Control Inteligente

(1)

Control de Sistemas

Dinámicos

Alejandro Peña P., PhD.

Grupo de Investigación en Inteligencia

Computacional y Robótica (GICR)

Escuela de Ingeniería de Antioquia

Dinámicos Dinámicos Alejandro Peña P Alejandro Peña P.. Contenido Contenido Control Sistemas Control Sistemas Dinámicos Dinámicos Introducción Introducción Observabilidad Observabilidad Controlabilidad Controlabilidad Esquemas de Control Esquemas de Control Control Neuronal Control Neuronal Introducción Introducción Control Inverso Control Inverso Aprendizaje Generalizado Aprendizaje Generalizado

Regla Delta Generalizada

Aprendizaje Específico

Bibliografía Bibliografía

(2)

Introducción

•• Cualquiera de la representaciones matemáticas de unCualquiera de la representaciones matemáticas de un sistema, utiliza el concepto del control realimentado de sistema, utiliza el concepto del control realimentado de acuerdo con el siguiente diagrama de bloques:

acuerdo con el siguiente diagrama de bloques:

•• El problema del control, se restringe, luego de que ha sidoEl problema del control, se restringe, luego de que ha sido seleccionado el sistema de medición, al diseño del seleccionado el sistema de medición, al diseño del controlador.

controlador.

•• El controlador trata de buscar la relación funcional másEl controlador trata de buscar la relación funcional más adecuada para generar la entrada

adecuada para generar la entrada u[k] u[k] ((Entrada de Control Entrada de Control ).).

(3)

Introducción

•• Cualquiera de la representaciones matemáticas de unCualquiera de la representaciones matemáticas de un sistema, utiliza el concepto del control realimentado de sistema, utiliza el concepto del control realimentado de acuerdo con el siguiente diagrama de bloques:

acuerdo con el siguiente diagrama de bloques:

•• El problema del control, se restringe, luego de que ha sidoEl problema del control, se restringe, luego de que ha sido seleccionado el sistema de medición, al diseño del seleccionado el sistema de medición, al diseño del controlador.

controlador.

•• El controlador trata de buscar la relación funcional másEl controlador trata de buscar la relación funcional más adecuada para generar la entrada

adecuada para generar la entrada u[k] u[k] ((Entrada de Control Entrada de Control ).).

(4)

Introducción

•• De acuerdo con esto, un modelo sujeto a unDe acuerdo con esto, un modelo sujeto a un set point set point (Entrada(Entrada

de Comando) y posiblemente a entradas inciertas, genera una de Comando) y posiblemente a entradas inciertas, genera una respuesta en la señal de salida

respuesta en la señal de salida x[k],x[k], o comportamientoo comportamiento

aceptable. aceptable.

•• La relación funcional para el controlador, puede ser unaLa relación funcional para el controlador, puede ser una función del

función del set point set point xd[k] xd[k] y la señal del controly la señal del control u[k] u[k] . . A A estestee

tipo de sistema se le conoce como control en lazo cerrado o tipo de sistema se le conoce como control en lazo cerrado o control realimentado.

control realimentado.

•• Los sistemas realimentados son de dos tipos:Los sistemas realimentados son de dos tipos: 1.

1. LoLos qs que rue reaealilimemenntatan lan la señal de salida señal de salida , como se, como se

mostró en el esquema de

mostró en el esquema de control anterior.control anterior. 2.

2. LoLos qs que rue reaealilimementntan ean ell sistema sistema , como ocurre en la, como ocurre en la

representación en espacio de estados. representación en espacio de estados.

(5)

Introducción

• El problema fundamental del control, está asociado con la transferencia de estado del sistema x[k], a un conjunto de

destino (moverse de un estado a otro) x[k+1] .

• Cuando el conjunto de destino es constante en el espacio de estados, el problema se conoce como control de regulación .

• Si el conjunto de destino es variante con el tiempo, especificado mediante una señal de control , el problema se

conoce como control de seguimiento .

• La teoría del control moderno esta regida por dos conceptos fundamentales como son: controlabilidad y observabilidad.

• La controlabilidad esta relacionada con una entrada de control

existente que llevará un sistema a un punto determinado.

• El objetivo de la controlabilidad es que la salida x[k] se

aproxime, o aproxime al set point xd[k] .

Dinámicos Alejandro Peña P. Contenido Control Sistemas Dinámicos Introducción Observabilidad Controlabilidad Esquemas de Control Control Neuronal Introducción Control Inverso Aprendizaje Generalizado Regla Delta Generalizada Aprendizaje Específico Bibliografía

(6)

Observabilidad

• La observabilidad se enfoca en el problema de determinar el

estado x[k] , a partir de las mediciones de x[k-1].

• Se dice que un sistema es observable, si es posible inferir el

estado inicial x[0] , a partir de un conjunto de mediciones de

salida sobre un intervalo finito de tiempo [0,T].

• De la mano de los conceptos anteriores, aparece el concepto de control adaptativo , y que es la base del control inteligente.

• En el caso en donde un sistema contenga múltiples entradas y salidas, aparece la teoría del control multivariable .

• En el caso de sistemas donde aparecen fenómenos aleatorios se utiliza la teoría de control estocástico.

Ejemplo: Analizar la controlabilidad y la observabilidad de un sistema, expresado mediante redes neuronales del tipo MADALINE, de forma matemática, y utilizando MATLAB. Dinámicos Alejandro Peña P. Contenido Control Sistemas Dinámicos Introducción Observabilidad Controlabilidad Esquemas de Control Control Neuronal Introducción Control Inverso Aprendizaje Generalizado Regla Delta Generalizada Aprendizaje Específico Bibliografía

(7)

Observabilidad.

• Ejemplo:

Determinar la observabilidad de un sistema, el cual fue identificado mediante la utilización de la red neuronal MADALINE y el modelo EPR de tipo lineal.

• El concepto de observabilidad , esta relacionado con el

siguiente problema: Dado un sistema LTI, y sus entradas

[]

y sus salidas

[]

sobre un intervalo



_

,

_

, calcular el estado inicial

[0]

.

• Siendo A y C dos matrices constantes de dimensiones nxn y

mxn respectivamente, un sistema es completamente

observable , si y solo si, la matriz de observabilidad



_{. }

es

de rango n.

 



. 



.

. 

−

(8)

Controlabilidad

• La controlabilidad de un sistema, responde a la siguiente

pregunta:

¿Existe siempre una entrada de control

[]

la cual puede transferir el sistema desde el estado inicial



_

a otro estado



_

deseado en un tiempo finito?

• Mientras que la observabilidad responde a la pregunta:

¿El estado inicial

[]

del que parte un sistema, puede siempre identificarse mediante la observación de la salida

[]

y de la

entrada



_

sobre un tiempo finito k?

• Estas características del sistema pueden ser contestadas mediante las propiedades de las matrices A, B, C y D, que definen un espacio de estados para un sistema.

• Las matrices A, B, son las que tienen que ver con la relación entre entrada y estado, y se les conoce como el par de

controlabilidad .

• Las matrices A, C, involucran el estado con la salida, a estas dos matrices se les conoce como par de observabilidad.

(9)

Controlabilidad.

• Ejemplo:

Determinar la controlabilidad de un sistema, el cual fue identificado mediante la utilización de la red neuronal MADALINE y el modelo EPR de tipo lineal .

• Este estudio se concentrará en sistemas SISO, sistemas de una sola entrada, e invariantes en el tiempo (LTI).

• Para dichos sistemas la matriz de controlabilidad es cuadrada,

y si la misma es de rango n , significa la misma es no singular

y que es invertible.

• La matriz de controlabilidad se construye de la siguiente

manera:

   . 



_

• Para que un sistema descrito sea de estado completamente controlable , es necesario y suficiente que la matriz



_{(.)}

de controlabilidad, sea de rango igual a n .

(10)

Controlabilidad y Observabilidad (MATLAB).

• Para calcular la matriz de observabilidad :

>>Co=ctrb(A,B);

• Para calcular la matriz de observabilidad :

>>Ob=obsv(A,C);

• Para calcular el rango de una matriz: >>rank(Co);

>>rank(Ob);

• Para simular el comportamiento de un Sistema SISO en tiempo discreto:

1. Organizamos la red, lado izquierdo los retardos de la planta en forma descendente. Lado derecho la señal de control en orden descendente.

2. Se calcula la transformada Z.

3. Se divide H(z) por la máxima potencia arriba y abajo.

4. Se construyen los vectores A1, B1 en MATLAB.

(11)

Controlabilidad y Observabilidad (MATLAB).

• Para llevar a cabo la simulación de un sistema SISO en tiempo discreto:

>>k=0:0.1:20;

>>escalon=ones(size(k)); >>y2=filter (B,A,escalon);

• Otra alternativa para llevar a cabo la simulación a la respuesta en tiempo discreto:

>>G=tf(B,A,[]); >>y3=step(G,k);

• Para graficar ambos resultados: >>plot(k,y2); >>hold on >>plot(k,y3); Dinámicos Alejandro Peña P. Contenido Control Sistemas Dinámicos Introducción Observabilidad Controlabilidad Esquemas de Control Control Neuronal Introducción Control Inverso Aprendizaje Generalizado Regla Delta Generalizada Aprendizaje Específico Bibliografía

(12)

Control Inteligente

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(13)

Esquemas del Control Inteligente.

• El incremento de las demandas tecnológicas, ha generado sistemas complejos que requieren de controladores sofisticados para asegurar alto desempeño ante condiciones adversas.

• Estas condiciones son difícilmente logrables con controladores convencionales, debido al desconocimiento de la dinámica de un sistema, la cual puede variar de manera significativamente y de manera impredecible con el tiempo.

• El control inteligente es la disciplina donde los métodos de

control se desarrollan para emular características importantes de un controlador o cerebro humano:

1. Son robustos y tolerantes a fallas.

2. Son compactos y consumen poca energía.

3. Se acomodan a diferentes ambientes por aprendizaje.

(14)

Esquemas del Control Inteligente.

• Las áreas donde se esta trabajando alrededor del control inteligente son: redes neuronales, control difuso, algoritmos genéticos, sistemas de planeación, sistemas expertos y sistemas híbridos.

• Un sistema de control inteligente debe ser autónomo, con el

poder de autogobernarse. La autonomía es el objetivo de los

sistemas de control complejos, y los controladores inteligentes son una manera de lograrlo.

• Un modelo matemático de una planta o sistema debe ser lo

bastante simple para que pueda ser analizado, y bastante exacto tal que describa los aspectos más importantes de su

comportamiento.

• En general, los modelos lineales generan controles para cumplir especificaciones alrededor de un punto de operación. • En sistemas de control con alto grado de autonomía (control

inteligente ), pueden incrementar significativamente el rango de

operación de un sistema, esto debido a su capacidad de aprendizaje de la evolución de un sistema.

(15)

Control Inteligente de Sistemas.

• El objetivo del control inteligente , al igual que el control adaptativo , es el ajuste de los parámetros del control, para

lograr una respuesta específica de un sistema desconocido, o variante en el tiempo, con, o sin un modelo de referencia (Dagli, 1994).

• Cuando se habla de control inteligente , generalmente se

entiende que es un modelo por aprendizaje y adaptación, con el objetivo de calcular la acción de control para un proceso que cambio con el tiempo, de modo que se alcance el objetivo de control deseado.

• La diversidad de los métodos o estrategias de control, radica en el modo de representación de un sistema dinámico, y en la forma que generan la acción de control.

• Los algoritmos por aprendizaje, se basan generalmente en la

Regla Delta Generalizada , de manera que los parámetros del

controlador, se adaptan en la dirección negativa del gradiente de una determinada función de error.

(16)

Control Neuronal

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(17)

Control Neuronal

• En aplicaciones industriales, lo más relevante del uso de redes neuronales, esta directamente relacionado con la

identificación de sistemas , o con la optimización de controladores .

• Una de las habilidades más importantes de las redes neuronales artificiales, es su capacidad para aproximar funciones no lineales .

• La identificación de sistemas utilizando redes neuronales,

consiste en entrenar la red a partir de un conjunto de pares de datos de entrada y salida de una planta, o proceso característico no lineal .

• El problema de identificación con redes neuronales, se puede considerar como un problema de aproximación de una función no lineal a un proceso complejo.

(18)

Esquemas de Control Neuronal

• Las redes neuronales artificiales, ocupan un lugar importante en el desarrollo de técnicas de control para proceso dinámicos no lineales.

• Cuando se habla de control de procesos utilizando redes neuronales, generalmente se entiende que es una red encargada de calcular la acción de control que hay que aplicar a un proceso, para que alcance el objetivo de control deseado. • La diversidad de los métodos, o estrategias de control, radica en el modelo de realizar el entrenamiento de la red, así como el tipo de red de neuronas a utilizar.

• El aprendizaje de las redes neuronales, se basan en el método de la regla delta generalizada, adaptando los pesos

en términos del error con respecto a la señal de referencia.

(19)

Esquemas de Control utilizando Redes Neuronales

• Los esquemas más utilizados en el control con redes neuronales, son los siguientes:

1. Copia de un Controlador Existente. 2. Control Inverso.

3. Control basado en la Regla Delta Generalizada (Control Adaptativo).

4. Control Predictivo.

• A pesar de las clasificaciones, un marco unificador para el control neuronal es ver el entrenamiento como un problema de optimización no lineal .

• El esquema basado en la regla delta , es llamado control indirecto , ya que una red neuronal no envía una señal de

control directamente al proceso. Aquí la red neuronal se utiliza como indicador de las características del proceso.

(20)

Control Inverso

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(21)

Control Neuronal Inverso.

• El esquema de control inverso, consiste en aproximar

mediante una red de neuronas, la dinámica inversa de un

sistema o proceso.

• La salida de un proceso se puede expresar de la siguiente manera:

x

     , [  1,    2 , ……, [  ]

Donde:

u[k]: Representa la entrada del proceso.

• Por tanto una estrategia de control inverso la red de neuronas

se utiliza para aproximar la siguiente relación:

   

−

_{  ,    1 , … … ,  [    ]}

• El aprendizaje mediante un esquema de control inverso

utilizando redes neuronales, se lleva a cabo mediante

aprendizaje generalizado . Dinámicos Alejandro Peña P. Contenido Control Sistemas Dinámicos Introducción Observabilidad Controlabilidad Esquemas de Control Control Neuronal Introducción Control Inverso Aprendizaje Generalizado Regla Delta Generalizada Aprendizaje Específico Bibliografía

(22)

Aprendizaje Generalizado

• En este caso, la red neuronal se entrena para que aprenda la dinámica inversa del proceso en su totalidad.

• Para dicho entrenamiento, se utiliza un conjunto de datos representativo de dicha dinámica (dinámica inversa), esta

dinámica se obtiene manipulando la acción de control , y

observando o midiendo la salida del proceso para dicha señal. • Por tanto, el aprendizaje de la red realiza mediante la

dirección negativa del gradiente de la siguiente función:

   12 



   



(23)

Control Neuronal

(Regla Delta Generalizada)

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(24)

Aprendizaje Especializado

• El modelo neuronal para este tipo de aprendizaje, es obtenido con la estructura de modelación directa de la siguiente manera:

• Para el entrenamiento de la red neuronal, se utiliza el algoritmo de entrenamiento backpropagation . Para este tipo

de modelación, la función de costo a minimizar es la siguiente:

   12    









=

(25)

Aprendizaje Especializado

•• El control por laEl control por la regla delta generalizada regla delta generalizada ,, se denota y definese denota y define

de la siguiente manera: de la siguiente manera:

 

   11   

     

_

_{ }

Donde: Donde: u[k]:

u[k]: Representan Representan la señal la señal de control.de control. α

α: Representa la ganancia de paso donde: Representa la ganancia de paso donde

 >> 00

..

 

   



: : Es Es el el gradiente gradiente de de la la función función a a optimizaroptimizar con respecto a la señal de control.

con respecto a la señal de control.

  

: Función candidata de: Función candidata de Lyapunov.Lyapunov.

•

• Ejemplo: Ejemplo: Calcular laCalcular la regla de control regla de control para una red neuronal depara una red neuronal de

tipo

tipo MADALINE MADALINE con función de activacióncon función de activación tanh tanh a la salida dea la salida de

la capa oculta de neuronas. la capa oculta de neuronas.

(26)

Análisis de Sistemas

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Dinámicos Dinámicos Alejandro Peña P Alejandro Peña P.. Contenido Contenido Análisis de Sistemas Análisis de Sistemas Estabilidad Estabilidad Estabilidad (z-plane) Estabilidad (z-plane) Root Locus Root Locus Respuesta al Escaolón Respuesta al Escaolón Exactitud Exactitud Control Neuronal Control Neuronal Adaptativo Adaptativo Self Tunning Self Tunning Modelo Indirrecto Modelo Indirrecto Esquema MRAC Esquema MRAC Modos Deslizantes Modos Deslizantes Algoritmos de Aprendizaje Algoritmos de Aprendizaje Equilibrio y Estabilidad Equilibrio y Estabilidad Función de Lyapunov Función de Lyapunov Definición Intuitiva Definición Intuitiva Definición Formal Definición Formal Equilibrios Equilibrios Bibliografía Bibliografía

(27)

Estabilidad.

•• Es una de las características más importantes del control, yaEs una de las características más importantes del control, ya que en un

que en un sistema estable sistema estable , la señal de salida al tener un, la señal de salida al tener un

cambio de cualquier tipo a la entrada, este no se sale de los cambio de cualquier tipo a la entrada, este no se sale de los límites establecidos.

límites establecidos.

•• De esta manera, el sistema mantiene una posición si no igual,De esta manera, el sistema mantiene una posición si no igual, por lo menos paralela a la señal de entrada.

por lo menos paralela a la señal de entrada.

•• La estabilidad enLa estabilidad en sistemas continuos sistemas continuos ,, esta determinadaesta determinada

porque las raíces del denominador de la

porque las raíces del denominador de la función de función de

transferencia

transferencia enen lazo cerrado lazo cerrado ,, están en la región estable delestán en la región estable del

plano plano s.s.

•• La estabilidad enLa estabilidad en sistemas discretos sistemas discretos , esta determinada porque, esta determinada porque

los polos de la

los polos de la función de transferencia función de transferencia se encuentran alse encuentran al

interior del

interior del circulo unitario circulo unitario en el plano en el plano z.z.

Dinámicos Dinámicos Alejandro Peña P Alejandro Peña P.. Contenido Contenido Análisis de Sistemas Análisis de Sistemas Estabilidad Estabilidad Estabilidad (z-plane) Estabilidad (z-plane) Root Locus Root Locus Respuesta al Escaolón Respuesta al Escaolón Exactitud Exactitud Control Neuronal Control Neuronal Adaptativo Adaptativo Self Tunning Self Tunning Modelo Indirrecto Modelo Indirrecto Esquema MRAC Esquema MRAC Modos Deslizantes Modos Deslizantes Algoritmos de Aprendizaje Algoritmos de Aprendizaje Equilibrio y Estabilidad Equilibrio y Estabilidad Función de Lyapunov Función de Lyapunov Definición Intuitiva Definición Intuitiva Definición Formal Definición Formal Equilibrios Equilibrios Bibliografía Bibliografía

(28)

Estabilidad

(z-plane).

• Para calcular la estabilidad de un sistema en tiempo discreto ,

se debe tener en cuenta el siguiente procedimiento:

• Sea la siguiente función de transferencia en tiempo continuo :

>> A1=27; >> B1=[1 27 0]; >> Ga=tf(A1,B1); >> Gz=c2d(Ga,0.1,’zoh’) >> Tz=feedback(Gz,1); >> r=pole(Tz); >> rm=max(abs(r));

• Ejemplo : Evaluar la estabilidad de un sistema, a partir de un

controlador encontrado mediante redes neuronales utilizando aprendizaje por Regla Delta Generalizada . Analizar la

sensibilidad del factor de aprendizaje en el control.

   0.2123436   0.2611085   3

 0.2337058   2  0.3009152[  3]

Dinámicos Alejandro Peña P. Contenido Análisis de Sistemas Estabilidad Estabilidad (z-plane) Root Locus Respuesta al Escaolón Exactitud Control Neuronal Adaptativo Self Tunning Modelo Indirrecto Esquema MRAC Modos Deslizantes Algoritmos de Aprendizaje Equilibrio y Estabilidad Función de Lyapunov Definición Intuitiva Definición Formal Equilibrios Bibliografía

(29)

Root Locus

• De manera general, la estabilidad de un sistema realimentado,

esta directamente relacionada con la ubicación de los polos .

• Cuando el sistema posee una ganancia variable , la estabilidad

de un sistema depende del valor escogido para dicha ganancia.

• El análisis root locus permite evaluar la estabilidad de un

sistema, en términos de observar el movimiento de los polos

en el plano complejo, de acuerdo con la variación de la

ganancia del sistema.

(30)

Root Locus

• Ejemplo: Considerar un sistema en lazo cerrado el cual tiene

la siguiente función de transferencia:

  

_{  0.5 }

_



_{0.610}

• El diagrama en root locus se construye utilizando MATLAB de

la siguiente manera: >>num=[1]; >>den=[1 1.1 10.3 5 0]; >>[r,K]=rlocus(num,den); >>plot(r,’-’) >>axis(‘equal’); >>V=[-4 4 -4 4]; >>axis(v) >>grid Dinámicos Alejandro Peña P. Contenido Análisis de Sistemas Estabilidad Estabilidad (z-plane) Root Locus Respuesta al Escaolón Exactitud Control Neuronal Adaptativo Self Tunning Modelo Indirrecto Esquema MRAC Modos Deslizantes Algoritmos de Aprendizaje Equilibrio y Estabilidad Función de Lyapunov Definición Intuitiva Definición Formal Equilibrios Bibliografía

(31)

Root Locus

z^4



z^4  1.5 z^3  0.38 z^2  0.128 z  0.008

• El diagrama en root locus en tiempo discreto se construye

utilizando MATLAB de la siguiente manera: >>num=[1 0 0 0 0]; >>den=[1 -1.5 0.38 0.128 -0.008]; >>Gz=tf(num,den,[]); >>Tz=feedback(Gz,1) >>rlocus(num,den); >>[K,polos]=rlocfind(num,den); >>axis([-1 1 -1 1]) >>grid >>K

Este análisis permite determinar el valor de K para el cual es modelo presenta estabilidad.

(32)

Respuesta al Escalón

• Ahora para determinar la respuesta al escalón, debemos tener en cuenta el siguiente procedimiento:

>>[numcDz,dencDz]=cloop(K*num,den); >>U=1; >>[x]=dstep(U*numcDz,dencDz,201); >>figura >>t=0:0.5:10; >>stairs(t,x) >>grid

• Ejemplo: Analizar la estabilidad de una red neuronal del tipo madaline .

   0.2123436   0.2611085   3  0.2337058   2

0.3009152[3]

(33)

Exactitud

• La exactitud de error (static or steady state error), se refiere a

qué tan bien un sistema se ajusta a cambios en el valor de referencia, y qué también puede eliminar los disturbios en estado estable.

• Con la palabra estado estable , nos referimos al valor final del

sistema después de un cambio, sin estar interesados en su comportamiento transitorio.

• Las siguientes Figuras muestran la diferencia entre un buen sistema y un mal sistema. Para que un sistema sea bueno , se requiere que la señal de salida se ajuste a la señal de entrada sin error. Dinámicos Alejandro Peña P. Contenido Análisis de Sistemas Estabilidad Estabilidad (z-plane) Root Locus Respuesta al Escaolón Exactitud Control Neuronal Adaptativo Self Tunning Modelo Indirrecto Esquema MRAC Modos Deslizantes Algoritmos de Aprendizaje Equilibrio y Estabilidad Función de Lyapunov Definición Intuitiva Definición Formal Equilibrios Bibliografía

(34)

Exactitud

• Para evaluar la estabilidad y la exactitud de un sistemas de control, es necesario tener en cuenta el siguiente sistema:

 

_{+}



 

_{+}





• De manera general, la exactitud de un sistema se puede calcular de la siguiente manera:



∗

_{∞  lim}

→

1  

−

1   1   2 

 

Donde:



∗

_∞

: Es el valor final del error.

• La ecuación anterior puede ser evaluada para señales de entrada como: Escalón, Rampa y Parábola .

(35)

Exactitud (

Unit Step Input

)

• Para este caso en particular, la función que representa el Escalón, esta dada dela siguiente manera:

  

_−



Sustituyendo en la ecuación anterior:



∗

_{∞ }

1 1lim

_→

 

Donde:

  lim

_→

 

Reescribiendo



∗

_{∞  1}

1

(36)

Exactitud (

Unit Ramp Input

)

• Para este caso en particular, la función que representa la rampa, esta dada dela siguiente manera:

   

_{  1}

_



∗

_{∞  1}

Donde:

 

_



_→

lim

  1  

T : Tiempo de muestreo Dinámicos Alejandro Peña P. Contenido Análisis de Sistemas Estabilidad Estabilidad (z-plane) Root Locus Respuesta al Escaolón Exactitud Control Neuronal Adaptativo Self Tunning Modelo Indirrecto Esquema MRAC Modos Deslizantes Algoritmos de Aprendizaje Equilibrio y Estabilidad Función de Lyapunov Definición Intuitiva Definición Formal Equilibrios Bibliografía

(37)

Exactitud (

Unit Parabolic Input

)

• Para este caso en particular, la función que representa la parábola, esta dada dela siguiente manera:

   

_2(1)



(1)

_



∗

_{∞  1}

Donde:

  1



lim1

_→



  ∗  

T : Tiempo de muestreo. Dinámicos Alejandro Peña P. Contenido Análisis de Sistemas Estabilidad Estabilidad (z-plane) Root Locus Respuesta al Escaolón Exactitud Control Neuronal Adaptativo Self Tunning Modelo Indirrecto Esquema MRAC Modos Deslizantes Algoritmos de Aprendizaje Equilibrio y Estabilidad Función de Lyapunov Definición Intuitiva Definición Formal Equilibrios Bibliografía

(38)

Exactitud (

Matlab

)

• Ejemplo : Evaluar la estabilidad de un sistema, obtenido

mediante la regla delta generalizada (G(z)=Gr(z)*Gp(z)).

  0.5  1 0.12  2 0.008  3  []

>>Kp=dcgain(Gz); >>GzKv=(1/T)*tf([1 -1],[0 1], T)* Gz; >>GzKv=minreal(GzKv,0.00001); >>Kv=dcgain(GzKv) >>GzKa=(1/T ^2)*tf([1 -2 1],[0 0 1],T)*Gz; >>GzKa=minreal(GzKa,0.00001) >>Ka=dcgain(GzKa)

• minreal(Sys,Tol): Permite cancelar los términos comunes de

una función de transferencia:

Sys: Es el sistema a estudiar. Tol: Es un parámetro opcional.

(39)

Equilibrio y Estabilidad

(Función de Lyapunov)

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(40)

Función de Lyapunov

• Las funciones de Lyapunov , son funciones que demuestran la

estabilidad de cierto punto fijo en un sistema dinámico.

• Las funciones que pueden probar la estabilidad de un punto cualquier de equilibrio son llamadas candidatas a funciones Lyapunov .

• Para los sistemas dinámicos (como los sistemas físicos) las leyes de conservación proveen frecuentemente las funciones de Lyapunov. Dinámicos Alejandro Peña P. Contenido Análisis de Sistemas Estabilidad Estabilidad (z-plane) Root Locus Respuesta al Escaolón Exactitud Control Neuronal Adaptativo Self Tunning Modelo Indirrecto Esquema MRAC Modos Deslizantes Algoritmos de Aprendizaje Equilibrio y Estabilidad Función de Lyapunov Definición Intuitiva Definición Formal Equilibrios Bibliografía

(41)

Función de Lyapunov

• Las funciones de Lyapunov , son funciones que demuestran la

estabilidad de cierto punto fijo en un sistema dinámico.

• Las funciones que pueden probar la estabilidad de un punto cualquier de equilibrio son llamadas candidatas a funciones Lyapunov .

• Para los sistemas dinámicos (como los sistemas físicos) las leyes de conservación proveen frecuentemente las funciones de Lyapunov.

Tomado de Wikipedia (Función de Lyapunov, 2008)

(42)

Definición intuitiva función de Lyapunov

• Un sistema dinámico requiere un estado inicial



_

y una función de evolución

 

_

,

que indica la trayectoria de los estados

 

futuros que tendrá el sistema.

• Una función de Lyapunov corresponde a una familia de regiones espaciales , cada una de las cuales queda definida por una curva de nivel, o curva potencial

 

.

• Una vez que el estado

 

ha entrado en la regio de Lyapunov, correspondiente a la curva de nivel

 

_

 

_

, ya no podrá salir de ella.

• De este modo, a medida que el tiempo avanza, el sistema irá quedando atrapado en regiones de Lyapunov cada vez más pequeñas.

• Es por esto que la función de Lyapunov, irá en decrecimiento al pasar el tiempo, lo que permite asegurar que el sistema dinámico es estable. Dinámicos Alejandro Peña P. Contenido Análisis de Sistemas Estabilidad Estabilidad (z-plane) Root Locus Respuesta al Escaolón Exactitud Control Neuronal Adaptativo Self Tunning Modelo Indirrecto Esquema MRAC Modos Deslizantes Algoritmos de Aprendizaje Equilibrio y Estabilidad Función de Lyapunov Definición Intuitiva Definición Formal Equilibrios Bibliografía

(43)

Definición de la función de Lyapunov

• Sea la siguiente función escalar :

  : 



_{→ }

Una función candidata de Lyapunov, si es localmente (en 0) definida positiva, o equivalentemente, si existe un entorno U de 0 tal que:

 0  0,

  > 0    ∈  <> 0

• El segundo teorema de Lyapunov, se denota y define:



∗

_{ 0}

En donde un punto de equilibrio del sistema autonoma esta definido:

    

Y sea

    

_



_{     }

Esta es la derivada respecto al tiempo de una función candidata de Lyapunov. Dinámicos Alejandro Peña P. Contenido Análisis de Sistemas Estabilidad Estabilidad (z-plane) Root Locus Respuesta al Escaolón Exactitud Control Neuronal Adaptativo Self Tunning Modelo Indirrecto Esquema MRAC Modos Deslizantes Algoritmos de Aprendizaje Equilibrio y Estabilidad Función de Lyapunov Definición Intuitiva Definición Formal Equilibrios Bibliografía

(44)

Equilibrios de Lyapunov

• Equilibrio Estable:

Este equilibrio, se da cuando la derivada respecto al tiempo de la función candidata de Lyapunov V y localmente semidefinida

negativa, esto es, si existe un entorno V de 0 tal que:

   ≤ 0,   ∈ 

Para algún entorno o vecindad B , entonces se dice que el

sistema tiene un equilibrio estable .

• Equilibrio Localmente Atractivo:

Si la derivada respecto al tiempo de la función candidata de Lyapunov V esta localmente definida negativa, esto es si existe un entorno B de 0 tal que:

   < 0,   ∈ 

Entonces el equilibrio es localmente atractivo .

(45)

Equilibrios de Lyapunov

• Equilibrio Globalmente Atractivo:

Si las funciones candidatas de Lyapunov V estan definidas

como positiva sobre todo el dominio, y su derivada respecto al tiempo es globalmente definida como negativa, esto es:

   ≤ 0,   ∈ 



_{<> 0}

Entonces el equilibrio es globalmente atractivo .

• El control mediante la utilización de los principios de las redes neuronales, utiliza como elemento fundamental el error cuadrático medio, el cual se denota y define como:





_{  12 }

_

_{ }

_{ }

Donde:





_

_{: Error cuadrático medio.}





: Set-Point o valor de referencia para el funcionamiento del

sistema.





: Respuesta del Sistema Dinámico.

(46)

Equilibrios de Lyapunov

• Sea una red neuronal de tipo Madaline definida de la siguiente

manera:





 











De este modo, la actualización de los pesos teniendo en cuenta la regla delta generalizada , tenemos lo siguiente:



 ∝ 



_



_



+





 



 



,





_

Donde:

 



,



: Sensibilidad del controlador con respecto a la

actualización de los pesos



_

.

 



,



 

_



_





: Es el controlador obtenido a partir de la red neuronal de

identificación. Dinámicos Alejandro Peña P. Contenido Análisis de Sistemas Estabilidad Estabilidad (z-plane) Root Locus Respuesta al Escalón Exactitud Control Neuronal Adaptativo Self Tunning Modelo Indirrecto Esquema MRAC Modos Deslizantes Algoritmos de Aprendizaje Equilibrio y Estabilidad Función de Lyapunov Definición Intuitiva Definición Formal Equilibrios Bibliografía

(47)

Equilibrios de Lyapunov

• De acuerdo con lo anterior, la derivada del error cuadrático medio en función del tiempo, se denota y define como:





_

 





_



















_

    



,

 











_

Cuando

 > 0

, entonces



  ≤ 0



para todo

>0.

De aquí se concluye que de la teoría de estabilidad de Lyapunov, la función del error esta decrementando a medida que el tiempo esta creciendo.

• De esta manera, los parámetros de sintonización del modelo, son capaces de producir las entradas de control adaptables, que son convenientes para que el sistema alcance la salida deseada



_

. Dinámicos Alejandro Peña P. Contenido Análisis de Sistemas Estabilidad Estabilidad (z-plane) Root Locus Respuesta al Escaolón Exactitud Control Neuronal Adaptativo Self Tunning Modelo Indirrecto Esquema MRAC Modos Deslizantes Algoritmos de Aprendizaje Equilibrio y Estabilidad Función de Lyapunov Definición Intuitiva Definición Formal Equilibrios Bibliografía

(48)

Estabilidad (Root Locus)

Alejandro Peña P., PhD.

[email protected]

Grupo de Investigación en Inteligencia

Computacional y Robótica (GICR)

Escuela de Ingeniería de Antioquia

(49)

Root Locus

• De manera general, la estabilidad de un sistema realimentado,

esta directamente relacionada con la ubicación de los polos .

• Cuando el sistema posee una ganancia variable , la estabilidad

de un sistema depende del valor escogido para dicha ganancia.

• El análisis root locus permite evaluar la estabilidad de un

sistema, en términos de observar el movimiento de los polos

en el plano complejo, de acuerdo con la variación de la

ganancia del sistema.

(50)

Root Locus

• Ejemplo: Analizar la estabilidad del siguiente sistema,

mediante la utilización del método root locus.

(51)

Polos y Ceros

• En los siguientes ejemplos, se muestra el comportamiento de diferentes sistemas de acuerdo con la ubicación de sus polos en el plano complejo. Dinámicos Alejandro Peña P. Contenido Análisis de Sistemas Estabilidad Estabilidad (z-plane) Root Locus Respuesta al Escaolón Exactitud Control Neuronal Adaptativo Self Tunning Modelo Indirrecto Esquema MRAC Modos Deslizantes Algoritmos de Aprendizaje Equilibrio y Estabilidad Función de Lyapunov Definición Intuitiva Definición Formal Equilibrios Bibliografía

(52)

Root Locus

  

_{  0.5 }

_



_{0.610}

• El diagrama en root locus se construye utilizando MATLAB de

la siguiente manera: >>num=[1]; >>den=[1 1.1 10.3 5 0]; >>[r,K]=rlocus(num,den); >>plot(r,’-’) >>axis(‘equal’); >>V=[-4 4 -4 4]; >>axis(v) >>grid Dinámicos Alejandro Peña P. Contenido Análisis de Sistemas Estabilidad Estabilidad (z-plane) Root Locus Respuesta al Escaolón Exactitud Control Neuronal Adaptativo Self Tunning Modelo Indirrecto Esquema MRAC Modos Deslizantes Algoritmos de Aprendizaje Equilibrio y Estabilidad Función de Lyapunov Definición Intuitiva Definición Formal Equilibrios Bibliografía

(53)

Root Locus

z^4



z^4  1.5 z^3  0.38 z^2  0.128 z  0.008

• El diagrama en root locus en tiempo discreto se construye

utilizando MATLAB de la siguiente manera: >>num=[1 0 0 0 0]; >>den=[1 -1.5 0.38 0.128 -0.008]; >>Gz=tf(num,den,[]); >>Tz=feedback(Gz,1) >>rlocus(num,den); >>[K,polos]=rlocfind(num,den); >>axis([-1 1 -1 1]) >>grid >>K

Este análisis permite determinar el valor de K para el cual es modelo presenta estabilidad.

(54)

Root Locus

• Ahora para determinar la respuesta al escalón,, debemos tener en cuenta el siguiente procedimiento:

>>[numcDz,dencDz]=cloop(K*num,den); >>U=1; >>[x]=dstep(U*numcDz,dencDz,201); >>figura >>t=0:0.5:10; >>stairs(t,x) >>grid Dinámicos Alejandro Peña P. Contenido Análisis de Sistemas Estabilidad Estabilidad (z-plane) Root Locus Respuesta al Escaolón Exactitud Control Neuronal Adaptativo Self Tunning Modelo Indirrecto Esquema MRAC Modos Deslizantes Algoritmos de Aprendizaje Equilibrio y Estabilidad Función de Lyapunov Definición Intuitiva Definición Formal Equilibrios Bibliografía

(55)

Control Neuronal Adaptativo

Alejandro Peña P., PhD.

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Grupo de Investigación en Inteligencia

Computacional y Robótica (GICR)

Escuela de Ingeniería de Antioquia

(56)

Control Adaptativo en Manufactura

• En muchos casos, estos procesos y sistemas son muy complejos, y en general son de tipo no lineal, multivariable y sometidos a disturbios externos desconocidos.

• Para lograr grados de autonomía en dichos procesos, se requiere del diseño de controladores que sean capaces de adaptarse al continuo cambio de la dinámica de un proceso. • El objetivo del control adaptativo, es ajustar los parámetros de

control, para lograr la respuesta deseado en un sistema desconocido, o que varia con el tiempo.

• Para el desarrollo de este tipo de controles, en muchos casos no se cuenta con un modelo estimado del sistema, o un modelo de referencia.

• En general, el control adaptativo con redes neuronales puede categorizarse en tres diferentes técnicas de aprendizaje:

1. Aprendizaje Adaptativo – Self Tunning .

2. Aprendizaje Adaptativo Indirecto 3. Aprendizaje Adaptativo - MRAC

(57)

Control Neuronal Adaptativo (Self Tunning)

• En el aprendizaje general , En este tipo de esquema utiliza la

adaptación de los pesos basado en la regla delta

generalizada. Esta actualización se genera luego de que el

control ha enviado la señal de control al sistema o proceso.

• Este tipo de control se conoce como self tunning control, y se

denota y define de la siguiente manera (Dagli, 1994).

(58)

Control Neuronal Adaptativo (Modelo Indirecto)

• El modelo indirecto , se aproxima a la dinámica inversa local

del proceso, es decir, la dinámica inversa en una determinada región de interés (Isazi, 2004).

(59)

Control Neuronal Adaptativo (Modelo Indirecto)

• De acuerdo con el esquema anterior, la red es el objetivo de control, y la salida de la red es la acción de control que se aplica al sistema dinámico. De acuerdo con esto, el objetivo del control se denota y define de la siguiente manera:





  1  12 



  1     1



• Para poder llevar a cabo el aprendizaje del proceso, es necesario conocer el jacobiano del proceso de la siguiente

manera:

   1     .



  1 

_

_



• Para este tipo de aprendizaje, no se hace necesario disponer de un conjunto de patrones de entrenamiento, pues lo datos para el aprendizaje proviene de la evolución directa del proceso. Dinámicos Alejandro Peña P. Contenido Análisis de Sistemas Estabilidad Estabilidad (z-plane) Root Locus Respuesta al Escaolón Exactitud Control Neuronal Adaptativo Self Tunning Modelo Indirrecto Esquema MRAC Modos Deslizantes Algoritmos de Aprendizaje Equilibrio y Estabilidad Función de Lyapunov Definición Intuitiva Definición Formal Equilibrios Bibliografía

(60)

Control Neuronal Adaptativo (MRAC)

• El aprendizaje especializado, el modelo requiere de un modelo

explicito de un proceso, y en donde los parámetros del control son ajustados mediante la minimización del error entre el modelo y la salida actual del sistema.

• Este modelo utiliza un modelo de referencia, el cual determina la señal de control mediante la regla delta generalizada.

• Este tipo de control se conoce como model reference adaptative control (MRAC). Este modelo se denota y define

de la siguiente manera (Dagli, 1994)

(61)

Control Modos Deslizantes

Alejandro Peña P., PhD.

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Grupo de Investigación en Inteligencia

Computacional y Robótica (GICR)

Escuela de Ingeniería de Antioquia

(62)

Esquema de Control

• El control por modos deslizantes , es un tipo de control

utilizado para plantas con parámetros variables,

incertidumbres en el modelo y perturbaciones externas.

• Para la implementación de este tipo de control, es necesario la identificación del sistema, utilizando para ello el modelo neuronal de un paso adelante



_+

.

• Este esquema de control, se denota y define de la siguiente manera (Tomado: Giraldo and Hoyos, 2004):

(63)

Esquema de Control

• El controlador (usualmente otra red neuronal) monitorea las

entradas y salidas de la planta, y manipula la entrada (señal de control) para calcular la predicción de la salida .

• Para este esquema de control, se utiliza un modelo interno del sistema como referencia, el cual fue identificado y almacenado

por la red neuronal como modelo de la planta un paso adelante.

• La adaptación del controlador, se hace mediante la utilización

de la regla delta generalizada , sobre la red neuronal un paso

adelante que sirve de referencia a este esquema.



+

 



 

_

+

_

• El error de mando o de comando virtual, se denota y define:





  1  

_

+

_



+

Donde:



+

 

+

 

+



_



 : Jacobiano del Sistema.

(64)

Algoritmo de Aprendizaje

• El diseño de control por modos deslizantes, se divide en dos fases:

 En la primera, una superficie deslizante se define para producir un comportamiento entrada/salida. Esta es la adaptación sobre el modelo un paso adelante, el cual se denota y define:





 



  







,





> 0.

Donde:





  

+

: Error del modelo con respecto al setpoint .





 



: Error del modelo con respecto a la respuesta del

sistema.

 En la segunda, los pesos son actualizados de forma que satisfacen las condiciones de seguimiento de la superficie deslizante.





 



  







,





> 0.

De acuerdo con lo anterior, estos errores son similares a los errores del modelo, ya que el controlador se deriva de este. Dinámicos Alejandro Peña P. Contenido Análisis de Sistemas Estabilidad Estabilidad (z-plane) Root Locus Respuesta al Escaolón Exactitud Control Neuronal Adaptativo Self Tunning Modelo Indirrecto Esquema MRAC Modos Deslizantes Algoritmos de Aprendizaje Equilibrio y Estabilidad Función de Lyapunov Definición Intuitiva Definición Formal Equilibrios Bibliografía

(65)

Bibliografía

ISAZI, P. Redes de Neuronas Artificiales.

Ed. Prentice Hall Latinoamérica, Primera Edición, México, 2.002 HILERA GONZÁLEZ, José Ramón; MARTÍNEZ, Víctor José. Redes neuronales artificiales: fundamentos, modelos y

aplicaciones. España: Rama, 1995. 390 p.

García, B. Patricio, Introducción a las Redes Neuronales y su Aplicación a la Investigación en Astrofísica Universidad de Gran

Canarias, España, 2009.

Navarro, Rina Ingeniería de Control Analógica y Digital , Mc. Graw

Hill, México, 2004. ISBN: 970-10-4677-3.

Nise, Norman. Control System Engineering John Wiley & Sons,

Fifth Edition, 2007. ISBN: 978-0471-79475-2.

Hernández B. E. Noriega, L., B. Algoritmo de Control para

Sistemas Dinámicos No Lineales Aplicando Redes Neuronales Completar Control de Sistemas Dinámicos Alejandro Peña P. Contenido Análisis de Sistemas Estabilidad Estabilidad (z-plane) Root Locus Respuesta al Escaolón Exactitud Control Neuronal Adaptativo Self Tunning Modelo Indirrecto Esquema MRAC Modos Deslizantes Algoritmos de Aprendizaje Equilibrio y Estabilidad Función de Lyapunov Definición Intuitiva Definición Formal Equilibrios Bibliografía