Clase 2.2B Pág. 1 de 10

2.2.5. Derivación de la ecuación general del flujo.

A estas alturas ya disponemos de las herramientas para deducir la expresión cuantitativa que nos permite relacionar y cuantificar los flujos de aguas subterráneas con la piezometría y las características del terreno, una vez hemos visto que esta piezometría (o más exactamente los gradientes piezométricos) son los motores de los movimientos del agua en el terreno.

Esta ecuación que vamos a derivar es por tanto, la clave de la ciencia de la hidrología subterránea. A partir de ella, seremos capaces de ir particularizando cada situación sin más que aplicar estas particularidades a cada caso concreto. Por tanto, es la ecuación fundamental en lo que se refiere al flujo de agua subterránea.

Esta ecuación se deriva de un simple balance de masas y de la Ley de Darcy. Un balance de masas consiste en plantear una ecuación tan sencilla como la siguiente:

Entradas – Salidas = Variación de almacenamiento

Esta ecuación se podría aplicar a un volumen de control constante arbitrario; pero ello nos obligaría a utilizar teoremas de cálculo que requieren un cierto nivel matemático. Por eso vamos a definir un volumen de control sencillo que nos permita derivar la ecuación con igual rigor matemático, aunque tal vez con menor elegancia.

En nuestro caso consideraremos un volumen de control definido en un sistema de coordenadas rectangulares de ejes X, Y y Z, como un paralelepípedo de lados de dimensiones ∆x, ∆y y ∆z, como se puede observar en la Figura 2.2.4.

Figura 2.2.4. Definición del volumen de control al que se le aplicará el balance de masas.

Sobre el volumen de control que acabamos de definir, aplicaremos el balance de masas, es decir, determinaremos qué cantidad de masa de fluido entra, qué cantidad sale, y cómo varía la cantidad almacenada.

Entradas y salidas.

Dado que este volumen es un paralelepípedo es decir, con seis caras, tenemos que estudiar el flujo de masa a través de las seis caras, que tomaremos de dos en dos según la dirección de los ejes.

Consideraremos para empezar, el eje X y las dos caras que le son perpendiculares. Veamos los diferentes términos que describen dichos flujos por ambas caras:

- La masa de fluido que entra por la cara 1 sería el caudal específico por la densidad por el área de paso, es decir:

x x

q y z ρ ∆ ∆

donde q_{x x} se refiere al caudal o flujo específico en la dirección X en el punto de coordenada x.

- La masa de fluido que saldría por la cara 2, opuesta a la cara 1, sería:

x x x

q _+∆ y z

ρ ∆ ∆

donde indicamos por q_{x x+∆x} el hecho que no es el mismo flujo específico de antes, en x, sino en la nueva posición de la cara 2 que es x + ∆x.

Flujo de agua en la dirección X X Y Z ∆x ∆z ∆y 1 2

Desarrollando esta última expresión mediante el teorema de Taylor(7), y despreciando los términos para n>1, escribimos el término que representa la masa que sale por la cara 2 en función de la que entra por la cara 1:

( )

x x x x x x q y z q y z x q y z x +∆ ∂ ρ ∆ ∆ = ρ ∆ ∆ + ∆ ρ ∆ ∆ ∂

Al efectuar el balance de masas entre las caras 1 y 2 obtenemos que lo que entra menos lo que sale nos queda como:

( )

x x x x x x q y z q y z q x y z x +∆ ∂ ρ ∆ ∆ − ρ ∆ ∆ = − ρ ∆ ∆ ∆ ∂

Si operamos análogamente según los ejes Y y Z, tenemos que las entradas menos las salidas para las seis caras del volumen de control quedarán como:

( )

qx

( )

qy

( )

qz x y z x y z ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ −_⎜ ρ + ρ + ρ _⎟∆ ∆ ∆ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠

Variación del almacenamiento.

Veremos a continuación qué sucede con el otro término del balance, es decir, con la variación del almacenamiento. Para ello debemos efectuar una serie de consideraciones previas que nos permitirán llegar a la fórmula que describe la variación de almacenamiento. Empecemos por establecer algunas magnitudes:

• La masa de agua en el volumen de control está representada por el producto del volumen por la densidad, pero a su vez el volumen de agua no es más que el volumen total multiplicado por la porosidad, es decir:

M=m · ρ ∆ ∆ ∆ · x y z

• El volumen de material sólido dentro de nuestro volumen de control viene dado en cambio, por el siguiente producto:

(

1 m−

)

∆ ∆ ∆x y z

Es importante destacar esta expresión porque utilizaremos la baja compresibilidad de la roca para relacionar las variaciones de porosidad con las otras variables. Para ello establecemos que este volumen de roca es

constante, o lo que es lo mismo dicho matemáticamente, que tiene derivada nula respecto al tiempo o cualquier otra magnitud (presión, etc.).

• La variación temporal de la masa M respecto al tiempo viene cuantificada por la derivada respecto al tiempo de M:

(

)

M m x y z t t ∂ ₌ ∂ _{ρ∆ ∆ ∆} ∂ ∂

Ahora cabe preguntarse qué parámetros pueden provocar variaciones de la masa contenida en el volumen de control. El motivo principal que provoca cambios en la masa contenida en el volumen de control es la variación de la presión en la vertical. En efecto, los cambios de presión inducen variaciones de la densidad del agua, y también variaciones de la porosidad del terreno. Estas dos consecuencias, resultado de la misma acción de la presión, pueden cuantificarse mediante dos parámetros: la compresibilidad del agua y la compresibilidad del terreno. Sus expresiones son, respectivamente:

- Compresibilidad del agua:

1 d dP

ρ β =

ρ

(es por tanto el inverso del módulo de elasticidad definido anteriormente)

- Compresibilidad del terreno:

( )

d z 1 z dP ∆ α = ∆

expresiones que, aunque puedan parecer complicadas, son las típicas de cualquier coeficiente de variabilidad: p.ej. un coeficiente de dilatación que se define como variación de longitud de una barra POR UNIDAD DE LONGITUD (de aquí el 1/L) y POR UNIDAD DE TEMPERATURA de variación (el dL/dT). Veamos ahora como con estos parámetros varía la porosidad del terreno con la presión. Si, como hemos dicho, consideramos despreciable la compresibilidad del terreno, su volumen permanece constante, lo que es lo mismo que decir que:

(

)

solido

Si desarrollamos este diferencial utilizando la fórmula del diferencial del producto, obtenemos cuatro términos (es el producto de cuatro términos), de las cuales solo quedan estos dos:

dm x y z (1 m) x y d ( z) 0

− ∆ ∆ ∆ + − ∆ ∆ ∆ =

puesto que ∆x y ∆y son constantes(8)

. Si operamos y simplificamos, tenemos que:

(

) ( )

(

) ( )

z dm 1 m d z 1 m d z dm z ∆ ⋅ = − ⋅ ∆ − ⋅ ∆ ⇒ = ∆

expresión que relaciona la variación de la porosidad con las variaciones de dimensión vertical ∆z.

Pasemos seguidamente a estudiar cómo varía la densidad del agua al variar la presión. Ya sabemos que el valor de la presión en cualquier punto se halla mediante la fórmula: P=P0 + ρgh

Siendo h la profundidad del punto considerado respecto al nivel de referencia donde la presión es P0.

Luego: dP=ρg dh

Si ahora sustituimos dP por su valor derivado de la expresión de la compresibilidad del agua y reemplazamos los términos, tenemos que las variaciones de densidad se relacionan con las variaciones de h según:

(

)

dρ = ρβ ρg dh

Operando del mismo modo con la expresión de la compresibilidad del terreno obtenemos la relación entre las variaciones de ∆z y las de h:

( )

∆ = α∆ ρ

(

)

d z z g dh

Y por último, utilizando esta expresión en la relación entre la variación de la porosidad respecto a ∆z tenemos finalmente como varía la porosidad con h:

(

−

_{) ( ) ( )}

⋅ ∆ = = − αρ ∆ 1 m d z dm 1 m g dh z

Estas tres expresiones [1], [2] y [3] relacionan pues las variaciones de presión, de densidad, y de porosidad con las variaciones de potencial piezométrico h.

[1]

[2]

Con ello hemos conseguido nuestro objetivo que es relacionar todos los parámetros que afectan el almacenamiento con la piezometría, que a su vez ya sabemos que es el motor del movimiento que nos hace fluir el agua a través del volumen de control. Estamos pues en condiciones de empezar a relacionar ambos conceptos: flujos y almacenamientos.

• Una vez establecidos estos términos, volvamos a la expresión de la variación temporal de la masa de agua contenida en el volumen de control, que desarrollaremos con la derivada del producto, y en la que sustituiremos las expresiones que hemos obtenido anteriormente, [1], [2] y [3]:

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

⎛ ∂ ∆ ⎞ ∂ ₌ ∂ _{ρ∆ ∆ ∆ = ρ + ρ∆} ∂ _{+ ∆} ∂ρ _{∆ ∆ =} ⎜ ⎟ ∂ ∂ _⎝ ∂ ∂ ∂ _⎠ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ = ρ α∆ ρ_⎜ + ρ∆ − αρ + ∆ ρβρ _⎟∆ ∆ = ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ⎛ ⎞ = ρ α∆ ρ + ρ∆_⎜ − αρ + ∆ ρβρ _⎟∆ ∆ = ∂ ⎝ ⎠ ∂ ⎛ ⎞ =_⎜ αρ + − αρ + βρ ∆ ρ _⎟∆ ∆ = ∂ ⎝ ⎠ ∂ = αρ + αρ − αρ + βρ ∆ ρ z M m m x y z m z m z x y t t t t t h h h m z g z 1 m g m z g x y t t t h m z g z 1 m g m z g x y t h m g 1 m g m g z x y t h m g g m g m g z ⎛ _{⎞ ∆ ∆} ⎜ _∂ ⎟ ⎝ t⎠ x y

Así pues, la ecuación que expresa la variación de almacenamiento es:

(

)

M h g m g x y z t t ∂ _{= αρ + βρ ρ∆ ∆ ∆} ∂ ∂ ∂

• Luego, juntándolo todo, la expresión del balance general es de la siguiente forma:

(

)

y x q z q q h x y z g m g x y z x y z t ∂ ⎛∂ ∂ ⎞ ∂ −_⎜ + + _⎟ρ∆ ∆ ∆ = αρ + βρ ρ∆ ∆ ∆ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠

y simplificando tendremos que:

(

)

y x q z q q h g m g x y z t ∂ ⎛∂ ∂ ⎞ ∂ −_⎜ + + _⎟= αρ + βρ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠

si ahora utilizamos la Ley de Darcy que nos define el flujo específico q según las tres direcciones del espacio X, Y y Z, es decir:

y lo sustituimos en la expresión anterior:

(

)

x y z h h h h k k k g m x x y y z z t ⎛ ⎞ ∂ ⎛ ∂ ⎞₊ ∂ ∂ ₊ ∂ ⎛ ∂ ⎞_{= ρ α + β} ∂ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ _⎝ ∂ _⎠ ∂ _⎝ ∂ _⎠ ∂ _⎝ ∂ _⎠ ∂

Para resolver esta ecuación diferencial en una situación real, debemos disponer además de dos elementos adicionales:

- Las condiciones de contorno en el instante t = 0, es decir, las condiciones iniciales en que: h (x,y,z,t) = h0 (x,y,z,0) para todo x,y,z

- Las condiciones de contorno en la frontera del espacio donde se aplica la ecuación (p.ej. un límite impermeable, un contacto con el mar o un lago, etc.)

Observemos que dicha ecuación es de segundo orden (derivadas segundas) para el espacio y de primer orden (primera derivada) para el tiempo. Evidentemente, el potencial hidráulico depende de la posición y el tiempo, es decir, h=h(x,y,z,t), y los restantes parámetros dependen de las posiciones: ki=ki(x,y,z) y Ss=Ss(x,y,z).

Así pues, finalmente, hemos obtenido una ecuación que describe el flujo de agua subterránea. Si conseguimos una ecuación similar en cuanto a concentraciones de solutos (elementos disueltos), es decir, la ecuación general del transporte, ambas englobarían toda la teoría del curso de hidrología subterránea. Ss = Coeficiente de almacenamiento específico x x y y z z h h h q k ; q k ; q k ; x y z ∂ ∂ ∂ = − = − = − ∂ ∂ ∂ ECUACIÓN GENERAL DEL FLUJO DE AGUA SUBTERRÁNEA x y z s h h h h k k k S x x y y z z t ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ _{⎜ ⎟} ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ₊ ∂ ∂ ₊ ∂ ∂ ₌ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

El problema se presenta a la hora de resolver casos reales. Esta ecuación es demasiado complicada para tener solución directa en situaciones reales. Además, su resolución implica un conocimiento perfecto de la distribución de conductividades hidráulicas en todos los puntos, así como del coeficiente de almacenamiento; situación que en un acuífero no se da nunca porque se obtienen únicamente valores puntuales y no de la distribución en todo el espacio, tanto para las conductividades hidráulicas como para los coeficientes de almacenamiento específicos.

En la ecuación general del flujo de agua subterránea destaca un término por su importancia, dado que es un parámetro hidráulico de gran relevancia en esta materia; se trata del coeficiente de almacenamiento específico. Ya hemos visto de donde sale (es consecuencia de la compresibilidad del agua y de la compresibilidad vertical del terreno), y cual es su expresión matemática. Veamos ahora también como se define conceptualmente.

DEFINICIÓN: El coeficiente de almacenamiento específico SS, es la cantidad

de agua cedida o absorbida por unidad de volumen de acuífero al variar el nivel piezométrico en un metro. Esta capacidad del terreno para absorber o ceder agua es función de la compresibilidad del agua β, y de la compresibilidad del terreno α. De manera que este coeficiente no puede ser nuca 0, ya que aunque la roca no sea compresible, la compresibilidad del agua nunca será nula.

Conviene advertir que se prefiere utilizar otro parámetro que sea por unidad de área, ya que como veremos más adelante este coeficiente de almacenamiento específico no es el parámetro más usado para caracterizar el almacenamiento de agua en el terreno. Pero ya llegaremos a ello.

Analicemos algunos casos particulares. a) Estado estacionario

En este caso, las derivadas respecto al tiempo son cero ya que los niveles no varían en el tiempo. Estamos en un régimen estacionario, y por tanto

0 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ z h k z y h k y x h k x x y z

b) Flujo horizontal

Si el flujo es horizontal, no depende de la coordenada z, y por tanto, la ecuación general se reduce a:

t h S y h k y x h k x x y s ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂

Si además la conductividad hidráulica horizontal es isótropa ( kx = ky = k ):

t h S y h k y x h k x s ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂

Si el espesor b del acuífero es prácticamente constante, y la conductividad

hidráulica varía lentamente en el espacio: _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ≈ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 x h k x h k x

podríamos escribir que:

t h S y h T x h T ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 donde T=K*b y S=Ss*b

Ahora, el significado de S es distinto, ya que pasa a ser:

DEFINICIÓN: El coeficiente de almacenamiento S, es la cantidad de agua cedida o absorbida por unidad de área de acuífero al variar el nivel piezométrico en un metro.

t h T S y h x h ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 o simplificadamente: t h T S h ∂ ∂ = ∇2

donde ∇ es una forma compacta de escribir el operador 2 (9) : 2 2 2 2 2 y x ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇

Si además estamos en situación estacionaria, llegamos a

0

2 =

∇ h ECUACIÓN DE LAPLACE

Veremos más adelante aplicaciones concretas de todas estas parafernalias matemáticas.