Problemas de programación lineal
Problemas de programación lineal
Problemas de formulación de modelos
Problemas de formulación de modelos
1.
1. Enigma S.A. Enigma S.A. fabrica y vende dos productos. Dicha compañía obtiene una ganancia de S/. 12 por cada fabrica y vende dos productos. Dicha compañía obtiene una ganancia de S/. 12 por cada unidad que vende del producto 1 y de S/. 4 por cada unidad del producto 2. os requerimientos en unidad que vende del producto 1 y de S/. 4 por cada unidad del producto 2. os requerimientos en t!rminos de horas de traba"o para la fabricaci#n de estos productos en los tres departamentos de t!rminos de horas de traba"o para la fabricaci#n de estos productos en los tres departamentos de producci#n se muestran de mane
producci#n se muestran de manera resumida en la siguiente tabla$ra resumida en la siguiente tabla$
D
Deeppaarrttaammeennttoo PPrroodduucctto o 11 PPrroodduucctto o 22
A A 11 22 B B 11 33 C C 22 33
os supervisores de estos departamentos han estimado que tendr%n las siguientes os supervisores de estos departamentos han estimado que tendr%n las siguientes disponibilidades de horas de traba"o durante el pr#&imo mes$ '(( horas en el disponibilidades de horas de traba"o durante el pr#&imo mes$ '(( horas en el de
depapartrtamamenento to ))* * +(+(( ( hohoraras s en en el el dedepapartrtamamenento to , , y y 2 2 ((((( ( hohoraras s en en elel de
deparpartamtamentento o -. -. ))demdem%s* %s* lalas s concondicdicioiones nes parparticticulaulares res del del memercarcado do de de loslos productos indican
productos indican que todo los productoque todo los productos que se fabrique ser%n s que se fabrique ser%n vendidos.vendidos.
Si la compañía est% interesada en ma&imiar las ganancias y suponiendo que Si la compañía est% interesada en ma&imiar las ganancias y suponiendo que todo lo producido se vender%* desarrolle el modelo de programaci#n lineal todo lo producido se vender%* desarrolle el modelo de programaci#n lineal correspondiente.
correspondiente.
2.
2. a firma Análisis Financiero S.A.a firma Análisis Financiero S.A. es una empresa de inversiones que mane"a las carteras de acciones es una empresa de inversiones que mane"a las carteras de acciones para diversos clientes.
para diversos clientes. n cliente n cliente nuevo acaba nuevo acaba de solicitarle de solicitarle que mane"e que mane"e una cartera una cartera de S0 de S0 '( (((.'( (((. l cliente desea* como estrategia inicial de inversi#n* restringir la cartera a una combinaci#n de las l cliente desea* como estrategia inicial de inversi#n* restringir la cartera a una combinaci#n de las tres acciones cuyas características principales se muestran en la siguiente tabla$
tres acciones cuyas características principales se muestran en la siguiente tabla$
Acción Acción Precio Precio por acción por acción (US$) (US$) Rendimiento anual Rendimiento anual estimado por acción estimado por acción
(US$) (US$) Inversión Inversión máxima máxima posile posile B Blluueecchhiipp 5500 66 5500000000 B Beesstt 3300 44 4455000000 R Reegguullaarr 3355 55 3300000000
ormule un modelo de programaci#n lineal para el problema de inversi#n si el ormule un modelo de programaci#n lineal para el problema de inversi#n si el cliente desea ma&imiar el rendimiento anual total.
cliente desea ma&imiar el rendimiento anual total.
3.
3. aa Cámara de ComercioCámara de Comercio patrocina peri#dicamente programas educativos. n estos momentos se patrocina peri#dicamente programas educativos. n estos momentos se est%n elaborando los planes promocionales para los programas del presente año. as alternativas de est%n elaborando los planes promocionales para los programas del presente año. as alternativas de publicidad
publicidad incluyen incluyen anuncios anuncios en en televisi#n* televisi#n* radio radio y y peri#dicos. peri#dicos. ) ) continuaci#n continuaci#n se se muestran muestran laslas estimaciones de audiencia* los costos y las limitaciones sobre el
estimaciones de audiencia* los costos y las limitaciones sobre el uso m%&imo de los medios uso m%&imo de los medios son$son$
!edio !edio
T
Teelleevviissiióónn RRaaddiioo PPeerriióóddiiccoo A
Auuddiieenncciia a ppoor r aannuunncciioo 11000 0 000000 11 000000 440 0 000000 C
Coosstto o ppoor r aannuunncciio o !!een n nnuueevvoos s ssoolleess"" 2 2 000000 330000 660000 #
#sso o $$%%&&ii$$o o ddeel l $$eeddiio o !!nn''$$eerroos s dde e aavviissooss"" 1100 2200 1100
3 3
a
ara ra aseasegurgurar ar una una utiutililiaciaci#n #n equequililibribradada a de de lolos s memediodios s pubpubliclicititariarios* os* loloss anuncios por radio no deben rebasar el 5(6 del n7mero total de anuncios que se anuncios por radio no deben rebasar el 5(6 del n7mero total de anuncios que se autorice
autoricen. )dem%n. )dem%s* se s* se requiere que el requiere que el n7mero de avisos n7mero de avisos en televisi#n constituyaen televisi#n constituya cuando menos el 1(6 del n7mero total de anuncios autoriados.
cuando menos el 1(6 del n7mero total de anuncios autoriados. Si el presupuesto disponibl
Si el presupuesto disponible para el año e para el año es de S/. 2( es de S/. 2( (((* presente un modelo de(((* presente un modelo de programaci#n
programaci#n lineal lineal que que ma&imice ma&imice la la audiencia audiencia obtenida obtenida por por los los avisos avisos en en loslos medios.
medios.
4.
4. Cannes S. A. proporciona alo"amiento por una noche para mascotas. na característica particular enCannes S. A. proporciona alo"amiento por una noche para mascotas. na característica particular en Ca
Cannnnes es S. S. A.A. es es la la calcalidaidad d del cuidadel cuidado do que que recrecibeiben n las las masmascotcotas* as* incincluyluyendendo o una e&celuna e&celententee alimentaci#n. a comida para perros de la perrera se elabora meclando dos alimentos de marca para alimentaci#n. a comida para perros de la perrera se elabora meclando dos alimentos de marca para perros
perros a a fin fin de de obtener obtener lo lo que que la la perrera perrera identifica identifica como como una una 8dieta 8dieta para para perros perros balanceada9$ balanceada9$ osos datos para las dos comidas para perros
datos para las dos comidas para perros son las siguientes$son las siguientes$
"
"oommiidda a ppaarra a ppeerrrrooss ""oosstto o ppoor r oonn##aa PPrrootteennaas s ((%%)) &&rraassa a ((%%))
(
(uuaauu 00))0066 3300 1155
*
*nnii++++ 00))0055 2200 3300
l gerente desea asegurarse de que los perros reciben por lo menos 5 onas de l gerente desea asegurarse de que los perros reciben por lo menos 5 onas de proteínas
proteínas y y como como mínimo mínimo 3 3 onas onas de de grasas grasas cada cada día día y y quiere quiere hacerlo hacerlo al al menor menor costo. De acuerdo a lo planteado formule el modelo de programaci#n lineal.
costo. De acuerdo a lo planteado formule el modelo de programaci#n lineal.
5.
5. SpoSport rt S.AS.A.. fabfabrica raquerica raquetas desde tamatas desde tamaño ño nornormal y mal y gragrandende. . as raqueas raquetas de tas de la la empempresresa a sonson e&tremadamente ligeras debido al uso de una
e&tremadamente ligeras debido al uso de una aleaci#n especial de magnesio y grafito.aleaci#n especial de magnesio y grafito.
-ada raqueta de tamaño normal utilia (*125 :g. de aleaci#n especial y-ada raqueta de tamaño normal utilia (*125 :g. de aleaci#n especial y
cada raqueta grande utilia (*4 :g. de aleaci#n especial. cada raqueta grande utilia (*4 :g. de aleaci#n especial.
aara ra el el sigsiguieuiente nte peperioriodo do de de proproducduccici#n #n de de dos dos semsemananas as s#ls#lo o hayhay
disponible '( :g. de aleaci#n especial. disponible '( :g. de aleaci#n especial.
-a-ada da raraququeteta a de de tatamamaño ño nonormrmal al ococupupa a 1( 1( miminunutotos s de de titiemempo po dede
fabricaci#n y cada raqueta tamaño grande utilia 12 minutos. fabricaci#n y cada raqueta tamaño grande utilia 12 minutos.
as contribuciones a la utilidad son de 01( por cada raqueta normal yas contribuciones a la utilidad son de 01( por cada raqueta normal y
015 por cada raqueta grande y est%n disponibles 4( horas de tiempo de 015 por cada raqueta grande y est%n disponibles 4( horas de tiempo de producci#n por se
producci#n por semana.mana.
a a adadmimininiststraracici#n #n ha ha esespepecicifificacado do quque e popor r lo lo memenonos s 2(2(6 6 de de lala
producci#n total deb
producci#n total debe ser de la raqueta de tae ser de la raqueta de tamaño est%ndar.maño est%ndar.
Suponiendo que debido a la naturalea 7nica de los productos* la empresa vender% todas las raquetas que Suponiendo que debido a la naturalea 7nica de los productos* la empresa vender% todas las raquetas que
puede
puede producir* producir* se se pide pide que que desarrolle desarrolle el el modelo modelo de de programaci#n programaci#n lineal lineal que que ma&imice ma&imice lala contribuci#n a la utilidad las dos
contribuci#n a la utilidad las dos siguientes semanas.siguientes semanas. 6.
6. Aerolíneas Aerolíneas S.A.S.A. est% considerando la posibilidad de adquirir aviones comerciales en el mercado est% considerando la posibilidad de adquirir aviones comerciales en el mercado mundial a S)* ;nglaterra o <usia. l costo del avi#n S) es de S0 +*= millones* el avi#n de mundial a S)* ;nglaterra o <usia. l costo del avi#n S) es de S0 +*= millones* el avi#n de ;nglaterra es de S0 5 millones y el avi#n de <usia de S0 3* 5 millones. l directorio de dicha ;nglaterra es de S0 5 millones y el avi#n de <usia de S0 3* 5 millones. l directorio de dicha empresa ha autoriado la compra de aviones por un valor m%&imo de S0 15( millones.
empresa ha autoriado la compra de aviones por un valor m%&imo de S0 15( millones.
o
os s ececononomomisistatas s dede Aerolíneas Aerolíneas S.AS.A. . hahan n cacalclcululadado o quque e el el avavi#i#n n de de SS)) proporcionar%
proporcionar% una una utilidad utilidad neta neta de de S0 S0 42( 42( ((( ((( anuales* anuales* el el avi#n avi#n de de ;nglaterra;nglaterra proporcionar%
proporcionar% una utilidad una utilidad neta de S0 neta de S0 3(( ((( 3(( ((( y el avi#n y el avi#n de <usia unde <usia una utilidada utilidad de S0 23( (((.
de S0 23( (((. o
or r ototro ro lalado do se se cocononoce ce quque e se se didispsponone e s#s#lo lo de de 3( 3( pipilolototos s dedebibidadamementntee entrenados para pilotear dichos aviones.
entrenados para pilotear dichos aviones.
4 4
Si s#lo se adquiriesen los aviones de <usia* que son los m%s pequeños y simples* Si s#lo se adquiriesen los aviones de <usia* que son los m%s pequeños y simples* los servic
los servicios de ios de repareparaciraci#n y #n y mantmantenimenimientiento o con que con que cuencuentata Aerolíneas Aerolíneas S.A.S.A. podrían
podrían atender atender un un m%&imo m%&imo de de 4( 4( unidades. unidades. )dem%s )dem%s se se sabe sabe que que reparar reparar yy mantene
mantener un r un avi#n de ;nglaterra demanda 4/3 veces los avi#n de ;nglaterra demanda 4/3 veces los recursos que requiere unrecursos que requiere un avi#n de <usia y que
avi#n de <usia y que reparar y mantener el avi#n de S) requiere 5/3 veces losreparar y mantener el avi#n de S) requiere 5/3 veces los recursos que requiere el avi#n de <usia. ormule el modelo de programaci#n recursos que requiere el avi#n de <usia. ormule el modelo de programaci#n lineal que ma&imice la utilidad de
lineal que ma&imice la utilidad de Aerolíneas S.A.. Aerolíneas S.A
7.
7. n gran"ero puede criar ove"as* cerdos y vacas. n gran"ero puede criar ove"as* cerdos y vacas. >iene espa>iene espacio para 3( ove"as # 5( cerdos # 2( vacas*cio para 3( ove"as # 5( cerdos # 2( vacas* aunque* siempre que el espacio lo permita* pueden estar en !l combinaciones de estos tres tipos de aunque* siempre que el espacio lo permita* pueden estar en !l combinaciones de estos tres tipos de animales. as utilidades dadas por animal son 5((* 4(( y 1((( soles para ove"as* cerdos y vacas animales. as utilidades dadas por animal son 5((* 4(( y 1((( soles para ove"as* cerdos y vacas respectivamente. l gran"ero desea criar al menos
respectivamente. l gran"ero desea criar al menos tantos cerdos como ove"as y vacas "untas.tantos cerdos como ove"as y vacas "untas.
o
ormrmulule e un un momodedelo lo de de prprogograramamacici#n #n lilineneal al quque e le le ayayudude e al al grgranan"e"ero ro aa determinar el n7mero de ove"as* cerdos y vacas que debe criar.
determinar el n7mero de ove"as* cerdos y vacas que debe criar.
8.
8. Walter Luna hered# recientemente una gran suma de dinero y desea utiliar una parte para establecer Walter Luna hered# recientemente una gran suma de dinero y desea utiliar una parte para establecer un fideicomiso para sus dos hi"os. l fideicomiso tiene dos opciones de inversi#n$ ?1@ un fondo de un fideicomiso para sus dos hi"os. l fideicomiso tiene dos opciones de inversi#n$ ?1@ un fondo de bonos y ?2@
bonos y ?2@ un fondo de un fondo de acciones. os requerimientos proyectados durante la acciones. os requerimientos proyectados durante la vida de las inversionesvida de las inversiones son de +6 para el fondo de bonos y 1(6 para el fondo de acciones. ;ndependientemente de la son de +6 para el fondo de bonos y 1(6 para el fondo de acciones. ;ndependientemente de la porci#n
porci#n de de la la herencia herencia que que finalmente finalmente decida decida comprometer comprometer al al fideicomiso* fideicomiso* desea desea invertir invertir por por lolo menos 3(6 de dicha cantidad en el fondo de bonos. )dem%s desea seleccionar una combinaci#n que menos 3(6 de dicha cantidad en el fondo de bonos. )dem%s desea seleccionar una combinaci#n que le permita obtener un rendimiento total de por lo menos =*56.
le permita obtener un rendimiento total de por lo menos =*56.
ormule un modelo de programaci#n lineal que pueda utiliarse para determinar ormule un modelo de programaci#n lineal que pueda utiliarse para determinar el porcenta"e que deba asignarse a cada una de las posibles alternativas de el porcenta"e que deba asignarse a cada una de las posibles alternativas de inversi#n.
inversi#n.
9.
9. -onsidere que la empresa-onsidere que la empresa Enigma Mutual Funds Enigma Mutual Funds acaba de obtener fondos de un cliente por 0 1(( ((( acaba de obtener fondos de un cliente por 0 1(( ((( y est% buscando oportuni
y est% buscando oportunidadedades de s de inverinversi#n. -on base a si#n. -on base a las inverslas inversiones actualiones actuales dees de Enigma Enigma* * elel analista financiero principal de la empresa recomienda que todas las nuevas inversiones se efect7en analista financiero principal de la empresa recomienda que todas las nuevas inversiones se efect7en en
en empempresresas as del del secsector tor minmineroero* * empempresresas as del del secsector tor agragroinoindusdustritrial al o o en en bonbonos os del del gobgobierierno.no. specíficamente* el analista ha identificado las siguientes oportunidades de inversi#n$
specíficamente* el analista ha identificado las siguientes oportunidades de inversi#n$
IInnvveerrssiióónn ''aassa a dde e rreennddiimmiieenntto o pprrooeeccttaaddo o ((%%))
,
,iinneerraaAAttaaccoocchhaa --))33
,
,iinneerraa**aann..iicceennttee 1100))33 C
Coo$$ppaa//a a AAggrrooiinndduussttrriiaal l a a aacciieennddaa 66))44 A
Aggrrccoolla a &&aappaa$$ppa a **AACC --))55 B
Boonnoossddeellggooiieerrnnoo 44))55
a administraci#n de
a administraci#n de Enigma Enigma ha impuesto las siguientes guías de inversi#n$ ha impuesto las siguientes guías de inversi#n$
Aing7n sector ?minero o ag Aing7n sector ?minero o agroindustrial@ debe rroindustrial@ debe recibir m%s de 05( (((.ecibir m%s de 05( (((.
os bonos del gobierno deben ser por lo menos 256 de las inversionesos bonos del gobierno deben ser por lo menos 256 de las inversiones
en
en el el sector sector agroindustrial.agroindustrial.
n las inversiones en la Binera San Cicente* dado que es de elevadon las inversiones en la Binera San Cicente* dado que es de elevado
rendimiento pero de alto riesgo* no pueden superar el +(6 del total de las rendimiento pero de alto riesgo* no pueden superar el +(6 del total de las inversiones en el sector minero.
De
Desasarrorrolllle e el el momodeldelo o de de prprogrogramamaciaci#n #n lilineaneal l que que perpermimita ta mama&im&imiaiar r elel rendimiento proyectado definiendo las variables como el monto a destinar en rendimiento proyectado definiendo las variables como el monto a destinar en cada tipo de inversi#n.
cada tipo de inversi#n. Cu
Cuelva a elva a resolver el problema definiendo las variables como una resolver el problema definiendo las variables como una fracci#n de losfracci#n de los fo
fondndos os ininvevertrtididos os en en cacada da ununo o de de lolos s vavaloloreres. s. >>aambmbi!i!n n momodidififiquque e lalass re
restrstricciccioniones es que que limlimitaitan n lalas s ininverversiosiones nes en en lalas s indindustustririas as de de la la miminernería ía yy agroindustria como sigue$ no m%s del 5(6 de los fondos totales invertidos en agroindustria como sigue$ no m%s del 5(6 de los fondos totales invertidos en acciones puede ser invertido en la industria de la minería y no m%s del 5(6 de acciones puede ser invertido en la industria de la minería y no m%s del 5(6 de los fondos invertidos en acciones puede invertirse en la agroindustria.
los fondos invertidos en acciones puede invertirse en la agroindustria.
10.
10. l gerente de programaci#n l gerente de programaci#n del -anal B desea ddel -anal B desea determinar la me"or forma de aseterminar la me"or forma de asignar el tiempo paraignar el tiempo para la difusi#n de las noticias en el horario de 11 h a 11$3( h. specíficamente le gustaría determinar el la difusi#n de las noticias en el horario de 11 h a 11$3( h. specíficamente le gustaría determinar el n7mero de minutos de tiempo de difusi#n dedicado a las noticias locales* noticias nacionales* el n7mero de minutos de tiempo de difusi#n dedicado a las noticias locales* noticias nacionales* el clima y los deportes.
clima y los deportes.
) l) lo largo de los 3( mino largo de los 3( minutos de difusi#n* se reutos de difusi#n* se reservan 1( minutservan 1( minutos os parapara
publicidad. publicidad.
a política de difusi#n de la estaci#n indica que por lo menos 156 dela política de difusi#n de la estaci#n indica que por lo menos 156 del
tiempo disponible deber% dedicarse a cobertura de noticias locales. tiempo disponible deber% dedicarse a cobertura de noticias locales.
l tiempo dedicado a noticias locales y nacionales deber% ser por lol tiempo dedicado a noticias locales y nacionales deber% ser por lo
menos el 5(6 del tiempo total de difusi#n. menos el 5(6 del tiempo total de difusi#n.
l tiempo dedicado al segmento del clima deber% ser inferior o igual all tiempo dedicado al segmento del clima deber% ser inferior o igual al
tiempo dedicado a deportes. tiempo dedicado a deportes.
l tiempo dedicado al segmento de deportes no deber% ser superior all tiempo dedicado al segmento de deportes no deber% ser superior al
tiempo dedicado a noticias locales y nacionales. tiempo dedicado a noticias locales y nacionales.
or lo menos 2(6 del tiempo disponible deber% dedicarse al segmentoor lo menos 2(6 del tiempo disponible deber% dedicarse al segmento
del clima. del clima.
Si los costos de producci#n por minuto son S/. 3(( para noticias locales* S/. 2(( para noticias nacionales* Si los costos de producci#n por minuto son S/. 3(( para noticias locales* S/. 2(( para noticias nacionales* S/. 1(( para el clima y S/. 1(( para deportes* formule el modelo de programaci#n lineal que S/. 1(( para el clima y S/. 1(( para deportes* formule el modelo de programaci#n lineal que permita obtener una programaci#n usand
permita obtener una programaci#n usando de manera #ptima los recursos dispono de manera #ptima los recursos disponibles.ibles.
11
11.. -ierta persona requiere por raones de salud como mínimo una cantidad diaria de + ((( unidades de-ierta persona requiere por raones de salud como mínimo una cantidad diaria de + ((( unidades de carbohidratos* 4 ((( unidades de proteínas y 3 5(( unidades de grasas. os carbohidratos* proteínas y carbohidratos* 4 ((( unidades de proteínas y 3 5(( unidades de grasas. os carbohidratos* proteínas y grasas se encuentran principalmente en dos alimentos diferentes ) y ,. a cantidad de cada uno de grasas se encuentran principalmente en dos alimentos diferentes ) y ,. a cantidad de cada uno de est
estos os nutnutrieriententes s prepresensentes en tes en los dos los dos alialimenmentos por tos por cadcada a 1(( gramo1(( gramos s de de cadcada a alialimenmento to y y loslos requerimientos mínimos diarios se muestran en la
requerimientos mínimos diarios se muestran en la siguiente tabla$siguiente tabla$ utriente
utriente AA Re7ueri$iento diario $ni$oRe7ueri$iento diario $ni$o C Caarroohhiiddrraattooss 550000 220000 66000000 P Prrootteennaass 330000 220000 44000000 ( (rraassaass 550000 110000 33550000
Si se sabe que el costo de 1(( g. del alimento ) es S/. 1*5( y el costo de 1(( g. Si se sabe que el costo de 1(( g. del alimento ) es S/. 1*5( y el costo de 1(( g. del alimento , es S/. (*+(. Desarrolle el modelo de programaci#n lineal que del alimento , es S/. (*+(. Desarrolle el modelo de programaci#n lineal que obtenga la mecla de ambos alimentos y pueda cumplir la dieta al menor costo. obtenga la mecla de ambos alimentos y pueda cumplir la dieta al menor costo.
12.
12. >)- S. ). produce dos líneas de equipo pesado. na de estas líneas de productos se destina>)- S. ). produce dos líneas de equipo pesado. na de estas líneas de productos se destina esencialmente a aplicaciones de construcci#n ?@. a otra línea est% destinada a la industria maderera esencialmente a aplicaciones de construcci#n ?@. a otra línea est% destinada a la industria maderera ?@. os equipos se producen en los mismos departamentos y con las mismas m%quinas y personal. ?@. os equipos se producen en los mismos departamentos y con las mismas m%quinas y personal.
+ +
Eaciendo uso de las predicciones econ#micas para el pr#&imo mes* el gerente de mercadotecnia de >)- S. ). "uga que durante ese periodo ser% posible vender todos equipos y que la empresa pueda producir. a administraci#n debe ahora recomendar una meta de producci#n para el pr#&imo
mes* es decir* Fcu%ntos equipos y deben producirse para ma&imiar la utilidadG
n la toma de decisiones* los principales factores a considerar son los siguientes$
>)- S. ). tendr% una utilidad de 05 ((( por cada equipo y 04 (((
por cada equipo .
-ada producto para su fabricaci#n pasa tanto por el departamento )
como por el departamento ,.
ara la producci#n del pr#&imo mes* estos departamentos tienen
disponibles 15( y 1+( horas respectivamente. -ada consume 1( horas de operaci#n mec%nica en el departamento ) y 2( horas en el departamento ,* mientras que cada consume 15 horas en el departamento ) y 1( horas en el departamento ,.
-on el ob"eto de cumplir un compromiso con el sindicato* el total de
horas de traba"o que se dedicar%n a la verificaci#n de los productos terminados del pr#&imo mes no puede ser menor en 1(6 a una meta establecida de 15( horas. sta verificaci#n se realia en un tercer departamento que no tiene relaci#n con los departamentos ) y ,. -ada requiere 3( horas de comprobaci#n y cada requiere de 1( horas.
-on el ob"eto de mantener su posici#n actual en el mercado* la alta
gerencia ha definido que para la política de operaci#n es necesario
construir al menos unF por cada 3 Es.
n cliente importante ha ordenado un total de por lo menos cinco
equipos ?en cualquier combinaci#n deE y F@ para el pr#&imo mes* así
que por lo menos debe producirse dicha cantidad. ormule el modelo de programaci#n lineal del problema.
13. na compañía puede anunciar su producto mediante el uso de estaciones de radio y televisi#n locales. Su presupuesto limita los gastos en publicidad a 0 1( ((( por mes. -ada minuto de anuncio en la radio cuesta 0 1( y cada minuto de publicidad en televisi#n cuesta 0 2((. a compañía desearía utiliar la radio cuando menos dos veces m%s que la televisi#n. a e&periencia pasada muestra que cada minuto de publicidad por televisi#n generar% en t!rminos generales 25 veces m%s ventas que cada minuto de publicidad por la radio.
ormule el modelo de programaci#n para determinar el n7mero de anuncios por radio y televisi#n para ma&imiar las ventas.
14. n nuevo producto puede ser obtenido meclando insumos de cuatro proveedores diferentes. os an%lisis han demostrado que para producir el nuevo producto con las cualidades adecuadas mínimas se debe contar con tres elementos b%sicos que para abreviar designaremos )* , y -. n particular* cada tonelada del producto debe contener por lo menos 5 :g. del el elemento )* por lo menos 1(( :g. del elemento , y al menos 3( :g. del elemento -. l insumo de cada uno de los cuatro proveedores contienen los tres elementos b%sicos* pero en diferentes proporciones. a composici#n*
en Hilogramos* de cada elemento b%sico por tonelada de insumo es$
*lemento Insumo del proveedor
ásico 1 2 + ,
B 80 150 -5 1-5
C 45 25 20
3-os costos en d#lares por tonelada de insumo de cada uno de los proveedores se muestran en la siguiente tabla$
Insumo del proveedor
1 2 + ,
"osto de una tonelada ($) 00 400 600 500
Se pide encontrar el modelo de programaci#n lineal de las proporciones ?o cantidades@ de insumo de cada proveedor que permita obtener una tonelada del nuevo producto que cumpla los requisitos antes mencionados al menor costo posible.
15. a Unión de Crédito para Empleados en la Universidad Estatal est% planeando la asignaci#n de fondos para el pr#&imo año. a uni#n de cr!dito hace cuatro tipos de pr!stamos a sus miembrosI adem%s* invierte sus e&cedentes de efectivo en valores sin riesgo para estabiliar sus ingresos. as diversas inversiones posibles "unto con sus respectivas tasas de inter!s anuales son las siguientes$
'ipo de pr-stamo o inversión 'asa de inter-s anual (%)
Pr9sta$os para co$pra de auto$óviles
Pr9sta$os para $oiliario 10
tros pr9sta$os garanti:ados 11
Pr9sta$os 7uirogra+arios 12
.alores lires de riesgos 8
a Unión de Crédito dispondr% de S/.2 ((( ((( para pr!stamos o inversiones durante el pr#&imo año. as leyes estatales y las políticas de la uni#n de cr!dito imponen las siguientes restricciones en la composici#n de los pr!stamos e inversiones.
os valores libres de riesgos no pueden e&ceder el 3(6 de los fondos
totales disponibles para inversi#n.
os pr!stamos quirografarios no pueden e&ceder el 1(6 de los fondos
invertidos en todos los pr!stamos.
os pr!stamos para mobiliario m%s otros pr!stamos garantiados no
pueden e&ceder los pr!stamos para compra de autom#viles.
tros pr!stamos garantiados m%s los pr!stamos quirografarios no
pueden e&ceder los fondos invertidos en valores sin riesgos.
ormule un modelo matem%tico de programaci#n lineal con la finalidad de determinar Fc#mo se asignarían los S/.2 ((( ((( a cada una de las alternativas de pr!stamo o inversi#n para ma&imiar el rendimiento anual totalG
16. Enigma ruc!s ha decidido entrar al mercado de vehículos recreativos con la "unamis* una especie de motocicleta con tres llantas e&traJgrandes. Dado que se trata de una nueva línea de productos se plantea una campaña de publicidad bastante intensa durante el mes de introducci#n a la cual se le
asign# un presupuesto de 0 =2 ((( para e"ecutarla.
Enigma ruc!s decidi# usar la radio durante la mañana* la televisi#n en la tarde
y los peri#dicos durante toda la campaña. a agencia de publicidad de Enigma
proporciona los datos relativos al costo de los anuncios en cada uno de los medios y el n7mero de unidades de compra que ser%n logrados mediante dichos anuncios de acuerdo a la siguiente tabla$
!edio de pulicidad
./mero de unidades de compra alcan#ados por anuncio
"osto por anuncio ($)
Radio en la $a/ana 30 000 1 -00
T.enlatarde 60000 200
Periódicos 45000 1200
a efectividad de un anuncio se mide en unidades de e&posici#n en una escala de ( a 1(( para cada anuncio e&hibido. >ambi!n se sabe que la eficacia del anuncio disminuye con el n7mero de e&posiciones en un medio durante un tiempo específico. a siguiente tabla muestra el n7mero de e&posiciones por anuncio y su variaci#n de acuerdo al medio usado y a la cantidad de avisos utiliados en el mismo medio.
!edio de pulicidad Primeros 10 anuncios 'odos los anuncios siuientes
Radioenla$a/ana 60 40
T.enlatarde 0 55
Periódicos -0 35
)dem%s se quiere asegurar que la campaña de publicidad satisfar% ciertos criterios que se consideran importantes. n concreto$ no deber%n aparecer m%s de 25 anuncios en un solo medioI se deber% alcanar un total de por lo menos 1 '(( ((( unidades de compra a trav!s de todos los medios y al menos una cuarta parte de los anuncios aparecer%n en la >C en la tarde.
btenga el modelo de programaci#n lineal que permita ma&imiar el total de unidades de e&posici#n.
17. na compañía de inversiones tiene que elegir entre cuatro proyectos que compiten por un presupuesto de inversi#n m%&imo de 0 1 5(( (((. n la siguiente tabla se muestra la inversi#n neta y los rendimientos estimados de cada proyecto. ) cada proyecto se le puede asignar fondos a cualquier nivel fraccional menor o igual al 1((6. a compañía requiere una rendimiento mínimo del 256 y desea minimiar el riesgo. Suponga que el riesgo es aditivo* por e"emplo* el riesgo de asignar fondos para aceites al 2(6 y para oficinas al 5(6 ser% ?(*2@.?K@ L ?(*5@.?4@ M 3*'.
Proecto Inversión Rendimiento neto Rieso
Centros co$erciales 550 000 1-0 000 6
Aceite 400000 500000 8
;di+icios de o+icinas 450 000 100 000 4 ;di+icios ,ivivienda 500 000 100 000 2
labore el modelo de programaci#n lineal correspondiente.
18. na planta puede manufacturar cinco productos diferentes en cualquier combinaci#n. -ada producto requiere de cada una de las tres m%quinas* tal como se muestra en la siguiente tabla$
Producto !áuina 1 2 + A 12 5 B - 8 10 C 4 -< 10 0 3 ; - 11 2
>odos los datos de la tabla est%n en minutos por Hilogramo de producto.
-ada m%quina est% disponible 12' horas por semana.
os productos )* ,* -* D y son netamente competitivos y cualquier
cantidad fabricada puede venderse a los precios respectivos de 05* 04* 05* 04 y 04 por Hilogramo de producto.
os costos variables de traba"o son 04 por hora de las m%quinas 1 y 2* y
03 para la m%quina 3.
os costos de material por cada Hilogramo de los productos ) y - son de
02 y para los productos ,* D y son de 01 por Hilogramo.
a empresa desea ma&imiar la utilidad generada por los productos* para lo cual se pide que elabore el modelo de programaci#n lineal correspondiente.
19. a administraci#n de Alta ecnología S. A. ? ASA@ desea desarrollar un modelo que le ayude a asignar el tiempo de sus t!cnicos entre llamadas de servicio por contrato a clientes tanto normales como nuevos. n el periodo de planeaci#n de 2 semanas hay disponible un m%&imo de '( horas de tiempo de t!cnico. ) fin de satisfacer los requisitos de flu"o de ca"a* deben generarse por lo menos 0'(( de ingresos durante el periodo de 2 semanas. l tiempo de los t!cnicos para los clientes normales genera 025 la hora* pero para clientes nuevos s#lo genera 0' la hora* porque en muchos casos el contacto con un cliente nuevo no llega a generar servicios. ara asegurarse de que se mantienen contactos con los clientes nuevos debe ser por lo menos +(6 del tiempo utiliado en contactos con clientes normales. ara los requerimientos de ingresos y de políticas enunciadas* ASA desearía determinar c#mo asignar el tiempo de los t!cnicos entre clientes normales y nuevos* a fin de ma&imiar el n7mero total de clientes en contacto durante el periodo de 2 semanas. os t!cnicos requieren un promedio de 5( minutos por cada contacto de cliente normal y de una hora para cada contacto de cliente nuevo.
Desarrolle el modelo de programaci#n lineal que permita a ASA asignar el
tiempo de los t!cnicos entre clientes normales y nuevos.
20. Enigma Manu#acturing es un pequeño fabricante de productos de pl%stico que se utilian en las industrias automotrices y de computaci#n. >iene un contrato importante con una gran empresa de computadoras que implica la producci#n de ca"as de pl%stico para las impresoras port%tiles de dicha empresa. as ca"as de impresora se producen en dos m%quinas de moldeo por inyecci#n. a m%quina B1(( tiene una capacidad de producci#n de 2( ca"as de impresora por hora y la B2(( tiene una capacidad de producci#n de 4( ca"as por hora. )mbas m%quinas utilian la misma materia prima para producir las ca"as de la impresora$ la B1(( utilia 4( Hilogramos de materia prima por hora y la B2(( utilia 5( Hilogramos por hora. a empresa de computadoras le ha pedido a Enigma que produca tantas ca"as durante la semana siguiente como sea posible y le ha dicho que pagar% 1'
d#lares por ca"a que pueda entregar. Sin embargo* la siguiente semana es un periodo normal de vacaciones programadas para la mayor parte de traba"adores de producci#n de Enigma. Durante ese tiempo* se efect7a el mantenimiento anual de todo el equipo de la planta. Debido al tiempo parado para mantenimiento* la B1(( estar% disponible a lo m%s 15 horas y la B2(( a lo m%s 1( horas. Sin embargo* en ra#n del elevado costo de preparaci#n involucrado con ambas m%quinas* la
administraci#n requiere que* si se programa producci#n en cualquiera de estas m%quinas* la m%quina deber% operarse por lo menos durante 5 horas. l proveedor de la materia química utiliada en el proceso de producci#n le ha informado a Enigma que tendr% disponible un m%&imo de 1 ((( :g. de la materia prima para la producci#n de la siguiente semana. l costo de esta materia prima es de 0+ por Hilogramo* Enigma estima que los costos por hora de operaci#n de la B1(( y de la B2(( son de
05( y 0=5 respectivamente.
ormule el modelo de programaci#n lineal que permita encontrar el plan de producci#n #ptima que ma&imice la utilidad.
21. $uesos Andinos S. A. produce dos quesos crema$ %ico y S&per * meclando el queso mantecoso suave con el queso mantecoso fuerte. os quesos crema se empacan en recipientes de (*4 :g que despu!s se venden a distribuidores en todo el país. l queso crema %ico contiene '(6 de queso mantecoso suave y 2(6 de queso mantecoso fuerte. a mecla S&per contiene +(6 de queso mantecoso suave y 4(6 de queso mantecoso fuerte. ste año* una cooperativa lechera local ha ofrecido entregar hasta ' 1(( :g. de queso mantecoso suave a S/. 12 por :g. y hasta 3 ((( :g. de queso mantecoso fuerte a S/. 14 por :g. l costo de meclar y empacar estos quesos crema* e&cluyendo el costo del queso mismo* es de S/. (*2( por recipiente. -ada recipiente de %ico se vende a S/. +*2( y cada recipiente S&per a S/. +*5(. Desarrolle el modelo de programaci#n lineal que permita estimar el n7mero de recipientes de cada tipo de queso que deber% producir $uesos Andinos S. A. para ma&imiar sus utilidades.
22. Motores Andinos S.A. ? MASA@ ha desarrollado un nuevo vehículo deportivo. -omo parte de la campaña de Bercadotecnia* MASA ha desarrollado una presentaci#n de ventas en vídeo tanto a propietarios de vehículos de tracci#n en las cuatro ruedas MASA actuales* como a propietarios de vehículos deportivos de la competencia. MASA se refiere a estos dos mercados ob"etivo como mercado de clientes actual y mercado de clientes nuevo. as personas que reciban el vídeo promocional recibir%n un cup#n para un recorrido de prueba del nuevo modelo de MASA durante el fin de semana. n factor clave en el !&ito de esta nueva promoci#n es la tasa de respuesta* es decir* el porcenta"e de personas que reciban la nueva promoci#n y hagan el recorrido de prueba del modelo nuevo. MASA estima que la tasa de respuesta para el mercado de clientes actual es de 256 y para el mercado de clientes nuevo es de 2(6. a tasa de ventas es el porcenta"e de individuos que recibiendo la nueva promoci#n y haciendo el recorrido* efect7a la compra. os estudios de investigaci#n de mercado indican que la tasa de ventas es del 126 para el mercado de clientes actual y de 2(6 para el mercado de clientes nuevo. l costo de cada promoci#n* e&cluyendo el costo del recorrido de prueba* es de 05 por cada promoci#n enviada al mercado de clientes actual y de 04 por cada promoci#n enviada al mercado de clientes nuevo. a administraci#n tambi!n ha decidido que se deber% enviar la nueva promoci#n a un mínimo de 3( ((( clientes actuales y a un mínimo de 1( ((( nuevos clientes. )dem%s* el n7mero de clientes actuales que haga el recorrido de prueba del nuevo vehículo debe ser por lo menos el doble del n7mero de clientes nuevos que hagan el recorrido de la prueba del nuevo vehículo. Si el presupuesto de mercadotecnia para las promociones* e&cluyendo el costo de del recorrido* es de 0 1 2(( (((* determine el modelo de programaci#n lineal que permita determinar el n7mero de promociones que deber%n ser enviadas a cada grupo de clientes para ma&imiar las ventas totales.
23. E'tremus S.A. fabrica y vende ropa especial para e&cursionismo. a administraci#n de la empresa ha decidido iniciar la producci#n de dos nuevas casacas diseñadas para climas e&tremadamente fríos. os nombres seleccionados para los dos modelos son )lpamayo y Euascar%n. a planta de fabricaci#n tiene disponibles 12( horas de tiempo de corte. ara costura tiene una cantidad de horas tal que si produ"era s#lo casacas )lpamayo haría 3+( unidades y si s#lo produ"era casacas Euascar%n haría 4'( unidades. -ada )lpamayo requiere de 3( minutos de corte y cada Euascar%n requiere de 2( minutos de corte. l costo de mano de obra y materia prima es de 015( para cada )lpamayo y de 05( para cada Euascar%n . os precios al menudeo a trav!s del cat%logo por correo de la empresa son de 025( para cada )lpamayo y de 02(( para cada Euascar%n. Dado que la administraci#n cree que la casaca )lpamayo me"orar% la imagen de la empresa* ha decidido que por lo menos el 2(6 del total de la producci#n debe corresponder a este modelo. a administraci#n tambi!n ha considerado
que para lograr un buen posicionamiento de los productos* debe fabricar al menos una casaca Euascar%n por cada tres casacas )lpamayo.
-onsiderando que la empresa vender% todas las casacas que produca* formule el modelo de programaci#n lineal que ma&imice las utilidades logradas por las ventas de las casacas.
24. na empresa produce y comercialia 2 productos llamados ) y ,. a empresa los puede fabricar o los puede comprar* siendo los costos por Hilo* los que se detalla a continuaci#n$
Produce "ompra
A 1 1)2
1)- 1)5
a tasa de producci#n del producto ) es de 4 Hilos por hora y la de , es de 5 Hilos por hora.
or otro lado e&isten ciertas restricciones que se deben cumplir* las cuales son$
a demanda mínima a satisfacer es de 1(( Hilos del producto ) y de 2((
Hilos del producto ,.
l tiempo disponible de producci#n es de 4( horas.
a planta tiene una capacidad m%&ima de producci#n del producto ) de
=( :g. y del producto , de 12( Hilos.
a política de la empresa no permite comprar m%s de 13( Hilos del
producto ,.
F-u%l debe ser el plan de producci#n y compra de estos productos que permita cumplir todas estas restricciones minimiando los costos totales de la operaci#n* sabiendo así mismo que la empresa establece una penalidad de 2.5 soles por hora no utiliadaG
25. Mar!eting Surve( )MS*+ se especialia en evaluar la reacci#n del consumidor a productos* servicios y campañas publicitarias nuevos. n cliente solicit# la asistencia del MS* para determinar la reacci#n del consumidor a un producto dom!stico reci!n comercialiado. Durante las reuniones con los clientes* MS* acord# efectuar entrevistas personales de puerta en puerta para obtener respuestas en hogares con niños y hogares sin niños. )dem%s* MS* acept# hacer entrevistas por la mañana y por la tarde. specíficamente* el contrato del cliente e&igía que MS* realiara mil entrevistas ba"o los siguientes lineamientos$
ntrevistar al menos 4(( hogares con niños.
ntrevistar al menos 4(( hogares sin niños.
a cantidad total de hogares entrevistados durante la tarde debe ser al
menos igual a la cantidad de hogares entrevistados durante la mañana.
)l menos el 4(6 de las entrevistas para los hogares con niños deben
realiarse durante la tarde.
)l menos el +(6 de las entrevistas para hogares sin niños deben
realiarse durante la tarde.
Debido a que la entrevista para hogares con niños requiere tiempo adicional del entrevistador y a que los entrevistadores vespertinos se les paga m%s que a los matutinos* el costo varía con el tipo de entrevista. -on base de estudios previos* las estimaciones de los costos de las entrevistas son las siguientes$
3oar "osto de la entrevista
!a4ana 'arde
Conni/os =20 =25
*inni/os =1 =20
ormule el modelo que permita determinar el plan de entrevistas por tipo de hogar y hora del día y que satisfaga los requerimientos del contrato con un costo de total de entrevista mínimoG
26. Enigma Manu#acturing S.A. compra dos componentes ?-1 y -2@ de tres proveedores distintos ?1* 2 y 3@. os proveedores tienen capacidad limitada* y ninguno de ellos puede cumplir con la totalidad de las necesidades de nigma* adem%s de que cobran precios distintos por los componentes. os precios de los componentes ?por unidad@ son los siguientes$
"omponente Proveedor
P1 P2 P+
C1 =12 =13 =14
C2 =10 =11 =10
-ada proveedor tiene capacidad limitada respecto al total de componentes que
puede suministrar. Sin embargo* siempre que Enigma emita pedidos con
suficiente adelanto* cada proveedor puede dedicar su capacidad al componente 1* al 2 # a cualquier combinaci#n de ambos* siempre y cuando el total de unidades pedidas quede dentro de su capacidad. a capacidad de los proveedores es$
Proveedor P1 P2 P3
"apacidad 600u 1000u 00u
Si el plan de producci#n de Enigma para el siguiente periodo incluye 1 (((
unidades del componente 1 y '(( unidades del componente 2* desarrolle el modelo de programaci#n lineal que determine pedido #ptimo de compra de
componentes que haría Enigma a sus proveedores.
27. Enigma Lácteos S.A. produce queso edam y queso fresco. ara producir estos dos tipos de queso se meclan leche y crema. a leche utiliada en la elaboraci#n de ambos quesos se obtiene de la mecla de leche con mucha grasa y leche con poca grasa. a leche con mucha grasa contiene un +(6 de grasa y la leche con poca grasa tiene s#lo el 3(6. a leche que se usa para producir el queso edam debe tener un contenido de por lo menos 5(6 de grasa y la que se usa para producir el queso fresco debe tener por lo menos 356 de grasa. or lo menos el 4(6 de los ingredientes del queso edam debe ser crema. or lo menos el 2(6 de los ingredientes del queso fresco debe ser crema. ara la producci#n de los dos tipos de queso se utilia la misma m%quina. -uesta S/. (*+( procesar un Hilogramo de ingredientes y convertirlos en un Hilogramo de queso. a crema se obtiene al evaporar leche. -uesta S/. (*4( la evaporaci#n de un Hilo de leche. -ada Hilo de leche con mucha grasa que se evapora produce (*+ Hilogramos de crema. -ada Hilogramo de leche con poca grasa que se evapora produce (*3 Hilogramos de crema. Diariamente se puede procesar hasta 3 ((( Hilogramos de
ingredientes para la producci#n de quesos. -ada día hay que producir por lo menos 1 ((( Hilogramos de queso edam y por lo menos 1 ((( Hilogramos de queso fresco. Diariamente se puede vender hasta 1 5(( Hilogramos de queso edam y hasta 2 ((( Hilogramos de queso fresco. l queso fresco se vende a S/. 5*2( el Hilogramo y el queso edam a S/. 5*5 el Hilogramo. a leche con mucha grasa se compra a S/. 2*'( el Hilogramo y la leche con poca grasa a S/. 2*4( el Hilogramo. l evaporador puede procesar diariamente a lo m%s 2 ((( Hilogramos de leche. Suponiendo que la política de nigma acteos S.). es vender todo lo que se produca* se pide que formule el modelo de programaci#n lineal que ma&imice las ganancias diarias.
Problemas con solución por método gráfico
28. )l resolver el problema 1* se obtuvo el siguiente modelo de programaci#n lineal$ >1? n'$ero de productos 1 a +aricar el pró&i$o $es
>2? n'$ero de productos 2 a +aricar el pró&i$o $es
,a& 12 >1 @ 4 >2
sueto a ?
>1 @ 2 >2 ≤ 00 !horas disponiles del departa$ento A"
>1 @ 3 >2 ≤ 600 !horas disponiles del departa$ento B"
2 >1 @ 3 >2 ≤ 2 000 !horas disponiles del departa$ento C"
>1 ) >2 ≥ 0 !condición de no negatividad"
Se pide obtenga la soluci#n #ptima aplicando el m!todo gr%fico.
29. -on el modelo obtenido en el problema 4* Fcu%l es la mecla de costo mínimo de los alimentos para perros y cu%l es el costo de la meclaG
>1? Cantidad diaria del ali$ento (uau !en on:as"
>2? Cantidad diaria del ali$ento *ni++ !en on:as"
,in 0)06 >1 @ 0)05 >2
sueto a ?
0)30 >1 @ 0)20 >2 ≥ 5 !re7ueri$iento diario $ni$o de protenas en on:as"
0)15 >1 @ 0)30 >2 ≥ 3 !!re7ueri$iento diario $ni$o de protenas en on:as"
>1 ) >2≥ 0 !condición de no negatividad"
30. )l resolver el problema 5 se obtuvo el siguiente modelo de programaci#n lineal$ >1? cantidad de ra7uetas nor$al a + aricar las pró&i$as dos se$anas
>2? cantidad de ra7uetas grande a +aricar las pró&i$as dos se$anas
,a& 10 >1@ 15 >2 sueto a ? 0) >1 @ 0)2 >2 ≤ 0 !$e:cla de producción" 0)125 >1 @ 0)4 >2 ≤ 0 !aleación disponile" 10 >1 @ 12 >2 ≤ 4 00 !tie$po disponile" >1 ) >2 ≥ 0 !condición de no negatividad"
F-u%ntas raquetas de cada tipo deber% fabricar la empresa en las dos siguientes semanas a fin de ma&imiar la contribuci#n total a la utilidadG. F-u%nto sería dicha contribuci#nG tilice el m!todo gr%fico para responder las preguntas.
31. ara el modelo obtenido en el problema '* determine gr%ficamente la soluci#n #ptima. >1? proporción del +ideico$iso invertido en onos
>2? proporción del +ideico$iso invertido en acciones
,a& 0)06 >1@ 0)10 >2
>1 ≥ 0)30 !$ni$a proporción invertida en onos"
0)06 >1 @ 0)10 >2 ≥ 0)0-5 !rendi$iento total $ni$o"
>1 @ >2 1 !la su$a de las proporciones da la unidad"
>1) >2 ≥ 0 !condición de no negatividad"
32. l modelo obtenido en el problema 11 fue el siguiente$
>1? '$ero de unidades diarias de 100 gra$os del ali$ento A
>2? '$ero de unidades diarias de 100 gra$os del ali$ento B
,in 1)5 >1 @ 0)6 >2
sueto a?
500 >1 @ 200 >2 ≥ 6 000 !re7ueri$iento diario $ni$o de u de carohidratos"
300 >1 @ 200 >2 ≥ 4 000 !re7ueri$iento diario $ni$o de u de protenas"
500 >1 @ 100 >2 ≥ 3 500 !re7ueri$iento diario $ni$o de u de grasas"
>1) >2 ≥ 0 !condición de no negatividad"
Determine gr%ficamente la soluci#n #ptima del problema.
33. )l resolver el problema 12 se obtuvo el siguiente modelo de programaci#n lineal. >e? n'$ero de e7uipos ; a +aricar el pró&i$o $es
>+ ? n'$ero de e7uipos D a +aricar el pró&i$o $es ,a& 5000 >e @ 4000 >+
sueto a?
10 >e @ 15 >+ ≤ 150 !horas disponiles <eparta$ento A" 20 >e @ 10 >+ ≤ 160 !horas disponiles <eparta$ento B" 30 >e @ 10 >+ ≥ 135 !acuerdo con el sindicato"
>e 3 >+ ≤ 0 !reco$endación de ,ercadeo" >e @ >+ ≥ 5 !pedido $ni$o"
>e) >+ ≥ 0 !condición de no negatividad"
a Determine gr%ficamente el plan #ptimo de producci#n y el valor #ptimo.
b Determine e interprete las holguras y e&cedentes de las restricciones.
c -alcule e interprete los precios duales.
d Determine e interprete los rangos de optimalidad.
34. De acuerdo a la soluci#n del problema 13* determine la soluci#n #ptima$ >1? n'$ero de avisos en radio
>2 ? n'$ero de avisos en televisión ,a& >1 @ 26 >2
sueto a?
10 >1 @ 200 >2 ≤ 10 000 !presupuesto"
>1 E 3 >2 ≥ 0 !poltica de la co$pa/a"
>1) >2≥ 0 !condición de no negatividad"
35. l modelo obtenido en la soluci#n del problema 1K es$
>1? n'$ero de clientes nor$ales contactados las pró&i$as dos se$anas
>2? n'$ero de clientes nuevos contactados las pró&i$as dos se$anas ,a& >1 @ >2 sueto a ? 6 5 >1 @ >2 ≤ 0 !tie$po disponile" 6 125 >1 @ >2 ≥ 00 !ingreso re7uerido"
0)5 >1 @ >2 ≥ 0 !contacto con los clientes"
>1 ) >2 ≥ 0 !condición de no negatividad"
a. btenga la gr%fica de la regi#n factible.
b. <esuelva las ecuaciones lineales apropiadas para determinar los valores de las variables en cada punto e&tremo de la regi#n factible.
c. ncuentre la soluci#n #ptima.
36. l modelo del problema 2( puede ser planteado de manera distinta dependiendo c#mo se hayan definido las variables. ara ambas alternativas y utiliando el procedimiento gr%fico obtenga la soluci#n #ptima y el valor #ptimo de dicho modelo y compruebe si ambas soluciones son equivalentes.
Bodelo 1$
>1? n'$ero de caas producidas en la $%7uina ,100 la siguiente se$ana >2? n'$ero de caas producidas en la $%7uina ,200 la siguiente se$ana ,a& 3)5 >1 @ )625 >2
sueto a?
2 >1 @ 1)25 >2 ≤ 1000 !$ateria pri$a disponile"
0)05 >1 ≤ 15 !tie$po disponile de ,100" 0)05 >1 ≥ 5 !tie$po de +unciona$iento de ,100" 0)025 >2 ≤ 10 !tie$po disponile de ,200" 0)025 >2 ≥ 5 !tie$po de +unciona$iento de ,200" >1) >2 ≥ 0 !condición de no negatividad" Bodelo 2$
>1? tie$po asignado a la $%7uina ,100 la siguiente se$ana !h" >2? tie$po asignado a la $%7uina ,200 la siguiente se$ana !h" ,a& -0 >1 @ 345 >2
sueto a?
40 >1 @ 50 >2 ≤ 1000 !$ateria pri$a disponile"
>1 ≤ 15 !tie$po disponile de ,100"
>1 ≥ 5 !tie$po de +unciona$iento de ,100"
>2 ≤ 10 !tie$po disponile de ,200"
>2 ≥ 5 !tie$po de +unciona$iento de ,200"
>1) >2 ≥ 0 !condición de no negatividad"
,a& 1)04 >1 @ 1)1 >2
sueto a?
032 >1 @ 024 >2≤ 100
00 >1 @ 016 >2≤ 3000
>1) >2 ≥ 0
Se pide que encuentre e interprete la soluci#n #ptima y el valor #ptimo del modelo.
38. ara el problema 22 se desarroll# el siguiente modelo de programaci#n lineal ,a& 0)03 >1 @ 0)04 >2 sueto a? 5 >1 @ 4 >2≤ 1 200 000 >1 ≥ 30 000 >2 ≥ 10 000 0)25 >1 E 0)40 >2≥ 0 >1 ) >2 ≥ 0
Se pide encuentre la soluci#n #ptima
39. ara el problema 23 se desarroll# el siguiente modelo de programaci#n lineal ,a& 100 >1 @ 150 >2 sueto a ? 30 >1@ 20 >2≤ - 200 45 >1@ 15 >2≤ - 200 0) >1 E 0)2 >2≥ 0 >1 E 3 >2 ≤ 0 >1 ) >2 ≥ 0
Se pide encuentre la soluci#n #ptima
40. -onsidere el siguiente problema de programaci#n lineal. ,a& >1 @ 2 >2 sueto a ? >1 @ 4 >2 ≤ 21 2 >1 @ >2 ≥ - 3 >1 @ 1)5 >2 ≤ 21 2 >1 @ 6 >2 ≥ 0 >1 ) >2 ≥ 0
a. ncuentre la soluci#n #ptima y el valor #ptimo.
b. Determine las holguras o e&cedentes de cada una de las restricciones.
c. Suponga que la funci#n ob"etivo se modifica a ,a& 5>1 @ 2>2* encuentre la
nueva soluci#n #ptima y el nuevo valor #ptimo.
41. -onsidere el siguiente programa lineal.
,a& 5>1 @ - >2 sueto a ? 2 >1 @ >2 ≥ 3 >1 @ 5 >2 ≥ 4 2 >1 3 >2 ≤ 6 3 >1 @ 2 >2 ≤ 35 = 3 >1 @ >2 ≤ 10 >1) >2 ≥ 0
a. Determine la soluci#n #ptima.
b. <ealice el an%lisis de sensibilidad del coeficiente >1 en la funci#n ob"etivo.
c. Suponga que el coeficiente de >1 en la funci#n ob"etivo se reduce a 2. F-u%l
ser% la nueva soluci#n #ptimaG
d. -alcule los precios duales de la segunda y cuarta restricci#n.
42. -onsidere el programa lineal$ ,in >1 @ >2 sueto a ? >1 @ 2 >2≥ 6 3 >1 @ >2≥ 6 >1 12 >2≤ 0 >1 @ >2≤ 10 >1 @ 6 >2≥ 12 >1 ) >2≥ 0
a. Determine la regi#n factible.
b. ncuentre la soluci#n #ptima y el valor #ptimo.
c. Determine las holguras o e&cedentes de cada una de las restricciones.
d. -alcule el rango de optimalidad para el coeficiente de>2.
e. Suponga que el coeficiente de la variable >2 en la funci#n ob"etivo se reduce
a 1/3. ncuentre la nueva soluci#n #ptima.
43. -onsidere el siguiente problema de programaci#n lineal. ,in 5 >1 @ 2 >2 sueto a ? 3 >1 @ 6 >2≥ 1 5 >1 @ 4 >2≥ 20 >1 @ 2 >2≥ 16 - >1 @ 6 >2≤ 42 >1 ) >2≥ 0
a. sando el m!todo gr%fico encuentre la soluci#n #ptima y el valor #ptimo. b. F-u%les son los valores de holgura o e&cedente asociados a cada restricci#nG
c. F-u%l es el rango de variaci#n del coeficiente de >2 en la funci#n ob"etivo de
d. Si simult%neamente los coeficientes de >1 y >2 cambian a 2*5 y 1
respectivamente* Fcu%l es la nueva soluci#n #ptimaG
e. Si el coeficiente de >1 se reduce a 2* Fcu%l es la nueva soluci#n #ptimaG
44. -onsidere el siguiente problema de programaci#n lineal. ,a& 30 >1 @ 10 >2
sueto a ?
2 >1 @ >2 ≤ 4
2 >1 @ 2 >2 ≤ 6
>1) >2 ≥ 0
a. sando el m!todo gr%fico encuentre la soluci#n #ptima y el valor #ptimo. b. ;ndique los valores de holgura y/o e&cedentes de las restricciones.
c. Banteniendo todos los dem%s datos como est%n* Fcu%l debe ser la utilidad por unidad del producto cuyo valor #ptimo actual es cero* para que el producto se encuentre en la soluci#n #ptima en un nivel positivoG
d. F-u%ntos v!rtices #ptimos e&isten luego del cambio descrito en ?c@G. F-u%les son estosG
e. n el problema original* Fen cu%nto puede cambiar ?aumentar y/o disminuir@ el lado derecho de la segunda restricci#n para que cambie la soluci#n #ptimaG
f. -onteste la parte ?e@ para el lado derecho de la primera restricci#n. g. F-#mo e&plica la diferencia entre las partes ?e@ y ?f@G
h. F-u%l ser% el efecto de agregar la restricci#n 4N1 L N2 M 4 al modelo originalG
i. F-u%l ser% el efecto ?sobre la soluci#n #ptima@ de agregar la restricci#n 3 N1
L 3 N2 ≤ 15 al modelo originalG
Problemas con solución por computadora
45. Desarrollado el modelo del problema 12* mediante la computadora se obtuvo el siguiente reporte$
Max 5000 xe + 4000 xf subject to 10 xe + 15 xf <= 150 20 xe + 10 xf <= 160 30 xe + 10 xf >= 135 xe - 3 xf <= 0 xe + xf >= 5 end
OBJE!"#E $%&!"O& #'(%E
1) 50500*00
#'"'B(E #'(%E E,%E, O!
.E 4*500000 0*000000
.$ /*000000 0*000000
O (' O %(% ,%'( "E
2) 0*000000 150*000000
3) 0*000000 1/5*000000
4) /0*000000 0*000000
5) 16*500000 0*000000
6) 6*500000 0*000000
'&E "& " !E B'" " %&'&E, OBJ OE$$""E&! '&E
#'"'B(E %E&! '((O'B(E '((O'B(E
OE$ "&E'E ,EE'E
.E 5000*000000 3000*000000 2333*333252
.$ 4000*000000 3500*000000 1500*000000
"!'&, ",E '&E
O %E&! '((O'B(E '((O'B(E
"&E'E ,EE'E 2 150*000000 0*000000 4/*14275/ 3 160*000000 /3*333336 40*000000 4 135*000000 /0*000000 "&$"&"!8 5 0*000000 "&$"&"!8 16*500000 6 5*000000 6*500000 "&$"&"!8
a. ;dentifique la soluci#n #ptima y el valor #ptimo del modelo y comp%relos con los obtenidos gr%ficamente ?problema 33@.
b. ;nterprete las holguras y los e&cedentes de las restricciones. c. ;nterprete los precios duales de las restricciones.
d. Determine los rangos de optimalidad de las utilidades unitarias de los productos.
46. Desarrollado el modelo del problema 14 se obtuvo el siguiente reporte de computadora$ M9n 700 x1 +400 x2 + 600 x3 + 500 x4 subject to 10 x1 + 3 x2 + 7 x3 + 2 x4 >= 5 0 x1 + 150 x2 + /5 x3 + 1/5 x4 >= 100 45 x1 + 25 x2 + 20 x3 + 3/ x4 >= 30 x1 + x2 + x3 + x4 = 1 end
OBJE!"#E $%&!"O& #'(%E
1) 511*1111
#'"'B(E #'(%E E,%E, O!
.1 .2 .3 .4 0*2525 0*/03/04 0*03/03/ 0*000000 0*000000 0*000000 0*000000 1*111115 O (' O %(% ,%'( "E 2) 3) 4) 5) 0*000000 31*666666 0*000000 0*000000 -44*444443 0*000000 -4*444445 -155*55555/ &O* "!E'!"O&= 1
'&E "& " !E B'" " %&'&E, OBJ OE$$""E&! '&E
#'"'B(E %E&! OE$ '((O'B(E "&E'E '((O'B(E ,EE'E .1 .2 .3 .4 700*00000 0 400*00000 0 600*00000 0 500*00000 0 223*63633/ 66*74/724 75*/1424 "&$"&"!8 120*000007 300*000031 117*26241 1*11110/
"!'&, ",E '&E
O %E&!
'((O'B(E"&E'E '((O'B(E,EE'E
2 3 4 5 5*000000 100*00000 0 30*000000 1*000000 2*3/5000 31*666666 0*/14276 0*250000 0*250000 "&$"&"!8 /*000000 0*0434/7 Se pide$
a. ncuentre la soluci#n #ptima del modelo. b. ncuentre el valor #ptimo del modelo.
c. Si el requisito del elemento , es 1((* Fpor qu! se debe usar m%s de 1(( si esto eleva el costoG
d. FOu! acciones debería tomarse para reducir el costo mínimo a 05(( d#lares o menos por tonelada de meclaG
e. FOu! sucede si el precio de mineral de la mina 2 aumenta m%s a 05((G
f. F-u%nto tendría que disminuir el costo del mineral de la mina 4 para decidir comprarloG
47. n un problema de mecla de fabricaci#n de productos* &1* &2* &3 y &4 son unidades de los productos 1* 2* 3 y 4 respectivamente y el modelo de programa de programaci#n lineal que ma&imia
la utilidad en unidades monetarias para la pr#&ima temporada es$
Max 4 x1 + 6 x2 + 3 x3 + x4 subject to
x1 + 2 x2 + 4 x3 + 3 x4 ≤ 550 :;oas de a ?@u9na ')
4 x1 + x2 + 2 x3 + x4≤ /00 :;oas de a ?@u9na B)
2 x1 + 3 x2 + x3 + 2 x4≤ 200 :;oas de a ?@u9na )
end
OBJE!"#E $%&!"O& #'(%E
1) 527*5/14
#'"'B(E #'(%E E,%E, O!
.1 .2 .3 .4 35*/1427/ 0*000000 127*5/142 6 0*000000 0*000000 0*14275/ 0*000000 3*5/142 O (' O %(% ,%'( "E 2) 3) 4) 0*000000 300*00000 0 0*000000 0*275/14 0*000000 1*75/143 &O* "!E'!"O&= 1
'&E "& " !E B'" " %&'&E, OBJ OE$$""E&! '&E
#'"'B(E %E&!
OE$ '((O'B(E"&E'E '((O'B(E,EE'E
.1 .2 .3 .4 4*000000 6*000000 3*000000 1*000000 2*000000 0*142000 12* 3*5/1000 0*100000 "&$"&"!8 0* "&$"&"!8 "!'&, ",E '&E
O %E&!
'((O'B(E"&E'E '((O'B(E,EE'E
2 3 4 550*00000 0 /00*00000 0 200*00000 0 250*000000 "&$"&"!8 150*000000 44* 300*000000 62*500000
a. F-u%l es la soluci#n #ptima y cu%l es el valor #ptimoG
b. FOu! restricciones tienen restricciones limitantesG ;dentifique e interprete el rango de optimalidad de la contribuci#n de cada producto.
c. ;nterprete los precios duales de las restricciones. d. ;nterprete el siguiente resultado$
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT RHS ALLOWABLE INCREASE ALLOWABLE DECREASE 3 /00*00000 0 "&$"&"!8 300*000000
e. ;nterprete los costos reducidos reportados.
48. Mercurio Sport S.A. tiene que determinar cu%l es la cantidad id#nea de balones de f7tbol Ases ?&1@* ,ólidos ?&2@ y Crac! ?&3@ a producir a fin de ma&imiar las utilidades. as restricciones incluyen limitaciones en la capacidad de producci#n ?tiempo disponible en minutos@ en cada uno de los departamentos ?corte y teñido* costura e inspecci#n y empaque@* así como la restricci#n que requiere la producci#n de por lo menos 1((( balones de f7tbol Ases. ) continuaci#n se presenta el modelo de programaci#n lineal y el reporte de computadora de la soluci#n del modelo$
Max 3 x1 + 5 x2 + 4 x3 subject to 12 x1 + 10 x2 + 7 x3 <= 17000 ote A te9do 15 x1 + 15 x2 + 12 x3 <= 17000 ostua 3 x1 + 4 x2 + 2 x3 <= 000 "nsCecc9Dn A eCa@ue x1 >= 1000 Modeo 'ses end
OBJE!"#E $%&!"O& #'(%E
1) 4000*000
#'"'B(E #'(%E E,%E, O!
.1 .2 .3 1000*00000 0 0*000000 250*000000 0*000000 0*000000 0*000000 O (' O %(% ,%'( "E 2) 3) 4) 5) 4000*00000 0 0*000000 5500*00000 0 0*000000 0*000000 0*333333 0*000000 -2*000000
'&E "& " !E B'" " %&'&E, OBJ OE$$""E&! '&E
#'"'B(E %E&!
OE$ '((O'B(E"&E'E '((O'B(E,EE'E
.1 .2 .3 3*000000 5*000000 4*000000 2*000000 0*000000 "&$"&"!8 "&$"&"!8 "&$"&"!8 0*000000 "!'&, ",E '&E
O %E&!
'((O'B(E"&E'E '((O'B(E,EE'E
2 3 4 5 17000*00000 0 17000*00000 0 000*000000 1000*000000 "&$"&"!8 6000*000000 "&$"&"!8 200*000000 4000*000000 3000*000000 5500*000000 1000*000000
a. F-u%l es el plan de producci#n #ptimo y la contribuci#n #ptimaG a soluci#n es 1((( balones ases * ( y b#lidos y 25( cracH
b. FOu! departamentos tienen recursos limitantesG -ostura porque se agotan todos los recursos de costura.
c. l pago de traba"o e&tra en el departamento de -ostura es 012 por hora F<ecomendaría usted que la empresa considere usar tiempo e&tra en dicho departamentoG Si se puede recomendar utiliar el pago de traba"o e&tra a s/12 por hora (.33P+(M1K.'
1K.'J12.(M=.'
d. Suponga que la contribuci#n a la utilidad del bal#n de f7tbolCrac! aumenta
en 01. F-#mo esperaría usted que cambie la soluci#nG la funci#n & no cambia * solo cambia el valor de la funci#n ob"etivo
N1M1(( N2M( N3M25(
e. F-u%l es la interpretaci#n para la administraci#n del precio dual de la 7ltima restricci#nG
f. F-u%l es la interpretaci#n de los costos reducidosG
49. Don rancisco quiere me"orar el negocio familiar de elaboraci#n de productos a partir de la papa. Su negocio es la venta de cuatro productos derivados de la papa$ papas troadas para ensalada* pur! de papas* papas fritas a la inglesa y papas congeladas para freír. ) su negocio* don rancisco y doña
<emedios* su mu"er* dedican como m%&imo entre los dos* 1(( horas semanales.
l tiempo en horas necesario para fabricar un Hilo de cada producto es el siguiente$ papas troadas para ensalada 3 h* pur! de papas 5 h* papas fritas a la inglesa 1( h* papas congeladas 15 h. -omo su almac!n es pequeño no pueden tener almacenados semanalmente m%s de 15 Hilos de productos terminados. Su presupuesto semanal alcana para la compra de 12( Hilos en sacos de papas. or
cada Hilo de producto terminado necesita una cantidad mayor de producto bruto* de acuerdo a las siguientes relaciones$
ara hacer un Hilo de papas para ensalada se necesita = Hilos de papas.
ara hacer un Hilo de pur! de papas se necesita 5 Hilos de papas.
ara hacer un Hilo de papas a la inglesa se necesita 3 Hilos de papas.
ara hacer un Hilo de papas congeladas se necesita 2 Hilos de papas.
a ganancia por Hilo de producto tambi!n difiere en cada tipo$ 4 0/:g. papas para ensalada* 5 0/:g. pur! de papas* K 0/:g. papas fritas a la inglesa y 11 0/:g. papas congeladas para freír.
Don rancisco desea establecer el plan de producci#n para la pr#&ima temporada de ventas y estima que es posible vender todo lo que produca. Don rancisco ha
formulado un modelo de programaci#n lineal con el fin de optimiar el plan de producci#n* el cual se muestra a continuaci#n.
Max 4 .1 + 5 .2 + .3 + 11 .4 subject to 3 .1 + 5 .2 + 10 .3 + 15 .4 <= 100 .1 + .2 + .3 + .4 <= 15 / .1 + 5 .2 + 3 .3 + 2 .4 <= 120 end
OBJE!"#E $%&!"O& #'(%E
1) *275/1
#'"'B(E #'(%E E,%E, O!
.1 .2 .3 .4 /*14275/ 0*000000 /*75/143 0*000000 0*000000 0*4275/1 0*000000 1*5/142 O (' O %(% ,%'( "E 2) 3) 4) 0*000000 0*000000 46*4275/0 0*/14276 1*75/143 0*000000 '&E "& " !E B'" " %&'&E,
OBJ OE$$""E&! '&E
#'"'B(E %E&!
OE$ '((O'B(E"&E'E '((O'B(E,EE'E
.1 .2 .3 .4 4*000000 5*000000 *000000 11*000000 2*200000 0*4275/1 4*333333 1*5/142 0*600000 "&$"&"!8 0*1666/ "&$"&"!8 "!'&, ",E '&E
O %E&!
'((O'B(E"&E'E '((O'B(E,EE'E
2 3 4 100*00000 0 15*000000 120*00000 0 4*6 5*32/767 "&$"&"!8 54*6 5*000000 46*4275/0
a. F-u%l es el programa #ptimoG FOu! beneficio total se obtieneG
b. Si aumentamos en 5( horas la disponibilidad actual de las horas semanales Faumenta en apro&imadamente 0 35.= el valor de la funci#n ob"etivoG
c. ara aumentar la capacidad de almacenamiento de productos terminados en 5 :g. se necesita alquilar un pequeño local contiguo* cuyo propietario solicita 0 ' por semana Fsería conveniente el alquilerG &plique.
d. ) don rancisco y doña <emedios le resulta ahora tedioso el traba"o semanal* por lo que han decidido dedicar 3( horas semanales de su tiempo del negocio a consultoría a 0 5 la hora* Fc#mo afecta esto a las utilidades totalesG
e. Si usted tiene que tomar la decisi#n e&cluyente de contratar personal de apoyo o alquilar m%s espacio para su almac!n de productos terminados Fqu! decidiría y porqu!G De ser así Fqu! cantidad de horas adicionales programaría o en cu%nto aumentaría usted el espacio disponibleG
