d
. 5) BC Rpta. BC
a,c,d,f,g
. 2) 3) U A B a c e b d g U B C f g U B C b e10 4) 5)
Álgebra de conjuntos.
Las operaciones con conjuntos poseen propiedades similares (pero no idénticas) a las operaciones con números. El conocimiento y empleo de estas propiedades es importante, por cuanto permite simplificar considerablemente ciertas operaciones en apariencia complicadas. Las propiedades fundamentales de las operaciones con conjuntos se presentan en el texto base en el recuadro de la página XXXVI.
Ejemplo 2.
Represente gráficamente el conjunto A(BC)
Solución: Primero se sombrea a A con rayas inclinadas hacia la derecha arriba, y luego a C
B con rayas inclinadas hacia la izquierda, ahora, A(BC)es el área donde se cruzan las líneas (formando cuadritos).
U C d a c U B C f g a c d A B C C B y A A B C Ejemplo 3
11 Ejemplo 3.
Considere los conjuntos A
1,2,4,6,7,8,9
,B
1,3,5,7,.9
yC
2,4,6,8
demuestre que (AB)C A(BC) Solución: I) AB
1,2,4,6,7,8,9
y (AB)C
1,2,3,4,5,6,7,8,9
II) BC
1,2,3,4,5,6,7,8,9
y A(BC)
1,2,3,4,5,6,7,8,9
) ( ) (AB C A BC Contenido: - Diagramas de Venn.
- Leyes del álgebra de conjuntos.
Competencias: - Representa gráficamente conjuntos de la forma adecuada. - Utiliza la teoría de conjuntos en situaciones reales.
Objetivos:
Aplicar adecuadamente las leyes del álgebra de conjuntos a través de ejercicios. Desarrollar las habilidades de construir diagramas de Venn y operaciones con las
leyes del álgebra de conjuntos a través de la solución de ejercicios propuestos. Mostrar interés, ética y estética en la realización de las tareas asignados. Guía de ejercicios para actividad .
I) Sean A
3,4,5,6
,B
1,2,3,4
,C
1,4,6,7
y U
1,2,3,4,5,6,7,8,9
represente a través de diagramas de Venn las siguientes operaciones.
1) AB 4) (BC)
2) AC 5) (AC)
3) BC 6) (BC)
II) Suponga dados los conjuntos A, B y C no vacíos; use diagramas de Venn para ilustrar los resultados obtenidos al efectuarlas operaciones indicadas en las expresiones dadas.
1) AB 6) AB 2) AB 7) AB
12 4) AB 9) (AB)C
5) (AB)C 10) AB
Contenido: - Conjuntos, operaciones, Leyes del álgebra de conjuntos. Competencias: - Representa conjuntos de forma adecuada.
o Opera los conjuntos adecuadamente.
o Identifica tipos de conjuntos, su forma de presentación y los representa gráficamente.
o Interpreta leyes de de los conjuntos. Objetivos:
Desarrollar las habilidades en la construcción y representación de los diagramas de Venn y operaciones con las leyes del álgebra de conjuntos.
Desarrollar habilidades de comunicación, tolerancia en la interacción del subgrupo y subgrupo – docente.
Mostrar actitud de responsabilidad ética y estética durante la realización del trabajo grupal.
Descripción del trabajo grupal
I) Dado los siguientes conjuntos
x xesundígito
U /
/ ; 2
;
2,5,8
;
2,4,6,7,8
1,3,5,8,9
x x U x B C y D
A
Diga el valor de verdad de las siguientes proposiciones.
a) 2 A _____ b)
3,8 D _____ c)
3,4 C_____ d)
5 B _____II) Represente los siguientes conjuntos en un diagrama de Venn.
x xesunaletra del alfabetohastai
U /
a c d e
B
c f g h
C
b c e i
A , , , ; , , , , , , ,
III) Determine el conjunto potencia del siguiente conjunto
1,5,7,9
G
IV) Identifique las siguientes leyes en el álgebra de conjuntos.
a) AB BA: _________________________________________
b) (AC)C A _______________________________________________ c) AA A ______________________________________________
13 d) A(BC)(AB)(AC)_______________________________
V) Dados los siguientes conjuntos
x x
A
x x x
B
x x
yC
x xesimpar
U / 6 17 ; / 9 13; /11 14 /
Determine las siguientes operaciones de conjuntos
a) CC A b) AC C c) AC d) CCA * e) A(BC) * f) C C B
A
VI) Dados los siguientes conjuntos verifique las leyes:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
,
3,4,5,6,8
,
2,4.6,8
,
1,2,3,4
M N P U a) M (NP)
M N
(M P b) C C C P N P N ) ( * Son alternativos ALGEBRATEMA: Ecuaciones con una incógnita. CONTENIDO:
Ecuaciones lineales. Ecuaciones cuadráticas.
Ecuaciones con radicales y de tipo cuadrático. Ecuaciones con valor absoluto y ejercicios.
COMPETENCIA: Resuelve ecuaciones a través de enfoque algebraico. OBJETIVOS:
Comprender los conceptos de ecuaciones lineales y cuadráticas, ecuaciones con radicales y de tipo cuadrático y ecuaciones con valor absoluto.
Adquirir habilidades en la interpretación de los diferentes tipos de ecuaciones con una incógnita y su solución.
Aplicar los diferentes métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. Mostrar interés y disposición en la resolución de los ejercicios planteados. Respetar la participación y opinión de los compañeros durante el desarrollo
de la clase. DESARROLLO:
Ecuaciones con una incógnita
Ecuación: es una afirmación de que dos expresiones son iguales. Ejemplos:
Solución o raíz de una ecuación: es cualquier número que sustituido en la ecuación la convierte en una proposición verdadera. Resolver una ecuación significa encontrar sus soluciones.
14 Ecuaciones lineales con una incógnita.
Una ecuación de la forma ax +b = 0, a 0 donde a y b son números reales, se llama ecuación lineal. La ecuación lineal ax +b 0, a 0 tiene exactamente una solución
.
Ejemplo 1: resuelva 5y -3 = y +9
Solución: 5y –y = 9+3 Comprobación 4y = 12 5(3) -3 = 3+9
15 -3 = 12
La solución es y = 3. 12 = 12
Ejemplo 2: resuelva Comprobación
Solución: 2(0)2 – 3 = - 3 -2[2(0) – (0)2] 4r = -3 +3 -3 = -3
la solución es r = 0. Ejemplo 3: resuelva
Solución: multiplicando a ambos lados por (x +3), obtenemos: 2x – 4 = 2 + 3(x+3)
2x – 4 = 2 + 3x+9 X = - 15 Ecuaciones cuadráticas
Una ecuación cuadrática de la forma a + bx +c =0, a 0 donde a, b,c son números reales se llama ecuación cuadrática. Esta ecuación tiene a lo sumo dos raíces.
Métodos para resolver una ecuación cuadrática: Factorización. Completando cuadrado. La fórmula general. Ejemplos de factorización: Resuelva: -60 =-7x Solución: Ordenando, +7x – 60=0 (x + 12)(x – 5) =0 X +12 =0 ν X – 5 = 0 La soluciones son x1 = - 12 y x2 = 5. La comprobación dejarla de tarea.
Ejemplo de completando cuadrado Resuelva: + 2x – 2 = 0
Solución: +2x+1 = 2+1 = 3
X+1 = se obtiene X1 = -1 y X2 = - -1
15
Solución : completando cuadrado
Aplicando raíz ambos lados de la ecuación se obtiene K + = , las soluciones son K1 = - 1 y K2 =
-La fórmula general:
Si a 0, entonces las raíces de a + bx +c =0 están dadas por . La naturaleza de las raíces está determinada por , el cual se llama discriminante. Si , la ecuación tiene dos raíces reales diferentes.
Si , la ecuación tiene dos raíces reales iguales. Si , la ecuación no tiene dos raíces reales. Ejemplo de la fórmula general
Resuelva +6x +4 =0
Solución: a = - 9, b = 6, c = 4 sustituyendo los valores de a, b y c en la fórmula general =
Las soluciones son X1 = y X2 =
Nota: verificar las soluciones de la ecuación. Ecuaciones con radicales
Sugerencias para resolver ecuaciones con radicales:
Aislé el radical más complicado a un lado de la ecuación.
Elimine ese radical elevando ambos lados de la ecuación a una potencia apropiada.
Repita los pasos anteriores hasta que se hayan eliminado todos los radicales de la ecuación.
Resuelva la ecuación resultante y verifique las respuestas. Ejemplos de ecuaciones con radicales
Resuelva :
Solución: elevando ambos miembros a la potencia 2 se obtiene: , de lo anterior resulta x+1 = 9 +18x + 9 , ordenando 9 +17x +8 = 0, resolviendo la ecuación cuadrática resulta x1 = -1 y x2 = -
Nota: verificar las soluciones de la ecuación Resuelva :
16 Solución: elevando ambos miembros a la potencia 4 se obtiene:
, de lo anterior resulta = 16 Resolviendo la ecuación cuadrática resulta z =
Nota: verificar las soluciones de la ecuación Resuelva :
Solución: elevando ambos miembros a la potencia 2 se obtiene: = , de lo anterior resulta 2u + 2 + 1 = u +1. Aplicando el procedimiento nuevamente, se obtiene = - . Elevando ambos miembros a la potencia 2 se obtiene: , de lo anterior resulta 4u = . Ordenando, Resolviendo la ecuación cuadrática resulta u1 =0 y u2 = 8
Nota: verificar las soluciones de la ecuación Ecuaciones de tipo cuadrático
Ciertas clases de ecuaciones pueden transformarse en ecuaciones cuadráticas por medio de una apropiada sustitución. Los ejemplos ilustran esta técnica.
Resuelva:
Solución: , haciendo r = , tenemos la ecuación cuadrática -7r – 8=0. Las soluciones de esta ecuación cuadrática son r1 = 8 y r2 = -1. Ya que r =
, tenemos = 8 y = -1, elevando a la quinta ambos miembros de la ecuaciones, obtenemos x1 = 32,768 y x2 = -1.
Nota: verificar las soluciones de la ecuación Resuelva:
Solución : , haciendo z = , tenemos la
ecuación z – 6 - 16 = 0, haciendo un orden adecuado z – 16 = 6 y elevando ambos miembros a la potencia 2 se obtiene: 2 . De lo anterior resulta
- 68z + 256 = 0, las soluciones de esta ecuación cuadrática son z1 = 64 y z2 = 4. Ya
que z = , tenemos
= 64 y = 4 elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuaciones y resolviendo, obtenemos x1 = 4,098 y x2 = 18.
Nota: verificar las soluciones de la ecuación Ecuaciones con valor absoluto.
17 De la definición de valor absoluto de un numero (véase sección 1.2 pág. 13 – 14 del dosier) se deduce que para cualquier número real positivo a, |X| = a si y sólo si x = a o x = - a. Ejemplos de ecuaciones con valor absoluto
Resuelva : | 4 – 3x| = 8
Solución: La ecuación dada equivale a dos ecuaciones: 4 – 3x = 8 o 4 – 3x = - 8
-3x = 4 o -3x = - 12
Entonces, las respuestas son - y 4. Por sustitución se puede verificar que ambas satisfacen la ecuación dada.
Resuelva : |4x – 3| = 2x +3
Solución: La ecuación dada equivale a dos ecuaciones: 4x – 3 = 2x + 3 o 4x – 3 = - (2x +3)
4x – 2x = 3 + 3 o 4x + 2x = - 3 + 3 2x = 6 o 6x = 0
Entonces, las respuestas son 3 y 0. Por sustitución se puede verificar que ambas satisfacen la ecuación dada.
Ejercicios para la actividad 1
Resuelva y compruebe la(s) respuesta(s). 4 (2y +5) = 3(5y – 2) Rta. Y =
Rta. X = -
- 7u = - 10 Rta. U1 = 5 y U2 = 2
9 = 36t – 1 Rta. T1=
= 2 Rta. X1 = - 4 y X2 = 2
4 - 7 -2 = 0 Rta. W1 = 64 y W2 =
Actividad 2: Clase práctica.
Resuelva las siguientes ecuaciones:
1- 9 - 10 = 5x - Solución: 9x +6 – 10 = 5x - 27x + 18 – 30 = 15x – 8 27x – 15x = - 8 +12 X = 2- + 48 = 49
18 Solución: . Entonces m = 7 3- Solución: 5(2x + 2) + 3(14 – 2x) = 15(6 – x) 10 x + 10 + 42 – 6x = 90 – 15x 4x + 15x = 90 – 52 X = 2 4-
Solución: , elevando al cuadrado ambos miembros.
5x – 1 = 16 - 8 + x +3 5x – x – 16 – 3 – 1 = - 8 X – 5 = -2
, elevando al cuadrado ambos miembro – 10x + 25 = 4(x+3), ordenando –14x +13 = 0.
Resolviendo la ecuación cuadrática resulta x1 =13 y x2 =
5- = 0
Solución: -2 +1 = 0, haciendo y = , obtenemos - 2y +1 =0 Resolviendo la ecuación cuadrática resulta y1 =1 y y2 = .
Ya que y = ,
tenemos , = 1 y = . Elevando al cuadrado ambos miembros de las ecuaciones, obtenemos : x1 = 1 y x2 = .
Guía de ejercicios
Resuelva las ecuaciones dadas y compruebe sus respuestas. 1. 4(1 – x) = x – 3(x+1)
19 3. - 4(2y – 1) = y – 2
4. X(5x – 4) = - 2
5. 2 - 3 - 2 = 0
T EMA: Ecuaciones Lineales de primer grado con una incógnita y Ecuaciones Cuadráticas. Aplicaciones.
CONTENIDOS:
Aplicaciones de Ecuaciones Lineales de primer grado con una incógnita. Aplicaciones de Ecuaciones Cuadráticas.
OBJETIVOS:
Reconocer la utilidad de las aplicaciones de Ecuaciones Lineales con una incógnita y Ecuaciones Cuadráticas mediante la resolución de problemas aplicados a la vida real.
Utilizar el lenguaje algebraico de forma clara, sencilla y creativa en el planteamiento de los problemas.
Adquirir habilidades en la interpretación de problemas de Ecuaciones Lineales y Cuadráticas.
Mostrar interés y disposición en la resolución e interpretación de problemas aplicados a la vida real.
DESARROLLO
Aplicaciones de ecuaciones lineales con una incógnita
Algunas sugerencias para resolver problemas de los contenidos a estudiar:
1. Si el problema se enuncia por escrito, léalo cuidadosamente varias veces, y piense en los datos que se dan, junto con la cantidad desconocida que se debe encontrar. 2. Denote la cantidad o cantidades desconocidas mediante una letra. Las frases que
contienen palabras como “que”, “encuentre”, “Cuanto”, “ a qué distancia” o “Cuando” nos indica la cantidad desconocida.
3. Haga una figura o croquis si es necesario.
4. Se traducen los enunciados verbales en una ecuación.
5. Se resuelve las ecuaciones en la o las variables y se calculan las cantidades incógnitas.
6. Por último se comprueba la respuesta en el problema inicial planteado con palabras.
Ejemplo 1
Carla invirtió C$ 10,000 córdobas en una asociación de ahorro y préstamo. Una parte al 7% de interés simple anual y el resto al 8.5%. ¿Cuánto invirtió al 7% si la cantidad total de interés en un año fue de C$ 796 córdobas?
20 Compresión del problema
Conozco:
C$ 10,000 cantidades que se invirtió
Una parte con el interés simple al 7% Ξ 0.07 El resto al 8.5% Ξ0.085
Total ganado en interese es C$ 796
Resolviendo esta ecuación por completación de cuadrados obtenemos:
Entonces x1 = 34 y x2 = - 22
4) Reflexione sobre la solución (comprobación) 5) Redacte la solución
En el huerto hay 34 filas de arboles.
Problemas propuestos de ecuaciones lineales con una incógnita.
1. Una varilla de 74 cm de longitud se ha pintado de azul y blanco. La parte pintada de azul excede en 14 cm al duplo de la parte pintada en blanco. Hallar la longitud de la parte de cada color.
2. Preguntando un hombre por su edad, responde si al doble de mi edad se quitan 17 años se tendría lo que me falta para tener 100 años. ¿Qué edad tenía el hombre? 3. El asta de una bandera de 9.10ms de altura se ha partido en dos. La parte se
parada tiene 80 cm menos que la otra parte. Hallar la longitud de ambas partes del asta.
4. Dos niños que se encuentra a una distancia de 224 m. Comienza a caminar uno hacia el otro, al mismo tiempo a una velocidad de 1.5 m/s y 2m/s respectivamente.
a) ¿En cuánto tiempo se encuentra?
b) ¿Qué distancia había caminado cada uno?
T EMA: Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos y tres incógnitas. Aplicaciones. CONTENIDOS
Concepto de Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos y tres incógnitas
Procedimientos de solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos y tres incógnitas.
Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos y tres incógnitas.
21 OBJETIVOS:
Reconocer la utilidad de los Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos y tres incógnitas.
Aplicar los procedimientos de resolución de los Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos y tres incógnitas mediante la solución de ejercicios y problemas. Adquirir habilidades en la interpretación, planteamiento y resolución de
problemas de sistemas de Ecuaciones Lineales mediante el método del aprendizaje basado en la resolución de problemas.
Manifestar interés en la interpretación y solución de problemas aplicados a diversos contextos de la vida real.
Desarrollo
Muchos de los problemas planteados con palabras se pueden resolver usando ecuaciones con dos y tres variables para ello se hacen las siguientes sugerencias:
1. Léalo con cuidado las veces que sea necesario y piense en los datos o cantidades desconocidas que se desean encontrar.
2. Elija dos o tres letras para representar las cantidades desconocidas 3. Trace una figura si es necesario
4. Haga una lista de lo conocido y desconocido
5. Se traducen los enunciados verbales en una ecuación.
6. Se resuelve las ecuaciones en la o las variables y se calculan las cantidades incógnitas.
7. Por último se comprueba la respuesta en el problema inicial planteado con palabras
Aplicaciones de sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Ejemplo 1
Un vendedor tiene un tipo de café que cuesta C$ 3.60 la libra y el otro que cuesta C$ 2.90 la libra. ¿Cuánto debe mezclar de cada uno para obtener 100 libras de una nueva mezcla que cueste C$ 3.30 la libra?
Solución
1) Compresión del problema
Conozco:
Un tipo de café a C$ 3.60 la libra Otro tipo de café a C$ 2.90 la libra El total de la mezcla 100 libras Mezcla final a C$ 3.30 la libra Desconozco
22
2) Plan de actuación
Sea A el tipo de café a C$ 3.60 la libra Sea B el tipo de café a C$ 2.90 la libra Entonces tenemos que
A + B = 100 Ec (1)
3.60 A + 2.90 B = 3.30 (A + B) efectuando el producto de la derecha obtenemos 3.60 A + 2.90 B = 3.30 A + 3.30 B ordenandoresulta
0.30 A – 0.4 B = 0 Ec (2) Sistema a resolver es:
3) Llevar a cabo el plan de actuación
Resolviendo el sistema formado por el método de igualación obtenemos A = y B =
4) Reflexione sobre la solución (comprobación) 5) Redacte la solución
Se debe mezclar libras del café tipo A y libras del café tipo B, para obtener las 100 libras de café a un precio de C$ 3.30.
Ejemplo 2
Pedro tiene el doble de los libros que tiene Sergio menos tres. Sergio tiene la cantidad de libros que tiene Pedro menos dos. ¿Cuántos libros tienen cada uno?
Solución
1. Compresión del problema Conozco:
Pedro tiene dos veces los libros que tiene Sergio menos tres. Sergio tiene la misma cantidad de Pedro menos dos.
Desconozco:
¿Cuántos libros tiene Pedro? ¿Cuántos libros tiene Sergio? 2. Plan de actuación
Sea X el # de libros de Sergio Sea Y el # de libros de Pedro El sistemas es y = 2x – 3 X = y – 2 3. Llevar a cabo el plan actuación
23 X = 5 ^ Y = 7
4. Reflexione sobre la solución (comprobación) 5. Redacte la solución
El número de libros de Sergio es igual a 5 y el número de libros que tiene Pedro son 7. Ejemplo 3
En un grupo, 7 veces el total de mujeres menos 44 es igual que el doble de hombres; y 6 veces el número de hombres más cuatro es igual que 5 veces el número de mujeres. ¿Cuántas mujeres y cuantos hombres hay en el grupo?
Solución
1. Compresión del problema Conozco
Que 7 veces el total de mujeres menos 44 equivale a 2 veces los hombres Que 6 veces los hombres más 4 equivalen a 5 veces las mujeres.
Desconozco
¿Cuántas mujeres hay en el grupo? ¿Cuántos hombres hay en el grupo?
2. Plan de actuación
Sea X el número de mujeres en el grupo Sea Y el número de hombres en el grupo Sistema a resolver es:
3. Llevar a cabo el plan de actuación
Resolviendo el sistema formado por el método de reducción obtenemos X = 8 ^ Y = 6
4. Reflexione sobre la solución (comprobación) 5. Redacte la solución
En el grupo hay 8 mujeres y 6 hombres.
Sistema de ecuaciones con tres incógnitas. Ejemplo 1
Resolver Solución
Combinando la ecuación (1) y (2) para eliminar z, multiplicando ec(1) por – 2 obtenemos -4x - 6y - 2z = -8
3x - 3y + 2z = 15
24 Combinando la ecuación (1) y (3) para eliminar z, multiplicando ec(1) por – 3 obtenemos
-6x -9y -3z = -12 -4x +2y +3z = -1
-10x – 7y = -13 ecuación 5
Combinando las ecuaciones (4) y (5) y resolviendo el sistema, obtenemos y = - 1 ^ X = 2 luego sustituyendo los valores de las variables encontradas en la ecuación 1, resulta z = 3
La solución del sistema es Aplicaciones
Ejemplo 2
El perímetro de un triangulo es de 15 cm. Si a la suma de dos de sus lados se resta el mayor el resultado es 3cm, pero si el mayor se suma con el menor, la suma es dos veces la longitud del tercer lado. Encuentre la longitud de cada lado.
Solución
Sea x el lado mayor X Sea y el lado menor y Sea z el tercer lado Z Según los datos del problema
El perímetro (la suma de la longitudes de sus tres lados) es 15cm. Entonces la ecuación 1 está formada por: x + y + z = 15
Si a la suma de los dos se le resta el mayor, el resultado es tres. Entonces la ecuación 2 está formada por: y + z – x = 3
Si el lado mayor se suma con el menor, la suma es dos veces la longitud del tercer lado. Entonces la ecuación 3 está formada por: x + y = 2z.
El sistema a resolver es:
La solución del sistema planteado es: La longitud del lado mayor es 6cm. La longitud del lado menor es 4cm. La longitud del tercer lado es 5cm.
Ejemplo 3
Una empresa tiene 150 empleados ubicados en tres categoría A, B, y C. El número de empleados A duplica a la suma del número de empleados B y C. Un empleado A gana C$ 75 diarios, un empleado B C$50 diarios y un empleado C C$ 40 diarios. La empresa paga diario C$ 9700. ¿Cuántos empleados hay en de cada categoría?
Solución
Sea x el número de empleados de la categoría A Sea y el número de empleados de la categoría B
25 Sea z el número de empleados de la categoría C
El total de empleados es de 150. Entonces la ecuación 1 está formada por: x + y + z = 150
A duplica a la suma del número de empleados B y C. Entonces la ecuación 2 está formada por: x = 2(y +z).
Un empleado A gana C$ 75 diarios, un empleado B C$50 diarios y un empleado C C$ 40 diarios. La empresa paga diario C$ 9700. Entonces la ecuación 3 está formada por:
75x+50y+40z = 9700. Entonces el sistema es:
Al resolver el sistema planteado su solución es: Esto nos indica que la respuesta del problema es:
Que hay en la empresa 100 empleados en la categoría A, 20 empleados en la categoría B y 30 empleados en la categoría C.
Ejemplo 4
Para un experimento con ratones, un biólogo necesita una mezcla de alimentos que contenga 23gr de proteína, 6.2gr de grasa y 18gr de vitamina. Solo tiene mezclas de las composiciones mostradas en la tabla;
¿Cuántos gramos de cada mezcla debe emplear para obtener la dieta deseada? Solución
X: la cantidad en gramos que se toma de la mezcla A Y: la cantidad en gramos que se toma de la mezcla B Z: la cantidad en gramos que se toma de la mezcla C
Como se necesitan 23 gramos de proteína para la mezcla de alimentos. Entonces la ecuación 1 está formada por: 20% x +10% y +15% z = 23
Mezcla Proteínas % Grasa % Vitaminas % A 20 2 15 B 10 6 10 C 15 5 5
26 Como se necesitan 6.2 gramos de grasa para la mezcla de alimentos. Entonces la
ecuación 2 está formada por: 2% x +6% y +5% z = 6.2
Como se necesitan18 gramos de vitamina para la mezcla de alimentos. Entonces la ecuación 3 está formada por: 15% x +10% y +5% z = 18
Entonces el sistema es:
Resolviendo el sistema la solución del problema es:
Se necesitan 70 gramos de la mezcla A, 67.5 gramos de la mezcla B y 15 gramos de la mezcla C para obtener la mezcla deseada.
Ejercicios propuestos de aplicaciones de sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas.
1. Una tienda que está liquidando su mercadería anuncia que todos los precios fueron rebajados en un 20%. Si el precio de un artículo es de C$280.00. ¿Cuál era su precio antes de la liquidación?
2. Seis personas iban a comprar una casa contribuyendo por partes iguales, pero dos de ellas desistieron del negocio y entonces cada una de las restantes tuvo que poner C$ 20,000.00 más. ¿Cuál era el valor de la casa?
3. Un comerciante de autos usados compra dos automóviles en $ 2,900.00. Vende uno con una ganancia del 10% y el otro perdiendo el 5% y aún obtuvo una ganancia de $ 185.00 por la transacción completa. ¿Cuánto le costó cada automóvil?
4. Un recipiente está lleno de agua. Se extrae la mitad del agua y después la mitad del resto, quedando en el recipiente 200 litros. ¿Cuál es la capacidad del recipiente?
5. La suma de cuatro números es igual a 90. El segundo número es el doble del primero; el tercero el doble del segundo, y el cuarto el doble del tercero. ¿Cuáles son los números?
6. En un jardín hay el doble de números de rosas que violetas y hay el triple del número de rosas que dalias. Si en total hay 33 flores, ¿Cuantas violeta tiene el jardín?
7. Pedro demora tres horas en cortar el pasto y su hermano menor se demora el doble. Si trabajan juntos el tiempo empleado en realizar la labor es de:
8. La suma de dos números es 8 y su diferencia es 2. ¿Cuál es la suma de sus cuadrados?
9. Un tercio de un número es igual a la mitad de otro número. Si los números suman 10, ¿Qué diferencia hay entre el mayor y el menor?
10. La segunda potencia de un número, más el doble del mismo número es -1. ¿Cuál es el número?
27 Resolver los sistemas
1) 2) 3) 4) 5) 6) TEMA: Inecuaciones CONTENIDO: Inecuaciones lineales
Inecuaciones cuadráticas y simultáneas con valor absoluto Inecuaciones racionales, ejercicios y aplicaciones.
COMPETENCIA: Resuelve Inecuaciones a través de enfoque algebraico y gráfico. OBJETIVOS:
Analizar las propiedades de las inecuaciones y su representación gráfica. Graficar las diferentes formas de raíz o soluciones de las inecuaciones
(cuadráticas y racionales).
Resolver ejercicios de las distintas inecuaciones.
Mostrar interés, estética y responsabilidad en la realización de inecuaciones.
DESARROLLO
Inecuaciones lineales
ax +b (≤, ≥, <, >) 0; a 0 y a, b R se llama inecuación lineal. El símbolo de desigualdad > o < se denomina estricta. Si el símbolo es ≥ o ≤ se dice que es débil.
Regla 1: Cuando el mismo número real se suma o se resta a ambos lados de una desigualdad el sentido de la desigualdad no cambia.
Regla 2: El sentido de la desigualdad se preserva si ambos lados se multiplica ( o dividen) por un mismo número real positivo y se invierte cuando se multiplica ( o dividen) por un mismo número real negativo.
Ejemplo: Encuentre el conjunto solución de y + Solución. 12(y + ) ≤ 12 + 12(1)
12y + 9 ≤ 20y – 8 + 12
-8y ≤ - 5 dividiendo por (-8)
Y . El conjunto solución es [ , ∞).
28 Solución. 6x – 3 > 4 + 5x – 5
6x – 5x > -1 + 3
X > 2. El conjunto solución es (2, +∞) Inecuaciones simultáneas
Utilizando inecuaciones básicas e inecuaciones simultáneas podemos describir cierto conjunto de números reales llamado intervalos. a< x < b
Ejemplo: Encuentre el conjunto solución de -1 ≤ +5 ≤1 Solución. - 1 – 6 ≤ ≤ 1 – 5
-6 (3) ≤ 2x ≤ - 4
-9 ≤ x ≤ - 2
Nota: hacer la grafica y el conjunto solución.
Ejemplo: Encuentre el conjunto solución de 8 – 3x ≤ 2x – 7 < x – 13 Solución. Resolvemos estas dos desigualdades por separado
8 -3x ≤ 2x – 7 ^ 2x – 7 < x – 13 -3x – 2x ≤ -7 -8 ^ 2x – x < - 13 + 7 -5x < - 15 ^ x < - 6 X > 3 ^ x < -6
Nota: hacer la gráfica y el conjunto solución Inecuaciones con valor absoluto
Teorema: Si a es un número real positivo, entonces: |x|<a si y solo si - a < x < a
|x|> a si y solo si x> a o x < -a Ejemplo: Resuelva |2x – 3| + 5 0
Solución: la desigualdad puede reescribirse como |2x – 3|≤ - 5. Pero como |2x – 3| nunca puede ser negativo, de modo que no hay valores de x para los cuales la desigualdad se cumpla. En consecuencia, no existe solución.
Ejemplo: Resuelva | | < Solución. -
Nota: hacer la grafica y el conjunto solución. Ejemplo: Resuelva |2 – 3x|> 7
29 Solución. Utilizando la proposición 2 del teorema, la desigualdad dada implica que
2 – 3x > 7 o bien 2 – 3x < - 7 -3x > 7 – 2 o -3x < -7 – 2 X < - o x > 3
Nota: hacer la gráfica y el conjunto solución. Inecuaciones cuadráticas y racionales
Resolución de inecuaciones utilizando el Metodo de la raíz.
Pasos metodológicos para resolver una inecuación utilizando el Metodo de la raíz.
Hacemos la desigualdad mayor que cero o menor que cero según el caso, trasladando los términos que haya en el segundo miembro de la desigualdad, con el objetivo de lograr ese propósito.
1. Escribimos la expresión como el producto de dos factores. 2. Buscamos los números que hacen cero a cada factor.
3. Ubicamos en la recta real éstos números o raíces, de forma ascendente originando tantos intervalos como raíces haya.
4. Colocamos el signo para cada intervalo, comenzando por la derecha con el signo positivo (+) y alternando los signos.
5. Si el producto de los factores es positivo o sea mayor que cero,(0) tome entonces todos los intervalos donde haya signo + y esa será solución de la desigualdad.
6. Si el producto de los factores es negativo o sea menor que cero,(< 0) tome entonces todo los intervalos donde haya signo –, y esa será la solución de la desigualdad.
Ejemplo 1:
Vamos ahora a resolver la desigualdad cuadrática que también se puede solucionar por otros procedimientos pero que resultan tediosos y cansados, ahora lo vamos hacer utilizando el Método de Raíz.
0 8 10
3 x2 x ,
Solución: Primero descompongamos en factores la expresión dada:
0 ) 2 3 ( ) 4 ( 0 ) 4 ( 2 ) 4 ( 3 0 ) 8 2 ( ) 12 3 ( 8 2 12 3 0 8 10 3 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x
Expresemos el trinomio como un producto: (x4) (3x2) 0 Obtengamos las raíces de este trinomio:
3 2 0 2 3 4 0 4 x x x x
30 Ahora debemos ubicar estas raíces en el eje numérico de forma ascendente y colocamos
el signo para cada intervalo, comenzando por la derecha con (+) y alternando los signos.
+ - +
-4 3 2
Como el producto debe ser mayor que cero, la solución son los intervalos con signo (+), o sea que la solución es: (,4] U
, 3 2 .
Forma tradicional de resolver el mismo ejemplo: 0
8 10
3 x2 x
Solución: ya sabemos que al descomponerla en factores estos son: 0 ) 2 3 ( ) 4 (x x Razonamiento:
Para el producto de dos factores sea positivo, entonces o los dos factores son negativos o bien los dos factores son positivos:
Da tal manera que tenemos
) ( ) ( ) ( ) (
I) Primera parte: (Vamos a suponer que los dos factores son positivos)
Vamos a suponer que x40x4 ahora supongamos que 3 2 2 3 0 2 3x x x
De tal manera que ahora tenemos lo siguiente: x4 y también 3 2
x , ahora hay que preguntarse lo siguiente: ¿Cuáles son los números que son mayores que -4 y al mismo tiempo mayores qué
3 2
?
S i graficamos estos números en recta numérica, tenemos que:
-4 0 3 2
31 Evidentemente los dos números que cumplen esa condición son: los números que van
desde 3 2
hasta infinito, de tal manera que la primer solución es
, 3 2 1 S
II) Segunda parte: (Vamos a suponer que los dos factores son negativos)
4 0 4 x x 3 2 2 3 0 2 3x x x
De tal manera que ahora tenemos lo siguiente: x4 y también 3 2
x , ahora hay que preguntarse lo siguiente: ¿Cuáles son los números que son menores que -4 y al mismo tiempo menores que
3 2
?
S i graficamos estos números en recta numérica, tenemos que:
-4 0 3 2
Evidentemente los dos números que cumplen esa condición son: los números que van desde menos infinito hasta -4, de tal manera que la segunda solución es S2
,4
Para obtener la solución general debemos unir las soluciones particulares:
, 3 2 4 , gS como se puede notar, esta respuesta coincide con la solución obtenida para el mismo ejercicio pero utilizando el método de la raíz, el método tradicional es muy largo y tedioso.
Ejemplo 2: Resolver la siguiente inecuación 2 1 x
x
Solución: Utilizando el método de las raíces, tenemos que: 2 0 1
x x
por lo que tenemos que: 0
1 2 2 x x x , por tanto: 0 1 2 x x
ahora multiplicaremos por (-1) ambos miembros de la desigualdad, teniendo como resultado: 0
1 2 x x Raíces: 2 Punto crítico: 1 + - + 1 2
Debido a que el producto de los factores es menor que cero, entonces la solución está entre los intervalos siguientes: (1,2)o sean los valores de 1x2
32 Ejemplo 3: Resolver la inecuación por el método de la raíz
2 1 1 x x x x Solución: 0 2 1 1 x x x x
, lo que es lo mismo que: 0
2 ) 1 )( 1 ( 1 ) 2 ( x x x x x x ; tenemos que: 0 ) 2 )( 1 ( 1 2 ) 2 )( 1 ( 1 2 ) 2 )( 1 ( ) 1 ( 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x , Raíces: 2 1 y puntos críticos: -1 y -2
Observando que el producto de los factores es mayor que cero, y trazando la gráfica correspondiente tenemos que:
- + - + -2 -1
2 1
Por tanto la solución de la desigualdad está en los intervalos: , ) 2 1 ( ) 1 , 2 (
Ejemplo 4: Resolver la desigualdad: 4 3 x x Solución: 0 3 12 3 0 3 12 3 0 3 12 4 0 4 3 4 3 x x x x x x x x x x x Punto crítico: x30x3 Raíz: 4 3 12 12 3 0 12 3x x x
Grafiquemos ahora estos puntos en la recta numérica: + - + 3 4
Como la expresión resultante es mayor que cero, entonces la solución serán los intervalos donde haya signo +
,3
4,
Ejemplo 5: Resolver la inecuación: 4x2 9x9
Solución: Debemos primero descomponer en factores la expresión dada:
0 9 9 4 9 9 4x2 x x2 x 0 ) 3 ( ) 3 4 ( 0 ) 3 ( 3 ) 3 ( 4 0 ) 9 3 ( ) 12 4 ( 0 9 3 12 4 0 9 9 4 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x
Encontremos ahora los puntos críticos:
4 3 3 4 0 3 4x x x ^ 3 0 3 x x
Grafiquemos ahora estos puntos en la recta numérica: + - +
33 -3
4 3
Como la expresión es menor que cero la respuesta estará entonces donde se encuentre los intervalos negativos o sea:
4 3 , 3
Ejemplo 6: Resolver la inecuación siguiente:
1 3 2 1 1 x x Solución: 0 ) 1 ( ) 1 3 ( 3 0 ) 1 ( ) 1 3 ( 2 2 1 3 0 1 3 2 1 1 1 3 2 1 1 x x x x x x x x x x x Punto crítico: 3 1 1 3 0 1 3x x x ^ x10x1
Raíz:x30x3. De tal manera que los puntos críticos son: 1 3
1 Grafiquemos en la recta real:
- + - + -1
3 1
3
De tal manera que la solución estará donde están los signos negativos debido a que la expresión es menor que cero, por tanto la solución será:
,3 3 1 1 ,
APLICACIONES DE LAS INECUACIONES A LA SOLUCION DE PROBLEMAS.
EJEMPLO 1: Una empresa cuyo negocio es alquilar carros cobra 125 córdobas por día más una renta adicional de 75 centavos por los primeros 100 kilómetros, 50 centavos por cada kilómetro después de los primeros 100. Un promotor de ventas programa 400 córdobas para transportae. ¿Cuál es el mayor kilometraje que con un carro de esta empresa puede hacer sabiendo que su trabajo requiere tener bajo su responsabilidad el carro por dos días?
Solución: Sea x el kilometraje que puede hacer; entonces
Por los dias paga 250 cordobasbasicos; Por los primeros 100 Km paga 0.75(100)= 75 córdobas; Por los ( x – 100)Km paga 0.5(x - 100) córdobas; todo menor o igual que 400. Estas condiciones conducen a la siguiente inecuación:
34 325 + 0.5x – 50 ≤ 400 entonces 0.5x ≤ 125 el resultado es
x o sea x ≤ 250
El máximo kilometraje que puede hacer con 400 córdobas es de 250 kilómetros. Ejemplo 2: Cuando una lupa se separa x decímetros de un objeto, el aumento A que produce está dada por A = . Encuentre la menor y la mayor distancia a la que debe colocarse una lupa para que la imagen que se obtenga sea invertida y menor que la mitad del tamaño del objeto.
Solución: a) el aumento está dado por A =
b) Un aumento menor que la mitad del temaño del objeto, en matemática se escribe asi: A < y si la imagen la queremos invertida escribimos A < .
De a y b concluimos que la resolución de la inecuación nos da la solución del problema.
entonces , los números que hacen cero al numerador y al denominador son x = 18 y x =6. Usando el método de la raiz la solución es (6, 18) por lo tanto, para una distancia mayor que 6 y menor que 18 el aumento sera menor que la mitad del tamaño del objeto con imagen invertida.
Ejemplo 3: Cuando se inyectan X miligramos de un antibiótico, la presión del paciente está dada por P = . La presión normal de un ser humano está entre 90 y 120; si la dolencia requiere más de 10 miligramos de antibiótico por dosis; indicar las posibles dosis para que el medicamento no afecte la presión del paciente.
Solución: 90 < P < 120
90 < <120 además x > 10 ( la dosis debe ser mayor que 10 mg) Resolviendo estas dos desigualdades por separado se obtiene:
i) > 90 ^ ii) < 120 < 0 ^ > 0 div. Entre 6 < 0 ^ > 0
Nota: Terminar el ejercicio y hacer la representación gráfica.
La solución del problema es la intersección de i y ii con x > 10. De acuerdo con eso la dosis de antibiótico deben ser mayores que 12.2 miligramos pero menores que 13.6 miligramos. Ejercicios
Encuentre el conjunto solución de las siguientes desigualdades y represéntelas gráficamente.
1. 2.
35 3. 4. 3x - 5. 6. -2 7. |3x +7|<4 8. |3 – 4x|< 9. 10. 2<|x -3|<3
Resuelva los siguientes problemas
1. Una empresa ha invertido C$ 25, 000 cordobas para instalar una fábrica de jabon. Si el costo por unidad producida es de C$ 3 cordobas y el precio de ventas es de C$9 cordobas. ¿ Cuántas unidades deberá vender para obtener utilidades?.
Rta. 4167
2. Para instalar una fábrica de hamacas se incurre en gastos generales por un monto de C$ 10,000 cordobas. Si se pagan por cada hamaca elaborada C$ 40 cordobas en mano de obra y C$ 50 cordobas en materiales. ¿Cuántas hamacasdeberán venderse para empezar a obtener utilidad, si cada hamaca tiene un precio de venta de C$ 125 cordobas? Rta. 286
3. Un hombre recibe una herencia de C$ 40,000 cordobas y piensa ahorrar una parte de ello a plazo fijo, ganando el 15% de interes anual y otra parte prestarla con garantia hipotecaria, ganando el 7% de interes anual. ¿Qué cantidad minima debera ahorrar a plazo fijo si desea obtener como minimo C$360 cordobas mensuales en concepto de interes?. Rta. 19,000
4. Un vendedor de repuesto ganaba, el año pasado, un salario fijo mensual de C$ 1000, más un porcentaje de 1% sobre ventas. Sin embargo, este año ha decidido renunciar a este contrato de trabajo y pedir a su jefe como salario unicamente el 3% sobre las ventas. ¿Cuál es el volumen minimo de ventas mensuales de este empleado?. Rta. 50,000
5. Un granjero desea delimitar un terreno rectangular, y tiene 200 yardas de cerca disponible. Encuentre las dimensiones del terreno si su areá debe ser de al menos 2100 yardas cuadradas. Rta. 30 ≤ x ≤ 70
36 FUNCIONES
TEMA: Introducción a las Funciones. Clase teórica práctica 2h. I.- Competencias a desarrollar:
Interpreta el concepto de función. Ilustra como se denotan las funciones.
Identifica el dominio y recorrido de una función.
Establece la relación de la Variable Independiente y Variable Dependiente en una función, mediante tabla de valores y gráfica.
Identifica funciones Pares e Impares reconociendo su importancia.
Fomenta la solidaridad, honestidad, orden y limpieza al resolver ejercicios. II.- Contenidos:
Introducción.
Concepto. Notación. Dominio y Rango. Gráfica de una función. Función par e impar. Ejercicios.
Desarrollo de la actividad.
Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda.
DEFINICION: Sean X y Y dos conjuntos no vacíos. Una función de X en Y es una regla que asigna a cada elemento xX una única yY. Si una función asigna y a un xX
particular, decimos que y es el valor de la función en x.
Definición de función real de una variable real: Es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales otro número real.
NOTACION.-
Hace mucho tiempo, se utiliza una sola letra como f, g o h para designar a la función, en algunos textos se usan estas mismas letras en mayúsculas.Entonces f(x) “que se lee f de x”, o “f en x” denota el valor que f le asigna a x.
Dominio de una función al conjunto de valores de la variable independiente para los cuales la función existe, y Recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y, y se designa por Ry. Una función f definida en Dx y con valores en el conjunto de los números reales R se indica así: xf(x) ó y f(x).
37 Ejemplo: 1
En el diagrama siguiente, decir cuándo se define o no una función de A = a, b, c en B = x, y, x
a x a x a x
b y b y b y
c z c z c z
No al elemento b Є A No, al elemento C Є A le
le corresponde nada. le corresponde dos elementos x, z.
Ejemplo: 2.
Sea el conjunto A = 1, 2, 3, 4 Entre los siguientes conjuntos de pares ordenados decir cuáles son o no funciones de A en A.
1) f = (2,3) , (1, 4) , (2, 1) , (2, 1) , (3, 2) , (4, 4) R. No. 2) g = (3,1) , (4, 2) , (1, 1) R = No
3) h = (1, 1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) R = ?
Ejemplo: 3. Determinar si las gráficas dadas son o no la gráfica de una función. 1. 2.
No Si
38 No No Ejemplo: 4 Sea f(x) = x2 f (-x) = (- x)2 = x2 , es par. x .... -1 0 1 ... F(x) 1 0 1
Una función y f(x) es simétrica respecto del eje de ordenadas, o eje de las y, si para cualquier valor de x de su dominio se cumple que f(x) f(x)
Estas funciones son conocidas como funciones pares. Ejemplo 5.
Sea f(x) = x3
f(– x ) = ( – x)3 = - x3 , f es impar
X -2 -1 0 1 2
y = f(x) -8 -1 0 1 8
Una función y f(x) es simétrica respecto al origen de coordenadas si para cualquier valor de x de su dominio se cumple que f(x)f(x)
Estas funciones son conocidas como funciones impares. Ejemplo 6: Consideremos la gráfica de
x
y
1
Al observar la gráfica de la función se tiene, -- considerando los puntos del eje de las abscisas x y –x, la siguiente relación entre sus correspondientes valores:
) ( )
( x f x f
Este hecho indica que el punto P(x, y) pertenece a la gráfica de la función
x
y
1
, lo mismo sucederá por ser simétrica respecto al origen P´(-x, -y).f(x) = x2
39 Ejemplo7: Demostrar si 4 3 2 ) (x x4 x2 f es
una función par. Solución:
Aplicando la
definición, sabemos que f es par si y sólo si f(x) f(x),
si x es cualquier número real, entonces 4 ) ( 3 ) ( 2 ) (x x 4 x2 f ) ( 4 3 2 ) ( x x4 x2 f x f Como f(x) f(x), f es par. I. Evalué la expresión dada.
1.- Si f(x)x24 halle: a) f(2) b)f(1/2) c) f(x1) d)f(1/x) 2.- Si 4 1 ) ( x x g halle: a) g( - 2) b) g( 4) c) g( 4.001 ) d) g( 2 + h) 3.- Si f(x)34x Determine: a.- f(a) f(h), b.- f( 2). c.- ( ) ( ) sih0 h a f h a f
II.- Hallar el dominio y rango de las siguientes funciones. a) y x21 b) 5 1 ) ( x x f c) g(x) 1x2 d) y3x26x1 e) 1 2 1 ) ( x x h f) 1 1 x y g) 2 1 1 ) ( x x h
III. Determine si la función dada es par o impar o ninguna da la dos: a) f(x)2x43x21 b) 1 1 ) ( z z z g c) h(x)3x d) f(t)2t53t32t e) 1 2 ) ( x x x h f) y
t12 f(-x) P(x, y) f(x) P´(-x, -y) x -x40 Tema: Funciones Polinomiales
I.- Competencias a desarrollar:
Clasifica las funciones polinomiales en base a su ecuación.
Identifica dominio, recorrido y propiedades más importante en las graficas de funciones polinomiales.
Construye graficas de funciones de grado cero, primer y segundo grado. Valora la importancia de las funciones polinomiales.
Muestra actitud positiva en el desarrollo de la actividad, así como orden, limpieza en la realización de las tareas asignadas.
Desarrollo de la actividad.
Tipos de funciones polinomiales:
Función de grado cero, f(x) = ao, función constante. Función de grado 1, f(x) = a1 x + ao, función lineal.
Función de grado 2, f(x) = a2 x2 + a1 x + ao, donde a2 0
Función de grado 3, f(x) = ao x3 + a2 x2 + a1 x + ao, donde ao 0, función cúbica.
FUNCIÓN DEFINICIÓN DOMINIO RECORRIDO GRÁFICA.
Función constante
f(x) = c c є R
R C
Recta horizontal que corta al Eje “y” en C. y x Función Lineal f(x) = ax + b R C
Recta con pendiente “a” e intercepto “b” en y y
x
Si b 0
Corta ambos eje coordenados
41 Función cuadrática f(x) = ax2+bx+ c a, b, c є R a 0 R Si a > 0 , 2a b Si a < 0 a b 2 , si a > 0
Parábola que se abre hacia abajo Si a < 0 Función Cúbica. f(x) = ax3 + bx + cx + d a, b, c, d є R a 0 R R
Su gráfica no tiene una forma general única.
Definición.- f es una función lineal si f(x)mxb, donde m y b son números reales y
0
m , siendo m el valor de la pendiente de la recta, y b es el intercepto con el eje Y. Si b = 0 y m = 1, la ecuación funcional se transforma en f(x) = x, que se conoce como función identidad, la cual formalizamos en la siguiente definición.
Definición.
La función lineal f cuya ecuación funcional es f (x) = x, se llama función identidad. El gráfico de la función identidad es una recta que pasa por el origen y biseca al I y III cuadrante, a dicha recta también se le conoce como primera bisectriz.
x
42 Definición: Función constante.
Una función es constate si se mantiene invariable; es decir es un conjunto de pares ordenados en la cual el valor de la variable Dependiente es el mismo sea cual sea el valor de la variable Independiente.
Matemáticamente una función es constante si: f(x)b. Su grafica es una línea recta paralela al eje de las abscisas, X, y.
Definición.-
La forma general de una función cuadrática es f(x) = a x2 + b x + c, donde a, b, y c son números reales, y a es diferente de cero. El dominio es todo el conjunto de los números Reales por ser esta una función polinomial. Las principales características de la gráfica son:
a) Si a 0, la parábola es cóncava hacia arriba, existe un valor x en donde la función alcanza su mínimo valor, este punto es el vértice de la parábola.
b) Si a 0, la parábola es cóncava hacia abajo, entonces existe un punto donde se alcanza el valor máximo que se llama vértice de la parábola.
Este punto es muy importante en la construcción grafica pues por su abcisa pasa el eje de simetría de la parábola.
Si f(x) = a x2 + b x + c, es la formula de una función cuadrática, entonces la abscisa del vértice (el primer valor del par ordenado) es: x = -b / 2a
La ordenada del vértice (el segundo valor del par ordenado) se obtiene sustituyendo el valor de la abscisa en la ecuación que define la función.
c) Intersección con los ejes: Una parábola siempre interseca al eje Y, pero no siempre interseca al eje X.
La intersección de la grafica de una función con los ejes coordenados se determina. Intersección con el eje X:
Llamado también ceros de la función o raíces,
La parábola corta al eje X en donde los valores de la función son iguales a cero, esto es f(x) = 0, dicho de otra forma la intersección se produce cuando a x2 + b x + c = 0. Hay que recordar que esta es una ecuación de segundo grado, y puede ocurrir que esta tenga dos soluciones, una solución, o bien no tener solución, esto determinara si la parábola interseca dos veces, una vez o no corta al eje X.
